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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 06 讲 函数的概念及其表示（精讲）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．下列各组函数为同一函数的是（ ）
① 与 ;
② 与 ;
③ 与 .
A．①② B．① C．② D．③
【答案】B
【分析】依次判断函数的定义域和对应关系是否相等得到答案.
【详解】对①: 与 的定义域、对应关系均相同，是同一函数；
对②:由 ，而 ,对应关系不同，不是同一函数；
对③： ， ，对应关系不同，不是同一函数.
故选：B
2．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】定义域为 的取值范围，结合同一对应法则下括号内范围相同，求出答案.
【详解】由题意得 ，故 ，故函数 的定义域为 .
故选：D
3．设函数 ，若 ，则实数 （ ）A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】先计算 ，然后讨论 的范围，根据 直接计算即可.
【详解】由题可知：
① ，则
②
所以
故选：C
4．若函数 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合分段函数解析式依次判断充分性和必要性即可.
【详解】当 时， ， ，充分性成立；
当 时， ， ，必要性不成立；
“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
5．下列函数中值域为 的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的性质逐项进行分析验证即可求解.
【详解】对于A，函数 ，值域为 ，故选项A正确；
对于B，函数 ，值域为 ，故选项B错误；
对于C，函数 ，值域为 ，故选项C错误；
对于D，函数 ，值域为 ，故选项D错误，
故选：A.
6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并
列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为： ， 表示不超过 的最大整数，如
， ， ，已知 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先进行分离，然后结合指数函数与反比例函数性质求出 的值域，结合已知定义即可求解．
【详解】因为
又 ，
所以 ，
所以
所以 ，
则 的值域 ．
故选：C．二、多选题
7．下列函数，值域包含 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，可以通过分离常数法求函数的值域；对于B，可以将函数两边平方求函数的值域；对于
C，利用函数的单调性求函数的值域；对于D，利用分段函数并结合函数的图像求函数的值域；
【详解】对于A，由 ，可得值域 ，故A正确；
对于B，函数定义域为： ，
，由 ，得
，
所以 ， ，即原函数值域为 ，故B错误；
对于C，设 ， ，易知它们在定义域内为增函数，从而 在定义域为
上也为增函数，
所以当 时，函数 取最大值，最大值为 ，
所以函数 的值域 ，故C正确，
对于D，由已知得： ，画出函数的图像，如图：根据函数图像可知： 定义域 ，值域 ，故D正确.
故选：ACD.
8．已知函数 ，其值 不可能的是（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式求 的值域，即可判断.
【详解】当 时， ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ，当且仅当 ，即 时，等
号成立，
则 ；
综上所述：函数 的值域为 .
显然 ，所以只有D选项可以取到.
故选：ABC.
三、填空题
9．函数 的定义域是______.
【答案】
【分析】使函数有意义应满足分母不为0，真数恒大于0.
【详解】函数 有意义应满足 ，解得 ，故答案为：
10．若函数 在 上为严格增函数，则实数 的取值范围是__．
【答案】
【分析】根据增函数的定义及所给条件列出关于实数 的不等式组，解之即可求得实数 的取值范围.
【详解】函数 在 上为严格增函数，
可得 ，解得 ，故实数 的取值范围为 ，
故答案为：
11．已知 ，则 __．
【答案】
【分析】先令括号里1 t，求出 的范围，将 用 表示，求出 的解析式，最后在将 换成 即可．
【详解】设 （ ），则 ， ，（ ），
则 .
故答案为：
四、解答题
12．定义在R上的函数 对任意实数 都有 .
(1)求函数 的解析式；(2)若函数 在 上是单调函数，则求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）配方后，利用整体法求解函数解析式；
（2）求出 的单调区间，与 比较，得到不等式，求出实数 的取值范围.
【详解】（1） ，故函数 的解析式为 ；
（2） 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 在 上是单调函数，所以 或 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．设函数 若 存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，讨论 、 ，结合一次函数、二次函数性质判断 是否存在最小
值，进而确定参数范围.
【详解】由 ，函数开口向上且对称轴为 ，且最小值为 ，当 ，则 在定义域上递减，则 ，
此时，若 ，即 时， 最小值为 ；
若 ，即 时， 无最小值；
当 ，则 在定义域上为常数，而 ，故 最小值为 ；
当 ，则 在定义域上递增，且值域为 ，故 无最小值.
综上， .
故选：B
2．函数 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】令 ，则 ，可得最大值.
【详解】令 ，则 ，
得 ，
则当 时，取得最大值 .
故选：C
3．已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】利用换元法，令 ，将问题进行转化，利用分段函数的性质进行分段分析，结合函数图像
分析即可解决问题.
【详解】令 ，则 即为 ，
当 时， ，故 无解，
当 时， 即为 ，
在同一平面直角坐标系下画出 和 的大致图像如图，
由图可得当且仅当 时， ，
综上所述， 的解为 ，又 ，
所以 ，
当 时， ，
故 ，解得： ，所以 ，
当 时， ，
故 ，解得： ，所以 ，
综上所述，不等式 的解集是 .
故选：D.二、多选题
4．下列命题正确的是（ ）
A．函数 的图象与直线 可能有两个不同的交点
B．函数 与函数 是相同函数
C．若 ，则 的取值范围是
D．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
【答案】CD
【分析】根据函数的定义判断A，根据函数定义域不同判断B，根据对数函数的单调性判断C，由抽象函
数的定义域判断D.
【详解】对于 ，根据函数定义，对定义域内的任意一个 值，只有唯一的 值与之对应， 函数
的图象与直线 只有一个交点，因此 错；
对于B， 中定义域是 ，函数 的定义域是 ，定义域不相同，不是
同一函数，B错；
对于 ，若 ，即 ，当 时，则 ，此时 ，
当 时不成立，即 的取值范围是 ，因此 正确；
对于 ，令 ，故 即函数 的定义域为 ，故D正确.
故选：CD.
5．已知函数 则以下说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是 上的减函数
B．若 ，则 有最小值
C．若 ，则 的值域为D．若 ，则存在 ，使得
【答案】ABC
【分析】把选项中的 值分别代入函数 ，利用此分段函数的单调性判断各选项.
【详解】对于A，若 ， ， 在 上单调递减，故A正确；
对于B，若 ， ，当 时， ， 在区间 上单调递减，
，则 有最小值1, 故B正确；
对于C，若 ， ，当 时， ， 在区间 上单调递减，
；当 时， ， 在区间 上单调递增， ，则 的值域
为 ，故C正确；
对于D，若 ， 当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，即当 时， ，所以不存在
，使得 ，故D错误.
故选：ABC
三、填空题
6．求函数 的值域为_________.
【答案】【分析】通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，要注意的是原函数是给定定义域的，
要在定义域内求值域.
【详解】令 ，则 ，
容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为 ，
，所以该函数在 时取到最大值 ，当 时，函数取得最小值 ，
所以函数 值域为 .
故答案为：
7．已知函数 ，若对任意实数 ，总存在实数 ，使得 ，则实数 的取值范
围是___．
【答案】
【分析】首先分析各段函数的单调性，依题意只需函数 的值域为 ，分 、 两种情况讨论，
分别求出函数在各段的最大（小）值，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】因为函数 在定义域 上单调递增，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
要使对任意实数 ，总存在实数 ，使得 ，即函数 的值域为 ，
当 时 在 上单调递增，在 上也单调递增，
则只需 ，解得 ；当 时 在 上的最小值为 ，则只需要 ，解得 ；
综上可得 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题
8．已知二次函数 的图像与直线 只有一个交点，且满足 ， ．
(1)求二次函数 的解析式；
(2)若对任意 ， ， 恒成立，求实数m的范围．
【答案】(1)
(2) 或 或 ；
【分析】（1）由已知可得二次函数的对称轴和最值，设出函数解析式，再由 求得结论；
（2）由 的单调性得出 的最小值，而关于 的不等式是一次（ 时）的，只要 和 时
成立即可，由此可解得 的范围；
【详解】（1）因为 ，
所以由二次函数的性质可得 的图像关于 对称，
又二次函数 的图像与直线 只有一个交点，
所以可设
又因为 ，解得 ，
所以 ．
（2）由（1）得在区间 单调递增，
即 在 时恒成立，
且 ， 或 或 .
9．已知函数 对任意的实数 ， ，都有 成立.
(1)求 ， 的值;
(2)求证： （ ）;
(3)若 ， （ ， 均为常数），求 的值.
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3) .
【分析】（1）取 ， ，代入计算得到答案.
（2） ，根据 得到证明.
（3）计算 ， ，根据 ，得到答案.
【详解】（1）令 ，则 ，故 .
令 ，则 ，故 .
（2） ， ，又 ，
故 （ ）.
（3） ，，
故 .
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知定义域为 的函数 满足：①对任意 ， 恒成立；②若 则
.以下选项表述不正确的是（ ）
A． 在 上是严格增函数 B．若 ，则
C．若 ，则 D．函数 的最小值为2
【答案】A
【分析】根据给定条件，探讨函数 的性质，再举例判断A；取值计算判断B，C；借助均值不等式求
解判断D作答.
【详解】任意 ， 恒成立，
且 ，假设 ，则有 ，
显然 ，与“若 则 ”矛盾，假设是错的，因此当 且 时， ，
取 ，有 ，则 ，于是得 ， ，
， ， ，
对于A，函数 ， ， ，
并且当 时， ，即函数 满足给定条件，而此函数在 上是严格减函数，A不正确；
对于B， ，则 ，B正确；
对于C， ，则 ，而 ，有 ，又 ，因此 ，
C正确；对于D， ， ，则有 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以函数 的最小值为2，D正确.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可.
2．已知函数 ，若存在区间 ，使得函数 在 上的值域为 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性，建立方程组，等价转化为二次方程求根，建立不等式组，可得答案.
【详解】由函数 ，显然该函数在 上单调递增，
由函数 在 上的值域为 ，则 ，
等价于 存在两个不相等且大于等于 的实数根，且 在 上恒成
立，则 ，
解得 .
故选：D.
二、多选题
3．下列说法中错误的为（ ）A．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
B．若 ，则
C．函数的 值域为：
D．已知 在 上是增函数，则实数 的取值范围是
【答案】BC
【分析】根据复合函数定义域判断A；根据凑项法求函数解析式即可判断B；利用指数复合函数结合换元
法与函数单调性求得函数值域，从而判断C；根据分段函数的单调性列不等式求实数 的取值范围，即可
判断D.
【详解】若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域满足 ，解得 ，所以函数
的定义域为 ，故A正确；
若 ，则 ，故B错误；
对于函数的 ，令 ，则 ，该函数在 上递增，
所以其值域为 ，故C错误；
已知 在 上是增函数，则 ，解得 ，则实数 的取值范围
是 ，故D正确.
故选：BC.
三、填空题4．已知函数 的值域为 ，侧实数 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】令 、 ，求出函数 的最小值及函数的单调性，再求出两函数的交点
坐标，最后对 分类讨论，分别计算可得.
【详解】解：对于函数 ，则 ，当且仅当 时取等号，
且函数在 上单调递减，在 上单调递增，
对于函数 ，令 ，则 ，且函数在定义域上单调递减，
令 ，解得 或 ，所以 与 的两个交点分别为 、 ，
则函数 与 的图象如下所示：
当 时，当 时 ，当 时 ，
显然 ，此时函数 的值域不为 ，不符合题意；
当 时，当 时 ，当 时 ，
此时 ，即 ，此时函数 的值域不为 ，不符
合题意；
当 时，在 时 ，即 ，此时 的值域为 ，符合题意，
当 时，当 时 ，当 时 ，
此时 ，即 ，此时函数 的值域为 ，符合题意；
综上可得 .
故答案为：
四、解答题
5．设 为实数，函数 ．
(1)求 的解析式；
(2)若 ，求 的取值范围；
(3)当 时，求 的最大值 ．
【答案】(1) ．
(2) 或
(3)
【分析】（1）利用换元法求得 的解析式.
（2）解绝对值不等式求得 的取值范围.
（3）对 进行分类讨论，根据二次函数的知识求得 .
【详解】（1）令 ，则 ，
所以 ，所以 .
（2）由 ，
得 或 ，
解得 或 .
（3） ，
对于 ，其开口向上，对称轴为 ，且其零点为 和 ，
对于 ，其开口向下，对称轴为 ，且其零点为 和 ，
当 ，即 时， ，则 在 上单调递增， .
当 时， 的图象如下图所示，
①，当 时，
在 上单调递增， .
②，由 整理得 ，
解得 或 （因为 ，故舍去），
所以当 ，即 时， .③，当 ，即 时，
.
综上所述， .
