文档文本内容
专题01 立体几何初步
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。
【知能解读01】空间几何体的结构特征
【知能解读02】空间几何体的表面积和体积
【知能解读03】空间几何体的外接球与内切球
【知能解读04】点、直线、平面之间的位置关系
【知能解读05】直线、平面平行的判定与性质
【知能解读06】直线、平面垂直的判定与性质
03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。
【重难点突破01】几何体展开图最短距离问题
【重难点突破02】空间几何体中的截面问题
【重难点突破03】外接球和内切球的解题思路
【重难点突破04】空间几何体中的探索性问题
04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。
【易混易错01】对斜二测画法的规则掌握不牢
【易混易错02】空间点、线、面位置关系不清
【易混易错03】线面平行定理的理解不够准确
【易混易错04】对折叠与展开问题认识不清致误
05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类
【方法技巧01】求空间几何体表面积
【方法技巧02】求空间几何体的体积
【方法技巧03】共线共点共面证明方法
【方法技巧04】证明直线与平面平行的方法
【方法技巧05】证明面面平行的常用方法
【方法技巧06】证明线线垂直的方法
【方法技巧07】证明线面垂直的方法
【方法技巧08】证明面面垂直的方法
【方法技巧09】面面垂直性质的应用
【方法技巧10】求异面直线所成角的求法
【方法技巧11】直线与平面所成角的求法
【方法技巧12】二面角的求法
【方法技巧13】空间距离的求法
01 空间几何体的结构特征
1、多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一定相
等
延长线交于一点，但不一定相
等
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
2、特殊的棱柱和棱锥
（1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是
正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
（2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均
相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形
的中心．
【注意】（1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱．
（2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台．
（3）注意棱台的所有侧棱相交于一点．
3、旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
旋转图形
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆形
旋转轴
任一边所在的直线
任一直角边所在的
直线
垂直于底边的腰
所在的直线
直径所在的
直线
母线
互相平行且相等，垂
直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
4、空间几何体的直观图
（1）画法：常用斜二测画法．
（2）规则：
①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴
所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保
持原长度不变；平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
（3）直观图与原图形面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S 直观图＝S 原图形；S 原图形＝2S 直观图．
【真题实战】（25-26 高三·广西贵港月考）如图，平行四边形
是水平放置的四边形
的直观
图，
，
，则四边形
的面积
（ ）
A．
B．
C．
D．
02 空间几何体的表面积和体积
1、空间几何体的表面积和体积公式
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S 表面积＝S 侧＋2S 底
V＝S 底h
锥体(棱锥和圆锥)
S 表面积＝S 侧＋S 底
V＝S 底h
台体(棱台和圆台)
S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
V＝(S 上＋S 下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
几何体的表面积和侧面积的注意点
①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．
②组合体的表面积应注意重合部分的处理．
2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系
（1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥，
则S 正棱柱侧＝ch′←―― S 正棱台侧＝(c＋c′)h′――→S 正棱锥侧＝ch′.
（2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，
则S 圆柱侧＝2πrl←―― S 圆台侧＝π(r＋r′)l――→S 圆锥侧＝πrl.
3、柱体、锥体、台体体积间的关系
【真题实战】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，
，若底面
水平
放置时，水面恰好过侧棱
的中点，当侧面
水平放置时，水面恰好与
交于点D，则
等于
（ ）
A．2
B．4
C．
D．
03 空间几何体的外接球与内切球
1.在棱长为a的正方体中，内切球半径r1=a
2 ，棱切球半径r2=
❑√2
2
a，外接球半径r3=
❑√3
2
a.
2.在棱长为a，b，c的长方体中,外接球半径r=
❑√a
2+ b
2+c
2
2
.
3.在棱长为a的正四面体中，高h=
❑√6
3
a，外接球半径r1=
❑√6
4
a，内切球半径r2=
❑√6
12 a.
4.在三棱锥中，若有两个面为直角三角形，且这两个三角形有公共的斜边，则斜边的中点为该三棱锥
外接球的球心，斜边长的一半为外接球的半径.
5.已知直棱柱的侧棱长为h，底面多边形外接圆的半径为r，外接球的半径为R，则R
2=r
2+h
2
4 .
【真题实战】（2025·四川达州·模拟预测）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的
球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
04 点、直线、平面之间的位置关系
1、四个公理
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内．
作用：判断一条直线是否在某个平面内的依据
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
【拓展】公理2 的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
作用：公理2 及其推论是判断或证明点、线共面的依据
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．
作用：公理3 是证明三线共点或三点共线的依据
（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3、直线与直线的位置关系
（1）空间两条直线的位置关系
位置关系
特点
相交
同一平面内，有且只有一个公共点
平行
同一平面内，没有公共点
异面直线
不同在任何一个平面内，没有公共点
（2）异面直线所成的角
①定义：设a，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直
角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
②范围：(0°，90°]．
4、直线与平面的位置关系
位置关系
直线a 在平面α 内
直线a 在平面α 外
直线a 与平面α 相交
直线a 与平面α 平行
公共点
无数个公共点
一个公共点
没有公共点
符号表示
a⊂α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
5、两个平面的位置关系
位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示
α∥β
α∩β＝l
图形表示
【真题实战】（2025·甘肃定西·模拟预测）在直三棱柱
中，
是棱
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
05 直线、平面平行的判定与性质
1、直线与平面平行
（1）直线与平面平行的定义：直线l 与平面α 没有公共点，则称直线l 与平面α 平行．
（2）判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
平面外一条直线与此平面内
的一条直线平行，则该直线
平行于此平面
a⊄α，b⊂α，
a∥b ⇒a∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行，
则过这条直线的任一平面与
此平面的交线与该直线平行
a∥α，a⊂β，
α∩β＝b⇒a∥b
2、平面与平面平行
（1）平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面．
（2）判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一
个平面平行，则这两个平面平行
a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，
a∥β，b∥β⇒α∥β
性质定理
两个平面平行，则其中一个平面内
的直线平行于另一个平面
α∥β，a⊂α⇒a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平
面相交，那么它们的交线平行
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
3、平行关系之间的转化
在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平
行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的
具体条件而定的，不可过于“模式化”．
【真题实战】（2025·湖南邵阳·模拟预测）我国古代著名的数学专著《九章算术》中记载有几何体“刍夢”.”
如图，在几何体“刍夢”
中，
平面ABCD，四边形ABFE，CDEF 为两个全等的等腰梯形，
，O 为正方形
的中心，则（ ）
A．
平面
B．
平面
C．
D．
06 直线、平面垂直的判定与性质
1、直线与平面垂直
（1）定义：直线l 与平面α 内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α 互相垂直．
（2）判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两
条相交直线都垂直，则该直
线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直
线平行
⇒a∥b
2、直线和平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直
线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是.
（2）范围：.
3、平面与平面垂直
（1）二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两
条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
（2）平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
（3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的
垂线，则这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平
面内垂直于交线的直线与
另一个平面垂直
⇒l⊥α
谨记五个结论
（1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
（2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．
（5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
4、垂直关系之间的转化
在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的
转化关系，即：
在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通
过作辅助线来解决．
【真题实战】（2025·湖北·模拟预测）在长方体
中，
，点
是平面
内的动点，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
01 几何体展开图最短距离问题
解决空间几何体表面距离最短问题,需通过展开，把问题转化为平面两点间线段最短问题．多
面体表面展开图可以有不同的形状，要观察并想象立体图形与表面展开图的关系．
【典例1】（2025·安徽·模拟预测）在正四棱柱
中，
，
分别为侧棱
上一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．14
【典例2】（2025 高三·全国月考）如图，在棱长为1 的正方体
中，已知
，
分别为线
段
，
上的动点，
为
的中点，则
的周长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
02 空间几何体中的截面问题
作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找
交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直
线的平行线找到几何体的截面的交线。
【典例1】（2025·江苏南通·模拟预测）过正方体
的中心作与
垂直的平面
，则平面
截正方体
所得的截面是（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【典例2】（2025·辽宁·模拟预测）在棱长为2 的正方体
中，
为棱
的中点，过点
的平面
与直线
垂直，则
截正方体
所得截面的面积为（ ）
A．4
B．
C．
D．
03 外接球和内切球的解题思路
1、求解几何体外接球的半径的思路
（1）根据球的截面的性质，利用球的半径R、截面圆的半径r 及球心到截面圆的距离d 三者的关系
R2＝r2＋d2求解，其中，确定球心的位置是关键；
（2）将几何体补成长方体，如本例(2)，利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于
长方体的体对角线长求解．
2、解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的
思维流程是：
第一步定球心：如果是内切球，则球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，则球心到接点的距离
相等且为半径；
第二步作截面：选准最佳角度作截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些
元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；
第三步求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解。
【典例1】（2025·江苏泰州·模拟预测）在三棱锥
中，
，
，侧棱长都等于
，其中
在球
的表面上，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）若圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，记圆
柱与球的体积之比为
，表面积之比为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的大小不确定
04 空间几何体中的探索性问题
1、立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题的主要类型
①探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么.
②探索结论，即在给定的条件下，探索命题的结论是什么.
2、对命题条件探索的三种方法：
①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明.
②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性.
③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件.
3、对命题结论探索的方法首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合
乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.
【典例1】（2025 高三·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱
中，底面
为正方形，
为棱
的中点，
．
(1)求三棱锥
的体积．
(2)在
上是否存在一点
，使得平面
平面
.如果存在，请说明
点位置并证明.如果不存在，
请说明理由.
【典例2】（2025 高三·全国月考）如图，直角梯形
中，
，
，
，
，
为
的中点．把
折起，使
至
，若点
是线段
上的动点，则有下列结论：
①存在点
，使
平面
；
②对任意点
，使
与
成异面直线；
③存在点
，使
平面
；
④存在点
，使
平面
．
其中不正确的序号是 ．
01 对斜二测画法的规则掌握不牢
辨析：由斜二测法画直观图步骤如下：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关
系不变；③“长度规则”——图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，
长度减为原来的一半。
【典例1】（2025 高三·福建莆田·期中）如图所示，梯形
是平面图形
用斜二测画法得到的
直观图，
，
，则平面图形
中对角线
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2025 高三·吉林长春·期中）一水平放置的平面四边形
的直观图
如图所示，其
中
，
轴，
轴，
轴，则四边形
的面积为（ ）
A．18
B．
C．
D．12
02 空间点、线、面位置关系不清
辨析：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的
重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出
肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断，但要注意定理应用
准确，考虑问题全面细致。
【典例1】【多选】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知E，F，G，H 分别是正方体
的棱
的中点，
，则（ ）
A．直线
与直线
异面
B．直线
交于同一点
C．过
三点的平面截正方体所得截面图形的周长为
D．动点K 在侧面
内（含边界），且
，则动点K 的轨迹长度为
【典例2】【多选】（2025 高三·广东广州·期中）如图所示，在棱长为2 的正方体
中，
分别为棱
的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线
与
是平行直线
B．直线
与
是异面直线
C．直线
与
所成的角为
D．四边形
的面积为
03 线面平行定理的理解不够准确
辨析：在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，定要注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立
的条件规范书写步骤.
【典例1】（2025·北京·模拟预测）已知平面
，直线
，则下面结论正确的是（ ）
A．若
，则
；
B．若
，则
；·
C．若
，则
；
D．若
，则
；
【典例2】（2025·上海徐汇·模拟预测）已知
为空间中两条不同的直线，
为两个不同的平面，若
，则
是
的 条件.（填：“充分非必要” “必要非充分”、“充要”、“既非充
､
分又非必要”中的一个）
04 对折叠与展开问题认识不清致误
辨析：注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，
还要注意位置关系的变化．
【典例1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知等腰梯形
，
，
，取
的
中点
，将等腰梯形
沿线段
翻折，使得二面角
为
，连接
、
得到如图所示
的四棱锥
，
为
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求四棱锥
的体积．
【典例2】（2025·河南·模拟预测）如图，在矩形
中，点
在边
上，且满足
，
将
沿
向上翻折，使点
到点
的位置，构成四棱锥
.
(1)若点
在线段
上，且
平面
，试确定点
的位置；
(2)若
，求四棱锥
的体积.
01 求空间几何体表面积
1、求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体
的表面积；
2、求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它
们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
3、求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱
体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积；
【典例1】（2025·广西柳州·模拟预测）已知圆锥的表面积为
，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个
圆锥的底面直径是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【典例2】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知
，则直角三角形
绕斜边
旋转一周所形
成的几何体的侧面积为 .
【典例3】（2025·黑龙江·模拟预测）若正四棱柱
与以正方形
的外接圆为底面的圆
柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
02 求空间几何体的体积
1、处理空间几何体体积的基本思路
（1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的
高转换为容易看出并容易求解的高；
（2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算；
（3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原
乘一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。
2、求体积的常用方法
（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；
（2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成
规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；
（3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面
作为三棱锥的底面进行等体积变换
【典例1】【多选】（2025·江西·模拟预测）一个三棱锥和一个正三棱柱的所有棱长与一个表面积为的正
方体的棱长相等，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的表面积为
B．三棱柱的表面积为
C．三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为
D．三棱锥、三棱柱、正方体的体积之比为
【典例2】（2025·陕西延安·模拟预测）已知正四棱台
中，侧棱与底面所成的角为
，
，则该四棱台的体积为 ．
【典例3】（2025·辽宁大连·模拟预测）已知正四棱台
分别是棱
的中点，平面
将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为 ．
03 共线共点共面证明方法
1、证明点或线共面问题的2 种方法
（1）首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；
（2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
2、证明点共线问题的2 种方法
（1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
（2）直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上．
3、证明线共点问题的常用方法
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【典例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中不过同一点的三条直线
，则“
共面”的
一个充分不必要条件是（ ）
A．
，且
B．
，且
C．
，且
D．
两两相交
【典例2】（2025·江西·模拟预测）如图，正方体
的棱长为1，
，
分别为
，
的
中点，
在
上，且
，平面
与棱
所在直线交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2025·江西·模拟预测）已知在四面体ABCD 中，
，
，
分别为
BC，BD，AC，AD 的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
04 证明直线与平面平行的方法
1、线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．
2、线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边
形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．
3、面面平行的性质：①两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，即α β
∥，
a α a β
⊂⇒∥；②两个平面平行，不在两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一平面也
平行，即α β
∥，a⊄α，a⊄β，a α a β.
∥⇒∥
【典例1】（2025·河北保定·模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
平面
为棱
上的动点．
(1)当
为棱
的中点时，证明：
平面
；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
【典例2】（2025·广西·模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2 的正方形，
，
，
，
为线段
的中点.
(1)证明：直线
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【典例3】（2025 高三·广东广州月考）如图，在四棱锥
中，三角形
是以AD 为斜边的等腰
直角三角形，
，
，
，E 为PD 的中点.
(1)证明：
平面PAB；
(2)若
，求直线CE 与平面PBC 的夹角的余弦值.
05 证明面面平行的常用方法
1、利用面面平行的定义．
2、利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平
行．
3、利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．
4、利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．
5、利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
【典例1】（2025·上海·模拟预测）已知三棱锥
中，
平面
为
中点，过点
分别作平行于平面
的直线交
于点
.
(1)求直线
与平面
所成的角的正切值；
(2)证明：平面
平面
，并求直线
到平面
的距离.
【典例2】（2025·河南·模拟预测）如图所示，正六棱柱
的底面边长为1，高为
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
间的距离.
【典例3】（2025·河南·模拟预测）如图，在四棱柱
中，四边形ABCD 是正方形，E，F，
G 分别是棱
，
，
的中点.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若点
在底面ABCD 的投影是四边形ABCD 的中心，
，求三棱锥
的体积.
06 证明线线垂直的方法
【典例1】（2025·北京昌平·模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
与
相交于点
，平面
平面
，点
在棱
上，
．
(1)求证：
；
(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面
与平面
夹角的大小．
条件①：
平面
；
条件②：
．
【典例2】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在直角梯形
中，
，
，
，
，
于
，沿
将
折起，使得点
到点
的位置，使
，
，
分
别是棱
，
的中点.
(1)证明：
；
(2)求平面
和平面
的夹角的余弦值.
【典例3】（2025·江西·模拟预测）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
点E 为
的中点.
(1)求证：
；
(2)若平面
平面
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
07 证明线面垂直的方法
1、线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.
2、面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
3、性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α.
4、α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用)
【典例1】（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)若点
满足
，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
【典例2】（2025·山东威海·模拟预测）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
为
等边三角形，
，
，
，
，M 为
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【典例3】（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，四边形
与四边形
均为等腰梯形，
，
，
，
，
，
，
⊥平面
，
为
上一点，且
⊥
，连接
.
(1)证明:
⊥平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值.
08 证明面面垂直的方法
法1：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平
面角为直角问题；
法2：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化为证明线
线垂直加以解决。
【典例1】（2025·河北衡水·模拟预测）如图，圆柱
中，
是底面圆
上的一条直径，
，
分别是
底面
，
圆周上的一点，
，
，且点
不与
，
两点重合.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若二面角
为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【典例2】（2025 高三·重庆南岸月考）已知三棱柱
中，
，
，
，
(1)求证：平面
平面
(2)若
，且
是
的中点，求平面
和平面
的夹角的正弦值．
【典例3】（2025 高三·江西·期末）如图，在几何体
中，
互相平行，四边形
与四边形
是全等的等腰梯形，平面
平面
，
，点
分别为
的中点.
(1)证明：平面
平面
;
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
09 面面垂直性质的应用
面面垂直性质的应用
(1)在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．首先在一个平面内作交线的垂线，
转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
易错点：性质定理运用时要注意“线在面内”．
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面(不能直接作为证明
依据)．
【典例1】（2025·山东济宁·模拟预测）底面为菱形的四棱锥
中，
与
交于点
，平面
平面
，平面
平面
．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，直线
与平面
所成角的正弦值为
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
【典例2】（2025·四川成都·模拟预测）如图所示，斜三棱柱
的各棱长均为
， 侧棱
与底
面
所成角为
，且侧面
底面
．
(1)证明：点
在平面
上的射影
为
的中点；
(2)求二面角
的正切值．
【典例3】（2025 高三·河南月考）如图所示，在三棱锥
中，
与AC 不垂直，平面
平面
，
．
(1)证明：
；
(2)若
，点M 满足
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
10 异面直线所成角的求法
平移法求异面直线所成角的步骤
第一步平移：平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或
中点)作平行线平移；(3)补形平移
第二步证明：证明所作的角是异面直线所成的角或其补角
第三步寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之
第四步取舍：因为异面直线所成角θ 的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作
为异面直线所成的角
【典例1】（2025·河南郑州·模拟预测）在正方体
中，若
，P，Q 分别为
AC，
的中点，则直线PQ 与AO 所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知底面边长为2 的正四棱柱
的体积为16，则直
线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，已知正四棱锥
的所有棱长均相等，
为棱
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11 直线与平面所成角的求法
1、垂线法求线面角（也称直接法）：
（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B 为斜足；找线在面外的一点A，过点A 向平面
做垂线，确
定垂足O；
（2）连结斜足与垂足为斜线AB 在面
上的投影；投影BO 与斜线AB 之间的夹角为线面角；
（3）把投影BO 与斜线AB 归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
2、公式法求线面角（也称等体积法）：
用等体积法，求出斜线PA 在面外的一点P 到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为：sinθ=h
l ，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长。
【典例1】（2025 高三·广东东莞·期末）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2 的正方形，
点
分别是
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的大小．
【典例2】（2025 高三·全国月考）如图，在四棱锥
中，四边形
的边长均为2，
为
正三角形，
，
分别为
的中点．
(1)证明：
．
(2)给出两个条件：
①四棱锥
的体积为2；
②
．
从中选择一个，补充在下面的问题中，并解决该问题：若______，求直线
与平面
所成角的正弦值．
【典例3】（2025 高三·黑龙江牡丹江·期末）如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
为等边三角形，平面
平面
，
，
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值．
12 二面角的求法
综合法求二面角的方法
1．定义法：步骤是“一作、二证、三求”．
(1)一作：作出二面角的平面角．
(2)二证：证明所作的平面角满足定义，即为所求二面角的平面角．
(3)三求：将作出的角放在三角形中，计算出平面角的大小．
注：作二面角的平面角的方法．
①定义法：分别在两个半平面内向棱作垂线，垂足为同一点，两垂线的夹角即为二面角
的平面角．
②垂面法：作垂直于棱的一个垂面，这个平面与两个半平面分别有一条交线，两条交线
所成的角即为二面角的平面角．
③三垂线法：过一个半平面内的一点A 作另一个半平面的一条垂线，过垂足B 作棱的垂
线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB 或其补角即为二面角的平面角．
2．射影面积法：若二面角一个面上的几何图形的面积为S，其在另一个面上的投影的面
积为S′，则二面角α 的余弦值满足cosα＝(客观题)．
【典例1】（2025 高三·全国月考）在平面四边形
中，
（如图），沿对角线
将
折起，使点
在平面
上的射影
恰落在
上（如图）．
(1)求证：
；
(2)求二面角
的平面角余弦值大小；
(3)求
和平面
所成角的余弦值．
【典例2】（2025 高三·北京顺义·期末）如图在四棱柱
中，四边形ABCD 为梯形，
，
，E 为
中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若
平面
，
，且
，
（ⅰ）求证：
；
（ⅱ）写出二面角
的正切值.（结论不要求证明）
【典例3】（2025 高三·湖南怀化·期末）在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
分别为棱
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
平面
；
(3)求二面角
的正弦值．
13 空间距离的求法
综合法求空间距离的策略
1．求距离的方法：
(1)定义：
①一找：找出点到平面的距离；②二证：证明线面垂直；③三求：利用三角形求解．
(2)体积法：转换顶点，等体积变形．
(3)平面分线段比与线段对应端点到平面的距离比相等．
2．点面距离、线面距离、面面距离都转化为点面距离．
【典例1】（2025 高三·贵州铜仁·期末）如图，在以
为顶点的五面体中，四边形
与四
边形
均为等腰梯形，
，
，
，
，
，
为
的中点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
所成角的正弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
【典例2】（2025 高三·四川成都·期末）如图，已知四棱锥
中，侧面PAD 为边长等于2 的正三角
形，底面ABCD 为菱形，
，O 为AD 中点，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为
．
(1)证明
平面PBO；
(2)求点P 到平面ABCD 的距离；
(3)求二面角
的余弦值．
【典例3】（2025 高三·甘肃天水·期末）一副三角板如图所示的方式拼接，将
折起，使得二面角
为直二面角，
.
(1)求证：
平面
；
(2)求点
到平面
的距离.
