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专题八 立体几何
8.1 空间几何体的表面积和体积
基础篇
考点 一 空间几何体的结构特征 ì ï坐标轴的夹角改变
三ï
í与ｙ轴平行的线段的长度变为原来的一半
1. 多面体的结构特征 变ï
ï
î图形改变
名称 棱柱 棱锥 棱台
ì ï平行性不改变
有两个ꎬ是平 有两个ꎬ是平 三 ï
有一个ꎬ是 不í与 ｘ 轴平行的线段的长度不改变
底面 行且全等的 行且相似的多 ï
变
多边形 ï
î相对位置不改变
多边形 边形
用斜二测画法画出的水平放置的平面图形
相 交 于 一
２)
延长 线 交 于
侧棱 平行且相等 点ꎬ不一定
一点 的直观图的面积是原图形面积的 ２.
相等
４
侧面
平行四边形 三角形 梯形
形状 考点 二 空间几何体的表面积与体积
2.
旋转体的结构特征
表面积 体积
名称 圆柱 圆锥 圆台 柱体(棱柱和
Ｓ Ｓ Ｓ Ｖ Ｓ ｈ
平行、相等且 相 交 于 延长 线 交 于 圆柱) 表面积＝ 侧＋２ 底 ＝ 底
母线
垂直于底面 一点 一点
锥体(棱锥和
Ｓ Ｓ Ｓ Ｖ １Ｓ ｈ
全 等 的 等 全等 的 等 腰 圆锥) 表面积＝ 侧＋ 底 ＝ 底
轴截面 全等的矩形 ３
腰三角形 梯形
侧面 台体(棱台和 Ｓ 表面积 ＝ Ｓ 侧 ＋ Ｓ 上 Ｖ ＝ １ (Ｓ 上 ＋ Ｓ 下 ＋
矩形 扇形 扇环 ３
展开图 圆台) Ｓ
＋ 下 Ｓ Ｓ )ｈ
上 下
注意
.球是旋转体ꎬ球面不能展开ꎬ球的截面是圆面ꎻ 球 Ｓ
＝４π
Ｒ２ Ｖ
＝
４
π
Ｒ３
１ ３
.球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面ꎻ
２ 注意
.球心到截面(不过球心)的距离 ｄ 与球的半径 Ｒ 及截
３ .几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和ꎬ而表面积
１
面的半径ｒ的关系为ｒ
＝
Ｒ２
－
ｄ２.
是侧面积与所有底面面积之和.
3.
斜二测画法下几何体的直观图
.组合体的表面积应注意重合部分的处理.
２
.一个组合体的体积等于它的各部分体积的和.
原图与直观图中的 三变 与 三不变 原则 ３
１) “ ” “ ” :
专
题
八
立
体
几
何
２８５
综合篇
考法 一 空间几何体的表面积和体积 考法 二 与球有关的切、接问题
1. 1.
求空间几何体表面积的方法 “切”“接”问题的处理规律
求多面体的表面积 把各个面的面积相加 切 的处理 球的内切问题主要是球内切于
１) : ꎻ １)“ ” :
求简单旋转体的表面积 公式法 多面体或旋转体.解答时要找准切点 通过作
２) : ꎻ ꎬ
求组合体的表面积 注意重合部分的处理 截面来解决.
３) : ꎬ
防止漏算或多算. 接 的处理 把一个多面体的顶点放在球面
２)“ ” :
2.
求空间几何体体积的方法 上 即球外接于该多面体.解题的关键是抓住
ꎬ
求简单几何体 柱体 锥体 台体或球 的体 球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
１) ( 、 、 )
2.
积 公式法. 当球的内接多面体为共顶点的棱两两垂直的
:
求组合体的体积 一般不能直接利用公式求 三棱锥或三组对棱分别相等的三棱锥时 常
２) : ꎬ
解 常用转换法 分割法 补形法等进行求解. 构造长方体或正方体以确定球的直径.
ꎬ 、 、
例1 ( 山东菏泽二模ꎬ )民间娱乐健身 3. 与球有关的组合体的常用结论
２０２２ ４
工具陀螺起源于我国ꎬ最早出土的石制陀螺是 长方体的外接球
１) :
在山西夏县新石器时代遗址中发现的.下图是一 球心 体对角线的交点
① : ꎻ
个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径 ＡＢ
＝
ａ２ ｂ２ ｃ２
半径 ｒ ＋ ＋ ａ ｂ ｃ 为长方体的长
ꎬ圆柱体部分的高 ＢＣ ꎬ圆锥体部分 ② : ＝ ( ꎬ ꎬ 、
１６ ｃｍ ＝８ ｃｍ ２
的高ＣＤ ꎬ则这个陀螺的表面积是 ( ) 宽 高 .
＝６ ｃｍ 、 )
棱长为 ａ 的正方体的外接球 内切球及与各
２) 、
条棱都相切的球
:
外接球 球心是正方体的中心 半径 ｒ ３ａ
① : ꎬ ＝ ꎻ
２
ａ
内切球 球心是正方体的中心 半径 ｒ
② : ꎬ ＝ ꎻ
２ ２ ２
Ａ.１９２π ｃｍ Ｂ.２５２π ｃｍ
与各条棱都相切的球 球心是正方体的中
２ ２ ③ :
Ｃ.２７２π ｃｍ Ｄ.３３６π ｃｍ
解析 由题意可得圆锥体的母线长为 ｌ 心 半径 ｒ ２ａ.
＝
ꎬ ＝
２
２ ２
ꎬ所以圆锥体的侧面积为
６ ＋８ ＝１０ ｃｍ π×８× 棱长为 ａ 的正四面体的外接球与内切球 正
３) (
２ꎬ又圆柱体的侧面积为
１０＝８０π ｃｍ １６π×８＝ 四面体可以看作是正方体的一部分
):
２ꎬ圆柱体的底面面积为
２
１２８π ｃｍ π × ８ ＝
5
年 ２ꎬ所以这个陀螺的表面积为 外接球 球心是正四面体的中心 半径ｒ ６ａ
高 ６４π ｃｍ ８０π＋１２８π ① : ꎬ ＝ ꎻ
４
考 ( ２).故选 .
3 ＋６４π＝２７２π ｃｍ Ｃ
年 答案 内切球 球心是正四面体的中心 半径ｒ ６ａ.
模 Ｃ ② : ꎬ ＝
拟 １２
A
版
高
考
数
学
２８６
例2 ( 课标 ꎬ ꎬ 分)已知圆锥的底 因为等腰 ＰＡＤ 与矩形
２０２０ Ⅲ １６ ５ Ｒｔ△
面半径为 ꎬ母线长为 ꎬ则该圆锥内半径最大 ＡＢＣＤ 所在平面垂直ꎬ平面
１ ３
的球的体积为 . ＰＡＤ 平面 ＡＢＣＤ ＡＤꎬＰＭ
∩ ＝
解析 圆锥内球半径最大时的 平面 ＰＡＤꎬ所以 ＰＭ 平
⊂ ⊥
轴截面图如图.其中球心为 Ｏꎬ设 面 ＡＢＣＤ.
其半径为ｒꎬＡＣ ꎬＯ Ｃ ꎬ ＡＯ 连接 ＯＭꎬＯＰꎬ则 ＰＭ ＯＭꎬ
＝３ １ ＝１ ∴ １ ⊥
因为等腰 ＰＡＤ 和矩形 ＡＢＣＤ 中ꎬＰＡ ＰＤ
ＡＣ２ Ｏ Ｃ２ . Ｒｔ△ ＝ ＝
＝ － １ ＝２ ２
ＡＢ ꎬ所以ＡＤ ꎬＰＭ ꎬＡＣ ＢＤ
ＯＯ ＯＭ ｒꎬ ＡＯ ＡＯ ＯＯ ｒꎬ ＝２ ＝２ ２ ＝ ２ ＝ ＝ ８＋４
∵ １ ＝ ＝ ∴ ＝ １ － １ ＝２ ２－
ＯＭ ＡＯ ｒ ꎬ所以 ＯＡ ＯＢ ＯＣ ＯＤ ꎬＭＯ ꎬ
又 ＡＭＯ ＡＯ Ｃꎬ ꎬ即 ＝２ ３ ＝ ＝ ＝ ＝ ３ ＝１
∵ △ ∽△ １ ∴ Ｏ １ Ｃ ＝ ＡＣ １ ＝ 所以 ＯＰ ＝ ＰＭ２ ＋ ＯＭ２ ＝ ３ ꎬ
ｒ
２ ２－ ꎬ故 ｒ ｒꎬ ｒ ２. 该圆锥内半径 所以 ＯＰ ＯＡ ＯＢ ＯＣ ＯＤ ꎬ
３ ＝２ ２－ ∴ ＝ ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ３
３ ２ 所以点 Ｏ 为四棱锥 Ｐ ＡＢＣＤ 的外接球的球心ꎬ
æ ö －
３
最大的球的体积 Ｖ ４ çç ２ ÷÷ ２π. 且球的半径为 ꎬ所以四棱锥 Ｐ ＡＢＣＤ 的外接
＝ π×è ø ＝ ３ －
３ ２ ３
球的表面积为 ( )２ .
４π ３ ＝１２π
答案 ２π
答案
１２π
３
例3 ( 山东枣庄二调ꎬ )如图ꎬ等腰 名师点睛.外接球问题的解答关键是找出球心的位
２０２２ １４ １
ＰＡＤ与矩形 ＡＢＣＤ 所在 置ꎬ球心和几何体的顶点及球心在面内的射影构成直
Ｒｔ△
平面垂直ꎬ且 ＰＡ ＰＤ ＡＢ
角三角形ꎬ运用勾股定理建立方程.
＝ ＝ ＝
.熟记不同特征的几何体的外接球球心的位置ꎬ和求
ꎬ则四棱锥 Ｐ ＡＢＣＤ 的外接 ２
２ －
外接球半径的方法ꎬ能更准确快速地解决这类问题.
球的表面积为 .
.内切球的计算除了找球心运用勾股定理以外ꎬ等体
解析 连接 ＡＣꎬＢＤꎬ交于点 Ｏꎬ取 ＡＤ 的中点 ３
积法也是常用的一种方法.
Ｍꎬ连接 ＰＭꎬ因为 ＰＡ ＰＤ ꎬ所以 ＰＭ ＡＤ.
＝ ＝２ ⊥
专
题
八
立
体
几
何
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