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2025 年高考考前信息必刷卷 02（新高考Ⅰ卷）
数 学
考情速递
高考·新动向：高考数学的新动向不仅体现在命题趋势的变化上，还包括题目呈现方式的多样化，比如选择题注重多
个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向。
高考·新考法：对常规考点的新设问或知识融合，对非常规考点的创新糅合等，比如以古代建筑中的几何结构为背景，
考查立体几何中的角度、距离计算等。考生需要从复杂的文化背景中抽象出几何模型，像古代的亭台
楼阁可能涉及到棱柱、棱锥等立体几何形状，然后运用立体几何知识解题。
高考·新情境：在新高考的要求下，数学试题的呈现方式有了很大变化。比如通过开放性试题、探究性试题以及应用
性建模创新题等新题型，对学生的数学思维和综合能力进行考查。像2024年的一些模拟试题中，开放
性试题要求学生根据给定条件，自主寻找满足条件的取值等，这体现了在题型设计上的创新，突破了
传统题型的局限，更加注重学生的自主思考和创新能力的培养
命题·大预测：2025年高考数学将会更加注重基础回归，考点精简，更多考查基本概念、原理。题面创新：虽考点简
化，但题面呈现形式创新，考查知识的灵活运用能力。开放性增强：开放性问题会增加，着重考查思
维品质与创新精神
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
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学科网（北京）股份有限公司一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．若 ，则 （ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，得 ，所以 ，则 .
2．已知集合 ， ，下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A，易知 但 ，因此 不正确，即A错误；对于B，易知
，即B错误；对于C， ，即C错误；对于D，易求得 ，
即D正确.
3．已知向量 ， 的模相等且夹角为 ，若向量 与向量 垂直，则实数 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【详解】由 ，则 ，即 ，即 .解得 .
4．已知函数 定义域为 ，则命题 ：“函数 为偶函数”是命题 “ ，满足
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若 为偶函数，则有 ，充分性满足；若 ，则有
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，即 ，而 为奇函数，因此必要性不满足.故命题 ：“函数
为偶函数”是命题 “ ，满足 ”的充分不必要条件.
5．函数 ，的部分图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意知 ，该函数为偶函数，所以 ,则 关于
对称，又 故排除B项；
，则 ，即 ，只有A中图象符合，
6．已知椭圆 的离心率为 分别为 的左、右顶点， 为 的上顶点．若
，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】显然离心率 ，解得 ，即 ， 分别为C的左右顶点，B
为上顶点，则 ， ，于是 ，而 ，即
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学科网（北京）股份有限公司，又 ，因此联立解得 ，所以椭圆的方程为 .
7. 已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 满足 ， ， 为球
的直径，且 ，则点 到底面 的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】∵三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 为球 的直径且
，∴球心 是 的中点，球半径 ，过 作 平面 ， 垂
足是 ，∵ 满足 ， ，∴ 是 中点，且 ， ∴
，∴点 到底面 的距离为 ．故选：A．
8．设 ，若方程 （ ）有 个不同的根 ， ， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因方程 （ ）有 个不同的根 ， ， ，则
，经比较系数可得 ，则问题等价于，当方程
有三个不同根时，k的范围，即 图象与 有三个交点时，k的范围，注意到
，
令 ；令 ，则 在 上单调递增，在
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学科网（北京）股份有限公司上单调递减，则 极大值为 ，极小值为 ，则要使 图象与 有三个交点，
k需在极小值与极大值之间，即 .
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的
正方形，若图中直角三角形两锐角分别为 、 ，其中小正方形的面积为 ，大正方形面积为 ，则下列
说法正确的是（ ）
A．每一个直角三角形的面积为 B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】如图：设 ， ，则 ，所以 .
所以 ， .对于A选项：每个直角三角形的面积为：
，故A正确；对于B选项： ，故B
错误；对于C选项： ，故C正确；对于D选项：
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学科网（北京）股份有限公司，故D正确.故选：ACD
10. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字 表示第一次抛掷骰子的点数，数字 表示第二次抛掷骰
子的点数，用 表示一次试验的结果．记事件 “ ”，事件 “ ”，事件 “
”，[注：余数运算 表示整数 除以整数 所得余数为 ．则（ ）
A. B. 与 为对立事件 C. 与 相互独立 D. 与 相互独立
【答案】AC
【详解】依题意，依次拋郑两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为 个，事件 “ ”
包含的样本点有： ，共 个；事件 ，包含的样本点有：
， ，
共 个；事件 “ ”，包含的样本点有： ，共
个，
对于A， ，A正确；对于B， 包含样本点 ，事件 与 不为对立事件，B错误；
对于C，事件 包含的样本点有 ， 个， ，
则 ，即 ，事件 与 相互独立，C正确；对于D，事件 包含的样
本点有： ，共 个，而 ，
，事件 与 不相互独立，D错误．故选：AC
11．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面
（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面
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学科网（北京）股份有限公司截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线
C： 的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线 从点M射入，经过C上的点 反
射，再经过C上另一点 反射后，沿直线 射出，则（ ）
A．C的准线方程为
B．
C．若点 ，则
D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线 上
【答案】AD
【详解】由题意，抛物线 ，可得焦点 ，准线方程为 ，所以A正确；由抛物线的光学性
质可知，直线 经过焦点F，且斜率不为0，设直线 ，联立方程组 ，整理得
，可得 ，所以 ，所以B错误；若点 ，则 ，所以
，所以 ， ，所以 ，所以C错误；又由直线 ，
联立方程组 ，解得 ，由 ，得 ，所以 ，所以点N在
直线 上，所以D正确.故选：AD.
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学科网（北京）股份有限公司第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数 的定义域 ，值域 ，则函数 为增函数的概率是
．
【答案】
【详解】若函数 的定义域为 ，值域为 ，则不同的函数的个数为 ，其中增
函数共有3个：（1） ；（2） ；
（3） ；故所求概率为 .
13．已知 为坐标原点，双曲线 的右焦点为 ，点 在 上，且 在 轴上的
射影为 ，若 ，则 的渐近线方程为 ．
【答案】
【详解】易知 轴，不妨设点 在第一象限，联立 得 ，故 ，又
，即 ，可得 ，即 ，则 ，解得
或 （舍），即 ，则 ，故渐近线方程为 ．
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学科网（北京）股份有限公司14．现代建筑讲究的线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义
如下：若 是 的导函数， 是 的导函数，则曲线 在点 处的曲率
，若曲线 和 在 处的曲率分别为 ，则 ；设余
弦曲线 的曲率为K，则 的最大值为 ．
【答案】 ； 1
【详解】因为 ,所以 ,所以 ,所以
.因为 ,所以 .所以 ,所以
, . , ,则 ,所以
.令 则 因为 所以 在
上单调递增，当 即 时， 有最大值 所以
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角B的大小；(2)若 ，且AC边上的高为 ，求 的周长．
【答案】(1) ；(2)15
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1） ，所以由 得 ，
所以 ，解得 或 ，（4分）
因为 ，所以 ，则 ，故 ，则 ，故 ．（3分）
（2）因为 ，令 ，则 ，由三角形面积公式得 ，（9分）
则 ，故 ，
由余弦定理得 ，则 ，解得 ，（11分）
从而 ， ， ，故 的周长为 ．（12分）
16．（15分）某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知
识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加
了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：
(1)规定初赛成绩中不低于90分为优秀，80 90分为良好，70 80分为一般，60 70分为合格，60分以下
为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概
率，并求初赛成绩优秀的人数 的分布列及数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩 服从正态分布 ，其中 可近似为
样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且 ．已知小华的
初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？
（参考数据： ；若 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ．
【答案】(1)至少有1人初赛成绩优秀的概率为 ，分布列见详解， .(2)估计小华有资格参加复赛.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，样本中位于区间 内的人数： ，样本中位
于区间 内的人数 ，（2分）
抽取的2人中成绩优秀的人数 可能的取值有0，1，2，则 ， ，
，（5分）
所以 的分布列为
X 0 1 2
P
因此，至少有1人初赛成绩优秀的概率 ，数学期望 .（9
分）
（2）由频率分布直方图可知： ，由
，得 ，又 ，
，（13分）
所以全校参加初赛学生中，不低于85分的约有 人，因为 ，所以估计小华有资
格参加复赛.（15分）
17．（15分）如图，在平面图形甲中， ， ， 与 分别为以
斜边的等腰直角三角形，现将该图形沿 向上翻
折使 边重合（ 重合于 ），连 .图乙中，
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学科网（北京）股份有限公司为 中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)求平面 与平面 夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
【详解】（1）图乙中，由题意知 ，所以 ， ， ，
平面 ，所以 平面 ．（2分）
（2）取 中点为 ，由于 为 中点，故 且 ，结合
， ，所以 且 ，故四边形
为平行四边形，所以 ，而 平面 ， 平面 ，
故 平面 ．（6分）
（3）在等腰梯形 中，设 ，过C作
，则 所以 ，在 中，由余弦
定理得 ，
所以 ,所以 ，（10分）
如图以 分别为 轴建立空间直角坐标系： ，
设平面 法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，则 ，（13分）
平面 法向量可取为 ，设平面 与平面 夹角为 ，所以
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学科网（北京）股份有限公司，故 ．（15分）
18．（17分）已知等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列，满足 ， ， ，
.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)对任意的正整数 ，设 ，求 ；
(3)若对于数列 ，在 和 之间插入 个 ，组成一个新的数列 ，记数列 的前 项和
为 ，求 .
【答案】(1) ， ；(2) ；(3)2170.
【详解】（1）在等差数列 中， ，而 ，解得 ，公差 ，
则 ；（2分）
设等比数列 的公比为 ， ，由 ，得 ，即 ，
解得 ， ，所以数列 和 的通项公式分别为 ， .（5分）
（2）由（1）得，当 为奇数时， ，
则 ；（7分）
当 为偶数时， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
则 ，（9分）
两式相减得
，因此 ，
所以 .（12分）
（3）依题意，数列 ：
项为 前的总项数为 ，数列 是递增的，（14分）
当 时， ，当 时， ，
因此数列 的前 项中，有数列 的前 项，有 个 ，
所以 .（17分）
19．（17分）已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
(1)当 时，判断函数 在区间 上的单调性；
(2)令 ，若函数 在区间 上存在极值，求实数 的取值范围；
(3)求证：当 时， .
【答案】(1) 在区间 上单调递减；(2) ；(3)证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1） 时， .显然， 在区间 上单调递
增.所以 ，即 .所以 在区间 上单调递减.（3分）
（2） 在 上存在极值.即 在 上有变号零点.
令 .则 ，记 ，即 与 的图像在 上有交点.（5
分）
又 ，易知 在 上恒成立，所以 在 上为增函
数且 .所以 ，从而 ，（8分）
当 时，存在唯一实数 ，使得 成立当 时 在 上单
调递增；当 时， 在 上单调递减.所以 为函数 的极值，综上，若
函数 在 上存在极值， 的取值范围为 .（12分）
（3）当 时，要证 ，即证 .令 ，显然
.令 ，（14分）
当 时， ；当 时， .所以 在 时单调递减；在 时
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学科网（北京）股份有限公司单调递增.所以 （16分）
所以 ，即 .所以 时， ，得证.（17分）
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