文档内容
第 07 讲 抛物线及其性质
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）掌握抛物线的定义、几 从近五年的全国卷的考查情况来
何图形、标准方程． 看，本节是高考的热点，其中标准
2023年北京卷第6题，5分
（2）掌握抛物线的简单几何 方程和几何性质考查比较频繁．抛
2023年II卷第10题，5分
性质（范围、对称性、顶 物线是圆雉曲线的重要内容，新高
2023年乙卷（文）第13题，5分
点、离心率）． 考主要考查抛物线的定义、方程、
2023年I卷第22题，12分
（3）了解抛物线的简单应 焦点、准线及其几何性质的应用．
用．知识点一、抛物线的定义
平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 叫抛物线的焦
点，定直线 叫做抛物线的准线．
注：若在定义中有 ，则动点的轨迹为 的垂线，垂足为点 ．
知识点二、抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式： ， ， ， ，其中一次项与
对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向
图形
标准
方程
顶点
， ， ，
范围 ，
对称轴 轴 轴
焦点
离心率
准线方程焦半径
【解题方法总结】
1、点 与抛物线 的关系
（1） 在抛物线内（含焦点） ．
（2） 在抛物线上 ．
（3） 在抛物线外 ．
2、焦半径
抛物线上的点 与焦点 的距离称为焦半径，若 ，则焦半径 ，
．
3、 的几何意义
为焦点 到准线 的距离，即焦准距， 越大，抛物线开口越大．
4、焦点弦
若 为抛物线 的焦点弦， ， ，则有以下结论：
（1） ．
（2） ．
（3）焦点弦长公式1： ， ，当 时，焦点弦取最小值 ，
即所有焦点弦中通径最短，其长度为 ．
焦点弦长公式2： （ 为直线 与对称轴的夹角）．
（4） 的面积公式： （ 为直线 与对称轴的夹角）．
5、抛物线的弦
若AB为抛物线 的任意一条弦， ，弦的中点为 ，则
（1）弦长公式：
（2）（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（ 法）
（1） 焦点为 ，准线为
（2） 焦点为 ，准线为
如 ，即 ，焦点为 ，准线方程为
7、参数方程
的参数方程为 （参数 ）
8、切线方程和切点弦方程
抛物线 的切线方程为 ， 为切点
切点弦方程为 ，点 在抛物线外
与中点弦平行的直线为 ，此直线与抛物线相离，点 （含焦点）是弦AB的中点，
中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．
9、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线 ，由 ， ，可得 ，故抛物线的通径长为 ．
弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
10、
11、焦点弦的常考性质
已知 、 是过抛物线 焦点 的弦， 是 的中点， 是抛物线的准线，
， 为垂足．y
C A
N M
O F x
D B
（1）以 为直径的圆必与准线 相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2） ，
（3） ；
（4）设 ， 为垂足，则 、 、 三点在一条直线上
题型一：抛物线的定义与方程
例1．（2023·福建福州·高三统考开学考试）已知点 在抛物线C： 上，则P到C的准线的距
离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】抛物线 的准线为 ，
将 代入 得 ，
故P到准线的距离为2，
故选：C．
例2．（2023·四川绵阳·统考二模）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、
涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线
的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的
最高点的距离为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：设鸽子所在位置为点 ，
因为它到抛物线焦点的距离为10米，
所以 ，解得 ，
则 ，
所以鸽子到拱顶的最高点的距离为 ，
故选：B
例3．（2023·内蒙古包头·高三统考开学考试）抛物线 的顶点为坐标原点，焦点在 轴上，直线 交
于 ， 两点， 的准线交 轴于点 ，若 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可设抛物线的方程为 ，则准线方程为 ，
当 时，可得 ，
可得 ，又 ， ，
所以 ，即 ，
解得 ，
所以 的方程为 .
故选：C
变式1．（2023·陕西渭南·高三统考阶段练习）抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】抛物线 的标准形式为 ，
所以抛物线的焦点在 轴的正半轴上，
且 ，所以焦点坐标为 .
故选：B
变式2．（2023·全国·高三校联考开学考试）过抛物线 的焦点 的直线 交 于 两点，
若直线 过点 ，且 ，则抛物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为直线 过点 ，所以直线 的方程为 .
由 得， .
设 ，则 .
因为
，
整理得 ，解得 ，
所以抛物线 的准线方程是 .
故选：D.
变式3．（2023·广西防城港·高三统考阶段练习）已知点A，B在抛物线 上，O为坐标原点，若
，且 的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】如图所示， 为 的垂心， 为焦点，
， 垂直平分线段 ， 直线 垂直于 轴．
设 ， ，其中 ，
为垂心， ， ，
即 ，解得 ，
直线 的方程为 ，即 ．
故选：D．
变式4．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知抛物线 的焦点
为 ，准线为 ，过 上的一点 作 的垂线，垂足为 ，点 ， 与 相交于点 ．若
，且 的面积为 ，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设点 ，抛物线 的焦点 ，准线 ，
由 得： ，解得 ，不妨令点A在第一象限，则 ， ，如
图，因为 ，则 ，即有点D到x轴距离 ，
，解得 ，
所以 的方程为 .
故选：C
【解题方法总结】
求抛物线的标准方程的步骤为：
（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：
（2）根据题目条件列出P的方程
（3）解方程求出P，即得标准方程
题型二：抛物线的轨迹方程
例4．（2023·高三课时练习）已知点F（1，0），直线 ，若动点P到点F和到直线l的距离相等，
则点P的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】根据抛物线定义可知，点 在以 为焦点，直线 为准线的抛物线上，
所以 ， ，抛物线方程为 .
故答案为： .
例5．（2023·全国·高三专题练习）在平面坐标系中，动点P和点 满足
，则动点 的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】由题意 ，
由 得 ，
化简得 ．
故答案为： ．
例6．（2023·全国·高三专题练习）与点 和直线 的距离相等的点的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】由抛物线的定义可得平面内与点 和直线 的距离相等的点的轨迹为抛物线，且
为焦点，直线 为准线，
设抛物线的方程为 ，可知 ，解得 ，
所以该抛物线方程是 ，
故答案为：
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知动点 的坐标满足 ，则动点 的轨
迹方程为 ．
【答案】
【解析】设 直线 ，则动点 到点 的距离为 ，动点 到直线 的距离
为 ，又因为 ，
所以动点M的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，其轨迹方程为 ．
故答案为：
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知动点 到定点 与定直线 的距离的差为1．则动点
的轨迹方程为 ．
【答案】 ， （注： 也算对）
【解析】由题意，若 时，问题等价于 ，
则 ，化简得 ，
若 ， 也满足题意.
所以动点 的轨迹方程为 ， .
或者根据题意有 ，则 ，化简整理得： .
所以动点 的轨迹方程为 .
故答案为： ， （注： 也算对）
变式7．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）点 ，点 是 轴上的动点，线段 的中点
在 轴上，且 垂直 ，则 点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设 ， ，则中点 坐标为 ，由 得 ，即 ，
又 ，
若 ，则 ，即 ，
若 ，则 ， 重合，直线 不存在．所以轨迹方程是 ．
故答案为： ．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，
那么动圆圆心P的轨迹方程是 ．
【答案】y2＝﹣8x
【解析】设圆心P到直线x＝1的距离等于r，P（x，y ），由题意可得 PC＝1+r，即 ＝1+1
﹣x，化简可得 y2＝﹣8x.
故答案为：y2＝﹣8x．
变式9．（2023·河南·校联考模拟预测）一个动圆与定圆 相外切，且与直线 相切，
则动圆圆心的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】由题意可知，圆 的圆心为 ，半径为 ，
由于动圆与定圆 相外切，且与直线 相切，
动圆圆心到点 的距离比它到直线 的距离大 ，
所以，动圆圆心到点 的距离等于它到直线 的距离，
所以，动圆圆心的轨迹是以点 为圆心，以直线 为准线的抛物线，
设动圆圆心的轨迹方程为 ，则 ，可得 ，
所以，动圆圆心的轨迹方程为 .
故答案为： .
变式10．（2023·上海·高三专题练习）已知点 ，直线 ： ，两个动圆均过点 且与 相切，其
圆心分别为 、 ，若动点 满足 ，则 的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程 ，设 ， ， ，根据
可得 ， ，利用 可求得结果.由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是
以 为焦点，直线 ： 为准线的抛物线，其方程为 ，
设 ， ， ，因为动点 满足 ，
所以 ，即 ， ，
所以 ， ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 的轨迹方程为 .故答案为：
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知点 、 ，直线 与 相交于点 ，且直线
的斜率与直线 的斜率之差为 ，点 的轨迹为曲线 ，则曲线 的轨迹方程为
【答案】
【解析】设 ，由题意可得： ，化简可得曲线 的轨迹方程．设 ，由题意可得：
，
化为 ．
曲线 的轨迹方程为 且 ．
故答案为： ．
【解题方法总结】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点
标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；
（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足
焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围．
题型三：与抛物线有关的距离和最值问题
例7．（2023·江苏无锡·校联考三模）已如 ， 是抛物线 上的动点（异于顶点），过 作
圆 的切线，切点为 ，则 的最小值为 .
【答案】3
【解析】依题意，设 ，有 ，圆 的圆心 ，半径 ，
于是 ，
因此 ，表示抛物线 上的点 到y轴距离与到定点 的距离的和，
而点 在抛物线 内，当且仅当 是过点 垂直于y轴的直线与抛物线 的交点时， 取得最小值
3，所以 的最小值为3.
故答案为：3.例8．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点 是抛物线 上的动点，则
的最小值为 .
【答案】 /
【解析】由题可知，过抛物线 上的动点 作直线 的垂线交直线于 ，过点
作 轴的垂线交 轴于 ，交准线于 点， 为抛物线焦点，
由 ，得 ，所以 ，如图所示
则 动点 到 轴的距离为
所以 ，
当且仅当 三点共线时， 有最小值，即 (此时
为点 到直线 的距离)，
所以 到直线 的距离为 ，
所以 ，
所以 .
所以 的最小值为 .
故答案为：
例9．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）函数 的最大值为
．
【答案】【解析】将给定的函数表达式变形为 ，
问题转化为求点 到点 与 距离之差的最大值，
而点 的轨迹为抛物线 ，如图所示，
由A、B的位置知直线 必交抛物线 于第二象限的一点C，
由三角形两边之差小于第三边可知P位于C时， 才能取得最大值.
.
故答案为： .
变式12．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知斜率为 的直线 过抛物线 的焦
点 ，且与该抛物线交于 两点，若 为该抛物线上一点， 为圆 上一
点，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】由题可知直线 的方程为 ，设 ，则
由 ,消去 ，整理得 ，，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，而圆 的圆心 ,
因为 ，
当且仅当点 在同一条直线上取等号，且点 位于点 之间，如图所示：又 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
变式13．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知抛物线 ，其焦点为F，PQ是过点F的一条弦，
定点A的坐标是 ，当 取最小值时，则弦PQ的长是 .
【答案】
【解析】抛物线 的焦点 ，准线为 ，
如图，过点 作准线 的垂线 ，垂足为 ，
则 ，
所以 ，当且仅当 三点共线时取等号，
所以当 取最小值时， 点的横坐标为 ，
当 时， ，即 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，
联立 ，消 得 ，解得 或 ，
当 时， ，即 ，
所以 .
故答案为： .变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知点M为抛物线 上的动点，点N为圆 上的
动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为 ..
【答案】
【解析】由题可知，抛物线 的准线方程为 ，焦点坐标为 ，
由抛物线的定义可知点M到y轴的距离即为 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
故点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和 ，
根据圆的性质可知点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为
.
故答案为： .
变式15．（2023·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）过点 的直线 交抛物线 于
两点，点 的坐标为 . 设线段 的中点为 则 的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，过点 作准线的垂线，
垂足分别为 ， ，取 的中点为 ，连接 ，如下图所示：点 到准线的距离为 ，易知四边形 为直角梯形，则由抛物线的定义可得
.
即 （当 三点共线时，取等号）
即 的最小值为 .
故答案为：
变式16．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知 是抛物线 上一点，则
的最小值为 .
【答案】 /
【解析】由题可知， 过抛物线 上的动点 作直线 的垂线交直线于 ，过
点 作 轴的垂线交 轴于 ，交准线于 点， 为抛物线焦点.
由 ，得 ，所以 ，如图所示则 动点 到 轴的距离为
所以 ,
当且仅当 三点共线时， 有最小值，即 ,( 为点 到
直线 的距离).
所以 到直线 的距离为
所以 ，
所以 .
所以 的最小值为 .
故答案为： .
变式17．（2023·江西南昌·高三统考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 ，
两点，则 的最小值是 ．
【答案】9
【解析】依题意，
因为抛物线 的焦点为 ，所以 ，
①当 斜率存在时：因为直线交抛物线于 ， 两点，所以 ，
设过 的直线的直线方程为： ， ，
由抛物线定义得： ，
由 消 整理得： ，
所以 ，即 ，
所以 ；
②当 不存在时，直线为 ，此时 ，
所以 ；综上可知， 的最小值为：9.
故答案为：9.
变式18．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知点P是抛物线 上的动点，Q是圆
上的动点，则 的最大值是 .
【答案】 /
【解析】抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
过点 作 垂直准线 ，垂足为 ，由抛物线的定义可知 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
所以当 即 时， 取到最大值 ，
所以 的最大值为 ，
因此， ，所以 的最大值是 .
故答案为： .
变式19．（2023·江西·校联考模拟预测）已知 是拋物线 上两点，且， 为焦点，则 最大值为 .
【答案】
【解析】拋物线 的焦点 ，
由题得， ，
即 ，
故
，
即 ，因为 ，且余弦函数在 内单调递减，
故 ，当且仅当 时成立.
故答案为： .
变式20．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知P是抛物线 上的动点，P到y轴
的距离为 ，到圆 上动点Q的距离为 ，则 的最小值为 ．
【答案】2
【解析】圆 的圆心为 ，半径 ，
抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
过点 作准线 的垂线，垂足为 ，
因为 是抛物线 上的动点， 到 轴的距离为 ，
到圆 上动点 的距离为 ，所以 ， ，当且仅当 三点共线时等号成立，且点 在线段
上，
所以 ，
又 ，当且仅当点 为线段 与抛物线的交点时等号成立，又 ，
所以 ，
当且仅当点 为线段 与抛物线的交点，点 为线段 与圆 的交点时等号成立，
所以 的最小值为2，
故答案为：2
变式21．（2023·河南·校联考模拟预测） 的最小值为 ．
【答案】
【解析】易知动点 的轨迹为抛物线 ，C的焦点为 ，设P到C的准线的距离为
d， ，
则 ，
故 的最小值为 ．
故答案为： .
变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线 的焦点为
， 点 是抛物线上的一动点， 则 的最小值是 .【答案】 /
【解析】
抛物线的准线方程为 ，
过点 作 垂直准线于点 ，
显然，当 平行于 轴时，
取得最小值，此时 ，
此时
故答案为: .
变式23．（2023·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知 为抛物线 上的一个动点，
为圆 上的一个动点，那么点 到点 的距离与点 到抛物线准线的距离之和的最小值是
.
【答案】 /
【解析】由题可知，抛物线 的准线方程为 ，焦点坐标为 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，设点 到抛物线准线的距离为 ，则 ，故 ，
所以当动点 位于线段 上时，点 到点 的距离与点 到抛物线准线的距离之和最小，
此时 .
故答案为： .
【解题方法总结】
抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，
从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物
线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解．
题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题
例10．（2023·四川乐山·统考三模）已知抛物线 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于
P，Q两点， 于H，若 ，O为坐标原点，则 与 的面积之比为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【解析】依题意，由 于H，得 ，即 是正三角形， ，
而 ，则直线 的方程为 ，
由 ，消去y并整理，得 ，令 ，解得 ，又准线 ，
因此 ，
所以 与 的面积之比 .
故选：C.
例11．（2023·山东青岛·统考二模）已知 为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点 ，与
及其准线依次交于 三点（其中点 在 之间），若 ， ,则 的面积是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过点 作 垂直于准线，垂足为 ，过点 作 垂直于准线，垂足为 ，
设准线与 轴相交于点 ，
如图，
则 ， ，
在 中， ，所以 ，所以 ，
在 中， ，
所以 ，所以 .
又 轴， ，所以 .
又抛物线 ，则 ,
所以 ，所以抛物线 ，点 .因为 ，所以直线 的斜率 ，
则直线 ，
与抛物线方程联立 ,消 并化简得 ,
设点 ，则 ，
则 .
又直线 可化为 ，
则点 到直线 的距离 ,
所以 .
故选:B.
例12．（2023·北京·101中学校考模拟预测）已知直线 ，定点 ，P是直线 上的动
点，若经过点F，P的圆与l相切，则这个圆的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，设圆的圆心为 ，则圆心到 的距离等于到直线 的距离，
故 的轨迹为抛物线，抛物线方程为 ，
当 点与原点重合时，半径最小为 ，
此时，圆心到直线 的距离为 ，
直线与圆有交点，满足，圆的面积的最小值为 .
故选：B
变式24．（2023·黑龙江大庆·高三肇州县第二中学校考阶段练习）已知抛物线 ，点 为抛物线
上任意一点，过点 向圆 作切线，切点分别为 ，则四边形 的面积的最小值
为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：设 ， ，
连接 ，圆 为： ，
则 ，
则 ，
当点 时， 的最小值为 ，
所以 ，
故选：C
变式25．（2023·贵州·高三统考开学考试）已知抛物线 的焦点为 是抛物线 上的一点，
若 ， 则 ( 为坐标原点)的面积是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】A
【解析】由题可得 ，因为 ，
所以 ， ，
所以 为坐标原点)的面积是 .
故选：A.
变式26．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： ，点 为抛物线上任意一点，过点 向圆 ：
作切线，切点分别为 ， ，则四边形 的面积的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接 ，圆 ： ，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，
则 ．又 ，所以当四边形 的面积最小时， 最小．
过点 向抛物线的准线 作垂线，垂足为 ，则 ，
当点 与坐标原点重合时， 最小，此时 ．
故 ．
故选：C
变式27．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知斜率为 的直线过抛物线 ： 的焦点 且
与抛物线 相交于 两点，过 分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为 ， ，若 与
的面积之比为2，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：
由抛物线 ： ，得 ，
设直线 ： ， ， ，
由 得 ，
所以 ， ，由已知和抛物线定义知： ，
则有 ，即 ，
所以
解得 ， ， .
故选：D
变式28．（2023·安徽淮南·统考二模）抛物线 的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为
的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A， ，垂足为K，若 的面积是 ，则p的值为
（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】根据抛物线的定义可知， ，又 ， ，
故 是等边三角形，又 的面积是 ，
故可得 ，
故 .故选：B.
【解题方法总结】
解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角
三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比．
题型五：焦半径问题
例13．（2023·江西·高三统考开学考试）已知 为抛物线 ： 的焦点， ， ， 为 上的三点，
若 ，则 .
【答案】
【解析】由题意知 ，设 ， ， 的横坐标分别为 ， ， ，
由 ，得 ，所以 ，
由抛物线的定义得 .
故答案为：
例14．（2023·福建福州·校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 为曲线 上
一点，若 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【解析】由抛物线 可得： ，
由抛物线的定义可得： ，则 ，
又因为点 为曲线 上一点，所以 ，
所以 ，所以点 的坐标为 .
故答案为：
例15．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，过点
的直线 与抛物线交于 ， 两点，若 ，则 ．
【答案】8【解析】由题意得， ，当直线 的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，
故设直线 的方程为 ，不妨设 ，
联立 ，可得 ，易得 ，
设 ，则 ，
则 ，
则 ，
，
由正弦定理得 ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，即 ，
又由焦半径公式可知 ，
则 ，即 ，
即 ，解得 ，
则 ，解得 ，
故 ，
当 时，同理可得到 .
故答案为：8
变式29．（2023·全国·模拟预测）若过点 向抛物线 作两条切线，切点分别为A，B，F为
抛物线的焦点，则 ．【答案】 /
【解析】由题意可得点F的坐标为 ，点 不在抛物线上，
设点A，B的坐标分别为 ，
∵ ，即 ，则 ，
可得 ，
所以抛物线C在点A处的切线方程为 ，则 ，
又∵切线过点可 ，则 ，得 ，
同理可得 ，
即点A，B的坐标满足方程 ，
所以直线AB的方程为 ，即 ，
联立方程 ，消去y并整得 ，
则 ， ， ，
∵ ，
则
，
且 ，
所以 ．
故答案为： .
变式30．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过抛物线上一点A
作 的垂线，垂足为 ，设 ，若 与 相交于点 的面积为 ，则抛物线
的方程为 .
【答案】
【解析】设 ，又 ，则 ，
由抛物线的定义得 ，所以 ，则 ，
由 得 ，即 ，
所以 ， ,
所以 ，解得： .
故答案为：
变式31．（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线 的焦点的直线交抛物线与圆
于 四点，则 .
【答案】1
【解析】抛物线的焦点为 ，准线为 ，可设直线方程为 ，直线 ，与
联立得： ，可得 , ,
,
答案为1.
变式32．（2023·全国·高三专题练习）抛物线 ，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两
点，若 ，则 （O为坐标原点）的面积为 ．
【答案】
【解析】由题意可知： ，结合焦半径公式有： ，
解得： ，故直线AB的方程为： ，
与抛物线方程联立可得： ，
则 ，故 的面积 .
变式33．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）抛物线 : 的焦点为 ,设过点 的直线 交抛
物线与 两点，且 ,则 .
【答案】4
【解析】设点 的横坐标分别为 ，且
由焦半径公式得 ，
当 时，
，
的方程为 ，
则 ，化简可得 ，
，且 ，所以 ，
所以 ，
同理， 时， .
故答案为 .
变式34．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知 为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点 ，与抛物线 及其准线依次交于 三点（其中点 在 之间），若
.则 的面积是 .
【答案】 /
【解析】过点 作 垂直于准线，垂足为 ，过点 作 垂直于准线，垂足为 ，设准线与 轴相交
于点 ，如图，则 ，
在 中， ，所以 ，所以 ，
故在 中， ，所以 ，则 .
又 轴， ，所以 ，
又抛物线 ，则 ，所以 ，
所以抛物线 ，点 .
因为 ，所以直线 的斜率 ，则直线 ，
与抛物线方程联立 ，消 并化简得 ，
易得 ，设点 ，则 ，
则 ，
又直线 ，可化为 ，
则点 到直线 的距离 ，
所以 .
故选：B.
变式35．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知抛物线E： 的焦点为F，准线l交x轴于点C，直
线m过C且交E于不同的A，B两点，B在线段 上，点P为A在l上的射影．下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若P，B，F三点共线，则
C．若 ，则 D．对于任意直线m，都有
【答案】BCD【解析】解法一：由已知条件可得
由抛物线的对称性，不妨设直线 的方程为
依题意 ，由 整理，得
当 ，即 时，由韦达定理，
得 .
对于 选项，因为直线 的斜率为 ，
所以 ，即
又 ，所以 ，解得 ，所以
所以 ，
故 ，故 错误；
对于 选项，易得 ，所以
当 三点共线时， ，
所以
由 和 ，解得 ，
所以 故 正确
对于 选项，过 作 ，垂足为 由已知可得 ，
所以 .
又 ，所以 .由抛物线的定义，得
因此 故 正确；
对于 选项，因为 ，
所以 ，又 ，
故 成立.故 正确.
故选：BCD.
解法二：对于选项 ，假设 成立，则 为等腰直角三角形，
，所以 为等腰直角三角形，则点 在 轴上，这与已知条件显然矛盾，故
故 错误，其他选项同解法一进行判断.
故选：BCD.
变式36．（多选题）（2023·广东惠州·高三统考阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，直线
与抛物线C交于A、B两点，下面说法正确的是（ ）
A．抛物线C的准线方程为 B．
C． 时， D．
【答案】BD
【解析】由题意，可得 ， ，准线 ，故A错误；
设 根据抛物线的定义可得
，则 ， ，
根据抛物线的定义可得 ，
当 时， ，故 ，故C错误；
，故D正确；
取AB的中点M，则M为以AB为直径的圆的圆心，设 ，过M作MN⊥准线a于N，过A作 ⊥
准线a于 ，过B作 ⊥准线a于 ，根据梯形的性质和抛物线的定义可得 ，
即以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，
则O在以AB为直径的圆的内部，故 ，故B正确.
故选：BD
变式37．（多选题）（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知A，B是抛物线 ： 上两动点， 为
抛物线 的焦点，则（ ）
A．直线AB过焦点F时， 最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为 时，
C．若AB中点M的横坐标为2，则 最大值为5
D．
【答案】BC
【解析】对于A项，过点 分别作准线 的垂线，垂足分别为 ，
过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，准线与 轴的交点为 ，
设直线 的倾斜角为 ，画图为：
根据抛物线的定义： ，从图可知 ， ，，在 中， ，
所以 ，同理 ，
则
，故当 时 ，
故 最小值为 ，此时 垂直于 轴，所以A不正确；
对于B项，由A可知， ，故B正确；
对于C项， ，
当且仅当直线 过焦点 时等号成立，所以 最大值为5，故C正确；
当直线 过焦点 时， ，
当直线 不过焦点 时， 不是定值，
举例当 时，此时 ， ，
即 ， ， ，故D错误；
故选：BC.
变式38．（多选题）（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）已知点 是抛物线 上
过焦点的两个不同的点，O为坐标原点，焦点为F，则（ ）
A．焦点F的坐标为（4，0） B．
C． D．
【答案】BD
【解析】由抛物线 ，可得焦点为 ，故A错误；
由焦半径公式可得 ，故B正确；
设直线 的方程为 ，与抛物线的方程联立，可得 ，
则 ， ，故C错误；，故D正确．
故选：BD
变式39．（多选题）（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知 为抛物线 的焦
点， 为其准线与 轴的交点， 为坐标原点.直线 与该抛物线交于 、 两点.则以下描述
正确的是（ ）
A．线段 的长为4 B． 的面积为
C． D．抛物线在 、 两点处的切线交于 点
【答案】BC
【解析】抛物线 的焦点为 ，准线为 ，所以 ，
由 ，消去 整理得 ， 解得 ， ，
此时 ， ，则 ， ， ，
即 ， ，或 ， ，
所以 或 ，故A错误；
因此 ，
因此原点 到直线 的距离等于 ，
所以 ，故B正确；
，故C正确；
对于D：不妨取 ， ，由 ， ，则 ，
则过 的切线方程为 ，即 ，显然曲线在点 处的切线不过 ，故D错误；
故选：BC
变式40．（多选题）（2023·山东德州·三模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，直线 与 轴
交于点 ，过点 的直线与抛物线 交于 两点， 为坐标原点，则（ ）
A．若 ，则 B．
C． D． 面积的最小值为16
【答案】ACD
【解析】抛物线 的焦点为 ，准线 ， ，
设直线 为 ，则 ，即 ，
，故 ， ，故 ，
对选项A： ，正确；
对选项B： ，错误；
对选项C： ，正确；
对选项D： ，
当 时等号成立，正确；
故选：ACD.
变式41．（2023·河南·校联考模拟预测）已知F为抛物线 的焦点，A，B，C为该抛物线上
的三点，O为坐标原点， ， ， 面积分别为 ，若F为 的重心，且
，则该抛物线的方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】设 、 、 三点的坐标分别为 ， ， ， ， ， ，
抛物线 的焦点 的坐标为 ,
， ，
，
、 、 在抛物线 上， ， ， ，
由此可得： ，
点 是 的重心，
，可得 ,
因此， ,解得 （负值舍去），
故该抛物线的方程为 ，
故选： ．
变式42．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另
一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（ ）
A．若O为线段PQ中点，则PF＝1 B．若PF＝4，则OP＝2
C．存在直线l，使得PF⊥QF D．△PFQ面积的最小值为2
【答案】D
【解析】抛物线 的准线为 ,焦点F(1,0).
对于A：若O为PQ中点,所以xp=1,所以 ,故A错误；
对于B：若 ,则 ,所以 .故B错误;对于C：设 ,由O、P、Q三点共线，可得 ，所以 , ,所以
,所以FP与FQ不垂直,故C错误;
对于D： ,当且仅当 ,即 时取等号，所以
△PFQ面积的最小值为2.故D正确.
故选：D.
变式43．（2023·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知直线 与抛物线
相切于点 ， 是 的焦点，则 （ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】联立方程组 ，
整理得 ，
因为直线与抛物线相切，
则 ，
解得 （舍去）或 .
设 ，则 ，
故 ，则 .
故选：D.
变式44．（2023·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，若直线
与 交于 ， 两点，且 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】令 ，则 ，故 ，所以 ，
所以 ，故准线为 ，则 .
故选：B
变式45．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）已知抛物线 的焦点为 ，准线 与坐
标轴交于点 是抛物线上一点，若 ，则 的面积为（ ）
A．4 B． C． D．2【答案】D
【解析】由 ，
得 ，
则 ，
根据抛物线的定义知 2，
解得 ，
代入 ，
得 ，
所以 的面积为 .
故选：D.
变式46．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知抛物线 的焦点 与
的一个焦点重合，过焦点 的直线与 交于 ， 两不同点，抛物线 在 ， 两点处的切线
相交于点 ，且 的横坐标为4，则弦长 （ ）
A．16 B．26 C．14 D．24
【答案】A
【解析】由题意可得， ，则 ，抛物线方程为 ，准线方程 ．
由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为 ，
设 ，其中 ，
由 ，得 ．
在点A处的切线方程为 ，化简得 ，①
同理可得在点B处的切线为 ，②
联立①②得 ，由M的横坐标为4，得 ，
将AB的方程代入抛物线方程，可得 ，
，得 ，
，则 ．
故选：A．
【解题方法总结】
（1） ．
（2） ．
（3） ．
题型六：抛物线的性质
例16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）关于抛物线 ，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为 轴
【答案】AD
【解析】对选项A， ，开口向左，故A正确；
对选项B， ，焦点为 ，故B错误；
对选项C， ，准线方程为 ，故C错误；
对选项D， ，对称轴为 轴，故D正确.
故选：AD
例17．（多选题）（2023·山东日照·高三校联考期末）（多选）对于抛物线上 ，下列描述正确的
是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为
【答案】AC
【解析】由抛物线 ，即 ，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为 ，焦点到准线的距离为
4，准线方程为 ．
故选：AC
例18．（多选题）（2023·浙江金华·模拟预测）已知 为抛物线 上的三个点，焦点F
是 的重心．记直线AB，AC，BC的斜率分别为 ，则（ ）A．线段BC的中点坐标为
B．直线BC的方程为
C．
D．
【答案】ABD
【解析】设 ，
因为F为 重心，
所以 ，设BC中点 ，则 ，
，由重心分中线 得 ，
即 ，
又因为A在抛物线上，所以 ，所以 ，即 ，故A正确；
，
直线 ，故B正确；
因为 ，所以 ，所以 ，故C错误；
，同理 ，
所以 ，故D正确．
故选：ABD
变式47．（多选题）（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，焦点
到准线的距离为 ， 为 上的一个动点，则（ ）
A． 的焦点坐标为B．若 ，则 周长的最小值为
C．若 ，则 的最小值为
D．在 轴上不存在点 ，使得 为钝角
【答案】BCD
【解析】选项A，抛物线 ，焦点到准线的距离为 ，则 ，焦点 ，错
误；
选项B， ， ， ，
设 到准线 的距离为 ， 到准线 的距离为 ，
则 的周长为 ，正确；
选项C，设 ， ，则 ，
当 时， 的最小值为 ，正确；
选项D，设 ， ， ， ，
，
， 不可能为钝角，正确；
故选：BCD
变式48．（多选题）（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知点A是抛物线 上
的动点， 为坐标原点， 为焦点， ，且 三点顺时针排列，则（ ）
A．当点 在 轴上时，
B．当点 在 轴上时，点A的坐标为
C．当点A与点 关于 轴对称时，
D．若 ，则点A与点 关于 轴对称
【答案】ABC
【解析】因为 ，所以 为等边三角形，
对于A，当点 在 轴上时，又 三点顺时针排列，所以大致图像如图，此时 所在直线方程为 ，与 联立，消去 得 ，
解得 或 ，所以 ，故A正确；
对于B，当点 在 轴上时，又 三点顺时针排列，
所以此时A点在 轴下方，且 所在直线方程为 ，
与 联立，消去 得 ，解得 或 ，
当 时， ，即A点坐标为 ，故B正确；
对于C，当点A与点 关于 轴对称时，又 三点顺时针排列，
所以此时A点在 轴上方，且 所在直线方程为 ，
与 联立，消去 得 ，解得 或 ，所以 ，故C正确；
对于D，当 时，得A点横坐标为 ，此时A点可能在 轴上方，也可能在 轴下方.
因为 三点顺时针排列，
所以当A点在 轴上方时，可得点A与点 关于 轴对称；
当A点在 轴下方时，可得此时 点在 轴上，点A与点 不关于 轴对称；故D错误；
故选：ABC.
变式49．（多选题）（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的
光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛
物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线
从点 射入，经过抛物线上的点 反射后，再经抛物线上另一点 反射后，
沿直线 射出，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．点 关于x轴的对称点在直线 上C．直线 与直线 相交于点D，则A，O，D三点共线
D．直线 与 间的距离最小值为4
【答案】ACD
【解析】由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点 ，
设直线AB的方程为 ，
将直线AB的方程代入 中，得 ，
所以由韦达定理得 ， ，所以 ，故选项A正确；
若点 关于x轴的对称点在直线 上，则 ，
所以 ，即 ，不一定成立，故不合题意，选项B错误；
直线 与 相交于点 ，所以直线OD的斜率为 ，
又直线OA的斜率为 ，所以 ，所以A，O，D三点共线，故选项C正确；
直线 与 间的距离 ，
当 时，d取最小值4，故选项D正确；
故选：ACD.
变式50．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，点P为C上任意一
点，若点 ，下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
【答案】CD【解析】设 ，则 ， ，又抛物线的焦点为 ，
所以 ， 时，等号成立．所以 的最小值
是1，A错；
抛物线的焦点在 轴上，抛物线关于 轴对称，B错；
易知点 在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过 与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，
其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；
记抛物线的准线为 ，准线方程为 ，
过 作 于 ，过 作 于 ，则 ，
，所以当 三点共线，即 与 重合时， 最小，最小值为
．D正确．
故选：CD．
变式51．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知点F为抛物线 的焦点，点K为点
F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是（ ）
A．使得 为等腰三角形的点M有且仅有4个
B．使得 为直角三角形的点M有且仅有4个
C．使得 的点M有且仅有4个
D．使得 的点M有且仅有4个
【答案】ABD
【解析】如图，由 为等腰三角形，若 ，则 有两个点；若 ，则不存在，若 ，则 有
两个点，则使得 为等腰三角形的点 有且仅有4个,故A正确；
由 中 为直角的点 有两个； 为直角的点 不存在； 为直角的点 有两个，
则使得 为直角三角形的点 有且仅有4个，故B正确；
若 的 在第一象限，可得直线 ，代入抛物线的方程可得 ，解得
，由对称性可得 在第四象限只有一个，则满足 的 有且只有2个，故C错误；
使得 的点 在第一象限，可得直线 ，
代入抛物线的方程，可得 ， ，
可得点 有2个；若 在第四象限，由对称性可得也有2个，则使得 的点 有且只有4个，
故D正确．
故选：ABD
【解题方法总结】
在处理抛物线的考题的时候，要更加注意定义优先原则，考察频率更高，很多问题用上抛物线定义可
以简化计算．
1．（2023•北京）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，若 到直线 的距离为5，则
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】
【解析】如图所示，因为点 到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离 ．
由方程 可知， 是抛物线的准线，又抛物线上点 到准线 的距离和到焦点 的距离相等，
故 ．
故选： ．
2．（2021•新高考Ⅱ）若抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则
A．1 B．2 C． D．4
【答案】
【解析】抛物线 的焦点 ， 到直线 的距离为 ，
可得 ，解得 ．
故选： ．
3．（2020•新课标Ⅰ）已知 为抛物线 上一点，点 到 的焦点的距离为12，到 轴的
距离为9，则
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】
【解析】 为抛物线 上一点，点 到 的焦点的距离为12，到 轴的距离为9，
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，
故有： ；
故选： ．
