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第 1 讲 空间几何体
[考情分析] 空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考
的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上．
考点一 空间几何体的折展问题
核心提炼
空间几何体的侧面展开图
1．圆柱的侧面展开图是矩形．
2．圆锥的侧面展开图是扇形．
3．圆台的侧面展开图是扇环．
例1 (1)“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊
漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为 40 km，山高为
40 km，B是山坡SA上一点，且AB＝40 km.为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山
观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为( )
A．60 km B．12 km
C．72 km D．12 km
(2)(2022·深圳检测)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝，AB＝1，AD＝1，
AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB等于( )A. B. C. D.
规律方法 空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面
中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边．
跟踪演练1 (1)(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中
正确的是( )
A．C∈GH
B．CD与EF是共面直线
C．AB∥EF
D．GH与EF是异面直线
(2)如图，在正三棱锥P－ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝30°，PA＝PB＝PC＝2，一只
虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离
是( )
A．3 B．3
C．2 D．2
考点二 表面积与体积
核心提炼
1．旋转体的侧面积和表面积
(1)S ＝2πrl，S ＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
圆柱侧 圆柱表(2)S ＝πrl，S ＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
圆锥侧 圆锥表
(3)S ＝4πR2(R为球的半径)．
球表
2．空间几何体的体积公式
(1)V ＝Sh(S为底面面积，h为高)．
柱
(2)V ＝Sh(S为底面面积，h为高)．
锥
(3)V ＝(S ＋＋S )h(S ，S 为底面面积，h为高)．
台 上 下 上 下
(4)V ＝πR3(R为球的半径)．
球
例2 (1)(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2π，
侧面积分别为S 和S ，体积分别为V 和V 若＝2，则等于( )
甲 乙 甲 乙．
A. B．2
C. D.
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，
AB＝ED＝2FB.记三棱锥E－ACD，F－ABC，F－ACE的体积分别为V，V，V，则( )
1 2 3
A．V＝2V B．V＝V
3 2 3 1
C．V＝V＋V D．2V＝3V
3 1 2 3 1
规律方法 空间几何体的表面积与体积的求法
(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解．
(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，
不熟悉的几何体补成熟悉的几何体．
(3)等体积法：选择合适的底面来求体积．
跟踪演练2 (1)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成
角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为( )
A．80π B．40 C．40π D．40π
(2)(2022·连云港模拟)如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该
圆台的体积是( )
A. B.
C. D.考点三 多面体与球
核心提炼
求空间多面体的外接球半径的常用方法
(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或
长方体中去求解．
(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，
找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．
例3 (1)(2022·烟台模拟)如图，三棱锥V－ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC
＝VA＝2，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为( )
A．(2－)∶1 B．(2－3)∶1
C．(－1)∶3 D．(－1)∶2
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在
同一球面上，则该球的表面积为( )
A．100π B．128π C．144π D．192π
规律方法 (1)求锥体的外接球问题的一般方法是补形法，把锥体补成正方体、长方体等求
解．
(2)求锥体的内切球问题的一般方法是利用等体积法求半径．
跟踪演练3 (1)(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点
均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A. B. C. D.
(2)(2022·衡水中学调研)将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧
棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为________，该组合体的外接球的
体积为________．
