文档文本内容
复杂竖式
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数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏，它集中了中国古人的数学智慧．我们以前学习过算符问
题与数字问题、以及竖式问题．
本讲是以前内容和方法的综合应用，重点是多位数乘除法，考察的是同学们对知识的掌握情况和分析复杂
问题的能力．
竖式问题常见突破口有：
1. 首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位；
2. 位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；
3. 相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口．
13第八讲
在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础．比如一个三位数乘
4 还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是 3 或者 3 以上的数字，只能是 1 或 2．这就是位数给
我
× 4
有一些难题的式子中没有给出任何具体的数字，但是它给出了所有数的位数，这就提供了估算的可能．只
要我们仔细观察，就很容易发现突破口，从而获得有价值的信息．
找到突破口后，更重要的是学会分情况枚举讨论，而突破口的寻找就是为了缩小我们枚举讨论的范围．当
然，有的时候我们也需要用到类似于奇偶性分析这样的方法来帮助解题．
对于多位数乘法竖式，我们将它拆成若干个多位数乘一位数的乘法，和一个加法竖式，逐一观察．将它们
转化成基本问题加以解决．
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例题
1
请将右面的竖式补充完整． ×
3
8
1
练习 1
×
1
请将右面的竖式补充完整．
1
3
14例题
2
请将右面的竖式补充完整． ×
2
8
6
练习 2
×
8
请将右面的竖式补充完整．
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找到突破口后，更重要的是学会分情况枚举讨论，而突破口的寻找就是为了缩小我们枚举讨论的范围．当
然，有的时候我们也需要用到类似于奇偶性分析这样的方法来帮助解题．
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例题
3 A B
在图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字
× C D
母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．请问：A、B、C、D 1
各代表什么数字？（请写出所有可能） 1 D
D 8
15第八讲
练习 3 A B
× C D
在图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母
2
代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．请问：四位数 ABCD 是
6 D
多少？
D 1
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与乘法竖式比较，除法竖式就显得更复杂一些，除法竖式中包含了一位数乘法和减法，和多位数乘法类似， 我
们仍然将大算式拆解成小算式，以此帮助寻找解决问题的突破口．
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例题
4
在下图的方框内填入适当的数字，使竖式成立．
2 7
5 6
6
9
0
16
练习 4
2 9
请把图中的除法竖式补充完整，这个竖式的被除数、除数 5 8
6
以及商的总和是多少？
6
0
例题
5 1
请把图中的除法竖式补充完整，其中被除数是多少？
2 3 4
3 5 1
0
17第八讲
1
练习 5
3 7 2
将图中的除法竖式补充完整，被除数是多少？
4 9 6
0
4 5
思考创新
5 1
请把图中的除法竖式补充完整．
0
184 5
5 1
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
0
19第八讲
口述题
20第 8 复杂竖式
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数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏，它集中了中国古人的数学智慧．我们以前学习过算符问
题与数字问题、以及竖式问题．
本讲是以前内容和方法的综合应用，重点是多位数乘除法，考察的是同学们对知识的掌握情况和分析复杂
问题的能力．
竖式问题常见突破口有：
1. 首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位；
2. 位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；
3. 相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口．
13第八讲
在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础．比如一个三位数乘
4 还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是 3 或者 3 以上的数字，只能是 1 或 2．这就是位数给
我
× 4
有一些难题的式子中没有给出任何具体的数字，但是它给出了所有数的位数，这就提供了估算的可能．只
要我们仔细观察，就很容易发现突破口，从而获得有价值的信息．
找到突破口后，更重要的是学会分情况枚举讨论，而突破口的寻找就是为了缩小我们枚举讨论的范围．当
然，有的时候我们也需要用到类似于奇偶性分析这样的方法来帮助解题．
对于多位数乘法竖式，我们将它拆成若干个多位数乘一位数的乘法，和一个加法竖式，逐一观察．将它们
转化成基本问题加以解决．
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例题
1
请将右面的竖式补充完整． ×
3
8
1
【答案】 17 × 43=731 ．
【详解】
先看其中的加法竖式，个位是 1 ，即□□ × 3= □ 1 ，尾数分析，所以第一个乘数给位是 7 , ；再看第二个
乘积，□ 7 ×□ = □ 8 ，一定是 17 × 4=68 ，由此可得乘法算式为 17 × 43=731 ．
练习 1
×
1
请将右面的竖式补充完整．
1
3
【答案】 13 × 71=923 ．
14例题
2
请将右面的竖式补充完整． ×
2
8
6
【答案】 58 × 12=696 ．
【详解】
第一个乘数 × 2= □□□ 、第一个乘数 ×□ = □ 8 ，比较大小，可得第二个乘数十位比 2 小，只能是
1 ， 进而得第一个乘数个位是 8 ；再根据结果百位的 6 ，可得乘法竖式为 58 × 12=696 ．
练习 2
×
8
请将右面的竖式补充完整．
【答案】 12 × 89=1068 ．
【详解】
第一个乘数 ×□ = □□□ 、第一个乘数 × 8= □□ ，比较大小，可得第二个乘数个位比 8 大，只能是
9 ， 进而尝试分析可得，只可能是 12 × 8=96 、 12 × 9=108 ；所以乘法竖式为 12 × 89=1068 ．
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找到突破口后，更重要的是学会分情况枚举讨论，而突破口的寻找就是为了缩小我们枚举讨论的范围．当
然，有的时候我们也需要用到类似于奇偶性分析这样的方法来帮助解题．
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例题
3 A B
在图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字
× C D
母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．请问：A、B、C、D 1
各代表什么数字？（请写出所有可能） 1 D
D 8
【答案】 54 × 32 ； 18 × 76 ．
15第八讲
【详解】
先分析加法竖式，可得第一个加数（即中间第一个乘积） 为 108 ，即 AB × D =108 ．那么就有
36 × 3 、 27 × 4 、 18 × 6 、 12 × 9 五种可能；
再根据第二个乘式 AB × C =1 □ D ，可得 AB 为 36 和 12 都是不可能
当 AB 为 54 时，根据尾数分析可得， C 为 3 ，所以有
当 AB 为 27 时，根据尾数分析可得， C 只能是 2 ， 27 × 2=54 不是三位数，所以不成
当 AB 为 18 时，根据尾数分析可得， C 为 7 ，所以有
综上所述，本题有两个答案．
练习 3 A B
× C D
在图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母
2
代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．请问：四位数 ABCD 是
6 D
多少？
D 1
【答案】 6793 ．
【分析】
先分析加法竖式，可得 第一 个加数 （即中间的第一个乘积 ） 为 201 ，即 AB × D =201 ．那么只可能是
× 3 ；
再看第二个乘式， AB × C =6 □ D ，即 67 × C =6 □ 3 ，可得 C 等于
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与乘法竖式比较，除法竖式就显得更复杂一些，除法竖式中包含了一位数乘法和减法，和多位数乘法类似， 我
们仍然将大算式拆解成小算式，以此帮助寻找解决问题的突破口．
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例题
4
在下图的方框内填入适当的数字，使竖式成立．
2 7
5 6
6
9
0
16【答案】 6720 ÷ 192=35 ．
【分析】
第二个减法竖式应该是： 96 □ -96 □ =0 ，即第一个减法竖式的差为 96 ，因此第一个减法竖式为
672-576=96 ；
所以□□ 2 ×□ =576 ，那么一定是 192 × 3=576 ，即除数是 192 ，商的数位数字是 3 ；
再看 192 ×□ =96 □ ，那么一定是 192 × 5=960 ，所以被除数个位是 0 ，算式为 6720 ÷ 192=35 ．
练习 4
2 9
请把图中的除法竖式补充完整，这个竖式的被除数、除数 5 8
6
以及商的总和是多少？
6
0
【答案】 5940 ÷ 132=45 ．
【分析】
第二个减法竖式应该是： 66 □ -66 □ =0 ，即第一个减法竖式的差为 66 ，因此第一个减法竖式为
594-528=66 ；
所以□□ 2 ×□ =528 ，那么一定是 132 × 4=528 ，即除数是 132 ，商的数位数字是 4 ；
再看 132 ×□ =66 □ ，那么一定是 132 × 5=660 ，所以被除数个位是 0 ，算式为 5940 ÷ 132=45 ．
例题
5 1
请把图中的除法竖式补充完整，其中被除数是多少？
2 3 4
3 5 1
0
【答案】 27027 ．
17第八讲
【分析】
分析竖式中的两个乘积 234 和 351 ，它们都是由除数乘以一个一位数所得，可以得出：
234=117 × 2 、
351=117 × 3 ，所以除数为 117 、商为 231 ；
接下来把竖式补充完整，可得被除数为 27027 ．
1
练习 5
3 7 2
将图中的除法竖式补充完整，被除数是多少？
4 9 6
0
【答案】 42284 ．
【分析】
分析竖式中的两个乘积 372 和 496 ，它们都是由除数乘以一个一位数所得，可以得出：
372=124 × 3 、
496=124 × 4 ，所以除数为 124 、商为 341 ；
接下来把竖式补充完整，可得被除数为 42284 ．
4 5
思考创新
5 1
请把图中的除法竖式补充完整．
0
184 5
5 1
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
0
【答案】 10006541 ÷ 23=435067 ．
【分析】
首先，第一个减法竖式中有“黄金倒三角”，可得被除数前两位分别是 1 、 0 ，①的十位是 9 ；
除数 × 4= ① ，所以除数十位为 2 ，除数只可能是 23 或 24 ，相应的①为 92 或
再根据被除数个位为 1 ，可得⑧⑨个位为 1 ，而⑨是由除数乘以一个一位数所得，根据个位分析可得除
只能是 23 （排除 24 ） ，①为 9 2 ，且被除数个位为 7 ，⑧⑨为
此时可得，⑤为 23 × 5=115 ，④的百位也是
再观察竖式，被除数中的 5 所在百位所对应的中间过程没有乘积，可得商的百位为 0 ；且⑥的百位、十
两个数字所组成的两位数要比 2 3 小，所以只能是 1 5 （ 百位为 1 、十位为 5 ） ，由此可得④为 1 1 6 ，且⑦的
为
接下来分析⑥—⑦ ＝ 16 ，由于⑦是由 23 乘以一个一位数所得且比 150 小，所以可得⑦是 23 × 6=138 ，即
的十位是 6 ，⑥为
此时，只剩下第一个和第二个减法竖式了．根据第一个减法竖式可得其被减数只能是 100 或 101 ，再结
23 × 3=69 、 23 × 4=92 以及第二个减法竖式差为 11 可得，这两个减法竖式分别是 100-92=8 和 80-
至此，整个竖式全部填完，为 10006541 ÷ 23=435067 ．
19第八讲
口述题
20
