文档内容
专题 11.4 三角形的外角【十大题型】
【人教版】
【题型1 外角的定义】..............................................................................................................................................1
【题型2 求三角形外角的度数】..............................................................................................................................2
【题型3 由三角形的外角性质求角度】..................................................................................................................3
【题型4 三角形的外角性质与翻折的综合运用】.................................................................................................4
【题型5 三角形的外角性质与角平分线的综合运用】.........................................................................................5
【题型6 三角形的外角性质与平行线的综合运用】.............................................................................................7
【题型7 三角形的外角性质与垂线的综合运用】.................................................................................................8
【题型8 由三角形的外角性质确定角度之间的关系】.........................................................................................9
【题型9 与三角形的外角性质有关的规律探究】...............................................................................................10
【题型10 三角形的外角性质的实际应用】............................................................................................................11
知识点1：三角形的外角
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
（2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
【题型1 外角的定义】
【例1】（23-24八年级·福建厦门·期末）如图，点D在线段BC的延长线上，过点B作射线BF交AC于点E
，则下列是△ABE的外角的是（ ）
A．∠ACD B．∠AEB C．∠AEF D．∠CEF
【变式1-1】（23-24八年级·河北廊坊·期中）下图中∠1是三角形一个外角的是（ ）A． B．
C． D．
【变式1-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，∠ADB是△ 和△ 的外角；以AC为一边长的三角
形有 个．
【变式1-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）我们都知道三角形有三个内角，其实三角形除了内角，还有
外角，三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角．请同学们画出三角形的一个外角，
并证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
已知：__________________
求证：__________________
证明：
【题型2 求三角形外角的度数】
【例2】（23-24八年级·四川泸州·阶段练习）在△ABC中，若3(∠A+∠B)=2∠C，则∠C的外角的度
数为（ ）
A．36° B．72° C．108° D．144°
【变式2-1】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A=∠B，那么∠C
的外角的大小是 ( )
A．80°或140° B．80°或100° C．100°或140° D．140°
【变式2-2】（23-24八年级·四川达州·期末）如图，直线a∥b，一块有60°的直角三角尺如图放置，
∠1=135°，则∠2= ．【变式2-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，∠A=38°，点D是边AB上一点，点B
关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠CDB的度数为 ．
【题型3 由三角形的外角性质求角度】
【例3】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，
BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”
【问题解决】
（1）在△ABC中，∠A=70°，∠B=45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDA=______；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠A=60°，
求∠P的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A=m°，∠B=n°，且m>n，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）
【变式3-1】（23-24·江西南昌·模拟预测）将一个含45°角和一个含30°角的直角三角形按如图所示的方式
放置，若点D在线段AB上，BC=BD，则∠CFE的度数为 ．
【变式3-2】（23-24八年级·福建福州·期末）如图，将线段AB平移得到线段CD，点P在AC延长线上，点
Q在射线OB上，∠PCD、∠QBA的角平分线所在直线相交于点E，若∠OAB=α，∠OBA=β，则
∠CEB= ．（用α，β表示）
【变式3-3】（23-24八年级·四川内江·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）
A．120° B．130° C．150° D．180°
【题型4 三角形的外角性质与翻折的综合运用】
【例4】（23-24八年级·北京朝阳·期中）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB=AC．将纸片沿
过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，
点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为（ ）
A．60° B．72° C．36° D．90°【变式4-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A′处，
若∠A=28°，∠BDA′=90°，则∠A′EC的大小为 ．
【变式4-2】（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在△ABC中、∠B=50°，∠C=30°，点D是BC
边上一点，连接AD，将△ABD沿着AD折叠，点B落在点B 处、若AB ∥BC，则∠CAD的度数为
1 1
°．
【变式4-3】（23-24八年级·河南南阳·期末）在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=2∠B，点D在BC边
上，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE和边AC重合时结束，边AE交边BC于点F．若折叠过程
中，△≝¿中有两个角相等，则此时∠BAD的度数为 ．
【题型5 三角形的外角性质与角平分线的综合运用】
【例5】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点
P，△ABC的外角∠MBC与∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E．在△BQE中，若存
在一个内角等于另一个内角的3倍，则∠A的度数为 ．【变式5-1】（23-24八年级·河南漯河·阶段练习）△ABC中，内角∠A和外角∠CBE和∠BCF的角平分
线交于点P，AP交BC于D．过B作BG⊥AP于G．若∠GBP=58°，求∠ACB的度数．
【变式5-2】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC
上，EF⊥AD于F，∠B=40°，∠ACE=78°，则∠E的度数为 ．
【变式5-3】（23-24八年级·广东广州·期中）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结
论①∠1=2∠2；②∠BOC=3∠2；③ ∠BOC=90°+∠1；④∠BOC=90°+∠2，正确的是 ．
（把所有正确的结论的序号写在横线上）【题型6 三角形的外角性质与平行线的综合运用】
【例6】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，∠BCD=∠BDC，AD∥BC，∠ADB的平分线交AB于
点E，∠ABD的平分线与CD延长线交于点F，∠F=75°，则∠A= ．
【变式6-1】（23-24·河北沧州·二模）如图，直线l ∥l ，一副三角板放置在l ，l 之间，两三角板斜边在
1 2 1 2
同一直线上，含30°角的三角板的一直角边在l 上，则∠α的度数为（ ）
1
A．8° B．10° C．12° D．15°
【变式6-2】（23-24·吉林长春·二模）如图，将一块含30°角的三角尺和一把直尺叠放在一起．若∠1=72°
，则∠2的度数为 ．
【变式6-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，已知AM∥BN，∠A=x°．点P是射线AM上一动点
（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D，当点P运动到使
∠ACB=∠ABD时，∠ADB的度数为 （用含有x的代数式表示）【题型7 三角形的外角性质与垂线的综合运用】
【例7】（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，在△ABC中，∠ACB<∠A，BD是角平分线，BE是边
AC上的高，延长BD与外角∠ACF的平分线交于点G．以下四个结论：①∠ABD=∠CBD；②
1
∠ABE+∠A=90°；③∠G= ∠A；④∠A−∠ACB=2∠EBD．其中结论正确的个数是（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式7-1】（23-24八年级·湖南长沙·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的
度数是 ．
【变式7-2】（23-24八年级·河南洛阳·期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作
EF垂直BC，垂足为点F．
(1)∠ABE=15∘，∠BAD=25∘，求∠BED的度数；
(2)若△ABC的面积为30，EF=5，求CD．
【变式7-3】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称
这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC=50°，若
P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB= ．【题型8 由三角形的外角性质确定角度之间的关系】
【例8】（23-24八年级·江苏镇江·期末）如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是
∠ABD和∠ACE的角平分线，延长FB和GC交于点H．设∠A=α，∠H=β，则α与β之间的数量关系
为 ．
【变式8-1】（23-24上·福建莆田·八年级校考开学考试）如图，D、E在边AB上，∠A，∠1，∠2的大小
关系是 ．
【变式8-2】（23-24八年级·甘肃张掖·期末）如图，∠A、∠DOE和∠BEC的大小关系是( ).
A．∠A>∠DOE>∠BEC B．∠DOE>∠A>∠BEC
C．∠BEC>∠DOE>∠A D．∠DOE>∠BEC>∠A【变式8-3】（23-24八年级·河南商丘·期末）如图所示，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，连接
PC．
(1)∠1、∠2、∠A的大小关系是： ＞ ＞ ；
(2)若∠3=25°，∠A=67°，∠4=40°，嘉嘉想求∠1的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉
完成求解．
思路一 思路二
先利用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度数，再利 先利用三角形外角求出∠2的度数．再利用三
用三角形内角和求出∠1的度数． 角形外角求出∠1的度数．
【题型9 与三角形的外角性质有关的规律探究】
【例9】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，已知△ABC的内角∠A=α，分别作内角∠ABC与外
角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A ，得∠A ；∠A BC和∠A CD的平分线交于点A ，得∠A
1 1 1 1 2 2
；…，以此类推得到∠A ，则∠A 的度数为 ．
2024 2024
【变式9-1】（23-24八年级·广东茂名·阶段练习）如图，已知
AB=A B，A C=A A ，A D=A A ，A E=A A ，以此类推，若∠B=20°，则∠A 的度数为
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4
（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°【变式9-2】（23-24·全国·八年级专题练习）如图，已知∠AOB=7°，一条光线从点A出发后射向OB
边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90°−7°=83°．当∠A<83°时，光线
射到OB边上的点A 后，经OB反射到线段AO上的点A ，易知∠1=∠2．若A A ⊥AO，光线又会沿
1 2 1 2
A →A →A原路返回到点A，此时∠A= °．若光线从A点出发后，经若干次反射能沿原路返回
2 1
到点A，则锐角∠A的最小值= °．
【变式9-3】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，在△ABC中，∠A=20°,∠EBC,∠DCB为△ABC
的外角，∠EBC与∠DCB的平分线交于点A ,∠EBA 与∠DC A 的平分线交于点A ,…,∠EBA
1 1 1 2 n−1
与∠DC A 的平分线相交于点A ，当两条角平分线无交点时，则n的值为 ．
n−1 n
【题型10 三角形的外角性质的实际应用】
【例10】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图是国家级非物质文化遗产——“抖空竹”．在“抖空竹”的
一个瞬间如图①所示，若将图①抽象成图②的数学问题：AB∥CD，∠EAB=70°，∠ECD=110°，则
∠E的大小是 度．
【变式10-1】（23-24·河南·三模）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示
意图，已知直线EF与BD相交于点P，AB∥CD，∠P=10°，∠CFP=105°，则∠ABP的大小为
（ ）A．105° B．100° C．95° D．85°
【变式10-2】（23-24·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且
∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应
（填“增加”或“减少”） 度．
【变式10-3】（23-24八年级·浙江金华·期中）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯
由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成．在操作过程中，救援台AB
，车身GH及地面MN三者始终保持平行．
（1）当∠EFH=56°，BC∥EF时，∠ABC= 度；
（2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，
此时 度．
