文档内容
第1讲 空间几何体（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................3
【考点一】空间几何体的折展问题..................................................................................................3
【考点二】表面积与体积................................................................................................................4
【考点三】多面体与球...................................................................................................................7
【专题精练】.................................................................................................................................8
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、
填空题的形式考查，难度中等或偏上．
真题自测
一、单选题
1．（2024·天津·高考真题）一个五面体 ．已知 ，且两两之间距离为1．并已知
．则该五面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则
圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）在三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形， ，
则该棱锥的体积为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
4．（2023·全国·高考真题）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形， ，
则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为 ，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，
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学科网（北京）股份有限公司，若 的面积等于 ，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·天津·高考真题）在三棱锥 中，点M,N分别在棱PC,PB上，且 ， ，
则三棱锥 和三棱锥 的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中
升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直
径依次为 ，且斛量器的高为 ，则斗量器的高为 ，升量器的高为
．
8．（2024·全国·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为 ,下底面半径均为 ，圆台的母线长分别为
, ，则圆台甲与乙的体积之比为 ．
考点突破
【考点一】空间几何体的折展问题
核心梳理：
空间几何体的侧面展开图
(1)圆柱的侧面展开图是矩形．
(2)圆锥的侧面展开图是扇形．
(3)圆台的侧面展开图是扇环．
一、单选题
1．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知矩形ABCD中， ， ，将 沿BD折起至 ，
当 与AD所成角最大时，三棱锥 的体积等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重庆·三模）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴 为圆柱的轴截面对角线，
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学科网（北京）股份有限公司短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线 展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲
线.若该段正弦曲线是函数 图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为 ，则
的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题
3．（2024·云南昆明·一模）在矩形 中， ， ，以对角线BD为折痕将△ABD进行翻折，
折后为 ，连接 得到三棱锥 ，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥 体积的最大值为 B．点 都在同一球面上
C．点 在某一位置，可使 D．当 时，
4．（22-23高三上·江苏镇江·阶段练习）如图，在四棱锥 的平面展开图中，四边形ABCD为直角
梯形， ， ， .在四棱锥 中，则
（ ）
A．平面PAD⊥平面PBD
B．AD 平面PBC
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学科网（北京）股份有限公司C．三棱锥P-ABC的外接球表面积为
D．平面PAD与平面PBC所成的二面角的正弦值为
三、填空题
5．（2023·陕西西安·一模）将平面内等边 与等腰直角 （其中 为斜边），沿公共边 折
叠成直二面角，若 ，且点 在同一球 的球面上，则球 的表面积为 .
6．（20-21高三上·广东·阶段练习）一个圆锥的表面积为 ，其侧面展开图为半圆，当此圆锥的内接圆
柱（圆柱的下底面与圆锥的底面在同一个平面内）的侧面积达到最大值时，该内接圆柱的底面半径为
.
规律方法：
空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面中两点间的最短距离问题，
注意展开后对应的顶点和边．
【考点二】表面积与体积
核心梳理：
1．旋转体的侧面积和表面积
(1)S ＝2πrl，S ＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
圆柱侧 圆柱表
(2)S ＝πrl，S ＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
圆锥侧 圆锥表
(3)S ＝4πR2(R为球的半径)．
球表
2．空间几何体的体积公式
(1)V ＝Sh(S为底面面积，h为高)．
柱
(2)V ＝Sh(S为底面面积，h为高)．
锥
(3)V ＝(S ＋＋S )h(S ，S 分别为上、下底面面积，h为高)．
台 上 下 上 下
(4)V ＝πR3(R为球的半径)．
球
一、单选题
1．（2024·云南大理·模拟预测）如图，揽月阁位于西安市雁塔南路最高点，承接大明宫、大雁塔，是西安
唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，可近似视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型塔底宽 ，
塔顶宽约 ，侧面面积为 ，据此计算该揽月阁模型体积为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．1400 B．2800 C． D．8400
2．（2024·广东·模拟预测）现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，
侧棱长为 ，则该水库的最大蓄水量为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（24-25高三上·广西·阶段练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，
规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面
角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有 个面角，每个面角均为 ，故其各个顶点的曲率均为
.如图，在正方体 中， ，则（ ）
A．在四面体 中，点 的曲率为
B．在四面体 中，点 的曲率大于
C．四面体 外接球的表面积为
D．四面体 内切球半径的倒数为
4．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，四面体 的底面是以 为斜边的直角三角形， 体
积为 ， 平面 ， ， 为线段 上一动点， 为 中点，则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．三棱锥 的体积和三棱锥 的体积相等
B．当 时，
C．当 时，
D．四面体 的外接球球心为 ，且外接球体积 与 之比的最小值是
三、填空题
5．（2024·安徽池州·模拟预测）如图所示的“升”是我国古代测量粮食的一种容器，从形状上可抽象成一
个正四棱台．现有一个上、下底面边长分别为 和 的“升”，侧棱长为 ，要做成一个该
“升”的几何体，其侧面所需板材的最小面积为 ．
6．（2024·北京·三模）我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则
积不容异．”“势”即是几何体的高，“幂”是截面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积
相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线 的焦点在 轴上，离心率为 ，且过点 ，则
双曲线的渐近线方程为 ．若直线 与 在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分
所示的图形，则该图形绕 轴旋转一周所得几何体的体积为 ．
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学科网（北京）股份有限公司规律方法：
空间几何体的表面积与体积的求法
(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解．
(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体
补成熟悉的几何体．
(3)等体积法：选择合适的底面来求体积．
【考点三】多面体与球
核心梳理：
求空间多面体的外接球半径的常用方法
(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则
球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可．
一、单选题
1．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）如图甲，在边长为2的正方形 中， 分别是 的中
点，将 分别沿 折起，使得 三点重合于点 ，如图乙，若三棱锥
的所有顶点均在球 的球面上，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建·模拟预测）已知正四棱台下底面边长为 ，若内切球的体积为 ，则其外接球表面积
是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．49π B．56π C．65π D．130π
二、多选题
3．（2024·湖南郴州·模拟预测）在正三棱台 中， ， ，且等腰梯形所在的侧面与底
面 所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有（ ）
A．正三棱台 的高为
B．正三棱台 的体积为
C． 与平面 所成角的正切值为1
D．正三棱台 外接球的表面积为
4．（2024·广东广州·模拟预测）在圆锥 中，母线 ，底面圆的半径为r，圆锥 的侧面积为 ，
则（ ）
A．当 时，圆锥 内接圆柱体的体积最大值为
B．当 时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为
C．当 时，圆锥 能在棱长为4的正四面体内任意转动
D．当 时，棱长为1的正四面体能在圆锥 内任意转动
三、填空题
5．（2024·湖南邵阳·三模）在四面体 中， 是边长为 的等边三角形， ，
， ，点 在棱 上，且 ，过点 作四面体 的外接球 的截面，则所
得截面圆的面积最小值与球 的表面积之比为 ．
6．（2025·广东·模拟预测）已知球O是某圆锥内可放入的最大的球，其半径为该圆锥底面半径的一半，则
该圆锥的体积与球O的体积之比为 ．
规律方法：
(1)求锥体的外接球问题的一般方法是补形法，把锥体补成正方体、长方体等求解．
(2)求锥体的内切球问题的一般方法是利用等体积法求半径．
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学科网（北京）股份有限公司专题精练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某
条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路
径长为（ ）
A． B．6 C． D．
2．（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱 中， ， ，点P在四边形
内（含边界）运动，当 时，点P的轨迹长度为 ，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．4 B． C． D．
3．（2024·江苏徐州·模拟预测）圆柱与圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则圆锥内
切球半径为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·黑龙江大庆·一模）已知圆台的上､下底面半径分别为1和3，母线长为 ，则圆台的体积为
（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高一下·天津·期中）冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”.通常以木镟之，
大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知 分别是
上、下底面圆的圆心， ，底面圆的半径为 ，则该陀螺的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山东泰安·模拟预测）鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结
构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁
的两个相对三角形面间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·贵州遵义·模拟预测）在矩形 中， ， ， 为 的中点，将 和
分别沿 ， 折起，使点 与点 重合，记为点 ，若三棱锥 的四个顶点都在球 的球
面上，则球 的表面积为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
8．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）半径为4的实心球 与半径为2的实心球 体积之差的绝对值为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
A B C D
1 1 1 1
9．（2024·山东·模拟预测）如图，有一个棱台形的容器 （上底面 无盖），其四条
侧棱均相等，底面为矩形， ，容器的深度为 ，容器壁的厚度忽略不计，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．该四棱台的侧面积为
C．若将一个半径为 的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面
D．若一只蚂蚁从点 出发沿着容器外壁爬到点 ，则其爬行的最短路程为
10．（21-22高二下·浙江绍兴·期末）在正方体 中，点 满足 ，其中
， ，则（ ）
A．当 时， 平面
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时， 的面积为定值
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学科网（北京）股份有限公司D．当 时，直线 与 所成角的范围为
11．（2024·江苏南京·二模）在棱长为1的正方体 中， 、 分别为 、 的中点，点
满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则三棱锥 外接球的表面积为
B．若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
C．若 ，则 面积的最小值为
D．若存在实数 使得 ，则 的最小值为
三、填空题
12．（2025·江苏南通·一模）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则
该圆柱的侧面积为 ．
13．（2024·江苏苏州·一模）已知直三棱柱 外接球的直径为6，且 ， ，则该棱
柱体积的最大值为 ．
14．（2024·江西九江·二模）将两个观赏球体封闭在一个正方体容器内，设正方体棱长为1，则两个球体体
积之和的最大值为 ．
四、解答题
15．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把
折起，使点D到达点P的位置，且 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的表面积
16．（2022·陕西榆林·模拟预测）如图，已知三棱柱 中， ， 平面 ，
，M为 边上的动点．
(1)当 时，求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
17．（2024·上海·模拟预测）设一个简单几何体的表面积为 ，体积为 ，定义系数 ，已知球体对
应的系数为 ，定义 为一个几何体的“球形比例系数”.
(1)计算正方体和正四面体的“球形比例系数”；
(2)求圆柱体的“球形比例系数”范围；
(3)是否存在“球形比例系数”为0.75的简单几何体？若存在，请描述该几何体的基本特征；若不存在，说
明理由.
18．（2024·河南信阳·模拟预测）长方体 中， .
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学科网（北京）股份有限公司(1)过E、B作一个截面，使得该截面平分长方体的表面积和体积.写出作图过程及其理由.
(2)记（1）中截面为 ，若 与（1）中过 点的长方体的三个表面成二面角分别为 ，求
的值.
19．（2022·福建宁德·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， 为棱 上一点．
(1)若 是 的中点，求证：直线 平面 ；
(2)若 ，且二面角 的平面角的余弦值为 ，求三棱锥 的体积
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学科网（北京）股份有限公司
