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微重点 14 与空间角有关的最值问题
立体几何动态问题中，空间角的最值及范围问题是高考的常考题型，常与图形翻折、点
线面等几何元素的变化有关，常用方法有几何法、函数(导数)法、不等式法等．主要是利用
三角函数值比较及最小角定理(线面角是最小的线线角，二面角是最大的线面角)等求解．
考点一 空间角的大小比较
例1 (2022·嘉兴质检)已知长方体ABCD－ABC D 的底面ABCD为正方形，AA ＝a，AB＝
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b，且a＞b，侧棱CC 上一点E满足CC ＝3CE，设异面直线AB与AD ，AB与DB ，AE
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与DB 所成的角分别为α，β，γ，则( )
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A．α＜β＜γ B．γ＜β＜α
C．β＜α＜γ D．α＜γ＜β
规律方法 (1)最小角定理：直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角中最小的角
(线面角是最小的线线角)．
(2)最大角定理：二面角是平面内的直线与另一个平面所成角的最大角(二面角是最大的线面
角)．
跟踪演练1 设三棱锥V－ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含
端点)．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P－
AC－B的平面角为γ，则( )
A．β<γ，α<γ B．β<α，β<γ
C．β<α，γ<α D．α<β，γ<β
考点二 空间角的最值
例2 (2022·绍兴模拟)已知正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，M，N分别是BC，BC 的
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中点，点P是截面ABC D(包括边界)上的动点，DP＝，2ME＝EN，则EP与平面ABC D
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所成最大角的正切值为________．
规律方法 求空间角最值、范围的两种常用方法
(1)利用空间角的定义及几何图形找到空间角，构造三角形，利用三角函数的比值构造函数
求最值、范围．
(2)建立空间坐标系，利用坐标运算求空间角的三角函数值，构造函数求最值、范围．跟踪演练2 (2022·内江模拟)如图，在正方体ABCD－ABC D 中，M为线段AD的中点，
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N为线段CD 上的动点，则直线C D与直线MN所成角的正弦值的最小值为( )
1 1
A. B. C. D.
考点三 空间角的范围
例3 如图1，在平面多边形ABCDE中，四边形ABCD是正方形，△ADE是正三角形．将
△ADE所在平面沿AD折叠，使得点E达到点S的位置(如图2)．若二面角S－AD－C的平
面角θ∈，则异面直线AC与SD所成角的余弦值的取值范围是( )
A. B.
C. D.
易错提醒 求空间角的范围时，要注意空间角自身的范围；利用坐标法求角时，要注意向量
夹角与空间的关系．
跟踪演练3 在正方体ABCD－ABC D 中，点O为线段BD的中点．设点P在棱CC 上，
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直线OP与平面ABD所成的角为α，则sin α的取值范围是( )
1
A.
B.
C.
D.
