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专题15 直线与圆
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 直线的方程
1、直线的倾斜角
（1）定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l
的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0．
（2）范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)．
2、直线的斜率
（1）定义：一条直线的倾斜角α 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k＝tanα，
倾斜角是的直线没有斜率．
（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．
3、直线方程的五种形式
形式
几何条件
方程
适用范围
点斜式
过一点(x0，y0)，斜率k
y－y0＝k(x－x0)
与x 轴不垂直的直线
斜截式
纵截距b，斜率k
y＝kx＋b
与x 轴不垂直的直线
1
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两点式
过两点(x1，y1)，(x2，y2)
＝
与x 轴、y 轴均不垂直的
直线
截距式
横截距a，纵截距b
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原
点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
（A2＋B2≠0）
平面直角坐标系内所有直
线
【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
知识点2 两条直线的位置关系
1、两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2．
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2．
（2）两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1．
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0 时，l1⊥l2．
2、两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，
则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
3、三种距离公式
（1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝．
（2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离d＝．
（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0 与Ax＋By＋C2＝0 间的距离d＝．
4、直线系方程的常见类型
（1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k 是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平
常所提到的直线的点斜式方程；
（2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0 的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ 是参数且λ≠C)；
（3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0 的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ 是参数)；
（4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程是：
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．
知识点3 圆的方程
1、圆的定义及方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
2
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标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b)半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心：
半径：r＝
2、点与圆的位置关系
点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
理论依据
点到圆心的距离与半径的大小关系
三种情况
(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上
(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外
(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内
3、二元二次方程与圆的关系
不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F 的符号，只有大于0 时
才表示圆．
若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆，则有：
（1）当F＝0 时，圆过原点．
（2）当D＝0，E≠0 时，圆心在y 轴上；当D≠0，E＝0 时，圆心在x 轴上．
（3）当D＝F＝0，E≠0 时，圆与x 轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0 时，圆与y 轴相切于原点．
（4）当D2＝E2＝4F 时，圆与两坐标轴相切．
知识点4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系
（1）直线与圆位置关系的判断方法
①――――――――――――――――→
②――――――――――――→
（2）圆的切线与切线长
①过圆上一点的圆的切线
过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2．
过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
②过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜
率k，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0．
③切线长
从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 ．
两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2 倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b
的积，即b＝．
【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
（3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法
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①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2.
②代数法：若直线y＝kx＋b 与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|．
2、圆与圆的位置关系
（1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
交点个数
0
1
2
1
0
d 与
，
的关系
【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．
（2）两圆公切线的条数
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
公切线条数
4 条
3 条
2 条
1 条
无公切线
重难点01 与直线有关的最值问题
1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短;
2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短．
【典例1】（23-24 高三上·山东济宁·月考）在平面直角坐标系
中，已知点
，点
为直
线
上一动点，则
的最小值是 .
【典例2】（23-24 高三上·重庆·零诊）（多选）已知直线
和三点
，
，
，
过点C 的直线与x 轴、y 轴的正半轴交于M，N 两点．下列结论正确的是（ ）
A．P 在直线l 上，则
的最小值为
B．直线l 上一点
使
最大
C．当
最小时的方程是
4
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D．当
最小时的方程是
重难点02 与圆有关的最值问题
求解与圆有关的最值问题步骤
第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型；
第二步作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解；
第三步求值：根据图形，利用相关知识求解．
【典例1】（23-24 高三上·北京顺义·期中）过直线
上一动点
，向圆
：
引两条切线，
、
为切点，则圆
上的动点
到直线
距离的最大值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三上·江苏苏州·月考）已知点
，点O 是坐标原点，点Q 是圆
上的动点，则
的最大值为 .
【典例3】（23-24 高三上·湖北荆州·月考）已知
，过
轴上一
点
分别作两圆的切线，切点分别是
，当
取到最小值时，点
坐标为 .
重难点03 隐圆问题及其应用
1、隐圆问题的几大类型
（1）类型一：到定点的距离等于定长；
（2）类型二：到两定点距离的平方和为定值；
（3）类型三：到两定点的夹角为直角；
（4）类型四：对角互补、数量积定值；
（5）类型五：阿波罗尼斯圆
2、阿波罗尼斯圆
“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点
，
的距离之比为正数
的点
的轨迹是
为圆心，
为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆．
【典例1】（23-24 高三下·陕西铜川·模拟预测）已知
，
，若圆
上存在点P 满足
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三上·江西宜春·月考）若A，B 是平面内不同的两定点，动点
满足
（
且
），则点
的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯
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圆，简称阿氏圆．已知
是圆
上的动点，点
，
，则
的最大值为
．
一、直线的倾斜角与斜率范围的求法
1、求倾斜角的取值范围的一般步骤
（1）求出斜率k＝tan α 的取值范围．
（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α 的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
2、斜率取值范围的2 种求法
（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；
（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．
【典例1】（23-24 高三上·云南曲靖·月考）若直线
的倾斜角的取值范围是 .
【典例2】（23-24 高三上·四川雅安·期中）若直线l：
经过直线
在第一象限上的点，则
直线l 的倾斜角α 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、求解直线方程的两种方法
（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)
求出参数；④把参数的值代入所设直线方程
【典例1】（23-24 高三上·福建福州·月考）已知
的顶点
，边
上的高线
所在的直线方程
为
，边
上的中线
所在的直线方程为
．
(1)求点
的坐标；
(2)求直线
的方程．
【典例2】（23-24 高三上·福建莆田·月考）已知
的三个顶点分别为
.
(1)求边
的垂直平分线的方程；
(2)已知平行四边形
，求点
的坐标.
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三、由一般式方程确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件
＝＝(A2B2C2≠0)
【典例1】（23-24 高三上·江西南昌·月考）已知
，
，直线
和
垂直，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三上·江苏·月考）已知直线
则“
”是“
”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．非充分也非必要
四、两条直线的交点与距离问题
1、求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也
可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．
2、点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y 的系数对应相等．
【典例1】（23-24 高三上·河北衡水·月考）已知斜率均为负的直线
与直线
平行，则两条直线之间的距离为 ．
【典例2】（23-24 高三上·江苏淮安·月考）已知直线满足：原点到它的距离为
，点
到它的距离为
，请写出满足条件的直线的一个方程： .
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五、对称问题的求解方法
1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，
则有
4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
【典例1】（23-24 高三上·重庆九龙坡·月考）已知直线
恒过定点P，则点P 关于直线
的对称点的坐标是 ．
【典例2】（23-24 高三上·陕西榆林·模拟预测）已知直线：
关于直线
的对称直线为
轴，
则
的方程为 .
六、求圆的方程的两种方法
1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关
于a，b，r 的方程组，从而求出a，b，r 的值；
（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F 的
方程组，进而求出D，E，F 的值．
【典例1】（23-24 高三上·陕西榆林·模拟预测）圆心在x 轴的正半轴上，半径为8，且与直线
相
切的圆的方程为 ．
【典例2】（23-24 高三上·宁夏银川·月考）已知
，则
外接圆的方程为
．
七、求与圆有关的轨迹问题的方法
1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
2、定义法：根据圆、直线等定义列方程；
3、几何法：利用圆的几何性质列方程；
4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式
【典例1】（23-24 高三上·青海西宁·期中）已知
，
，C 为平面内的一个动点，且满足
，则点C 的轨迹方程为 ．
【典例2】（23-24 高三上·山东烟台·月考）已知定点B（3,0），点A 在圆x2＋y2＝1 上运动，∠AOB 的平
分线交线段AB 于点M，则点M 的轨迹方程是 ．
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八、解决有关弦长问题的常用方法及结论
1、几何法：如图所示，设直线l 被圆C 截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系
式：|AB|＝2
2、代数法：若斜率为k 的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，
则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)．
特别地，当k＝0 时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|．
【典例1】（23-24 高三上·四川成都·期末）写出经过坐标原点，且被圆
截得的弦长
为
的直线的方程 .
【典例2】（23-24 高三上·江苏盐城·月考）（多选）若直线
与圆
相交于
两点，则
长度可能等于（ ）
A．2
B．4
C．
D．5
九、求过一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的
距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；
2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得
到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证．
【典例1】（23-24 高三上·河北邢台·期末）已知圆
，过
作圆
的切线，则直线的
倾斜角为 ．
【典例2】（23-24 高三上·江苏南京·月考）从圆
外一点
向这个圆作两条切线，
则两切线夹角（锐角或直角）的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．6
十、圆与圆的位置关系问题
可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系：
（1）集合法：通过比较两圆半径为r1，r2与圆心距d＝|O1O2|之间的关系判断；
（2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系．
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【典例1】（23-24 高三下·山东·模拟预测）已知圆
的圆心到直线
的距
离是
，则圆
与圆
的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．内切
D．内含
【典例2】（23-24 高三上·河北保定·月考）（多选）已知圆
，圆
，
则下列结论正确的是（ ）
A．若
和
外离，则
或
B．若
和
外切，则
C．当
时，有且仅有一条直线与
和
均相切
D．当
时，
和
内含
十一、两圆的公共弦问题
公共弦长的求法
（1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
（2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公
共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得
弦的一半，进而得到公共弦长．
【典例1】（23-24 高三上·广东揭阳·期中）已知圆
：
，圆
：
，
则圆
与圆
的公共弦所在直线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三下·浙江金华·月考）两圆
与
的公共弦长为
（ ）
A．
B．
C．
D．1
十二、两圆的公切线问题
两圆公切线方程的确定
（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为
，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，
两圆心到直线
的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于
和
的方程，解这个方程组得到
，
的值，即可写出公切线的方程；
（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程．
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【典例1】（23-24 高三上·山东济宁·期末）已知圆
和圆
，
则圆
与圆
的公切线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【典例2】（23-24 高三下·江西·月考）已知圆
和
，则圆
与圆
的
所有公切线中斜率的最大值为 .
易错点1 误解“截距”和“距离”的关系
点拨：截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是
非负数，对此考生应高度重视。
【典例1】（23-24 高三上·安徽六安·月考）过点
且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程
【典例2】（23-24 高三下·河南开封·模拟预测）若直线
经过点
，则直线l 在x
轴和y 轴上的截距之和取最小值时，
（ ）
A．2
B．
C．
D．
易错点2 平行线间的距离公式使用不当
点拨：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其
他条件求解．
【典例1】（23-24 高三上·江苏扬州·月考）已知直线
，
平行，
则这两条平行直线之间的距离为 .
【典例2】（23-24 高三上·辽宁沈阳·期中）若直线：
与
：
平行，则，
间的距离是 ．
易错点3 忽视斜率不存在的情况
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点拨： (1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会
导致漏解．
(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同
时存在．
【典例1】（23-24 高三上·河北石家庄·期末）已知直线
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例2】（23-24 高三上·江西·期中）（多选）已知直线
，直线
，
则（ ）
A．当
时，与
的交点是
B．直线与
都恒过
C．若
，则
D．
，使得平行于
易错点4 遗漏方程表示圆的充要条件
点拨：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其
他条件求解．
【典例1】（23-24 高三下·河南洛阳·模拟预测）“
”是“方程
表示圆”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例2】（23-24 高三下·辽宁沈阳·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为 .
12
