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第 1 讲 空间几何体
[考情分析] 空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考
的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上．
考点一 空间几何体的折展问题
核心提炼
空间几何体的侧面展开图
1．圆柱的侧面展开图是矩形．
2．圆锥的侧面展开图是扇形．
3．圆台的侧面展开图是扇环．
例1 (1)“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊
漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为 40 km，山高为
40 km，B是山坡SA上一点，且AB＝40 km.为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山
观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为( )
A．60 km B．12 km
C．72 km D．12 km
答案 C
解析 该圆锥的母线长为＝160，
所以圆锥的侧面展开图是圆心角为＝的扇形，
如图，展开圆锥的侧面，连接A′B，由两点之间线段最短，知观光公路为图中的A′B，A′B＝＝＝200，
过点S作A′B的垂线，垂足为H，
记点P为A′B上任意一点，连接PS，当上坡时，P到山顶S的距离PS越来越小，当下坡
时，P到山顶S的距离PS越来越大，
则下坡段的公路为图中的HB，
由Rt△SA′B∽Rt△HSB，
得HB＝＝＝72(km)．
(2)(2022·深圳检测)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝，AB＝1，AD＝1，
AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意知，AE＝AD＝AB＝1，BC＝2，
在△ACE中，由余弦定理知，
CE2＝AE2＋AC2－2AE·AC·cos∠CAE
＝1＋3－2×1××＝1，
∴CE＝CF＝1，而BF＝BD＝，BC＝2，
∴在△BCF中，由余弦定理知，
cos∠FCB＝＝＝.
规律方法 空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面
中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边．
跟踪演练1 (1)(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中
正确的是( )A．C∈GH
B．CD与EF是共面直线
C．AB∥EF
D．GH与EF是异面直线
答案 ABD
解析 由图可知，还原正方体后，点C与G重合，
即C∈GH，
又可知CD与EF是平行直线，即CD与EF是共面直线，AB与EF是相交直线(点B与点F
重合)，GH与EF是异面直线，故A，B，D正确，C错误．
(2)如图，在正三棱锥P－ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝30°，PA＝PB＝PC＝2，一只
虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离
是( )
A．3 B．3
C．2 D．2
答案 D
解析 将三棱锥由PA展开，如图所示，则∠APA＝90°，
1
所求最短距离为AA 的长度，∵PA＝2，
1∴由勾股定理可得
AA＝＝2.
1
∴虫子爬行的最短距离为2.
考点二 表面积与体积
核心提炼
1．旋转体的侧面积和表面积
(1)S ＝2πrl，S ＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
圆柱侧 圆柱表
(2)S ＝πrl，S ＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
圆锥侧 圆锥表
(3)S ＝4πR2(R为球的半径)．
球表
2．空间几何体的体积公式
(1)V ＝Sh(S为底面面积，h为高)．
柱
(2)V ＝Sh(S为底面面积，h为高)．
锥
(3)V ＝(S ＋＋S )h(S ，S 为底面面积，h为高)．
台 上 下 上 下
(4)V ＝πR3(R为球的半径)．
球
例2 (1)(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2π，
侧面积分别为S 和S ，体积分别为V 和V 若＝2，则等于( )
甲 乙 甲 乙．
A. B．2 C. D.
答案 C
解析 方法一 因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合＝2，可知甲、乙两个圆锥侧
面展开图的圆心角之比是2∶1.
不妨设两个圆锥的母线长为l＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r ，r ，高分别为h ，
1 2 1
h，
2
则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，
所以2πr＝4π，2πr＝2π，得r＝2，r＝1.
1 2 1 2
由勾股定理得，
h＝＝，h＝＝2，
1 2
所以＝＝＝.
方法二 设两圆锥的母线长为l，甲、乙两圆锥的底面半径分别为r ，r ，高分别为h ，h ，
1 2 1 2
侧面展开图的圆心角分别为n，n，
1 2
则由＝＝＝2，
得＝＝2.由题意知n＋n＝2π，
1 2
所以n＝，n＝，
1 2
所以2πr＝l，2πr＝l，
1 2
得r＝l，r＝l.
1 2
由勾股定理得，h＝＝l，
1
h＝＝l，
2
所以＝＝＝.
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，
AB＝ED＝2FB.记三棱锥E－ACD，F－ABC，F－ACE的体积分别为V，V，V，则( )
1 2 3
A．V＝2V B．V＝V
3 2 3 1
C．V＝V＋V D．2V＝3V
3 1 2 3 1
答案 CD
解析 如图，连接BD交AC于O，连接OE，OF.
设AB＝ED＝2FB＝2，
则AB＝BC＝CD＝AD＝2，
FB＝1.
因为ED⊥平面ABCD，FB∥ED，
所以FB⊥平面ABCD，
所以V＝V ＝S ·ED＝×AD·CD·ED＝××2×2×2＝，
1 E－ACD △ACD
V＝V ＝S ·FB＝×AB·BC·FB＝××2×2×1＝.
2 F－ABC △ABC
因为ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以ED⊥AC，
又AC⊥BD，
且ED∩BD＝D，ED，BD⊂平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF.
因为OE，OF⊂平面BDEF，
所以AC⊥OE，AC⊥OF.易知AC＝BD＝AB＝2，
OB＝OD＝BD＝，
OF＝＝，
OE＝＝，
EF＝
＝＝3，
所以EF2＝OE2＋OF2，所以OF⊥OE.
又OE∩AC＝O，OE，AC⊂平面ACE，
所以OF⊥平面ACE，
所以V＝V ＝S ·OF
3 F－ACE △ACE
＝×AC·OE·OF
＝××2××＝2，
所以V≠2V，V≠V，V＝V＋V,2V＝3V，
3 2 1 3 3 1 2 3 1
所以选项A，B不正确，选项C，D正确．
规律方法 空间几何体的表面积与体积的求法
(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解．
(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，
不熟悉的几何体补成熟悉的几何体．
(3)等体积法：选择合适的底面来求体积．
跟踪演练2 (1)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成
角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为( )
A．80π B．40
C．40π D．40π
答案 C
解析 由圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，
可得sin∠ASB＝＝，
又△SAB的面积为5，
可得SA2sin∠ASB＝5，
即SA2×＝5，可得SA＝4，
由SA与圆锥底面所成角为45°，
可得圆锥的底面半径为×4＝2，
则该圆锥的侧面积为π×2×4＝40π.
(2)(2022·连云港模拟)如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该
圆台的体积是( )A. B.
C. D.
答案 B
解析 如图，设上底面的半径为r，下底面的半径为R，高为h，母线长为l，
则2πr＝π·1,2πR＝π·2，
解得r＝，R＝1，
l＝2－1＝1，
h＝＝＝，
上底面面积S′＝π·2＝，
下底面面积S＝π·12＝π，
则该圆台的体积为(S＋S′＋)h＝
××＝.
考点三 多面体与球
核心提炼
求空间多面体的外接球半径的常用方法
(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或
长方体中去求解；
(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，
找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．
例3 (1)(2022·烟台模拟)如图，三棱锥V－ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC
＝VA＝2，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为( )A．(2－)∶1 B．(2－3)∶1
C．(－1)∶3 D．(－1)∶2
答案 C
解析 因为VA⊥底面ABC，AB，AC⊂底面ABC，
所以VA⊥AB，VA⊥AC，
又因为∠BAC＝90°，
所以AB⊥AC，而AB＝AC＝VA＝2，
所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长、宽、高，因此该三棱锥外
接球的半径
R＝×＝，
设该三棱锥的内切球的半径为r，
因为∠BAC＝90°，
所以BC＝＝＝2，
因为VA⊥AB，VA⊥AC，AB＝AC＝VA＝2，
所以VB＝VC＝＝＝2，
由三棱锥的体积公式可得，
3×××2×2·r＋××2×2×·r＝××2×2×2⇒r＝，
所以r∶R＝∶＝(－1)∶3.
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在
同一球面上，则该球的表面积为( )
A．100π B．128π
C．144π D．192π
答案 A
解析 由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.
设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O ，O ，连接OO(图略)，则OO ＝1，其外接
1 2 1 2 1 2
球的球心O在直线OO 上．
1 2
设球O的半径为R，当球心O在线段OO 上时，R2＝32＋OO＝42＋(1－OO )2，
1 2 1
解得OO ＝4(舍去)；
1
当球心O不在线段OO 上时，R2＝42＋OO＝32＋(1＋OO )2，解得OO ＝3，
1 2 2 2所以R2＝25，
所以该球的表面积为4πR2＝100π.
综上，该球的表面积为100π.
规律方法 (1)求锥体的外接球问题的一般方法是补形法，把锥体补成正方体、长方体等求
解．
(2)求锥体的内切球问题的一般方法是利用等体积法求半径．
跟踪演练3 (1)(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点
均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大．
设圆锥的高为h(00；
当20；
当0；当1
