文档文本内容
2026 年新高考第12 题分类训练
立体几何基础
考点
3 年考题
考情分析
立体几何基
础
2025 年新高考Ⅱ卷第14 题
2024 年新高考Ⅰ卷第5 题
2024 年新高考Ⅱ卷第7 题
2023 年新高考Ⅰ卷第14 题
2023 年新高考Ⅱ卷第14 题
立体几何作为新高考数学的核心考查模块，会以选择、
填空、解答等多种题型综合考查，其中填空难度比较
低。纵观近 3 年新高考试题，立体几何基础需要熟练
掌握表面积、体积公式，了解几何体结构。可以预测
2026 年新高考命题方向，将继续以多几何体为载体，
结合截面动态分析、体积最值求解、空间角转化等创新
形式体现，侧重考查空间想象与逻辑推理的综合素养。
1.（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第14 题）一个底面半径为
，高为
的封闭圆柱形容
器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为
．
【答案】
【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径；
【解析】
圆柱的底面半径为
，设铁球的半径为r，且
，
由圆柱与球的性质知
，
即
，
，
故答案为：
.
2.（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第5 题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且
它们的高均为
，则圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解
后可求圆锥的体积.
【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为
，
而它们的侧面积相等，所以
即
，
故
，故圆锥的体积为
.
故选：B.
3．（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第7 题）已知正三棱台
的体积为
，
，
，则
与平面ABC 所成角的正切值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高
，做辅助线，结合正三棱
台的结构特征求得
，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台
补成正三棱锥
，
与平面ABC 所成角即为
与平面ABC 所成角，
根据比例关系可得
，进而可求正三棱锥
的高，即可得结果.
【解析】解法一：分别取
的中点
，则
，
可知
，
设正三棱台
的为，
则
，解得
，
如图，分别过
作底面垂线，垂足为
，设
，
则
，
，
可得
，
结合等腰梯形
可得
,
即
，解得
，
所以
与平面ABC 所成角的正切值为
；
解法二：将正三棱台
补成正三棱锥
，
则
与平面ABC 所成角即为
与平面ABC 所成角，
因为
，则
，
可知
，则
，
设正三棱锥
的高为
，则
，解得
，
取底面ABC 的中心为
，则
底面ABC，且
，
所以
与平面ABC 所成角的正切值
.
故选：B.
4. （2023· 新高考Ⅰ卷高考真题第14 题）在正四棱台
中，
，则该棱台的体积为________．
【答案】
##
【分析】结合图像，依次求得
，从而利用棱台的体积公式即可得解.
【解析】如图，过
作
，垂足为
，易知
为四棱台
的高，
因为
，
则
，
故
，则
，
所以所求体积为
.
故答案为：
.
5.（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第14 题）底面边长为4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所
截，截去一个底面边长为2，高为3 的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
【答案】
【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方
法二：根据台体的体积公式直接运算求解.
【解析】方法一：由于
，而截去的正四棱锥的高为
，所以原正四棱锥的高为
，
所以正四棱锥的体积为
，
截去的正四棱锥的体积为
，
所以棱台的体积为
.
方法二：棱台的体积为
.
故答案为：
.
1．多面体的结构特征
2．旋转体的形成
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边所在的直线
圆锥
直角三角形
任一直角边所在的直线
圆台
直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
直径所在的直线
3．平面图形的直观图与原图形面积的关系：S 直观图＝S 原图．
4．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是
侧面积与底面面积之和．
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展
开图
侧面积
公式
S 圆柱侧＝2πrl
S 圆锥侧＝πrl
S 圆台侧＝π(r1＋r2)l
6．柱、锥、台和球的表面积和体积
名称
几何体
表面积
体积
柱体
(棱柱和圆柱)
S 表面积＝S 侧＋2S 底
V＝Sh
锥体
(棱锥和圆锥)
S 表面积＝S 侧＋S 底
V＝Sh
台体
(棱台和圆台)
S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
V＝(S 上＋S 下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
几何体的表面积、侧面积计算
1.（辽宁省大连市2026 年高三双基模拟考试）若圆锥的轴截面是边长为
的等边三角形，
则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【解析】因为圆锥的轴截面是边长为
的等边三角形，
所以圆锥的底面半径
，母线长
，
所以圆锥的侧面积
.
故答案为：
.
2.（湖南省联考2025-2026 学年高三上学期期末）已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径
相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱的体积，若三者的体积之和为
144 π，则圆锥的侧面积为
A. 4 ❑√35 π
B. 4 ❑√37 π
C. 9 ❑√35 π
D. 9 ❑√37 π
【答案】D
【解析】不妨设三者半径均为r.由题意知圆柱的高为2r，故其体积为2π r
3，故圆锥的体积
为2π r
3，而球的体积为4
3 π r
3，故144 π = 4 π r
3+ 4
3 π r
3= 16
3 π r
3，解得r =3.记圆锥的高
为h，由2π r
3= 1
3 π r
2h，得h=6r，故母线长l =
❑√r
2+h
2= ❑√37r，于是圆锥的侧面积
S = πrl = ❑√37 π r
2=9 ❑√37 π.
3.（四川省字节精准教育联盟高三第二阶段学情）已知圆柱OO1的下底面在半球O的底面
上，上底面圆周在半球O的球面上，记半球O的底面圆面积与圆柱OO1的侧面积分别为
S ,S1，半球O与圆柱OO1的体积分别为V ,V 1，则当S
S1
的值最小时，V
V 1
的值为（ ）
A．4 ❑√2
3
B．❑√3
C．3 ❑√3
4
D．❑√2
【答案】A
【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，球的半径为R，
则R
2=h
2+r
2，S =π R
2,S1=2πrh,V = 1
2 ⋅4
3 π R
3= 2
3 π R
3,V 1=πr
2h，
所以S
S1
=π R
2
2πrh = h
2+r
2
2rh = h
2r + r
2h ≥2❑√
h
2r ⋅r
2h =1，
当且仅当r =h时等号成立，此时R = ❑√2r，
所以V
V 1
=
2
3 π R
3
πr
2h
=
2
3 π(❑√2r )
3
πr
2⋅r
= 4 ❑√2
3
.
故选：A
几何体的体积计算
1.（福建省福州市2026 届高三三月质量检测）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，
，
为圆锥的母线，
，且二面角
为
.若
的面积等于
，
则圆锥的体积为______.
【答案】
【解析】如图，作
，垂足为
，则
为
的中点，
，
，
为二面角
的平面角，
二面角
为
，
，
在等腰三角形
中，
，
设
，则
，
，
则
，
，
的面积等于
，解得
，
则
，
，
圆
的面积为
，
圆锥的体积为
.
故答案为：
.
2.（湖南省名校联考联合体2025-2026 学年高三联考）正四棱锥
的侧棱长为2，
侧棱
与底面
所成角为45°，则该四棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示：
正四棱锥
中，正方形
的对角线相交于点O，连接
，
则
平面
，则
为
与底面
所成角，且
，
所以
，且
，所以
，
所以该四棱锥的体积为
.
故选：C.
3.(江苏省镇江市2026 届高三第一学期零模)圆台的上底面半径为
，下底面半径和母线
长均为
，则它的体积为
.
【答案】
【解析】设圆台上、下底面的圆心分别为
，轴截面为梯形
，如图，
，过
作
的垂线，垂足为
，则
，
由勾股定理知
，即圆台的高为3，
所以圆台的体积为
，
故答案为：
.
4.(江西省2026 届高中毕业班二月诊断性)已知圆锥底面与圆台下底面半径相等，高相等.若
圆台体积为圆锥体积的
倍，则圆台上，下底面积的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设圆台的上下底面圆的半径分别为
､
，高为,则由圆台体积为圆锥体积的
倍，
得到
，解得
.
故选：A
5.（江西省部分学校2025-2026 学年高三上学期1 月测试）《天工开物》是我国明代科学
家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备
一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层
厚度为3cm 的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干
后，即可得到大小相同的4 片瓦．若需要制作800 片这种瓦片，则所需粘土的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】 由圆柱的体积公式，可得四片瓦需要的粘土量为
，
所以800 片瓦需要的粘土量为
．
故选：D．
6.（湖南长沙市雅礼中学2025-2026 学年高三下学期开学考）白舍窑位于江
西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，
素有“白如玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶
杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形为圆柱．现测得底部直径为6cm，
上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为
，则该茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不
计）约为（ ）（单位：
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】圆台的体积即为该茶杯容量，如图，
cm，
cm，
过点
分别作
⊥
，
⊥
于点
，
则
cm，
cm，
其中圆台的高为
cm，
故圆台体积为
.
故选：D
7.（河南省郑州市2026 届高三上学期第一次质量预测）在新型太空舱生命维持系统的储液
罐设计中，采用一种胶囊形结构：中间部分为圆柱体，左、右两端均为半球形封头，圆柱
底面半径和半球半径均为
.已知储液罐外表面积为定值，当储液罐的体积
取最大值时
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设圆柱的高为，则储液罐的表面积为
，所以
，
则由
得
，储液罐的体积为
，
所以
，所以函数
在定义域
上单调递增，
所以
时，
取最大值.
故选：C
8.（江苏省镇江市2025-2026 学年高三上学期期中）如图，某圆柱完全在一个棱长为9 的
空心正四面体内部，该圆柱的下底面落在此正四面体一个底面上，当该圆柱体积最大时，
其底面半径为（ ）
A．❑√3
B．2
C．2❑√2
D．3
【答案】A
【解析】设圆柱的上、下底面圆心分别为O1,O，其中O也是底面正△ABC的中心，正四
面体S−ABC的棱长为9，OC =3 ❑√3，
在直角△SOC中，可得SO =
❑√SC
2−OC
2=3 ❑√6，且OE = 3 ❑√3
2
，设圆柱的
底面圆的半径为r，高为h，由△SO1 F ∽△SOE，可得SO1
SO = O1 F
OE ，即
3 ❑√6−h
3 ❑√6
=
r
3 ❑√3
2
，解得h=3 ❑√6−2❑√2
3
r，则圆柱的体积为
V =πr
2h=πr
2(3 ❑√6−2❑√2
3
r )=π(3 ❑√6r
2−2❑√2
3
r
3)，其中0<r < 3 ❑√3
2
，
令f (r)=3 ❑√6r
2−2❑√2
3
r
3,r ∈(0, 3 ❑√3
2
)，可得f
′ (r)=6r(❑√6−❑√2r )，
当r ∈(0,❑√3)时，f
′ (r)>0，f (r)单调递增；当r ∈(❑√3, 3 ❑√3
2
)时，f
′ (r)<0，f (r)单调
递减，所以当r = ❑√3时，函数f (r)取得最大值，即圆柱的体积取得最大值.选：A.
9.（福建省部分高中学校2026 届高考适应性考试（一模））已知在四棱锥
中，
，
，若
，则四棱锥
体积的最大值为 ．
【答案】
【解析】由条件可知，
四点共圆，点
在平面
上的射影
即为该圆的
圆心，
并且
为全等的等腰三角形．
设
，
则
．
由上可知，
，
所以由余弦定理得，
．
两式相减，得
，所以
．
两式相加，得
，所以
．
所以
．
设圆
的半径为
，
则由正弦定理知
，所以
．
由条件，
，
所以由勾股定理，
，可知
．
于是四棱锥
的体积
设函数
，其中
，
求导得
，
可知
在
时取最大值，所以
故
，当
时等号成立．
故答案为：
.
10.（山东省济南市2026 届高三第一次模拟考试）已知正方体
的棱长为
2，点
均在某圆锥的侧面上，点
均在该圆锥的底面上，则该圆锥的体
积的最小值为 .
【答案】
【解析】设圆锥底面半径为，高为，则
，
过正方体
的一组对棱
作圆锥
的截面，如图所示：
由题意可得：
，
，
正方体
的棱长为2，则
，
面对角线
，所以
，
由
，可得
，
，
即
，解得：
，
所以圆锥的体积
，
令
，则
，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
所以，
时，圆锥的体积有最小值
.
故答案为：
外接球、内切球问题
1.（湖北宜昌市2026 届高三下学期3 月调研考试）三棱锥
满足
，
且
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设点
在底面
的投影为
，因为
，
所以点
是
的外心，则
，且
底面
，球心
在
上，
由正弦定理得
外接圆的直径径
，解得半径
，
即
，则
，
设
，外接圆半径为
，则
，
则
，且
，
则
，解得
，则外接球半径
，
则三棱锥
外接球的表面积为
.
2.(浙江省宁波市2026 届高三第一学期期末考试)一个正四棱锥的所有顶点都在球面上，该
正四棱锥的底面边长为
，侧棱长为2，则球的表面积为_____.
【答案】
【解析】如图，正四棱锥
，则
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
，所以
，
，
因为
，所以在
中，
，
设外接球球心为
，则
必在直线
上，
由
可知，
，
得
，即外接球半径为
，
故外接球的表面积为
.
故答案为：
3.（安徽省合肥市2026 届高三教学检测）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母
线长为
，若该圆台上下底面的圆周均在同一个球的球面上，则此球的表面积为 .
【答案】
【解析】设圆台的上下底面圆心分别为
，球心为
，
在上下底面圆周上分别取点为
，连接
，如图，
因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为
，
所以
，
，
设
，则
，所以
，
所以
，解得
，所以该球的半径
，
所以该球的表面积
.
故答案为：
.
4.（九江市2026 届第一次高考模拟统一考试）圆台
的母线长为
分别为上下
､
底面的直径，且
.设四面体
外接球的表面积为
，圆台
的表面积
为
，则
（ ）
（附：圆台的侧面积公式
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设圆台
的上下底面的半径分别为
､
，母线，
，
由题意可知圆台
的表面积为
，
如图四面体
的外接球即为圆台
的外接球，
设外接球的球心为
，半径为
，
圆台的高
，
设
到上底面
的距离为
，到下底面
的距离为
由外接球性质，
，
则
，
，
联立解得
，
故
，
即
，
所以
，
所以
.
故选：C.
5.（2026 年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）)已知球
内切于正四棱台（即球与该正
四棱台的上下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上下底面棱长之比为
､
､
，则球
与该正四棱台的体积之比为 .
【答案】
【解析】如图为该几何体的轴截面，其中圆O 是等腰梯形ABCD 的内切圆，
设圆O 与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点
，
，
不妨设正四棱台上、下底面的棱长为
，
，
则
，
，
，
故在直角梯形
中，过点C 作
，垂足为E，所以
，
在
中，
，为棱台的高，也是球的直径，
所以半径为
，所以球的体积为
，
棱台体积为
，
所以球与棱台的体积比为
.
故答案为：
.
6.（山东省烟台市2026 届高三下学期高考诊断性测试）已知球
的半径为1，三棱锥的顶
点为
，底面的三个顶点均在球
的球面上，则当该三棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设过底面三点的截面小圆的半径为，则球心到截面小圆的距离
，
又根据平面几何知识可知：在半径为的小圆中，内接正三角形面积最大，
且最大面积为
，
∴此时该三棱锥的体积
，
由
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以该三棱锥的体积最大值为
，
此时球心到截面小圆的距离
，
即当该三棱锥的体积最大时，其高为
．
7.(四川省成都市2026 届高三上学期第一次诊断性检测)在三棱锥
中，
底面
，侧面
侧面
，且
，
的面积为4.若三棱锥
的各个顶
点都在球
的球面上，则球
表面积的最小值为 .
【答案】
【解析】 由
底面
，
平面
，则平面
底面
，
又侧面
侧面
，底面
侧面
，则
侧面
，
由
底面
，则
，
，
由
侧面
，则
，故
，即
，
所以
两两垂直，则三棱锥
可补全为如下长方体，
三棱锥
的各个顶点都在球
的球面上，则球
为三棱锥
的外接球，
所以球
为上述长方体的外接球，则其表面积
，
当且仅当
时取等号，故球
表面积的最小值为
.
故答案为：
8.（2026 届辽宁省重点高中协作体调研测试（二））已知三棱锥
中，
，若
均在半径为2 的球面上，求
的范围_________．
【答案】
【解析】由
，因为
均在半径为
的球
面上，
可将三棱锥
放置于长方体中，如图，
设棱长分别为
，则
，
故长方体对角线平方为
，
可设
，
，
，
考虑到
是三角形边长，故
，即
所以
取值范围是
．
故答案为：
9.（山东省名校考试联盟2026 届高三下学期2 月份核心素养评估）若正四面体的棱长为
，则其外接球上一点到该正四面体四个面的距离之和的最大值为___________．
【答案】4
【解析】已知正四面体
的外接球为球
，因为其棱长为
，
所以该正四面体的高为
，球
的半径为
，
由对称性不妨令球
上一点
在面
下方时取到最大，
所以
，
所以
，
则
，
所以
，
则距离和的最大值为
，
所以
，所以和的最大值为4．
故答案为：4.
10.(江苏省苏州市、南京市九校2025-2026 学年高三上学期一轮复习学情联合调研) 过正四
面体的一条棱作截面将其分为两个三棱锥，则这两个三棱锥外接球半径之比的范围是
___________.
【答案】
【解析】如图，正四面体
，过点
作
平面
，且垂足为
，
取线段
的中点为
，则
三点共线，
以
为原点，以平行于
的直线为
轴，以
所在直线为
轴、
轴建立如图所
示的空间直角坐标系，
设正四面体的棱长为
，
则
，
，
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
则
，
则
，
设过棱
的平面与
交于点
，故可设
，
设三棱锥
的外接球半径为
，球心坐标为
，
三棱锥
的外接球半径为
，球心坐标为
，
则
，
，
解得，
，
，
故
，
若
，则
；
若
，则
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递减，
且当
时
，当
时
，
所以
或
，
则
或
，
则
或
，
综上可知，
，故
，
故这两个三棱锥外接球半径之比的范围是
故答案为：
空间点线面的位置关系
1.（吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026 学年高三上学期第三次摸底考）在正
方体ABCD−A1B1C1 D1中，E为棱C C1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为
A．
❑√2
2
B．
❑√3
2
C．
❑√5
2
D．
❑√7
2
【答案】C
【解析】在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，CD // AB，所以异面直线AE与CD所成角为
∠EAB，
设正方体边长为2a，则由E为棱C C1的中点，可得CE =a，所以BE = ❑√5a，
则tan ∠EAB = BE
AB =
❑√5a
2a =
❑√5
2 .故选C.
2.（山东潍坊市2026 届2 月高考模拟）如图，在棱长均相等的正三棱柱中，
为三棱柱
的顶点，
为所在棱的中点，设
与
所成的角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如下图：连接
，由
为所在棱的中点，则
，
故
与
所成的角的大小也为
，即有
,
设该正三棱柱棱长为
，则
，
则
，故
.
故选：C.
3.（广东省东莞市2025-2026 学年上学期期末检测）过正方体
的任意两
条棱的中点作直线，其中与平面
平行的直线共有（ ）
A. 6 条
B. 8 条
C. 12 条
D. 16 条
【答案】C
【解析】
由三角形的中位线易得
平面
，
易得平面
平面
，
所以平面
内有6 条，
平面
关于平面
对称的平面内有6 条，
共有12 条.
故选：C.
4.（吉林省长春市2026 届高三质量监测（一））如图，在平行六面体
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：
，又因
，
，
∴
，
∴
，
，
，
故选：A.
5.（山东淄博市2025-2026 学年高三下学期模拟考试）在正方体
中，
为
的中点，
，
，若
，
，
，
四点共面，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图所示，以
为原点，以
所在直线为
轴建立空间直角坐标
系，
设正方体的棱长为1，因为
为
的中点，
，
，
所以
.
所以
.
因为
，
，
，
四点共面，所以
，
得到
，解得
.
故选：A.
6.（福建省部分高中学校2026 届高考适应性考试（一模））已知平面
与单位正方体相交
得到一个六边形，若该六边形有3 个内角是
，则它的周长为（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设单位正方体为正方体
，截面为六边形EFGHIJ．
因为
这六点共面
，而正方体的对面相平行，
所以有
．
因此
．
又由于六边形
有3 个内角是
，所以其所有内角均为
．
设
，因为
平面
，而
平面
，
，所以
，即
三线共点，同理可得
两点．
因为
，所以
，由勾股定理，可得
，
同理，
，
．
进而，
．
所以六边形
的周长为
．
故选：B
7.（杭州学军中学高三上学期期末）如图所示，四棱锥
的底面为正方形，侧面
为等边三角形，且侧面
底面
，点
在正方形
内运动，且满
足
，则点
在正方形
内的轨迹一定是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：根据题意，可知
，则点
符合“点
在正方形
内的一个
动点，且满足
”，
设
的中点为
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
，
平
面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
根据题目条件可得
，所以
和
全等，
所以
，点
也符合“点
在正方形
内的一个动点，且满足
”，
故动点
的轨迹肯定过点
和点
，
而
到点
到点
的距离相等的点为线段
的垂直平分面，
线段
的垂直平分面与平面
的交线是一直线，
所以
的轨迹为线段
，
故选：B
8.（浙江省温州市2026 届高三上学期期末质量评价）已知正三棱台
，
，且侧面
与底面
的夹角的余弦值为
，则直线
与平面
所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】如图，取正
中心
，
的中点为
，
记
，
，
交于点
，作
于
，
则
面
，
，
，
，
所以
为侧面
与底面
的夹角，
可知
，
设
，
，
，
则
，
，
作
于
，
因为
，
，
平面
，
，
所以
平面
，
平面
，故
，
又
，
平面
，
所以
面
，记
与面
的夹角为
，如图，
，解得
，
因为
，
，
所以
，所以
，所以
.
故选：A.
9.（湖南省湘一名校联盟2026 届高三上学期12 月质量检测）在长方体
中，
分别是棱
的中点，点
满足
，若过点
的平面截长方体
所得的截面为五边形，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示，
要使点
所在的截面为五边形，则截面与棱
相交，
因为
是
的中点，所以
，
因为
，
，
所以
，所以
，
在长方体中，
，所以
，
所以
，
同理可得
，即
，
因为
，所以
，即
，所以
，
即实数
的取值范围是
.
故选：B.
