专题19空间几何体(解析版)_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_2023年新高考数学知识点总结与题型精练（新高考地区专用）

专题 19 空间几何体 【考纲要求】 1、通过考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算。 2、通过考查几何体体积和表面积的计算，考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算。 一、空间几何体 【思维导图】 【考点总结】 一、多面体的结构特征 多面体 结构特征 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等 棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分 二、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 旋转 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形 图形 任一边所在的直 任一直角边所在 垂直于底边的腰 旋转轴 直径所在的直线 线 的直线 所在的直线 互相平行且相 母线 相交于一点 延长线交于一点 等，垂直于底面 全等的等腰三角 轴截面 全等的矩形 全等的等腰梯形 圆 形 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 三、简单组合体 简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体． 二、空间几何体的表面积和体积 【思维导图】 【考点总结】 一、几何体的表面积 S 2rl 圆柱的侧面积 S 2r(rl) 圆柱的表面积 S rl 圆锥的侧面积 S r(rl) 圆锥的表面积 S (rr)l 圆台的侧面积 S (r2 r2 rlrl) 圆台的表面积 S 4R2 球体的表面积 柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之 和. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积. 二、几何体的体积 V r2h 圆柱的体积 1 V  r2h 圆锥的体积 3 1 V  h(r2 r2 rr) 圆台的体积 3 4 V  R3 球体的体积 3 V a3 正方体的体积 V abc 正方体的体积 三、常用结论 多面体的内切球与外接球常用的结论(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝ ，外接球半径R＝ . (2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝ . (3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝ ，内切球半径r＝ H＝ ，外接球半径R＝ H＝ . 【题型汇编】 题型一：空间几何体的结构 题型二：空间几何体的表面积与体积 【题型讲解】 题型一：空间几何体的结构 一、单选题 1．（2022·河南开封·三模（文））已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线 长为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据弧长公式可求出结果. 【详解】 依题意可知，半圆的弧长为 ，圆心角的弧度数为 ， 由弧长公式可得该圆锥的母线长为 . 故选：C 2．（2022·河北秦皇岛·二模）如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别是 ， 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 应用等体积法求 到平面 的距离，结合 的长，即可求直线 与平面 所成角的正弦值. 【详解】 由题设， 且 到平面 的距离为 . 又 ， ，故 到 上高为 ，所以 . 设 到平面 的距离为 ，由 得： ，解得 ， 故直线 与平面 所成角的正弦值为 . 故选：D 3．（2022·新疆·一模（理））斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波 那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆 弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵， 鹦鹉螺等．如图为该螺旋线的前一部分，若用接下来的一段圆弧所对应的扇形作圆锥的侧面，则该圆锥的 母线与底面所形成角的余弦值为（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，可得圆锥的母线长及底面半径，即求． 【详解】 由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， 即接下来的圆弧对应的圆面半径是 ， 圆锥的母线长为13， 对应的弧长是 ， 设圆锥底面半径为 ，则 ，解得 ， 所以该圆锥的母线与底面所形成角的余弦值为 . 故选：D． 4．（2022·山西临汾·一模（理））如图，该模具是一个各棱长都为2的正四棱锥，要将两个同样的模具装 在一个球形包装盒内，则包装盒的最小直径为（ ） A．2 B．2 C．4 D．4【答案】B 【解析】 【分析】 由正四棱锥的性质可得底面的中心为其外接球的球心，即求. 【详解】 如图正四棱锥 ，设 为底面的中心， 因为正四棱锥的各棱长都为2， 所以 ，即 为正四棱锥 的外接球的球心， 故包装盒的最小直径为 . 故选：B. 5．（2022·河南·南阳中学三模（文））如图，在棱长为2的正方体 中，点P是棱AB上的 动点，过 ，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的 周长为（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 如图所示，过点 作 ,交 于点 ,则四边形 就是过点 的截面，设 ， ，根据已知求出 即得解. 【详解】 解：如图所示，过点 作 ,交 于点 ,则四边形 就是过点 的截面，设 ， ， 则台体 的体积 ， 解之得 ， 所以 , , 所以截面的周长为 . 故选：D二、多选题 1．（2022·广东·华南师大附中三模）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面圆直径为 ，A，B，C为 底面圆周上的三个不同的动点，M为母线PC上一点，则下列说法正确的是（ ） A．当A，B为底面圆直径的两个端点时， B．△PAB面积的最大值为 C．当△PAB面积最大值时，三棱锥C-PAB的体积最大值为 D．当AB为直径且C为弧AB的中点时， 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】 对于A，利用已知条件和圆锥的性质判断即可，对于B，由三角形的面积公式结合正弦函数的性质判断， 对于C，当△PAB面积最大值时， ，从而可求出点C到AB的距离的最大值，进而可求出三棱锥 C-PAB的体积最大值，对于D，由题意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC中求出 ，从而可求出 PC边上的高，则可求出 的最小值 【详解】对于A，记圆锥底面圆心为O， ，所以 ，所以 ，故A正确； 对于B，设 ，则截面三角形的面积 ，故B不正确； 对于C，由选项B中推理可知，此时 ，所以点C到AB的距离的最大值为 ，从而可知三棱锥C-PAB的体积最大值为 ， 故C选项正确； 对于D，由题意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC中， ， ，所以 ，进而 ， 记PC边上的高为h（垂足为Q），则 ，所以 ，当M 与Q重合时取等号，故D选项正确； 故选：ACD． 2．（2022·广东广州·三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台 ，在轴截面 中， ，且 ，则（ ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的体积为 D．一只小虫从点 沿着该圆台的侧面爬行到 的中点，所经过的最短路程为【答案】BCD 【解析】 【分析】 由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由圆台体积公式即可 判断C选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项. 【详解】 如图，作 交 于 ，易得 ，则 ，则圆台的高为 ，A错 误； 圆台的轴截面面积为 ，B正确；圆台的体积为 ，C正确； 将圆台一半侧面展开，如下图中 ，设 为 中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形 ， 由 可得 ，则 ， ，又 ，则 ， 即点 到 的中点所经过的最短路程为 ，D正确. 故选：BCD. 题型二：空间几何体的表面积与体积 一、单选题 1．（2022·北京·101中学三模）一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为 ，则该四棱柱的高为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C【解析】 【分析】 根据球的表面积公式，可算出 ，由正四棱柱的顶点在同一球面上，可得正四棱柱体对角线恰好是球的一 条直径，即可得到答案 【详解】 设球的半径为 ，则 ，解得 设四棱柱的高为 ，则 ，解得 故选：C 2．（2022·辽宁·二模）如图所示直三棱柱 容器中， 且 ，把容器装满水(容器厚 度忽略不计)，将底面BCFE平放在桌面上，放水过程中当水面高度为AB的一半时，剩余水量与原来水量 之比的比值为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据柱体体积计算公式分析即可得答案． 【详解】 如图，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，没有水的部分底面积变为原来的 ，故放出水量是原来水量的 ，剩余水量是原来水量的 ． 故选：A． 3．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的 结构是由8个等边三角形组成的如图所示的正八面体.若某金刚石的棱长为2，则它的表面积为（ ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 求出一个等边三角形的面积求解即可. 【详解】 根据题意，设等边三角形的高为 ，所以 ， 所以每个边长为2等边三角形的面积为： ， 所以正八面体的表面积为： . 故答案为：C. 4．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清 代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑， 园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面(过圆锥旋转轴的截面) 是底边长为6 m，顶角为 的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为( )A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意作出圆锥轴截面图像，根据图像求出圆锥底面半径r和母线l，根据侧面积公式πrl即可求解. 【详解】 如图所示为该圆锥轴截面， 由题意，底面圆半径为 ，母线 ，侧面积πrl＝π×3× ＝6 ﹒ 故选：B. 5．（2022·山东淄博·三模）若球 的半径为 ，一个内接圆台的两底面半径分别为 和 （球心 在圆台 的两底面之间），则圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】由已知求出圆台的高，然后代入圆台体积公式得答案． 【详解】 解：如图， 由题意可知， ， ， ， 则 ， ， 圆台的高为 ， 圆台体积为 ． 故选：A． 6．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑 堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵 中， ， ， ，则在堑堵 中截掉阳马 后的几何体的外接球的体积 与阳马 的体积比为（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意将三棱锥 放入长方体中，长方体的外接球为三棱锥的外接球，求出长方体外接球半径， 即可求出外接球体积；再由“堑堵”的性质求剩余四棱锥的体积即可. 【详解】 由题知：剩余的几何体为三棱锥 ， 平面 ， ． 将三棱锥 放入长方体，长方体的外接球为三棱锥的外接球，如图所示： 外接球半径 ，所以外接球体积 ， 阳马 — 的体积为 ． ．故选：B． 二、多选题 1．（2022·山东日照·二模）传说古希腊科学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这 个球的直径与圆柱的高相等.因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他在几何上最为得意的发现，于是留下 遗言：他去世后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的 表面积与球的表面积之比为n，若 ，则（ ） A． B． 的展开式中的 的系数为56 C． 的展开式中的各项系数之和为0 D． ，其中i为虚数单位 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据圆柱和球的表面积公式和体积公式，求得 的值，得到 ，得出 ，再结合复数 的运算和二项式定理的通项及性质，逐项判定，即可求解. 【详解】 对于A，设内切球的半径为r，则圆柱的高为 ， ∴ ， ，A正确； 从而可知 ，∴ ；对于B， 展开式通项公式为： ， 令 ，解得 ，∴ 的展开式中的 的系数为 ，B错误； 对于C， ，即 展开式的各项系数之和为0，C正确； 对于D， ，D错误. 故选：AC. 2．（2022·广东茂名·二模）某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，而在水平面 上积聚的深度称为这段时间的降雨量．24h降雨量的等级划分如下： 等级 24h降用量（mm） 小雨 （0，10） 中雨 [10，25） 大雨 [25，50） 暴雨 [50，100） 大暴雨 [100，250） 特大暴雨 [250，+∞） 在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高度为50cm，瓶口 高度为3cm）收集雨水，容器内雨水的高度可能是（ ）A．20cm B．22cm C．25cm D．29cm 【答案】CD 【解析】 【分析】 设降雨量为x，容器内雨水高度为h,根据雨水的体积相等关系可得到h,x之间的关系 ，结合题意可得 ，由此判断出答案. 【详解】 设降雨量为x，容器内雨水高度为h, 根据体积相等关系可得： ， 解得 ， 由于 ，故 ， 故 故选：CD． 3．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，四棱锥 ，平面 平面ABCD，侧面PAD是边长为 的 正三角形，底面ABCD为矩形， ，点Q是PD的中点，则下列结论正确的有（ ） A． 平面PAD B．直线QC与PB是异面直线 C．三棱锥 的体积为 D．四棱锥 外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD 【解析】 【分析】 取 的中点 ， 的中点 ，连结 ， ，建立空间直角坐标系，求出平面 的一个法向量，看 其是否与 共线，从而可判断选项A；易知直线QC与PB不相交，再说明直线QC与PB不共线，从而 可判断选项B；根据 可求出体积，可判定选项C；将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱 为正方体面的对角线，求出正四面体的棱长，从而可求出正四面体的表面积，可判定选项D． 【详解】 解：取 的中点 ， 的中点 ，连结 ， ， 因为三角形 为等边三角形，所以 ， 因为平面 平面 ，所以 平面 ， 因为 ，所以 ， ， 两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示， 则 ， ， 因为点 时 的中点，所以 ， 平面 的一个法向量为 ， 显然 与 不共线， 所以 与平面 不垂直，故选项A不正确； ， 则 不共线，故直线QC与PB不共线， 由图可知直线QC与PB不相交， 所以直线QC与PB是异面直线，所以B正确； 三棱锥 的体积为 ，所以C不正确；设四棱锥 外接球的球心为 ， ， ，则 ， 所以 ， 解得 ，即 ， ， 为矩形 对角线的交点， 所以四棱锥 外接球的半径为3， 设四棱锥 外接球的内接正四面体的棱长为 ， 将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线， 故正方体的棱长为 ，所以 ，得 ， 所以正四面体的表面积为 ，所以D正确． 故选：BD． 【点睛】 本题主要考查了线面垂直，异面直线的定义，棱锥的体积以及棱锥的外接球等知识，综合性强，同时考查 了转化能力和运算求解能力．