专题7.3平行线中的折叠问题（强化）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练

专题 7.3 平行线中的折叠问题 1．如图，将纸片 沿 折叠，点 落在点 处，已知 ，则 的度 数等于 A． B． C． D． 【解答】解：由折叠的性质，可知： ， ． ， ， ． 在 中， ， ． 故选： ． 2．如图， ，垂足为 ， 的平分线与 的平分线相交于点 ，将 沿 折叠，使点 落在四边形 内部 的位置，则 的值为 A． B． C． D． 【解答】解： ，， ， ， 的平分线与 的平分线相交于点 ， ， ， ， ， ， 根据折叠的性质得到， ， ， ， ， 故选： ． 3．如图， 是一个三角形的纸片，点 、 分别是 边上的两点，将 沿直 线 折叠，点 落在点 处，则 ， 和 的关系是 A． B． C． D． 【解答】解：由折叠的性质可知， ， ． ， ， ． 在 中， ， ，， ． 故选： ． 4．如图，把 沿 翻折，叠合后的图形如图，若 ， ，则 的度 数是 A． B． C． D． 【解答】解： 沿 翻折， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： ． 5．如图，将矩形纸带 沿直线 折叠， ， 两点分别与 ， 对应．若 ，则 的度数为A． B． C． D． 【解答】解：由翻折的性质可知： ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， 故选： ． 6．如图，将矩形纸条 折叠，折痕为 ，折叠后点 ， 分别落在点 ， 处， 与 交于点 ．已知 ，则 的度数是 A． B． C． D． 【解答】解： 矩形纸条 中， ， ， ， 由折叠可得， ， 故选： ． 7．如图，将 纸片沿 折叠，使点 落在点 处，且 平分 ， 平分 ，若 ，则 的度数为A． B． C． D． 【解答】解：如图，连接 ， 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分 ， 平分 ， 平分 ， ， ， ． 故选： ． 8．如图，将矩形纸片 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处．若 ，则 的大小为A． B． C． D． 【解答】解： 四边形 是矩形， ， ， 由折叠的性质得： ， ， ， ， ， ． 故选： ． 9．如图，把一张长方形纸片 沿 折叠，若 ，则 A． B． C． D． 【解答】解： 长方形纸片 沿 折叠， ， ， ， 四边形 是长方形， ， ． 故选： ． 10．如图， 中， ，沿 折叠 ，使点 恰好落在 边上的点 处，若 ，则 等于A． B． C． D． 【解答】解： 中， ， ， ， 由折叠的性质可得： ， ， 故选： ． 11．如图，在 中，点 ， 分别在边 ， 上，将 沿 折叠至 位 置，点 的对应点为 ．若 ， ，则 的度数为 A． B． C． D． 【解答】解：由题意得， ， ， ， ， ， ， 沿 折叠至 位置， ， 故选： ． 12．如图，将长方形纸片 沿 折叠，使点 ， 分别落在点 ， 处．若 ，则 的度数为A． B． C． D． 【解答】解：由折叠得： ， ， ， 设 ，则有 ， ， ， 解得： ， 则 ． 四边形 是长方形， ， ， ． ． 故选： ． 13．如图，把 沿 对折，折叠后的图形如图所示，若 ， ，则 的度数为 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， ，把 沿 对折， ， ， ， ， 故选： ． 14．如图，把 的一角折叠，若 ，则 A． B． C． D． 【解答】解：如图， 把 的一角折叠， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： ． 15．如图，将 一角沿 折叠， 点落在点 处，若 ，则A． B． C． D． 【解答】解：由题意得： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选： ． 二．解答题（共15小题） 16．一个三角形纸片 沿 折叠，使点 落在点 处．（点 在 的内部） （1）如图1，若 ，则 9 0 ． （2）利用图1，探索 ， 与 之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，把 折叠后， 平分 ， 平分 ，若 ，利 用（2）中得出的结论求 的度数． 【解答】解：（1） 点 沿 折叠落在点 的位置，， ， ， ， 在 中， ， ， 整理得 ； 故答案为：90； （2） ， 理由： 、 是 的两个外角， ， ， ， ， 即 ； （3）由（1） ，得 ， ， 平分 ， 平分 ， ． ， ． 17．如图1， 是一个三角形的纸片，点 、 分别是 边上的两点，沿直线 折叠三角形纸片．（1）如果折成图1的形状，求 与 的关系； （2）如果折成图2的形状，猜想 、 和 的关系，并说明理由； （3）如果折成图3的形状，直接写出 、 和 的关系． 【解答】解：（1）根据折叠的性质可知 ， ， ； （2） ，理由如下： ， ， ， ， △ 是由 沿直线 折叠而得， ， ； （3） ，理由如下： 设 交 于点 ， ， ， ， ， △ 是由 沿直线 折叠而得， ， ． 18．（1）问题发现如图1， ， ，则 ． 由此发现： 与 、 的数量关系是 ． 用语言叙述为：三角形一个外角等于 ． （2）结论运用 如图2， 中， ，沿 折叠 ，使点 恰好落在 边上的点 处． 若 ，求 的度数． 【解答】解：（1） ， ， ． ． 故答案为： ， ，它不相邻的两个内角的和． （2） 沿 折叠得到 ， ． ． ． 19．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 按如图方式折叠放在一起（其中， ， ， （1）①若 ，则 的度数为 ； ②若 ，求 的度数为 ． （2）由（1）猜想 与 的数量关系，并说明理由．（3）现固定 ，将 绕点 旋转，点 永远在直线 上方，使两块三角尺有一 组边互相平行，请直接写出所有满足条件的 的度数． 【解答】解：（1）① ， ， ， ； ② ， ， ， ； （2） ；理由如下： ， ； （3）存在， 当 时， ，理由如下，如图1所示： ， ， ， ； 当 时， ，理由如下，如图2所示：， ， ， 又 ， ； 当 时， ，理由如下，如图3所示： ， ， 又 ， ， ； 当 时， ，理由如下，如图4所示：， ， ， ， ； 当 时， ．理由如下： 延长 交 于 ，如图5所示： ， ， ， ， ， ， ． 20．探究题（1）如图1， 与 有什么关系？为什么？ （2）把图1中 沿 折叠，得到图2，填空： （填“ ”“ ”“ ” ，当 时， ． （ 3 ） 如 图 2 ， 是 由 图 1 的 沿 折 叠 得 到 的 ， 如 果 ， 则 ，猜想： 与 有什么关 系？为什么？ 【解答】解：（1）结论： ． 理由：根据三角形内角是 ， 可知： ， ， ． （2） ， ； 当 时， ； （3） ， 如图，延长 交 的延长线于 ． ， ， ， ， 与 的关系为： ． 故答案为：（2） ， ；（3） ． ．21．在三角形纸片 中，点 ， 分别在边 ， 上，将 沿 折叠，点 落 在点 的位置． （1）如图1，当点 落在边 上时，若 ， ； （2）如图2，当点 落在 内部时，且 ， ，求 的度数； （3）如图3，当点 落在 外部时，请直接写出 与 ， 之间的数量 关系． 【解答】解：（1） ， ， 由折叠得： ， ， ， 故答案为： ； （2） ， ， ， ， 由折叠得： ， ， ， 的度数为 ； （3）如图： 设 ， ，， ， 由折叠得： ， ， ， 与 ， 之间的数量关系： ． 22．（1）如图1，把 沿 折叠，使点 落在点 处，试探索 与 的关 系．（不必证明）． （2）如图2， 平分 ， 平分 ，把 折叠，使点 与点 重合，若 ，求 的度数； （3）如图3，在锐角 中， 于点 ， 于点 ， 、 交于点 ，把 折叠使点 和点 重合，试探索 与 的关系，并证明你的结论． 【解答】解：（1） ； （2）由（1） ，得 ， 平分 ， 平分 ， ，， ； （3） ， ， ， ， ，由（1）知 ， ， ． 23．如图，在折纸活动中，小李制作了一张 的纸片，点 ， 分别在边 ， 上，将 沿着 折叠压平， 与 重合． （1）若 ， ，求 的度数； （2）若 ，求 的度数． 【解答】解：（1） ， ． （2） △ 是 翻折变换而成， ， ， ， ， ， ． 解法二：连接 ．， ， ， ， 24．如图，在 中，点 是 边上的一点， ， ，将 沿 折叠得到 ， 与 交于点 ． （1）填空： 11 0 度； （2）求 的度数． 【解答】解：（1） 沿 折叠得到 ， ， ， ， ； 故答案为110． （2） ， ， ， 沿 折叠得到 ， ， ． 25．如图，将 折叠，使点 落在点 处，折痕为 ． （1）若 ， ，求 ；（2）探究 ， 与 之间的数量关系． 【解答】解：（1） ， ， ， ， 由翻折的性质， ， ， 在 中， ； （2） ， ， 由翻折的性质， ， ， 在 中， ， ， ， 所以， ． 26．【问题探究】 将三角形 纸片沿 折叠，使点 落在点 处 （1）如图1，当点 落在四边形 的边 上时，直接写出 与 之间的数量关系； （2）如图2，当点 落在四边形 的内部时，求证： ； （3）如图3，当点 落在四边形 的外部时，探索 ， ， 之间的数量关系， 并加以证明； 【拓展延伸】 （4）如图4，若把四边形 纸片沿 折叠，使点 、 落在四边形 的内部点 、 的位置，请你探索此时 ， ， ， 之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由． 【解答】解：（1）如图1， ． 理由如下：由折叠知识可得： ； ， ； （2）如图2， ． 理由如下： ， ， ， 由折叠知识可得： ， ； （3）如图3， ， 理由： ， ， ， ， ， ； （4） ， 理由： ， ， ， ， ， ．27．如图，在 中，点 是 边上的一点， ， ，将 沿 折叠得到 ， 与 交于点 ． （1）求 的度数； （2）求 的度数． 【解答】解：（1） 沿 折叠得到 ， ， ， ， ； （2） ， ， ， ， 沿 折叠得到 ， ， ． 28．如图，在折纸活动中，小明制作了一张 的纸片，点 ， 分别在边 ， 上，将 沿着 折叠压平， 与 重合，若 ，求 的度数．【解答】解： △ 是 翻折变换而成， ， ， ， ， ． 解法二：连接 ． ， ， ， ． 29．如图，在 中， 是 边上的一点， ， ，将 沿 折叠得到 ， 与 交于点 ． （1）求 的度数； （2）求 的度数． 【解答】解：（1） 沿 折叠得到 ， ， ， ，； （2） ， ， ， ， 沿 折叠得到 ， ， ． 30．一个四边形的纸片 ，其中 ，把纸片按如图所示折叠，点 落 在 边上的 点， 是折痕． （1）求证： ； （2）如果 ，求 的度数． 【解答】（1）证明：由折叠得： ， ， ； （2）解：根据折叠可得 ， ， ， ，．