§2.5 对数与对数函数
考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数
或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数
的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝log x(a>0，
a
且a≠1)互为反函数．
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x ＝ log N，其中
a
a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
以10 为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：log 1＝0，log a＝1， (a>0，且a≠1，N>0)．
a a
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①log (MN)＝log M ＋ log N；
a a a
②log ＝log M － log N；
a a a
③log Mn＝ n log M(n∈R)．
a a
(3)换底公式：log b＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
a
3．对数函数的图象与性质
y＝log x a>1 0<a<1
a
图象
定义域 (0 ，＋ ∞ )
值域 R
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时， y >0 ； 当x>1时， y <0 ；
性质
当0<x<1时， y <0 当0<x<1时， y >0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于
a
直线 y ＝ x 对称．
微思考
1．根据对数的换底公式，说出log b与log a， 与log b的关系？
a b a
提示 log b·log a＝1， ＝log b.
a b a
2．如图给出4个对数函数的图象．比较a，b，c，d与1的大小关系．
提示 0<c<d<1<a<b.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若MN>0，则log (MN)＝log M＋log N.( × )
a a a
(2)对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )
a
(3)函数y＝log 与函数y＝ln(1＋x)－ln(1－x)是同一个函数．( × )
a
(4)对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，.( √ )
a
题组二 教材改编
2．设函数f(x)＝3x＋9x，则f(log 2)＝________.
3
答案 6
解析 ∵函数f(x)＝3x＋9x，
∴f(log 2)＝ ＝2＋4＝6.
3
3．已知f(x)是不恒为0的函数，定义域为D，对任意x∈D，n∈N*，都有nf(x)＝f(xn)成立，
则f(x)＝________.(写出满足条件的一个f(x)即可)
答案 log x
2
解析 运算符合对数函数的运算法则，如f(x)＝log x，nf(x)＝nlog x＝log xn＝f(xn)，可以填写
2 2 2
f(x)＝log x.
2
4．函数 的定义域是______．
答案
解析 由 ，得0<2x－1≤1.∴<x≤1.
∴函数 的定义域是.
题组三 易错自纠
5．已知b>0，log b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
5
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
答案 B
6．计算：(log 9)·(log 4)＝________.
2 3
答案 4
解析 (log 9)·(log 4)＝×＝×＝4.
2 3
题型一 对数式的运算
例1 (1)(2020·全国Ⅰ)设alog 4＝2，则4－a等于( )
3
A. B. C. D.
答案 B
解析 方法一 因为alog 4＝2，
3
所以log 4a＝2，
3
所以4a＝32＝9，
所以4－a＝＝.
方法二 因为alog 4＝2，
3
所以a＝＝2log 3＝log 32＝log 9，
4 4 4
所以
(2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝____.
答案 4
解析 原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2
＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2
＝3(lg 5＋lg 2)＋1＝4.
思维升华 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及
变形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
跟踪训练1 (1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A. B．10 C．20 D．100
答案 A
解析 2a＝5b＝m，
∴log m＝a，log m＝b，
2 5
∴＋＝＋＝log 2＋log 5＝log 10＝2，
m m m
∴m2＝10，∴m＝(舍m＝－)．
(2)计算：log 35＋ －log －log 14＝________.
5 5 5
答案 2
解析 原式＝log 35－log －log 14＋
5 5 5
＝log ＋
5
＝log 125－1＝log 53－1＝3－1＝2.
5 5
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)已知函数f(x)＝log (2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是
a
( )
A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1
C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1
答案 A
解析 由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log b)，由
a
函数图象可知－1<log b<0，解得<b<1.
a综上有0<<b<1.
(2)若方程4x＝log x在上有解，则实数a的取值范围为__________．
a
答案
解析 若方程4x＝log x在上有解，则函数y＝4x和函数y＝log x在上有交点，
a a
由图象知解得0<a≤.
思维升华 对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、
最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝log |x|＋1(0<a<1)的图象大致为( )
a
答案 A
解析 由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝log |x|，先
a
画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由
函数g(x)的图象向上整体平移一个单位长度即得f(x)的图象，结合图象知选A.
(2)已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是
________．
答案 (1，＋∞)
解析 问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知
a>1.题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式、对数式的大小
例3 (1)设a＝log e，b＝e1.5， ，则( )
3
A．b<a<c B．c<a<b
C．c<b<a D．a<c<b
答案 D
解析 ＝log 4>log e＝a.
3 3
又c＝log 4<log 9＝2，b＝e1.5>2，
3 3
∴a<c<b.
(2)若实数a，b，c满足log 2<log 2<log2<0，则下列关系中正确的是( )
a b c
A．a<b<c B．b<a<c
C．c<b<a D．a<c<b
答案 C
解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得
<<<0，
即log c<log b<log a<0，
2 2 2
可得c<b<a<1.故选C.
思维升华 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可
用数形结合的方法．
(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，
而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选
0或1.
命题点2 解对数方程(不等式)
例4 设函数f(x)＝ 若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)答案 C
解析 由题意得
或
解得a>1或－1<a<0，故选C.
命题点3 对数函数性质的综合应用
例5 (1)(2020·全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增
D．是奇函数，且在上单调递减
答案 D
解析 f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为.
∵f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|
＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故排除A，C.
当x∈时，
f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln
＝ln ＝ln ，
∵y＝1＋在上单调递减，
∴由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减．
[高考改编题](多选)已知函数f(x)＝ln ，下列说法正确的是( )
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案 ACD
解析 f(x)＝ln ，令>0，解得x>或x<－，
∴f(x)的定义域为∪，
又f(－x)＝ln ＝ln ＝ln－1
＝－ln ＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故A正确；B错误．又f(x)＝ln ＝ln，
令t＝1＋，t>0且t≠1，∴y＝ln t，
又t＝1＋在上单调递减，且y＝ln t为增函数，
∴f(x)在上单调递减，故C正确；
∴y＝ln t的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确．
(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 A
解析 令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，
1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
思维升华 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，
必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与 1的大
小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注
意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝log (8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则
a
实数a的取值范围是__________．
答案
解析 当a>1时，f(x)＝log (8－ax)在[1,2]上单调递减，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，
a
则f(x) ＝f(2)＝log (8－2a)>1，且8－2a>0，
min a
解得1<a<.
当0<a<1时，f(x)在[1,2]上单调递增，
由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，
知f(x) ＝f(1)＝log (8－a)>1，且8－2a>0.
min a
解得a∈ ∅，
综上可知，实数a的取值范围是.
(2)已知函数f(x)＝|log x|，实数a，b满足0<a<b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值为
2
2，则＋b＝________.
答案 4
解析 ∵f(x)＝|log x|，
2
∴f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0<a<b，
∴0<a<1，b>1且ab＝1，
∴a2<a，由图知，
f(x) ＝f(a2)＝|log a2|＝－2log a＝2，
max 2 2
∴a＝，∴b＝2，
∴＋b＝4.
课时精练
1．(2019·全国Ⅰ)已知a＝log 0.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
2
A．a<b<c B．a<c<b
C．c<a<b D．b<c<a
答案 B
解析 ∵a＝log 0.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b.故选B.
2
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A．log x B. C． D．2x－2
2
答案 A
解析 函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log x，
a
又f(2)＝1，即log 2＝1，
a
所以a＝2.
故f(x)＝log x.
2
3．若函数f(x)＝log (x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大
a
致是( )
答案 D
解析 由f(x)的图象可知0<a<1,0<b<1，∴g(x)的图象应为D.
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 m －
2
m ＝lg ，其中星等为m 的星的亮度为E(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等
1 k k
是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1
答案 A
解析 由题意可设太阳的星等为m ，太阳的亮度为E ，天狼星的星等为m ，天狼星的亮度
2 2 1
为E ，则由m －m ＝lg ，得－26.7＋1.45＝lg ，则lg ＝－25.25，∴lg ＝－10.1，lg ＝
1 2 1
10.1，∴＝1010.1.故选A.
5．(多选)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若log b>1，则( )
a
A．(a－1)(a－b)<0 B．(a－1)(a－b)>0
C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0
答案 AD
解析 ①当a>1时，log b>1＝log a，
a a
∴b>a，∴b>a>1，
∴(a－1)(a－b)<0.
②当0<a<1时，log b>1＝log a，∴b<a，
a a
∴0<b<a<1，
∴b－1<0，b－a<0，
∴(b－1)(b－a)>0.
6．(多选)已知函数f(x)＝log (1－|x|)，则关于函数f(x)有下列说法，其中正确的说法为(
2
)
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的最大值为0
D．f(x)在区间(－1,1)上单调递增
答案 BC
解析 f(x)＝log (1－|x|)为偶函数，不是奇函数，
2
∴A错误，B正确；
根据f(x)的图象(图略)可知D错误；
∵1－|x|≤1，∴f(x)≤log 1＝0，故C正确．
2
7．计算：log ×log 9＋lg＋2lg 2＝________.
3 4
答案 0
解析 原式＝－log 2× ＋lg＋lg 4
3＝－log 2×log 3＋lg
3 2
＝－1＋1＝0.
8．已知函数y＝log (x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
a
答案 (4，－1)
解析 令x－3＝1，则x＝4，
∴y＝log 1－1＝－1，
a
故点P坐标为(4，－1)．
9．函数f(x)＝log · 的最小值为________．
2
答案 －
解析 依题意得f(x)＝log x·(2＋2log x)＝(log x)2＋log x＝2－≥－，当log x＝－，即x＝时
2 2 2 2 2
等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.
10．若函数f(x)＝log (x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝________.
a
答案 2
解析 令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0,2]上的最大值u(x) ＝4，最小值u(x) ＝.
max min
当a>1时，y＝log u是增函数，f(x) ＝log 4＝2，得a＝2；
a max a
当0<a<1时，y＝log u是减函数，f(x) ＝log ＝2，得a＝(舍去)．故a＝2.
a max a
11．设f(x)＝log (1＋x)＋log (3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.
a a
(1)求实数a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解 (1)∵f(1)＝2，∴log 4＝2(a>0，且a≠1)，
a
∴a＝2.由得－1<x<3，
∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log (1＋x)＋log (3－x)
2 2
＝log [(1＋x)(3－x)]＝log [－(x－1)2＋4]，
2 2
∴当x∈[0,1]时，f(x)单调递增；
当x∈时，f(x)单调递减，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log 4＝2.
2
12．(2020·合肥调研)已知函数f(x)＝log .
2
(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；
(2)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．
解 (1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0，
∴log (1＋a)＝0，∴a＝0.
2
经验证当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数．
∴a＝0.(2)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)＝log (1＋a)，最小值是
2
f(1)＝log .
2
由题设得log (1＋a)－log ≥2，
2 2
则log (1＋a)≥log (4a＋2)．
2 2
∴
解得－<a≤－.
故实数a的取值范围是.
13．(多选)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
A．f(x)在(0,2)上单调递增
B．f(x)在(0,2)上的最大值为0
C．f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 BC
解析 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，定义域为(0,2)，
f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)，
令t＝－x2＋2x，y＝ln t，
∵t＝－x2＋2x，x∈(0,2)，在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故A不正确；
f(x) ＝f(1)＝0，故B正确；
max
∵f(1＋x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)，
f(1－x)＝ln(1－x)＋ln(1＋x)，
∴f(1＋x)＝f(1－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D不正确．
14．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范
围是________．
答案 (0,1)
解析 由题意知，在(0,10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)，∴ab
＝1,0<c<lg 10＝1，∴abc的取值范围是(0,1)．15．设a＝log 0.3，b＝log 0.3，则( )
0.2 2
A．a＋b<ab<0 B．ab<a＋b<0
C．a＋b<0<ab D．ab<0<a＋b
答案 B
解析 ∵a＝log 0.3>log 1＝0，
0.2 0.2
b＝log 0.3<log 1＝0，∴ab<0.
2 2
∵＝＋＝log 0.2＋log 2＝log 0.4，
0.3 0.3 0.3
∴1＝log 0.3>log 0.4>log 1＝0，
0.3 0.3 0.3
∴0<<1，∴ab<a＋b<0.
16．(2020·武汉调研)函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在
[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝
log (ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，求实数t的取值范围．
a
解 函数f(x)＝log (ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R.当a>1时，z＝ax
a
＋t2在R上单调递增，y＝log z在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；当0<a<1
a
时，f(x)仍为R上的增函数，
∴f(x)在定义域R上为增函数，
f(x)＝log (ax＋t2)＝x，
a
∴ax＋t2＝
则ax－ ＋t2＝0.
令u＝ ，u>0，
则u2－u＋t2＝0有两个不相等的正实根．
得Δ＝1－4t2>0，且t2>0，
∴0<t2<，解得t∈∪.
∴实数t的取值范围是∪.
