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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 43 练 双曲线及其性质（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2023·天津·统考高考真题）双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 作其中一
条渐近线的垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由点到直线的距离公式求出 ，设 ，由 得到 ， .再由
三角形的面积公式得到 ，从而得到 ，则可得到 ，解出 ，代入双曲线的方程即可得到答
案.
【详解】如图，
因为 ，不妨设渐近线方程为 ，即 ，所以 ，
所以 .
设 ,则 ，所以 ，所以 .
因为 ,所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线的方程为
故选：D
2．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线 分别是双曲线 的左、右焦
点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 ，与双曲线的渐近线交于点A，若 ，则双曲线的标准方
程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出 的值，求出点 的坐标，分析可得 ，由此可得出关于 、 、 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，则 ，则 、 ，
不妨设点 为第二象限内的点，联立 ，可得 ，即点 ，
因为 且 ，则 为等腰直角三角形，
且 ，即 ，可得 ，
所以， ，解得 ，因此，双曲线的标准方程为 .
故选：C.
3．（2021·北京·统考高考真题）若双曲线 离心率为 ，过点 ，则该双曲线的方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可得 ，再将点 代入双曲线的方程，求出 的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】 ，则 ， ，则双曲线的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，解得 ，故 ，
因此，双曲线的方程为 .
故选：B
4．（2021·全国·高考真题）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离： .
故选：A.
5．（2021·全国·统考高考真题）已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出 ，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
因为 ,由余弦定理可得 ，
整理可得 ，所以 ，即 .
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立 间的等量关系是求解的关键.
二、多选题
6．（2022·全国·统考高考真题）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 作D
的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，利用正弦定理结合三角变换、
双曲线的定义得到 或 ，即可得解，注意就 在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为B，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的左支，
， ， ，设 ，由即 ，则 ，
选A
情况二若M、N在双曲线的两支，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ，
由 ，即 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点都在左支, ，，
则 ，
特值双曲线 ，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点在左右两支， 在右支， ，
，
则 ，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
若 分别在左右支，
因为 ，且 ，所以 在双曲线的右支，
又 ， ， ，
设 ， ，
在 中，有 ，
故 即 ，
所以 ，
而 ， ， ，故 ，代入整理得到 ，即 ，
所以双曲线的离心率
若 均在左支上，
同理有 ，其中 为钝角，故 ，
故 即 ，
代入 ， ， ，整理得到： ，
故 ，故 ，
故选：AC.
三、填空题
7．（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出双曲线 的实半轴、虚半轴长，再写出 的方程作答.
【详解】令双曲线 的实半轴、虚半轴长分别为 ，显然双曲线 的中心为原点，焦点在x轴上，其半
焦距 ，
由双曲线 的离心率为 ，得 ，解得 ，则 ，
所以双曲线 的方程为 .
故答案为：
8．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点 在
上，点 在 轴上， ，则 的离心率为 ．
【答案】
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到 关于 的表达式，
从而利用勾股定理求得 ，进而利用余弦定理得到 的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得 ， ，将点 代入双曲线
得到关于 的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设 ，则 ，
在 中， ，则 ，故 或 （舍去），
所以 ， ，则 ，
故 ，所以在 中， ，整理得 ，
故 .
方法二:
依题意，得 ，令 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
又点 在 上，则 ，整理得 ，则 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，则 ，解得 或 ，
又 ，所以 或 （舍去），故 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定
理得到关于 的齐次方程，从而得解.9．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交
双曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率
是 ．
【答案】
【分析】联立直线 和渐近线 方程，可求出点 ，再根据 可求得点 ，最后根据
点 在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过 且斜率为 的直线 ，渐近线 ，
联立 ，得 ，由 ，得
而点 在双曲线上，于是 ，解得： ，所以离心率 .
故答案为： ．
10．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线
与C无公共点”的e的一个值 ．【答案】2（满足 皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线 中 即可求得满足要求的e值.
【详解】解： ，所以C的渐近线方程为 ,
结合渐近线的特点，只需 ，即 ，
可满足条件“直线 与C无公共点”
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：2（满足 皆可）
11．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则
．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆
心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ，
依题意圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 （舍去）．
故答案为： ．12．（2022·北京·统考高考真题）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
【答案】
【分析】首先可得 ，即可得到双曲线的标准方程，从而得到 、 ，再跟渐近线方程得到方程，解得
即可；
【详解】解：对于双曲线 ，所以 ，即双曲线的标准方程为 ，
则 ， ，又双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，即 ，解得 ；
故答案为：
13．（2021·全国·统考高考真题）若双曲线 的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程
.
【答案】
【分析】根据离心率得出 ，结合 得出 关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】解：由题可知，离心率 ，即 ，
又 ，即 ，则 ，
故此双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
14．（2021·全国·统考高考真题）已知双曲线 的一条渐近线为 ，则C的焦
距为 ．
【答案】4
【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出 的关系，再结合双曲线中 对应关系，联立求解 ，再由关系式求得 ，即可求解.
【详解】由渐近线方程 化简得 ，即 ，同时平方得 ，又双曲线中
，故 ，解得 （舍去）， ，故焦距 .
故答案为：4.
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
15．（2021·全国·统考高考真题）双曲线 的右焦点到直线 的距离为 ．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知， ，所以双曲线的右焦点为 ，
所以右焦点 到直线 的距离为 .
故答案为：
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．设 是双曲线 左支上的动点， 分别为左右焦点，则 （ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的方程的特点和双曲线的定义即可求解.
【详解】由 ，得 解得 ．
因为 是双曲线 左支上的动点，
所以 .由双曲线的定义可知 ．
故选：A.
2．已知双曲线 的离心率为 ，则渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由离心率求得 即得渐近线方程．
【详解】 ， ， ，
故选：B
3．双曲线 的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为（ ）
A．9 B．－9 C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程，求得 ，结合题意，列出方程，即可求解.
【详解】由双曲线 ，可得 ，且 ，
因为双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，可得 ，即 ，解得 .
故选：C.
4．若双曲线 的焦点与椭圆 的长轴端点重合，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆以及双曲线的几何性质即可求解.
【详解】椭圆 的长轴端点为 ，
所以双曲线的焦点为 ，故 ，
故选：A5．已知动点 满足 ，则动点 的轨迹是（ ）
A．射线 B．直线
C．椭圆 D．双曲线的一支
【答案】A
【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得.
【详解】设 ，由题意知动点M满足 |，故动点M的轨迹是射线.
故选：A.
6．双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A．5 B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据渐近线方程得到 ，再利用 的关系和离心率公式即可得到答案.
【详解】由双曲线的渐近线方程为 ，可知 ，即 .
又 ，所以 ，即 .
故选：D.
7．双曲线 ： 的右顶点为A，点A到直线 距离为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知可得出 ， .然后根据 的关系解出 的值，即可得出答案.
【详解】由已知可得， ，且 ，所以 .
又 ，所以 ， ，
所以， .
故选：C.
8．双曲线 的两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程，进而求得其夹角.
【详解】由双曲线 ，可得 ，
所以双曲线的渐近线的方程为 ，
所以两渐近线 的夹角为 .
故选：C.
9．已知双曲线 的离心率为2．则 （ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】A
【分析】利用离心率求出 ，再由 即求.
【详解】由 ，则 ，因为 ， ,解得 ，
故选:A.
10．定义：既是中心对称，也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下是方程所表示的曲线中不是“尚美曲
线”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用圆、椭圆、双曲线、抛物线的性质，根据条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】选项A， 表示圆心在原点，半径为2的圆，由圆的性质知， 的对称中心为
，对称轴为 轴， 轴，即 既是中心对称，也是轴对称，所以选项A错误；
选项B，由椭圆的性质知， 的对称中心为 ，对称轴为 轴， 轴，即 既是中心对
称，也是轴对称，所以选项B错误；
选项C，由双曲线的性质知， 的对称中心为 ，对称轴为 轴， 轴，即 既是中心
对称，也是轴对称，所以选项C错误；
选项D，由 ，得到 ，由抛物线性质知， 关于 轴对称，无对称中心，所以选项D正
确.
故选：D.
11．“ ”是“双曲线 的离心率大于2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据离心率求出参数的取值范围，即可判断.
【详解】若双曲线 的离心率大于 ，则 ，解得 ，所以“ ”是“双曲线 的离心率大于 ”的充要条件；
故选：C
12．若双曲线 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】利用点到直线距离公式求得焦点到渐近线的距离为 ，由 计算可得离心率为 .
【详解】根据题意不妨取焦点 ，渐近线方程为 ，如下图所示：
可得焦点到渐近线的距离为 ，即 ；
则离心率 .
故选：A
13．直线 与双曲线 的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】方法一：列方程组求解，方法二：求出双曲线的渐近线进行判断
【详解】方法一：联立直线 与双曲线 的方程，，得 ，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点.
方法二：由 ，得 ，所以双曲线的渐近线方程为 ，
因为直线 是双曲线 的一条渐近线，因此交点个数为0.
故选：A
14．已知双曲线C： 的一条渐近线方程为 ，且与椭圆 有公共焦
点，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ，结合渐近线方程列式求 ，进而可得结果.
【详解】设双曲线C的半焦距为 ，由椭圆 可得 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以双曲线C： ，即 .
故选：D.
15．已知直线 是双曲线 的一条渐近线，且点 在双曲线 上，则双
曲线 的方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程表示出渐近线方程，结合题意，建立方程，代入点，可得答案.
【详解】由双曲线 ，则其渐近线方程为 ，
由题意可得： ，整理可得 ，
将 代入双曲线方程可得： ，解得 ， ，
所以双曲线 .
故选：C.
16．已知双曲线 ： （ ， ）， 、 分别为左、右焦点，点 在双曲线上，
， 到左焦点 的距离是 到右焦点 的距离的3倍，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据题意结合双曲线的定义和离心率运算求解即可.
【详解】设双曲线 的半焦距为 ，
由题意可知： ，则 ，
可得 ，
因为 ，则 ，即 ，整理得 ，
所以双曲线的离心率是 .
故选：B.
17．已知双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则此双曲线的离心率 为（ ）A．2或 B． C． D． 或2
【答案】A
【分析】由双曲线的性质求解．
【详解】由题意得双曲线的渐近线为 ，
而两条渐近线的夹角为 ，故 的倾斜角为 或 ，故 或 ，
或2，
故选：A
18．设双曲线 ， 的离心率分别为 ， ，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】分别求得双曲线 的离心率，结合 ，列出方程，即可求解.
【详解】由双曲线 ，可得其离心率为 ，
又由双曲线 ，可得其离心率为 ，
因为 ，可得 ，解得 .
故选：A.
19．设椭圆 的离心率为 ，焦点在 轴上且长轴长为26，若曲线 上的点到椭圆 的两个焦点的距离
的差的绝对值等于8，则曲线 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】根据椭圆和双曲线中 的关系，结合双曲线定义可解.
【详解】在椭圆 中，由题知 ，解得 ，
所以椭圆 的焦点为 ， ，
因为曲线 上的点到 ， 的距离的差的绝对值等于8，且 ，
所以曲线 是以 ， 为焦点，实轴长为8的双曲线，
所以曲线 的虚半轴长为 ，
故 的标准方程为： .
故选：A.
20．已知双曲线 ： 的左顶点为 ，右焦点为 ，焦距为6，点 在双曲线 上，
且 ， ，则双曲线 的实轴长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可.
【详解】把 代入 中，得 ，即 ，
因为 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，解得 ， 舍去，则 .
故选：A
21．已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线分别交于A，B两点．O为坐标原点，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为（ ）．
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】根据题意，分别求得双曲线的渐近线和抛物线的准线方程，结合 的面积为 ，求得 ，
结合离心率的定义，即可求解.
【详解】由抛物线 ，可得其准线方程为 ，
因为双曲线 的两条渐近线的方程为 ，
因为双曲线的渐近线与抛物线的准线交于 两点，且 的面积为 ，
可得 ，即 ，
所以双曲线的离心率为 .
故选：B.
22．已知 为双曲线 的右焦点， 为双曲线的一条渐近线， 到直线 的距离为 ，
过 且垂直于 轴的直线交双曲线 于 两点，若 长为10，则 的离心率为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据已知条件求得 ，由此求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为 ，
所以焦点 到渐近线 的距离为 .
由 令 得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以离心率 .
故选：B
23．已知双曲线 的两个焦点为 ，点 在 上，且 ， ，
则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得 点坐标，根据 列方程，化简求得双曲线 的离心率.
【详解】由于 ，所以 ，
则 ，解得 ，
由于 ，所以 ，
整理得 ，
两边除以 得 ，
由于 ，故解得 .
故选：B
二、多选题24．已知双曲线C： ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则
C．若 是双曲线C的一个焦点，则
D．若 ，则双曲线C上的点到焦点距离最小值为2
【答案】BC
【分析】由双曲线方程、几何性质和参数关系判断A、C、D；写出渐近线方程，结合垂直关系求参数m
判断B.
【详解】由双曲线C： 且 ，则实轴长为 ，A错；
由渐近线为 ，若相互垂直，则 ，B对；
由 为焦点，则 ，则 ，C对；
若 ，则双曲线C： ，故双曲线C上的点到焦点距离最小值为 ，D错.
故选：BC
25．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】分别根据各项双曲线的方程，求出渐近线方程，即可得出答案.
【详解】对于A项， 的渐近线方程为 ，故A项错误；
对于B项， 的渐近线方程为 ，故B项正确；
对于C项， 的渐近线方程为 ，故C项正确；对于D项， 的渐近线方程为 ，故D项错误.
故选：BC.
26．下列命题中正确的是（ ）
A．双曲线 与直线 有且只有一个公共点
B．平面内满足 的动点P的轨迹为双曲线
C．若方程 表示焦点在y轴上的双曲线，则
D．已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为 ，则双曲线的标准方程为
【答案】AC
【分析】A选项，联立求出双曲线 与直线 只有一个交点，A正确；B选项，举出反例；
C选项，根据焦点在 轴上，得到不等式组，求出 ；D选项，由双曲线焦距和渐近线方程，得到 ，
，得到双曲线方程.
【详解】对于A，解方程组 得唯一解 ,
所以双曲线 与直线 有且只有一个公共点，所以A对；
对于B，当 时，满足 的动点P的轨迹为两条射线，不是双曲线，所以B错；
对于C，若方程 表示焦点在y轴上的双曲线，
则 且 ，解得 ，所以C对；
对于D，设双曲线标准方程为 ，由 ，则 ，
渐近线方程为 ，即 ，由 ，解得 ， ，双曲线的标准方程为 ，所以D错.
故选：AC
27．已知 ，则方程 表示的曲线的形状可以是（ ）
A．两条直线 B．圆
C．焦点在 轴上的椭圆 D．焦点在 轴上的双曲线
【答案】ABD
【分析】分类讨论 ， ， 与 四种情况，结合直线、圆、椭圆与双曲线方程的
特点即可判断.
【详解】对于方程 ，
当 时， ，方程为 表示圆心在原点，半径为1的圆；
当 时， ，则 ，
此时方程 ，即 表示焦点在 轴的椭圆；
当 时， ，此时方程 ，即 ，表示两条直线；
当 时， ，则 ，
此时方程 ，即 表示焦点在 轴的双曲线.
综上可得符合依题意的有ABD.
故选：ABD.
28．双曲线 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，则 的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD【分析】根据双曲线的离心率表示 ，利用基本不等式即可得出范围，
求得所求范围.
【详解】
，
当且仅当 即 时取等号，
所以 .
故选：CD.
29．已知双曲线 的右焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点．若
以 为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的离心率为 D．双曲线的离心率为2
【答案】BD
【分析】根据题意，由 为等腰直角三角形，列出方程求得 及 ，结合双曲线的几何性
质，即可求解.
【详解】如图所示，设双曲线的左顶点为 ，
因为以 为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，可得 为等腰直角三角形，
又因为过 且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点，可得 ，所以 ，因为 ，所以 ，解得 ，
所以双曲线的离心率为 ，所以D正确；
由 ，可得双曲线的渐近线方程为 ，所以B正确．
故选：BD.
三、填空题
30．双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
【答案】3
【分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解.
【详解】 的渐近线方程为 ，所以 ，
故答案为：3
31．写出一个同时满足下列条件①②的双曲线的标准方程 .
①焦点在x轴上；②渐近线方程为 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据双曲线焦点所在坐标轴以及渐近线方程写出双曲线的标准方程.
【详解】双曲线的焦点在 轴上，所以双曲线的标准方程为 ，
由于双曲线的渐近线方程为 ，所以 ， .
所以可取 ，此时双曲线的一个标准方程为 .
故答案为： （答案不唯一）32．已知直线 是双曲线 （ ）的一条渐近线，则 的离心率为 .
【答案】
【分析】根据渐近线方程得到 ，然后代入离心率公式求解.
【详解】因为直线 是双曲线 的一条渐近线，
所以 ，所以C的离心率为 .
故答案为：
33．若双曲线 的实轴长等于虚轴长的一半，则 .
【答案】4
【分析】直接利用双曲线的方程求出实轴长和虚轴长，列出方程即可求解.
【详解】由已知条件得
双曲线 （ ）的标准方程为 （ ），
则 ， ，
所以实轴长为 ，虚轴长为 ，
由题意得 ，解得 .
故答案为： .
34．双曲线 经过两点 ， ，则双曲线 的标准方程是 ．
【答案】【分析】设双曲线的方程为 ，根据题意列式求解 即可.
【详解】设双曲线的方程为 ，
由题意可得： ，解得 ，
所以双曲线 的标准方程是 .
故答案为： .
35．若双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，且经过点 ，则双曲线C的标准方程是
．
【答案】
【分析】设双曲线C的方程为 ，根据双曲线 经过的点求得 ，从而求得双曲线 的标准方程.
【详解】由双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，
可设双曲线C的方程为 ，又C过点 ，
所以 ， ，
整理得双曲线C的标准方程是 ．
故答案为：
36．已知 ，双曲线 的两个焦点为 ， ，若椭圆 的两个焦点是线段
的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【分析】由已知条件求出 与 的关系，即可得双曲线的渐近线方程.
【详解】由题意可知，双曲线的焦距是椭圆焦距的3倍，则有 ，化简得 ，则有 ，
所以该双曲线的渐近线方程为 .
故答案为：
37．已知动圆 与圆 ，圆 中的一个外切､一个内切，求动圆圆心 的
轨迹方程为
【答案】
【分析】设动圆圆心 的坐标为 ，半径为 ，根据圆与圆的位置关系，得到 ，结合双
曲线的定义，即可求解.
【详解】设动圆圆心 的坐标为 ，半径为 ，
由圆 ，可得圆心 ，半径 ，
圆 ，可得圆心 ，半径 ．
根据题意，可得 或 ，
所以 或 ，可得
又因为 ，可得 ，
根据双曲线的定义，可得点 的轨迹为以 为焦点的双曲线，
且 ，所以 ，则 ，
所以所求曲线的轨迹方程为 .
故答案为： .38．设点P在双曲线 上， ， 为双曲线的两个焦点，且 ，则 的周长等
于 .
【答案】22
【分析】根据双曲线方程可求得 ，结合双曲线定义以及 可求得 ，即可得答
案.
【详解】由题意知 ， ，
又 ，
∴ ， ，
故 的周长为 ，
故答案为：22
39．椭圆 的两顶点为 ，左焦点为F，在 中， ，则椭圆的
离心率为 .
【答案】
【分析】先求出F的坐标，求出直线AB和BF的斜率，两直线垂直可知两斜率相乘得 ，进而求得a和c
的关系式，进而求得e．
【详解】依题意可知点 ，又
直线AB斜率为： ，直线BF的斜率为： ，
∵ ，
∴ ，即 .
整理得 ，
即 ，
解得 或 ，
∵ ，∴ ．
故答案为： ．
40．已知斜率为 的直线 经过双曲线 的上焦点 ，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线
的离心率 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出 ， 的关系，然后求出离心率的范围．
【详解】由题意可得双曲线的渐近线方程为 ，
过双曲线上焦点 且平行于渐近线 的方程为 ，此直线只与双曲线的上支有一个交点，要
使斜率为 的直线 经过双曲线的上焦点 的直线 与与双曲线的上、下两支相交，则 ，所
以 ，因此 ，
故答案为：
41．设 是双曲线 的左、右焦点， 是坐标原点．过 作双曲线 的一条渐近
线的垂线，垂足为 ．若 ，则双曲线 的离心率为 ．【答案】
【分析】由 与 互补，得到两角的余弦值互为相反数，两次利用余弦定理得到关于 的方程
进行求解.
【详解】如图所示：
设双曲线的一条渐近线方程为 ，因为焦点 到渐近线的距离为 ，所以 ，
则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
解得： .
故答案为： .
42．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线右支上一点，且 ，则
的大小为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线方程求出 、 、 ，再由双曲线的定义求出 、 ，最后由余弦定理计算可得.
【详解】因为双曲线 ，则 ， ，所以 ，
因为 为双曲线右支上一点，所以 ，又 ，所以 ， ， ，
由余弦定理 ，
即 ，解得 ，又 ，
所以 .
故答案为：
43．已知双曲线方程为 ，左焦点 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则
该双曲线的离心率为 .
【答案】2
【分析】根据对称性求出渐近线的倾斜角，再根据渐近线的斜率得 ，再根据离心率公式可求出结果.
【详解】如图：设 关于渐近线 对称的点 在渐近线 上，
的中点 在渐近线 上，
则 ，又 ，
所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .44．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，双曲线上一点A关于原点O对称的
点为B，且满足 ， ，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】根据垂直关系以及双曲线的对称性可得四边形 为矩形，即可结合双曲线的定义求解
，进而可求.
【详解】由 可得 ，
由于 关于原点 对称， , 关于原点 对称，
所以四边形 为矩形，故 ，
由于 又 ，
所以 ，因此 ，
故 ，进而可得 ，
所以渐近线方程为：
故答案为：
45．已知双曲线的右焦点为 ，点P，Q为双曲线上关于原点O对称的两点，若 ，且的面积为4，则双曲线的离心率 .
【答案】
【分析】根据 的面积可得 ，由垂直关系得 ，结合双曲线的对称性以及
定义即可求解 .
【详解】∵双曲线的右焦点 ， ，设其左焦点为 ， ，P，Q关于原点O对称，
，由 的面积为4， ，得 ，又
，
故 .
又由双曲线的对称性可得 ， ， ，故离心率 .
故答案为：
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．已知双曲线 的离心率为 ，若点 与点 都在双曲线上，则该双曲线的渐
近线方程为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】根据给定条件，列出方程组，结合离心率的意义求出 作答.
【详解】由点 在双曲线 上，得 ，
则 ，即 ，整理得 ，解得 或 ，
当 时， ，此时方程 无解，
当 时， ，而 ，解得 ，
所以该双曲线的渐近线方程为 .
故选：B
2．已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足 ，
则双曲线离心率的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】设P的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即
得.
【详解】设 ，双曲线的半焦距为c，则有 ， ， ，
于是 ，
因此 ，
当且仅当 时取等号，则 ，即 ，离心率 ，
所以双曲线离心率的最小值为 .
故选：D3．若椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ， ，P是两曲线的一个
交点，则 的面积是（ ）
A． B．t C．2t D．4t
【答案】B
【分析】设 ， ，再根据椭圆与双曲线的定义列式，化简可得 ，可得
是直角三角形，再根据 可得面积.
【详解】设 ， ，不妨设交点P在第一象限， 分别为左右焦点，
则 ①， ②， ，
可得① ②2： ，
∴ 是直角三角形，
① ② ： ， ．
故选：B
4．设 、 分别为双曲线 的左右焦点， 为坐标原点，过左焦点 作直线 与圆
切于点 ，与双曲线右支交于点 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为直线 与圆 切于点 ，则 ，
又 ，所以 ，所以 为 的中点，而 为 中点，于是 ，有 ，
且 ，则 ，令双曲线焦距为 ，由 ，
得 ，即 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：A
5．双曲线 的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由双曲线的渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系，以及直线斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】由于双曲线 的渐近线为 ，
且注意到双曲线的离心率为 ，
又在双曲线中有平方关系： ，
所以离心率为 ，
又由题意 ，
所以有 ，解得 ，
即双曲线的渐近线的斜率为 ，由直线斜率和倾斜角的关系可知此双曲线的渐近线的倾斜角可以是 或 .
故选：B.
6．过双曲线 的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与C的另
一条渐近线交于点N，且 ，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意及图形可求出渐进线的倾斜角，即可得答案.
【详解】如图，设双曲线右焦点为 ，OM，ON为双曲线的两条渐进线.
由题意可知， ，又 ，则M为FN中点，则 为等腰三角形，
则 ，又 ，则 .
所以双曲线的渐进线方程为： .
故选：B
7．已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点， 为双曲线 上的动点， ，
，点 到双曲线 一条渐近线的距离为 ，则下列选项不正确的有（ ）
A．B．双曲线 的离心率为
C． 的最小值为2
D．双曲线 的实轴长为3
【答案】D
【分析】先根据题意求得双曲线 的方程，从而可直接判断BD；再利用点到直线的距离公式判断A选项；
利用两点距离公式与配方法判断C选项.
【详解】因为 ，则 ，
又由双曲线的定义可得 ，可得 ，
所以 ，则双曲线 的方程为 ，
对于D选项：双曲线 的实轴长为 ，D不正确；
对于B选项：双曲线 的离心率为 ，B正确；
对于A选项：双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
所以，双曲线 的焦点 到渐近线 的距离为 ，A正确．
对于C选项：因为 ，故点 在双曲线 的右支上，
设点 ，则 ，易知点 ，且 ，可得 ，
所以，
，当且仅当 时，等号成立，C正确.
故选： D．
8．双曲线C： 的离心率为 ，直线 与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点 满足 ，则 （ ）
A． B．－1 C．1 D．3
【答案】C
【分析】由离心率求出 ，即可得渐近线方程，求两直线交点得 的坐标，设AB的中点为P，根据
即可求解.
【详解】由离心率为 ，有 ，故双曲线的渐近线方程为 .
由 解出 ；由 解出 .
设AB的中点为P，则点P的坐标为 ，且 ，
于是 ，解出 .
故选:C.
9．双曲线C： 的右顶点为 ，点 均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN
的斜率之积为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据已知条件列方程，化简求得 ，进而求得双曲线的离心率.
【详解】依题意 ，设 ，则 ，
且 ，
而 ，
， ，
所以 .
故选：A
10．设 是双曲线 的左､右焦点，过点 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为
.若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，先求得焦点 到渐近线的距离为 ，在直角 中，求得 ，再在
中，利用余弦定理求得 ，结合 和离心率的定义，即可求解.
【详解】由双曲线 ，可得 ，渐近线方程为 ，
如图所示，则焦点 到渐近线 的距离为 ，
在直角 中，可得 ，在 中，由余弦定理得 ，
即 ，所以 ，
又由 ，所以 ，可得 ，
所以双曲线的离心率为 .
故选：A.
11．设 、 分别是双曲线 ： 的左、右两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且
，则 的面积为（ ）
A．4 B． C．3 D．2
【答案】D
【分析】由题设可得 ，进而确定 的位置，易知 为直角三角形，最后利用双曲线
定义求直角边，即可求面积.
【详解】由 ，
所以 是以原点为圆心， 为半径的圆与双曲线 的交点，
又 ，即它们也在 点所在的圆上，且 为直径，
所以 为直角三角形， ，如上图， ，且 ，
所以 ，
则 ，故 的面积为 .
故选：D
12．过原点的直线l与双曲线E： 交于A，B两点（点A在第一象限）， 交x
轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题可设， ， ，分别表示出 ，逐步转化，即可求
得本题答案.
【详解】因为 直线过原点，所以 关于原点对称，设 ，
因为 与 轴垂直，所以 ，
设 ，
则 ，
而所以， ，
所以，
所以渐近线方程为 .
故选：D
13．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，O为坐标原点，过 作C的一条
渐近线的垂线，垂足为M，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据点到直线距离公式、余弦定理，双曲线的离心率公式进行求解即可.
【详解】双曲线C的左焦点 ，渐近线 的方程为 ，
由点到直线的距离公式可得 ，
由勾股定理得 ，
在 中， ，所以 ，
在 中， ， ， ，
，由余弦定理得 ，
化简得 ，即 ，因此，双曲线C的离心率为 ，
故选：C
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用互补两角的余弦值为零，进而运用余弦定理.
14．设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点， 为坐标原点，过左焦点 作直线
与圆 切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足 ，则双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由题意 ，再结合平面向量的性质与双曲线的定义可得 ， ，再根据勾股
定理列式求解决即可.
【详解】∵ 为圆 上的点， ，
，∴ 是 的中点，
又 是 的中点， ，且 ，
又 ， ，
是圆的切线， ，又 ， ，
故 ，离心率 .
故选：D
15．已知双曲线 的上焦点为 ，点P在双曲线的下支上，若 ，且 的
最小值为7，则双曲线E的离心率为（ ）
A．2或 B．3或 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据双曲线定义将 转化为 ，数形结合即可求解.
【详解】设双曲线 的下焦点为 ，可知 ，
则 ，即 ，
则 ，
当且仅当 三点共线时，等号成立，
由题意可得 ，且 ，
因为 在 上单调递增，且 ，
所以方程 ，且 ，解得 ，
则 ，所以双曲线E的离心率为 .故选：D.
16．设 ， 是双曲线 的左､右焦点，过 的直线 交双曲线的左支于 ， 两点，若直
线 为双曲线的一条渐近线， ，则 的值为（ ）
A．11 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【分析】根据双曲线的标准方程可得 ,再由双曲线的定义可得 ，
得到 ,再根据 得到答案.
【详解】根据双曲线的标准方程 ，
得 ,由直线 为双曲线的一条渐近线，
得 ,解得 ,得 .
由双曲线的定义可得 ①，
②，
① ②可得 ,
因为过双曲线的左焦点 的直线 交双曲线的左支于 , 两点,所以 ,得 .
故选：C.
二、多选题
17．已知双曲线 的焦点分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为
B．双曲线 与椭圆 的离心率互为倒数
C．若双曲线 上一点 满足 ，则 的周长为28
D．若从双曲线 的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
【答案】CD
【分析】根据椭圆和双曲线的定义及性质一一判定即可.
【详解】由题意可得 ，令 ，故A错误；
易知双曲线和椭圆的离心率分别为 ，
显然它们不互为倒数，故B错误；
由双曲线的定义可知 ，
若 ，则 ，
又 ，故 的周长为 ，故C正确；
由双曲线的图象可知左右两支上距离最近的两点为左右顶点，故D正确.故选：CD
18．已知方程 表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当 时，曲线C是椭圆
B．当 或 时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.
【详解】对于A，当 时， ，则曲线 是圆，A错误；
对于B，当 或 时， ，曲线 是双曲线，B正确；
对于C，若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 ，C正确；
对于D，若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 ，D错误．
故选：BC.
19．(多选)已知点 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点， 是双曲线 位于第一象限内
一点，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的面积为
B．双曲线 的离心率为
C．双曲线 的渐近线方程为
D．若双曲线 的焦距为 ，则双曲线 的方程为
【答案】BD
【分析】由题意 并结合双曲线定义 可知 ， ，结合 ，即 ，又 ，具体分析逐个选项即可.
【详解】对于选项A：由定义可得 ，因为 ，所以 ， ，
由已知 ，所以 的面积为 ，故A错误；
对于选项B：由勾股定理得 ，即 ，
所以 ，故B正确；
对于选项C：因为 ，所以 ，即 ，
所以双曲线的渐近线方程为： ，故C错误；
对于选项D：由双曲线 的焦距为 得 ，从而 ， ，
所以双曲线 的方程为 ，故D正确.
故选：BD.
20．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点 的直线 与圆 相切，
且与 交于 两点，若 ，则 的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】讨论 同时在双曲线 的左支上和点 在双曲线的两支上两种情况，求出 之间的关系，
结合离心率的计算公式，即可得答案.
【详解】当点 同时在双曲线 的左支上时，设切点为 ，则 ，
.
作 交 于点 ，则 ，而O为 的中点，则P为 的中点，故 ，
因为 ， 为锐角，故
所以 ，
，
所以 ，则 ，
故双曲线 的离心率 .
当点 在双曲线的两支上时，仍有 ，
因为 ， 为锐角，故
所以 ，，
所以 ，则 ，
故双曲线 的离心率 ，
故选：AD
21．已知双曲线 的左､右焦点分别是 ， 为双曲线 右支上的动点， ，则
下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的离心率
B．双曲线 与双曲线 共渐近线
C．若点 的横坐标为3，则直线 的斜率与直线 的斜率之积为
D．若 ，则 的内切圆半径为
【答案】AC
【分析】根据题意，求得双曲线的方程为 ，其中 ，结合双曲线的定义和几
何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，可得 ，所以 ，则 ，
所以双曲线 ，其中 ，
对于A中，由双曲线 的离心率 ，所以A正确；
对于B中，由双曲线 的渐近线方程为 ，
又由双曲线 的渐近线方程为 ，故B错误；对于 中，由点 的横坐标为 ，不妨记 在第一象限，则 ，
因为 ，可得 ，所以C正确；
对于D中，设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 的周长为 ，
又由 的面积为 ，
所以 的内切圆半径为 ，所以D错误.
故选：AC.
三、填空题
22．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率e＝ ．
【答案】 或
【分析】根据焦点在 轴和 轴分类讨论得出 的值，然后再计算离心率．
【详解】设双曲线的实半轴，虚半轴长为 ，
当双曲线的焦点在x轴上时，
因为渐近线方程为 ，所以 ，所以离心率 ；
当双曲线的焦点在y轴上时，因为渐近线方程为 ，所以 ，这时 ，同理得离心率，
故答案为： 或 ．
23．已知圆 ，圆 ，圆 与圆 、圆 外切，则圆心 的轨迹方程为
．
【答案】
【分析】设圆 的半径为 ，根据题意可得 ，两式相减，再结合双曲线的定义即可得
解.
【详解】设圆 的半径为 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
因为圆 与圆 、圆 外切，
则 ，
所以 ，
所以点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，
又 ，则 ，
所以其轨迹方程为 ．
故答案为： ．
24．已知双曲线 的离心率为 ，其中一条渐近线与圆 交于 两
点，则 .【答案】
【分析】利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解 即可．
【详解】双曲线 的离心率为 ，
可得 ，所以 ，
所以双曲线的渐近线方程为： ，
一条渐近线与圆 交于 ， 两点，圆的圆心 ，半径为1，
圆的圆心到直线 的距离为： ，
所以 ．
故答案为： ．
25．已知点 是双曲线 上一点， 分别是双曲线 的左、右焦点， 的周长为
，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】利用双曲线的定义以及 的周长可求出 ，再利用余弦定理可求出 ，再
利用同角三角函数基本关系求出 ，进而求出结果.
【详解】根据对称性，不妨设 在双曲线 的右支上，则 ．
因为 的周长为 ，所以 ，
所以 ．在 中， ，则 ，
所以 的面积为 ．
故答案为： .
26．已知 是双曲线 的左焦点， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为
.
【答案】
【分析】利用双曲线定义将 转化，用 到右焦点的距离表示，由点 与右焦点位于双曲线右支异侧，
利用两点之间线段最短可得最小值.
【详解】由题意知， .
设双曲线的右焦点为 ，
由 是双曲线右支上的点，则 ，
则 ，
当且仅当 三点共线时，等号成立.
又 ，则 .
所以， 的最小值为 .故答案为： .
27．已知双曲线 和椭圆 有相同的焦点，则 的最小值为 ．
【答案】9
【分析】先运用椭圆与双曲线的基本量的关系，依据椭圆与双曲线的焦点相同得到 ，最后利用基
本不等式中“1”的妙用，将 化为积定的形式，运用基本不等式求出最小值.
【详解】先根据椭圆的基本量关系式得到椭圆 的焦点分别为点 与点 ，
于是点 与点 也是双曲线 的两个焦点，
因此 ，最后使用基本不等式中“1”的代换，
于是就有 （当且仅当 时取等号），
因此 的最小值为9．
故答案为：9
28．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，过 分别作 的两条渐近线的平行线与 交于 ，
两点，若 ，则 的离心率为
【答案】
【分析】设直线方程为 与双曲线方程 联立，根据 求解.
【详解】解：如图所示：设直线方程为 与双曲线方程 联立，
解得 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，即 ，
解得 ，
故答案为：
29．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ， 为双曲线右支上一点，
且满足 ，则 的周长为 .
【答案】
【分析】由离心率求出 、 ，再由双曲线定义结合已知可得 ，从而求出 的周长.
【详解】由题意可得 ， ，
，
， ，为双曲线右支上一点，
，
又 ，
，
则 的周长为 ．
故答案为： ．
30．椭圆 与渐近线为 的双曲线有相同的焦点 ，P为它们的一个公共
点，且 ，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】根据椭圆与双曲线共用一对焦点，设双曲线方程，根据椭圆与双曲线的定义可得
， ，再根据 可得勾股定理，结合
化简求解即可.
【详解】设 ，在双曲线 中，渐近线为 ，
即 ，故 ， ， ，不妨设P在第一象限，则由椭圆定义可得：
，由双曲线定义可得： ，
因为 ，∴ ，
而 ，
代入可得： ，∴ .
故答案为：
31．已知双曲线 的焦点为F，O为坐标原点，P为C上一点，且 为正三角
形，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】依题意画出图形，根据余弦定理与双曲线的定义建立 等量关系求解离心率.
【详解】由对称性，不妨设F为右焦点，则 在右支上，设双曲线左焦点为 ，
依题意，三角形 为正三角形，
则 ，连接 ，
在 中， ，
由余弦定理得，
，
可得 ，又 ，即 ，
所以 .故答案为： .
32．已知双曲线 的一个焦点为 ，点 到双曲线 的一条渐近线 的距离为1，则双曲线 的标
准方程是 .
【答案】 或
【分析】分焦点在 轴和 轴上时，分别列方程求解计算即可.
【详解】点 到双曲线 的一条渐近线的距离为
当焦点在 轴上时，设双曲线方程为 ，则其渐近线方程为 ，
点 到双曲线 的一条渐近线 的距离为1，即 ，则 ，
所以此时双曲线 的标准方程为 ；
当焦点在 轴上时，设双曲线方程为 ，则其渐近线方程为 ，
点 到双曲线 的一条渐近线 的距离为1，即 ，则 ，
所以此时双曲线 的标准方程为 .综上，双曲线 的标准方程为 或 .
故答案为： 或
33．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线与双曲线的右支相
交于A，B两点， ，且 的周长为10，则双曲线C的焦距为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的定义，解得 ，然后根据 的周长为10，解得各边长，最后根据余弦
定理求解即可；
【详解】
设 ， ， ，
根据双曲线的定义可知： ，
可得 ，
有 ，解得 ，
在 和 中，由余弦定理有
，
解得 ，可得双曲线的焦距为 ．
故答案为： .
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、
右两支上， ， ，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 ，令 且 ， ，则 ，根据题设有 、 、
，进而有 ，将它们整理为关于 的齐次方程求离心率即可.
【详解】由题设 ，令 且 ， ，则 ，且 ①，
由 ，即 ②，
由 ，即 ，
又C在双曲线上，则 ③，由①得： ，代入③并整理得： ，
由①②及 得： ，
所以 ，即 ，
显然 ，则 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：设 且 ， ，结合已知得到关于 的齐次方程为关键.
2．已知点 ， 分别是双曲线 ： 的左、右焦点，过 作斜率为 的直线 与双曲线
的左、右两支分别交于 ， 两点，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取MN中点A，连AF2，令 ，由双曲线定义及所给条件可得
，再借助直线斜率为 即可求解作答.
【详解】取MN中点A，连 ，令 ，则 ，如图，
因点M，N为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得 ，，
则 ，令双曲线半焦距为c，
中， ， 中， ，
则有 ，即 ，
因直线 的斜率为 ，即 ，而 ，即 ，
于是有 ，解得 ，因此 ，
所以双曲线 的离心率为 .
故选：B
【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见方法：①求出a，c，代入公式 ；
②根据给定条件得到关于a，b，c的齐次式，结合 转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两
边分别除以a或 转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
3．已知 ， 分别为双曲线C： 的左右焦点，且 到渐近线的距离为1，过 的直线
与C的左、右两支曲线分别交于 两点，且 ，则下列说法正确的为（ ）
A． 的面积为2 B．双曲线C的离心率为
C． D．
【答案】D
【分析】利用已知条件求出b的值，对于A：利用勾股定理结合双曲线的定义求出 的面积，对于
B：利用双曲线的离心率公式运算求解；对于C：先求 ，再利用平面向量数量积的运算性质运算求解；对于D：根据双曲线的定义结合勾股定理求出 ，代值计算即可.
【详解】设双曲线C的半焦距为 ，
因为双曲线C的焦点在x轴上，且 ，
则其中一条渐近线方程为 ，即 ，且 ，
则 到渐近线的距离 ，可得 .
对于选项A：因为 ，且 ，
可得 ，解得 ，
所以 的面积为 ，故A错误；
对于选项B：双曲线C的离心率为 ，故B错误；
对于选项C：因为 ，可得 ，
所以 ，故C错误；
对于选项D：设 ，则 ，
因为 ，即 ，解得 ，
所以 ，故D正确；
故选：D.
【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b
用a，c代换，求e的值．
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．4．已知双曲线 （ ）的左焦点为F，过F的直线交E的左支于点P，交E的渐近线
于点M，N，且P，M恰为线段FN的三等分点，则双曲线E的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得 为线段 的中点， 为线段 的中点，设 ，从而可得出 的
坐标，再根据点 在渐近线 上，求出 ，再根据点 在双曲线 ，得出 的齐次式
即可得解.
【详解】由题意，点 在渐近线 上，点 在渐近线 上，
设 ，
因为P，M恰为线段FN的三等分点，
所以 为线段 的中点， 为线段 的中点，
则 ，则 ，即 ，
又点 在渐近线 上，
所以 ，所以 ，
故 ，
因为点 在双曲线 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故选：D.【点睛】关键点点睛：设 ，由 为线段 的中点， 为线段 的中点，得出 的坐标，
再根据点 在渐近线 上，求出 ，是解决本题的关键.
5．已知双曲线 的右焦点为F，过点F的直线与两条渐近线的交点分别为P，Q
两点，且 ，又过点F作 于E（点O为坐标原点），且 ，则双曲线C的渐近
线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ， ，有已知可推出 .进而得到 ，从而有 ，
即可得出 ，进而得出答案.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 .
不妨设 ， ， ，
则 ， .
由 ，得 ，解得 .
又点F到直线 的距离 ， ，
所以 ，则 .
又 ，所以 ，
所以 ，即 ， ，
所以双曲线C的渐近线方程为 ．
故选：A．
【点睛】思路点睛：设出点 的坐标，根据 可得出点 的坐标.进而根据 ，即可
得出 之间的关系.
6．线段 是圆 的一条直径，离心率为 的双曲线 以A，B为焦点，若P是圆
与双曲线 的一个公共点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】首先通过计算得到圆的半径为 ，则由题意得到 ，通过离心率计算出 值，再利用双
曲线定义得到与直径所对圆周角为直角得到 ，则有 ，
，最终得到和值.
【详解】∵圆 的半径 ，
线段 是圆 的一条直径，
离心率为 的双曲线 以A，B为焦点，
∴双曲线 的焦距 ，
∵P是圆 与双曲线 的一个公共点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故选：D．
【点睛】本题难点在于所考查的是非标准双曲线，但是实际上并没有超纲，我们通过双曲线的定义得到
，再结合点在圆上得到 ，然后利用完全平方式之间的转化得到
，最终 ，求出其之和为 ，所以其本质上
还是双曲线定义的灵活运用.
二、多选题
7．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为M，N，O为坐标原点．直线
交双曲线C的右支于P，Q两点（不同于右顶点），且与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，则
（ ）
A． 为定值
B．
C．点P到两条渐近线的距离之和的最小值为
D．存在直线 使
【答案】BC
【分析】对于A，根据 ，取垂直于x轴的直线，结合条件可判断A；对于
B，设直线 的方程为 ，利用韦达定理可得 ，联立直线与渐近线方程，可分别解得
， ，结合弦长公式可判断B；对于C，设 ，可得P到两渐近线距离可判断C；由题可得
恒成立可判断D.
【详解】双曲线 的渐近线为 ，对于A：因为 ，
作直线 ， ，且 ，分别交 轴上方渐近线于 ， ，交 轴下方渐近线于 ， ，
有对称性可知： ，
此时 ，
又因为 为定值，所以
即 不是定值，故A错误；
对于B，由题意可知：直线 不与y轴垂直，设直线 的方程为 ，
联立得 得， ，所以 ，
联立 ，得 ，联立 ，得 ，
所以 ，则 ，
结合弦长公式可得 ，
即 ，故B正确；
对于C，设 ，则 ，渐近线为 ，
所以P到两渐近线距离为：
，故C正确；对于D，设 ，则 ，可得 ，
由图可得 ，即 恒成立，
故不存在直线 使 ，故D错误.
故选：BC.
8．已知双曲线 ： ，点 为双曲线右支上的一个动点，过点 分别作两条渐近线的垂线，垂
足分别为 ， 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．存在点 ，使得四边形 为正方形
C．直线 ， 的斜率之积为2
D．存在点 ，使得
【答案】AB
【分析】根据双股曲线方程求出离心率判断A；取特殊点判断B；设 ，求出 的坐标，进而求
出直线 ， 的斜率之积，判断C；利用两点间距离公式表示出 ，令其等于 ，结合双曲
线方程可判断D.
【详解】对于A，由双曲线 ： ，得 ，
故 ，A正确；
对于B，双曲线 ： 的渐近线为 ，
则四边形 为矩形，又双曲线右顶点为 ， 到直线 的距离均为 ，
故矩形 为正方形，
即存在点 ，即M为双曲线右顶点时，使得四边形 为正方形，B正确；
对于C，设 ，不妨设A在第一象限，B在第四象限，
由于 ，故可得 的方程为 ，
联立 ，可得 ，则 ，
同理 ，可得 的方程为 ，
联立 ，可得 ，则 ，
故 ，而 ，
故 ，C错误；
对于D，由以上分析可知 ，
同理 ,
故 ，根据双曲线的对称性，不妨假设M在第一象限，则 ，
故 ，令 ，
将 代入 ，即有 ，显然不可能，
即双曲线上不存在点 ，使得 ，D错误，
故选：AB
【点睛】难点点睛：本题综合考查了双曲线性质的应用，解答的难点在于选项D的判断，解答时要注意根
据点的坐标表示出 的表达式，进而结合方程推出矛盾，判断该选项错误.
9．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，左、右顶点分别为 、 ， 为双
曲线右支上的一点，且直线 与 的斜率之积等于 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的渐近线方程为
B．若 ，且 ，则
C．分别以线段 、 为直径的两个圆内切
D．
【答案】ACD
【分析】通过 求得 ，从而求得双曲线的渐近线方程，由此判断A选项的正确性；结合三角
形 的面积以及双曲线的定义求得 ，由此判断B选项的正确性；通过圆心距和两个圆半径间的关系
判断C选项的正确性；结合二倍角的正切公式来判断D选项的正确性.
【详解】对于A选项，设点 ，则 ，因为 、 ，所以 ，
由 ，得 ，故双曲线 的渐近线方程为 ，A对；
对于B选项，因为 ，所以 ，
根据双曲线的定义可得 ，
又因为 ，所以 ，整理得 .
由 ，可得 ，
即 ，解得 ，B错；
对于C，设 的中点为 ， 为原点.因为 、 分别为 、 的中点，
所以 ，
则可知以线段 、 为直径的两个圆内切，C对；
对于D，当点 在第一象限时，设点 ，则 ， .
因为渐近线方程为 ，所以 ， .
当 时，即当 轴时，则 ，
所以， ，可得 ，所以， ，
此时， 为等腰直角三角形，则 ，满足 ；
当 时， ， ，
所以
，
因为 ，所以 ；
当点 在第四象限时，同理可得 ，
综上可知，D对.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
三、填空题
10．已知 ､ 分别为双曲线 的左、右焦点，若点 到该双曲线的渐近线的距离为2，
点 在双曲线上，且 ，则三角形 的面积为 .【答案】
【分析】由点 到该双曲线的渐近线的距离为2，可得 的值，再依据双曲线定义和 ，可得
的值，由三角形面积公式可得三角形 的面积.
【详解】双曲线 的渐近线的方程为 ，右焦点
由点 到该双曲线的渐近线的距离为2可得， ，则
由 ，可得
则三角形 的面积为
故答案为：
11．已知双曲线 ： 的左右焦点分别为 ， ，点 在 上，满足 为直角三
角形，作 于点 （其中 为坐标原点），且有 ，则 的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据题意分析可得 ，根据双曲线的定义结合通径以及三角形相似列式求解即可.
【详解】由题意可知：显然 ，
若 ，则 // ，
因为 为 的中点，则点 为 的中点，这与 相矛盾，不合题意；
所以 ，可得 ，因为 ，则 ，即 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以 的离心率为 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b
用a，c代换，求e的值．
12．在直角平面坐标系 中， 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 作圆
的切线，与双曲线左、右两支分别交于点 ，若 ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的定义可得 ，在△ 中应用余弦定理可得 ，注意其符
号判断c的范围，再根据直线与圆相切可得 ，构造方程求参数c，进而求b.
【详解】由题设， ，又 ，则 ，在△ 中 ，则 ，即 ，
又直线 与 相切，则 ，
综上， ，解得 ，而 ，则 ，
所以 ，可得 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：注意应用余弦定理求 关于椭圆参数的表达式，再由直线与圆的相切关系
得到另一个 关于椭圆参数的表达式，联立求参数.
13．设直线 与双曲线 两条渐近线分别交于点 ， ，若点
满足 ，则该双曲线的渐近线方程是 ．
【答案】
【分析】如图，取 的中点 ，利用 得到直线 是
直线 的垂直平分线，又由于 ， 两点在
渐近线上，可以运用点差法求出直线 的斜率表达式，再分别运用点 在直线 上以及
直线 与直线 的斜率乘积为 ，
得出 的值，进而求得渐近线方程．
【详解】
如图，由双曲线 得到渐近线的方程为 ；
即双曲线的两条渐近线合并为 ；
设 ， 的中点为 ，
则 ， ；
两式相减可得 ，即 ；
…………… ①
又点 在直线 上，则 ……… ②
由 ，则 ，则 …………… ③
联立②，③可得 ， ；
将 代入①可得 ；
所以渐近线的方程为 ；
故答案为： ．14．已知 ， 分别是双曲线 ， 的左、右焦点，双曲线上有一点 ，满足
，且 ，则该双曲线离心率的取值范围是
【答案】 .
【分析】根据题意，通过双曲线的定义和余弦定理求出 的关系，进而根据离心率的定义求得答案.
【详解】如示意图，
设 ，由双曲线的定义可得： ，而 ，由余弦定理：
，于是
.
记 ，而 ，由对勾函数的性质可知，
函数 在 上单调递减，则函数 在 上单调递增，所以， ，即 .
故答案为： .
15．已知 分别为双曲线 的两个焦点， 上的点 到原点的距离为 ，且
，则双曲线 的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】作出图像结合图像分析，由 及正弦定理，双曲线定义可得
，根据图形得 ，将余弦值表示出来化简即可得出得 ，进而
得双曲线 的渐近线方程.
【详解】解：由 及正弦定理可得
根据双曲线定义可得
又 ，所以
在 中由余弦定理可得
化简得 ，所以 ，所以双曲线 的渐近线方程为
故答案为：【点睛】求解双曲线离心率、渐近线、标准方程问题策略：
（1）求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 的方程或不等式，
利用 和 转化为关于 的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)；
（2）求渐近线时，利用 转化为关于 的方程．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系：
；
（3）求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于 的关系式，结合
，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程.
