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7.3 空间几何体积及表面积（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 柱锥台表面积
【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇
形，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为 ，则 ，解得 ，则该圆锥的表面积为 .
故选：C.
【例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为圆柱的底面半径和高都是 ，所以圆柱的侧面积 .故选：B.
【例1-3】（2022·河南）如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段 ， 为线段 的四等
分点，则该圆台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆台上底面半径为 ，下底面半径为 ，则 ， ，解得： ， ，
圆台上、下底面面积分别为： ， ，
又圆台的侧面积 ， 圆台的表面积 .故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由题意得 ，
解得 ，又 ，则 ， ．故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半
径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为圆台下底面半径为5，球的直径为 ，
所以圆台下底面圆心与球心重合，底面圆的半径为 ，画出轴截面如图，
设圆台上底面圆的半径 ，则
所以球心 到上底面的距离 ，即圆台的高为3，所以母线长 ，
所以 ，故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））在边长为2的菱形 中， ，垂足为点E，
以 所在的直线为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设， ，如下图示：
绕 所在的直线为轴旋转半周，则 与 重合，
所得旋转体为底面直径、母线为2的半圆锥和上下底面直径分别为2、4，母线为2的半圆台组合而成，如
下图示：
所以圆锥表面积为 ，圆台表面积为 ，
则几何体的表面积 .故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在 中， ， ， 是 上的高，沿
把 折起，使 ，若 ，则三棱锥 的表面积为_______．【答案】
【解析】由题意，折起前 是 边上的高，
当 折起后，可得 ， ，
因为 ， ，所以 ，
从而 ，
所以三棱锥 的表面积 .
故答案为： .
考点二 柱锥台的体积
【例2-1】（2022·福建）若圆锥的表面积为 ，圆锥的高与母线长之比 ，则该圆锥的体积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知母线与圆锥底面的夹角的正弦值为 ，故母线与圆锥底面的夹角为 ，
设底面半径为r，圆锥的高为h，母线长为l，则 ① ，
则圆锥的表面积为 ，将①代入，解得 ，圆锥的体积为 ；故选：A.
【例2-2】（2022·江苏南京·高三开学考试）在△ABC中， .则以BC为轴，将
△ABC旋转一周所得的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过A作 交 于点 ，则题中旋转体是以 绕直角边所在直线BC旋转所成的
两个圆锥的组合体.因为 ，
所以 ，所以△ABC的面积为：
，解得： .
所以将△ABC旋转一周所得的几何体的体积为：
故选：C.
【例2-3】（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造
型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出
现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合
体的高约为40cm，上口直径约为28cm，经测量可知圆台的高约为16cm，圆柱的底面直径约为18cm，则
该组合体的体积约为（ ）（其中 的值取3）A．11280cm3 B．12380cm3 C．12680cm3 D．12280cm3
【答案】D
【解析】由题意得圆柱的高约为 （cm），
则何尊的体积 （cm3）故选：D．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（
）
A．56 B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，
在正四棱台 中，点 分别为上、下底面的中心，连接 ，则由题意可知
底面 ， ，过点 作 交 于点 ，则 底面 ，四边形为矩形， ，所以 ，因为 ，所以
，
即正四棱台的高为 ，所以正四棱台的体积为 .
故选：B.
2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模）若圆锥的母线与底面所成的角为 ，底面圆的半径为 ，则
该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆锥的高为h，因为母线与底面所成的角为 ，所以 ，解得 ．
圆锥的体积 ．故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）已知圆柱 的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的
直径， ，则四面体ABCD的体积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】如图所示：
连接 ，因为 ， ，且 ，所以 平面 ，所以 ， ，故选：D
4．（2022·上海闵行·二模）如图，四棱锥 的底面为菱形， 平面 ， 为
棱 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明过程见解析；(2)
【解析】(1)证明：因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为四棱锥 的底面为菱形， ，
所以 为等边三角形，
因为 为棱 的中点
所以 BC，
因为AD∥BC，
所以DE⊥AD，
因为 ，
所以 平面PAD，(2)连接PE，因为 ，从而 ，
，
所以 ，
设点 到平面 的距离为h，
其中由勾股定理得： ，
由三线合一知： ，所以 ，
而 ，解得： ，所以点 到平面 的距离为 .
考点三 球的体积与表面积
【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的体对角线等于
（ ）
A． B．4 C． D． .
【答案】B
【解析】正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为 ，
则 ，解得 ，所以正方体的体对角线等于 ；故选：B
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱体积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设球的半径为 ，则圆柱的底面半径为 ，高为 ，
因为 ，
所以 ．
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）长方体的长，宽，高分别为3， ，1，其顶点都在球O的球面上，则球
O的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】球O的半径为 ，∴体积 ．故选：A
考点四 空间几何的截面
【例4】（2022·贵州贵阳·二模（理））如图所示的几何体是一个正方体挖掉一个圆锥(圆锥的底面圆与正方体的上底面正方形各边相切，顶点在下底面上)，用一个垂直于正方体某个面的平面截该几何体，下列图
形中一定不是其截面图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】用过圆锥的轴且与上底面一组对棱垂直的平面截该儿何体可得A图，用平行于圆锥底面的平面截
该几何体可得C图，用垂直于圆锥底面且不过圆锥的轴的平面截该几何体可得D图，而B图用垂直于正方
体的任何面的平面截都无法得到.故选：B
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）轴截面为正方形的圆柱内接于球，则它们的表面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】轴截面如下图，ABCD为正方形，设圆柱底面圆直径 ，则球直径 ，故圆柱表面
积为 ，球表面积为 ，故它们的表面积之比为 ，
故选：C2．（2022广西）立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.已知正方体
的内切球 的直径为 过球 的一条直径作该正方体的截面，所得的截面面积的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当截面为正方体的对角面时，截面面积最大，
由已知得正方体棱长为 截面面积的最大值为 故选：D
3．（2022·河南·二模（理））如图所示，在长方 中， ，点E是棱
上的一个动点，若平面 交棱 于点F，则四棱锥 的体积为___________，截面四边形
的周长的最小值为___________.
【答案】 20【解析】由题意可得 ，
利用切割法可得
；
将长方体展开，如图所示，
当点 为 与 的交点、点 为 与 的交点时，截面周长最小，
此时截面的周长为 ，
而在 中， ，
所以截面周长的最小值为 .
故答案为：20； .
