文档内容
第 3 课时 函数性质的综合问题
题型一 函数的单调性与奇偶性
例1 (1)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x＋ex.若a＝f(－π)，b＝f(log 3)，
2
c＝f(2－0.2)，则a，b，c的大小关系为( )
A．b>a>c B．c>b>a
C．a>b>c D．a>c>b
答案 C
解析 当x>0时，f(x)＝ln x＋ex为增函数，
∴f(x)的图象关于y轴对称，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，a＝f(－π)
＝f(π)，
又π>3>log 3>1>2－0.2>0，
2
∴f(π)>f(log 3)>f(2－0.2)，
2
∴a>b>c.
(2)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则
满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
答案 D
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，
得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，
得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
[高考改编题]若函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(2)＝0，且在(0，＋∞)上单调递增，则满
足f(x－1)≥0的x的取值范围是______，满足<0的x的取值范围是______．
答案 [－1,1]∪[3，＋∞) (－2,0)∪(0,2)
解析 由函数f(x)的性质，作出函数f(x)的大致图象如图所示，
∵f(x－1)≥0，则－2≤x－1≤0或x－1≥2，
解得－1≤x≤1或x≥3.
当<0时，xf(x)<0，即f(x)的图象在二、四象限，
即－2f(x)或
1 2
f(x)f(2 018)
答案 AC
解析 因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，
所以f(x)是以8为周期的函数，则f(2 017)＝f(1)，f(2 018)＝f(2)，
而由f(x－4)＝－f(x)得f(2 019)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，f(2 020)＝f(4)＝－f(0)＝0，
又因为f(x)在[0,2]上单调递增，
所以f(2)>f(1)>f(0)＝0，即f(2 019)＝f(2 017)，f(2 020)0，
画出f(x)的图象如图所示，∴xf(x)>0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
9．已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－1对称，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当
x∈[－4，－1]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
答案 216
解析 由f(x＋4)＝f(x－2)，得f(x＋6)＝f(x)．
故f(x)是周期为6的函数．
所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)．
因为f(x)的图象关于直线x＝－1对称，
所以f(1)＝f(－3)．
又x∈[－4，－1]时，f(x)＝6－x，
所以f(－3)＝6－(－3)＝216.
从而f(1)＝216，故f(919)＝216.
10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2,4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)
＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝________.
答案 0
解析 因为f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋
2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(3)
＝f(－1)＝－f(1)．在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋
f(3)＋f(4)＝0.
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝505[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0.
11．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于 x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当
x∈[0,2)时，f(x)＝log (x＋1)，求：
2
(1)f(0)，f(2)，f(3)的值；
(2)f(2 021)＋f(－2 022)的值．
解 (1)f(0)＝log 1＝0，f(2)＝－f(0)＝0，
2
f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log (1＋1)＝－1.
2
(2)依题意得，当x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即当x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．
因此，f(2 021)＋f(－2 022)＝f(2 021)＋f(2 022)＝f(1)＋f(2)．
而f(2)＝0，f(1)＝log (1＋1)＝1，
2
故f(2 021)＋f(－2 022)＝1.
12．已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x，若存在x∈[－1,1]，使得不
等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，求实数m的最大值．解 因为g(x)－h(x)＝2x，①
所以g(－x)－h(－x)＝2－x.
又g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，
所以g(x)＋h(x)＝2－x，②
联立①②，得g(x)＝，h(x)＝.
由m·g(x)＋h(x)≤0，得m≤＝＝1－.
因为y＝1－为增函数，所以当x∈[－1,1]时， ＝1－＝，所以m≤，即实数m的最大值为.
max
13．(2021·安徽江南十校质检)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值
范围为( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C. D.∪(1，＋∞)
答案 C
解析 由已知得函数f(x)为偶函数，
所以f(x)＝f(|x|)，
由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．
当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
因为y＝ln(1＋x)与y＝－在[0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，
两边平方可得x2>(2x－1)2，
整理得3x2－4x＋1<0，
解得0时，f(x)＝f(x－2)＋1，
则f(2 021)＝f(2 019)＋1＝f(2 017)＋2＝…
＝f(1)＋1 010＝f(－1)＋1 011,
而f(－1)＝0，故f(2 021)＝1 011.
15．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增．若方程
f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x，x，x，x，则x＋x＋x＋x＝________.
1 2 3 4 1 2 3 4
答案 －8解析 因为定义在R上的奇函数满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(－x)．由f(x)为奇函数，
所以函数图象关于直线x＝2对称，且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数的
周期为8.又因为f(x)在区间[0,2]上单调递增，所以函数在区间[－2,0]上也单调递增，作出函
数f(x)的大致图象如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x，x，
1 2
x，x，不妨设xm，∴mn＝6，∴n＝，
则4＋＝，显然等式不成立，
∴函数g(x)＝4＋不存在“优美区间”．
(3)解 设[m，n]是已知函数定义域的子集．
由x≠0，则[m，n]⊆(－∞，0)或[m，n]⊆(0，＋∞)，
而函数y＝h(x)＝＝－在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“优美区间”，则
∴m，n是方程－＝x，即a2x2－(a2＋a)x＋1＝0的两个同号且不相等的实数根，∴m＋n＝，
∵mn＝>0，
∴m，n同号，只需Δ＝(a2＋a)2－4a2＝a2(a＋3)(a－1)>0，解得a>1或a<－3，
∵n－m＝＝＝，
∴当a＝3时，n－m取得最大值.
