文档内容
专题 18 立体几何初步（Ⅰ）（六大题型+模拟精练）
目录：
01 概念、截面、展开图
02 直观图
03 表面积和体积
04 实际应用、传统文化等
05 立体几何初步的计算综合辨析
06 多面体的切接问题
一、单选题
01 概念、截面、展开图
1．（2024高三·全国·专题练习）有下列命题：
① 若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
② 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③ 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等；
④ 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥．
其中，正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023高三·全国·专题练习）已知在正方体 中， ， ， 分别是 ， ， 的
中点，则过这三点的截面图的形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．（22-23高三上·四川成都·阶段练习）已知正四面体 的棱长为 ， 为 上一点，且
，则截面 的面积是（ ）A． B． C． D．
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知圆锥的侧面积是 ,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的内切
球半径为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·辽宁·模拟预测）圆锥的高为2，底面半径为1，则以圆锥的高为直径的球 表面与该圆锥侧面
交线长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·吉林·模拟预测）已知圆锥的侧面积是 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球
半径为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·广东汕头·一模）已知圆锥的顶点为 ， 为底面圆心，母线 与 互相垂直， 的面积
为 ， 与圆锥底面所成的角为 ，则（ ）
A．圆锥的高为
B．圆锥的体积为
C．圆锥侧面展开图的圆心角为
D．二面角 的大小为
8．（2024·四川自贡·三模）已知球O半径为4，圆 与圆 为球体的两个截面圆，它们的公共弦长为4，
若 ， ，则两截面圆的圆心距 （ ）A． B． C． D．
9．（2024·云南曲靖·模拟预测）正方体 外接球的体积为 ， 、 、 分别为棱
的中点，则平面 截球的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·河南新乡·三模）已知球 的半径为5，点 到球心 的距离为3，则过点 的平面 被球 所
截的截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
02 直观图
11．（2024·湖北·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的 的直观图如图所示，其中 是 的
中点，且 轴， 轴， ，那么 （ ）
A． B．2 C． D．4
12．（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）用斜二测画法画三角形 的直观图 ，如图所示，已知
， ，则 （ ）A． B． C．2 D．4
13．（2024·四川成都·模拟预测）如图， 是水平放置的 用斜二测画法画出的直观图（图中虚
线分别与 轴和 轴平行）， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C．24 D．48
14．（22-23高一下·湖北武汉·期中）如图，四边形 的斜二测画法直观图为等腰梯形 ．已知
， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形 的周长为
D．四边形 的面积为
03 表面积和体积
15．（2024·全国·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则圆锥
的体积为（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·河北·模拟预测）过圆锥 高的中点 作平行于底面的截面，则截面分圆锥 上部分圆锥与
下部分圆台体积比为（ ）A． B． C． D．
17．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）若三棱锥 的所有顶点都在半径为2的球 的球面上，
为球 的直径，且 ，则该三棱锥的最大体积为（ ）
A． B． C．3 D．
18．（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知圆台的体积为 ，母线长为3，高为 ，则圆台的侧面
积为（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知某圆台的母线长为 ，母线与轴所在直线的夹角是 ，且上、
下底面的面积之比为 ，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·天津河西·三模）如图，在三棱柱 中，E，F分别为AB，AC的中点，平面
将三棱柱分成体积为 ， 两部分，则 （ ）
A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5
04 实际应用、传统文化等
21．（2024·河北沧州·三模）《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体
（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体 的棱长
为 ， 为棱 上的动点，则当三棱锥 的外接球的体积最小时，三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
22．（2024高三·全国·专题练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与
“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决
胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧 、
所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（ ）
A．高为2 B．母线长为3
C．表面积为14π D．体积为 π
23．（2024·山东菏泽·模拟预测）菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发
展提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐（如图）的高约为
，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成（如图），圆台的上底直径约为 ，下底直径约为
，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（ ）
A． B． C． D．
24．（2024·天津北辰·三模）中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载
人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百
年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其
内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆
锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（ ）A． B． C． D．
二、多选题
05 立体几何初步的计算综合辨析
25．（2024·黑龙江·模拟预测）图柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（ ）
A．圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等
B．圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为
C．圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为
D．圆柱内切球的体积与圆柱体积比为
26．（2024·河北衡水·三模）已知在正方体 中， ，点 为 的中点，点 为正
方形 内一点（包含边界），且 平面 ，球 为正方体 的内切球，下列
说法正确的是（ ）
A．球 的体积为 B．点 的轨迹长度为
C．异面直线 与BP所成角的余弦值取值范围为 D．三棱锥 外接球与球 内
切
27．（2024·广西南宁·模拟预测）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，
，点C在底面圆周上，且二面角 的大小为45°，则（ ）A． 的面积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D．该圆锥的体积为π
28．（2024·山东·模拟预测）如图，有一个棱台形的容器 （上底面 无盖），其四
条侧棱均相等，底面为矩形， ，容器的深度为 ，容器壁的厚度忽略不
计，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．该四棱台的侧面积为
C．若将一个半径为 的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面
D．若一只蚂蚁从点 出发沿着容器外壁爬到点 ，则其爬行的最短路程为
三、填空题
06 多面体的切接问题
29．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正方体 棱长为2，若点 是线段 的中点，则三
棱锥 的外接球的表面积为 .
30．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知四棱锥 的底面是矩形，平面 平面 ，
， ， .若四棱锥 内存在内切球（球与四棱锥的各个面均相切），则
，该内切球的表面积为 .
31．（2024·湖南长沙·三模）在直三棱柱 中， 是棱 上一点，平面 将直三棱柱 分成体积相等的两部分.若 四点均在球 的球面上，则球
的体积为 .
32．（2024·浙江金华·模拟预测）称四面体的棱切球为与该四面体的每条棱内部都相切的球.已知四面体
存在棱切球，且 ，则该四面体的体积为 ，棱切球的半径为
.
一、单选题
1．（2024·广东佛山·二模）某圆锥高为 ，母线与底面所成的角为 ，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）下图是一个圆台的侧面展开图，已知 ， 且 ，
则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知某圆台的母线长为 ，母线与轴所在直线的夹角是 ，且上、
下底面的面积之比为 ，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·福建·模拟预测）一个底面半径为2的圆锥的轴截面为正三角形，现用平行于底面的平面将该圆
锥截成两个部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在圆锥上的截面面积（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东·模拟预测）建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底
小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台 ，已知该圆台的上､下底面积分别为 和 ，高超过 ，该圆台
上､下底面圆周上的各个点均在球 的表面上，且球 的表面积为 ，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知长方体 的体积为 是棱 的中点，平面
将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O， 为底面直径， ，
，点C在底面圆周上，且二面角 为 ，则（ ）
A．该圆锥的侧面积为 B．该圆锥的体积为
C． 的面积为 D．
8．（2024·河南·模拟预测）如图，已知直三棱柱 的体积为4，AC⊥BC， ，D为
的中点，E为线段AC上的动点（含端点），则平面BDE截直三棱柱 所得的截面面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·河南郑州·模拟预测）下列说法中，错误的为（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥．
10．（2023·海南海口·二模）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，
并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，
以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示．若某勒洛四面体内的四面体 的高为
，则（ ）
A． B． 外接圆的半径为2
C．四面体 的体积为 D．该勒洛四面体的表面积为11．（2024·重庆·模拟预测）如图所示，在棱长为2正方体 中， 分别为
的中点， 为侧面 内的动点（不包含边界），且 //平面 ， 是三角形
内一动点（包含边界），且直线 与直线 的夹角等于直线 与直线 的夹角，则下列说法
正确的是（ ）
A．存在点 使得
B．点 的轨迹长度为
C．三棱锥 体积的最大值为
D．过点 作平面 ，使 ，则平面 截正方体所得的截面周长为
三、填空题
12．（2024·福建南平·模拟预测）已知圆台 的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，
轴截面周长为16，则该圆台的表面积为 ．
13．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正方体 棱长为2，若点 是线段 的中点，则三
棱锥 的外接球的表面积为 .
14．（2024·浙江杭州·三模）已知正三角形ABC的边长为2，中心为O，将 绕点O逆时针旋转角，然后沿垂直于平面ABC的方向向上平移至 ，使得两三角形所在平面的距离为 ，
连接 ， ， ， ， ， ，得到八面体 ，则该八面体体积的取值范围为 ．
