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第十八讲：空间几何体的表面积及体积
【考点梳理】
空间几何体的表面积与体积公式
名称
表面积 体积
几何体
柱体(棱柱和圆柱)
锥体(棱锥和圆锥)
台体(棱台和圆台)
球
【典型题型讲解】
考点一：空间几何体的表面积
【典例例题】
例1．（2022·广东深圳·一模）以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得
圆柱的侧面积等于（ ）
A．8π B．4π C．8 D．4
【答案】．A
【详解】以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，
其底面半径r=2，高h=2，
故其侧面积为 .
故选：A
例2．（2022·广东韶关·一模）已知圆锥的侧面展开图为一个面积为 的半圆，则该圆锥的高为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【详解】设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为 ，
由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
则 ，解得 ，则圆锥的高 .
故选：D.
例3．（2022·广东惠州·一模）若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为 ，圆台
上､下底面圆的半径分别为 ， （ ），则 ___________.
【答案】2
【详解】圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，
所以圆台的母线长为 ，
圆台的侧面积为 ，
所以 .
故答案为：2
例4．（2022·广东揭阳·高三期末）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球 ，则圆柱的表面积与球
的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【详解】因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱底面圆的半径为 ，其高 ，其外接球的半径，则圆柱的表面积 ，球 的表面积 ，则圆
柱的表面积与球 的表面积之比为 ，
故选： .
例5．（2022·广东潮州·高三期末）若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所
成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】．C
【详解】解：设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，
因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，
所以 ，
解得 ，
设该圆锥的母线与底面所成角 ，
则 ，
所以 ．
故选：C
【方法技巧与总结】
熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角.
【变式训练】
1．（2022·广东东莞·高三期末）已知一个圆锥的底面半径为 ，其侧面积为 ，则该圆锥的体积为
___________.
【答案】
【详解】设圆锥的母线长为 ，因为圆锥的底面半径 ，
所以圆锥的侧面积 ，依题意可得 ，解得 ，
所以圆锥的高 ，
所以该圆锥的体积 .
故答案为： .
2．（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑
A-BCD中，AB 平面BCD，CD AD，AB=BD= ，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一
点到点B的最短距离为 ，则该棱锥的外接球的表面积为_________．
【答案】
【详解】如图所示：
设CD=x，由题意得： ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，
即 ，解得 或 （舍去），如图所示：
该棱锥的外接球即为长方体的外接球，
则外接球的半径为： ，
所以外接球的表面积为 ，
故答案为：
3．（2021·广东佛山·一模）（多选）如图，已知圆锥 的底面半径 ，侧面积为 ，内切球的
球心为 ，外接球的球心为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．外接球 的表面积为
B．设内切球 的半径为 ，外接球 的半径为 ，则
C．过点P作平面 截圆锥 的截面面积的最大值为
D．设长方体 为圆锥 的内接长方体，且该长方体的一个面与圆锥底面重合，则该长方体体积的最大
值为
【答案】．AD【详解】因为 ，解得 ，即圆锥母线长为2，则高 ，
设圆锥外接球半径为 ，如图，
则对 由勾股定理得 ，即 ，外接球面积为 ，
故A正确；
设内切球 的半径为 垂直于交 于点D，如图，
则对 ，即 ，解得 ，故B项错误；
过点P作平面 截圆锥 的截面面积的最大时，如图，因为 ，故恰好 为等腰直角三角形时取到，点C在圆锥底面上， ，故C项错
误；
设圆锥 有一内接长方体，其中一个上顶点为E，上平面中心为 ，如图，
则 ，当长方形上平面为正方形时，上平面面积最大，
长方体体积为 ，当 时， 时， ，
故 ，
故D正确，
故选：AD
4.（2022·广东广州·一模）已知三棱锥 的棱AP，AB，AC两两互相垂直， ，
以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于___________.
【答案】．
【详解】由题设，将三棱锥 补全为棱长为 的正方体，如下图示：
若 ，则 ，即 在P为球心，4为半径的球面上，且O为底面中心，
又 ， ，
所以，面 与球面所成弧是以 为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为 ；
面 与与球面所成弧是以 为圆心，4为半径且圆心角为 的圆弧，故弧长为 ；
面 与球面所成弧是以 为圆心，4为半径且圆心角为 的圆弧，故弧长为 ；
所以最长弧的弧长为 .
故答案为： .
5.设圆锥底面圆周上两点 、 间的距离为 ，圆锥顶点到直线 的距离为 ， 和圆锥的轴的距离为
，则该圆锥的侧面积为___________.
【答案】
【解析】设圆锥的顶点为 ，底面圆圆心为点 ，取线段 的中点 ，连接 、 、 、 ，因为 ， ，则 ， ，故 ，
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以， 为直线 、 的公垂线，故 ，
因为 ， ， ，
所以，圆锥 的底面圆半径为 ，母线长为 ，
因此，该圆锥的侧面积为 .
故答案为： .
6.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧
面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为圆台下底面半径为5，球的直径为 ，
所以圆台下底面圆心与球心重合，底面圆的半径为 ，画出轴截面如图，
设圆台上底面圆的半径 ，则所以球心 到上底面的距离 ，即圆台的高为3，
所以母线长 ，
所以 ，
故选：C.
考点二：空间几何体体积
【典例例题】
例1．（2022·广东汕头·高三期末）金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构
是由8个等边三角形组成的正八面体．若某金刚石的棱长为2，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】．C
【详解】如图，设底面 中心为 ，连接 ，由几何关系知，
，则正八面体体积为
.故选：C
例2.已知圆柱 的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径， ，则四面体
ABCD的体积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】解：如图所示：
连接 ，
因为 ， ，且 ，
所以 平面 ，
所以 ，
，
故选：D
例3.《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭
，其中上底面与下底面的面积之比为 ，方亭的高 ， ，方亭的四个侧
面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和 ，则方亭的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ，设 ，则 ， .
过点 、 在平面 内分别作 ， ，垂足分别为点 、 ，
在等腰梯形 中，因为 ， ， ，则四边形 为矩形，
所以， ， ，
因为 ， ， ，所以， ，
所以， ，所以， ，
所以等腰梯形 的面积为 ，得 .
所以， ， ，故方亭的体积为 .
故选：C.
【方法技巧与总结】
熟记几何体体积公式，能够画出几何体的直观图
【变式训练】
1.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善
良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图
1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧 所在圆的半径分别是3和9，且 ，则该圆台的（ ）
A．高为 B．体积为
C．表面积为 D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
【答案】AC
【解析】解：设圆台的上底面半径为 ，下底面半径为 ，则 ，解得
．圆台的母线长 ，圆台的高为 ，则选项 正确；
圆台的体积 ，则选项 错误；
圆台的上底面积为 ，下底面积为 ，侧面积为 ，则圆台的表面积为 ，
则 正确；
由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为 ，则选项D错误．
故选：AC．
2．（2022·广东东莞·高三期末）已知一个圆锥的底面半径为 ，其侧面积为 ，则该圆锥的体积为
___________.
【答案】
【详解】设圆锥的母线长为 ，
因为圆锥的底面半径 ，
所以圆锥的侧面积 ，依题意可得 ，解得 ，
所以圆锥的高 ，
所以该圆锥的体积 .故答案为： .
3．（2022·广东韶关·一模）已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，
若 ， ，则此球的体积为__________.
【答案】
【详解】解：设 的外接圆的圆心为 ，半径为 ，球的半径为 ，球心为 ，
底面 为直角三角形，故其外接圆圆心 在斜边中点处，则 ，
又 ，在 中， .
故答案为： .
4．（2022·广东韶关·一模）已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，
若 ， ，则此球的体积为__________.
【答案】
【详解】解：设 的外接圆的圆心为 ，半径为 ，球的半径为 ，球心为 ，
底面 为直角三角形，故其外接圆圆心 在斜边中点处，则 ，
又 ，在 中， .
故答案为： .
5.（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体 中， ， ，
，则其外接球的体积为______.
【答案】
【详解】如图，构造长方体，其面对角线长分别为 ，则四面体 的外接球即为此长方体的外接球，
设长方体的长宽高分别x，y，z，外接球半径为R
则 ，
所以 ,
则 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
6．（2021·广东佛山·一模）如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点E，F，且
，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．不确定
7．（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB 平面BCD，CD AD，AB=BD= ，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一
点到点B的最短距离为 ，则该棱锥的外接球的表面积为_________．
【答案】
【详解】如图所示：
设CD=x，由题意得： ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，
即 ，解得 或 （舍去），
如图所示：
该棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径为： ，
所以外接球的表面积为 ，
故答案为：
8．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体 中， ， ，
，则其外接球的体积为______.
【答案】．
【详解】如图，构造长方体，其面对角线长分别为 ，
则四面体 的外接球即为此长方体的外接球，
设长方体的长宽高分别x，y，z，外接球半径为R
则 ，
所以 ,
则 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
9．（2022·广东清远·高三期末）如图，在长方体 中， ，P为 的中点，过 的平面 分别与棱 交于点E，F，且 ，则平面 截长方体所得上下两部分的体
积比值为_________；所得的截面四边形 的面积为___________．
【答案】3
【详解】如图，过点B作 的平行线分别与 的延长线交于G，H，连接 ，并分别与
交于E，F，
因为 GH，且 平面 ， 平面
所以 平面 ，
所以平面 即平面 ．
因为 ，所以 ，
所以 ．
因为四边形 为菱形，且 ，
所以 ．
故答案为：3； .【巩固练习】
一、单选题
1．已知圆锥的高为1，母线长为 ，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【解析】如图 是圆锥的轴截面，
由题意母线 ，高 ，
则 ， 是锐角，
所以 ，于是得轴截面顶角 ，
设截面三角形的顶角为 ，则过此圆锥顶点的截面面积 ，
当两条母线夹角为 时，截面面积为 为所求面积最大值，
故选：D.
2．若过圆锥的轴 的截面为边长为4的等边三角形，正方体 的顶点 ， ， ， 在
圆锥底面上， ， ， ， 在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意过顶点 和正方体上下两个平面的对角线作轴截面如下所示：
所以 ， ，所以 ， ，
为矩形，设 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，即 ，解得 .
故选：C.
3．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设，圆锥的体高、底面半径均为 ，
所以圆锥的体积为 .
故选：D
4．通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环
（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（
）A． cm B．1cm C． cm D． cm
【答案】D
【解析】由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为 ， ，
则 ， ，解得 ， ．
所以圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为 和 ，腰长为 ，
即 ,过点 作 , 为垂足，
所以 ，
该圆台形容器的高为 ，
故选：D．
5．已知某圆锥的侧面积为 ，高为 ，则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】设该圆锥底面圆的半径为 ，则 ，故 ，即 ，
解得
故选：B
6．正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．56 B． C． D．
【答案】B【解析】如图所示，
在正四棱台 中，点 分别为上、下底面的中心，连接 ，则由题意可知
底面 ， ，过点 作 交 于点 ，则 底面 ，四边形
为矩形， ，所以 ，因为 ，所以
，
即正四棱台的高为 ，所以正四棱台的体积为 .
故选：B.
7．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔
时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，相应水面的面积为 ，将该水库
在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 上升到 时，增加的水量约为（
）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意可知棱台的高为 (m)，所以增加的水量即为棱台的体积 ．
棱台上底面积 ，下底面积 ，∴
．
故选：C．
二、多选题
8．如图，正方体 棱长为1，P是 上的一个动点，下列结论中正确的是
（ ）
A． 的最小值为
B． 的最小值为
C．当P在直线 上运动时，三棱锥 的体积不变
D．以点B为球心， 为半径的球面与面 的交线长为
【答案】BCD【解析】对于A，当 时，BP最小，由于
到直线 的距离 ，故A错误；
对于B，将平面 翻折到平面 上，如图，
连接AC，与 的交点即为点P，此时 取最小值AC，
在三角形ADC中， , ，故B正确；
对于C，由正方体的性质可得 ， 平面 ，
平面 ， 到平面 的距离为定值，
又 为定值，则 为定值，即三棱锥 的体积不变，故 正确；对于D，由于 平面 ，设 与平面 交于 点，
，设以 为球心， 为半径的球与面 交线上任一点为 ，
， ，
在以 为圆心， 为半径的圆上，
由于 为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ，
故此圆恰好为 的内切圆，完全落在面 内，
交线长为 ，故 正确．
故选：BCD.
9．如图，四边形 为正方形， 平面 ， ，记三棱锥 ，
， 的体积分别为 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】
设 ，因为 平面 ， ，则 ，
，连接 交 于点 ，连接 ，易得 ，
又 平面 ， 平面 ，则 ，又 ， 平面 ，则
平面 ，
又 ，过 作 于 ，易得四边形 为矩形，则
，
则 ， ，
，则 ， ， ，则 ，则 ， ， ，故A、B错误；C、D正确.
故选：CD.
10．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善
良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图
1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧 所在圆的半径分别是3和9，
且 ，则该圆台的（ ）
A．高为 B．体积为
C．表面积为 D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
【答案】AC
【解析】解：设圆台的上底面半径为 ，下底面半径为 ，则 ，解得
．圆台的母线长 ，圆台的高为 ，则选项 正确；
圆台的体积 ，则选项 错误；
圆台的上底面积为 ，下底面积为 ，侧面积为 ，则圆台的表面积为 ，
则 正确；
由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为 ，则选项D错误．
故选：AC．
