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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 41 练 椭圆及其性质（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．椭圆 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆方程求 ，并结合焦点所在位置分析判断.
【详解】由椭圆方程可知： ，且焦点在y轴上，
可得 ，所以椭圆 的焦点坐标为 .
故选：B.
2．已知椭圆 的离心率为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据离心率的公式即可求解.
【详解】由 可得离心率为 ，又 ，所以 ，
故选：A
3．已知焦点在 轴上的椭圆 的焦距为2，则 的值为（ ）
A． B． C．5 D．3
【答案】D
【分析】根据焦点的位置可得 的取值范围，结合焦距可求 的值.
【详解】因为焦点在 轴，故 ，而焦距是2，故 即 ，
故选：D.4．如果椭圆 上一点 到焦点 的距离等于6，那么点 到另一个焦点 的距离是（ ）．
A．4 B．14 C．12 D．8
【答案】B
【分析】根据椭圆标准方程确定 ，再结合椭圆的定义可得答案.
【详解】椭圆 中 ，所以
由椭圆的定义可得 ，又 ，所以 .
即点 到另一个焦点 的距离是 .
故选：B.
5．若点 满足方程 ，则动点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两点距离公式的几何意义，结合椭圆的定义即可得解.
【详解】因为动点 满足关系式 ，
所以该等式表示点 到两个定点 ， 的距离的和为12，
而 ，即动点M的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
且 ，即 ，又 ， ，
所以动点M的轨迹方程为 .
故选：C.
6．已知 是椭圆 的一个焦点，则实数 （ ）
A．6 B．
C．24 D．
【答案】D【分析】把椭圆方程化成标准形式，再利用给定的焦点坐标列式计算作答.
【详解】椭圆 化为： ，显然 ，有 ，
而椭圆的一个焦点为 ，因此 ，所以 .
故选：D
7．已知椭圆 的焦点在 轴上，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的焦点在 轴上列出对应的不等式即可得出答案.
【详解】由题意得， ，解得 ．
故选:D.
8．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 在椭圆 上，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的标准方程得出椭圆中的 ，利用椭圆的定义及三角形的周长公式即可求解.
【详解】由 ，得 ，即 ，
所以 ，即 .
由椭圆的定义知， ,
所以 的周长为 .
故选：B.
9．设椭圆 ， 的离心率分别为 ， ，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．【答案】B
【分析】根据离心率的关系列方程，从而求得 .
【详解】对于椭圆 ，有 .
因为 ，所以 ，解得 ．
故选：B
10．已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于A，B两点，若 ，则
（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义，结合焦点三角形的周长即可求解.
【详解】由 ，即 ，可得 ，
根据椭圆的定义 ，
所以 .
故选：B.
11．直线 与椭圆 总有公共点，则m的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果.
【详解】直线 过定点 ，只需该点落在椭圆内或椭圆上，∴ ，
解得 ，又 ，
故选：C．
12．已知椭圆 ： 的离心率 ，短轴的右端点为 ， 为线段 的中点，
则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由点的坐标求得 ，通过离心率求得 ，即可求解椭圆方程.
【详解】因为 为线段 的中点，且 ，所以 ，
又椭圆 的离心率 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
故选：B.
13．椭圆 的两焦点分别为 ， 是椭圆 上一点，当 的面积取得最大值时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角形面积公式得当点 位于椭圆的上下端点时， 面积最大，再利用特殊角的三角函
数即可得到答案.
【详解】 ，所以 ，
所以 ，则当 最大时， 面积最大，
此时点 位于椭圆的上下端点，
则 ，因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
14．已知椭圆E： 与直线 相交于A，B两点，O是坐标原点，如果 是等边
三角形，那么椭圆E的离心率等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】根据题意不妨设点B在第一象限， 则 ，结合直线OB的斜率运算求解即可.
【详解】联立方程 ，解得 ，
不妨设点B在第一象限， 则 ，
由题意可知：OB的倾斜角是 ，则 ，
所以椭圆的离心率 .
故选：C．
15．我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”（其中
），如图所示，
其中点 是相应椭圆的焦点．若 是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为（ ）
A． ，1 B． ，1C．5，3 D．5，4
【答案】A
【分析】由椭圆方程表示出两个椭圆的半焦距，通过解方程得a，b的值.
【详解】 是边长为1的等边三角形，
则有 ， ，
∴ ，∴ ，得 .
故选：A．
16．已知椭圆C的左右焦点分别为 ， ，P，Q为C上两点， ，若 ，则C的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的焦点三角形，结合勾股定理即可求解.
【详解】设 ，则 ， ， .
在 中得： ，即 .
因此 ， ， ，
在 中得： ，故 ，所以 .
故选：D17．已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点， 是椭圆 在第一象限内的一点，若 ，
则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由椭圆的方程可得 ， 的值，进而求出 的值，由椭圆的定义及勾股定理可得 ， 的值，
再求出 的正切值．
【详解】由椭圆的方程 可得 ， ，所以 ，
设 ，则 ，由 在第一象限可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
整理可得 ，
解得 或2（舍 ，
即 ， ，
所以在 中， ，
故选：A．二、多选题
18．关于椭圆 有以下结论，其中正确的有（ ）
A．离心率为 B．长轴长是
C．焦距2 D．焦点坐标为
【答案】ACD
【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的几何性质可得选项.
【详解】将椭圆方程化为标准方程为
所以该椭圆的焦点在 轴上，焦点坐标为 ，故焦距为2，故C、D正确；
因为 所以长轴长是 ，故B错误，
因为 ，所以 ，离心率 ，故A正确.
故选：ACD
19．已知方程 表示椭圆，下列说法正确的是（ ）
A．m的取值范围为 B．若该椭圆的焦点在y轴上，则
C．若 ，则该椭圆的焦距为4 D．若 ，则该椭圆经过点
【答案】BC
【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.
【详解】A：因为方程 表示椭圆，所以 ，解得 ，且 ，故A错误；
B：因为椭圆 的焦点在y轴上，
所以 ，解得 ，故B正确；
C：若 ，则椭圆方程为 ，
所以 ，从而 ，故C正确；
D：若 ，则椭圆方程为 ，
点 的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点 ，故D错误.
故选：BC.
20．已知 是椭圆 上一点， 是左､右焦点，下列选项中正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率
C． D． 的面积的最大值是2
【答案】BCD
【分析】对于ABC，由椭圆的标准方程求得 ，再利用椭圆的定义与性质即可判断；对于D，由椭圆
的几何性质与 的面积公式即可判断．
【详解】对于A，因为椭圆 ，所以知 ，
所以椭圆的焦距为 ，故A错误；
对于B，椭圆的离心率为 ，故B正确；
对于C，由椭圆的定义可得 ，故C正确；对于D，设 ，由椭圆的几何性质可知 ，
所以 ，
即 的面积的最大值是2，故D正确.
故选：BCD．
21．已知 是椭圆 的两个焦点，点P在椭圆E上，则（ ）
A．点 在x轴上 B．椭圆E的长轴长为4
C．椭圆E的离心率为 D．使得 为直角三角形的点P恰有6个
【答案】BC
【分析】根据椭圆的方程可判断椭圆焦点的位置，以及求出长轴的长，计算出离心率，判断A，B，C；结
合向量的坐标运算判断 为锐角，根据椭圆对称性可判断D.
【详解】由题意 的长半轴长 ，短半轴长 ，焦半距 ，
椭圆 的焦点在y轴上，A错误；
椭圆E的长轴长为 ，B正确；
椭圆E的离心率为 ，C正确；
椭圆的右顶点 ，焦点 ，
所以 ，
则 ，即 为锐角，
故根据椭圆的对称性可知，使得 为直角三角形的点P恰有4个（以 或 为直角），D错误．
故选：BC．22．已知椭圆 ， 为C的左、右焦点，P为C上一点，且 ，若 交C点于点
Q，则（ ）
A． 周长为8 B．
C． 面积为 D．
【答案】AD
【分析】根据椭圆方程，求出对应的 ，利用几何性质即可得出正确的选项
【详解】由题意，在椭圆 中， ，不妨设 在 轴上方，
则 ， ，
所以 ，故B错；
的周长为 ，A正确；
设 ，
在 中，
得 ，
所以 ，D正确；
，
所以 ，故C不正确，
故选：AD．
23．设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．以线段 为直径的圆与直线 相切
B．△ 面积的最大值为
C．
D．离心率
【答案】ACD
【分析】由题可得 ，然后结合条件逐项分析即得.
【详解】由椭圆 可得， ，
所以线段 为直径的圆的方程为 ，圆心为 ，半径为1，
所以线段 为直径的圆到直线 的距离为 ，故A正确；
由题可得△ 面积的最大值为 ，故B错误；
所以 ，故C正确；
椭圆的离心率为 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
24．写出一个焦距为3的椭圆的标准方程： ．
【答案】 （答案不唯一）【分析】由 ，任取一个 值，求出相应的 值，写出标准方程即可．
【详解】由题意 ，即 ，又 ，例如 ，则 ，
标准方程可为 ．
故答案为： ．（答案不唯一）
25．在平面直角坐标系中，点 到点 、 的距离之和为 ，则点 的轨迹方程是 .
【答案】
【分析】依题意可得点 为以点 、 为焦点的椭圆，即可求出 、 、 ，从而得到椭圆方程.
【详解】因为点 到点 、 的距离之和为 ，
即 ，所以点 的轨迹为以点 、 为焦点的椭圆，
且 ， ，所以 ，所以椭圆方程为 .
故答案为：
26．已知椭圆 的离心率为 ，则长轴与短轴的比值为 .
【答案】
【分析】根据 间的关系知 ，再根据条件即可求出结果.
【详解】因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，得到 ，所以长
轴与短轴的比值为 .故答案为： .
27．若椭圆 的离心率为 ，则椭圆 的长轴长为 .
【答案】 或
【分析】根据题意，分类讨论 和 两种情况，结合椭圆方程的性质与离心率公式求解即可.
【详解】因为椭圆 的离心率为 ，易知 ，
当 时，椭圆焦点在 轴上， ， ，
所以 ，解得 ，则 ，所以椭圆的长轴长为 .
当 时，椭圆焦点在 轴上， ， ，
所以 ，得 ，满足题意，
此时 ，所以椭圆的长轴长为 .
故答案为： 或 .
28．已知 是椭圆 上一点，则离心率 .
【答案】
【分析】将点 代入椭圆的方程，求得 ，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】因为 是椭圆 上一点，可得 ，解得 ，即 ，
所以椭圆的离心率为 .
故答案为： .
29．椭圆 的内接正方形的周长为 ．【答案】
【分析】根据椭圆以及正方形的对称性可设一个顶点为 ，代入椭圆方程即可求解 ，进而可求周长.
【详解】根据椭圆和正方形的对称性，不妨设椭圆的内接正方形在第一象限的一个顶点为 ，
则 ，所以周长为 ，
故答案为：
30．一椭圆的短半轴长是 ，离心率是 ，焦点为 ，弦AB过 ，则 的周长为 ．
【答案】12
【分析】由椭圆的离心率和 的关系求出 .根据椭圆的定义可得 的周长为 ,即可得出答案.
【详解】因为椭圆的短半轴长是 ，所以 .离心率是 ，所以 .
由 可得 ，即 .
根据椭圆的定义 ，
可得 的周长为 .
故答案为：12.
31．已知 分别是双曲线 的左右焦点， 是 上的一点，且 ，则的周长是 ．
【答案】34
【分析】由双曲线定义可得 ，再利用 之间的关系求得 ，从而得到所求周长.
【详解】因为 ，所以 ，
故 ，则 ，
又 ，故 ，则 ， ，
所以 的周长为 .
故答案为：34.
32．已知椭圆 ， 是它的右焦点， 是它的左顶点， 为直线 上一点，
是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据 是底角为 的等腰三角形，推出 ，由此得到 的关系式，可得离心率.
【详解】由题意可知： ， ，
∴ ， ∴ ，
∴ ，∴ ， .
故答案为： .
33．椭圆 的四个顶点 构成菱形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率
．
【答案】
【分析】由题设确定内切圆半径，利用等面积法列椭圆参数的齐次方程，进而求离心率.【详解】由题设，内切圆半径为 ，故 ，
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，（ 舍），故 .
故答案为： .
34．已知 分别为椭圆 的左、右焦点，点P在椭圆上， （O为坐标原点）
是面积为 的正三角形，则此椭圆的方程为 ．
【答案】
【分析】不妨设点 位于第一象限，且 ，由题意得到 ，解得 ，结合椭圆的定义，求
得 ，得到 ，即可求得椭圆的方程.
【详解】不妨设点 位于第一象限，且 ，
因为 是面积为 的正三角形，可得 ，解得 ，
所以 ，
由椭圆的定义得 ，
所以 ，则 ，
所以椭圆的标准方程为 .
故答案为： .35．椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比为 ，短轴长为8，则椭圆的标准方程为
．
【答案】 或
【分析】根据椭圆的简单几何性质即可求解 的值，即可求解.
【详解】设椭圆的焦距为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，
所以
，又 ，结合 可得 ，
故椭圆方程为 或 ，
故答案为： 或
36．设 和 为椭圆 的两个焦点，点 在椭圆上，且满足 ，则 的面积是
.
【答案】
【分析】将椭圆方程化为标准式，即可求出 、 、 ，由 ，可得点 为短轴顶点，最后由面积公
式计算可得.
【详解】椭圆 ，即 ，所以 ， ， ，
因为 ，所以点 为短轴顶点，所以 .
故答案为：37．已知 是等边三角形， 、 分别是边 和 的中点.若椭圆以 、 为焦点，且经过 、
，则椭圆的离心率等于 .
【答案】
【分析】如图建立平面直角坐标系，设 的边长为 ，即可求出 、 、 ，从而求出 、 ，
即可求出离心率.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
因为 是等边三角形， 、 分别是边 和 的中点，
所以 ，设 的边长为 ，
则 ，即 ， ， ，
又 ，所以 ，
所以椭圆的离心率 .
故答案为：
38．已知椭圆 的左、右两个顶点分别为A，B，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，则直
线PA，PB的斜率之积为 ．
【答案】
【分析】根据题意结合斜率公式分析运算.【详解】由题意可得 ，则 ，
设 ，则 ，整理得 ，
可得直线PA，PB的斜率分别为 ，
所以 .
故答案为： .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．已知椭圆 的左，右两焦点为 和 ，P为椭圆上一点，且 ，则
（ ）
A．8 B．12 C．16 D．64
【答案】A
【分析】根据题干数据先分析出 为直角三角形，然后根据椭圆定义和勾股定理计算.
【详解】
由题意得， ，于是 ，
即 为△ 的外心，以 为直径的圆经过 ，于是 ，记 ，根据椭圆定义和勾股定理： ，
于是 .
故选：A
2．已知点 ，动点 到直线 的距离为 ，则 的周长为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】设点P的坐标，代入距离公式化简得点P的轨迹方程，利用椭圆定义即可求解.
【详解】设 ，则 ，
因为 ，所以 ，整理可得 ，
即 点的轨迹为椭圆且方程为 ，
由椭圆定义知 的周长为 .
故选：D
3．设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是 上的动点，则下列四个结论正确的个数（ ）
① ；
②离心率 ；
③ 面积的最大值为 ；
④以线段 为直径的圆与直线 相切．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B【分析】由椭圆定义可判断①；求出离心率可判断②；当 为椭圆短轴顶点时， 的面积取得最大值，
求出可判断③；求出圆心到直线距离可判断④.
【详解】对于①，由椭圆的定义可知 ，故①正确；
对于②，由椭圆方程知 ，
所以离心率 ，故②错误；
对于③， ，当 为椭圆短轴顶点时，
的面积取得最大值，最大值为 ，故③错误；
对于④，以线段 为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为:
，
即圆心到直线的距离等于半径，
所以以线段F1F2为直径的圆与直线 相切，
故④正确.
故选：B.
4．已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两点，若 ，
且 ，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】根据“点差法”以及中点弦即可求解．
【详解】 右焦点 ， ，
设 , , , ，由 可知 是 的中点，
， ，
且 ，
两式相减得 ，
，
， ， ，
故椭圆 方程为 ，
故选：C
5．已知点 ， 是椭圆 上关于原点对称的两点， ， 分别是椭圆 的左、右焦点，若
，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先证明四边形 是平行四边形，再利用椭圆的定义求出 即得解.
【详解】因为 ,
所以四边形 是平行四边形.
所以 .
由椭圆的定义得 .
所以 .
故选：C6．已知椭圆 的右焦点为 ，过原点的直线 与 交于 两点，若 ，且
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设椭圆的左焦点为 ，由椭圆的对称性可得四边形 为矩形，再根据椭圆的定义求出
，再利用勾股定理构造齐次式即可得解.
【详解】如图，设椭圆的左焦点为 ，
由椭圆的对称性可得 ，
所以四边形 为平行四边形，
又 ，所以四边形 为矩形，所以 ，
由 ，得 ，
又 ，所以 ，
在 中，由 ，
得 ，即 ，所以 ，即 的离心率为 .
故选：A.
7．已知椭圆E： 的右焦点为 ，左顶点为 ，若E上的点P满足 轴，
，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出点 的坐标，求出 长，再利用给定的正切值列式计算作答.
【详解】设 ，则直线 ： ，由 ，得 ，即 ，
而 ， ，由 ，得 ，即 ，
有 ，又 ，因此 ，
所以E的离心率为 .故选：A
8．椭圆 的左右焦点为 ， ，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足
， ，若四边形 的周长等于 ，则椭圆C的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 ， ，可得点 为线段 的中点，点 为线段 的中点，再根
据四边形 的周长结合椭圆的离心率公式即可得解.
【详解】因为 ，所以点 为线段 的中点，
因为 ，所以 ，
即 ，所以点 为线段 的中点，
又因点 为线段 的中点，
所以 且 ， 且 ，
所以四边形 的周长为 ，
又因点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，所以 ，
所以 ，即 ，
故椭圆C的离心率为 .
故选：C.9．设点 、 分别是椭圆 的左、右焦点，点 、 在 上（ 位于第一象限）
且点 、 关于原点对称，若 ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可知，四边形 为矩形，设 ，则 ，利用椭圆定义可得出 与
的等量关系，利用勾股定理可得出 与 的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值.
【详解】如下图所示：
由题意可知， 为 、 的中点，则四边形 为平行四边形，则 ，
又因为 ，则四边形 为矩形，
设 ，则 ，所以， ，
由 勾股定理可得 ，
所以，该椭圆的离心率为 .故选：B.
二、多选题
10．已知 ， 是椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．椭圆的焦距为
C．点 到左焦点 距离的最大值为
D． 的最大值为
【答案】ABD
【分析】由已知求出 的值，然后根据椭圆的定义即可得出A，B项；根据椭圆的性质，可判断C、D
项.
【详解】对于A项，由已知可得 ， ，根据椭圆的定义可得 ，故A正确；
对于B项，由已知可得 ， ，椭圆的焦距为 ，故B正确；
对于C项，由已知可得，点 到左焦点 距离的最大值为右顶点到左焦点的距离，即 ，故C
项错误；
对于D项，
如图，当点P为短轴顶点时， 为最大值，此时 ， ，
则 ，所以 的最大值为 ，故D项正确.
故选：ABD.11．已知椭圆 ，若 在椭圆 上， 是椭圆 的左、右焦点，则下列说法正确的有
（ ）
A．若 ，则 B． 面积的最大值为
C． 的最大值为 D．满足 是直角三角形的点 有 个
【答案】AC
【分析】根据椭圆定义和余弦定理可求得A正确；当 为短轴端点时， 面积最大，知B错误；根
据 ，由 可求得C正确；分别讨论 、 和
的情况，可求得D错误.
【详解】由椭圆方程知： ， ， ；
对于A，若 ， ， ，
又 ， ，
又 ， ，A正确；
对于B，当 为短轴端点时， 面积最大，最大值为 ，B错误；
对于C， ，即 ，
，即 的最大值为 ，C正确；
对于D，当 或 ，即 或 或 或 时， 为直角
三角形；
当 时，设 ，则 ，，又 ， 或 或 或 ，
即 或 或 或 ；
综上所述：满足 是直角三角形的点 有 个，D错误.
故选：AC.
12．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在 上，且 的最大值为3，最
小值为1，则（ ）
A．椭圆 的离心率为 B． 的周长为4
C．若 ，则 的面积为3 D．若 ，则
【答案】AD
【分析】对A，根据题意可得 ， 即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据
余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可．
【详解】对A，由题意 ， ，故 ， ，故A正确；
对B， 的周长为 ，故B错误；
对C， ，
，当且仅当 时，等号成立，
因为 在 上递减，所以此时 最大，又 ， ，所以 的最大值为 ，
，不成立，故C错误；
对D，由余弦定理，即 ，
解得 ，故 ，故D正确；
故选：AD
13． ， 为椭圆 的两个焦点，椭圆 上存在点 ，使得 ，则椭圆 的方程可以是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】设椭圆方程为 ，椭圆与y轴正半轴的交点为B，椭圆C上存在点P，使得
，则需 ，再结合椭圆的性质，即可求解．
【详解】根据选项，设椭圆 的方程为 ，设椭圆 的上顶点为 ，
椭圆 上存在点 ，使得 ，则需 ，
所以 ，即 ，
因为 ， ，则 ，检验可得选项A，D满足.
故选：AD.
14．设点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ，动点 满足：
，给出下列四个命题：
①点 的轨迹方程为 ；② ；③存在4个点 ，使得 的面积为 ；④ .
则正确命题的有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】AD
【分析】根据椭圆的定义可得 的轨迹为以 为焦点的椭圆可判断①；结合椭圆的定义以及共线
即可判断②④,由三角形的面积即可结合椭圆的最值求解④.
【详解】对于①，由 得 ,
所以点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，且 ， ，
，故点 的轨迹方程为 ，①正确；
对于②④，当将 代入椭圆方程中得 ，所以点 在椭圆内，
所以 ，
当且仅当 运动到 即 与 轴垂直时等号成立，
，
由于 ，
所以 ，
当且仅当 运动到 时等号成立，故②错误④正确；
对于③， ，其中 为点 到直线 的距离，
若 , ，由于当点 为椭圆的右顶点时，此时 取最大值3，
故满足条件的点 只有一个，③错误，
故选：AD.15．已知 ， 分别是椭圆C： 的左、右焦点，P是椭圆C上一点，则（ ）
A．当 时，满足 的点P有2个
B． 的周长一定小于
C． 的面积可以大于
D．若 恒成立，则C的离心率的取值范围是
【答案】ABD
【分析】当点 的坐标为 或 时， 最大，计算得到A正确， 的周长为
，故B正确，面积为 ，C错误，根据 计算离心率得到D正确，得到答
案.
【详解】对于选项A：当点 的坐标为 或 时， 最大，此时，若 ，
则 ，所以 ，A正确；
对于选项B： 的周长为 ，故B正确；
对于选项C： 的面积为 ，故C错误；
故于选项D：因为 ，所以 ，可得 ，得 ，得 ，又 ，所以 ，故D正确．
故选：ABD．
16．已知椭圆 ： （ ）， ， 分别为其左、右焦点，椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆
上，点 在椭圆内部，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率 的取值范围为
B．不存在点 ，使得
C．当 时， 的最大值为
D． 的最小值为1
【答案】ABC
【分析】A：根据点 在椭圆内部可得 ，从而可得 的取值范围，从而可求离心率的取值
范围；B：根据相反向量的概念即可求解；C：求出c和 ，利用椭圆定义将 化为 ，数形结合即
可得到答案；D：利用 可得
，利用基本不等式即可求解.
【详解】对于A，由已知可得， ，所以 ，
则 ，故A正确；
对于B，由 可知，点 为原点，显然原点不在椭圆上，故B正确；对于C，由已知 ， ，所以 ， ．
又 ，则 ．
根据椭圆的定义可得 ，
所以 ，
由图可知， ，
所以
当且仅当 ， ， 三点共线时，取得等号．
故 的最大值为 ，故C正确；
对于D，因为 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以， 的最小值为 ，故D错误．故选：ABC
【点睛】本题考查点和椭圆为位置关系，考查椭圆定义和基本不等式在计算最值问题里面的应用.
17．已知双曲线 的焦点分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为
B．双曲线 与椭圆 的离心率互为倒数
C．若双曲线 上一点 满足 ，则 的周长为28
D．若从双曲线 的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
【答案】CD
【分析】根据椭圆、双曲线的定义与性质逐项分析判断.
【详解】设双曲线 的实轴长为 ，虚轴长为 ，焦距 ，
由题意可知： ，且焦点在x轴上，
对于选项A：双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，故A错误；
对于选项B：双曲线 的离心率 ，
设椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距 ，
则 ，可得椭圆的离心率 ，
且 ，所以双曲线 与椭圆 的离心率不互为倒数，故B错误；
对于选项C：由双曲线的定义可知： ，
可得 ，所以 的周长为 ，故C正确；
对于选项D：若从双曲线 的左､右支上任取一点，由双曲线的对称性可知这两点的最短距离为 ，故
D正确；
故选：CD.三、填空题
18．过点 且与椭圆 有相同焦点的椭圆的标准方程为 .
【答案】
【分析】方法一：由题意得椭圆的焦点坐标为 ， ，由椭圆定义得 ，求出
即可；
方法二：设所求椭圆的标准方程为 ，由题中条件，列出方程组求解即可；
方法三： 由条件设所求椭圆的标准方程为 ，将点P的坐标代入，求解即可.
【详解】方法一：由题意得 .
因此所求椭圆的焦点坐标为 ， .
由椭圆定义得 ，
即 ，所以 .
故所求椭圆的标准方程为 .
方法二：因为所求椭圆与椭圆 的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且 .
设所求椭圆的标准方程为 ，则 ①.
又点 在所求椭圆上，所以 ，即 ②.
由①②得 ， ，故所求椭圆的标准方程为 .
方法三： 由条件设所求椭圆的标准方程为 .
将点P的坐标代入，得 ，解得 或 （舍去）.故所求椭圆的标准方程为 .
故答案为： .
19．已知椭圆 的左、右焦点分别为F，F，点P在椭圆上，若线段PF 的中点在y轴上，|PF|
1 2 1 1
－|PF|＝ .
2
【答案】
【分析】因为线段 的中点在y轴上得 的长，进而求得 .
【详解】因为线段 的中点在y轴上，可得 轴，所以 轴，
所以 ， ，
所以 .
故答案为： .
20．设P是椭圆 上任意一点，F为C的右焦点， 的最小值为 ，则椭圆C的长
轴长为 ．
【答案】
【分析】 的最小值为 ，即 ，解得答案.
【详解】 的最小值为 ，即 ，解得 ，长轴长为 .
故答案为：
21．已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题设可得 ，结合椭圆参数关系及离心率性质求离心率范围.
【详解】依题意， ，即 ，所以 ，从而 ，即 ，所以 ，又 ，
所以椭圆离心率的取值范围是 ．
故答案为：
22．已知 ， 为椭圆 ： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且
，则四边形 的面积为 ．
【答案】18
【分析】判断满足条件的点 存在，再借助对称的性质确定四边形形状，利用椭圆定义求解作答.
【详解】椭圆 ： 的长短半轴长 ，半焦距 ，
于是椭圆 上存在点到原点距离等于椭圆半焦距c，
由P，Q为 上关于坐标原点对称的两点，得四边形 为平行四边形，
又 ，则 为矩形，即有 ，
而 ，所以四边形 的面积
.
故答案为：1823．已知椭圆 的右焦点为 ，过原点 的直线与椭圆 交于 、 两点，则 的最小
值为 ．
【答案】
【分析】当直线的斜率为 ，直接求出 ，直线的斜率不为 ，取椭圆左焦点 ，连接 ， ，
， ，根据对称性可得 ，设 ，则 ，令
，利用导数求出函数的最小值，即可得解.
【详解】椭圆 ，则 ， ，所以 ，
若直线的斜率为 ，此时过原点 的直线与椭圆 交于左、右顶点，此时 ，
若直线的斜率不为 ，取椭圆左焦点 ，连接 ， ， ， ，
易知四边形 为平行四边形，即有 ，
设 ，则 ，故 ，
令 ，则 ，所以当 时 ， 时 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 在 处取得极小值即最小值，
，
综上可得 的最小值为 ．
故答案为： ．
24．已知椭圆 的方程为 分别为其左右焦点， 两点在椭圆上，且满足
，若直线 的倾斜角为 ，且四边形 的面积为 ，则椭圆 的离心率为
．
【答案】
【分析】先根据条件判断出四边形 为矩形，再根据椭圆的定义求解.
【详解】
由 ，可得四边形 为平行四边形，故直线 经过坐标原点 ，
，
所以 ，即三角形 是直角三角形，四边形 为矩形，
在 中， ，，
根据椭圆的定义有 ，
所以离心率 ，
故答案为： ．
25．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 为 上关于坐标原点对称的两
点，且 ，且四边形 的面积为 ，则 的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据椭圆的对称性和 推出 ，再根据面积以及椭圆的定义推出 的关系
式，可得离心率.
【详解】因为点 为 上关于坐标原点对称的两点，且 ，
所以四边形 为矩形，即 ，
所以 ，
由椭圆定义与勾股定理知： ，
所以 ，所以 ，所以 ，即C的离心率为 ．
故答案为：
26．已知 是椭圆 的左，右焦点， 是椭圆上任意一点，过 引 的外角平分线的垂
线，垂足为 ，则 与短轴端点的最近距离为 .
【答案】
【分析】根据等腰三角形三线合一性质可确定 为 中点，结合椭圆定义和三角形中位线性质可确定
点轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，进而确定当 位于 轴时取得最近距离.
【详解】由题意知： ，
设 的延长线交 的延长线于点 ， ， 为线段 中点，
由椭圆定义知： ， ，
分别为 和 中点， ，
点轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
由椭圆方程知：短轴端点为 ，
当点 在 轴上时，其到临近的短轴端点的距离最近，最近距离为 .
故答案为： .27．设 ， 分别是椭圆 的左，右焦点，过点 的直线交椭圆 于 ， 两点，若 ，且
，则椭圆 的离心率为 .
【答案】
【分析】如图，设 ，由题意，椭圆定义结合余弦定理可得 ，后在 由余弦定理可得
，即可得答案.
【详解】如图，设 ，则 ， .
又由椭圆定义可得 .
则在 中，由余弦定理可得:
.
则 ，
则在 由余弦定理可得：
.
又 .
故答案为：【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知 为坐标原点，椭圆 ： ，平行四边形 的三个顶点A， ， 在椭圆
上，若直线 和 的斜率乘积为 ，四边形 的面积为 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用三角换元设 ， ，代入椭圆方程可得 ，再根据三
角形面积的向量公式及斜率之积计算即可.
【详解】先证三角形面积公式的向量形式：在 中， ，
则 ，而
设 ， ，由题意可知; ，
所以 ，
将 坐标代入椭圆方程有
，则
所以四边形 的面积为 ，
即 ，又根据 和 的斜率乘积为 知
，
所以 ，解之得： ， ．
故选：B
2．已知椭圆 ， 为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出 的值，利用 ，根据向
量模的计算即可求得答案.
【详解】由题意椭圆 ， 为两个焦点，可得 ，
则 ①，即 ，
由余弦定理得 ，，故 ，②
联立①②，解得： ，
而 ，所以 ，
即 ，
故选：B
【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为 的中点，从而可以
利用向量知识求解 .
3．设椭圆 （ ）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足
， ，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设椭圆的左焦点 ，由椭圆的对称性结合 ，得到四边形 为矩形，设 ，
，在直角 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到 ，再根据 ，
得到 的范围，从而利用对勾函数的值域得到 的范围，进而由 即可得解.
【详解】如图所示：设椭圆的左焦点 ，由椭圆的对称性可知，四边形 为平行四边形，
又 ，则 ，所以平行四边形 为矩形，故 ，
设 ， ，则 ，
在直角 中， ， ，
所以 ，则 ，
所以 ，
令 ，得 ，
又由 ，得 ，
因为对勾函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 ，则 ，故 ，
所以 ，
所以椭圆离心率的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形 为矩形，再利用椭圆的定义与
勾股定理，结合条件得到关于 的齐次不等式，从而得解.4．若椭圆 上存在一点 ，使得函数 图象上任意一点关于点 的对称
点仍在 的图象上，且椭圆 的长轴长大于2，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出函数 的对称中心，即可得到椭圆经过点 ，从而得到 ，再根
据 ，即可得到关于离心率 的不等式，解得即可.
【详解】因为 ，
所以 的图象可由奇函数 的图像向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到，
所以 的图象关于点 对称，
所以椭圆经过点 ，则 ，即 ，
即 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，即 .
故选：D
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是求出 的对称中心，得到关于离心率的不等式，从而求出离心率
的取值范围.
5．椭圆 的内接四边形 的对角线 交于点 ，满足 ，，若直线 的斜率为 ，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出点 ，由已知求出 ，利用 两点在椭圆 上，化简计算解
出直线 的方程，可得直线 的斜率，解方程求出离心率．
【详解】设点 ， ，且 ，
可得 ，即 ，解得 ，
由 两点在椭圆 上，
有 ，
得： ，
即 ，
同理可得 ，
因此，直线 的方程为 ，
从而直线 的斜率为 ，
由 ，可得
故选：B
6．动点 分别到两定点 连线的斜率的乘积为 ，设 的轨迹为曲线 分
别为曲线 的左､右焦点，则下列命题中错误是（ ）A．曲线 的焦点坐标为
B．若 ，则
C． 的内切圆的面积的最大值为
D．设 ，则 的最小值为
【答案】B
【分析】由题意求得曲线的方程，可得到椭圆的焦点坐标，判断A，推导焦点三角形面积，计算面积判断
B，由等面积法求出内切圆半径 ，由此知M在上顶点处内切圆半径最大，求出最大面积判断
C，利用椭圆定义将动点到左焦点的距离转化为动点到右焦点的距离的差，当点M在A的上方时有最大值
可判断D.
【详解】由题意可知: ，化解得 ，
A项： ， ，即曲线C的焦点坐标为 ，故A项正确；
B项：先推导焦点三角形面积公式：在 中，设 ， ， ，
由余弦定理得
，
∴ ,即 ，
∴ = ．
，故B项错误；
C项：在三角形 中，设内切圆的半径为r，由椭圆定义知 ， ， ，解得 （
），
当M在上顶点时， ，内切圆半径r取最大值，内切圆最大面积为 ，故C正确；
D项：在三角形 中, ,则 ，
当 三点共线，并且M在A的上方时， 有最小值，如图，
即 ，故D项正确.
故选：B
【点睛】方法点睛：在椭圆中，设焦点三角形的顶角为 ，通过余弦定理、三角形公式可推导出焦点三角
形面积 ，可在处理焦点三角形面积时应用；椭圆上动点与椭圆一焦点的距离与一定点距离的和
差的最值问题，可利用椭圆定义转化为动点与另一焦点的距离与动点与定点的距离问题，可利用数形结合
求最值.
二、多选题
7．已知正方形 中， ， 是平面 外一点.设直线 与平面 所成角为 ，设三棱锥
的体积为 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 的最大值是
B．若 ，则 的最大值是
C．若 ，则 的最大值是D．若 ，则 的最大值是
【答案】AC
【分析】根据椭圆的定义和旋转体的概念可知当 时点P的轨迹是一个椭球，当
时点P的轨迹是以AD为直径的球，结合图形分析，即可求解.
【详解】由题意知，点P为动点，A、C为定点， ，
由椭圆的定义知，点P的轨迹是以 为焦距，长轴为 的椭圆，
将此椭圆绕AC旋转一周，得到一个椭球，即点P的轨迹是一个椭球，
而椭球面为一个椭圆，由 ，
即 ，得 ，
当点P运动到椭球的上、下顶点时， 取到最大值，
此时 ；
设点P在平面ABCD上的射影为Q，则 ，
又 ，且 ，
所以当且仅当 时 最大，即 取到最大值 ；
当 时，由 ，得 ，
则点P的轨迹是以AD为直径的球，设AD的中点为O，则O为球心，
当 即 时， 取到最大值，此时 ；
当直线BP与球相切于点P即 时， 取到最大值，
此时 ，则 .
故选：AC.
8．已知椭圆 的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B， ， 分别是椭圆的左、右焦
点，且 的面积为 ，点P为椭圆上的任意一点，则 的取值可以为（ ）.
A．1 B． C． D．
【答案】ABC
【分析】先根据 的面积和短轴长得出a，b，c的值，求得 的范围，再通分化简 为
关于 的函数，利用二次函数求得最值，即得取值范围．
【详解】由已知得 ，故 ，
∵ 的面积为 ，∴ ，∴ ，又 ，故 ，
∴ ， ， ∴
，
又而 ，即 ，
当 时， 最大，为 ；
当 或 时， 最小，为 ，
即 ，∴ ，即 ，
所以 的取值范围为 .
故选：ABC.
9．已知P是椭圆 上的一动点，离心率为e，椭圆与x轴的交点分别为A、B，左、
右焦点分别为 ， ，下列关于椭圆的四个结论中正确的是（ ）
A．若PA、PB的斜率存在且分别为 ， ，则
B．若椭圆C上存在点M使 ，
C．若 的面积最大时， ，则
D．根据光学现象知道：从 发出的光线经过椭圆一次反射后恰好经过 .若一束光线从 发出经椭圆反射，当光线第n次到达 时，光线通过的总路程为
【答案】AC
【分析】根据椭圆的定义和几何性质对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，依题意， ，设 ，
则 ， ，
则 ，A选项正确.
B选项，设 ，
则
，当 ，即 时等号成立.
若椭圆C上存在点M使 ，即存在 ，使 ，
所以 ，
所以 ，所以B选项错误.C选项，当 上椭圆的上顶点或下顶点时， 的面积最大，
依题意，此时 ，则 ，
则 ，C选项正确.
D选项，当 时，光线通过的总路程为 ，所以D选项错误.
故选：AC
【点睛】求解椭圆中的定值问题，可根据椭圆的定义、椭圆上的点等知识，结合题意列方程，化简后可求
得所求的定值.求解椭圆离心率有关问题，可以考虑直接法，即求得 来进行求解，也可以先求得 ，然
后利用 来进行求解.
三、填空题
10．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过点 且倾斜角为 的直线 与交于A，B两点．若 的面积是 面积的2倍，则 的离心率为 ．
【答案】
【分析】由 的面积是 面积的2倍，得到 ，由此设 ，分别在 和
中利用余弦定理，即可找出 的关系，即可求得答案.
【详解】如图，由 的面积是 面积的2倍，可得 ，
不妨设 ， ， ，则 ， ．
在 中， ,由 ，
得 ，整理得 ①．
在 中， ,由 ，
得 ，整理得 ②，
①+② 得 ，将该式代入②，
整理得 ，即 ，
故 的离心率为 ，
故答案为：【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于找到 之间的关系，解答时要注意利用 的面积是
面积的2倍，得到 ，由此可分别在 和 中利用余弦定理，即可找出 的关系，
求得答案.
11．已知 、 为椭圆 的左、右焦点，点 为该椭圆上一点，且满足 ，
若 的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得 ，再根据正弦定理可知外接圆半径 ，
由等面积法可知内切圆半径 ，再根据面积比即可计算出离心率 .
【详解】根据题意画出图象如下图所示：
利用椭圆定义可知 ，且 ；
又 ，利用余弦定理可知：
，
化简可得 ；所以 的面积为 ；
设 的外接圆半径为 ，内切圆半径为 ；
由正弦定理可得 ，可得 ；
易知 的周长为 ，
利用等面积法可知 ，解得 ；
又 的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即 ，
所以 ，即可得 ，所以 ；
离心率 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，
由等面积法公式 可计算出内切圆半径，即可实现问题求解.
12．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 是椭圆 上任意一点，且
的取值范围为 .当点 不在 轴上时，设 的内切圆半径为 ，外接圆半径为 ，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】由 的取值范围为 可求出 ，由正弦定理可得 ，再由焦点三角形的等面积法可得 ，所以 ，求出 即可得出答案.
【详解】 ，
，所以 ，
所以 ，解得： ，
设 ，
由正弦定理可得： ，
，
可得： ，
又因为 ，
设内切圆的圆心为A，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为当 在短轴的端点时， 最大，此时 ， ，
，所以 ，
故当 时，mn取得最大值为 .故答案为：
13．已知椭圆 的两个焦点为 ．点 为 上关于坐标原点对称的两点，且
， 的面积 ，则 的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形 为矩形，故 ，求出 ，再根
据 ，利用勾股定理得到 ，得到 ，再根据 上存在关于坐标原点对称
的两点 ，使得 ，得到 ，得到 ，得到离心率.
【详解】连接 ，由题意得， ，
又 ，所以四边形 为矩形，故 ，
所以 ，故 ，
又 ，由勾股定理得 ，
即 ， ，
故 ，即 ，故 ，解得 ，
又 上存在关于坐标原点对称的两点 ，使得 ，故 ，
所以 ，即 ，所以 ， ，解得 ，
综上， 的离心率的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)的常见方法：
①求出 ，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，结合 转化为
的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 或 转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可
得离心率(离心率的取值范围).
