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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 46 练 直线与抛物线（精练）
刷真题 明导向
一、多选题
1．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，
且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得 ，根据弦长公式求得 ，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答
案.
【详解】A选项：直线 过点 ，所以抛物线 的焦点 ，
所以 ，则A选项正确，且抛物线 的方程为 .
B选项：设 ，
由 消去 并化简得 ，
解得 ，所以 ，B选项错误.
C选项：设 的中点为 ， 到直线 的距离分别为 ，
因为 ，
即 到直线 的距离等于 的一半，所以以 为直径的圆与直线 相切，C选项正确.
D选项：直线 ，即 ，到直线 的距离为 ，
所以三角形 的面积为 ，
由上述分析可知 ，
所以 ，
所以三角形 不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
二、解答题
2．（2023·全国·统考高考真题）已知直线 与抛物线 交于 两点，且
．
(1)求 ；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出 ；（2）设直线 ： ， 利用 ，找到 的关系，以及 的面
积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【详解】（1）设 ，
由 可得， ，所以 ，
所以 ，
即 ，因为 ，解得： ．
（2）因为 ，显然直线 的斜率不可能为零，
设直线 ： ， ，
由 可得， ，所以， ，
，
因为 ，所以 ，
即 ，
亦即 ，
将 代入得，
， ，
所以 ，且 ，解得 或 ．
设点 到直线 的距离为 ，所以 ，，
所以 的面积 ，
而 或 ，所以，
当 时， 的面积 ．
【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关
系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.
3．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直线交C于
M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最
大值时，求直线AB的方程．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由抛物线的定义可得 ，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线 ，由韦达定理及斜率公式可得 ，再由差角的正切
公式及基本不等式可得 ，设直线 ，结合韦达定理可解.
【详解】（1）抛物线的准线为 ，当 与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时 ，所以 ，所以抛物线C的方程为 ；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设 ，直线 ，
由 可得 ， ，
由斜率公式可得 ， ，
直线 ，代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，同理可得 ，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 ，所以 ，
若要使 最大，则 ，设 ，则
，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，
所以直线 .[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设 ,直线
由 得： ， ,同理， .
直线MD: ,代入抛物线方程可得： ，同理， .
代入抛物线方程可得: ,所以 ，同理可得 ，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ， ，所以 ，所以直线
.
[方法三]：三点共线
设 ，
设 ,若 P、M、N三点共线，由所以 ，化简得 ，
反之，若 ,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得 ，
由M、D、A三点共线，得 ，
由N、D、B三点共线，得 ，
则 ，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，所以直线 .
4．（2021·浙江·统考高考真题）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x轴
的交点，且 ，（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P，
Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）求出 的值后可求抛物线的方程.
（2）方法一：设 ， ， ，联立直线 的方程和抛物线的方程后可得
，求出直线 的方程，联立各直线方程可求出 ，根据题设条件可得
，从而可求 的范围.
【详解】（1）因为 ，故 ，故抛物线的方程为： .
（2）[方法一]：通式通法
设 ， ， ，
所以直线 ，由题设可得 且 .由 可得 ，故 ，
因为 ，故 ，故 .
又 ，由 可得 ，
同理 ，
由 可得 ，
所以 ，
整理得到 ，
故 ，
令 ，则 且 ，
故 ，故 即 ，
解得 或 或 .
故直线 在 轴上的截距的范围为 或 或 .
[方法二]：利用焦点弦性质
设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，直线 的方程
为 ，由题设可得 且 ．
由 得 ，所以 ．
因为 ，
，
．
由 得 ．
同理 ．
由 得 ．
因为 ，所以 即 ．
故 ．
令 ，则 ．
所以 ，解得 或 或 ．
故直线 在x轴上的截距的范围为 ．
[方法三]【最优解】：
设 ，
由 三点共线得 ，即 ．
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为
．
设直线 的方程为 ，
则 ．
所以 ．
故 （其中 ）．
所以 ．因此直线 在x轴上的截距为 ．
5．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆
上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于 的等式，即可解出 的值；
（2）设点 、 、 ，利用导数求出直线 、 ，进一步可求得直线 的方程，
将直线 的方程与抛物线的方程联立，求出 以及点 到直线 的距离，利用三角形的面积公式结合
二次函数的基本性质可求得 面积的最大值.
【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值
由题意知， ，设圆M上的点 ，则 ．
所以 ．
从而有 ．
因为 ，所以当 时， ．
又 ，解之得 ，因此 ．
[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值
抛物线 的焦点为 ， ，
所以， 与圆 上点的距离的最小值为 ，解得 ；（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线 的方程为 ，即 ，对该函数求导得 ，
设点 、 、 ，
直线 的方程为 ，即 ，即 ，
同理可知，直线 的方程为 ，
由于点 为这两条直线的公共点，则 ，
所以，点A、 的坐标满足方程 ，
所以，直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以， ，
点 到直线 的距离为 ，
所以， ，
，
由已知可得 ，所以，当 时， 的面积取最大值 .
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值
同方法一得到 ．过P作y轴的平行线交 于Q，则 ．
．
P点在圆M上，则
．
故当 时 的面积最大，最大值为 ．
[方法三]：直接设直线AB方程法
设切点A，B的坐标分别为 ， ．
设 ，联立 和抛物线C的方程得 整理得 ．
判别式 ，即 ，且 ．
抛物线C的方程为 ，即 ，有 ．
则 ，整理得 ，同理可得 ．
联立方程 可得点P的坐标为 ，即 ．
将点P的坐标代入圆M的方程，得 ，整理得 ．
由弦长公式得 ．
点P到直线 的距离为 ．所以 ，
其中 ，即 ．
当 时， ．
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．已知直线l过点 ，且与抛物线 有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（ ）
条
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据直线与抛物线的位置关系判断．
【详解】当直线 平行于 轴（即抛物线的）时，直线 与抛物线只有一个公共点，
直线 与抛物线的轴不平行时，由于 在抛物线的外部（与焦点在不同区域），因此过点有的抛物线的
切线有两条．
综上，符合要求的直线 有3条．
故选：D．
2．直线 与抛物线 交于 ， 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】焦点弦长度等于 .
【详解】抛物线 的焦点为 在直线 上，故 是抛物线的焦点弦，则
由 得： ，
所以， ，所以，
故选：D.
3．已知抛物线 的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若
，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由题意解出 点横坐标，由抛物线的定义求解
【详解】 ，设 ， ，
，则 ，得 ，
由抛物线定义得
故选：D
4．已知圆 与抛物线 相交于M，N，且 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】由圆与抛物线的对称性及 ，可得 点纵坐标，代入抛物线得横坐标，求出 即可
得解.
【详解】因为圆 与抛物线 相交于M，N，且 ，
由对称性，不妨设 ，
代入抛物线方程，则 ，解得 ，
所以 ，
故故选：B
5．已知O是坐标原点，F是抛物线C： 的焦点， 是C上一点，且 ，则
的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】根据条件求出 的值，然后可算出答案.
【详解】由题可知 ，解得 ，所以 的面积为 ，
故选：C
6．已知直线l过点 ，且垂直于x轴．若l被抛物线 截得的线段长为 ，则抛物线的焦点坐
标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将 代入 可得交点坐标，结合弦长为 可得 ，进而得到抛物线的焦点坐标即可
【详解】当 时， ，显然 ，解得 ，故 ，解得 ，故抛
物线 ，焦点坐标为
故选：A
7．已知抛物线C： ，过点 的直线l与抛物线C交于A，B两点，若 ，则直线l的
斜率是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】利用点差法求解即可.
【详解】设 ，则 作差得 .因为 ，所以P是线段AB的中点，所以 ，则直线l的斜率 .
故选：A
8．若直线 与抛物线C： 相切于点A，l与x轴交于点B、F为C的焦点．则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】联立直线与抛物线方程，消元，根据 求出 的值，即可求出 、 的坐标，从而求出 ，
，再根据直线的斜率与倾斜角的关系求出 ，即可得解；
【详解】解：依题意联立方程 ，即 ，
则 ，解得 ，此时直线 ，则 ，
所以 ，解得 ，即 ，
又 ，所以 ， ，即 ，
又 ，所以
所以 ；
故选：A
9．设坐标原点为 ，抛物线 与过焦点的直线交于A、B两点，则 （ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】求出焦点坐标，设直线 的方程为 代入抛物线方程中化简利用根与系数的关系，再结合向量的数量积公式求解即可
【详解】抛物线 的焦点为 ，设直线 的方程为 ， ，
由 ，得 ，
则 ，
所以 ，
故选：D
10．过点 作抛物线 的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用点差法及中点坐标求出直线AB的斜率，再根据点斜式求解即可.
【详解】解：设 ， ，由题意可知 ，
则 ，两式相减，得 ，
因为 是弦AB的中点，所以 ， ，
所以 ，即 ，直线AB的斜率为2，
所以弦AB所在直线的方程为 ，即 ，
故选：C.
11．已知抛物线 上一点 ，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点B，满足，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出点B坐标，利用向量关系求出 ，进而求出 .
【详解】由题意得： ，设 ，因为 ，所以 ，解得： ，故
，当 时， ，所以 .
故选：C
12．设抛物线 的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段
的中点为E，O为坐标原点，且 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
【答案】A
【解析】利用点差法求解，设 ，由题意得 ，相减化简得 ，得
，因为E在直线 上，所以 ，再由 ，可求得【详解】解：由题意可知 ，则直线 为 ，
设 ，由题意得 ，相减得：
，
因为E为线段 的中点，所以 ，即 ，
因为E在直线 上，所以 ，
又因为 ，所以 .
故选：A
【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，考查点差法的应用，属于基础题
13．斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形 的面积是（O为
坐标原点）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出直线方程，联立抛物线方程，求出A，B两点坐标，进而求出AB的长，再求出原点到直线
距离，求出三角形面积.
【详解】抛物线 的焦点坐标为 ，
则斜率为 的直线方程为： ，与抛物线方程联立得：
，
设 ，不妨设 ， ，
则 ，点O到直线AB的距离为 ，
所以△AOB的面积为
故选：B
14．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；
反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 ，一条
平行于x轴的光线 从点 射入，经过 上的点 反射后，再经 上另一点 反射后，沿直线 射出，
则 （ ）
A．7 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知 和抛物线 的焦点为 ，由此可知直线 的方程为 ，将直
线 的方程与抛物线方程联立，可求出 点坐标，再根据弦长公式即可求出结果.
【详解】由题意可知， 轴，
又光线 从点 射入，经过 上的点 ，
所以 ，
又抛物线 的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
联立方程 ，整理可得 ，所以 或
所以 ，所以 .
故选：D．15．已知抛物线 的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于M，N两点（
），作 ，垂足为K，则 外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，列出直线 的方程，联立直线与抛物线的方程，求出 点，利用两点间距离公式
与抛物线的性质，得到 为等边三角形，且边长 ，再利用正弦定理求出外
接圆的半径，进而得到 外接圆的面积.
【详解】由题得焦点 ， ，则直线MN的方程为 ，联立 解得
，作 ，则点K的坐标为 ， ，同理可得
.
由抛物线定义可知 ，所以 为等边三角形，所以 外接圆的半径 ，所以
外接圆的面积
故选：D
16．已知抛物线E: 的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且 ，则
直线l的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据抛物线方程求出准线方程，即可得到 的坐标，设直线 为 ， ，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据 ，即可得到 ，从而求
出 、 ，从而求出 .
【详解】解：抛物线 的准线为 ，所以 ，
由题意可知直线 的斜率存在，
故设直线 为 ， ， ，
则 ，即 ，
所以 ， ，
因为 ，即 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以 .
故选：B
17．已知抛物线 的焦点为F，准线为 ，过 的直线与抛物线交于A，B两点，与准
线 交于C点，若 ，且 ，则 （ ）
A．4 B．12 C．4或16 D．4或12
【答案】A
【分析】利用焦半径将线段比转化，设出直线方程，联立得两根之积，列出方程，求出 的值.
【详解】如图，过A，B向 作垂线，垂足分别为D，E，则 .设 ， ，因为 ， ，
所以 .因为 ，所以 ， .
设直线 的方程为 ，
联立方程组 得 ，则 .
因为 ，
所以 或 .
因为 ，所以 ，故 .
故选：A
18．已知抛物线 的焦点为F，A是E上位于第一象限内的一点，过点A作E的切线，交
x轴于P点，交y轴于Q点，若 ，则 （ ）．
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】设 ，利用导数的几何意义求出E在点A处的切线方程，根据抛物线的定义可得
为等腰三角形，进而得出结果.【详解】如图
，
设 ，由 ，得 ，
所以E在点A处的切线方程为 ，
从而 ， ．根据抛物线的定义，得 ，
又 ， ，所以 ，
从而 为等腰三角形，所以 ，
故选：C．
二、多选题
19．（多选）设抛物线 的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的
斜率可以是（ ）
A． B．
C．1 D．2
【答案】BC【分析】设直线方程，并与抛物线联立方程，再用根的判别式来处理，即可求得斜率范围.
【详解】 抛物线 的准线与x轴交于点Q，
准线为 ，Q点的坐标 ，
又直线l过点Q，且斜率必存在，
可设l： ，
联立 ，可得 ，
当 时，得 ，即交点为 ，
当 时，由 得，即 ，
解得， 或 ，
综上，k的取值范围是 ．
故选：BC.
20．已知抛物线 的焦点为 ，顶点为 ，点 在抛物线 上，若 ，则下列各选
项正确的是（ ）
A． B．以MF为直径的圆与 轴相切
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于AB，根据抛物线的定义结合已知条件判断，对于C，先求出点 的坐标，再利用两点间的
距离公式可求得结果，对于D，根据抛物线的性质结合三角形的面积公式求解.
【详解】对A：由题意可知 ，由 ，可得 ，故A正确；
对B：∵ 的中点的横坐标为 ，则到 轴的距离
∴以 为直径的圆与 轴相切，故B正确；对C：当 时， ，解得 ，即
则 ，故C错误；
对D： ，故D正确；
故选：ABD．
21．已知直线 与抛物线 交于 两点，若线段 的中点是 ，则（ ）
A． B．
C． D．点 在以 为直径的圆内
【答案】AB
【分析】直线与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标可构造方程求得 ，知A正确；
将中点坐标代入直线方程即可求得 ，知B正确；
根据直线过抛物线焦点，根据抛物线焦点弦长公式可知C错误；
根据长度关系可确定 ，由此可确定D错误.
【详解】对于A，设 ， ，
由 得： ， ，
又线段 的中点为 ， ，解得： ，A正确；
对于B， 在直线 上， ，B正确；对于C， 过点 ， 为抛物线 的焦点，
，C错误；
对于D，设 ，则 ，又 ，
， ， 在以 为直径的圆上，D错误.
故选：AB.
22．已知圆 ，直线 ，直线l与抛物线 交于A，B两点，
（ ）．
A．l被圆C截得的弦长的最小值为
B．l被圆C截得的弦长的最小值为
C．若弦AB中点的坐标为 ，则
D．若弦AB中点的坐标为 ，则
【答案】AD
【分析】对于A，B：因为直线 过定点 ，且 在圆C内，所以当直线l与CP垂直时，直线l
被圆C截得的弦长最短，结合垂径定理求解判断；对于C，D：利用点差法，设点运算求解判断．
【详解】因为直线 ， ，即过定点
，则 在圆C内，
所以当直线l与CP垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短．
因为圆C的半径为2， ，所以弦长的最小值为 ，A正确，B错误
设 ， ，则 ，
相减得 ，整理得 ．因为弦AB中点的坐标为 ，所以 ，得 ，C正确，D错误
故选：AD．
23．已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过焦点 的直线 交抛物线 于 两
点，则（ ）
A． 的准线方程为
B．若 ，则
C．若 ，则 的中点到 轴的距离为4
D．
【答案】ABD
【分析】利用抛物线的定义可分析A,B选项，利用直线与抛物线相交结合韦达定理，弦长公式,基本不等式
可分析C,D选项.
【详解】因为点 在抛物线 上，
所以 解得 ，所以抛物线方程为 ，
所以准线方程为 ，所以A正确;
由抛物线的定义得
由 ,所以 .所以B正确;
设 ，
联立 整理得 ，
由韦达定理得 ，
所以 ，解得 ，，所以C错误;
,
由抛物线定义知
，
所以 ,
当且仅当 时取得等号，所以D正确.
故选: ABD.
24．已知 ， 是抛物线 上的两点，若直线 过抛物线的焦点 且倾斜角
为 .则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】对于选项A，设直线 的方程为 ，代入 ，再利用韦达定理，即可得到结论；
对于选项B，利用抛物线的定义和选项A中的结论，表示出 即可；
对于选项C，由抛物线的定义，在直角三角形 中，运用余弦函数的定义，即可得到 的长，同理可
得 的长，即可判断；
对于选项D，选项A中的结论进行判断即可.
【详解】对于选项A，设直线 的方程为 ，代入 ，可得 ，所以 ， ，选项A正确；
对于选项B，因为 是过抛物线 的焦点的弦，
所以由抛物线定义可得 ，
由选项A知， ， ，
所以 .
即 ，解得 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， 也适合上式，所以 ，选项B正确；
对于选项C，不妨设 ，点A在x轴上方，设 ， 是 ， 在准线上的射影，
，
所以 ，同理可得 ，
所以 ，同理可证 时，等式也成立，选项C正确；
对于选项D，由上可知： ， ，
所以 ，选项D不正确，
故选：ABC.三、填空题
25．过抛物线 的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为 ，则线段AB的中
点到x轴的距离是 ．
【答案】3
【分析】由题设知直线 为 ，联立抛物线方程，应用韦达定理可得 的中点横坐标，进而得纵坐
标，即得.
【详解】由题意，抛物线为 ，则 ，即直线 为 ，
∴将直线方程代入抛物线整理得： ，
设 ， ，则 ，
故线段 的中点的横坐标为 代入直线 ，得 ，
∴线段 的中点到 轴的距离是 .
故答案为：3.
26．已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点， ，AB的
中点横坐标为4，则 ．
【答案】
【分析】根据抛物线定义有 ，结合已知即可求参数p的值.
【详解】由抛物线定义知： ，而AB的中点横坐标为4，即 ，所以 ，即 .
故答案为：
27．直线 与抛物线 交于两点 ， 为坐标原点，若 ，则
.
【答案】4
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合点在抛物线上进行求解即可.
【详解】因为直线 与抛物线 交于两点 ，
所以由 ，因为 在抛物线 上，
所以 ，即 ，
因此有 ，解得： ，所以 ，
故答案为：4
28．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点，过点 ， 分别作 的准线的
垂线，垂足分别为 ， ，线段 的中点为 ，且 ，则 .
【答案】16
【分析】设直线 的方程为 ，直线和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式即可求
解.
【详解】由题意得 ，易知直线 的斜率存在且不为0（当直线 的斜率不存在时，点 为 的准线与
轴的交点，此时 ，不符合题意；当直线 的斜率为0时，直线 与 只有一个交点，不符合题
意），
故设直线 的方程为 ，与 联立，消去 得 ，设 ， ，则 ，因为线段 的中点为 ，
所以 ，由 ，得 ，得 ，
解法一：所以 .
解法二：所以 ，设直线 的倾斜角为 ，则 ，故 .
故答案为：16.
29．已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于 两点，且 的中点到 轴的距
离为3，则 的最大值为 .
【答案】10
【分析】根据抛物线的性质，结合梯形中位线定理、两点间线段最短进行求解即可.
【详解】由题意知 ，抛物线 的准线方程为 .设 的中点为 ，分别过点 作准线的
垂线，垂足分别为 .因为 到 轴的距离为2，所以 .
由抛物线的定义知 ，所以 .
因为 ，所以 .
故答案为：10
30．设F为抛物线C: 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为 .
【答案】
【分析】求出直线 的方程，与抛物线方程联立后得到两根之和，结合焦点弦弦长公式求出 ，用点
到直线距离公式求高，进而求出三角形面积.
【详解】易知抛物线中 ，焦点 ，直线 的斜率 ，故直线 的方程为 ，
代入抛物线方程 ，整理得 .
设 ，则 ，由抛物线的定义可得弦长 ，原点 到直线 的
距离 ，
所以 的面积 .
故答案为：
31．已知抛物线 的准线与 轴交于点 ，过 的直线 与 交于 两点.若 ，
则直线 的斜率为 .
【答案】
【分析】设直线 的方程为 ，联立 ，利用韦达定理可得 ，再
结合向量坐标关系即可求解.
【详解】设直线 的方程为 .联立 ，得 .
由 ，解得 或 .
由韦达定理得 .
又 ， ，
即 为 中点，
所以 ，解得 .
故直线 的斜率为 .
故答案为： .
32．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 作 的一条切线，切点为 ，则 的面积为
【答案】
【分析】求出切点坐标后可求 的面积.
【详解】过点 作 的一条切线，该切线的斜率必定存在，可设为 ，
则切线方程为： ，由 可得 即 ，
所以 ，故 ，所以 ，
而 ，故 的面积为 .
故答案为：
33．抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与 交于 ， 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点
，则 .
【答案】6
【分析】要求 ，需要求出 ，设直线 的斜率为 ，根据条件表示出线段 的垂直平分
线方程，令 ，可得 ，又由点差法可得 ，从而可求出 ，即 也可知道，
从而可求出
【详解】由题意得 ，设线段 的中点为 ，
则 ，
设直线 的斜率为 ，
则线段 的垂直平分线方程为 ，令 ，得 ，即 ，
又 ，作差得
整理得 ，
所以 ，
∴ ．
故答案为6．
【点睛】本题考查直线与抛物线相交的弦的垂直平分线问题，关键在于点差法以及弦长公式的运用，考查
学生的计算能力，是基础题
34．若直线l经过抛物线 的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则
线段AB的长为 .
【答案】8
【分析】求出焦点坐标，设出直线 方程为 ，并设 ，直线方程代入抛物线方程，
由韦达定理得 ，由 中点纵坐标求得 值，由弦长公式得结论．
【详解】抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线交于两点，则其斜率存在，
设 的方程为 ， ，
则由 得 ，
， ，
又 ，所以 ，即 ， ，
所以 ．故答案为：8．
35．已知抛物线 上两点A，B关于点 对称，则直线AB的斜率为 .
【答案】2
【分析】根据点差法求得直线AB的斜率，并验证判别式大于零.
【详解】设 ， 代入抛物线 ，得 ，
则 ①，
因为两点A，B关于点 对称，则 ，
所以由①得 ，
直线AB的斜率为2.
则直线AB： 与代入抛物线 联立，得 ， ，解得
.
所以直线AB的斜率为2.
故答案为：2.
36．若A，B是抛物线 上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点 ，则 的最大值
为 ．
【答案】6
【分析】设 ， ，AB中点 ，利用点差法得到直线AB的斜率，再利用中垂线求
得 ，然后利用抛物线的定义，由 求解.
【详解】解：设 ， ，AB中点 ，
设斜率为k，则 ，相减得： ，
∵ ，即 ，
设抛物线的焦点为F， ，
∴ ，当且仅当A，B，F三点共线时等号成立，
此时 满足在抛物线内部，
∴ 的最大值为6，
故答案为：6．
四、解答题
37．已知抛物线 的焦点为F，点F到抛物线准线距离为4．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)已知 的三个顶点都在抛物线E上，顶点 ， 重心恰好是抛物线E的焦点F．求 所
在的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用抛物线准线到焦点的距离等于 即可求解；
(2) 设 ， ，根据题意和重心的性质即可求解.
【详解】（1）由题意得 ，∴抛物线方程为：
（2）设 ， ，由重心坐标公式得 ，∴CD中点坐标为 ，两式相减得 ，
方程： ，
，∴ 方程： .
38．直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 ．
（1）证明： 经过 的焦点，并求 的值；
（2）若直线 与 交于 ， 两点，且弦 的中点的纵坐标为 ，求 的斜率．
【答案】（1）证明见解析； ；（2） ．
【分析】（1） 的焦点为 ，且直线 经过点 ，即可得 经过 的焦点，然后联立
直线与抛物线的方程消元，韦达定理可得 ，然后可求出 ；
（2）利用点差法求解即可.
【详解】（1）证明：因为 的焦点为 ，且直线 经过点 ，
所以 经过 的焦点
联立 ，得
设 ， ，则
则 ，解得
（2）由（1）知 的方程为 ，
设 ， ，则 ，两式相减，得 ．
因为 ，
所以 的斜率为 ．
39．已知抛物线 过点 ．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线焦点 作直线 与抛物线交于 两点，已知线段 的中点 横坐标为4，求弦 的长度．
【答案】(1) ；
(2)10.
【分析】（1）把给定点的坐标代入抛物线方程，求出p值作答.
（2）由（1）求出焦点 ，再根据给定中点横坐标求出 横坐标和，结合抛物线定义求解作答.
【详解】（1）因为抛物线 过点 ，则有 ，解得 ，
所以抛物线的标准方程为 .
（2）由（1）知，抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
设点 的横坐标分别为 ，而线段 的中点 横坐标为4，则有 ，
因为点 是过抛物线焦点 的直线 与抛物线的两个交点，
因此 ，
所以弦 的长度为10.
40．已知抛物线 ： 的焦点坐标为 ．
(1)求 的方程；
(2)直线 ： 与 交于A，B两点，若 （ 为坐标原点），求实数 的值．
【答案】(1)(2)7
【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标即可求解 ，进而可得抛物线方程，
（2）联立直线与抛物线的方程，得 ， ，进而根据向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】（1）由抛物线的定义可得 ，所以 ，
所以抛物线 的方程为 ．
（2）设 ， ．
联立方程组得 消去 得 ，
由 ，得 ．
所以 ， ．
所以 ，
解得 或 （舍去）．
故实数 的值为7．
41．已知抛物线 ： 的焦点到顶点的距离为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知过点 的直线 交抛物线 于不同的两点 ， ， 为坐标原点，设直线 ， 的斜率分别
为 ， ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线的几何性质有焦点到顶点的距离为 ，从而即可求解；（2）当直线 的斜率不存在时，不符合题意；当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ， ，
，联立抛物线的方程，由韦达定理及两点间的斜率公式即可求解.
【详解】（1）解：依题意， ，解得 ，
∴抛物线 的方程为 ；
（2）解：当直线 的斜率不存在时，直线 与抛物线 仅有一个交点，不符合题意；
当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ， ， ，
由 消去 可得 ，
∵直线 交抛物线 于不同的两点，
∴ ，由韦达定理得 ，
∴ .
42．设直线 与抛物线 相交于 两点，且 .
(1)求抛物线方程；
(2)求 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，消元得出韦达定理，将 表示为坐标形式，列方程化简计
算，可得抛物线方程；
（2）利用三角形的面积公式，结合韦达定理，根据 的取值，得出面积的最小值．
【详解】（1）设直线与抛物线交于点 ，
联立 得 ，显然 ，所以 ，因为 ，
所以 ，即 ，
化简得 ，代入得
解得 ，
所以抛物线方程为
（2）因为直线 过定点 ，
所以 ，
当且仅当 时， 的面积取得最小值为
43．已知抛物线 （ ）的焦点为 ，点 为抛物线上一点，且 .
(1)求抛物线的方程；
(2)不过原点的直线 ： 与抛物线交于不同两点 ， ，若 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线过点 ，且 ，利用抛物线的定义求解；
（2）设 ，联立 ，根据 ，由 ，结合韦达定理求解.
【详解】（1）由抛物线 过点 ，且 ，
得
所以抛物线方程为 ；
（2）由不过原点的直线 ： 与抛物线交于不同两点 ，设 ，联立
得 ，
所以 ，
所以 ，
所以
因为 ，
所以 ，
则 ，
，即 ，
解得 或 ，
又当 时，直线与抛物线的交点中有一点与原点 重合，
不符合题意，故舍去；
所以实数 的值为 .
44．已知抛物线 为坐标原点，过抛物线焦点 的直线交抛物线于 两点.
(1)若直线 的斜率为1，求 ；
(2)若 与 的面积之差的绝对值为 ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）先根据题意得到直线 的方程，再联立抛物线方程得到 的值，从而利用弦长公
式即可得解；
（2）假设直线 为 ，联立抛物线方程得到 的值，再分别求得 与 的面积关于 的表达式，进而得到关于 的方程，解之即可得解.
【详解】（1）依题意，设 ，
因为抛物线 的焦点为 ，
又直线 的斜率为1，所以直线 方程为 ，
联立 ，消去 ，得 ，
则 ，
所以 .
（2）易知直线 斜率为 时，与抛物线 只有一个交点，不合题意；
设直线 方程为 ，
联立 ，消去 ，得 ，
则 ，
因为 ， ，
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 或 ，即 或 .
45．抛物线 的焦点 到准线 的距离为 .
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点 的直线（斜率存在且不为0）交抛物线 于 两点，线段 的中垂线交抛物线的对称轴于点 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义即可得解；
（2）不妨取抛物线的方程为 ，设直线 的方程为 ， 、 ，联立直线与
抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出 ，再求出 中垂线方程，即可求出 点坐
标，即可求出 ，从而得解.
【详解】（1）因为抛物线 的焦点 到准线 的距离为 ，所以 ，
根据建系方案的不同，抛物线的标准方程有四种可能，
分别是 ， ， ， .
（2）在平面直角坐标系中，抛物线的位置并不影响 的取值，因此不妨取抛物线的方程为 ，此
时焦点 ，
根据题意，直线 的斜率存在且不为 ，因此设直线 的方程为 ，
与抛物线 联立，得关于 的一元二次方程 ，
则 ，设 、 ，
则 ， ， ，
，则 ，
线段 的中点坐标为 ，中垂线方程为 ，
令 ，解得 ，即中垂线与 轴交于 ，
所以 ，则 .
46．已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在 轴的正半轴上，圆 经过抛物线 的焦点.
(1)求 的方程；
(2)若直线 与抛物线 相交于 两点，过 两点分别作抛物线 的切线，两条切线相交
于点 ，求 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦点位置设出抛物线的标准方程，把焦点坐标代入圆的方程，求解即可；
（2）设 两点坐标，直线与抛物线联立方程组，由韦达定理得根与系数的关系，表示出弦长，利用导
数求抛物线 过 两点的切线，求出交点 ，点到直线距离得三角形的高，根据面积的表达式求最小值.
【详解】（1）由题意，设 的方程为 ，
因为圆 经过抛物线 的焦点 ，所以 ，解得 ，
所以 的方程为 .
（2）如图所示，
设 ，则 ，联立方程组 整理得 ，
所以 ，且 ，
所以 .
由 ，可得 ，则 ，所以抛物线 的过点A的切线方程是 ，
将 代入上式整理得 ，
同理可得抛物线 的过点 的切线方程为
由 解得 ，所以 ，
所以 到直线 的距离 ，
所以 的面积 ，
当 时， ，所以 面积的最小值为 .
47．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知直线 交抛物线 于 两点，且点 为线段 的中点，求直线 的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线定义可求得 ，即可求出抛物线 的方程；
（2）由弦中点坐标为 并利用点差法即可求得直线 的斜率为 ，便可得直线方程.
【详解】（1）点 在抛物线 上，
由抛物线定义可得 ，解得 ，
故抛物线 的标准方程为 ．
（2）设 ，如下图所示：
则 ，两式相减可得 ，
即 ，
又线段 的中点为 ，可得 ；则 ，故直线 的斜率为4，
所以直线 的方程为 ，
即直线 的方程为 ．
48．已知抛物线 是抛物线 上的点，且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知直线 交抛物线 于 两点，且 的中点为 ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 的长，由几何知识即可求出抛物线 的方程；
（2）设出两点坐标和直线的斜率，将两点代入抛物线方程，由点差法求出斜率，根据 的中点即可求出
直线 的方程.
【详解】（1）由题意，
在抛物线 中， ，
由几何知识得，
，
解得： ，
故抛物线 的方程为： .
（2）由题意及（1）得，
直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，
则 ，
两式相减得 ，整理得 ，
因为 的中点为 ，
∴ ，
∴直线 的方程为： ，
即 ，经检验，满足题意.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．已知抛物线 ，过点 的直线l交C于A，B两点，则直线 ， （O为坐标原点）的斜
率之积为（ ）
A． B．8 C．4 D．
【答案】A
【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，再结合韦达定理代入计算，即可得到结果.
【详解】设l的方程为 ，联立 ，得 ，则 ，
所以 ，所以 ．
故选：A
2．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝（ ）
A．2或－2 B．2或－1
C．2 D．3
【答案】C
【分析】将直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理以及中点坐标公式求解.
【详解】设A，B两点的坐标为 ， ，将直线方程与抛物线方程联立
得 ，则 ，解得 ，
由已知得 ，解得 或 （舍去）．
故选：C.
3．已知抛物线 ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的
横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，进而根据题意，结合中点弦的问题得 ，进而再求解准线方程即可.
【详解】解：根据题意，设 ，
所以 ①， ②，
所以，① ②得： ，即 ，
因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，
所以 ，即 ，
所以抛物线 ，准线方程为 .
故选：B
4．已知抛物线的方程为 ，过其焦点 的直线交抛物线于 两点，若 ， （ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【分析】设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和焦点弦公式代入计算可求得 .
【详解】如下图所示：易知 ，不妨设 ；
设直线 的方程为 ，与 联立消去 得，
,
由韦达定理可知 ；
由 可得 ；联立解得 ，即 ；
根据焦点弦公式可得 ；
代入计算可得 .故选：C
5．已知抛物线 ，点 在抛物线上，斜率为1的直线交抛物线于 、 两点．直线 、
的斜率分别记为 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由点坐标求得 ，设 ，直线 方程为 ，直线方程与抛物线方程联立方
程组消元后应用韦达定理，此结论代入 后化简可得．
【详解】由题意 ， ，抛物线方程为 ，设 ，直线 方程为 ，
由 得 ， ， ，
， ，
， ，
所以
．
故选：B．
6．如图，设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线交抛物线 于 两点，交
于点 ，且 是 的中点，则 （ ）
A．2 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】由题意作出 垂直于准线 ，然后得 ，得 ，写出直线方程，联立方程
组，得关于 的一元二次方程，写出韦达定理，代入焦点弦公式计算.
【详解】如图，过点 作 垂直于准线 ，由抛物线定义得 .
因为 是 的中点，所以 ，所以 ，焦点 ，则直线 的方程为 ，联立
消去 得 .设 ，
所以 ，得 ，
故选：D.
7．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为锐角的直线 与 交于 、 两点，过
线段 的中点 且垂直于 的直线与 的准线交于点 ，若 ，则 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设直线 的方程为 ，其中 ，设点 、 、 ，将直线 的方
程与抛物线 的方程联立，列出韦达定理，求出 、 ，根据条件 可求得 的值，即
可得出直线 的斜率.
【详解】抛物线 的焦点为 ，设直线 的方程为 ，其中 ，
设点 、 、 ，
联立 可得 ， ， ，所以， ，
， ，
直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
所以， ，
因为 ，则 ，因为 ，解得 ，
因此，直线 的斜率为 .
故选：C.
8．已知抛物线 的焦点为F，定点 ，点P是抛物线上的动点，则当 的值最小时，
（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】设 到准线的距离为 ，则 ．然后求出 ．判断当 与抛物线
相切时， 最小，即 取得最小值．利用函数的对数求解即可．
【详解】抛物线 的准线方程为
设 到准线的距离为 ，则 ．．
当 与抛物线 相切时， 最小，即 取得最小值．
设过 点的直线 与抛物线相切 ，代入抛物线方程得
，
，解得 ．
即 ，解得 ，把 代入 得 ．
或 ．
．
故选：D．
9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 的焦点为F，若A、B为抛物线上两点，且线段
AB的垂直平分线交x轴于点M．当 ， 时，抛物线的方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据焦半径公式可得 ，结合点斜式与两直线垂直的关系可得 ，进
而联立求解可得 .
【详解】设 ， ， ．①
中垂线方程为 ，令 有 ，解得
．②
由①②解得 ．故选：D
10．已知抛物线C： 的焦点 ，直线 与该抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），
以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D.若 ，则点E到y轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设直线 的方程 与抛物线的方程联立，运用韦达定理和
弦长公式、直线和圆相切的条件可得 的值，结合等腰三角形的性质可得直线的倾斜角为 ，从而可
求得 的值，由此确定 的坐标，即可得点E到y轴的距离．
【详解】过 作 垂直于准线为
抛物线 的焦点为 ，所以 ，即 ，抛物线为
准线方程为 ，
设直线 的方程为 ，与抛物线的方程联立，可得 ，设 , ， , ，可得 ，
则 ，
所以 的中点为 ，
，
由圆 与准线相切，可得 ，
两边平方，化简可得 ，
即直线 的方程为 ，可得直线 经过焦点 ，则
由圆 与准线相切于 ，可得 ，
由 准线 ，且 ，
可得 ，
即 ，
由 ，可得 ，
即有 ， ，
直线 的斜率为 ，所以 ，则
所以点E到y轴的距离为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线焦点弦性质运用，解题关键是设直线方程，将直线方程代入抛物
线方程整理后应用韦达定理求出 ，从而得焦点弦中点坐标．再根据切线性质与弦长关系，得
到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
11．已知抛物线 的焦点为 ，过 且斜率大于零的直线 与 及抛物线 的所有公共点从左到右分别为点 ，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】设直线 的方程为 ，代入 ，化简后由 求出 的值，从而可得直线
方程，再代入 化简，结合弦长公式可得答案.
【详解】由题意可得 ，设直线 的方程为 ，
由题意可得直线 与抛物线 必有2个交点，
与抛物线 相切，联立方程组 ，可得 ，
所以 ，解得 ，故直线 的方程为 ，
与抛物线 方程联立 ，得 ，
设 ，则 ，所以 .
故选：C.
12．已知 为抛物线 的焦点，过 的直线 交抛物线 于 两点，若 ，则
（ ）A．1 B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】由抛物线的定义求得 点的横坐标，代入抛物线得 点坐标，从而求得直线 的方程，联立抛
物线与直线即可得 点的横坐标，求得 ，从而可得 的值.
【详解】如图，过 作 准线于 ，过 作 准线于 ，
由抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由抛物线的定义可得 ，所以 ，代入抛物线方程得
若 ，直线 的斜率为 ，则直线 方程为 ，即
联立 得 ，则 ，所以 ，
则 ；
若 ，直线 的斜率为 ，则直线 方程为 ，即联立 得 ，则 ，所以 ，
则 ；
综上， .
故选：C.
二、多选题
13．过抛物线C： 的焦点F作两条互相垂直的直线 和 ，设直线 交抛物线C于A，B两点，直线
交抛物线C于D，E两点，则 可能的取值为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
【答案】AB
【分析】由题意可知直线 ， 的斜率均存在且均不为0，所以不妨设 的斜率为k，则 ： ， ：
，然后将两直线方程分别代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式表示出
，再利用基本不等式可求得结果.
【详解】由题意可知直线 ， 的斜率均存在且均不为0．因为抛物线C的焦点为 ，
所以不妨设 的斜率为k，则 ： ， ： ．
由 消去y得 ．设 ， ，
则 ．
由抛物线的定义，知 ．同理可得 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，
故选：AB．
14．已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 交抛物线于 、 两点，则（ ）
A．抛物线 的准线方程为
B．线段 的中点在直线 上
C．若 ，则 的面积为
D．以线段 为直径的圆一定与 轴相切
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的标准方程与准线方程的关系可判断A选项的正误；利用点差法可判断B选项的正误；
利用弦长公式以及三角形的面积公式可判断C选项的正误；利用抛物线的焦半径公式可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，抛物线 的准线方程为 ，A错；
对于B选项，设点 、 ，设线段 的中点为 ，
则 ，两式作差得 ，可得 ，
所以， ，故 ，B对；
对于C选项，设直线 的方程为 ，联立 ，可得 ，，解得 ，由韦达定理可得 ， ，
，解得 ，
点 到直线 的距离为 ，故 ，C对；
对于D选项，设线段 的中点为 ，则 ，
由抛物线的定义可得 ，即 等于点 到 轴距离的两倍，
所以，以线段 为直径的圆一定与 轴相切，D对.
故选：BCD.
15．已知O为坐标原点，过抛物线C： 焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一
象限，若 ，则（ ）
A．直线AB的斜率为 B．
C． D． 为钝角
【答案】CD
【分析】由 ，以及抛物线方程求得 , ，再由斜率公式判断A；表示出直线 的方程，
联立抛物线求得 ， ，即可求出 判断B；由抛物线的定义求出 ，即可判断C；由
，求得 为钝角，可判断D．
【详解】对于A，易得 ， ，由 ， 则 的横坐标为 ，
代入抛物线可得 ，即 ， ，则直线 的斜率为 ，故A错误；对于B：由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，
设 ， ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，
解得 ，则 ， ，
故 ，故B错误；
对于C, ，故C正确；
， ， ，则 为钝角，故D正确．
故选：CD．
16．已知 是抛物线 上两动点， 为抛物线 的焦点，则（ ）
A．直线 过焦点 时， 最小值为4
B．直线 过焦点 且倾斜角为 时（点 在第一象限），
C．若 中点 的横坐标为3，则 最大值为8
D．点 坐标 ，且直线 斜率之和为 与抛物线的另一交点为 ，则直线， 方程为：
【答案】ACD
【分析】对于A，由题意，过焦点，则垂直 轴时最小，可得答案；
对于B，已知直线的倾斜角，可根据抛物线焦半径公式，可得答案；
对于C，根据三角形三边性质，可得不等式，由于中点坐标已知，根据抛物线定义与梯形中位线，可得答案；
对于D，利用中点弦的斜率公式，可求得点 的纵坐标，进而求得该点的坐标，根据可以，求得 的斜
率，同样方法，可得点 的坐标，可得答案.
【详解】对于A选项，直线 过焦点 ，当 垂直于 轴时， 取最小值 ，故正确；
对于B选项，由题意，作图如下：
则 ， 轴， 轴，即 ， ，
， ，即 ， ，
， ， ，
，故错误；
对于C选项，由于 为两动点，所以 ，当且仅当直线 过焦点 时等
号成立，故正确；
对于D选项，依题意， ，故 ，即 ，由题意， ，
同理可得 ，故直线 方程为 ，故正确.
故选：ACD.17．如图，过抛物线 的焦点F，斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，与抛物线准线交于C点，
若B是AC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】设 在准线上的射影分别为 ,连接 ,设 ,直线 的倾斜角为 ,则
, 由 求得 及 ；将直线方程与抛物线方程联立求得
，由过焦点的弦长公式求得 .
【详解】
如图,设 在准线上的射影分别为 ,连接 ，
设 ,直线 的倾斜角为 ,则 ，
所以
,解得 ，所以 ,故 ，故B正确.
由 得 ,不妨设直线方程为 .
将直线方程与抛物线方程联立得 ，
设 ,进而可解得 ，
于是 .故C正确.
故选：BC
三、填空题
18．已知抛物线方程为 ，若过点 的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是
.
【答案】
【分析】设出 的方程，并与抛物线方程联立，结合判别式求得正确答案.
【详解】依题意可知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ①，
当 时，①可化为 ，此时 ，即直线 与抛物线相交于 .
当 时，由于①有解，
所以 ，
即 ，解得 且 .
综上所述，直线l的斜率的取值范围是 .
故答案为：19．已知抛物线顶点在原点，焦点为 ，过 作直线 交抛物线于 、 两点，若线段 的中点横坐
标为2，则线段 的长为
【答案】6
【分析】设 ，利用中点公式即得 ，再根据焦点弦公式得到线段 的长.
【详解】 是抛物线 的焦点，
准线方程 ，
设 ，线段 的中点横坐标为2, .
， 线段 的长为6.
故答案为：6.
20．已知抛物线C： ，过点 的直线l与抛物线C有唯一公共点，则这样的直线有 条．
【答案】3
【分析】直线l与抛物线C有唯一公共点．分两类情况：一类是直线l平行于抛物线对称轴，另一类是直
线l与抛物线C相切.
【详解】由题意知，直线的斜率存在.
设直线斜率为 ，则切线方程为 ，
联立
消x得 ，
当 时，此时 ，与抛物线有唯一公共点；
当 时，由 ，解得 ，即过M点的切线有两条．
综上可知，满足条件的直线有3条．
故答案为：3.
21．已知过抛物线 的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点， ，则
的值为 ．【答案】
【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，再由抛物线的焦半径公式代入计算，即可得
到结果.
【详解】设 ，则直线 的方程为 ，
联立直线与抛物线方程 ，消去 可得， ，
由韦达定理可得， ，
且 ，
则 ，
所以 .
故答案为： .
22．过抛物线 的焦点作直线 ， 交 于 、 两点，若线段 中点的纵坐标为2，则
．
【答案】8
【分析】设直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，利用韦达定理求出 值，再利
用弦长公式，即可求解．
【详解】解： 抛物线方程为 ， 抛物线的焦点坐标为 ，
设直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，易得 ，
设 ， ， ， ，则 ， ，
， ，
则 ．
故答案为：8．
23．已知抛物线 的焦点为F，过F的直线 与抛物线交于A，B两点，且 ，O为坐标原
点，则 的面积为 .
【答案】
【分析】设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，韦达定理，利用向量的坐标运算求出直线的斜率，再
由 求出面积.
【详解】由已知得 ，设直线 的方程为 ，
代入 整理得 ，设 ， ，
故 ①， ②，
又 ，故 ③，由①②③解得 ，
此时， ，点O到直线 的距离为 ，
故 的面积为 .故答案为： .
24．已知A，B，M，N为抛物线 上四个不同的点，直线AB与直线MN互相垂直且相交于焦点F，
O为坐标原点，若 的面积为2，则四边形AMBN的面积为 ．
【答案】
【分析】不妨设 ，且 ，根据 的面积为2结合抛物线方程可得 点坐标，从而确定直
线 方程，联立直线与抛物线结合焦点弦坐标运算可得弦长 ，同理得 ，从而可得四边形AMBN
的面积.
【详解】不妨设 ，且 ．
抛物线 的焦点 ，
因为 的面积为 ，所以 ，代入抛物线方程可得 ，则 ．
直线AB的方程为 ．由 得 ，
所以 ，于是有 ．
直线MN的方程为 ，同理可得 ．因为 ，所以四边形AMBN的面积为 ．
故答案为： .
25．已知抛物线 与圆 在x轴上方的两个交点分别记为A、B，若线段AB的
中点在直线y＝x上，则p的值为 ．
【答案】
【分析】设 ，联立抛物线和圆的方程，并利用韦达定理可得 ，结
合线段AB的中点在直线y＝x即可得到答案
【详解】解：设 ，
联立 与 可得 ，
由韦达定理得 ，
的中点 ，由条件可知 ，即 ，
故 ，
将 代入化简得 ，
又 ，故 ，从而
故答案为：
26．已知抛物线 的准线方程为 ，在抛物线C上存在A､B两点关于直线
对称，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则 的值为 .
【答案】5
【分析】先运用点差法得到 ，然后通过两点距离公式求出结果．【详解】解：抛物线 的准线方程为 ，
所以 ，解得 ，
所以抛物线的方程为 ，
设点 ， ， ， ， 的中点为 ， ，
则 ， ，
两式相减得 ，
即 ，
又因为 ， 两点关于直线 对称，
所以 ，
解得 ，可得 ，
则 ，
故答案为：5．
27．已知 为抛物线 的焦点，点 为抛物线 外一点，过点 作抛物线 的两条切线，切点分
别为 ，若 ，则 的最小值为 .
【答案】4
【分析】设直线 的方程为 ，与抛物线联立，由 ，得到 ，进而得
到直线 的方程为 ，同理直线 的方程为 ，联立求得点P坐标，利用向量运算
求解.【详解】解：由题可知直线 斜率存在，设直线 的方程为 .
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以直线 的方程为 ，同理可得直线 的方程为 .
由 可得
由 可得
由 可得
所以 ，
所以 ，
所以 （当且仅当 ，
即 时，等号成立），所以 的最小值为4.
故答案为：4
四、解答题
28．已知拋物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 的直线 与抛物线交于 两点，且点 是线段 的中点，求 的面积.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）将点P到焦点的距离转化为到准线的距离，求出p，得抛物线方程；
（2）利用点差法，求出直线AB的方程，与抛物线联立，求出三角形的面积.
【详解】（1）由定义知 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）设 ， ，
因为 是线段 的中点，所以 ，
，则 ，
所以直线AB的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，设直线 与 轴交于点 ，则 ，
联立 ，得 ，所以 ， ，
所以 ， .
29．已知直线 与抛物线 交于 两点， .
(1)求 ；
(2)设抛物线 的焦点为 ，过点 且与 垂直的直线与抛物线 交于 ，求四边形 的面积.
【答案】(1)2
(2)32
【分析】（1）联立 和抛物线方程，可得根与系数关系式，利用弦长公式即可求得答案；
（2）求出直线 的方程，联立抛物线方程可得根与系数关系式，求出 ，根据四边形面积的计算可得答案.
【详解】（1）设 ，
由 ，可得 ，
易得 ，所以 ，
则 ，
即 ，因为 ，所以 .
（2）由题意可得抛物线 的焦点为 ，直线 的方程为 .
联立 ，化简可得 ，则 ，
设 ，则 ，
则 ，
因为 ，所以 .
30．从抛物线 上各点向x轴作垂线段.
(1)求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线；
(2)直线 与抛物线 交于A、B两点，求证：原点O在以AB为直径的圆上.【答案】(1)轨迹方程是 ，它是顶点在原点，焦点为 ，开口向右的抛物线
(2)证明见解析
【分析】（1）先设出垂线段的中点为 ， 是抛物线上的点，把他们坐标之间的关系找出
来，代入抛物线的方程即可；
（2）联立直线方程与抛物线方程，得出 ， ，求出 即可得证.
【详解】（1）解：设抛物线上的点 ，过M作 轴于Q，
设线段MQ中点 ，
于是有 ，而 ，即 ，从而得 ，
当M为抛物线顶点时，可视为过M作x轴垂线的垂足Q与点M重合，其中点P与M重合，坐标也满足
上述方程，
所以垂线段的中点的轨迹方程是 ，它是顶点在原点，焦点为 ，开口向右的抛物线.
（2）证明：由 得 ，设 ， ，
则有 ， ，
，即 ，
所以 ，
所以原点O在以AB为直径的圆上.
31．已知抛物线 的焦点F位于直线 上.
(1)求抛物线方程；
(2)过抛物线的焦点F作倾斜角为 的直线，交抛物线于A，B两点，求AB的中点C到抛物线准线的距离.【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）先求出焦点进而求出 ，从而求出抛物线的方程；
（2）先根据抛物线的焦点坐标和直线的倾斜角可表示出直线 的方程，然后联立直线方程与抛物线方程
可得到两根之和，进而可得到中点 的横坐标，求出 的中点 到抛物线准线的距离．
【详解】（1）因为抛物线 的焦点 位于直线 上．
故令 ，则 ，
所以焦点坐标为 ，故 ，所以 ，
所以抛物线的方程为： ；
（2）抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ，
由题意得 ，又因为其经过焦点
故直线 的方程为 ，
设点 、 ．
将 代入 得 ．
则 ．
故中点 的横坐标为3．
所以中点 到准线的距离为 ．
32．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线于 ， 两点，当 轴时，
．
(1)求抛物线 的方程；
(2)当线段 的中点的纵坐标为 时，求直线 的方程．
【答案】(1)(2) ．
【分析】（1）由题意得到 ， ， 两点的横坐标为 ，可得 求解；
（2）由（1）得 ，且直线 的斜率存在，设 ， ，利用点差法求解.
【详解】（1）由题意得 ，
当 轴时， ， 两点的横坐标为 ，
当 时， ，解得 ，
，解得 ，
故抛物线 的方程为 ；
（2）由（1）得 ，且直线 的斜率存在，
设 ， ，且 ，
则 ， ，
，即 ，
线段 的中点的纵坐标为 ，
，即 ，
，即直线 的斜率 ，
直线 的方程为 ，即 ．
33．已知抛物线C： 的焦点为F，直线l： 与抛物线C交于A，B两点.
(1)若 ，求 的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.【答案】(1) ；
(2) .
【分析】(1)联立直线与抛物线，根据弦长公式求出 ，根据点到直线的距离公式求出点 到直线的距
离，根据三角形面积公式可求得结果；
(2)设直线 的方程为 代入抛物线，利用判别式大于0可得 ，
根据韦达定理求出 的中点坐标，将其代入直线 得到 与 的关系式，根据 的范围可得 的范围．
【详解】（1）抛物线 的焦点为 ，
时，直线 ，
联立 ，可得 ，
设 ， ， ， ，
则 ， ．
，
点 到直线 的距离距离 ，
的面积 ．
（2）∵点 ， 关于直线 对称，∴直线 的斜率为 ，
∴可设直线 的方程为 ，
联立 ，整理可得 ，
由 ，可得 ，设 ， ， ， ，则 ，
故 的中点为 ，
∵点 ， 关于直线 对称，∴ 的中点 ，在直线 上，
∴ ，得 ，∵ ，∴ ．
综上， 的取值范围为 ．
34．已知 为坐标原点，过抛物线 焦点 的直线与 交于 两点，点 在第一象限，
且 .
(1)求直线 的斜率；
(2)若 ，求抛物线 的方程.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）设 ，由题意可得 ，即有 ，从而可得 点坐标，再根据
，求解即可；
（2）由题意可设线 的方程为 ，即 ，联立直线与抛物线方程可得 两点的
坐标，再根据两点的距离公式求解即可.
【详解】（1）解：设
因为 ，所以 到准线 的距离为
即 ，所以 ,
代入抛物线方程可得 ，即 ，又因为 ，所以直线 的斜率为 ；
（2）解：由（1）知，直线 的斜率为 ，
设直线 的方程为 ，
则 ，
由 ，得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以该抛物线方程为 .
35．已知抛物线C： （ ）上一点 （ ）与焦点的距离为2.
(1)求p和m；
(2)若在抛物线C上存在点A，B，使得 ，设 的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为 ，
求点D的坐标.
【答案】(1) ，
(2) 或 .
【分析】（1）根据抛物线的性质，求出 ，然后将 代入抛物线的方程即可求出m；
（2）根据D到抛物线C的准线的距离求出D的横坐标，将 转为 ，从而得到
，两者结合即可求出 ，即可求出点D的坐标.【详解】（1）设抛物线C的焦点为F，根据题意可知 ，解得 .
故抛物线C： .
因为M在抛物线C上，所以 .又因为 ，所以 .
（2）设 ， ， ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .
易知 ， 一定存在，则 ， .
由 ，得 ，即 ，化简得 ，即
因为D到抛物线C的准线的距离 ，所以 ，
则 ，即 ， .
，即 ，
解得 或 ，则 或 .
故点D的坐标为 或 .
36．已知抛物线 的焦点为F，准线 与y轴的交点为M，动点A（异于原点O）在抛物线
C上，当 与y轴垂直时， .
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线 与抛物线C交于另一点B，证明：直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数.
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】（1）求出点 坐标，进而由 得出抛物线C的方程；
（2）设直线 ，代入抛物线C的方程，结合韦达定理以及斜率公式求解即可.
【详解】（1）抛物线 的焦点为 ，
当AF与y轴垂直时，易得 ，即 ，
∴抛物线C的方程为 .
（2）证明：由（1）知， ， ，
设点 ， ，
设直线 ，代入抛物线C的方程得， ，
则 ， ，
∴ .37．已知抛物线 ： 的焦点为 为 上的动点， 垂直于动直线 ，垂足为
，当 为等边三角形时，其面积为 .
(1)求 的方程；
(2)设 为原点，过点 的直线 与 相切，且与椭圆 交于 两点，直线 与 交于点 ，
试问：是否存在 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据正三角形得三角形的边长，再根据抛物线的定义进行求解；
（2）设 ，则 ，可得 ，由导数的几何意义可得 ，设 ， ，
中点 ，由点差法可得 ， ，从而可以求出 .
【详解】（1）∵ 为等边三角形时，其面积为 ，
∴ ，解得 ，
根据 和抛物线的定义可知， 落在准线上，即 ，
设准线和 轴交点为 ，易证 ，于是 ，∴ 的方程为 ；
（2）假设存在 ，使得 ，则 线为段 的中点，
设 ，依题意得 ，则 ，
由 可得 ，所以切线 的斜率为 ，
设 ， ，线段 的中点 ，
由 ，可得 ，
所以 ，
整理可得： ，即 ，所以 ，
可得 ，又因为 ，
所以当 时， ，此时 三点共线，满足 为 的中点，
综上，存在 ，使得点 为 的中点恒成立， .
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，点 ，则 一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．有一个角为 的三角形 D．面积为定值的三角形
【答案】B
【分析】设 ， ，过点 的直线方程为 ，联立方程组可证 ，进而易判断A，B，C，可证 的面积不为定值，可判断D．
【详解】设 ， ，过点 的直线方程为 ，
将直线方程与抛物线 联立得： ， ，
， ，
点 ， ， ，
，
所以 ，故B正确．
当直线无限接近平行于对称轴时，显然 ，
不一定是等腰三角形，同时 无限接近 ，故AC不正确；
点 到直线 的距离为 ，
，
不为定值．故D错误．
故选：B．【点睛】关键点点睛：本题的关键点是设过点 的直线方程为 ，联立方程组利用韦达
定理解决问题.
2．在平面直角坐标系 中，过 轴正方向上一点 任作一直线，与抛物线 相交于 两点，
过线段 的中点 作一条垂直于 轴的直线，与直线 交于点 ，若三角形 的面积为 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设直线 的方程为 , 与 联立消去 得, , 设 , , ,
利用韦达定理,表达出 坐标, 然后求解三角形的面积, 推出 与 的表达式，即可解得 取值范围.
【详解】设直线 的方程为 , 与 联立消去 , 得 ,
设 , , 则 , 因为 是 的中点, 的坐标为 , 所以
,
所以 的面积为 ,因为 的面积为 , 所 以 , 所以 , 所以
, 又 在 轴正方向上，所以 ， 所以 .
故答案为： .
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用, 考查转化思想以及计算能力, 属于较难题.
3．已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，过 的直线交 于 ， 两点，作 ，
，垂足分别为 ， ，若 ， ，直线 分别与以 ， 为直径的圆相切于 ，
两点，则 （ ）
A． B． C．5 D．
【答案】C
【分析】画图，设 ， ，其中 ， ，直线 ： ，联立直线与抛物线
的方程，利用韦达定理结合 ， ，可得 ， ， ，进而得到以 ，
为直径的圆都与 轴相切，进而求得 即可
【详解】如图所示，由抛物线方程得 ： ， ，由对称性不妨设 ， ，其中
， ，直线 ： ，则 ， ，由 ，得
，所以 ，因为 ， ，所以
，解得 ， ， ，所以 ， ，即 ，，又 ，所以 的中点坐标为 ，其到 轴的距离为5，又 ，所以以 为直
径的圆与 轴相切.同理，以 为直径的圆也与 轴相切.因为直线 分别与以 ， 为直径的圆切于 ，
两点，所以 .
故选：C
4．过抛物线 的焦点F的直线l（不平行于y轴）交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线
交x轴于点M，若 ，则线段FM的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】先设点 ，点 ，则 ，再把 的中点坐标 和斜率
表示出来，
进一步可以求出线段AB的中垂线的方程，只需令 ，则 的横坐标 ，故可计算出线段FM的长度
为 .
【详解】设 ， ，由抛物线性质可知 .，由题可知 .
，即
设线段AB的中垂线的斜率为 ，则 .
所以AB的中垂线方程为：
令 ，则 的横坐标
则
所以线段FM的长度为2.
故选：B.
【点睛】（1）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可
直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，
若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
（2）本题还运用到点差法，设而不求，利用抛物线方程作差有效地简化了计算量，从而到达所需的变量
等式，此方法在椭圆和双曲线中也广泛运用.
5．已知点 在抛物线 ： 上，过 作圆 的两条切线，分别交
于 ， 两点，且直线 的斜率为 ，若 为 的焦点，点 为 上的动点，点 是 的准线与
坐标轴的交点，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设 ， ， ，分析可得直线 关于直线 对称，则，变形可得 ，又由 ，可得 ，代入 求得 ，设
，作 垂直准线于 ，由抛物线性质可得 ，进而 ，当
最小时， 的值最大，设切线MN的方程为 ，联立方程组 ，由判别式等于 可
得直线的参数值，代入整理的方程求出 点坐标，进而求出答案.
【详解】由题意可知，过P所作圆的两条切线关于直线 对称，所以 ．
设 ， ， ，则 ，
同理可得 ， ，则 ，
得 ，所以 ，
由 ，得 ．
将 代入抛物线C的方程，得 ，解得 ，
故抛物线C的方程为 ．
设 ，作 垂直准线于 ，
由抛物线的性质可得 ，
所以 ，
当 最小时， 的值最大，
所以当直线MN与抛物线C相切时， 最大，即 最小．由题意可得 ，
设切线MN的方程为 ，
联立方程组 消去 ，得 ，
由 ，可得 ，
将 代入 ，可得 ，
所以 ，即M的坐标为 ，所以 ， ，所以 的最大值
为 ．
故选：A
【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及抛物线的性质，属于中档题.
二、多选题
6．已知 是抛物线 的焦点， 是抛物线 上的两点， 为坐标原点，则（ ）
A．曲线 的准线方程为
B．若 ，则 的面积为
C．若 ，则
D．若 ， 的中点 在 的准线上的投影为 ，则
【答案】BCD【分析】对于A，由抛物线的方程易知准线为 ，故A错误；
对于B，利用抛物线的定义求得 ，进而可求 的面积，故B正确；
对于C，由 及点在抛物线上得到 ，再利用两点距离公式及基本不等式，即可证得
，故C正确；
对于D，结合图像，利用余弦定理及基本不等式即可证得 ，故D正确.
【详解】因为抛物线 ，故 ，焦点 ，准线为 ，设 ，则
对于A，易知准线为 ，故A错误；
对于B，如图1，由抛物线的定义可知 ，即 ，故 ，
代入 ，解得 ，
所以 ，故B正确；
对于C，由 得 ，故 ，即 ，
又 ， ，故 ，
得 或 （舍去），则 ，
所以
，
故 ，故C正确；对于D，如图2，过 作准线的垂线，垂足分别为 ，连接 ，则
，
在 中， ，
故
所以 ，即 ，故D正确.
故选：BCD.
7．已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有．直线 与准线分别交于 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，延长 交准线于
【答案】ACD
【分析】易得抛物线的焦点为 ，准线为 ，则 ， ，求出 的坐标
即可判断A；根据 即可判断B；结合B选项即可判断C；结合A选项，求出
，即可判断D.
【详解】抛物线的焦点为 ，准线为 ，则 ，
由 ，得 ，
对于A，当 时， ，
则 ， ，故A正确；
对于B，当 时，可得 ， ，
则 ，
设直线 ，把 代入，可得 ，
令 ，则 ，同理 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故B错误；
对于C，由B选项知， ，故C正确；
对于D，当 时， ，则 ，
，
，
由选项A知 ，
， ，
，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】思路点睛：求三角形面积的比值可转化为边长的比值，进而可转化为相似比问题.
8．已知抛物线 的焦点为 ， ， 为 上两个相异的动点，分别在点 ， 处作抛物线 的切线 ， ， 与 交于点 ，则（ ）
A．若直线 过焦点 ，则点 一定在抛物线 的准线上
B．若点 在直线 上，则直线 过定点
C．若直线 过焦点 ，则 面积的最小值为
D．若 ，则 面积的最大值为
【答案】AB
【分析】设 ， ， ，与抛物线 相切的切线方程为 ，与抛
物线方程联立，求出直线 的方程结合韦达定理可得 ，根据直线 过焦点可判断A；
根据点 在直线 上，把 ，代入直线 的方程可判断B；根据直线 过焦点，求出
，求出点 到直线 的距离，求出 面积由基本不等式可判断C；由弦长公式求出 ，可得点
到直线 的距离，再由基本不等式可得面积最大值可判断D.
【详解】设 ， ， ，与抛物线 相切的切线方程为 ，
则 化简得 ，
由 ，可得 ，
将 点坐标代入方程 ，可得 ， ，
所以过 的切线方程为 ，
同理，过 的切线方程为 ，所以直线 的方程为 ，
又 ，① ，②
联立①②可得 ，
因为 在抛物线 上，所以 ，
所以 ，
对于 ，若直线 过焦点 ，则 ，故 ，
所以点 一定在抛物线 的准线上，故A正确；
对于B，若点 在直线 上，则 ，
代入直线 的方程得 ，解得 ， ，
所以直线 过定点 ，故B正确；
对于C，若直线 过焦点 ，则 ，
直线 的方程为 ，即 ，
，
点 到直线 的距离为 ，
所以 面积为 ，当且仅当 时等号成立，故C错误；
对于D，
，可得 ，点 到直线 的距离为
，当且仅当 时等号成立，
所以 面积的最大值为 ，故D错误.
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：利用与抛物线 相切的切线方程与抛物线方程联立，由韦达定理得到 ，在
直线与圆锥曲线的位置关系中，常常利用韦达定理解决相关问题.
三、填空题
9．已知直线 与抛物线 及曲线 均相切，切点分别为 ，若 ，则
【答案】4
【分析】设直线 ： ，分别与 和 联立，根据判别式等于 ，求出 的坐
标，再根据 可求出结果.
【详解】显然直线 的斜率存在，设直线 ： ，
联立 ，消去 得 ，
则 且 ，即 ，代入 ，得 ，得 ，得 ，则 ，则 .
联立 ，消去 得 ，
则 ，且 ，即 ，
将 代入 ，得 ，
得 ，得 ，又 ，所以 ，则 ，则 ，
由 ，得 ，解得 ，所以 或 ，
当 时， 不合题意，舍去；
当 时， .
综上所述： .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：利用判别式等于 求出 的坐标是解题关键.
10．已知抛物线 的焦点为 ，点 的坐标为 ，动点 在抛物线 上，且 ，则
的最小值是 .
【答案】
【分析】设直线 方程为 ，与抛物线方程联立方程组求得 点坐标（只要求得横坐标即
可），然后计算 ，同理得 ，利用二次函数性质求得 的最小值．
【详解】易知 在抛物线上， 的斜率都存在且不为0，
设 的斜率为 ，直线 方程为 ，由 得 ， 是方程的一解，另一解为 （ 不重合，因此
），
抛物线的焦点为 ，
，（∵
），
同理 ，
，
∴ 时， 取得最小值11，此时 满足题意．
故答案为：11.
【点睛】方法点睛：直线与抛物线相交弦长问题，弦所在直线为 ，可设 ， ，直线
方程与抛物线方程联立方程组后消元，应用韦达定理得 ,然后由弦长公式 计
算，本题中由于弦 的一个端点 已知，即方程的一个解已知，因此可由韦达定理求得另一解，从而由
两点间距离公式直接计算．
11．抛物线 上有一动弦 ，中点为 ，且弦 的长为 ，则点 的纵坐标的最小值为 .
【答案】
【分析】设直线 的方程为 ，设点 、 ，将直线 的方程与抛物线的方程联立，
并列出韦达定理，利用弦长公式得出 ，求出线段 的中点 的坐标，并设点 的坐标为 ，可得出 ，代入等式 得出 ，再利
用基本不等式可得出点 纵坐标的最小值.
【详解】设直线 的方程为 ，设点 、 ，
将直线 的方程与抛物线的方程联立 ，得 ，
由韦达定理得 ， ，
由弦长公式得 ，
，①
由于点 在直线 上，所以， ，则点 ，
设点 的坐标为 ，得 ，得 .
代入①式得 ，
可得 ，
由基本不等式得 ，
当且仅当 时，等号成立，因此，点 的纵坐标的最小值为 ，故答案为 .
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了韦达定理设而不求法在直线与抛物线综合问题的
求解，解题的关键在于利用弦长公式，结合中点坐标公式求出弦的中点的轨迹方程，计算量大，综合性较强，属于难题.
12．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交 于 两个不同点，则下列结论正确的是
.
①若点 ，则 的最小值是3
② 的最小值是2
③若 ，则直线 的斜率为
④过点 分别作抛物线 的切线，设两切线的交点为 ，则点 的横坐标为
【答案】①③④
【分析】过点 分别作准线的垂线，垂足分别为 ，进而根据抛物线的定义判断①；
根据 判断②；设直线 的方程为 ， ，进而联
立方程，结合韦达定理，根据 解方程即可得判断③；根据直线与曲线的位置关
系得过点 ，分别与抛物线 相切的直线方程为 ， ，进而联立方程解
得 可判断④.
【详解】由题知 ， ，准线方程为 ，
对于①选项，如图，过点 分别作准线的垂线，垂足分别为 ，
故 ，故①正确；对于②，设 ，
故 ，故②错误；
对于③，当直线 的斜率不存在时， ，不成立；
故直线 的斜率存在，设方程为 ，与抛物线方程联立 ，
得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，解得 ，故③正确；
对于④，设过点 与抛物线 相切的直线方程为 ，
与抛物线方程 联立得 ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，故 即为 ，整理得 ，
同理得过点 与抛物线 相切的直线方程为 ，
所以，联立方程 ，解方程得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即点 的横坐标为 ，故④正确.
故选：①③④
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数
的最值或范围．
四、解答题
13．已知直线 过抛物线 的焦点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)动点A在抛物线C的准线上，过点A作抛物线C的两条切线分别交x轴于M，N两点，当 的面积
是 时，求点A的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）求出焦点坐标为 ，从而得到 ，求出抛物线方程；
（2）设出 ，过点A的抛物线的切线方程设为 ，与抛物线方程联立，根据 得
到 ，设过点A的抛物线的两条切线方程的斜率分别为 ，求出 ，
表达出 ， ，列出方程 ，求出 ，得到点A的坐
标.
【详解】（1） 中令 得： ，
故焦点坐标为 ，故 ，解得： ，故抛物线方程为 ；
（2）抛物线准线方程为： ，
设 ，过点A的抛物线的切线方程设为 ，联立 得： ，
由 ，设过点A的抛物线的两条切线方程的斜率分别为 ，
故 ，
令 中，令 得： ，
不妨设 ，故 ，
则 ，
解得： ，故点A的坐标为 或 .
【点睛】已知抛物线方程 ，点 为抛物线上一点，则过点 的抛物线切线方程为
，
若点 在抛物线外一点，过点 作抛物线的两条切线，切点弦方程为 .
14．如图， 是抛物线 对称轴上一点，过点M作抛物线的弦AB，交抛物线于A，B.
(1)若 ，求弦AB中点的轨迹方程；
(2)过点M作抛物线的另一条弦CD，若AD与y轴交于点E，连接ME，BC，求证： .
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由 ,设其方程为 ,联立方程后,结合韦达定理及中点公式,可得弦 中点的轨迹方程;
（2）用两点式求得 的方程为: ， 的方程为: ,由 , 都经
过点 ,故 ,进而求得 ,根据直线平行的充要条件得到 .
【详解】（1）设 方程为 ,联立 得 ，
则 ,
设 中点 ,则 ,
因此弦AB中点 的轨迹方程为 .
（2）证明:设 ， ，其中 均为正数，
用两点式求得 的方程为: ,
的方程为: ,
因为 , 都经过点 ,故 ,
的方程为: ,
与 轴交点为 ， ，
而 ，
【点睛】本题考查的知识点是直线与圆雉曲线的综合应用,抛物线的简单性质,联立方程,设而不求,韦达定理,
是解答此类问题的关键.
15．已知抛物线 ，(1)经过点 作直线 ，若 与抛物线 有且仅有一个公共点，求 的方程；
(2)设抛物线 的准线与 轴的交点为 ，直线 过点 ，且与抛物线 交于 两点， 的中点为
，若 ，求 的面积．
【答案】(1) 或 或
(2)
【分析】（1）判断当直线 平行于抛物线的对称轴x时，符合题意，当直线 与抛物线 相切时，
设出直线方程，联立抛物线方程，求得切线方程，综合可得答案；
（2）设 ，直线 的方程为 ，将直线 的方程与抛物线方程联立可得根与系数
关系式，结合 可求得n的值，进而求得 的面积．
【详解】（1）由题意知点 在抛物线 外部，直线 不会垂直于 轴（此时 与 无公共
点）；
当直线 平行于抛物线的对称轴x轴时， 与抛物线 有且仅有一个公共点，
此时直线 的方程为 ；
当直线 与抛物线 相切时，斜率存在且不等于0，
可设 的方程为 ，由 ， 得 ，
由 ，解得 或1，
则 的方程为 与 ，
即 与 ，
综上： 的方程是 或 或 .
（2）设 ，直线 的方程为 ，将直线 的方程与抛物线方程联立， ，
得 ， , ， ,
所以 ，所以 ，
又抛物线 的准线为 , 所以 ，
则 ，整理得 ，
解得 或 （舍），
则
．
【点睛】关键点点睛：第二问求三角形的面积，需要用到直线与抛物线的交点的坐标，因此解答时要设出
直线方程，从而关键点即在于要结合题设求得所设参数的值，从而利用 求得答
案.
16．已知点 是抛物线 ： 上一点，斜率为2的动直线 交 于 ， （异于 ）
的两点，直线 ， 的倾斜角互补.
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设直线 ： ， ， ，联立直线与抛物线可得，根据直线 ， 的倾斜角互补可得到 ，计算即可求解；
（2）利用弦长公式可得 ，继而可得到 ， ，然后利用数量积的夹角公式即可求解
【详解】（1）由直线 的斜率为2，设直线 ： ， ，
联立 ，消去 得： ，
，
由韦达定理得： ，
由直线 ， 的倾斜角互补且 ， 为不同两点，
故直线 ， 的斜率均存在，分别记为 ，
则 ，
，整理得： ，
代入
得： ，
由点 是抛物线 ： 上一点， ， ，
代入上式消去 得： ，
整理得： ，故 ，
故抛物线方程为（2）由（1）可得 ，
故 ，
故 ，满足 ，于是 ， ， ， ，
，
因为 ，故
17．已知抛物线 焦点为F，点 在抛物线上， .
(1)求抛物线方程；
(2)过焦点F直线l与抛物线交于MN两点，若MN最小值为4，且 是钝角，求直线斜率范围.
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解 ，即可得结果；
（2）设 ，与抛物线 联立，根据题意结合弦长公式可求得
，再结合数量积以及韦达定理运算求解，注意数量积的符号与向量夹角之间的关系.
【详解】（1）由题意可得： ，解得 或 ，
故抛物线方程为 或 .
（2）抛物线 的焦点 ，设 ，
联立方程 ，消去x得 ，
则 ，
可得 ，解得 ，
此时 ，则 ，
若直线 过点 ，则 ，解得 ，
若 是钝角，则 ，且 三点不共线，
∵ ，
则
，
解得 或 ，
注意到 ，故直线斜率范围为 .
18．已知抛物线 ，斜率为1的直线 交 于不同于原点的 ， 两点，点 为线段
的中点.
(1)求抛物线 的方程；
(2)直线 与抛物线 交于 ， 两点，过 ， 分别作抛物线 的切线 ， ，设切线 ， 的交点
为
①求证： 为直角三角形.②记 的面积为 ，求 的最小值，并指出 最小时对应的点 的坐标.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②最小值4，此时 .
【分析】（1）设直线方程，联立抛物线方程消元，根据韦达定理，结合中点坐标公式可得；
（2）①利用导数的切线方程，结合韦达定理即可证明；②根据点P坐标满足①中切线方程可得直线AB方
程，然后由弦长公式和点到直线的距离公式可得面积，然后可解.
【详解】（1）设直线 的方程为 ，代入抛物线 ，
可得 ，设 ， ，则
点 为线段 的中点，可得 ，即 则抛物线的方程为 .
（2）①设 ， ，由 ，可得 ，则 ，
所以 ， 两点处的切线斜率分别为 ， ，
由 ，得 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，即 为直角三角形.②由（1）知 ，即： ，同理 ，
由直线 ， 都过点 ，即 ，
则点 ， 的坐标都满足方程 ，
即直线 的方程为： ，
又由直线 过点 ，∴ ，
联立 得 ，
∴ ，
点 到直线 的距离 ，
∴
∴
当且仅当 时， 有最小值4，此时19．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于不同的两点 、 ．当
时，以线段 为直径的圆过点 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若线段 的中点在曲线 上运动，求 （其中 为平面直角坐标系的原点）的面积的最
小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，记点 ，由已知可得出 以及点 在抛物线上可求得 的值，
可得出点 的坐标，再利用抛物线的定义结合 可求得 的值，即可得出抛物线 的方程；
（2）设直线 的方程为 ，设点 、 ，设线段 的中点为 ，将直线 的
方程与抛物线 的方程联立，列出韦达定理，求出点 的坐标，代入方程 ，可得出 的值，再
利用三角形的面积公式可求得 面积的最小值.
【详解】（1）解：已知抛物线的焦点 ，设 ，记点 ，
则 ， ，
因为以线段 为直径的圆过点 ，则 ，①
又 在抛物线 上，所以 ，②
所以 得 ，则 ，
又因为 ，且 ，解得 ，因此，抛物线 的方程为 .
（2）解：设直线 的方程为 ，设点 、 ，设线段 的中点为 ，
由 消 并整理成 ，
在 时，有 ，所以 ，
得 ．
又线段 的中点 在曲线 ，
所以 得 ，解得 ，所以直线 过定点 ．
则 的面积为 ，
所以仅当 时，即当直线 垂直 轴时， 的面积最小，且最小值为 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
20．已知椭圆 的离心率为 ， 轴被抛物线 截得的线段长与 长
轴长的比为 .(1)求 ､ 的方程；
(2)设 与 轴的交点为 ，过坐标原点 的直线 与 相交于点 ､ ，直线 ､ 分别与 相交与 ､
.
（i）设直线 ､ 的斜率分别为 ､ ，求 的值；
（ii）记 ､ 的面积分别是 ､ ，求 的最小值.
【答案】(1) ， ；
(2)（i） ；（ii） .
【分析】（1）解 ，即可得出 轴被抛物线截得的线段长，进而列出方程组，求解即可得出答案；
（2）联立直线 与抛物线的方程，得到 ，根据韦达定理，即可得出斜率之间的关系，求出
的值；联立方程组，表示出各个点的坐标.结合图象，将三角形的面积之比转化为坐标关系，即可得出
表达式 ，然后根据基本不等式即可得出最小值.
【详解】（1）解 ，可得 ，
所以， 轴被抛物线 截得的线段长为 .
由已知可得， ，解得， .
所以，椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 .
（2）（i）由（1）知， .设直线 的方程为 ， ， .
联立直线 与抛物线的方程 ，
可得 ，
则 .
又 ， ，
所以 .
（ii）联立直线 与抛物线的方程 ，
可得 ，则 .
同理： .
设 ， .
联立直线 与椭圆的方程 ，
可得 ，
则 ，
同理可得， .由图象知， ， ， ，
所以，
，当且仅当 时，取等号
所以， 的最小值为 .
【点睛】方法点睛：联立方程组，表示出各个点的坐标.结合图象，将三角形的面积之比转化为坐标关系，
即可得出表达式.
21．已知 是抛物线 的焦点，过点 的直线交抛物线 于 、 两点，且
．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 为坐标原点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线与抛物线 的另一
交点为 ， 的中点为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）分析可知 与 轴不重合，设直线 的方程为 ，设点 、 ，将
直线 的方程与抛物线 的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦半径公式结合韦达定理以及
可求得 的值，由此可得出抛物线 的方程；
（2）写出直线 的方程，将 代入直线 的方程，求出 的坐标，然后求出 的方程，与抛物线
的方程联立，结合韦达定理求出点 的坐标，分析可知 、 、 三点共线，可得出 ，
结合 可求得 的取值范围.
【详解】（1）解：抛物线 的焦点为 ，
若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个公共点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
，解得 ，
所以，抛物线 的方程为 .
（2）解：设点 、 ，则 ，由（1）可得 ， ，又因为直线 的方程为 ，
将 代入直线 的方程可得 ，可得 ，即点 ，
所以， ，
因为 ，则 ，
所以，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，则 ，
故 ，则 ，
由 的中点为 ，可得 ，
故 、 、 三点共线，则 ．
又由 ，知 ，故
.
故 的取值范围为 ．
22．已知抛物线C： 的焦点为F，过点 的动直线l与C的交点为A，B.当直线l的斜
率为1时， .
(1)求C的方程；
(2)C上是否存在定点P使得 （其中 ， 分别为直线PA，PB的斜率，且 两点不重
合）？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，设 ， ，则有 ，结合抛物线焦点弦
公式即可求出 值；
（2）假设在C上存在定点 满足题意，设直线l的方程为 ，将其与抛物线方程联立得
到韦达定理式，结合点 在抛物线上计算 ，从而得到 ，利用因式分解结合
方程恒成立即可求出 的坐标.【详解】（1）直线l的斜率为1时，直线l的方程为 ，由 得 ，
设 ， ，则 .
由定义可知， ， ，所以 ，所以 ，此时 ，即点
重合，
故C的方程为 .
（2）假设在C上存在定点 ，使得 .
当直线l的斜率不存在或斜率为0时，不合题意；
设直线l的方程为 ，与 联立方程组，消去x并整理得 ，
考虑 不重合的一般情况，由 ，得 且 .
设 ， ，则 ， ，
从而，
即 ，整理得 ，此式恒成立，
所以 ， .
故在C上存在定点 ，使得 .
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采取设线法，首先单独讨论斜率不存在和为0时不合题意，然后
设直线l的方程为 ，再联立 得到韦达定理式，对 计算并整理直至将韦达定理式
代入得 ，利用因式分解和方程恒成立即可得到 的坐标.
