文档内容
7.2 空间几何的体积与表面积（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 柱锥台表面积
【例1-1】（2022·青海）以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周 ，所得圆柱
的侧面积为（ ）
A． B． C．32 D．16
【答案】A
【解析】以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，其底面半径 ，
高 ，故其侧面积 ．故选：A
【例1-2】（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆锥 的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于
这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为( )
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】如图，
， ， ，则 ，设 ， ，则 ， ，则 ，
∴圆柱侧面积为： ，当 时取
等号．故选：A．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称
轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该
球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设直角圆锥底面半径为 ，则其侧棱为 ，
所以顶点到底面圆圆心的距离为： ，
所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为 ，
所以 .故选：A.
2．（2022·福建三明·模拟预测）如图所示的建筑物是号称“神州第一圆楼”的福建土楼——二宜楼，其外
形是圆柱形，圆楼直径为73.4m，忽略二宜楼顶部的屋檐，若二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面
直径为40m，高为10 m的圆锥的侧面积的 ，则二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为（ ）
A．16m B．17m C．18m D．19m
【答案】A【解析】底面直径为40m，高为10 m的圆锥的母线长为 ，
所以该圆锥的侧面积为 ，
设二宜楼外层圆柱墙面的高度为 ，则由 ，解得
因为二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为40m，高为10 m的圆锥的侧面积的 ，
所以二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为 ，
故选：A
3．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在
山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径 ，圆
柱体部分的高 ，圆锥体部分的高 ，则这个陀螺的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得圆锥体的母线长为 ，
所以圆锥体的侧面积为 ，
圆柱体的侧面积为 ，圆柱的底面面积为 ，
所以此陀螺的表面积为 （ ），故选：C
考点二 柱锥台的体积
【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长
为2的正三角形， 为球 的直径，且 ，则此棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】解：因为 是边长为 的正三角形，所以 外接圆的半径 ，
所以点 到平面 的距离 ，
为球 的直径，点 到平面 的距离为 ，
此棱锥的体积为 ，
故选：A．
【例2-2】（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为
正方形，直三棱柱的底面是顶角为 ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
【答案】D
【解析】该几何体由直三棱柱 及直三棱柱 组成，作 于M，如图，
因为 ，所以 ，
因为重叠后的底面为正方形，所以 ,
在直棱柱 中， 平面BHC，则 ,
由 可得 平面 ，
设重叠后的EG与 交点为则
则该几何体的体积为 .故选：D.
【例2-3】（2022·湖北·高三阶段练习）已知四面体 中， ，则 体积的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设M为CD的中点，连接AM,BM,
设四面体A-BCD的高为h，则 ,
由于 ，故 ,
则 ,设 ，
则 ,
所以，
当且仅当平面ACD与平面BCD垂直且 即 时取等号，故选：C
【一隅三反】
1．（2022·江苏）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，
体积分别为 和 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ，则 ，所以 ，
又 ，则 ，所以 ，所以甲圆锥的高 ，
乙圆锥的高 ，所以 .故选：C.
2．（2022·广西桂林）一个三棱锥S-ABC的侧棱上各有一个小洞D，E，F，且SD：DA=SE：EB=CF：
FS=3：1，则这个容器最多可盛放原来容器的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，这个容器最多可盛放原来容器的比例为 ，设 到平面 的距
离为 ，则 .又 ，故故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早
系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的
表面上有四个点 ，满足 面ABC， ，若 ，则该“鞠”的体积的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取 中点为 ,过 作 ,且 ,因为 平面ABC,所以 平面 .由于
,故 ,进而可知 ,所以 是球心, 为球的半径.
由 ,又 ,当且仅当 ,等号成立,故此时 ,所以球半径 ,故 ,体积最小值
为 故选:C
4．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 球的体积为 ，所以球的半径 ,
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，则 ， ,
所以 ， 所以正四棱锥的体积 ，
所以 ，当 时， ，当 时， ，
所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，
又 时， ， 时， ,所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .故选：C.
考点三 球的体积与表面积
【例3】（2022·甘肃省武威第一中学）如图，半径为4的球 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，
球的表面积与圆柱的表面积之差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图.
设圆柱底面半径为 ，球的半径与圆柱底面夹角为 ，则 ，
，
圆柱的高 ，
圆柱的侧面积为 ，
当且仅当 时， ，圆柱的侧面积最大，为 ，球的表面积与圆柱的表面积之差为 .故选：D．
【一隅三反】
1．（2022·全国·赣州市第三中学）已知某正三棱锥 的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内
切球的半径为 ，其外接球的体积为 ，那么这个三棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，点 在底面 内的射影点 为等边 的中心，
取线段 的中点 ，连接 ，则 ，易知三棱锥 的外接球球心 在线段 上，
设正三棱锥 的外接球半径为 ，则 ，解得 ，
设正三棱锥 的内切球的半径为 ，则 ，故 ，
平面 ， 平面 ， ，
易知 ，则 ，
所以， ，故 ，所以， ，
由勾股定理可得 ，
所以，正三棱锥 是边长为 的正四面体，
因此，正三棱锥 的表面积为 .
故选：B.
2．（2022·天津·耀华中学二模）一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，圆锥的高为 ，内切球的半径为 ，其轴截面如图所示，设
为内切球球心，
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，
所以 ，得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ∽ ，所以 ,
所以 ，得 ，
所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为
，
故选：A
3．（2022·山东青岛·二模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形
状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形， 平面ABCD， ，其余棱长都为
1，则这个几何体的外接球的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接 , 交于点 ,取 的中点 ，则 平面 ,,取 的中点 ,连接 ,作
,垂足为 ，如图所示
由题意可知， ，所以 ,
所以 , ,所以 ,又 ,
所以 ，即这个几何体的外接球的球心为 ，半径为 ，
所以这个几何体的外接球的体积为 .故选：B.
考点四 空间几何的截面
【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的母线长为2，侧面积为 ，则过顶点的截面面积的
最大值等于（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】D
【解析】由圆锥的母线长为2，侧面积为 ，假设底面圆周长为 ，因此 ，故底面圆周长为 ，底面圆的半径为 .
由于轴截面为腰长为2，底边长为底面圆直径 的等腰三角形，因此轴截面的顶角是 .故当截面为顶
角是 的等腰三角形时面积最大，此时 .故选：D
【例4-2】．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）（多选）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，
圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等 “圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如
图是一个圆柱容球， 为圆柱上下底面的圆心， 为球心，EF为底面圆 的一条直径，若球的半径
，则（ ）
A．球与圆柱的表面积之比为
B．平面DEF截得球的截面面积最小值为
C．四面体CDEF的体积的取值范围为
D．若 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】由球的半径为 ，可知圆柱的底面半径为 ，圆柱的高为 ，则球表面积
为 ，圆柱的表面积 ，
所以球与圆柱的表面积之比为 ，故A错误；
过 作 于 ，则由题可得 ，设 到平面DEF的距离为 ，平面DEF截得球的截面圆的半径为 ，
则 ， ，
所以平面DEF截得球的截面面积最小值为 ，故B正确；
由题可知四面体CDEF的体积等于 ，点 到平面 的距离 ，
又 ，所以 ，故C正确；
由题可知点 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设 在底面的射影为 ，
则 ，
设 ，则 ， ，
所以
，
所以 ，故D正确.故选：BCD.【一隅三反】
1．（2022·江西鹰潭·二模）《算数术》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典
籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一."该术相当于给出了
由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式 .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π
近似取为3.现有一圆锥底面周长为 ，侧面面积为 ，其体积的近似公式为 ，用此π的近似
取值（用分数表示）计算过该圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）
A．15 B． C． D．8
【答案】D
【解析】若圆锥母线长为 ，底面半径为 ，则 ，故 ，
又 ，故 ，
而 ，则 ，可得 ，
所以 ，
若截面顶角 ，当截面为轴截面时 ，此时 ，
又截面面积为 ，故当 时截面面积的最大值为8.
故选：D
2．（2022·河南·方城第一高级中学）某中学开展劳动实习，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的
上底面半径为1，下底面半径为2，要求切割面经过圆台的两条母线且使得切割面的面积最大.若圆台的高
为 ，则切割面的面积为______；若圆台的高为 ，则切割面的面积为______.
【答案】 2
【解析】解法一：如图，将圆台 补成圆锥PO，设圆台 的上、下底面半径分别为r，R，高和母线长分别为h，l，则 .因为等腰梯形ABCD为过两条母线的截面，设 . ，则
，得 ，则 .①若 ，则
， ，当 时，切割面的面积最大，最大面积 ；②若 ，则 ，
，当 时，切割面的面积最大，最大面积 .
解法二：如图，设圆台上底面圆心为 ，下底面圆心为O，过两条母线的截面为四边形 ，可得四
边形 为等腰梯形.设 ，圆台的高 ，取 ，AB的中点分别为 ，D，连
接 ， ，OD，则四边形 为直角梯形，过 作 交OD于点C.因为 ，
，所以 ， ， ， ，所以，所以 .则 .
令 ，因为 ，所以 ，则 ， .①当 时，
，当且仅当 ，即 时， .②当 时，
.令 ，则 ， ，当 时，取最
大值3.此时 .
故答案为：2；
3．（2022·青海·海东市第一中学）已知圆锥的底面直径为 ，过一母线的截面是面积 的等边三角形，
则该圆锥的体积为________．
【答案】
【解析】由题意知：圆锥的底面半径 ；设圆锥的母线长为 ，则 ，解得： ，
圆锥的高 ， 圆锥的体积 .
故答案为： .
