文档内容
几何-直线型几何-勾股定理和弦图-0
星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
勾股定理和弦图 B 1.能够理解勾股定理的概念 少考
2.熟练应用勾股定理和弦图来解决
相关的几何问题
知识提要
勾股定理和弦图
勾股定理
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：AB2
+
AC2
=
BC2
勾股图与弦图4ab
(a+b) 2- =a2+2ab+b2-2ab=c2，所以 c2=a2+b2
24ab
(a-b) 2+ =a2-2ab+b2+2ab=c2，所以 c2=a2+b2
2
精选例题
勾股定理和弦图
1. 下图中有三个直角三角形．请问 x= 厘米．
【答案】 15
【分析】 ①、② 两个直角三角形完全一样，所以 ①、② 两直角三角形的两直角边
分别为 9 cm和 12 cm，由勾股定理得，x2=92+122=152，所以 x=15(厘米)．
2. 五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正
确的是
【答案】 C
【分析】 A：242+152≠202；
B：202+152≠242；D：24 和 20 写反了；
C：242+72=252，152+202=252
3. 如下图所示，已知长方形长是宽的 2 倍，对角线的长是 9，则长方形的面积是
．
【答案】 32.4
【分析】 可以根据勾股定理进行分析：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的
平方．因为长方形的长是宽的 2 倍，设长方形的宽为 a，那么长用 2a 来表示，长方形的面
81
积可以用 2a×a 来表示．根据勾股定理，2a×2a+a×a=9×9，得出 a×a= ，那么长
5
81 162
方形的面积等于 ×2= =32.4．
5 5
4. 下图所示，长方形 ABCD 的长 BC=10 厘米，宽 AB=6 厘米．在 BC 上取点 M，
在 AD 上取点 N，使得四边形 BMDN 是一个菱形．则菱形 BMDN 的面积是
．【答案】 40.8
【分析】 因为 BMDN 是一个菱形，可设 BM=MD=ND=BN=x，则
AN=10-x．在 直角三角形 ABN 中，由勾股定理得 62+(10-x) 2=x2，即 136=20x，
解得 x=6.8．菱形 BMDN 的面积 =6.8×6=40.8平方厘米．
5. 如下图所示，长方体的三条棱长分别为 3、4、12，对角线 AC= ．
【答案】 13
【分析】 如下图所示，根据勾股定理，边长为 3 和 4 的长方形的对角线长为 5，
这条对角线和长为 12 的边垂直，在直角三角形 ABC 中，AC2=52+122，所以 AC 长为
13．6. 如 图所示，一个五边形有四条边的长度已经标出，其中有三个 角是直角，则五边形的面
积是 ．
【答案】 58
【分析】 详解：如图所示，作
EF2=EB2-BF2=AB2+AE2-BF2=25+25-1=49，所以 EF=7，五边形面积等于三角
5×5 6×7
形 ABE 面积加上梯形 BEDC 面积，即 + ×7=58．
2 2
7. 在下图中，将一个每边长均为 12 厘米的正八边形的 8 个顶点间隔地连线，可以连出两个
正方形．图中阴影部分的面积是 平方厘米．【答案】 288
【分析】 如下左图，记 AD=a，由对称性知，DB=a，BC=a．
取 E 为 DC 中点，连接 BE，将 △ABC 分成直角三角形 ABE 和等腰直角三角形 BEC．
四个 △BEC 可以拼成一个边长 a 的正方形．
记 BE=b，则 CE=b，DE=b．
由 AE=a+b，BE=b 知：由 4 个 △ABE 和一个以 a 为边长的正方形可拼成一个以 AB
为边长的正方形（如下右弦图）．
题中阴影可看做 8 个 △ABE 再加上 8 个 △BEC 的面积和，4 个 △ABE 与 4 个
△BEC 拼成边长为 12 的正方形，因此本题答案为 122×2=288 平方厘米．
8. 如图，校园内有两棵树，相距 12 米，一棵树高 13 米，另一棵树高 8 米，一只小鸟从
一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．【答案】 13
【分析】 由勾股定理，122+(13-8) 2=169=132，至少飞了 13 米．
9. 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条
“路”，他们仅仅少走了 m路，却踩伤了花草．
【答案】 5
【分析】 依题意，这条路和长方形花圃的两条边恰好形成一个直角三角形，由勾股定
理可以计算出，这条路的长度为 5m．少走了 3+4-5=2(km)
10. 如下图所示的三角形 ABC 的三条边 AB、BC、AC 中，最长的是 ．【答案】 BC
【分析】 根据勾股定理：AB2=22+42=20，AC2=12+52=26，BC2=32+52=34．
显然 BC 最长．
11. 如图，分别以一个面积为 169 的正方形的四条边为底，做 4 个面积为 101.4 平方厘米
的等腰三角形．图中阴影部分的面积是 平方厘米．
【答案】 49
【分析】 169=132, 可见大正方形的边长为 13；
等腰三角形的高为101.4×2
=15.6,
13
则若设等腰三角形的腰为 x，如下图所示，
根据勾股定理：
x2=6.52+15.62
则
x=16.9;
则图中
101.4×2
AB= =12
16.9
再根据勾股定理：
AC2+122=132
AC=5;
从弦图的角度看原图，易知中间正方形的边长为 12-5=7, 则其面积为
72=49
12. 如下图所示，一个边长为 10 厘米的正方形木板斜靠在墙角上（木板厚度不计），AO 距
离为 8 厘米，那么点 C 距离地面的高度是 厘米．【答案】 14
【分析】 如下图，由勾股定理得，直角三角形的短边为 6 厘米，所 以高为
6+8=14(厘米)．
13. 华罗庚爷爷说：数学是我国人民所擅长的学科．请小朋友求解《九章算术》中的一个古代
问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”白话译
文：如下图所示，有圆柱形木棍直立地面，高 20 尺，圆柱底面周长 3 尺．葛藤生于圆柱底部 A 点，等距缠绕圆柱七周恰好长到圆柱上底面的 B 点．则葛藤的长度是
尺．
【答案】 29
【分析】 从 A 点将葛藤剪断，顶点处 B 不动，将缠绕的葛藤解开拉直，如下图所
示，A 点变为地面上的 C 点．则葛藤长为直角三角形 BAC 的斜边 BC．由 AB=20，
AC=3×7=21 得：BC2=202+212=292．所以 BC=29(尺)．
14. 如下图所示，两个正方形 ABCD 和 DEFG 的边长都是整数厘米，点 E 在线段 CD
上，且 CEb），将边长为 a 的正方形切成四块大小、
形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形．【答案】 见解析．
【分析】
拼成大正方形的面积应是 a×a+b×b，设边长 c，则有等式 c×c=a×a+b×b，又因为将
边长为 a 的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线 MN 为
大正方形边长，如图（1），一定有 MN×MN=a×a+b×b，而 MH=a，则：NH=b，所
以 AN=CM=BH=(a-b)÷2，由此可以确定 MN，然后将 MN 绕中心 O 旋转 90∘ 到
EF 位置，即可把正方形切成符合要求的 4 块．如图（2）与图（3）．这种分法同时确保图
（3）的中间部分就是边长为 b 的小正方形．这是因为：中心四边形的角即边长为 a 的正方
形的四个角，∠A，∠B，∠C，∠D，又因为各边长度相等．因此中心四边形是正方形．中
心正方形的边长 =[a-(a-b)÷2]-(a-b)÷2=a-(a-b)=b．因此，中间部分是边长为 b
的正方形．
72. 如图，直角三角形如果以 BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 16π，以
AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 12π，那么如果以 AB 为轴旋转一周，
那么所形成的几何体的体积是多少？【答案】 9.6π
【分析】 设 BC=a，AC=b 那么以 BC 边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为
ab2π a2bπ
，以 AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 ，由此可得到两条等式：
3 3
$\left\{ \begin{gathered}
a{b^2} = 48\hfill \\
{a^2}b = 36\hfill \\
b 4
\end{gathered} \right.$，两条等式相除得到 = ，将这条比例式再代入原来的方程中就能得
a 3
到 $\left\{\begin{gathered}
a = 3 \hfill\\
b = 4 \hfill\\
\end{gathered} \right.$，根据勾股定理，直角三角形的斜边 AB 的长度为 5，那么斜边上的高
为 2.4．
如果以 AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，底面
2.42π×5
半径为 2.4，高的和为 5，所以体积是 =9.6π．
3
73. 如图，某会展中心在会展期间准备将高 5 m，长 13 m，宽 2 m的楼道上铺地毯，已知
地毯每平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？
【答案】 612 元
【分析】 地毯在水平部分的长度总和为 12 米，总共需要
(12+5)×2×18=612(元).74. 分别别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 S1，S2，S3 表
示，则它们之间的关系是
【答案】 S3+S2=S1
【分析】 根据圆的面积公式，圆的面积与其直径的平方成正比，而在直角三角形
ABC 中，由勾股定理，有
AC2+CB2=AB2,
因此这三个圆的面积也同样满足上述关系，即 S3+S2=S1．
75. 三角形 ABC 中，线段 AR．BQ 分别是 BC、AC 边上的中线，且 BQ 与 AR 互相
垂直．如图所示，已知 AC=8、BC=6．请问 AB2+BC2+C A2 等于多少？【答案】 120
【分析】 如右图所示，连接 RQ，AR 与 BQ 交于 O 点，
设 AO=c，BO=a，¿=d，OQ=b，
1 1
因为
c2+b2=AQ2= AC2=16，a2+d2=BR2= BC2=9，
4 4
1 5
又因为
a2+c2=AB2，b2+d2=QR2= AB2
，所以
AB2=a2+b2+c2+d2=16+9=25．
4 4
所以 AB2=20．
所以 AB2+AC2+BC2=20+64+36=120．76. 如图所示，一张边长为 18 厘米的正方形纸片，从距离四角 5 厘米处，用剪刀剪出 45∘
的角度，纸片中间会形成一个小正方形．这个小正方形的面积是多少平方厘米？【答案】 50
【分析】 如下图所示添加辅助线．
根据题目中的角度可以推出，图中新产生的小三角形为等腰直角三角形，
它的斜边的平方=52+52=50=图中小正方形边长的平方，因此小正方形的面积为 50
平方厘米．
77. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用
两部对话机联系，已知对话机的有效距离为 15 千米．早晨 8:00 甲先出发，他以 6 千
米/时的速度向东行走，1 小时后乙出发，他以 5 千米/时的速度向北行进，上午 10:00，甲、
乙二人相距多远？还能保持联系吗？
【答案】 13 千米；能保持联系
【分析】 如图，甲从上午 8:00 到上午 10:00 一共走了 2 小时，走了
6×2=12(千米),即 AB=12（千米），乙从上午 9:00 到上午 10:00 一共走了 1 小时，走了 5 千米，即
AC=5（千米）．在直角三角形 ABC 中，
AB2=122+52=169,
所以 AB=13（千米），因此，上午 10:00 时，甲、乙两人相距 13 千米．由于 15＞13，
所以甲、乙两人还能保持联系．
78. 如下图所示，在以 AB 为直径的半圆上取一点 C，分别以 AC 和 BC 为直径在
△ABC 外作半圆 AEC 和 BFC．当 C 点在什么位置时，图中两个弯月型（即阴影部分）
AEC 和 BFC 的面积和最大．
【答案】 当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分面积最大．
【分析】 因为 ∠ACB=90∘，由勾股定理及圆的面积公式可知两个小半圆的面积之
和等于大半圆的面积，所以月牙面积等于 △ABC 的面积，当 C 在弧 AB 中点时，△ABC
中 AB 边上的高最大，从而 △ABC 的面积最大，所以当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分
面积最大．
79. 如下图所示，长方形 ABCD，AB=24，BC=18，把 AB 边对折到 AC 上与 AC 重
合，把 AD 边也对折到 AC 上与 AC 重合，请问得到的新图形的面积是多少？【答案】 255
【分析】
如上图所示，把 AB 对折到 AC 上与 AC 重合，把 AD 对折到 AC 上与 AC 重合，得
到四边形 AECF，由勾股定理，AC=30，设 BE=EG=x，S =S +S ，所以
△ABC △BAE △AEC
24×18÷2=24x÷2+30x÷2，那么 x=8，设 FH=DF= y，S =S +S ，
△ADC △ADF △AFC
所以 24×18÷2=18 y÷2+30 y÷2，那么 y=9，
S =S +S =30×(8+9)÷2=255．
四边形AECF △AEC △AFC
80. 如图所示，在长方形 ABCD 中，AB=30 厘米，BC=40 厘米，P 为 BC 上一点，
PQ 垂直于 AC，PR 垂直于 BD．求 PQ 与 PR 的长度之和．【答案】 24 厘米．
【分析】 利用勾股定理可得 AC=50 厘米，所以 OB=OC=25 厘米．而长方形
ABCD 的面积等于 30×40=1200 平方厘米，所以 △BOC 的面积等于
1
×1200=300
4
如图，连结 OP，
观察 △OPB 与 △OPC，它们分别以 OB 和 OC 为底，是一对等底三角形，而对应的高就
是 PR 和 PQ，因此面积和就等于
(OB×PR+OC×PQ)÷2=25×(PR+PQ)÷2=12.5×(PR+PQ),
而这个面积和就是 △BOC 的面积，等于 300 平方厘米，所以
12.5×(PR+PQ)=300
由此可得
PR+PQ=300÷12.5=24(厘米).81. 如图，以 AD 为直径的半圆 O 内接一个等腰梯形 ABCD，梯形的上底是 60，下底是
100，以梯形上底和腰为直径向外作半圆，形成的阴影部分的面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 2258
【分析】 由已知可得，阴影部分的面积为梯形面积加以 AB、BC、CD 为直径的半
圆面积减去以 AD 为直径的半圆面积，作 OE 垂直于 BC，根据勾股定理可得梯形的高
OE 为 40，则 AB2=BF2+AF2=402+202=2000，阴影部分的面积为：
1 1 (AB) 2 1 (CD) 2 1 (BC) 2 1 (AO) 2
(AD+BC)⋅OE+ π + π + π - π =2258.
2 2 2 2 2 2 2 2 2
82. 求下图正方形的面积，并写出思考过程．【答案】 242 平方厘米
【分析】 如下图所示，延长 BD 与正方形的下边的延长线交于点 C，因为图中的
45∘，我们可知，三角形 ACD 为等腰直角三角形，即 AD=CD=14(厘米)，所以
BC=14+8=22(厘米)，又 ∠C=45∘，则 BC 的长度等于正方形对角线的长度．设正方形
的边长为 a，根据勾股定理，那么 2a2=222，所以正方形的面积为
a2=222÷2=242(平方厘米)．
83. 有一个直角三角形 PQR，直角在 Q 点，以其三边为直径作三个半圆．矩形 STUV 的
各边与半圆相切且平行于 PQ 或 QR，如下图所示．如果 PQ=6 厘米，QR=8 厘米，则
STUV 的面积是多少平方厘米？【答案】 144
【分析】 由勾股定理得大半圆的直径为 10 厘米，则三个半圆的半径分别为 3 厘米，
4 厘米，5 厘米．可知：SV =3+4+5=12(厘米)，ST=5+3+4=12(厘米)．面积为
12×12=144(平方厘米)．
84. 在下图中，线段 AB 是圆 C 的直径，在线段 AB 上作两个半圆 APC 及 CQB．圆
PQR 分别与这三个半圆都相切．若 AB=28 厘米，试求圆 PQR 的半径的长度．
14
【答案】
3
14
【分析】 如下图所示，设小圆半径为 x 厘米，则 (14-x) 2+72=(x+7) 2，x= ．
385. 如图，求阴影部分的面积．
【答案】 24
【分析】 阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上两个直径分别为 6 和 8 的半
圆面积减去直径为 10 的半圆的面积，
1 1 (6) 2 1 (8) 2 1 (10) 2
×6×8+ ×π× + ×π× - ×π× =24.
2 2 2 2 2 2 2
注：这就是著名的希波克拉底模型，结合了勾股定理的运用．
86. 请只用直尺和铅笔在下图网格（每格边长为 1）中画出一个面积为 13 的正方形．【答案】 见解析．
【分析】 由于 13=22+32，利用勾股定理，即可以得到下图正方形 ABCD 面积为
13．
87. 如图，平面上 CDEF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，它的上底 AD=23 厘米，下底
BC=35 厘米．求三角形 ADE 的面积．【答案】 69
【分析】 如下图，作等腰梯形的两个高 AH 和 DH ，
1 2
BC-AD 35-23
CH = = =6.
2 2 2
易知，将 △H DC 旋转 90∘ 到 △HDE 的位置．则 A，D，H 三点在一条直线上．
2
EH⊥AH，EH=H C=6 是 △ADE 的底边 AD 上的高．所以，三角形 ADE 的面积为
2
6×23
=69.
2
88. 如图所示，在两个同心圆上有一条两端点都在大圆上的线段与小圆相切，其长度为 10 厘
米．求阴影部分的面积．（π 取 3.14）【答案】 78.5 平方厘米．
【分析】 如图所示，从圆心连结其中一个端点，长度为大圆半径，再从圆心向线段作
垂线，长度为小圆半径，图中的三角形为直角三角形，由勾股定理可得
R2-r2=52=25,
所以图中阴影部分面积为
πR2-πr2=π×(R2-r2)=25π=78.5(平方厘米).
89. 如下图所示，分别以直角三角形的三个边为直径作半圆，这三个半圆交出两个月牙形的区
域（即阴影部分），求这两个月牙形面积之和．【答案】 30
【分析】 因为 ∠ABC=90∘，由勾股定理 AC2=AB2+BC2，又
1 1 1
S = π AC2 ，S = πBC2 ，S = π AB2 ，所以 S =S +S ，那
大半圆 4 中半圆 4 小半圆 4 大半圆 中半圆 小半圆
么
1
S =S +S +S -S =S = ×5×12=30.
月牙 中半圆 小半圆 △ABC 大半圆 △ABC 2
90. 如下图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成两
片，然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形．
【答案】 见解析．【分析】 实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形，其长是宽的 2 倍，设十字形
x
面积是 5 个平方单位，长方形的长为 x 长度单位，宽为 长度单位，那么有
2
x
x =5,x2=10，即 x2=32+12，由勾股定理可知：所求长方形的长可视为一直角三角形直角
2
边分别是 3 和 1 的斜边．它恰是两个对角顶点的连线．剪拼方法如下图所示，甲拼在甲′
位置，乙拼在乙′位置，就可得符合题意的图形．
【总结】假若沿第二条线把另一片也剪成两片，那么共剪成的 4 片是 4 个全等多边
形，这时两条直线都经过十字形的中心，并且互相垂直．剪开的这 4 个图形其中一个绕中心
旋转 90∘ 也和另一个重合．由此我们便得到一个重要结论：对于一个正方形来讲，如果从中
1 1
心沿 360∘÷4=90∘ 角的两边切开，得到整个图形的 ，这个 的图形若绕中心旋转 90∘
4 4
1
一定和另外的 的图形重合．对于一个正三角形来讲，如果从中心沿 360∘÷3=120∘ 角的
4
1 1 1
两边切开，得到整个图形的 ，这个 的图形若绕中心旋转 120∘ 一定也和另外的 的图
3 3 3
360∘
形重合．一般情况：对于一个正 n 边形，如果从它的中心沿 的角的两边剪开，得到整
n
1 1 360∘ 1
个图形的 ，这个 的图形若绕中心旋转 角，一定也和另一个 图形重合．
n n n n
91. 从一块正方形的玻璃板上锯下宽为 0.5 米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为
5 平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？【答案】 1.25 平方米
【分析】 我们先按题目中的条件画出示意图（如图 a），我们先看图中剩下的长方形，
已知它的面积为 5 平方米，它的长和宽相差 0.5 米，我们可以将这样形状的四个长方形拼成
一个弦图（如图 b）．
图 b 是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和，
中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差，
即 0.5 米．所以中间的小正方形的面积为
0.5×0.5=0.25平方米
那么大正方形的面积为
5×4+0.25=20.25平方米
因为
4.5×4.5=20.25
所以大正方形的边长等于 4.5 米．所以原题中剩下的长方形的长与宽的和为 4.5 米，而长与宽
的差为 0.5 米，所以剩下的长方形的长为：
(4.5+0.5)÷2=2.5米
即原正方形的边长为 2.5 米．又知锯下的长方形玻璃条的宽为 0.5 米，于是可得锯下的长方
形玻璃条的面积为
2.5×0.5=1.25平方米
92. 从一个正方形的木板上锯下宽 1m 的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为 6m2，问
锯下的长方形木条面积是多少？
【答案】 6m2
【分析】 我们用构造“弦图”的方法，取同样大小的 4 个剩下的长方形木板拼成一
个大正方形（如右下图），同时中间形成了一个小正方形（图中阴影部分）．
仔细观察这幅图就会发现，中间阴影小正方形的边长正好是长方形木板的长与宽之差（1m）．
那么，阴影小正方形的面积
1×1=1(m2
)
所以，整个大正方形的面积是
1+4×6=25=5×5(m2
)
求得大正方形的边长为 5m．
那么，剩下的长方形木条的长 - 宽 =1，长 + 宽 =5，可得剩下的长方形木条的长为
(5+1)÷2=3(m)
宽为
(5-1)÷2=2(m)
所以，锯下的长方形木条面积是
3×2=6(m2
)
