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专题 18 立体几何中的正方体
一、单选题
1．（2024届江西省全南中学高三上学期开学考试）棱长为1的正方体 中，点P在棱CD
上运动，点Q在侧面 上运动，满足 平面 ，则线段PQ的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，设 ， ，
所以 ， ，
因为 平面 ，所以 ，故 ，
，故 ，其中 ，
故 ，故当 时， ，此时
满足要求，所以线段PQ的最小值为 .故选A2．（2024届江苏省南京市高三上学期9月学情调研）在正方体 中，过点B的平面 与直
线 垂直，则 截该正方体所得截面的形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】A
【解析】连接 ，因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又四边形 为正方形，所以 ⊥ ，又 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，因为 平面 ，所以 ⊥ ，同理可证明 ⊥ ，
因为 ， 平面 ，故 ⊥平面 ，故平面 即为平面 ，
则 截该正方体所得截面的形状为三角形. 故选A
3．（2024届江西省万安中学高三上学期开学考试）如图，在棱长为1的正方体 中，E为
线段 的中点，F为线段 的中点．直线 到平面 的距离为（ ）．A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 平面 , 平面 , 平面 ,因此直线 到平面 的距
离等于点 到平面 的距离，如图，以 点为坐标原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为
轴， 所在的直线为 轴，建立直角坐标系.
则 ，
设平面 的法向量为 ，则
，令 ，则 ，设点 到平面 的距离为 ，则
故直线 到平面 的距离为 .故选D.
4．（2023届山西省百师联盟高三下学期联考）在棱长为2的正方体 中，E为CD 上的动
1点，则AE与平面 所成角的正切值不可能为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
在 上取点 ，使得 ，连接 ，由 ， 可知四边形 为平行四边形，则
，因为 平面 ， ，所以 平面 ，
所以 与平面 所成角为 ， ，而 ．
所以 ．显然 ，故D不可能．故选D
5．（2024届湖北省荆州市沙市中学高三上学期9月月考）已知正方体 的棱长为 ，
A B C D
分别为 和 的中点, 为线段 上的动点， 为上底面 1 1 1 1内的动点，下列判断正确的是
（ ）
①三棱锥 的体积是定值；②若 恒成立，则线段 的最大值为 ；③当 与 所
成的角为 时，点 的轨迹为双曲线的一部分；A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【解析】如图（1）所示，因为点 为 的中点，又由 是 的中点，可得 ，
又因为点 为 上的动点，所以点 到直线 的距离等于点 到 的距离，
所以点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离的一半，
因为正方体的棱长为4，可得 ，
因为 面 ，且 面 ，所以 ，
可得点 到直线 的距离为 ，所以点 到直线 的距离 ，
所以 的面积为 ，
由 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，且 ，
所以三棱锥 的体积为 （定值），所以①正确；
如图（2）所示，以 为原点，以 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴，建立空间直角坐标系，
可得 ，设 ，由
，设 ，则 ，
因为 ，所以 ，可得 ，所以 ，
又因为 且 ，可得 ，
所以当 时，线段 取得最大值，最大值为 ，所以②正确；
因为 ，又因为 与 的所成的角为 ，
所以 ，
整理得 且 ，所以点 的轨迹为抛物线的一部分，所以③错误.
故选A.
6．（2024届四川省成都外国语学校高三上学期入学考试）如图，在棱长为1的正方体 中，
点 分别在线段 和 上．给出下列四个结论中所有正确结论的个数有（ ）个
① 的最小值为1
②四面体 的体积为
③存在无数条直线 与 垂直④点 为所在边中点时，四面体 的外接球半径为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①:因为 是正方体，所以 平面 , 平面 ,
又因为 平面 , 平面 ,所以 ，即 是 与 的公垂
线段，因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，
所以当 分别与 重合时， 最短为1，故①正确;
对于②,因为 是正方体，
所以平面 平面 ，且 平面 所以 平面 ，
当点 在 上运动时，点 到平面 的距离不变，距离 ，
由 可知，当点 在 上运动时， 到 的距离不变，
所以 的面积不变，
所以 所以②错误;
对于③,连接 ，因为 平面 ， 平面 ，
且 ,所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，当 不在线段 端点时，
过 作 交 于 ，过 作 交 于 ，
平面 交线段 于 ,因为 平面 ， 平面 ,
故 平面 ，同理 平面 ,
又 平面 ，
所以平面 平面 ，
故 平面 ，又 平面 ，
所以 ，因为点 在线段 上，
所以存在无数条直线 ，故③正确;
对于④,如图,以点 为原点，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ,
所以 ,则 的外接圆的半径为
所以可得等腰 的外接圆圆心为 ,
设四面体 的外接球球心为 ，则 平面 ，
所以可设四面体 的外接球球心为 ，
由 ，可得 ,解得 ，
所以四面体 的外接球的半径为 故④错误.故选B.
7．已知正方体 的棱长为 为棱 上的靠近点 的三等分点，点 在侧面 上
运动，当平面 与平面 和平面 所成的角相等时，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，以 为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为3，
则 ， ， ，设 ，则 ， ，
由正方体的性质可得平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量 ，设平面 的法向量 ，则 ，即 ，
取 ，则 ， ，故 ，
又平面 与平面 和平面 所成的角相等，故 ，即 ，
故 ，即 ， .
①当 ，即 时，因为 ，所以 ，
又 ，则 ， ，此时 .
②当 ，即 时，因为 ，所以 ，
又 ，故 ，
此时 ，
故当 时 取最小值 .
综上 的最小值为 .故选A
8．（2024届安徽省安庆、池州、铜陵三市部分学校高三上学期开学联考）已知正方体 的
棱长为 ， 分别为棱 ， 上的动点，则四面体 的体积最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过点 作 交 于 ，连接 ，
又
，又 平面 ，且 平面 ，
平面 ，
则 ，
设 ， ，则 ，
，
故四面体PQAD的体积
，
当 时，其最大值为 .故选A.
9（2023届河南省TOP二十名校高三下学期3月调研模拟）正方体 的棱长为 ， 为
中点， 为平面 内一动点，若平面 与平面 和平面 所成锐二面角相等，则点到 的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先证明一个结论：若平面 与平面 所成二面角为 ，且 平面 ，则
.
证明：作 ，垂足为 ，连 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，所以 ，
在直角三角形 中， ，即 .
设平面 与平面 和平面 所成锐二面角为 ，取 的中点 ，作 ，垂足为 ，
则三角形 在平面 内的射影是三角形 ，在平面 内的射影是三角形 ，
根据以上结论得 ， ，
在 中，设 边上高为 ，
，所以 ， ，所以 点轨迹为与 平行且距离为 的两条直线，所以 点到 的最短距离为 .
故选C
10．（2023届河南省商丘市等2地高三三模）设正方体 的棱长为1，点E是棱 的中点，
点M在正方体的表面上运动，则下列命题：
①如果 ，则点M的轨迹所围成图形的面积为 ；
②如果 ∥平面 ，则点M的轨迹所围成图形的周长为 ；
③如果 ∥平面 ，则点M的轨迹所围成图形的周长为 ；
④如果 ，则点M的轨迹所围成图形的面积为 ．
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【解析】由 面 ，而 面 ，则 ，又 ，
又 ， 面 ，则 面 ，
由 面 ，则 ，同理 ，
， 面 ，则 面 ，
所以 垂直于面 所有直线，且 面 ，
若 ，则 在边长为 的正△ 的边上，
故轨迹图形面积为 ，①对；
若 分别为 中点，连接 ，
由正方体的性质易得 ， ，
所以 共面，且 为平行四边形，故面 即为面 ，
由 面 ， 面 ，则 面 ，
同理可得 面 ， ， 面 ，
所以面 面 ，要使 ∥平面 ，则 在△ 的边上，
所以轨迹长为 ，②错；若 分别为 的中点，连接 ，显然 ，
所以 共面，即 面 ，
由 ， 面 ， 面 ，则 面 ，
又 ，同理可得 面 ， ， 面 ，
所以面 面 ，故面 内任意直线都与面 平行，
要使 ∥平面 ，则 在四边形 的边上运动，
此时轨迹长为 ，③对；
若 分别是 的中点，并依次连接，
易知 为正六边形，显然 ， ，
由 面 ， 面 ，则 面 ，同理可得 面 ，
， 面 ，所以面 面 ，
由 面 ，则 面 ，故 垂直于面 所有直线，要使 ，则 在边长为 的正六边形 边上运动，
所以轨迹图形面积为 ，④对；
故选C
11．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研）已知一个棱长为2的正方体，点 是其内切球上
两点， 是其外接球上两点，连接 ，且线段 均不穿过内切球内部，当四面体 的
体积取得最大值时，异面直线 与 的夹角的余弦值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正方体棱长为2，知其内切球的半径为1，外接球的半径 ，
依题意知， 最长为 ， 最长为内切球的直径2，
由三角形面积公式 ，若 为定值时， 时面积最大，
画出图形如图所示，其中 分别是所在正方形的中心， 是内切球与外接球的球心，
由正方体性质知 ， ， ， ，又 ，故此时四面体 的体积取得最大，
因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 异面直线 与 所成的角，
在 中， ，
由余弦定理得 ，故选D
12．（2023届浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”高三下学期3月联考）在正方体 中，
平面 经过点B、D，平面 经过点A、 ，当平面 分别截正方体所得截面面积最大时，平面
所成的锐二面角大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】平面 经过点B、D且截正方体所得截面面积最大时，平面 与面 重合，
证明：设平面 与面 所成的二面角为 ，二面角 为 ，
当 时，记平面 截正方体所得截面为面 ， ，
则 ，
令 ，
因为 ，所以 ，当 时，显然平面 截正方体所得截面面积最大时，
截面为面 ，
当 时，平面 截正方体所得截面为 ，
所以平面 截正方体所得截面面积最大时截面为面 ，
同理平面 过 时，截正方体所得截面面积最大时截面为面 ，
连接 ，面 与面 所成锐二面角为 ，
因为 面 面 ，
所以 的所成角大小为二面角 大小，
因为 ，所以面 与面 所成锐二面角大小为 .故选C．
二、多选题
13．（2024届甘肃省白银市靖远县高三上学期10月月考数）如图，正方体 的棱长为2，
若点M在线段 上运动，则下列结论正确的是（ ）A．直线 平面
B．三棱锥 与三棱锥 的体积之和为
C． 的周长的最小值为
D．当点M是 的中点时，CM与平面 所成角最大
【答案】ABD
【解析】A： 如下图所示：
因为 是正方体，
所以 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
同理由 是正方体可得 ，同理可证明 平面 ，
而 平面 ，
所以平面 平面 ，
而 平面 ，所以直线 平面 ，因此本选项正确；
B：如下图所示：过 作 ，交 、 于 、 ，
过 作 ，交 于 ，
因为 是正方形，所以可得 ，，因此本选项正确；
C：将平面 与平面 展成同一平面，如下图所示：
当 三点共线时， 最小，作 ，交 延长线于 ，
则 ， ，
，
所以 的周长的最小值为 ，因此本选项不正确；
D：当点M是 的中点时， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 平面 ，
所以 平面 ，CM与平面 所成角为 ，因此本选项正确，故选ABD
14．（2024届湖南省益阳市高三上学期9月月考）在棱长为2的正方体 中， ， 分别是线段 ， 上的点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积是
B．线段 的长的取值范围是
C．若 ， 分别是线段 ， 的中点，则 与平面 所成的角为
D．若 ， 分别是线段 ， 的中点，则 与直线 所成的角为
【答案】AC
【解析】建立如图所示空间直角坐标系：
因为棱长为2，所以 ,
,
对于 ,
则 所以 ,
又 平面 , 平面 ，
所以 平面 ，
又点 ,故点 到平面 的距离等价于点 到平面 的距离,
所以 ,故 正确；
对于 ,设则
，
故 及 时， ，
故 错误；
对于 ,若 ， 分别是线段 ， 的中点，则 ,
,取平面 的法向量 ，设 为 与平面 所成的角，
则 所以 ，
即 与平面 所成的角为 ，故 错误；
对于 ,若 ， 分别是线段 ， 的中点，则 ,
，则 ,
则 ，
则 即 与直线 所成的角为 ，故 正确.故选
15．（2023届云南省曲靖市第二中学学联体高三下学期第二次联考）如图，点 是棱长为2的正方体
的表面上一个动点，则（ ）A．当 在平面 上运动时，三棱锥 的体积为定值
B．当 在线段 上运动时， 与 所成角的取值范围是
C．若 是 的中点，当 在底面 上运动，且满足 平面 时， 长度的最小值是
D．使直线 与平面 所成的角为 的点 的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】对于A： 的面积不变，点 到平面 的距离为正方体棱长，
所以三棱锥 的体积的体积不变，
且 ，所以A正确；
对于B：以 为原点， 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴，建立空间直角坐标系，可得
，
设 ，则 ，
设直线 与 所成角为 ，
则 ，因为 ，当 时，
可得 ，所以 ；
当 时， ，
由 ，所以 ，
所以异面直线 与 所成角的取值范围是 ，所以B正确；
对于C，由 ，
设 ，
则
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 ，可得 ，
所以 ，
当 时，等号成立，所以C错误.对于D：因为直线 与平面 所成的角为 ，
由 平面 ，得直线 与 所成的角为 ，
若点 在平面 和平面 内，
因为 ，故不成立；
在平面 内，点 的轨迹是 ；
在平面 内，点 的轨迹是 ；
A B C D
1 1 1 1
在平面 时，作 平面 ，如图所示，
因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 ，
所以点 的轨迹是以 点为圆心，以2为半径的四分之一圆，
所以点 的轨迹的长度为 ，
综上，点 的轨迹的总长度为 ，所以D正确；
故选ABD.16．（2024届广东省四校高三上学期第一次联考）如图，正方体 中，E为 的中点，P
为棱BC上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点P，使 平面
B．存在点P，使
C．四面体 的体积为定值
D．二面角 的余弦值取值范围是
【答案】BC
【解析】（向量法）为简化运算，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2，
，则 ， ， ，
， ，故 与 不垂直，故A错误.
由 知 ，故B正确.为定值.故C正确.
又 ， ，设平面 的法向量 ，
由 ，
令 则 ， ， ，
又平面 的法向量 ，
，
又 ， ， .
故D错误.
（几何法）记棱 中点分别为 ，
易知 平面 ，而 平面
则 ，若 平面 ， 平面 ，则 ，
由 平面 ，
所以 平面 ，与已知矛盾，故 不垂直于平面 .
故A错误.连接 ，易知 ， ，设正方体棱长为2，知 ， ，
记 ，
则 ， ，
由 ，
得 .故B正确.
为定值.故C正确.
过点 作 于点 ，易知 ，过点 作 于点 ，
知 平面 ，所以 ，则二面角 的平面角为 ，现在 中求解 .
设正方体棱长为2， ，则 ， ，
只需求 取值范围即可：
记 ，则 ，
分析易知 在 时 取到最大值，此时 ，
在 时 取到最小值，此时 ，
又 即 ，
即 ，
所以 即 ，
.
故D错误.
故选BC
17．（2023届新老高考过渡省份适应性联考）如图，已知正方体 的棱长为2，P为空间中
一点且满足 ，则以下说法正确的有（ ）A．若P在面 上，则其轨迹周长为
B．若 ，则 的最小值为
C．P的轨迹围成的封闭曲面体积为
D．四棱锥P-ABCD体积最大值为
【答案】AB
三、填空题
18．（2024届广西玉林市高三联考高三上学期开学考试）在正方体 中， 为 的中点，
则异面直线 与 所成角的余弦值为 .
【答案】
【解析】
不妨设正方体棱长为2，以 点为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴
建立空间直角坐标系，则 ，则 ， .
19．（2024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不
计）的上底面半径为1，下底面半径为6，母线与底面所成的角为 .在圆台容器内放置一个可以任意转动
的正方体，则正方体的棱长的最大值是 .
【答案】4
【解析】如下图所示：
根据题意可知 ；又母线与底面所成的角为 ，即 ，易得 ；
设圆台内能放置的最大球的球心为 ，且与底面和母线分别切于 两点，
所以可知球的半径 ，此时球的直径为 ，
即此时球与圆台上底面不相切，因此圆台内能放置的最大球的直径为 ;
若放置一个可以任意转动的正方体，要求正方体棱长最大，需要正方体的中心与球心重合，且该球是正方
体的外接球，
设正方体的最大棱长为 ，满足 ，解得 .
20．（2024届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期质量调研）点 是正四面体 的中心，
.若 ，其中 ，则动点 扫过的区
域的体积为 .
【答案】 /【解析】图，作出正四面体 ，
将正四面体 放入正方体中，如下图所示：
则 是该正方体的中心，
设该正方体的棱长为 ，则 ，解得： ，
又 ， ，
则知 扫过的区域的边界是以该正方体的六个面作延伸的六个全等的正方体的中心为顶点的正方体，其中
两个面如下图所示：
可得动点 扫过的区域的体积为该正方体体积的 倍，即动点 扫过的区域的体积 .
21．（2024届福建省泉州市高三高中毕业班质量监测）如图，棱长为2的正方体容器 中，
， 分别是棱 ， 的中点，在 ， ， 处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装
水的最大体积为 .
【答案】6
【解析】1.当 ， ， 处的小孔都在水平面时，如图一，
三棱台 的体积为 ，
所以容器所装水的多面体 的体积 ；
2.当只有1个小孔在水平面上方时，
（1）当 处的小孔在水平面上方时，如图二；
当 处的小孔在水平面上方时，图三；显然这两种情况，容器所装水的体积比多面体 的体积小，不会最大；
（2）当 处的小孔在水平面上方时，设水面所在平面为 ，
①当 在线段 上时，如图四，设 ， ，则 ，
因为正方体 的体积为 ，
棱台 的体积为 ， ，
可得 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以棱台 的体积无最小值，此时该容器可装水的体积小于6.
②当 在线段 上时，如图五，设 ， ， 的中点为 ，可知：水平面 为平行四边形，且四棱锥 与四棱锥 的体积相同，
可知：多面体 的体积与三棱柱 的体积相同，
所以三棱柱 的体积为 ，此时该容器可装水的体积为 .
综上所述：该容器可装水的最大体积为6.
22．（2023届河北省邯郸市部分学校高三下学期开学考试）如图，某正方体的顶点A在平面 内，三条棱
都在平面 的同侧.若顶点B，C，D到平面 的距离分别为 ， ，2，则该正方体外接球的
表面积为 .
【答案】
【解析】设正方体的棱长为a，取空间的一个基底 ，设 是平面 的一个方向向上的单位法
向量.
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ，使得 .
由题意， 在 方向上的投影向量的长度分别为 ， ，2.于是 ，即 ，即 ，即 .
同理， .
从而 ，由 ，得 ，
即 ，解得 ，
所以正方体的外接球半径为 ，外接球的表面积为 .
