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1.2 逻辑用语与充分必要条件（精讲）
一．充分条件、必要条件与充要条件的概念
充分、必要条件：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x) 集合关系
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 A⊆B
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件 p⇔q A=B
p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p A⊈B且A⊉B
二．．全称量词和存在量词
表示
量词名称 常见量词
符号
全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给” ∀
“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对
存在量词 ∃
某些”“有的”
三．全称量词命题和存在量词命题
命题名称 定义 命题结构 命题简记
全称量词命题 含有全称量词的命题 对M中任意一个x，p(x)成立 ∀x∈M，p(x)
存在量词命题 含有存在量词的命题 存在M中的元素x，p(x)成立 ∃x∈M，p(x)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1.判断充分、必要条件的3种方法
(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.
(3)数形结合法:充要条件的判定问题中,若给出的条件与结论之间有明显的几何意义,且可以作出满足条件的
几何图形,则可作出其几何图形后利用数形结合思想求解.
2.根据充分、必要条件求解参数范围的方法
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等
式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等
号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
3.充分、必要条件的探求方法
(1)若与范围有关，可先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件．
(2)若与范围无关，则利用定义法从充分性和必要性两个方面推理探求．
(3)探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要
性．
4.全称量词与存在量词命题真假的判断
(1)要确定一个全称量词命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成
立,则该全称量词命题是假命题;
(2)要确定一个存在量词命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有
的元素都不成立,则该存在量词命题是假命题.
考法一 充分、必要条件的判断
【例1-1】（2023·天津河北·统考一模）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 时 ，故充分性成立，由 可得 或 ，故必要性不成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选：A
【例1-2】（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）在 中，“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】在 中， ，由 ，可得 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选：B.
【例1-3】（2023·广东佛山·统考二模）记数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ 为等差数
列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】等差数列 的前 项和为 ，则 ，
数列 的前 项和为 ，取 ，显然有 ，
而 ，即数列 不是等差数列，
所以“ ”是“ 为等差数列”的必要不充分条件.
故选：B
【一隅三反】
1．（2023·重庆·统考二模）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 可得其解集为： ，由 可得其解集为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而 ，即由“ ”可以推出“ ”，反过来“ ”不能推出“ ”，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选：A
2．（2023·天津·天津市宁河区芦台第一中学校联考模拟预测）设 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 时，若 ，则 无意义，充分性不成立；
当 时， ， 成立，必要性成立；
综上所述： ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2023·山西太原·太原五中校考一模）" "是“ "的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ， 或 ，
所以 或 ，故“ 是“ ”的必要不充分条件.故选：C.
4．（2023·北京延庆·统考一模）若 ，则“ ”是“复数 是纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 ，
当 时，复数 ，是纯虚数；
复数 是纯虚数时，有 ，解得 .
则“ ”是“复数 是纯虚数”的充分必要条件.故选：C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法二 充分、必要条件的探索
【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）“不等式 在R上恒成立”的必要不充分条件是（ ）
A．m>0 B．m< C．m<1 D．m>
【答案】A
【解析】因为“不等式 在 上恒成立”，所以等价于二次方程的 判别式
，即 .易知D选项是充要条件，不成立；
A选项中， 可推导 ，且 不可推导 ，故 是 的必要不充分条件，正确；
B选项中， 不可推导出 ，B不成立；C选项中， 不可推导 ，C不成立.故选：A.
【例2-2】．（2023·全国·高三专题练习）（多选）函数 在区间 不单调的充分不必
要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】 在区间 上不单调，
又 的图象是开口向上，对称轴为 的抛物线，
原命题的充要条件为 ，即 ，
原命题的一个充分不必要条件只有B、C选项满足，
故选：BC．
【一隅三反】
1．（2023·云南）函数 在 上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，可得函数 在 单调递减，在 单调递增，又由函数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，满足 ，解得 或 ，根据复合函数的单调性，可得函数 的单
调递增区间为 . 在 上单调递增 .所以对照四个选项，可以得到一
个充分不必要条件是： .
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）圆 与直线 有公共点的充要条件是（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
【答案】A
【解析】若直线与圆有公共点，
则圆心 到直线 的距离 ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ 或 ，
∴圆 与直线 有公共点的充要条件是 或 ．
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为 为真命题，
所以 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 是命题“ ”为真命题充分不必要条件，A对，
所以 是命题“ ”为真命题充要条件，B错，
所以 是命题“ ”为真命题充分不必要条件，C对，
所以 是命题“ ”为真命题必要不充分条件，D错，
故选：AC
考法三 充分、必要条件的求参
【例3-1】（2023·湖南邵阳·统考二模）已知集合 ， ．若“ ”是“ ”
的充分不必要条件，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 ，
所以 ，解得 ，即 的取值范围是 .
故选：B.
【例3-2】（2023·全国·高三专题练习）设命题 ，命题 ．若q
是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】由 ，得 ，即 ；
由 ，得 ，
因为q是p的必要不充分条件，所以 是 的真子集，
所以 且两个等号不同时取，解得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
【一隅三反】
1．（2023·福建福州·高三福州三中校考阶段练习）设 ； ，若p是q的充分不必
要条件，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得 ，因为 是 的充分不必要条件，所以 ，
所以 ，故选：A．
2．（2023·安徽）若“ ”是“不等式 成立”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 得 ，
是不等式 成立的充分不必要条件， 满足 ，且等号不能同时取得，
即 ，解得 ，故选：C．
3．（2023·全国·高三对口高考）已知集合 ，若“ ”是“
”的充分非必要条件，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得： ， 或 ，
若“ ”是“ ”的充分非必要条件，则A是B的真子集，
所以 .故选：A.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法四 含量词命题的否定
【例4-1】（2023·四川达州·统考二模）命题p： ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】因为对全称量词的否定用特称量词，
所以命题p： ， 的否定为： ， .故选：D
【例4-2】（2023·重庆·统考模拟预测）命题 ， 的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为 ， .故选：C
【一隅三反】
1．（2023·天津河东·一模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）
A．任意一个奇数是素数 B．存在一个偶数不是素数
C．存在一个奇数不是素数 D．任意一个偶数都不是素数
【答案】D
【解析】由于存在量词命题 ，否定为 .所以命题“有一个偶数是素数”的
否定是“任意一个偶数都不是素数”.故选：D
2．（2023·河南郑州·统考二模）命题： ， 的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为 ， .故选：D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3（2023·河南·校联考模拟预测）已知命题p： ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】根据全称命题的否定为特称命题，可知 为“ ， ”，故选：B.
考法五 含量词命题的真假
【例5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，集合 ，则以下命题为真命题的
是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】由题知，集合 ，集合 ，
所以 是 的真子集，
所以 ， 或 ， 或 ， ，
只有A选项符合要求，
故选：A.
【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）下列命题中，真命题是（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B． ，
C． D． 的充要条件是
【答案】B
【解析】对于A，当 时，满足 ，但不满足 ，故“ ”不是“ ”的
必要条件，故错误；
对于B，根据指数函数的性质可得，对于 ， ，故正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，当 时， ，故错误；
对于D，当 时，满足 ，但 不成立，故错误；故选：B
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）下列命题中，真命题的是（ ）
A．函数 的周期是 B．
C．函数 是奇函数. D． 的充要条件是
【答案】C
【解析】由于 ，所以函数 的周期不是 ，故选项A
是假命题；
当 时 ，故选项B是假命题；
函数 的定义域 关于原点对称，且满足 ，故函数 是奇函数，即选项C
是真命题；
由 得 且 ，所以“ ”的必要不充分条件是“ ”，故选项D是假命题
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（ ）
A． 且 B． 或
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】A项：因为 ，所以 且 是假命题，A错误；
B项：根据 、 易知B错误；
C项：由余弦函数性质易知 ，C错误；
D项： 恒大于等于 ，D正确，
故选：D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知命题 （ 为自然对数的底数）
，则下列为真命题的是（ ）
A． 真， 假 B． 真， 真
C． 假， 真 D． 假， 假
【答案】C
【解析】 命题 为假命题， ，必有 ，所以 ，
命题 为真命题.故选：C.
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）下列命题中，真命题是（ ）
A． ，
B． ，
C．“ ”是“ ”的必要不充分条件
D．命题“ ， ”的否定为“ ， ”
【答案】C
【解析】对于选项A，因为 ，当 时， 恒成立，所以 ，故A项错误；
对于选项B，当 时， ，故B项错误；
对于选项C，因为 ， 是 的必要不充分条件，故C项正确；
对于选项D，命题“ ”的否定为“ ”，故D项错误.
故选：C.
考法六 含量词命题的求参
【例6-1】（2023·河南郑州·统考一模）若“ ”为假命题，则实数 的取值范围为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】_____.
【答案】
【解析】由条件可知“ ”为真命题，
则 ，即 .故答案为：
【例6-2】（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）条件 ， ，则 的
一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若 ，使得 ，则 ，可得 ，则 ，
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
故当 时， ，即 ，
所以， 的一个必要不充分条件是 .故选：A.
【一隅三反】
1.（2023·全国·高三专题练习）若命题 ， 是假命题，则实数 的一个值为
_____________．
【答案】 （ 上任一数均可）
【解析】由题意 是真命题，所以 ，解得 ．
故答案为： （ 上任一数均可）．
2．（2023·全国·高三专题练习）p： ， 为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【解析】由题设命题为真，即 在 上恒成立，所以 ，故A为充分不必要条件，
B为充要条件，CD必要不充分条件.故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）若命题“ ”为假命题，则实数x的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】命题“ ”为假命题，其否定为真命题，
即“ ”为真命题．
令 ，
则 ，即 ，
解得 ，所以实数x的取值范围为 .
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）命题“ ”为假命题，则实数a的取值范围为
___________.
【答案】
【解析】若命题“ ”为假命题，则命题“ ”为真命题，即
在 上恒成立，
则 ，
因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以 ，
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
