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第 1 讲 空间几何体
[考情分析] 空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考
的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上．
考点一 空间几何体的折展问题
核心提炼
空间几何体的侧面展开图
1．圆柱的侧面展开图是矩形．
2．圆锥的侧面展开图是扇形．
3．圆台的侧面展开图是扇环．
例1 (1)“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊
漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为 40 km，山高为
40 km，B是山坡SA上一点，且AB＝40 km.为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山
观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为( )
A．60 km B．12 km
C．72 km D．12 km
答案 C
解析 该圆锥的母线长为＝160，
所以圆锥的侧面展开图是圆心角为＝的扇形，
如图，展开圆锥的侧面，连接A′B，由两点之间线段最短，知观光公路为图中的A′B，A′B＝＝＝200，
过点S作A′B的垂线，垂足为H，
记点P为A′B上任意一点，连接PS，当上坡时，P到山顶S的距离PS越来越小，当下坡
时，P到山顶S的距离PS越来越大，
则下坡段的公路为图中的HB，
由Rt△SA′B∽Rt△HSB，
得HB＝＝＝72(km)．
(2)(2022·深圳检测)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝，AB＝1，AD＝1，
AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意知，AE＝AD＝AB＝1，BC＝2，
在△ACE中，由余弦定理知，
CE2＝AE2＋AC2－2AE·AC·cos∠CAE
＝1＋3－2×1××＝1，
∴CE＝CF＝1，而BF＝BD＝，BC＝2，
∴在△BCF中，由余弦定理知，
cos∠FCB＝＝＝.
规律方法 空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面
中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边．
跟踪演练1 (1)(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中
正确的是( )A．C∈GH
B．CD与EF是共面直线
C．AB∥EF
D．GH与EF是异面直线
答案 ABD
解析 由图可知，还原正方体后，点C与G重合，
即C∈GH，
又可知CD与EF是平行直线，即CD与EF是共面直线，AB与EF是相交直线(点B与点F
重合)，GH与EF是异面直线，故A，B，D正确，C错误．
(2)如图，在正三棱锥P－ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝30°，PA＝PB＝PC＝2，一只
虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离
是( )
A．3 B．3
C．2 D．2
答案 D
解析 将三棱锥由PA展开，如图所示，则∠APA＝90°，
1
所求最短距离为AA 的长度，∵PA＝2，
1∴由勾股定理可得
AA＝＝2.
1
∴虫子爬行的最短距离为2.
考点二 表面积与体积
核心提炼
1．旋转体的侧面积和表面积
(1)S ＝2πrl，S ＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
圆柱侧 圆柱表
(2)S ＝πrl，S ＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
圆锥侧 圆锥表
(3)S ＝4πR2(R为球的半径)．
球表
2．空间几何体的体积公式
(1)V ＝Sh(S为底面面积，h为高)．
柱
(2)V ＝Sh(S为底面面积，h为高)．
锥
(3)V ＝(S ＋＋S )h(S ，S 为底面面积，h为高)．
台 上 下 上 下
(4)V ＝πR3(R为球的半径)．
球
例2 (1)(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2π，
侧面积分别为S 和S ，体积分别为V 和V 若＝2，则等于( )
甲 乙 甲 乙．
A. B．2 C. D.
答案 C
解析 方法一 因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合＝2，可知甲、乙两个圆锥侧
面展开图的圆心角之比是2∶1.
不妨设两个圆锥的母线长为l＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r ，r ，高分别为h ，
1 2 1
h，
2
则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，
所以2πr＝4π，2πr＝2π，得r＝2，r＝1.
1 2 1 2
由勾股定理得，
h＝＝，h＝＝2，
1 2
所以＝＝＝.
方法二 设两圆锥的母线长为l，甲、乙两圆锥的底面半径分别为r ，r ，高分别为h ，h ，
1 2 1 2
侧面展开图的圆心角分别为n，n，
1 2
则由＝＝＝2，
得＝＝2.由题意知n＋n＝2π，
1 2
所以n＝，n＝，
1 2
所以2πr＝l，2πr＝l，
1 2
得r＝l，r＝l.
1 2
由勾股定理得，h＝＝l，
1
h＝＝l，
2
所以＝＝＝.
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，
AB＝ED＝2FB.记三棱锥E－ACD，F－ABC，F－ACE的体积分别为V，V，V，则( )
1 2 3
A．V＝2V B．V＝V
3 2 3 1
C．V＝V＋V D．2V＝3V
3 1 2 3 1
答案 CD
解析 如图，连接BD交AC于O，连接OE，OF.
设AB＝ED＝2FB＝2，
则AB＝BC＝CD＝AD＝2，
FB＝1.
因为ED⊥平面ABCD，FB∥ED，
所以FB⊥平面ABCD，
所以V＝V ＝S ·ED＝×AD·CD·ED＝××2×2×2＝，
1 E－ACD △ACD
V＝V ＝S ·FB＝×AB·BC·FB＝××2×2×1＝.
2 F－ABC △ABC
因为ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以ED⊥AC，
又AC⊥BD，
且ED∩BD＝D，ED，BD⊂平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF.
因为OE，OF⊂平面BDEF，
所以AC⊥OE，AC⊥OF.易知AC＝BD＝AB＝2，
OB＝OD＝BD＝，
OF＝＝，
OE＝＝，
EF＝
＝＝3，
所以EF2＝OE2＋OF2，所以OF⊥OE.
又OE∩AC＝O，OE，AC⊂平面ACE，
所以OF⊥平面ACE，
所以V＝V ＝S ·OF
3 F－ACE △ACE
＝×AC·OE·OF
＝××2××＝2，
所以V≠2V，V≠V，V＝V＋V,2V＝3V，
3 2 1 3 3 1 2 3 1
所以选项A，B不正确，选项C，D正确．
规律方法 空间几何体的表面积与体积的求法
(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解．
(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，
不熟悉的几何体补成熟悉的几何体．
(3)等体积法：选择合适的底面来求体积．
跟踪演练2 (1)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成
角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为( )
A．80π B．40
C．40π D．40π
答案 C
解析 由圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，
可得sin∠ASB＝＝，
又△SAB的面积为5，
可得SA2sin∠ASB＝5，
即SA2×＝5，可得SA＝4，
由SA与圆锥底面所成角为45°，
可得圆锥的底面半径为×4＝2，
则该圆锥的侧面积为π×2×4＝40π.
(2)(2022·连云港模拟)如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该
圆台的体积是( )A. B.
C. D.
答案 B
解析 如图，设上底面的半径为r，下底面的半径为R，高为h，母线长为l，
则2πr＝π·1,2πR＝π·2，
解得r＝，R＝1，
l＝2－1＝1，
h＝＝＝，
上底面面积S′＝π·2＝，
下底面面积S＝π·12＝π，
则该圆台的体积为(S＋S′＋)h＝
××＝.
考点三 多面体与球
核心提炼
求空间多面体的外接球半径的常用方法
(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或
长方体中去求解；
(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，
找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．
例3 (1)(2022·烟台模拟)如图，三棱锥V－ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC
＝VA＝2，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为( )A．(2－)∶1 B．(2－3)∶1
C．(－1)∶3 D．(－1)∶2
答案 C
解析 因为VA⊥底面ABC，AB，AC⊂底面ABC，
所以VA⊥AB，VA⊥AC，
又因为∠BAC＝90°，
所以AB⊥AC，而AB＝AC＝VA＝2，
所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长、宽、高，因此该三棱锥外
接球的半径
R＝×＝，
设该三棱锥的内切球的半径为r，
因为∠BAC＝90°，
所以BC＝＝＝2，
因为VA⊥AB，VA⊥AC，AB＝AC＝VA＝2，
所以VB＝VC＝＝＝2，
由三棱锥的体积公式可得，
3×××2×2·r＋××2×2×·r＝××2×2×2⇒r＝，
所以r∶R＝∶＝(－1)∶3.
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在
同一球面上，则该球的表面积为( )
A．100π B．128π
C．144π D．192π
答案 A
解析 由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.
设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O ，O ，连接OO(图略)，则OO ＝1，其外接
1 2 1 2 1 2
球的球心O在直线OO 上．
1 2
设球O的半径为R，当球心O在线段OO 上时，R2＝32＋OO＝42＋(1－OO )2，
1 2 1
解得OO ＝4(舍去)；
1
当球心O不在线段OO 上时，R2＝42＋OO＝32＋(1＋OO )2，解得OO ＝3，
1 2 2 2所以R2＝25，
所以该球的表面积为4πR2＝100π.
综上，该球的表面积为100π.
规律方法 (1)求锥体的外接球问题的一般方法是补形法，把锥体补成正方体、长方体等求
解．
(2)求锥体的内切球问题的一般方法是利用等体积法求半径．
跟踪演练3 (1)(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点
均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大．
设圆锥的高为h(0<h<1)，底面半径为r，
则圆锥的体积V＝πr2h＝π(1－h2)h，
则V′＝π(1－3h2)，
令V′＝π(1－3h2)＝0，得h＝，
所以V＝π(1－h2)h在上单调递增，
在上单调递减，
所以当h＝时，四棱锥的体积最大．
(2)(2022·衡水中学调研)将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧
棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为________，该组合体的外接球的
体积为________．
答案 π
解析 如图，连接PA交底面BCD于点O，则点O就是该组合体的外接球的球心．
设三棱锥的底面边长为a，
则CO＝PO＝R＝a，
得×a＝2，
所以a＝，R＝，
所以V＝π·()3＝π.专题强化练
一、单项选择题
1．(2022·唐山模拟)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的
比值为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．2∶3
答案 A
解析 设球的半径为r，依题意知圆柱的底面半径也是r，高是2r，圆柱的侧面积为2πr·2r
＝4πr2，球的表面积为4πr2，其比例为1∶1.
2．(2021·新高考全国Ⅰ)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母
线长为( )
A．2 B．2 C．4 D．4
答案 B
解析 设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为，所以2π×＝πl，解得l＝2.
3.某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物，
用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字．该正方体纸盒
水平放置的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如图是该正方体
的展开图．若图中“致”在正方体的后面，那么在正方体前面的字是( )
A．最 B．美 C．逆 D．行
答案 B
解析 把正方体的表面展开图再折成正方体，如图，面“致”与面“美”相对，若“致”在
正方体的后面，那么在正方体前面的字是“美”．
4．已知正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，则三棱锥A－BCD 的体积为( )
1 1 1 1 1 1
A. B. C．4 D．6
答案 B解析 如图，三棱锥A－BCD 是由正方体ABCD－ABC D 截去四个小三棱锥A－ABD ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
C－BC D，B－ABC，D－ACD形成的，
1 1 1 1 1
又 ＝23＝8，
＝××23＝，
所以 ＝8－4×＝.
5．(2022·河南联考)小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被
上底口(半径较大的圆)卡住，球心到垃圾篓底部的距离为5a，垃圾篓上底面直径为24a，下
底面直径为18a，母线长为13a，则该篮球的表面积为( )
A．154πa2 B.πa2
C．308πa2 D．616πa2
答案 D
解析 球与垃圾篓组合体的轴截面图如图所示．根据题意，设垃圾篓的高为h，则
h＝＝4a.
所以球心到上底面的距离为a.
设篮球的半径为r，
则r2＝10a2＋(12a)2＝154a2.
故篮球的表面积为4πr2＝616πa2.
6.(2022·湖北联考)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．其中小雨(<10
mm)，中雨(10 mm～25 mm)，大雨(25 mm～50 mm)，暴雨(50 mm～100 mm)，小明用一个
圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级( )A．小雨 B．中雨
C．大雨 D．暴雨
答案 B
解析 由题意知，一个半径为＝100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为×＝50(mm)，
高为150(mm)的圆锥，
所以积水厚度d＝＝12.5(mm)，属于中雨．
7.(2022·八省八校联考)如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱
AC，AD于E，F两点，且四面体ABEF的体积为四面体ABCD体积的，则EF的最小值为(
)
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题知V ＝V ，
B－AEF B－ACD
所以S ＝S ＝××1×1×＝，
△AEF △ACD
记EF＝a，AE＝b，AF＝c，
则bcsin 60°＝，即bc＝.
则a2＝b2＋c2－2bccos 60°≥2bc－bc＝bc＝，
当且仅当b＝c＝时取等号，
所以a即EF的最小值为.
8．(2022·新高考全国Ⅰ)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体
积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )
A. B.
C. D．[18,27]
答案 C解析 方法一 如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底面边长为a，高为h，
依题意，得36π＝πR3，
解得R＝3.
由题意及图可得
解得
所以正四棱锥的体积V＝a2h
＝·＝(3≤l≤3)，
所以V′＝l3－＝l3(3≤l≤3)．
令V′＝0，得l＝2，
所以当3≤l<2时，V′>0；
当2<l≤3时，V′<0，
所以函数V＝(3≤l≤3)在[3，2)上单调递增，在(2，3]上单调递减，
又当l＝3时，V＝；
当l＝2时，V＝；
当l＝3时，V＝，
所以该正四棱锥的体积的取值范围是.
方法二 如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底面边长为a，高为h，
依题意，得36π＝πR3，
解得R＝3.
由题意及图可得
解得
又3≤l≤3，
所以该正四棱锥的体积V＝a2h
＝·＝＝72×··
≤72×3＝
，
所以正四棱锥的体积的最大值为，排除A，B，D.
方法三 如图，设该球的半径为R，球心为O，正四棱锥的底面边长为a，高为h，正四棱
锥的侧棱与高所成的角为θ，
依题意，得36π＝πR3，
解得R＝3，所以正四棱锥的底面边长a＝lsin θ，高h＝lcos θ.
在△OPC中，作OE⊥PC，垂足为E，
则可得cos θ＝＝∈，
所以l＝6cos θ，
所以正四棱锥的体积
V＝a2h＝(lsin θ)2·lcos θ
＝(6cos θ)3sin2θcos θ＝144(sin θcos2θ)2.
设sin θ＝t，易得t∈，
则y＝sin θcos2θ＝t(1－t2)＝t－t3，
则y′＝1－3t2.令y′＝0，得t＝，
所以当<t<时，y′>0；
当<t<时，y′<0，
所以函数y＝t－t3在上单调递增，在上单调递减．
又当t＝时，y＝；当t＝时，y＝；
当t＝时，y＝，
所以≤y≤，所以≤V≤.
所以该正四棱锥的体积的取值范围是.
二、多项选择题
9．(2022·武汉模拟)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，
下列结论正确的是( )
A．圆柱的侧面积为4πR2
B．圆锥的侧面积为2πR2C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．球的体积是圆锥体积的两倍
答案 ACD
解析 对于A，∵圆柱的底面直径和高都等于2R，
∴圆柱的侧面积S＝2πR·2R＝4πR2，故A正确；
1
对于B，∵圆锥的底面直径和高等于2R，
∴圆锥的侧面积为
S＝πR·＝πR2，故B错误；
2
对于C，圆柱的侧面积为S＝4πR2，
1
球的表面积S＝4πR2，即圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；
3
对于D，球的体积为V＝πR3，
1
圆锥的体积为V＝πR2·2R＝πR3，
2
即球的体积是圆锥体积的两倍，故D正确．
10．设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已
知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上且所
有面均与内球相切，则( )
A．该正方体的棱长为2
B．该正方体的体对角线长为3＋
C．空心球的内球半径为－1
D．空心球的外球表面积为(12＋6)π
答案 BD
解析 设内、外球半径分别为r，R，则正方体的棱长为2r，体对角线长为2R，∴R＝r，
又由题知R－r＝1，
∴r＝，R＝，
∴正方体棱长为＋1，体对角线长为3＋，
∴外接球表面积为4πR2＝(12＋6)π.
11.如图，已知四棱台ABCD－ABC D 的上、下底面均为正方形，其中AB＝2，AB ＝，
1 1 1 1 1 1
AA＝BB＝CC ＝DD ＝2，则下列叙述正确的是( )
1 1 1 1
A．该四棱台的高为
B．AA⊥CC
1 1
C．该四棱台的表面积为26D．该四棱台外接球的体积为
答案 AD
解析 将四棱台补为如图所示的四棱锥P－ABCD，分别取BC，BC 的中点E，E，
1 1 1
记四棱台ABCD－ABC D 的上、下底面中心分别为O ，O，连接AC，AC ，BD ，BD ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
AO，OE，OP，PE，
1
由条件知A，B，C ，D 分别为四棱锥的侧棱PA，PB，PC，PD的中点，
1 1 1 1
则PA＝2AA＝4，OA＝AB＝AB＝2，
1 1 1
所以OO ＝PO＝＝，
1
故该四棱台的高为，故A正确；
由PA＝PC＝4，AC＝4，得△PAC为正三角形，
则AA 与CC 所成角为60°，故B错误；
1 1
四棱台的斜高h′＝PE＝
＝＝，
所以该四棱台的表面积为
(2)2＋()2＋4××
＝10＋6，故C错误；
由△PAC为正三角形，易知OA＝OA＝OC＝OC ，OB＝OD ＝OB＝OD，
1 1 1 1
所以O为四棱台外接球的球心，且外接球的半径为 2，所以该四棱台外接球的体积为×23
＝，故D正确．
12．(2022·聊城模拟)用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，
则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之
间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴长与短
半轴长乘积的π倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该
圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是( )
A．底面椭圆的离心率为
B．侧面积为24π
C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36π
D．底面积为4π
答案 ABD
解析 不妨过斜圆柱的最高点D和最低点B作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的几何体是圆柱，如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，平行四边形BFDE是斜圆柱的过底面椭
圆的长轴的截面，
由圆柱的性质知∠ABF＝45°，
则BF＝AB，
设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，
则2a＝·2b，即a＝b，
c＝＝＝a，
所以离心率为e＝＝，A正确；
作EG⊥BF，垂足为G，则EG＝6，
易知∠EBG＝45°，则BE＝6，
又CE＝AF＝AB＝4，
所以斜圆柱侧面积为S＝2π×2×(4＋6)－2π×2×4＝24π，B正确；
由于斜圆柱的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的
半径为2，球的表面积为4π×22＝16π，C错误；
易知2b＝4，则b＝2，a＝2，
所以椭圆面积为πab＝4π，D正确．
三、填空题
13.(2022·湘潭模拟)陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫做陀罗．陀螺的形状结构如图所
示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分
别为h ，h ，r，且h ＝h ＝r，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为 S 和S ，则＝
1 2 1 2 1 2
________.
答案
解析 由题意知，
圆锥的母线长为l＝＝r，
则圆锥的侧面积为S＝πrl＝πr2，
1根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的侧面积为
S＝2πrh＝2πr2，所以＝.
2 2
14．(2022·福州质检)在正三棱柱ABC－ABC 中，AB＝AA ＝2，F是线段AB 上的动点，
1 1 1 1 1 1
则AF＋FC 的最小值为________．
1
答案 ＋
解析 依题意，把正三棱柱ABC－ABC 的上底面△ABC 与侧面矩形ABBA 放在同一平面
1 1 1 1 1 1 1 1
内，连接AC ，设AC 交AB 于点F，如图，
1 1 1 1
此时点F可使AF＋FC 取最小值，大小为AC ，而∠AAC ＝150°，
1 1 1 1
则AC ＝
1
＝
＝＝＋，
所以AF＋FC 的最小值为＋.
1
15.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品(如图所示)．该工艺品可以
看成是一个球体被一个棱长为4的正方体的6个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心
重合)，其中一个截面圆的周长为3π，则该球的半径为________；现给出定义：球面被平面
所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球
冠的高．如果球面的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积计算公式是S＝2πRh.由此
可知，该实心工艺品的表面积是________．
答案
解析 设截面圆半径为r，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即此距离为 2，
根据截面圆的周长可得3π＝2πr，得r＝，
故R2＝r2＋22＝，得R＝，
所以球的表面积S＝25π.
1
如图，OA＝OB＝，且OO ＝2，
1
则球冠的高h＝R－OO ＝，
1
得所截的一个球冠表面积S＝2πRh＝2π××＝，且截面圆的面积为π×2＝，所以工艺品的表面积为4πR2－6＝25π－＝.
16.(2022·开封模拟)如图，将一块直径为2的半球形石材切割成一个正四棱柱，则正四棱柱
的体积取最大值时，切割掉的废弃石材的体积为________．
答案 2π－4
解析 设正四棱柱的底面正方形边长为a，高为h，则底面正方形的外接圆半径r＝a，
∴h2＋r2＝h2＋a2＝3，
∴a2＝6－2h2，
∴正四棱柱的体积V＝a2h＝(6－2h2)h＝－2h3＋6h(0<h<)，
∴V′＝－6h2＋6＝－6(h＋1)(h－1)，
∴当0<h<1时，V′>0；当1<h<时，V′<0；
∴V＝－2h3＋6h在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，
∴V ＝V(1)＝4，
max
又半球的体积为π×3＝2π，
∴切割掉的废弃石材的体积为2π－4.
