文档内容
第1讲 空间几何体（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................8
【考点一】空间几何体的折展问题..................................................................................................8
【考点二】表面积与体积..............................................................................................................15
【考点三】多面体与球..................................................................................................................22
【专题精练】...............................................................................................................................30
1 / 60
学科网（北京）股份有限公司考情分析：
空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、
填空题的形式考查，难度中等或偏上．
真题自测
一、单选题
1．（2024·天津·高考真题）一个五面体 ．已知 ，且两两之间距离为1．并已知
．则该五面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则
圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）在三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形， ，
则该棱锥的体积为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
4．（2023·全国·高考真题）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形， ，
则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为 ，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，
2 / 60
学科网（北京）股份有限公司，若 的面积等于 ，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·天津·高考真题）在三棱锥 中，点M,N分别在棱PC,PB上，且 ， ，
则三棱锥 和三棱锥 的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中
升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直
径依次为 ，且斛量器的高为 ，则斗量器的高为 ，升量器的高为
．
8．（2024·全国·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为 ,下底面半径均为 ，圆台的母线长分别为
, ，则圆台甲与乙的体积之比为 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C B A C B B
1．C
【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.
【详解】用一个完全相同的五面体 （顶点与五面体 一一对应）与该五面体相嵌，使
得 ； ; 重合，
因为 ，且两两之间距离为1． ，
则形成的新组合体为一个三棱柱，
该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为 ，
.
3 / 60
学科网（北京）股份有限公司故选：C.
2．B
【分析】设圆柱的底面半径为 ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径 的方程，求出解后可求圆锥的
体积.
【详解】设圆柱的底面半径为 ，则圆锥的母线长为 ，
而它们的侧面积相等，所以 即 ，
故 ，故圆锥的体积为 .
故选：B.
3．A
【分析】证明 平面 ，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB得解.
【详解】取 中点 ，连接 ，如图，
是边长为2的等边三角形， ，
，又 平面 ， ，
平面 ，
又 ， ，
故 ，即 ，
所以 ，
故选：A
4 / 60
学科网（北京）股份有限公司4．C
【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得 ， ，从而得到 ，
再在 中利用余弦定理求得 ，从而求得 ，由此在 中利用余弦定理与三角形面
积公式即可得解；
法二：先在 中利用余弦定理求得 ， ，从而求得 ，再利用空间向
量的数量积运算与余弦定理得到关于 的方程组，从而求得 ，由此在 中利用余弦
定理与三角形面积公式即可得解.
【详解】法一：
连结 交于 ，连结 ，则 为 的中点，如图，
因为底面 为正方形， ，所以 ，则 ，
又 ， ，所以 ，则 ，
又 ， ，所以 ，则 ，
在 中， ，
则由余弦定理可得 ，
故 ，则 ，
故在 中， ，
所以 ，
5 / 60
学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，
所以 的面积为 .
法二：
连结 交于 ，连结 ，则 为 的中点，如图，
因为底面 为正方形， ，所以 ，
在 中， ，
则由余弦定理可得 ，故 ，
所以 ，则
，
不妨记 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
则 ，整理得 ①，
又在 中， ，即 ，则
②，
6 / 60
学科网（北京）股份有限公司两式相加得 ，故 ，
故在 中， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 的面积为 .
故选：C.
5．B
【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.
【详解】在 中， ，而 ，取AB中点 ，连接 ，有
，如图，
， ，由 的面积为 ，得
，
解得 ，于是 ，
所以圆锥的体积 .
故选：B
7 / 60
学科网（北京）股份有限公司6．B
【分析】分别过 作 ,垂足分别为 .过 作 平面 ，垂足为 ，连接
,过 作 ,垂足为 .先证 平面 ，则可得到 ，再证 .由三角形相
似得到 ， ，再由 即可求出体积比.
【详解】如图，分别过 作 ,垂足分别为 .过 作 平面 ，垂足为 ，
连接 ,过 作 ,垂足为 .
因为 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 .
又因为平面 平面 ， ， 平面 ，所以 平面 ，且 .
在 中，因为 ，所以 ，所以 ，
在 中，因为 ，所以 ，
所以 .
故选：B
8 / 60
学科网（北京）股份有限公司7． 23 57.5/
【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.
【详解】设升量器的高为 ，斗量器的高为 （单位都是 ），则 ，
故 ， .
故答案为： .
8．
【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可
得解.
【详解】由题可得两个圆台的高分别为 ，
，
所以 .
故答案为： .
考点突破
【考点一】空间几何体的折展问题
核心梳理：
空间几何体的侧面展开图
(1)圆柱的侧面展开图是矩形．
(2)圆锥的侧面展开图是扇形．
(3)圆台的侧面展开图是扇环．
一、单选题
9 / 60
学科网（北京）股份有限公司1．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知矩形ABCD中， ， ，将 沿BD折起至 ，
当 与AD所成角最大时，三棱锥 的体积等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重庆·三模）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴 为圆柱的轴截面对角线，
短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线 展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲
线.若该段正弦曲线是函数 图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为 ，则
的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题
3．（2024·云南昆明·一模）在矩形 中， ， ，以对角线BD为折痕将△ABD进行翻折，
折后为 ，连接 得到三棱锥 ，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥 体积的最大值为 B．点 都在同一球面上
C．点 在某一位置，可使 D．当 时，
4．（22-23高三上·江苏镇江·阶段练习）如图，在四棱锥 的平面展开图中，四边形ABCD为直角
梯形， ， ， .在四棱锥 中，则
（ ）
10 / 60
学科网（北京）股份有限公司A．平面PAD⊥平面PBD
B．AD 平面PBC
C．三棱锥P-ABC的外接球表面积为
D．平面PAD与平面PBC所成的二面角的正弦值为
三、填空题
5．（2023·陕西西安·一模）将平面内等边 与等腰直角 （其中 为斜边），沿公共边 折
叠成直二面角，若 ，且点 在同一球 的球面上，则球 的表面积为 .
6．（20-21高三上·广东·阶段练习）一个圆锥的表面积为 ，其侧面展开图为半圆，当此圆锥的内接圆
柱（圆柱的下底面与圆锥的底面在同一个平面内）的侧面积达到最大值时，该内接圆柱的底面半径为
.
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A B ABD AC
1．A
【分析】
根据异面直线所成角、锥体体积公式等知识求得正确答案.
【详解】因为异面直线所成角的范围是 ，故当 时， 与AD所成角最大，
因为四边形 是矩形，所以 ，
而 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
11 / 60
学科网（北京）股份有限公司在直角三角形 中， ，
而 ，所以 ，
所以 .
故选：A
【点睛】异面直线所成角的范围是 ，当两条直线所成角为 时，两直线平行或重合.求解锥体体积的
问题，可以考虑利用转换定点的方法，然后利用体积公式 来求得三棱锥的体积.
2．B
【分析】由题意可得 且 ，由离心率的概念可得 ，结合勾股定理计算可得 ，进而
求解.
【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数 图象的一部分，
可得 ；设圆柱底面半径为 ，则 ，所以 ，
设椭圆长轴长为 ，短轴长为 ，
因为离心率为 ，得 ，则 ，
即 ，所以 ，得 ，
又由勾股定理得 ，解得 ，
故 .
故选：B.
12 / 60
学科网（北京）股份有限公司3．ABD
【分析】根据锥体体积公式即可求解A，根据直角三角形的性质即可求解B，根据线面垂直得线性垂直即
可求解CD.
【详解】如图所示：分别过 作 ，
对A，当平面 平面 时，三棱锥 的高最大为 ，
三棱锥 体积的最大值为 ，A正确；
对B， ，
的中点为 ，则 ,故 为三棱锥 的外接球球心，B正确；
对C，若存在点 在某一位置，使 ，连接 ，
由于 ， ， 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，
，这与 相矛盾 , 不重合），
不存在点 在某一位置，使 ，C错误；
对D，当 ，又 ， ， 平面 ,
平面 ，又 平面 ，
，又 ， ， ，D正确．
故选：ABD．
4．AC
【分析】由平面图还原立体图,由面面的垂直的判定定理判断选项A，
13 / 60
学科网（北京）股份有限公司建立空间直角坐标系，根据线面平行的空间向量法判定即可判断选项B，
将立体图形想象补充为长方体，即可得到外接球半径，即可判断选项C,
写出对应点的坐标与向量的坐标,计算平面的法向量,利用空间向量夹角计算公式求解，即可判断选项D.
【详解】由四棱锥 的平面展开图还原立体图,
可得 平面 ,
平面 ， ，
底面 为直角梯形， , ,
则以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示直角坐标系，
在直角梯形 中, ,
所以 ,即 ,而上述证明得 ，
又因为 平面 , ,
所以 平面 ,又 平面 ,
所以平面 平面 ,故A正确；
对B选项，由 ，可知 ,则
,
， ，且 平面 ,
平面 ，故 为平面 的一个法向量，
根据底面为梯形，则显然 不垂直 ，则 不平行平面 ，故B错误，
对C选项，将三棱锥补成长为2，宽和高为1的长方体，
则三棱锥 的外接球，即为长方体的外接球，
14 / 60
学科网（北京）股份有限公司其半径 ,
故表面积为 ，故C正确，
由点坐标得 ， ,
设平面 的法向量为 ,
则 ，令 ，则 ，得
所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为
，故其夹角的正弦值为 ，故D错误，
故选：AC.
【点睛】方法点睛：常见的求平面与平面夹角的方法：①定义法，即利用二面角的定义求解面与面夹角；
②空间向量法，建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量的法向量，利用向量夹角的余弦公式来求解面
面夹角的余弦值.
5．
【分析】利用空间几何体的外接球及球体表面积公式计算即可.
【详解】
如图所示取 中点 ，连接 ，
根据题意易知 ，
又 为等腰直角三角形， 为等边三角形，
15 / 60
学科网（北京）股份有限公司所以可知 ，
易知 点在直线 上，设 ，球半径为R，
所以 ，
故外接球 的表面积为 .
故答案为：
6．2
【分析】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，高为 ，由圆锥的侧面展开图为半圆可得 ，根据圆锥
的表面积可得半径,母线和高,设内接圆柱的底面半径为 ，高为 ，由相似可得 ，代入圆柱的
侧面积公式分析可得结果.
【详解】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，高为 ，因为圆锥的侧面展开图为半圆，
所以 ，解得 .
因为圆锥的表面积为 ，所以 ，解得 ， ， .
如图，设内接圆柱的底面半径为 ，高为 ，则 ，所以 ，
内接圆柱的侧面积 ，
当 时， 取最大值.
故答案为：2.
【点睛】本题考查圆锥的表面积和圆柱的侧面积公式，考查圆锥侧面展开图的应用，考查推理能力和计算
16 / 60
学科网（北京）股份有限公司能力，属于基础题.
规律方法：
空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面中两点间的最短距离问题，
注意展开后对应的顶点和边．
【考点二】表面积与体积
核心梳理：
1．旋转体的侧面积和表面积
(1)S ＝2πrl，S ＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
圆柱侧 圆柱表
(2)S ＝πrl，S ＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
圆锥侧 圆锥表
(3)S ＝4πR2(R为球的半径)．
球表
2．空间几何体的体积公式
(1)V ＝Sh(S为底面面积，h为高)．
柱
(2)V ＝Sh(S为底面面积，h为高)．
锥
(3)V ＝(S ＋＋S )h(S ，S 分别为上、下底面面积，h为高)．
台 上 下 上 下
(4)V ＝πR3(R为球的半径)．
球
一、单选题
1．（2024·云南大理·模拟预测）如图，揽月阁位于西安市雁塔南路最高点，承接大明宫、大雁塔，是西安
唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，可近似视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型塔底宽 ，
塔顶宽约 ，侧面面积为 ，据此计算该揽月阁模型体积为（ ）
A．1400 B．2800 C． D．8400
2．（2024·广东·模拟预测）现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，
侧棱长为 ，则该水库的最大蓄水量为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（24-25高三上·广西·阶段练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，
规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面
17 / 60
学科网（北京）股份有限公司角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有 个面角，每个面角均为 ，故其各个顶点的曲率均为
.如图，在正方体 中， ，则（ ）
A．在四面体 中，点 的曲率为
B．在四面体 中，点 的曲率大于
C．四面体 外接球的表面积为
D．四面体 内切球半径的倒数为
4．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，四面体 的底面是以 为斜边的直角三角形， 体
积为 ， 平面 ， ， 为线段 上一动点， 为 中点，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积和三棱锥 的体积相等
18 / 60
学科网（北京）股份有限公司B．当 时，
C．当 时，
D．四面体 的外接球球心为 ，且外接球体积 与 之比的最小值是
三、填空题
5．（2024·安徽池州·模拟预测）如图所示的“升”是我国古代测量粮食的一种容器，从形状上可抽象成一
个正四棱台．现有一个上、下底面边长分别为 和 的“升”，侧棱长为 ，要做成一个该
“升”的几何体，其侧面所需板材的最小面积为 ．
6．（2024·北京·三模）我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则
积不容异．”“势”即是几何体的高，“幂”是截面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积
相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线 的焦点在 轴上，离心率为 ，且过点 ，则
双曲线的渐近线方程为 ．若直线 与 在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分
所示的图形，则该图形绕 轴旋转一周所得几何体的体积为 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 B A ABD ABD
1．B
【分析】设斜高，利用侧面积求出斜高 ，求出棱台的高，利用台体体积公式得到答案.
19 / 60
学科网（北京）股份有限公司【详解】如图，正四棱台底面边长分别为 和 ，侧面积为 ，
设 为斜高，可得 ，解得 ，即 ，
∴棱台的高 ，
∴ ，
棱台的体积为 .
故选：B.
2．A
【分析】根据题意，水库的最大蓄水量等于正四棱台的体积，进而用台体的面积公式即可求解.
【详解】根据题意画出图形，如图所示，其中 且 .
由 ，可得 ，
又 且 ，可得 是长方形，则 ，
所以 ， ，
20 / 60
学科网（北京）股份有限公司则，正四棱台的高 ，下底面的面积 ，上底面的面积 .
于是正四棱台的体积 .
故该水库的最大蓄水量为 .
故选：A.
3．ABD
【分析】根据正方体的性质及四面体的内切球与外切球的半径算法，结合曲率的定义分别计算各选项.
【详解】在正方体 中，易证 为正三角形， ， ，
在四面体 中，点 的曲率为 ，A选项正确；
在正方体 中， ， ，
，在四面体 中，点 的曲率为
，B选项正确；
四面体 外接球的半径即为正方体 外接球的半径为 ，
四面体 外接球的表面积为 ，C选项错误；
四面体 的体积 ，
四面体 的表面积 ，
四面体内切球的半径 ，
21 / 60
学科网（北京）股份有限公司即 ，D选项正确；
故选：ABD.
4．ABD
【分析】根据锥体体积的计算公式可得两个三棱锥高和底面积相等，即A正确；利用线面垂直判定定理以
及面面垂直的性质定理可证明 平面 ，可判断B正确；当 与 重合，可知 ，这与
矛盾，因此C不成立；利用三棱锥性质可求得外接球球心为 的位置及其半径与三棱锥棱长的关
系即可求得 与 之比的最小值.
【详解】对于A，因为 为 中点，则 ，而两个三棱锥高相等，故体积相等，A正确；
对于B，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
故 平面 ， 平面 ，故平面 平面 ，
过 作 ，垂足为 ，如下图所示：
因为面 平面 ， 平面 ，故 面 ，
而 面 ，故 ，若 ，
则 ，而 平面 ，故 平面 ，
又 平面 ，故 ，故B正确.
对于C，若 与 不重合，由 平面 ， 平面 ，可得 ；
22 / 60
学科网（北京）股份有限公司又 是以 为斜边的直角三角形可知 ，
又 , 平面 ，所以 平面 ,
又 平面 ，所以 ，
当 时， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
可得 ，
但若 与 重合，由于 ，若 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，故 ，这与 矛盾，所以 不成立，
故 与 重合，满足 ，但此时 不成立，故C错误；
对于D，由 平面 ， 平面 ，故 ，
故 ， 为外接球球心，且 ， ，
又 ， 可以在以 中点为圆心， 为半径的圆上运动，
到 的距离为 ，
当且仅当 时等号成立，
故 到 的距离最大为 ，此时 ，
故 ，D正确，
故选：ABD.
5．
【分析】根据棱台的几何性质确定斜高，再根据侧面性质确定面积即可.
【详解】
如图，由题意知该“升”的各侧面为上底、下底长分别为 ，腰长为 的等
腰梯形，
23 / 60
学科网（北京）股份有限公司取 中点为 ，
所以其侧面的高为 ．
若将各侧面展开，可拼接成一个一条边长为 ，另一条边长为 的平行四边形，
该平行四边形的高为 ，所以所求面积为 ．
故答案为： .
6．
【分析】根据离心率及双曲线过点 求出 、 ，即可得到双曲线方程与渐近线方程，求出
与双曲线及渐近线（ ）在第一象限的交点横坐标，即可求出阴影部分绕 轴旋转一周所
得几何体被任意水平平面所截的截面面积，再由祖暅原理计算可得.
【详解】 双曲线 的离心率 ， ， ， ；
双曲线的方程为 ，又双曲线过点 ，即 ，解得 ，则 ，
双曲线方程为 ，则双曲线的渐近线方程为 ；
因为 与双曲线 在第一象限的交点为 且 ；
与渐近线 在第一象限的交点为 且 ；
所以阴影部分绕 轴旋转一周所得几何体被任意水平平面所截，
其截面面积为 ；
24 / 60
学科网（北京）股份有限公司所以由祖暅原理可知：该阴影图形绕 轴旋转一周所得几何体的体积与底面半径为 高为 的圆柱体积相等，
即它绕 轴旋转一圈所得几何体的体积为 ．
故答案为： ， ．
【点睛】关键点点睛：本题关键是求出阴影部分绕 轴旋转一周所得几何体被任意水平平面所截，其截面
面积.
规律方法：
空间几何体的表面积与体积的求法
(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解．
(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体
补成熟悉的几何体．
(3)等体积法：选择合适的底面来求体积．
【考点三】多面体与球
核心梳理：
求空间多面体的外接球半径的常用方法
(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则
球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可．
一、单选题
1．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）如图甲，在边长为2的正方形 中， 分别是 的中
点，将 分别沿 折起，使得 三点重合于点 ，如图乙，若三棱锥
的所有顶点均在球 的球面上，则球 的体积为（ ）
25 / 60
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（2024·福建·模拟预测）已知正四棱台下底面边长为 ，若内切球的体积为 ，则其外接球表面积
是（ ）
A．49π B．56π C．65π D．130π
二、多选题
3．（2024·湖南郴州·模拟预测）在正三棱台 中， ， ，且等腰梯形所在的侧面与底
面 所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有（ ）
A．正三棱台 的高为
B．正三棱台 的体积为
C． 与平面 所成角的正切值为1
D．正三棱台 外接球的表面积为
4．（2024·广东广州·模拟预测）在圆锥 中，母线 ，底面圆的半径为r，圆锥 的侧面积为 ，
则（ ）
A．当 时，圆锥 内接圆柱体的体积最大值为
B．当 时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为
C．当 时，圆锥 能在棱长为4的正四面体内任意转动
D．当 时，棱长为1的正四面体能在圆锥 内任意转动
三、填空题
5．（2024·湖南邵阳·三模）在四面体 中， 是边长为 的等边三角形， ，
， ，点 在棱 上，且 ，过点 作四面体 的外接球 的截面，则所
得截面圆的面积最小值与球 的表面积之比为 ．
6．（2025·广东·模拟预测）已知球O是某圆锥内可放入的最大的球，其半径为该圆锥底面半径的一半，则
该圆锥的体积与球O的体积之比为 ．
26 / 60
学科网（北京）股份有限公司参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A C BCD AD
1．A
【分析】运用补形法，结合长方体外接球问题计算.
【详解】根据题意可得 ，且 1， ，
所以三棱锥 可补成一个长方体，三棱锥 的外接球即为长方体的外接球，
如图所示，设长方体的外接球的半径为 ，可得 ，所以 ，
所以外接球的体积为 .
故选：A.
2．C
【分析】作出正四棱台及其内切球的轴截面，求出正四棱台的上底面边长，再求出外接球半径即可得解.
【详解】正四棱台 下底面边长 ，设其内接球半径为 ，则 ，解得
，
取 的中点 ，则四边形 内切圆是正四棱台内接球的截面大圆，
27 / 60
学科网（北京）股份有限公司则四边形 是等腰梯形， ，而 ，
，整理得 ，而 ，则 ，
设 为正四棱台 外接球球心， 为该球半径，则 ，
令 分别为正四棱台 上下底面的中心，则 ， ，
， ，
当球心 在线段 时， ，解得 ，球 的表面积为 ；
当球心 在线段 的延长线时， ，无解，
所以所求外接球表面积是 .
故选：C
3．BCD
【分析】将正棱台补全为一个正棱锥 ，结合正棱台、正棱锥的结构特征求台体的高、体积及侧棱
与底面夹角正切值，由确定棱台外接球球心位置，建立等量关系求半径，进而求外接球表面积.
【详解】将正棱台补全为一个正棱锥 ，如下图示，
其中 分别为上下底面的中心， 为 的中点，
易知 ，则 为等腰梯形所在的侧面与底面 所成夹角，
所以 ，而 ，则 ，
根据棱台上下底面相似，知 ，即 ，故 ，A错；
28 / 60
学科网（北京）股份有限公司由 ， ，
所以 ，B对；
由图知： 为 与平面 所成角，则 ，C对；
若 为正三棱台 外接球的球心，则其半径 ，即 ，
令 ，则 ，可得 ，
所以 ，故外接球表面积为 ，D对.
故选：BCD
4．AD
【分析】对于A，先根据几何体特征算出圆锥 内接圆柱体的体积表达式，然后构造函数
，利用导数即可求解；对于B，当 时， ，求出圆锥的轴截面顶
角，进一步即可验算；对于C，分别算出圆锥 外接球半径以及正四面体内切球半径，比较大小即可判断；
对于D，分别算出正四面体外接球半径以及圆锥 内切球半径，比较大小即可判断.
【详解】由已知圆锥 的侧面积为 ，即 ，
A选项：当 时， ， ，
此时圆锥的轴截面 、圆锥 内接圆柱体的轴截面 如图所示，
29 / 60
学科网（北京）股份有限公司设 ，则由相似三角形性质有 ，
设
，
令 ，
当 时，f'(x)>0，所以 在 上单调递增，
当 时，f'(x)<0，所以 在 上单调递增，
所以当 时， 有最大值，且它的最大值为 ，
所以 ，故A正确；
B选项：当 时， ，此时圆锥的轴截面如图所示，
，所以 为钝角，
令 ， 是圆锥 的底面圆周上任意的不同两点，则 ，
30 / 60
学科网（北京）股份有限公司所以 ，当且仅当 时，取等号，故B错误；
C选项：当 时， ，高 ，
设圆锥 的外接球球心为 ，圆锥 的外接球半径为 ，
所以 ，
棱长为4的正四面体 可以补成正方体 ，如图所示，
则正方体的棱长 ，
正四面体 的体积为 ，
正四面体 的表面积为 ，
设正四面体 的内切球半径为 ，
则由等体积法可知 ，
注意到 ，
所以圆锥 不能在棱长为4的正四面体内任意转动，故C错误；
D选项：棱长为1的正四面体 可以补成正方体 ，如图所示，
31 / 60
学科网（北京）股份有限公司则正方体的棱长 ，
所以正方体的外接球即正四面体的外接球，
直径为 ，半径为 ，
当 时， ，高 ，
圆锥 的内切球球心在线段 上，圆锥的轴截面截内切球的大圆，即圆锥轴截面的内切圆，
设内切圆半径为 ，由三角形面积得 ，解得 ，
所以棱长为1的正四面体能在圆锥 内任意转动，故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：判断A选项的关键在于求出圆柱体积表达式，利用导数这一有利工具，由此即可顺
利得解.
5． /1：8
【分析】先根据勾股定理逆定理得到 ，再根据直角三角形中线性质找出外接球的球心，
再结合球的截面距离分析，要所得的截面圆中面积最小，只需截面圆半径最小，只需球心到截面的距离
最大即可．
【详解】
32 / 60
学科网（北京）股份有限公司由题意知， ，
由勾股定理可知， ，
所以 ，
取 的中点 ，所以 ，
所以四面体 的外接球 在斜边 的中点处，
四面体 的外接球 的半径 ，
根据题意可知，过点 作球 的截面，若要所得的截面圆中面积最小，
只需截面圆半径最小，设球 到截面的距离 ，只需球心到截面的距离 最大即可，
而当且仅当 与截面垂直时，球心到截面的距离 最大，即 ，
取 的中点 ，易知 为等腰三角形，
，所以 ，
所以截面圆的半径为 ，
所以截面圆的面积为 ，球 的表面积为 ，
所得截面圆的面积最小值与球 的表面积之比为
故答案为： ．
6． /
【分析】根据题意作出相应的截面图形，设 ，利用勾股定理，用 表示 ，结合圆锥体积和球的
体积公式即可求解.
33 / 60
学科网（北京）股份有限公司【详解】球O是某圆锥内可放入的最大的球，则该球为圆锥的内切球，
截面如图所示：设球 的半径为 ，则圆锥底面半径为 ，
可得在 中， ， ，
设 ，由勾股定理得 ，
，即 ，
化简得 ，即 ，
，则 ，即 ，
则圆锥体积为 ，
球 的体积为 ，
所以圆锥的体积与球O的体积之比为 .
故答案为： .
规律方法：
(1)求锥体的外接球问题的一般方法是补形法，把锥体补成正方体、长方体等求解．
(2)求锥体的内切球问题的一般方法是利用等体积法求半径．
专题精练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某
34 / 60
学科网（北京）股份有限公司条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路
径长为（ ）
A． B．6 C． D．
2．（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱 中， ， ，点P在四边形
内（含边界）运动，当 时，点P的轨迹长度为 ，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．4 B． C． D．
3．（2024·江苏徐州·模拟预测）圆柱与圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则圆锥内
切球半径为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·黑龙江大庆·一模）已知圆台的上､下底面半径分别为1和3，母线长为 ，则圆台的体积为
（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·天津·期中）冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”.通常以木镟之，
大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知 分别是
35 / 60
学科网（北京）股份有限公司上、下底面圆的圆心， ，底面圆的半径为 ，则该陀螺的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山东泰安·模拟预测）鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结
构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁
的两个相对三角形面间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·贵州遵义·模拟预测）在矩形 中， ， ， 为 的中点，将 和
分别沿 ， 折起，使点 与点 重合，记为点 ，若三棱锥 的四个顶点都在球 的球
面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）半径为4的实心球 与半径为2的实心球 体积之差的绝对值为
（ ）
36 / 60
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
A B C D
1 1 1 1
9．（2024·山东·模拟预测）如图，有一个棱台形的容器 （上底面 无盖），其四条
侧棱均相等，底面为矩形， ，容器的深度为 ，容器壁的厚度忽略不计，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．该四棱台的侧面积为
C．若将一个半径为 的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面
D．若一只蚂蚁从点 出发沿着容器外壁爬到点 ，则其爬行的最短路程为
10．（21-22高二下·浙江绍兴·期末）在正方体 中，点 满足 ，其中
， ，则（ ）
A．当 时， 平面
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时， 的面积为定值
D．当 时，直线 与 所成角的范围为
11．（2024·江苏南京·二模）在棱长为1的正方体 中， 、 分别为 、 的中点，点
37 / 60
学科网（北京）股份有限公司满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则三棱锥 外接球的表面积为
B．若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
C．若 ，则 面积的最小值为
D．若存在实数 使得 ，则 的最小值为
三、填空题
12．（2025·江苏南通·一模）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则
该圆柱的侧面积为 ．
13．（2024·江苏苏州·一模）已知直三棱柱 外接球的直径为6，且 ， ，则该棱
柱体积的最大值为 ．
14．（2024·江西九江·二模）将两个观赏球体封闭在一个正方体容器内，设正方体棱长为1，则两个球体体
积之和的最大值为 ．
四、解答题
15．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把
折起，使点D到达点P的位置，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的表面积
16．（2022·陕西榆林·模拟预测）如图，已知三棱柱 中， ， 平面 ，
38 / 60
学科网（北京）股份有限公司，M为 边上的动点．
(1)当 时，求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
17．（2024·上海·模拟预测）设一个简单几何体的表面积为 ，体积为 ，定义系数 ，已知球体对
应的系数为 ，定义 为一个几何体的“球形比例系数”.
(1)计算正方体和正四面体的“球形比例系数”；
(2)求圆柱体的“球形比例系数”范围；
(3)是否存在“球形比例系数”为0.75的简单几何体？若存在，请描述该几何体的基本特征；若不存在，说
明理由.
18．（2024·河南信阳·模拟预测）长方体 中， .
(1)过E、B作一个截面，使得该截面平分长方体的表面积和体积.写出作图过程及其理由.
(2)记（1）中截面为 ，若 与（1）中过 点的长方体的三个表面成二面角分别为 ，求
39 / 60
学科网（北京）股份有限公司的值.
19．（2022·福建宁德·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， 为棱 上一点．
(1)若 是 的中点，求证：直线 平面 ；
(2)若 ，且二面角 的平面角的余弦值为 ，求三棱锥 的体积
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C A B C B A BD ABD
题号 11
答案 AD
1．A
【分析】利用侧面展开结合图形求解最短距离.
【详解】P为圆台母线AB的中点， 分别为上下底面的圆心，把圆台扩成圆锥，如图所示，
则 ， ， ，
由 ，有 ， ， ，
圆锥底面半径 ，底面圆的周长为 ，母线长 ，
40 / 60
学科网（北京）股份有限公司所以侧面展开图的扇形的圆心角为 ，即 ，如图所示，
质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则运动的最短路径为展开图弦 ，
， ，有 .
故选：A
2．C
【分析】由题意得 ，其中 ，从而根据题意列方程可求得 ，根据棱柱
表面积公式即可求解.
【详解】
设 ，因为 ，所以由棱柱的性质可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
点P在四边形 内（含边界）运动，当 时，
41 / 60
学科网（北京）股份有限公司，这意味着点 是在以 为圆心 为半径的圆弧上运动，
该圆弧弧长是 圆周周长，由题意 ，解得 ，
所以该三棱柱的表面积为 .
故选：C.
3．C
【分析】由等面积法先求出圆锥底面圆的半径，再由等面积法求出圆锥轴截面内切圆的半径即可得解.
【详解】若圆柱与圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，
则 ，其中 为圆锥底面圆的半径，
根据对称性，圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆的半径，
设内切圆圆心为点 ，圆锥底面圆心为点 ， 为圆锥的母线，
设 ，由题意 ，
由等面积法有 .
故选：C.
4．A
【分析】首先利用勾股定理求出圆台的高，再由台体的体积公式计算可得.
【详解】因为圆台的上､下底面半径分别为1和3，母线长为 ，
所以圆台的高 ，
所以圆台的体积 .
42 / 60
学科网（北京）股份有限公司故选：A
5．B
【分析】先利用已知条件底面圆的半径，以及 ，求得圆柱母线长以及圆锥的母线长，再利
用圆柱和圆锥的表面积公式求解即可.
【详解】由底面圆的半径为 ，得底面圆的面积为 ，
又知 ，则
得圆柱的高 等于母线长，且圆柱的母线长为 ，
已知圆锥的高 为 ，圆的半径为 ，则圆锥的母线长为： ，
则陀螺的表面积为： ；
故选：B.
6．C
【分析】该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，由等体积转化得出
截去的三棱锥的高，由体对角线减去该高，计算即可.
【详解】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，如图
所示，由题意可知： ，所以 .
故该正方体的棱长为 ，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为 ，
则该小三棱锥几何体的体积为 ，
所以该三棱锥的顶点D到面ABC的距离 .
易知鲁班锁两个相对的三角形面平行，且正方体的体对角线MD垂直于该两面，故该两面的距离
43 / 60
学科网（北京）股份有限公司.
故选：C
7．B
【分析】首先判断 两两互相垂直，再补体成为长方体，利用长方体和四棱锥 是同一个
外接球，即可求半径，求球的表面积.
【详解】依题意， ， ， ， 平面 ，
则 平面 ，
， ，即有 ，则 ，
由此可将三棱锥 补成以 为相邻三条棱的长方体，
若三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，则该长方体的各顶点亦在球 的球面上，
设球 的半径为 ，则该长方体的体对角线长为 ，
所以球 的表面积 .
故选：B
8．A
【分析】先由已知条件和球的体积公式分别直接计算出实心球 和实心球 的体积，再用大实心球体积减
去小实心球体积即可得解.
【详解】由题意可知实心球 体积为 ，实心球 体积为 ，
所以实心球 与实心球 体积之差的绝对值为 .
故选：A.
9．BD
【分析】由勾股定理即可判断A，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B，做出轴截面图形代入计算，
即可判断C，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D
44 / 60
学科网（北京）股份有限公司【详解】
对于A，由题意可得 ，故A错误；
对于B，梯形 的高为 ，
所以梯形 的面积为 ，
梯形 的高为 ，
所以梯形 的面积为 ，
故该四棱台的侧面积为 ，故B正确；
对于C，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，
球恰好与面 、面 、面 均相切，
过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，
较长的底边上的底角的正切值为 ，则 ，
由于 互补，故 ，
45 / 60
学科网（北京）股份有限公司则 ，所以 （负值舍），从而球的半径为 ，
所以将半径为 的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C错误；
对于D，将平面 与平面 展开至同一平面，
如图（2），则 ，
将平面 与平面 展开至同一平面，如图（3），
则 ，
所以最短路程为 ，故D正确．
故选：BD
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体
侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.
10．ABD
【分析】对于A选项，确定 点在面对角线 上，通过证明面面平行，得线面平行；对于B选项，确定
点在棱 上，由等体积法，说明三棱锥 的体积为定值；对于C选项，确定 点在棱 上，
的底 不变，高 随点 的变化而变化；对于D选项，通过平移直线 ，找到异面直线 与
所成的角，在正 中，确定其范围.
【详解】对于A选项，如下图，当 时， 点在面对角线 上运动，
又 平面 ，所以 平面 ，
46 / 60
学科网（北京）股份有限公司在正方体 中， 且 ，则四边形 为平行四边形，
所以， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
同理可证 平面 ，
，所以，平面 平面 ，
平面 ，所以， 平面 ，A正确；
对于B选项，当 时，如下图， 点在棱 上运动，
三棱锥 的体积 为定值，B正确；
对于C选项，当 时，如图， 点在棱 上运动，过 作 于 点，
则 ，其大小随着 的变化而变化，C错误；
47 / 60
学科网（北京）股份有限公司对于D选项，如图所示，当 时， ， ， 三点共线，
因为 且 ,所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 或其补角是直线 与 所成角，
在正 中， 的取值范围为 ，D正确.
故选：ABD.
11．AD
【分析】根据长方体的外接球即可求解A，建立空间直角坐标系，即可根据向量的坐标运算，结合模长公
式以及夹角公式即可求解BD，根据线面垂直的性质可得 在线段 上运动， ，即可根据面积公
式求解.
【详解】A：由题意， 与 重合，
故三棱锥 的外接球与以 为长宽高的长方体的外接球相同，
48 / 60
学科网（北京）股份有限公司故半径 ，表面积为 ，故 对；
B：以 为原点建系， ， ， ， ， ，
由 ，所以 ，
， ， ，故B错；
C：由 得， 在线段 上运动，设 在底面 的投影为 ，连接 ，
由于 ，所以 ，故 ，
连接 相交于 ，连接 ，
，当 重合时取等号，故C错；
D：由
得 ， ， ， ，
由 可得 ，
49 / 60
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ， ，
当 时， ，故D正确.
故选：AD.
12．
【分析】根据圆柱与球体的位置关系及球的对称性求圆柱底面半径，再由圆柱侧面积的求法求结果.
【详解】由题设，已知球为圆柱的外接球，且球体半径 ，圆柱高为 ，
根据球的对称性，圆柱底面半径为 ，
则圆柱侧面积 .
故答案为：
13．16
【分析】将直三棱柱 外补全成长方体，从而可得直三棱柱 外接球的直径即为该
长方体的对角线 ，从而可得 ，再根据重要不等式，即可求解．
【详解】如图，将直三棱柱 外补全成长方体 ，
则直三棱柱 外接球的直径即为该长方体的对角线 ，
设 ， ，则 ， ，
50 / 60
学科网（北京）股份有限公司直三棱柱 的体积为 ，
当且仅当 时，等号成立，
该棱柱体积的最大值为16．
故答案为：16．
14．
【分析】设两个球 ， 的半径分别为 ， ，得到两圆与对角面 相切，且与正方体三
个面相切时，体积和最大，根据题意，求得 的取值范围，利用球的体积公式，结合二次函数的性质，即
可求解.
【详解】如图所示，为正方体 的对角面 ，
设两个球 ， 的半径分别为 ， ，
当两圆与对角面 相切，且与正方体三个面相切时，体积和最大，
所以 ，可得 ，所以 ，
由题意知 ， ，且 ，故 ，
所以体积 ，
当 时， 最大，此时 ，最大值为 .
故答案为： .
51 / 60
学科网（北京）股份有限公司【点睛】解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其
解题思维流程：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等
且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这
些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径：根据作出截面中的几何元素，利用球的截面的性质，运用公式 （ 为底面多边形
的外接圆的半径， 为几何体的外接球的半径， 表示球心到底面的距离）求得球的半径，建立关于球半
径的方程，进行求解，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问
题来研究.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求出各边，由勾股定理逆定理求出 ，结合 得到线面垂直；
（2）求出各边长，利用三角形面积公式得到各三角形面积，相加得到表面积.
【详解】（1）由题可知 ，
， ，
， ，
为等边三角形，
，
，
．
， 平面 ，
平面 ．
（2）由（1）得 ， ， ，
，
由三角形面积公式得 ，
52 / 60
学科网（北京）股份有限公司，
三棱锥 的表面积
．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由 平面 ，可得 ，由 ， ，可得 ，即可证得
平面 ；
（2）由已知可得点C到平面 距离为 ，又当M点在 上运动时， 的面积是
定值，由三棱锥体积公式，即可求得三棱锥 的体积．
【详解】（1） 平面 ，
又 平面 ， ，
， ， ，
又 ， 平面 ，
平面 ．
（2） ， ，
，
则点C到平面 距离为 ，
在三棱柱 中， 平面 ，
则四边形 为矩形，
53 / 60
学科网（北京）股份有限公司当M点在 上运动时， 的面积是定值，
又 ，
，
．
17．(1)正方体“球形比例系数” ，正四面体的“球形比例系数” .
(2)
(3)存在，该题答案不唯一，比如该几何体由圆柱和一个半球组合而成，
底面半径相同，圆柱的高约为半径的1.95倍.
【分析】（1）利用球的的表面积公式和体积公式即可得到 ，再利用正方体和正四面体的表面积和体积
公式计算出 即可；
（2）计算得 ，再利用比值换元法结合导数即可得到其值域；
（3）考虑圆柱和半球的组合体，底面重合，半径为 ，圆柱的高为 ，首先计算得 ，再有得
，利用计算器即可得到 ，即可得到答案.
【详解】（1）设球的半径为 ，正方体的棱长为 ，正四面体的棱长为 ，
则 ，正方体的系数为 ，
54 / 60
学科网（北京）股份有限公司正四面体的表面积为 ，
如图，设 为正三角形 的中心，连接 ，
连接 ，设正四面体的棱长为 ，则 ，
故 ．则其体积为 ，
则正四面体的系数为
所以，正方体“球形比例系数” ，
正四面体的“球形比例系数” .
（2）设圆柱底面半径为 ，高为 ，则全面积为 ，体积为 ，
于是 ，设 ，
则 ，当 时， ；当 时， ；
即 时， 单调递减； 时， 单调递增.
即 时，圆柱体的系数最小为 ，
55 / 60
学科网（北京）股份有限公司所以，圆柱体的球形比例系数的值域为 .
（3）考虑圆柱和半球的组合体，底面重合，半径为 ，圆柱的高为 ，
于是组合体的全面积 ，体积
，
，而 ，当 时， ，
注：上海试卷可以使用计算器.
故存在球形比例系数为 的几何体，其由圆柱和一个半球组合而成，
底面半径相同，圆柱的高约为半径的1.95倍.
18．(1)详情见解析
(2)1
【分析】（1）连接 ，取 中点 ，则 与 可确定一个平面，该平面即为所求,可证得四边形
为平行四边形,计算体积和表面积可证得该截面平分长方体的表面积和体积；
（2）易知 两两垂直,以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，设平面 、平面
、平面 的法向量分别为 ，平面 法向量为 ，利用向量法计算即可求得
的值.
【详解】（1）连接 ，取 中点 ，则 与 可确定一个平面，该平面即为所求.
连接 ,取点 使得 .连接 ， ,则所作截面为平面 .
理由：连接 , ,
56 / 60
学科网（北京）股份有限公司, （长方体性质）
∴四边形 为平行四边形，
又 为 中点（长方体性质）
∴ 为 中点， 四点共面，
A B C D A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1
∵面 面 ,面 面 ,面 面 ，
所以 ，同理可证得 .
∴四边形 为平行四边形,
取 ,设长方体左半部分几何体体积为 ,表面和为 ,
因为 ，设 ，
所以 ， ，
,
综上，平面 符合题意
57 / 60
学科网（北京）股份有限公司（2）易知 两两垂直,以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
由题 ， 令 ，则有 ,则
，
设平面 、平面 、平面 的法向量分别为 由长方体性质可知
设平面 法向量为⃗n=(x,y,z)
则有 ，即 ，令 ，则 ，∴
则
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先取 的中点 ，连接 ，再由平行四边形即可证明线线平行，进而证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量由二面角 的平面角的余弦值求出 的位置，即可由体
积公式求解．
【详解】（1）证明：取 的中点 ，连 ， ，
为 的中点， 且 ，
又 ，且 ，
， ，
58 / 60
学科网（北京）股份有限公司所以四边形 为平行四边形，
，
又 平面 ， 平面 ，
故直线 平面 ．
（2）以 为坐标原点，以 ， ， 所在射线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，如图
所示，
则 ， ， ， ，
设 ，则 ， ，
在棱 上， 可设 ，
故 ，解得 ，即 ，
易知平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量 ， ， ，
，即 ，
即 ，
取 ，则 ， ，
故 ，
59 / 60
学科网（北京）股份有限公司因为二面角 的平面角的余弦值为 ，
所以 ，即 ，
即 ，
，解得 ，
故 是 的中点，
因此
60 / 60
学科网（北京）股份有限公司
