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2025版新教材高考数学第二轮复习
专题七 立体几何与空间向量
7.1 空间几何体的结构特征、表面积和体积
五年高考
高考新风向
1.(2024新课标Ⅰ,5,5分,易)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为
√3,则圆锥的体积为 ( )
A.2√3π B.3√3π C.6√3π D.9√3π
2.(2024全国甲理,14,5分,中)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r ,下底面半径均为r ,圆
1 2
台甲、乙的母线长分别为2(r -r ),3(r -r ),则圆台甲与乙的体积之比为 .
2 1 2 1
考点1 空间几何体的结构特征
1.(2021新高考Ⅰ,3,5分,易)已知圆锥的底面半径为√2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆
锥的母线长为 ( )
A.2 B.2√2 C.4 D.4√2
2.(2020课标Ⅰ,文3,理3,5分,易)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视
为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的
面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ( )
√5−1 √5−1 √5+1 √5+1
A. B. C. D.
4 2 4 2
3.(2021新高考Ⅱ,4,5分,中)卫星导航系统中,地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道
所在平面,轨道高度为36 000 km(轨道高度指卫星到地球表面的最短距离),把地球看成一
个球心为O,半径r为6 400 km的球,其上点A的纬度是指OA与赤道所在平面所成角的度
数,地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为 α,该
卫星信号覆盖的地球表面面积 S=2πr2·(1-cos α)(单位km2),则S占地球表面积的百分比约
为 ( )
A.26% B.34% C.42% D.50%4.(多选)(2023新课标Ⅰ,12,5分,难)下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方
体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A.直径为0.99 m的球体
B.所有棱长均为1.4 m的四面体
C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体
D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体
5.(多选)(2021新高考Ⅰ,12,5分,难)在正三棱柱ABC-A B C 中,AB=AA =1,点P满足⃗BP=λ
1 1 1 1
+μ ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则 ( )
⃗BC ⃗BB
1
A.当λ=1时,△AB P的周长为定值
1
B.当μ=1时,三棱锥P-A BC的体积为定值
1
1
C.当λ= 时,有且仅有一个点P,使得A P⊥BP
1
2
1
D.当μ= 时,有且仅有一个点P,使得A B⊥平面AB P
1 1
2
6.(2023全国甲理,15,5分,中)在正方体 ABCD-A B C D 中,E,F分别为 AB,C D 的中点.以
1 1 1 1 1 1
EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点.
7.(2023全国甲文,16,5分,中)在正方体ABCD-A B C D 中,AB=4,O为AC 的中点,若该正方
1 1 1 1 1
体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是 .
8.(2020新高考Ⅰ,16,5分,难)已知直四棱柱ABCD-A B C D 的棱长均为2,∠BAD=60°.以D
1 1 1 1 1
为球心,√5为半径的球面与侧面BCC B 的交线长为 .
1 1
考点2 空间几何体的表面积和体积
1.(2021新高考Ⅱ,5,5分,易)正四棱台的上、下底面的边长为 2,4,侧棱长为2,则四棱台的
体积为 ( )
56 28√2
A.56 B.28√2 C. D.
3 3
2.(2022新高考Ⅰ,4,5分,易)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部
分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为
海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个
棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(√7≈2.65) ( )
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
3.(2023 全国甲文,10,5 分,中)在三棱锥 P-ABC 中,△ABC 是边长为 2 的等边三角形,PA=PB=2,PC=√6,则该棱锥的体积为 ( )
A.1 B.√3 C.2 D.3
4.(2022新高考Ⅱ,7,5分,难)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3√3和4√3,其
顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.100π B.128π C.144π D.192π
5.(2023全国乙理,8,5分,中)已知圆锥PO的底面半径为√3,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的
9√3
母线,∠AOB=120°,若△PAB的面积等于 ,则该圆锥的体积为 ( )
4
A.π B.√6π C.3π D.3√6π
6.(2022新高考Ⅰ,8,5分,难)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球
的体积为36π,且3≤l≤3√3,则该正四棱锥体积的取值范围是 ( )
A.[ 81] B.[27 81]
18, ,
4 4 4
C.[27 64] D.[18,27]
,
4 3
7.(多选)(2023 新课标Ⅱ,9,5 分,中)已知圆锥的顶点为 P,底面圆心为 O,AB 为底面直径,
∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P-AC-O为45°,则 ( )
A.该圆锥的体积为π
B.该圆锥的侧面积为4√3π
C.AC=2√2
D.△PAC的面积为√3
8.( 多 选 )(2022 新 高 考Ⅱ,11,5 分 , 中 ) 如 图 , 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 ,ED⊥ 平 面
ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V ,V ,V ,则 (
1 2 3
)
A.V =2V B.V =V
3 2 3 1
C.V =V +V D.2V =3V
3 1 2 3 1
9.(2020新高考Ⅱ,13,5分,易)棱长为2的正方体ABCD-A B C D 中,M,N分别为棱BB ,AB
1 1 1 1 1的中点,则三棱锥A -D MN的体积为 .
1 1
10.(2023新课标Ⅱ,14,5分,易)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去
一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为 .
11.(2023新课标Ⅰ,14,5分,易)在正四棱台ABCD-A B C D 中,AB=2,A B =1,AA =√2,则该棱
1 1 1 1 1 1 1
台的体积为 .三年模拟
练速度
π
1.(2024山东四月联考,3)已知圆锥的底面圆的半径为1,其侧面展开图是一个圆心角为 的
2
扇形,则该圆锥的母线长为 ( )
5 7
A. B.3 C. D.4
2 2
2.(2024广东湛江二模,2)如图,这是一件西周晚期的青铜器,其盛酒的部分可近似视为一个
圆台(设上、下底面的半径分别为a厘米,b厘米,高为c厘米),则该青铜器的容积约为(取
π=3) ( )
A.c(a2+ac+b2)立方厘米
B.c(a2-ac+b2)立方厘米
C.c(a2+ab+b2)立方厘米
D.c(a2-ab+b2)立方厘米
3
3.(2024广西4月模拟,6)已知轴截面为正方形的圆柱MM'的体积与球O的体积之比为 ,
2
则圆柱MM'的表面积与球O的表面积之比为( )
3 5
A.1 B. C.2 D.
2 2
4.(2024广东广州一模,4)已知正四棱台ABCD-A B C D 的上、下底面边长分别为 1和2,
1 1 1 1
且BB ⊥DD ,则该棱台的体积为 ( )
1 1
7√2 7√2
A. B.
2 6
7 7
C. D.
6 2
5.(2024安徽池州二模,5)已知圆锥的高为3,若圆锥的内切球半径为1,则该圆锥的表面积
为 ( )
A.6π B.6√3π C.9π D.12π
6.(2024湖南邵阳二模,6)已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=60°,PA=AC=2,则此三
棱锥外接球的表面积为 ( )14π 28π
A. B. C.10π D.5π
3 3
7.(2024福建莆田二模,4)柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体,具有严
格对称,结构等价的特点.六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性.将六氟化硫分子中
4π
的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体(如图2).若正八面体外接球的体积为 ,则
3
此正八面体的表面积为 ( )
√3
A. B.√3 C.2√3 D.4√3
2
8.(2024广东深圳一模,6)已知某圆台的上、下底面半径分别为r ,r ,且r =2r ,若半径为2的
1 2 2 1
球与圆台的上、下底面及侧面均相切,则该圆台的体积为( )
28π 40π 56π 112π
A. B. C. D.
3 3 3 3
3
9.(2024重庆二诊,13)将一个半径为 cm的铁球熔化后,浇铸成一个正四棱台形状的铁锭,
2
若这个铁锭的底面边长分别为1 cm和2 cm,则它的高为 cm.
10.(2024湘豫名校联盟联考,12)已知圆锥SO 的轴截面SAB为正三角形,球O 与圆锥SO
1 2 1
的底面和侧面都相切.设圆锥SO 的体积、表面积分别为V ,S ,球O 的体积、表面积分别
1 1 1 2
为V ,S ,则V ·S = .
2 2 1 2
V S
2 1
11.(2024浙江金丽衢十二校第二次联考,12)已知圆柱的轴截面面积为 4,则该圆柱侧面展
开图的周长最小值为 .
12.(2024安徽安庆二模,13)已知圆锥的顶点为 P,底面圆心为M,底面直径AB=2.圆锥的内
切球和外接球的球心重合于一点O,则该圆锥的表面积为 .
练思维
1.(2024山东潍坊一模,8)已知直三棱柱ABC-A B C 外接球的直径为6,且AB⊥BC,BC=2,则
1 1 1
该棱柱体积的最大值为 ( )A.8 B.12 C.16 D.24
2.(2024广西南宁、河池二模,5)已知某棱长为2√2的正四面体的各条棱都与同一球面相
切,则该球的表面积为 ( )
4π
A.4π B.2π C. D.π
3
3.(2024山东齐鲁名校联考七,6)已知圆台上、下底面的半径分别为 3和5,母线长为4,AB
为上底面圆的一条直径,C是下底面圆周上的一个动点,则△ABC面积的最大值为 ( )
A.3√37 B.6√3 C.√37 D.3√3
4.(2024湖南九校联盟第一次联考,6)将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点
两两连接,得到一多面体,则这个多面体的内切球体积为 ( )
4√2 8 8 8√6
A. π B. π C. π D. π
3 3 27 27
5.(2024 广东揭阳二模,7)如图,正四棱台容器 ABCD-A B C D 的高为 12 cm,AB=10
1 1 1 1
cm,A B =2 cm,容器中水的高度为6 cm.现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器
1 1
中(57个小铁球均被淹没),水位上升了3 cm,若忽略该容器壁的厚度,则小铁球的半径为
( )
A.√1 cm B.√2 cm C.√3 cm D.√4 cm
3 3 3 3
π π π π
6.(2024湖北四调,8)在三棱锥P-ABC中,平面ABC⊥平面PBC,△ABC和△PBC都是边长为
2√3的等边三角形,若M为三棱锥P-ABC外接球上的动点,则点M到平面ABC距离的最大
值为 ( )
A.√6-√2 B.√6+√2 C.√5-1 D.√5+1
7.(多选)(2024甘肃二诊,10)如图所示,长方体ABCD-EFGH的表面积为6,AE=1,则 ( )A.该长方体不可能为正方体
B.该长方体体积的最大值为1
1
C.若长方体下底面的一条边长为2,则三棱锥H-AFC的体积为
3
D.该长方体外接球表面积的最小值为3π
8.(2024重庆八中适应性月考,13)如图所示,已知一个半径为2的半圆面剪去了一个含30°
角的Rt△ABC,将剩余部分绕着直径AB所在直线旋转180°得到一个几何体,该几何体的表
面积为 .
9.(2024河南名校联考,13)一个水平放置在某地的三棱台型集雨器如图所示,已知上、下底
面的面积分别为4 cm2和9 cm2,高为3 cm.现在收集到的雨水平面与上、下底面的距离相
等,则该地的降雨量为 mm.(降雨量等于集雨器中积水体积除以集雨器口的面积)
10.(2024山东新高考联合质量测评,13)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为球
面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为9√3,则球O的体积为 .
11.(2024福建高中毕业班适应性考试,13)已知圆台O O 的高为6,AB,CD分别为上、下底
1 2
面的一条直径,且AB=4,CD=8,则圆台O O 的体积为 ;若A,B,C,D四点不共面,且
1 2
它们都在同一个球面上,则该球的表面积为 .
12.(2024 山 东 烟 台 、 德 州 诊 断 ,13) 在 三 棱 锥 P-ABC 中 ,PB=PC=√2PA=2, 且
∠APB=∠BPC=∠CPA,E,F分别是PC,AC的中点,∠BEF=90°,则三棱锥P-ABC外接球的表
面积为 ,该三棱锥外接球与内切球的半径之比为 .
13.(2024 湖北华师一附中、湖南师大附中等三校二模,14)已知空间四面体 ABCD 满足AB=AC=DB=DC,AD=2BC=6,则该四面体外接球的体积的最小值为 .
练风向
1.(概念深度理解)(2024江苏、浙江大联考,14)已知长方体的表面积为8,所有棱长和为16,
则长方体体积的最大值为 .
2.(创新考法)(2024浙江金华十校模拟,17)如图,在三棱柱ABC-A B C 中,△ABC是边长为2
1 1 1
的正三角形,侧面BB C C是矩形,AA =A B.
1 1 1 1
(1)求证:三棱锥A -ABC是正三棱锥;
1
(2)若三棱柱ABC-A B C 的体积为2√2,求直线AC 与平面AA B B所成角的正弦值.
1 1 1 1 1 1专题七 立体几何与空间向量
7.1 空间几何体的结构特征、表面积和体积
五年高考
高考新风向
1.(2024新课标Ⅰ,5,5分,易)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为
√3,则圆锥的体积为 ( B )
A.2√3π B.3√3π C.6√3π D.9√3π
2.(2024全国甲理,14,5分,中)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r ,下底面半径均为r ,圆
1 2
√6
台甲、乙的母线长分别为2(r -r ),3(r -r ),则圆台甲与乙的体积之比为 .
2 1 2 1
4
考点1 空间几何体的结构特征
1.(2021新高考Ⅰ,3,5分,易)已知圆锥的底面半径为√2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆
锥的母线长为 ( B )
A.2 B.2√2 C.4 D.4√2
2.(2020课标Ⅰ,文3,理3,5分,易)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视
为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的
面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ( C )
√5−1 √5−1 √5+1 √5+1
A. B. C. D.
4 2 4 2
3.(2021新高考Ⅱ,4,5分,中)卫星导航系统中,地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道
所在平面,轨道高度为36 000 km(轨道高度指卫星到地球表面的最短距离),把地球看成一
个球心为O,半径r为6 400 km的球,其上点A的纬度是指OA与赤道所在平面所成角的度
数,地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为 α,该
卫星信号覆盖的地球表面面积 S=2πr2·(1-cos α)(单位km2),则S占地球表面积的百分比约
为 ( C )A.26% B.34% C.42% D.50%
4.(多选)(2023新课标Ⅰ,12,5分,难)下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方
体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( ABD )
A.直径为0.99 m的球体
B.所有棱长均为1.4 m的四面体
C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体
D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体
5.(多选)(2021新高考Ⅰ,12,5分,难)在正三棱柱ABC-A B C 中,AB=AA =1,点P满足⃗BP=λ
1 1 1 1
+μ ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则 ( BD )
⃗BC ⃗BB
1
A.当λ=1时,△AB P的周长为定值
1
B.当μ=1时,三棱锥P-A BC的体积为定值
1
1
C.当λ= 时,有且仅有一个点P,使得A P⊥BP
1
2
1
D.当μ= 时,有且仅有一个点P,使得A B⊥平面AB P
1 1
2
6.(2023全国甲理,15,5分,中)在正方体 ABCD-A B C D 中,E,F分别为 AB,C D 的中点.以
1 1 1 1 1 1
EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 1 2 个公共点.
7.(2023全国甲文,16,5分,中)在正方体ABCD-A B C D 中,AB=4,O为AC 的中点,若该正方
1 1 1 1 1
体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是 [ 2√2,2√3 ] .
8.(2020新高考Ⅰ,16,5分,难)已知直四棱柱ABCD-A B C D 的棱长均为2,∠BAD=60°.以D
1 1 1 1 1
√2π
为球心,√5为半径的球面与侧面BCC B 的交线长为 .
1 1
2
考点2 空间几何体的表面积和体积
1.(2021新高考Ⅱ,5,5分,易)正四棱台的上、下底面的边长为 2,4,侧棱长为2,则四棱台的
体积为 ( D )
56 28√2
A.56 B.28√2 C. D.
3 3
2.(2022新高考Ⅰ,4,5分,易)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部
分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为
海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(√7≈2.65) ( C
)
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
3.(2023 全国甲文,10,5 分,中)在三棱锥 P-ABC 中,△ABC 是边长为 2 的等边三角形,
PA=PB=2,PC=√6,则该棱锥的体积为 ( A )
A.1 B.√3 C.2 D.3
4.(2022新高考Ⅱ,7,5分,难)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3√3和4√3,其
顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( A )
A.100π B.128π C.144π D.192π
5.(2023全国乙理,8,5分,中)已知圆锥PO的底面半径为√3,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的
9√3
母线,∠AOB=120°,若△PAB的面积等于 ,则该圆锥的体积为 ( B )
4
A.π B.√6π C.3π D.3√6π
6.(2022新高考Ⅰ,8,5分,难)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球
的体积为36π,且3≤l≤3√3,则该正四棱锥体积的取值范围是 ( C )
A.[ 81] B.[27 81]
18, ,
4 4 4
C.[27 64] D.[18,27]
,
4 3
7.(多选)(2023 新课标Ⅱ,9,5 分,中)已知圆锥的顶点为 P,底面圆心为 O,AB 为底面直径,
∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P-AC-O为45°,则 ( AC )
A.该圆锥的体积为π
B.该圆锥的侧面积为4√3π
C.AC=2√2
D.△PAC的面积为√3
8.( 多 选 )(2022 新 高 考Ⅱ,11,5 分 , 中 ) 如 图 , 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 ,ED⊥ 平 面
ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V ,V ,V ,则 (
1 2 3
CD )A.V =2V B.V =V
3 2 3 1
C.V =V +V D.2V =3V
3 1 2 3 1
9.(2020新高考Ⅱ,13,5分,易)棱长为2的正方体ABCD-A B C D 中,M,N分别为棱BB ,AB
1 1 1 1 1
的中点,则三棱锥A -D MN的体积为 1 .
1 1
10.(2023新课标Ⅱ,14,5分,易)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去
一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为 2 8 .
11.(2023新课标Ⅰ,14,5分,易)在正四棱台ABCD-A B C D 中,AB=2,A B =1,AA =√2,则该棱
1 1 1 1 1 1 1
7√6
台的体积为 .
6三年模拟
练速度
π
1.(2024山东四月联考,3)已知圆锥的底面圆的半径为1,其侧面展开图是一个圆心角为 的
2
扇形,则该圆锥的母线长为 ( D )
5 7
A. B.3 C. D.4
2 2
2.(2024广东湛江二模,2)如图,这是一件西周晚期的青铜器,其盛酒的部分可近似视为一个
圆台(设上、下底面的半径分别为a厘米,b厘米,高为c厘米),则该青铜器的容积约为(取
π=3) ( C )
A.c(a2+ac+b2)立方厘米
B.c(a2-ac+b2)立方厘米
C.c(a2+ab+b2)立方厘米
D.c(a2-ab+b2)立方厘米
3
3.(2024广西4月模拟,6)已知轴截面为正方形的圆柱MM'的体积与球O的体积之比为 ,
2
则圆柱MM'的表面积与球O的表面积之比为( B )
3 5
A.1 B. C.2 D.
2 2
4.(2024广东广州一模,4)已知正四棱台ABCD-A B C D 的上、下底面边长分别为 1和2,
1 1 1 1
且BB ⊥DD ,则该棱台的体积为 ( B )
1 1
7√2 7√2
A. B.
2 6
7 7
C. D.
6 2
5.(2024安徽池州二模,5)已知圆锥的高为3,若圆锥的内切球半径为1,则该圆锥的表面积
为 ( C )
A.6π B.6√3π C.9π D.12π
6.(2024湖南邵阳二模,6)已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=60°,PA=AC=2,则此三
棱锥外接球的表面积为 ( B )14π 28π
A. B. C.10π D.5π
3 3
7.(2024福建莆田二模,4)柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体,具有严
格对称,结构等价的特点.六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性.将六氟化硫分子中
4π
的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体(如图2).若正八面体外接球的体积为 ,则
3
此正八面体的表面积为 ( D )
√3
A. B.√3 C.2√3 D.4√3
2
8.(2024广东深圳一模,6)已知某圆台的上、下底面半径分别为r ,r ,且r =2r ,若半径为2的
1 2 2 1
球与圆台的上、下底面及侧面均相切,则该圆台的体积为( C )
28π 40π 56π 112π
A. B. C. D.
3 3 3 3
3
9.(2024重庆二诊,13)将一个半径为 cm的铁球熔化后,浇铸成一个正四棱台形状的铁锭,
2
27
若这个铁锭的底面边长分别为1 cm和2 cm,则它的高为 π cm.
14
10.(2024湘豫名校联盟联考,12)已知圆锥SO 的轴截面SAB为正三角形,球O 与圆锥SO
1 2 1
的底面和侧面都相切.设圆锥SO 的体积、表面积分别为V ,S ,球O 的体积、表面积分别
1 1 1 2
为V ,S ,则V ·S = 1 .
2 2 1 2
V S
2 1
11.(2024浙江金丽衢十二校第二次联考,12)已知圆柱的轴截面面积为 4,则该圆柱侧面展
开图的周长最小值为 8√π .
12.(2024安徽安庆二模,13)已知圆锥的顶点为 P,底面圆心为M,底面直径AB=2.圆锥的内
切球和外接球的球心重合于一点O,则该圆锥的表面积为 3 π .
练思维
1.(2024山东潍坊一模,8)已知直三棱柱ABC-A B C 外接球的直径为6,且AB⊥BC,BC=2,则
1 1 1该棱柱体积的最大值为 ( C )
A.8 B.12 C.16 D.24
2.(2024广西南宁、河池二模,5)已知某棱长为2√2的正四面体的各条棱都与同一球面相
切,则该球的表面积为 ( A )
4π
A.4π B.2π C. D.π
3
3.(2024山东齐鲁名校联考七,6)已知圆台上、下底面的半径分别为 3和5,母线长为4,AB
为上底面圆的一条直径,C是下底面圆周上的一个动点,则△ABC面积的最大值为 ( A
)
A.3√37 B.6√3 C.√37 D.3√3
4.(2024湖南九校联盟第一次联考,6)将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点
两两连接,得到一多面体,则这个多面体的内切球体积为 ( D )
4√2 8 8 8√6
A. π B. π C. π D. π
3 3 27 27
5.(2024 广东揭阳二模,7)如图,正四棱台容器 ABCD-A B C D 的高为 12 cm,AB=10
1 1 1 1
cm,A B =2 cm,容器中水的高度为6 cm.现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器
1 1
中(57个小铁球均被淹没),水位上升了3 cm,若忽略该容器壁的厚度,则小铁球的半径为
( A )
A.√1 cm B.√2 cm C.√3 cm D.√4 cm
3 3 3 3
π π π π
6.(2024湖北四调,8)在三棱锥P-ABC中,平面ABC⊥平面PBC,△ABC和△PBC都是边长为
2√3的等边三角形,若M为三棱锥P-ABC外接球上的动点,则点M到平面ABC距离的最大
值为 ( D )A.√6-√2 B.√6+√2 C.√5-1 D.√5+1
7.(多选)(2024甘肃二诊,10)如图所示,长方体ABCD-EFGH的表面积为6,AE=1,则 ( BD
)
A.该长方体不可能为正方体
B.该长方体体积的最大值为1
1
C.若长方体下底面的一条边长为2,则三棱锥H-AFC的体积为
3
D.该长方体外接球表面积的最小值为3π
8.(2024重庆八中适应性月考,13)如图所示,已知一个半径为2的半圆面剪去了一个含30°
角的Rt△ABC,将剩余部分绕着直径AB所在直线旋转180°得到一个几何体,该几何体的表
面积为 (11+ √3 )π .
9.(2024河南名校联考,13)一个水平放置在某地的三棱台型集雨器如图所示,已知上、下底
面的面积分别为4 cm2和9 cm2,高为3 cm.现在收集到的雨水平面与上、下底面的距离相
455
等,则该地的降雨量为 mm.(降雨量等于集雨器中积水体积除以集雨器口的面
16
积)
10.(2024山东新高考联合质量测评,13)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为球
面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为9√3,则球O的体积为 7 2√3 π .
11.(2024福建高中毕业班适应性考试,13)已知圆台O O 的高为6,AB,CD分别为上、下底
1 2
面的一条直径,且AB=4,CD=8,则圆台O O 的体积为 56π ;若A,B,C,D四点不共面,
1 2且它们都在同一个球面上,则该球的表面积为 80 π .
12.(2024 山 东 烟 台 、 德 州 诊 断 ,13) 在 三 棱 锥 P-ABC 中 ,PB=PC=√2PA=2, 且
∠APB=∠BPC=∠CPA,E,F分别是PC,AC的中点,∠BEF=90°,则三棱锥P-ABC外接球的表
√5
面积为 10 π ,该三棱锥外接球与内切球的半径之比为 √10+ .
2
13.(2024 湖北华师一附中、湖南师大附中等三校二模,14)已知空间四面体 ABCD 满足
AB=AC=DB=DC,AD=2BC=6,则该四面体外接球的体积的最小值为 36 π .
练风向
1.(概念深度理解)(2024江苏、浙江大联考,14)已知长方体的表面积为8,所有棱长和为16,
32
则长方体体积的最大值为 .
27
2.(创新考法)(2024浙江金华十校模拟,17)如图,在三棱柱ABC-A B C 中,△ABC是边长为2
1 1 1
的正三角形,侧面BB C C是矩形,AA =A B.
1 1 1 1
(1)求证:三棱锥A -ABC是正三棱锥;
1
(2)若三棱柱ABC-A B C 的体积为2√2,求直线AC 与平面AA B B所成角的正弦值.
1 1 1 1 1 1
解析 (1)证明:分别取AB,BC的中点D,E,连接CD,AE交于点O,则点O为正三角形ABC
的中心.连接A D,A O.
1 1
因为 AA =A B,CA=CB,所以 CD⊥AB,A D⊥AB,又 CD∩A D=D,CD,A D⊂平面 A CD,所以
1 1 1 1 1 1
AB⊥平面A CD,
1
则AB⊥A O①, (3分)
1
取B C 的中点E ,连接A E ,E E,则四边形AA E E是平行四边形,因为侧面BB C C是矩形,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以BC⊥EE ,
1
又BC⊥AE,EE ∩AE=E,
1
所以BC⊥平面AA E E,则BC⊥A O②,(6分)
1 1 1
由①②可得,A O⊥平面ABC,
1
所以三棱锥A -ABC是正三棱锥.(8分)
1
(2)因为三棱柱ABC-A B C 的体积为2√2,底面积为√3,
1 1 12√6
所以高A O= .
1
3
以E为坐标原点, 的方向为x轴正方向, 的方向为y轴正方向,过点E且与 同向
⃗EA ⃗EB ⃗OA
1
平行的方向为z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系,
则A( ,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),A (√3 2√6). (11分)
√3 1 ,0,
3 3
设平面AA B B的法向量为n=(x,y,z),因为 =(- ,1,0), =( 2√3 2√6),
1 1 ⃗AB √3 ⃗A A − ,0,
1 3 3
{ −√3x+ y=0,
则{⃗AB·n=0, 即 令x=1,则y= ,z=√2,n=( √2), (13分)
2√3 2√6 √3 1,√3,
⃗A A ·n=0, − x+ z=0, 2 2
1 3 3
又 = =(- ,-1,0),所以 = + =( 5√3 2√6),
⃗A C ⃗AC √3 ⃗AC ⃗A A ⃗AC − ,−1,
1 1 1 1 3 3
设直线AC 与平面AA B B所成角为θ,
1 1 1
2√3 √2
所以sin θ=|cos|= = . (15分)
1 3√6 3
