8.2 立体图形的直观图
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：空间几何体的直观图的概念...............................................2
考点二：立体图形的直观图的画法..................................................2
考点三：直观图与原图多边形面积之间的关系...................................2
模块二：题型分类.........................................................................2
题型一：斜二测画法的辨析.......................................................... 2
题型二：斜二测画法画平面直观图..................................................6
题型三：画空间几何体的直观图...................................................10
题型四：由直观图还原几何图形...................................................12
题型五：斜二测画法中长度的计算................................................15
题型六：平面图形的面积与其直观图的面积的关系........................... 19
模块三：综合巩固....................................................................... 22
8.2 立体图形的直观图
模块一：基础知识
考点一：空间几何体的直观图的概念
直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形；直观图是把空间图形画在平面内，既富有
立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形。
考点二：立体图形的直观图的画法
1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．
斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．
（1）“斜”：在已知图形的���平面内与�轴垂直的线段，在直观图中均与�'轴承45°或135°
（2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于�'轴或�'轴的线段长度不变；
平行于�'轴的长度变成原来的一半，
2、平面图形直观图的画法及要求
第一步建系：在已知图中取互相垂直的�轴和�轴，两轴相交于�点，
画直观图时，把他们弧长对应的�'轴和�'轴，两轴相交于�'，
且使∠�'�'�' = 45°（或135°），它们确定的平面表示水平面；
第二步平行不变：已知图形中平行与�轴和�轴的线段，
在直观图中分别画出平行与�'轴或�'轴的线段；
第三步长度规则：已知图形中平行于�轴的线段，在直观图中保持原长度不变，
平行于�轴的线段，长度变为原来的一半，
3、空间几何体直观图的画法
（1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x 轴、y 轴都垂直的z 轴，直观图中与之对应的是z′轴；
（2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；
（3）已知图形中平行于z 轴(或在z 轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
4、直观图与原图之间的“变”与“不变”
“三变”：（1）坐标轴的夹角改变；（2）与�轴平行的线段长度变为原来的一半；（3）图形改变。
“三不变”：（1）平行性不改变；（2）与�轴和�轴平行的线段长度不改变；（3）相对位置不改变。
考点三：直观图与原图多边形面积之间的关系
若一个多边形的面积为�原，它的直观图的面积为�直，则有�直=
2
4 �原，�原= 2 2�直
举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为�，高为ℎ，
则其面积为�直=
1
2 �ℎ，
在直观图中，�' = �，ℎ' =
1
2 ℎ���45° =
2
4 ℎ，
在直观图中，�直=
1
2 �'ℎ' =
1
2 ∙�∙
2
4 ℎ=
2
4 �原
模块二：题型分类
题型一：斜二测画法的辨析
1.利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的
直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是（
）
A．①②
B．①
C．③④
D．①②③④
【答案】B
【分析】根据斜二测画法的知识求得正确答案.
【详解】①，根据斜二测画法可知，三角形的直观图一定是三角形，①正确.
②，根据斜二测画法可知，正方形的直观图邻边不相等，不是菱形，②错误.
③，根据斜二测画法可知，等腰梯形的直观图，两底边不相等，不是平行四边形，③错误.
④，根据斜二测画法可知，菱形的直观图邻边不相等，不是菱形，④错误.
故选：B
2.关于斜二测画法，下列说法错误的是（
）
A．平行直线的直观图仍然是平行直线
B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线
C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的
D．线段的中点在直观图中仍然是中点
【答案】B
【分析】根据斜二测画法的基本原理依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，平行直线在直观图中长度可能会变化，但平行关系不变，A 正确；
对于B，平行于x 轴和y 轴的两条直线，在直观图中夹角为45，B 错误；
对于C，直观图中与两条坐标轴重合的直线，还原后与平面直角坐标系中的,x y 轴重合，实际位置互相垂
直，C 正确；
对于D，线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点，D 正确.
故选：B.
3.对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述错误的是（
）
A．三角形的直观图仍然是一个三角形
B．90的角的直观图会变为45的角
C．与y 轴平行的线段长度变为原来的一半
D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
【答案】B
【分析】利用斜二测画法的规则对四个选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，
因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A 正确；
对于B，90的角的直观图会变为45或135的角，故B 错误；
对于C，D，由斜二测画法的特点可知，C，D 显然正确．
故选：B．
4.（多选）下列说法中正确的有（
）
A．画直观图时与x 轴、y 轴对应的x轴、y轴之间的夹角应为45或135
B．长方体直观图的长、宽、高与原长方体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
【答案】ACD
【分析】利用斜二测画法规则，分析判断选项A，B，C，再判断选项D 作答.
【详解】由斜二测画法规则知，选项A，C 正确；
长方体直观图的长、高与原长方体的长、高的比例相同，但在直观图中的宽只是原来的一半，B 错误；
水平放置的圆的直观图是椭圆，D 正确.
故选：ACD
5.（多选）画水平放置的圆的直观图时，下列说法中正确的有（
）
A．每条直径的大小都发生了改变
B．必有两条直径相等
C．每条直径都比实际的短
D．直观图的面积比原图形的面积小
【答案】BD
【分析】由斜二测画法结合图形可判断ACD，观察直径的变化趋势可判断B.
【详解】由斜二测画法可知，与x 轴平行或重合的直径长度不变，故AC 错误；
由图可知，D 正确；
由图可知，当点P由点A沿曲线向点B运动时，过点P的直径先减后增，由对称性知，所以必有两条直
线相等，故B 正确.
故选：BD
6.对于用斜二侧画法画水平放置的图形的直观图来说，下面说法错误的是（
）
A．原来平行的边仍然平行
B．原来垂直的边仍然垂直
C．原来是三角形仍然是三角形
D．原来是平行四边形的可能是矩形
【答案】B
【解析】由斜二侧画法可知，平行的线段仍然平行，
三角形的直观图仍然是一个三角形，平行四边形的可能是矩形，
原来垂直的直线不一定垂直．故选：B
7.若把一个高为10cm的圆柱的底面画在x O y
平面上，则圆柱的高应画成（
）
A．平行于z轴且大小为10cm
B．平行于z轴且大小为5cm
C．与z轴成45且大小为10cm
D．与z轴成45且大小为5cm
【答案】A
【解析】平行于z 轴（或在z 轴上）的线段，
在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．故选：A
8.下列关于直观图的斜二测画法的说法，不正确的是（
）
A．原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B．原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的1
2
C．画与直角坐标系xOy 对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同
【答案】C
【解析】由直观图的画法规则，可知C 中∠x′O′y′可以是45°或135°.故选：C.
9.（多选）下列说法中正确的有（
）
A．画直观图时与x 轴、y 轴对应的x轴、y轴之间的夹角应为45或135
B．长方体直观图的长、宽、高与原长方体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
【答案】ACD
【解析】由斜二测画法规则知，选项A，C 正确；
长方体直观图的长、高与原长方体的长、高的比例相同，
但在直观图中的宽只是原来的一半，B 错误；
水平放置的圆的直观图是椭圆，D 正确.故选：ACD
10.（多选）对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法错误的是（
）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
【答案】ACD
【解析】由直观图的做法可知：原图形中的平行性质仍然保持，
而相当长度和角的大小不一定与原来的相等.
对于A：等腰三角形的直观图不再是等腰三角形，故A 错误；
对于B：因为正方形的对边平行，所以在直观图中仍然平行，
故正方形的直观图为平行四边形成立.故B 正确；
对于C：梯形的上下底平行，在直观图中仍然平行；
两腰不平行，在直观图中仍然不平行；所以梯形的直观图仍是梯形.故C 错误；
对于D: 正三角形的直观图不是等腰三角形.故D 错误.故选：ACD
题型二：斜二测画法画平面直观图
1．用斜二测画法画出下列图形：
(1)水平放置的边长为5cm 的正方形；
(2)水平放置的梯形和平行四边形；
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】根据斜二测画法的特点求解即可.
【详解】（1）在已知正方形OABC 中，
5cm
OA
OC
，取
,
OA OC 所在直线为,x y 轴（如图1（1）），
画出对应的x，y轴，使
45
x O y
，
5cm
O A
，
2.5cm
O C
（如图1（2）），
即四边形O A B C
即为正方形OABC 的直观图.
（2）仿照正方形的直观图的画法：
水平放置的梯形（如图2（1））的直观图（如图2（2）），
水平放置的平行四边形（如图3（1））的直观图（如图3（2）），
2．画水平放置的正五边形和菱形的直观图．
【答案】答案见解析
【分析】根据斜二测画法的规则，即可画出正五边形和菱形的直观图.
【详解】解：作出坐标系x O y
，使得
45
x O y
，
连接AD 交y 轴为F ，在x轴上作线段B C
BC
，
在y轴上分别作线段
1
1
,
2
2
O E
OE O F
OF
，
过F作线段A D
AD
，且
/ /
A D
O x
，
连接A B C D E
，即为正五边形的直观图，如图（1）所示.
如图（2）所示，在x轴上作线段
,
O A
OA O C
OC
，
则y轴上分别作出线段
1
1
,
2
2
O B
OB O D
OD
，
连接A B C D
，即为菱形ABCD的直观图.
3．用斜二测画法画出图中四边形OBCD 的直观图．
【答案】答案见解析
【分析】根据斜二测画法的规则和步骤，将直角画成45，沿x轴方向长度不变，y轴方向是原图形长度
的一半，即可做出直观图．
【详解】分以下三步进行作图：
（1）过点C 作CE
x
轴，垂足为E，如图①所示．
（2）画出对应的x轴、y轴，使
45
x O y
，
在x轴上取点B，E，使得O B
OB
，O E
OE
；
在y轴上取一点D¢ ，使得
1
2
O D
OD
；
过E作E C
y
∥
轴，使
1
2
E C
EC
，连接B C
，C D
，如图②所示．
（3）擦去x轴与y轴及其他辅助线，
如图③所示，四边形O B C D
就是所求的直观图．
4．用斜二测法画出如图边长为2 的等边三角形的直观图，并求直观图面积．
【答案】作图见解析，面积
6
4
cm2
【分析】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再求出直观图的高
度，求出面积.
【详解】画法:(1)如图(1),在等边三角形ABC 中,取BC 所在直线为x 轴, BC 的垂直平分线为y 轴,两轴相交
于点O.在图(2)中,画相应的x轴与y轴,两轴相交于点O,使
45
x O y
.
(2)在图(2)中,以O为中点,在x轴上取B C
BC
,在y轴上取
1
2
O A
OA
.
(3)连接
,
A B A C
,并擦去辅助线x轴和y轴,便获得等边三角形ABC 水平放置的直观图A B C
(图(3)).
由题意在平面直角坐标系中，三角形ABC 是边长为2 的正三角形
∴
2
AB
BC
，BC 边上的高为
3
h
，
在三角形A O C
中，
45
A O C
，
∴
2
1
3
2
2
, A
B
BC
O
C
O
A
,
B C
边上的高
3
2
6
sin
2
2
4
h
A O
A O C
，
故
1
1
6
6
2
2
2
4
4
A B C
S
B C h
，
故直观图A B C
面积
6
4
cm2.
5.一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1 的等腰梯形．求原四边形的面积．
【解析】解：∵四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1 的等腰梯形，
∴可设原四边形为直角梯形ABCD，
且CD＝C'D'＝1，AB＝O'B=
�
�+ �
�+1=
�+1，高AD＝20'D'＝2，
∴直角梯形ABCD 的面积为：
�
�（1+
�+1）＝2+
�，
即原四边形的面积为：2+
�．
题型三：画空间几何体的直观图
1．画长、宽、高分别为4cm ，3cm ，2cm 的长方体的直观图．
【答案】画图见解析
【分析】可根据斜二测画法的规则，画出底面长方形的直观图，并计算出各边长长度，然后分别作出相应
平行与垂直等线段再连接即可.
【详解】根据斜二测画法的规则可知, 底面矩形的直观图为平行四边形,
其中
1
3
4,
2
2
O A
OA
O C
OC
,
45
A O C
,
作O z底面A O C
, 在O z
轴上截取
2
O E
,
过C作C B
O x
, 使
4
C B
, 过A、
B
C
、
分别作A F
B G
C H
、
、
平行于O E
且等于O E
,
连接
,
,
,
EF FG EH HG 可得长、宽、高分别为4cm ，3cm ，2cm 的长方体的直观图.
2．已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观
图．
【答案】答案见解析
【分析】画法步骤：（1）画坐标轴；
（2）画下底面：按水平放置的平面图形的直观图的画法作出下底面的直观图；
（3）画上底面：与画下底面相同方法作出下底面直观图．
（4）连线并擦去辅助线得直观图．
【详解】【解】（1）画轴．如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画下底面．以O 为中点，在x 轴上取线段EF，使得EF＝6，在y 轴上取线段GH，使得GH＝3，
再过G，H 分别作AB 綊EF，CD 綊EF，且使得AB 的中点为G，CD 的中点为H，连接AD，BC，这样
就得到了正四棱台的下底面ABCD 的直观图．
（3）画上底面．在z 轴上截取线段OO1＝4，过O1 作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系
x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步骤画出上底面A1B1C1D1 的直观图．
（4）连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图
如图②）．
3．画出底面边长为4cm、高为5cm 的正四棱锥的直观图.
【答案】答案见解析
【分析】先画出底面，边长为4cm 的正方形ABCD 的直观图，再连接AC 与BD，相交于点O，则点O 即
是底面ABCD 的中心，过点O 作底面的垂线PO，长度为5cm，连接PA、PB、PC、PD，即可得到所求
的正四棱锥.
【详解】解：先画出底面，边长为4cm 的正方形ABCD 的直观图，
45 ,
4,
2
BAD
AB
AD
，
连接AC 与BD，相交于点O，则点O 即是底面ABCD 的中心，
过点O 作底面的垂线PO，长度为5cm，连接PA、PB、PC、PD，则作出底面边长为4cm、高为5cm 的
正四棱锥的直观图.
4.画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3 的正六边形，高为5．
【答案】答案见解析
【解析】（1）画轴.如图，画x,y,z 轴，三轴相交于O，使得
45 ,
90
xOy
xOz
.
（2）画底面.在x 轴上以O 为中点截取线段FC，使FC=6cm，
在y 轴上以O 为中点取线段GH，使
3 3 cm
2
GH
，
分别过点G,H 作x 轴的平行线，
并在平行线上分别以G,H 为中点截取AB=3cm,ED=3cm,
连接BC,CD,EF,FA,则六边形ABCDEF 就是正六棱柱的底面的直观图.
（3）画侧棱.在z 轴正半轴上取线段OO,使
5cm
OO
，
过A,B,C,D,E,F 各点作z 轴的平行线，
在这些平行线上分别截取5cm 长的线段
,
,
,
,
,
AA BB CC DD EE FF
.
（4）成图.顺次连接
,
,
,
,
,
A B C D E F
,并加以整理
（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的正六棱柱的直观图
题型四：由直观图还原几何图形
1.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1 的正方形，则原图形的形状是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在直观图中，其一条对角线在y 轴上且长度为
2 ，
所以在原图形中其中一条对角线必在y 轴上，且长度为2 2 ，故选：A．
2.如图，A B C
是ABC
的直观图，其中
1
B O
C O
，
3
2
A O
，那么ABC
是一个（
）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．无法确定
【答案】A
【解析】将直观图还原，则
1
BO
CO
，
2 3
AO
，所以ABC
是正三角形.故选：A.
3.如图所示，矩形O A B C
是水平放置一个平面图形的直观图，其中
3
O A
，
1
O C
，则原图形是（
）
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．梯形
【答案】C
【解析】因为矩形O A B C
是水平放置一个平面图形的直观图，其中
3
O A
，
1
O C
，
又因为
45
D O A
o ，所以
2
O D
，
在直观图中，
//
OA BC ，
//
OC AB ，高
2 2
OD
，
1
CD ，
所以
8 1
3
OC
OA
，即原图形为菱形.故选：C
4.如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，
且在直观图中平行于y轴的边与底边垂直.故选：C.
5.如图，
A O B
是用斜二测画法画出的
AOB
直观图，则
AOB
是（
）
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．无法判断
【答案】C
【分析】根据斜二测画法，将直观图还原为平面图即可判断.
【详解】解：根据斜二测画法的规则，将直观图
A O B
还原为平面图如图所示，
所以，
AOB
是钝角.
故选：C
6.如图，A B C
是水平放置的ABC
的斜二测直观图，其中
2
O C
O A
O B
，则下列结论正确的是（
）
A．ABC
是等腰直角三角形
B．ABC
是锐角三角形
C．ABC
是钝角三角形
D．ABC
是等边三角形
【答案】A
【分析】画出原图，利用原图与直观图之间的转化比例求解.
【详解】解：将其还原成原图，如图，
设
2
A C
，则可得
2
1
OB
O B
，
2
AC
A C
，
从而
2
AB
BC
，
所以
2
2
2
AB
BC
AC
，即AB
BC
，
故ABC
是等腰直角三角形.
故选：A
7.如图，A B C
是斜二测画法画出的水平放置的ABC
的直观图，D¢ 是B C
的中点，且
A D // y 轴，
B C // x 轴，
2
A D
，
2
B C
，那么（
）
A．AD 的长度大于AC 的长度
B．BC 的长度等于AD 的长度
C．ABC
的面积为4
D．ABC
的面积为2
【答案】C
【分析】把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形求解.
【详解】如图所示：
由图象知：
对于A，AD
BC
，则有AC
AD
，A 错误；
对于B，
2
BC
B C
，
2
4
AD
A D
，B 错误；
ABC
的面积
1
4
2
S
BC
AD
，C 正确D 错误；
故选：C
题型五：斜二测画法中长度的计算
1.某几何体底面的四边形OABC 直观图为如图矩形
1
1
1
1
O A B C ，其中
1
1
6
O A
，
1
1
2
O C
，则该几何体底面对
角线AC 的实际长度为（
）
A．6
B．4 6
C．4 2
D．2 10
【答案】B
【解析】根据四边形OABC 直观图将其还有为平面图形如图：
根据直观图与原图的关系可得：
1
1
6
OA
O A
，
2
2
2 2
2
4 2
OD
，
1
1
2
CD
OC
，
则点
6,0
A
，
2,4 2
C
，
2
2
4 2
0
2
6
4 6
AC
，故选：B.
2.如图，水平放置的矩形ABCO，在直角坐标系下点B 的坐标为(2,1) ，则用斜二测画法画出的矩形的直观
图中，顶点B到x轴的距离为（
）
A．
2
4
B．
1
2
C．1
D．2
【答案】A
【解析】矩形ABCO的直观图如图所示
过B作B D
O C
于D¢ ，
则由直观图的作法可知
1 ,
45
2
B C
B C D
,
所以
1
2
sin
sin 45
2
4
B D
B C
B C D
，
所以顶点B到x轴的距离为
2
4
，故选：A
3.已知水平放置的ABC
的直观图如图所示，
3
AC
，
2
B C
，则边AB 上的中线的实际长度为（
）
A．5
B．13
C．5
2
D．
13
2
【答案】C
【解析】ABC
的实际图形应是直角三角形，两条直角边长分别是4 和3，
斜边AB 上的中线长度为5
2 故选：C
4．如图，
O A B
△
是水平放置的OAB
的直观图，
6,
2
AO
B O
，则线段AB 的长度为（
）
A．2 10
B．4 10
C．2 13
D．4 13
【答案】C
【分析】还原成OAB
，是直角三角形，且两条直角边分别为6 和4，求出斜边AB 的长即可．
【详解】解：O A B
是水平放置的OAB
的直观图，
所以OAB
是直角三角形，且两条直角边长为
6
OA
和
4
OB
，
它的斜边AB 的长为：
2
3
36 16
52
2 13
AB
OA
OB
．
故选：C．
5．如图，一个水平放置的平面图形的直观图A B C D
是边长为2 的菱形，且
2
O D
，则原平面图形的周
长为（
）
A．4 2
4
B．4 6
4
C．8 2
D．8
【答案】B
【分析】利用斜二测画法还原直观图即得.
【详解】由题可知
2,
45
O D
A D
A O D
，
∴
2 2
O A
，还原直观图可得原平面图形，如图，
则
2
4,
2 2,
2
OD
O D
OA
O A
AB
DC
，
∴
2
2
2
2
2 2
4
2 6
AD
OA
OD
，
∴原平面图形的周长为4 6
4
.
故选：B.
6．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O A B C
，且
/ /
O A
B C
，
2
4
2
O A
B C
A B
，
，则该平面图形的高为（
）
A．2 2
B．2
C．4 2
D．
2
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出O C
，再作出水平放置的原平面图形作答.
【详解】在直角梯形O A B C
中，
//
O A
B C
，
2
4,
2
O A
B C
A B
，
则
2
2
4
2
2
2 2
O C
，
直角梯形O A B C
对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC ，
//
,
,
2
4,
2
4 2
BC OA OC
OA OA
BC
OC
O C
，
所以该平面图形的高为4 2 .
故选：C.
题型六：平面图形的面积与其直观图的面积的关系
1.如图，
A B C
是水平放置的斜二测直观图，其中
2
A B
，
3
B C
，则原图形
ABC
的面积是
_____________．
【答案】6
【解析】因为A B
与y轴重合，B C
与x轴重合，所以
45
A B C
，
所以在ABC
中，
90
ABC
，故ABC
为直角三角形.
又由斜二测画法可知：在ABC
中，
4
AB
，
3
BC ，
所以
1
1
4 3
6
2
2
ABC
S
AB BC
V
，
故答案为：6.
2．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2
的正方形，则原平面图形的面积为（
）
A．
2
B．4 2
C．8
D．8 2
【答案】D
【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应
的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．
【详解】还原直观图为原图形如图所示，
因为
2
O A
，所以
2 2
O B
，还原回原图形后，
2
OA
O A
，
2
4 2
OB
O B
；
所以原图形的面积为2 4 2
8 2
．
故选：D
3.在直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC 如图所示．已知O 为坐标原点，
2 2,0
A
，
2 2,2
B
，
0,6
C
．在用斜二测画法画出的直观图中，四边形O A B C
的面积为（
）
A．4
B．4 2
C．8
D．8 2
【答案】A
【解析】如图，画出直观图，过点A作A D
O C
，垂足为
.
D
因为
1
3
2
O C
OC
，
45
O A
B A x
C
，
所以
/ /
O C
A B
，
2
O D
A D
，
1
C D
A B
，
则
2
A D
B C
，
故四边形O A B C
的面积为
1
3
2
4
2
S
．故选：A
4.如图，平行四边形O A B C
是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
4
O A
2
O C
，
30
A O C
，则原图形的面积是（
）
A．4
B．4 2
C．8 2
D．16
【答案】C
【分析】先求出直观图中平行四边形的面积，然后利用直观图面积和原图形面积之间的比例关系求解即可．
【详解】直观图O A B C
是一个平行四边形，
4
O A
，
2
O C
，
30
A O C
，
所以直观图的面积为
1
2
2
sin 30
4
2
A O C
S
O A O C
，
因为
:
2 : 4
S
S
直观图
原图
，所以原图形的面积为4 4
8 2
2
．
故选：C．
5．如图所示的是一个四边形用斜二测法画出的直观图，它是一个底角为45°，腰和上底边长都为2 的等腰
梯形，则原四边形的面积为（
）
A．6
2 6
B．8
4 2
C．12
4 2
2 6
D．16
4 2
4 6
【答案】B
【分析】由直观图还原成原图是一个如图所示的直角梯形，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线
段长度加倍，所以由已知的数据可得
2,
4,
2
2 2
AB
BC
CD
，从而可求得答案.
【详解】由直观图还原成原图是一个如图所示的直角梯形，如图所示，
因为在直观图中，
2,
2,
2
2 2
A B
B C
C D
,
所以在原图中
2,
4,
2
2 2
AB
BC
CD
,
所以原四边形的面积为
2
2
2 2
4
4 2
8
2
2
AB
CD
BC
,
故选：B
模块三：综合巩固
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（
）
A．相等的角在直观图中仍然相等
B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．正方形在直观图中仍然是正方形
D．平行的线段在直观图中仍然平行
【答案】D
【分析】根据斜二测画法的规则对四个选项逐一分析即可.
【详解】选项A：通过举反例，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，A 错误.
选项B：由于斜二测画法的法则是平行于x 轴的线平行性与长度都不变；平行于y 轴的线平行性不变，但
长度变为原长度的一半，故B 错误.
选项C：正方形的两邻边相等，但在直观图中不相等，C 错误.
选项D：由斜二测画法可知，平行的线段在直观图中仍然平行，D 正确.
故选：D.
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是（
）
A．原来相交的仍相交
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
【答案】B
【分析】根据斜二测画法的要求和结论理解辨析．
【详解】根据斜二测画法可知：平行不变，即原图中的平行，则直观图也平行，原图的相交，直观图中也
相交，但相对应的角度会改变，，所以错误的是B
故选：B．
3．斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是（
）
A．矩形的直观图一定是矩形
B．等腰三角形的直观图一定是等腰三角形
C．平行四边形的直观图一定是平行四边形
D．菱形的直观图一定是菱形
【答案】C
【分析】根据斜二测画法的规则可判断各个选项.
【详解】对A，矩形的直观图可以是平行四边形，故A 错误；
对B，等腰三角形的直观图的两腰不相等，不一定为等腰三角形，故B 错误；
对C，根据斜二测画法的规则线段的平行性不变，所以平行四边形的直观图一定是平行四边形，故C 正确；
对D，菱形的直观图中，一组对边长度可以改变，所以直观图不一定是菱形，故D 错误.
故选：C.
4．（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（
）
A．相等的线段在直观图中仍然相等
B．平行的线段在直观图中仍然平行
C．一个角的直观图仍是一个角
D．相等的角在直观图中仍然相等
【答案】BC
【分析】根据斜二测画法分析各选项说法的正误即可.
【详解】由斜二测画法原则：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，
平行于x 轴且相等的线段在直观图中仍相等，而不是所有相等线段都能相等，A 错误；
平行线段在直观图中仍然平行，B 正确；
一个角在直观图中也是一个角的形式出现，C 正确；
如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等，D 错误.
故选：BC
5．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是______．（填序号）
①原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x轴，长度不变；
②原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的1
2 ；
③画与直角坐标系xOy 对应的x O y
时，
x O y
必须是45；
④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．
【答案】③
【分析】由“斜二测画法”规则：坐标轴夹角为45（或135），平行x 轴的线段长度不变，平行y 轴的线段
长度减半，并且线段的平行性不改变，以上即可作为判断依据.
【详解】原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x轴，长度不变，故①正确；
原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的1
2 ，故②正确；
画与直角坐标系xOy 对应的坐标系x O y
时，
x O y
也可以是135，故③错误；
在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同，故④正确.
故答案为：③.
6.利用斜二测画法画出边长为3cm 的正方形的直观图，正确的是图中的(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的比为2 :1，故选C
7.画出如图所示的水平放置的正方形的直观图（画在原图上）．
【答案】直观图见解析
【解析】该正方形直观图如图所示，
8.画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
【答案】作图见解析
【解析】（1）在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，
垂直于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．如图①所示．
（2）画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，
在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，
在l 上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.
（3）所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD 的直观图．如图③.
9.下列空间图形画法错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】D 选项：遮挡部分应画成虚线．故选:D.
10.用斜二测画法画出六棱锥P﹣ABCDEF 的直观图，其中底面ABCDEF 是正六边形，点P 在底面的投影
是正六边形的中心O（尺寸自定）．
【解析】解：设正六边形ABCDEF 的边长为2cm，六棱锥的高为2cm，则正六边形的高为��cm．
①以CF 的中点O 为原点，CF 所在的直线为x 轴，画y 轴，使∠xOy＝45°，再作Oz⊥平面xOy；
②在x 轴上取OC＝OF＝2cm，在y 轴上分别取M、N 两点，使OM＝ON=
�
�cm，过点M 作AB∥x 轴，
且AM＝BM＝1cm，
过点N 作DE∥x 轴，且NE＝ND＝1cm，在z 轴上取OP＝2cm；
③连结BC、DE、EF、FA、PA、PB、PC、PD、PE、PF，所得六棱锥P﹣ABCDEF 即为所求．
11．画底面半径为1cm，母线长为3cm 的圆柱的直观图。
【答案】见解析.
【解析】以底面圆圆心为原点O，两条垂直的直径所在直线为
,x y 轴，上下底中心连线为z 轴建立空间直
角坐标系，斜二测画法中，x，y轴表示水平面，z轴与x轴垂直，y轴与x夹角为45°，平行于x 轴、
z 轴的线段仍平行于x轴、z轴，长度不变，平行于y 轴的线段仍平行y轴，但长度为原来的一半．画出
图形后，擦去坐标轴得直观图．
【详解】圆柱直观图如图：
【点睛】本题考查空间几何体的斜二测画法，属于基础题．
12.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的面积为（
）
A．2 2
B．2
C．
2
D．
2
4
【答案】A
【分析】方法一：还原原图形，再求出面积；
方法二：先求出直观图的面积，再根据直观图和原图形的面积比进行求解
【详解】方法一：如图所示：根据斜二测画法，可知原图形为平行四边形，其中
1
OB
O B
，
2
2 2
OA
O A
，故面积为
2 2
OA OB
.
方法二：直观图的面积为1 1
1
，原图的面积与直观图的面积之比为2 2 ，
故原图的面积为2 2 1
2 2
.
故选：A
13.水平放置的ABC
的斜二测直观图如图所示，已知
4
B C
，
3
AC
，
/ /
B C
y 轴，则ABC
中BC 边
上的中线的长度为（
）
A．5
B．5
2
C．
73
D．
73
2
【答案】A
【分析】先由斜二测画法将直观图还原三角形，再分别求得BC 与AC ，且BC
AC
，由此在Rt
ACD
△
利
用勾股定理可求得AD .
【详解】利用斜二测画法将直观图还原如图，易知此时
2
8
BC
B C
，
3
AC
A C
，
又由
/ /
B C
y 轴得
/ /
BC
y 轴，故BC
AC
，
不妨设D 是BC 的中点，则
1
4
2
CD
BC
，
所以在Rt
ACD
△
中，
2
2
9 16
5
AD
AC
CD
，即ABC
中BC 边上的中线的长度为5.
故选：A.
.
14.如图，这是一个平面图形的直观图，则它的实际形状（四边形ABCD）为（
）
A．平行四边形
B．梯形
C．菱形
D．矩形
【答案】D
【解析】由
45
B A D
，得
90
BAD
，由边的平行关系可知，原图形为矩形故选：D
15.如图，A B C
是水平放置的ABC
的斜二测直观图，其中
2
O C
O A
O B
，则下列结论正确的是
（
）
A．ABC
是等腰直角三角形
B．ABC
是锐角三角形
C．ABC
是钝角三角形
D．ABC
是等边三角形
【答案】A
【解析】将其还原成原图，如图，
设
2
A C
，则可得
2
1
OB
O B
，
2
AC
A C
，
从而
2
AB
BC
，
所以
2
2
2
AB
BC
AC
，即AB
BC
，
故ABC
是等腰直角三角形.故选：A
16.如图所示，梯形
1
1
1
1
D
C
B
A
是一平面图形ABCD的直观图．若
1
1
A D
O x
，
1
1
1
1
//
A B
C D ，
1
1
1
1
2
2
3
A B
C D
，
1
1
1
1
A D
O D
．试画出原四边形．
【答案】图见解析.
【解析】如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取
1
1
OD
O D
，
1
2
OC
O C
，
1
2
O B
，
在y 轴上截取
2 2
OB
，再过点B 与x 轴平行的直线上截取
1
1
2
AB
A B
，
连接BC ，AD ，便得到了原图形（如图）．
17.一个三角形水平放置的直观图是正三角形，则原三角形是（
）
A．正三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
【答案】C
【解析】令正
O A B
△
是水平放置的OAB
的直观图，不妨令点A在数轴O x上，如图，
因为
45
y O x
，则线段A B
与y轴必相交，令交点为C，
在直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴上，OA
O A
，点C 在y 轴上，
2
OC
O C
，如图，
因此点B 必在线段AC 的延长线上，有
90
BOA
COA
，即OAB
是钝角三角形，
所以原三角形是钝角三角形，故选：C
18．如图所示，A B C
是ABC
的直观图，其中A C
A B
，那么ABC
是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
【答案】B
【分析】根据斜二测画法的作图原则即可得到答案.
【详解】根据斜二测画法可得
,
,
2
AB
AC AB
A B AC
A C
,
2
AB
AC AC
AB
，所以ABC
是直角三角形.
故选：B.
19．水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图是直角梯形A B C D
，如图所示．其中
1
B C
A B
，则原
平面图形的面积为（
）
A．3 2
8
B．3 2
4
C．3 2
D．6 2
【答案】C
【分析】根据斜二测画法的图形性质可得原图形的形状，进而可得面积.
【详解】由直角梯形A B C D
中
1
B C
A B
，且
45
A D C
，作A P
D C
于P ，
则四边形A B C P
为正方形，A PD
为等腰直角三角形，
故
2
A D
，
2
D C
.
故原图为直角梯形，且上底
1
AB
A B
，高
2
2 2
AD
A D
，
下底
2
DC
D C
.
其面积为
1
1
2
2 2
3 2
2
.
20．如图所示，A B C
是水平放置的ABC
的斜二测直观图，其中
2
2
O C
O A
O B
，则以下说法正
确的是（
）
A．ABC
是钝角三角形
B．ABC
的面积是A B C
的面积的2 倍
C．ABC
是等腰直角三角形
D．ABC
的周长是4
4 2
【答案】CD
【分析】根据已知，结合图形，利用斜二测画法的方法进行求解判断.
【详解】根据斜二测画法可知，在原图形中，O 为CA 的中点，AC
OB
，
因为
2
2
O C
O A
O B
，所以
2,
4,
2
CO
AO
AC
OB
，
则ABC
是斜边为4 的等腰直角三角形，如图所示：
所以ABC
的周长是4
4 2
，面积是4，故A 错误，C，D 正确.
由斜二测画法可知，ABC
的面积是A B C
的面积的2 2 倍，故B 错误.
故选：CD.
21．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下述结论正确的是（
）
A．梯形的直观图仍旧是梯形
B．若ABC
的直观图是边长为2 的等边三角形，那么ABC
的面积为
6
C．ABC
的直观图如图所示，A B
在x轴
2
A B
，B C
与x轴垂直，且
2
B C
，则ABC
的面积为4
D．菱形的直观图可以是正方形
【答案】AC
【分析】根据斜二测画法规则以及直观图与原图面积关系逐一判断即可
【详解】由于斜二测画法平行关系不变，故梯形的直观图仍旧是梯形，故A 正确；
直观图面积为
3
4
3
4
，根据直观图与原图面积关系可得
2
3
4 S
，解得
2 6
S
，故B 错误；
直观图中
1
2
2
2
2
A B C
S
△
，则ABC
的面积
2
4
2
4
S
，故C 正确．
由于平行于y 轴的线段长度减半，故菱形的直观图一定是邻边不等的平行四边形，故D 错误．
故选：AC
