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第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理（3个知识点+6大题型+11道拓展培优题） 分层作业
题型目录
考查题型一 判断三边能否构成直角三角形
考查题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点
考查题型三 在网格中判断直角三角形
考查题型四 利用勾股定理的逆定理求解
考查题型五 勾股定理逆定理的实际应用
考查题型六 勾股定理逆定理的拓展问题
【知识梳理】
知识点1.勾股定理的逆定理（重点）
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的
和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件
来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和
与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
知识点二．勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股
数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
知识点三．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中
抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形
的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三
角形的斜边．
考查题型一 判断三边能否构成直角三角形
一、单选题
1．（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4cm、5cm、6cm B．6cm、8cm、9cm
C．3cm、4cm、5cm D．2cm、3cm、4cm
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理，即较小两边的平方和等于最大边的平
方，那么这个三角形就是直角三角形，据此逐项分析即可判断．
【详解】解：A、 ，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、 ，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、 ，能构成直角三角形，符合题意；
D、 ，不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：C．
2．（2023下·天津·八年级校考阶段练习）三角形的三边长分别是 、 、 （n为自然
数），则此三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．无法判定
【答案】A
【分析】由n为自然数，可得 ，设 ， ， ，根
据勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形．本题主要考查了勾股定理的逆定理和完全平方公式，熟练掌握勾股定理的逆定理和完全平方公式是解题的
关键．
【详解】∵n为自然数，
．
设 ， ， ，
则 ，
，
，
∴此三角形是直角三角形．
故选：A
二、填空题
3．（2023上·广西梧州·八年级统考期末）已知x，y，z是三角形的三边长，且满足
，则该三角形的形状是 ．
【答案】直角三角形
【分析】本题主要考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理．根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非
负性，可求解出x，y，z的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
∵ ，
∴三角形为直角三角形．
故答案为：直角三角形．
三、解答题
4．（2022上·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考期中）如图， 中，D是 边上的一点，若A ．
(1)求证： ；
(2)求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理，证明三角形是直角三角形，是解题的
关键．
（1）利用勾股定理逆定理，得到是直角三角形，即可证明；
（2）在中，利用勾股定理求得 ，从而求得,最后利用三角形的面积公式，进行计算求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴
．
5．（2024上·重庆北碚·八年级统考期末）已知 的三边长分别为 ，求证：
是直角三角形．
【答案】见解析【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直
角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果 ，那么这个三角形
是直角三角形．根据勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】证明：
，
以 为三边的 是直角三角形．
考查题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点
一、单选题
1．（2023下·浙江台州·八年级校考期中）在如图所示的 的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C
也在格点上，满足 为以 为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．
【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，
故选D．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．
二、填空题
2．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， ， ． 是
边上的一个动点，点 与点 关于直线 对称，当 为直角三角形时， 的长为 ．
【答案】7或17
【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可．
【详解】解：当E在线段AD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEC=∠FEC= =135°，
∴∠CED=45°，
∴CD=ED=5，
∴AE=AD-ED=12-5=7；
当E在线段BD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF，∵∠AEF=90°，
∴∠CEF=∠CEA=45°，
∴ED=CD=5，
∴AE=AD+DE=17，
故答案为：7或17．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键
是注意运用数形结合的思想解决问题．
3．（2023下·八年级课时练习）如图， ，点A是 延长线上的一点， ，动点P从
点A出发沿 以 的速度移动，动点Q从点O出发沿 以 的速度移动，如果点 同时出
发，用 表示移动的时间，当 s时， 是等腰三角形；当 s时， 是
直角三角形．
【答案】 或5 4或10
【分析】根据 是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点 在 上，或点 在 上；根据 是
直角三角形，分两种情况进行讨论： ，或 ，据此进行计算即可．
【详解】解：如图，当 时， 是等腰三角形，， ，
当 时， ，
解得 ；
如图，当 时， 是等腰三角形，
， ，
当 时， ，
解得 ；
如图，当 时， 是直角三角形，且 ，
， ，
当 时， ，
解得 ；
如图，当 时， 是直角三角形，且 ，， ，
当 时， ，
解得：t=10．
故答案为： 或5；4或10．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分
类时注意不能遗漏，也不能重复．
4．（2023下·全国·八年级专题练习）同一平面内有 ， ， 三点， ， 两点之间的距离为 ，点
到直线 的距离为 ，且 为直角三角形，则满足上述条件的点 有 个．
【答案】8
【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则 ；（2）AB为直角边， 或 ；
【详解】（1）当AB为斜边时，点 到直线 的距离为 ，即AB边上的高为 ，符合要求的C点
有4个，如图：
（2）当AB为直角边时， 或 ，符合条件的点有4个，如图；
符合要求的C点有8个；故答案是8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．
5．（2023下·全国·八年级专题练习）已知在平面直角坐标系中A（﹣2 ，0）、B（2，0）、C（0，
2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为
．
【答案】（0，0），（ ，0），（﹣2，0）
【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情
况进行分析即可．
【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，
∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为（m，0）．
当△PAC为直角三角形时，
①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠ACP＝90°时，如图，
∵∠ACP＝90°
∴AC2＋PC2＝AP2，
，
解得，m＝ ，
∴点P的坐标为（ ，0）；
当△PBC为直角三角形时，
①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠BCP＝90°时，
∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，
∴PO＝BO＝2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．综上所述点P的坐标为（0，0），（ ，0），（﹣2，0）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗
漏的进行分类．
三、解答题
6．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出
发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．
【答案】(1)3cm
(2)t=1或(3)t= 或2或
【分析】（1）根据题意，在 △ABC中，利用勾股定理求解即可；
（2）由题意可知，分两种情况：① ；② ，代值求解即可；
（3）由题意可知，分三种情况：① ；② ；③ ，分别结算求解即可．
【详解】（1）解：∵在 △ABC中， ， ， ，
∴BC= ；
（2）解：由题意可知，分两种情况：① ；② ，
设BP=3tcm，∠B≠90°：
①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合，
∴BP = BC，即3t=3，
∴ ；
②当∠PAB=90°时，如下图所示：
∴CP=BP－BC=（3t－3）cm，
∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t= ，
综上所述：当 为直角三角形时，t=1或 ；
（3）解：由题意可知，分三种情况：① ；② ；③ ，
①当 时，如图所示：；
②当 时，如图所示：
根据等腰三角形“三线合一”可知， 是 边 上的中线，
，
；
③当 时，如图所示：
设 ，则 ，
在 中， ， ， ， ，则由勾股定理可得 ，即
，解得 ，，
，
综上所述：t= 或2或 ．
【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形
为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键．
考查题型三 在网格中判断直角三角形
一、单选题
1．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1．点
A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． 的面积为5 D．点A到 的距离是1.5
【答案】D
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握
勾股定理及其逆定理是解题的关键．
利用勾股定理及其逆定理判定A，利用勾股定理求出 长可判定B；利用网格图计算三角形的面积可判定
C；利用面积公式求出 边 的高，即可利用点到直线的距离判定D．
【详解】解：A、 ， ， ，
，
，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，本选项结论正确，不符合题意；
C、 ，本选项结论正确，不符合题意；
D、点A到 的距离 ，本选项结论错误，符合题意；故选：D．
二、解答题
2．（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1， 的顶点在格
点上．
(1)直接写出 _________， __________， __________；
(2)判断 的形状，并说明理由；
(3)直接写出 边上的高 _________．
【答案】(1)
(2) 为直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理解三角形．
（1）根据勾股定理进行计算即可解答；
（2）根据勾股定理的逆定理进行计算即可解答；
（3）先求出 的面积，然后再求出 边上的高．
【详解】（1）解：由勾股定理得：
，
，
．
故答案为： ；
（2）解： 为直角三角形，
理由： ，
，为直角三角形；
（3）解： 的面积 ，
则 边上的高 ．
故答案为： ．
3．（2023上·北京海淀·八年级统考期末）如图所示的 网格是正方形网格，顶点是网格线交点的三角
形称为格点三角形．如图1， 为格点三角形．
(1) __________ ；
(2)在图2和图3中分别画出一个以点 ， 为顶点，与 全等，且位置互不相同的格点三角形．
【答案】(1)90
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理与网格，全等三角形的判定，
（1）由勾股定理分别求出 ， ， ，再利用勾股定逆定理，得出 是直角三角
形，即可得到 的度数；
（2）根据三条边分别对应相等的两个三角形全等画图即可．
【详解】（1）解：由勾股定理， ， ， ，
，
是直角三角形，
，
故答案为： ；
（2）解：如图， 和 即为所求作．4．（2023上·安徽淮南·八年级淮南市龙湖中学校考阶段练习）如图，在下列带有坐标系的网格中，
的顶点都在边长为 的小正方形的顶点上， ， ， ．
(1)直接写出 的面积为___________；
(2)画出 关于 轴的对称的 （点 与点 对应，点 与点 对应），点 的坐标为___________；
(3)用无刻度的直尺，运用所学的知识作图（保留作图痕迹）．在边 上确定一点 ，使得 ．
【答案】(1) ；
(2)作图见解析， ；
(3)作图见解析．
【分析】（ ）利用割补法计算即可求解；
（ ）根据关于 轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，得到点 的坐标为 ，点
的坐标为 ，连接点 得到 ， 即为所求；
（ ）如图，取格点 ，连接 ，与 相交于点 ，点 即为所求；
本题考查了作轴对称图形，利用网格求三角形面积，等腰直接三角形的判定，勾股定理及其逆定理，掌握
轴对称图形的性质是解题的关键．【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：如图， 即为所求．
∵ ，点 与点 关于 轴对称，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（3）解：如图，取格点 ，连接 ，与 相交于点 ，点 即为所求．
理由：由勾股定理得， ， ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ．
5．（2023上·甘肃酒泉·八年级校考期末）如图，每个小正方格的边长为1．用 表示点A的位置，用 表示点C的位置．
(1)画出平面直角坐标系．
(2)点B关于x轴对称的点的坐标为______，点C关于y轴对称的点的坐标为______．
(3)图中格点三角形ABC的面积为______．
(4)判断三角形 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，
(3)5
(4)三角形 的形状为直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，轴对称图形、三角形面积、勾股定理逆定理等知识点，准确建
立坐标系是解本题的关键．
（1）根据点A的坐标建立坐标系即可；
（2）先确定点B、C的坐标，然后根据坐标与图形确定坐标即可；
（2）运用割补法求解即可；
（4）先运用勾股定理求得 ，然后再运用勾股定理逆定理判断即可．
【详解】（1）解：如图：直角坐标系 即为所求．（2）解：由（1）的坐标系可得点 ，
所以点B关于x轴对称的点的坐标为 ，点C关于y轴对称的点的坐标为 ．
故答案为： ， ．
（3）解：
（4）解：三角形 的形状为直角三角形，理由如下：
由（1）的坐标系可得：
,
∴ ，即三角形 的形状为直角三角形．
考查题型四 利用勾股定理的逆定理求解
一、填空题
1．（2023上·贵州毕节·八年级校考期中）如图，在 中，D是 边上一点，
， ，则 的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理的综合运用：先由三边的数值关系，得 ，根据勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
故 ，
∴ ，
故答案为：4．
二、解答题
2．（2023上·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点
D为 内一点，且 ， ．
(1)求BC的长；
(2)求图中阴影部分（四边形 ）的面积．
【答案】(1)5
(2)24
【分析】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理，三角形的面积计算．熟练掌握勾股定理及其 逆定理是解
题关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）由勾股定理逆定理可证 为直角三角形，且 ，再根据 ，结
合三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：在 中， ，
∴ ．（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
3．（2023上·江西抚州·八年级江西省抚州市第一中学校考期中）如图，在 中， ， ，
D为 上一点，且 ， ．
(1)求证： ；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明 是直角三角
形．
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）设 ，则 ，根据勾股定理进而解答即可．
【详解】（1）证明：在 中，
，
∴ 为直角三角形，即 ，
∴ ；
（2）解：设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
∴ ．
4．（2023上·河南新乡·八年级统考阶段练习）如图，已知 中， ， ，D是 上
一点，连接 ，且 ， ．求 的度数．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理计算得 ．
【详解】 ，
，
为直角三角形， ，
，
，
，
．
5．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）如图所示的一块地， ， ，
，求这块地的面积．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出 ，再利用勾股定理的逆定理证明 ，则 ．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ．
6．（2023上·辽宁丹东·八年级校考期中）在 中， ，D为 内一点．连接 ， ，
延长 到点E，使得 ．
(1)如图1，延长 到点F．使得 ．连接 ， ．求证： ；
(2)连接 ，交 的延长线于点H．依题意补全图2．若 ．判断 与 位置关系．并
证明．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆定理．
（1）利用“ ”证明 ，即可得证结论；
（2）延长 至点M，使 ，延长 交 于G，连接 ， ，由（1）同理可得
，得到 ， ，由 ， ，可得 ，从而有
，证得 ，进而根据 得到 ，得证 ．
【详解】（1）在 和 中，
∴ ，
∴
（2） ，理由如下：
延长 至点M，使 ，延长 交 于G，连接 ， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
考查题型五 勾股定理逆定理的实际应用
一、单选题
1．（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速 海里，乙船时
速 海里，两个小时后，两船相距 海里，已知甲船的航向为北偏东 ，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东 或北偏西 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了方位角，勾股定理逆定理，根据题意画出图形，然后利用勾股定理逆定理判断出
即可求解，掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得， 海里， 海里， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴点 三点共线，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴乙船的航向为南偏东 或北偏西 ，
故选： ．
二、解答题
2．（2023上·河北承德·八年级校考期末）如图是某小区的一块四边形形状的绿地，其四个顶点处为A、B、C、D四栋住宅．已知 ， ， ， ， ．
(1)为了方便居民出入，小区物业计划对绿地进行改造，改造前从A栋到C栋有两条路线，分别为
和 ，改造后物业开辟一条从点A直通点C的小路，通过计算比较居民从点A到点
C将最多少走多少路程？
(2)这片绿地的面积是多少？
【答案】(1)居民从点A到点C将最多少走 路程；
(2)
【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记定理的含义是解本题的关键．
（1）如图，连接 ，再利用勾股定理求解 ，再计算 即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明 ，再利用直角三角形的面积和可得答案．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
∵ ， ， ．
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴居民从点A到点C将最多少走 路程；（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
3．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）2021年是第七届全国文明城市创建周期的第一年，某小区
在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知 ， ，
， ，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了
．
(1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定 的依据；
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】(1)测量的是点 ， 之间的距离；理由见解析．
(2)绿化这片空地共需要 元．
【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出
的形状是解答此题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理即可判断；
（2）由（1）中 的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出 的形状，再利用三角形的面积公式，
最后计算费用即可．
【详解】（1）解：测量的是点 ， 之间的距离；
依据是：如果三角形的三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形．
（2）如图，连接 ，， ， ，
，
由勾股定理，得 ，
又 ， ，
，
是直角三角形，
．
．
绿化费用为： （元）．
答：绿化这片空地共需要 元．
4．（2023上·内蒙古包头·八年级统考期中）如图，在海面上有两个疑似漂浮目标 ，接到消息后，两艘
搜救艇同时从港口 出发赶往目的地．一艘搜救艇以 海里/时的速度沿北偏东 的方向向目标 前进，
同时另一艘搜救艇以 海里/时的速度向目标 前进， 小时后，他们同时分别到达目标 ，此时，他们
相距 海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？
【答案】北偏西
【分析】根据题意可得 海里， 海里， 海里，即可得 ，则
，进而可得 ，从而可得出答案，本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、方向角是解答本题的关键．
【详解】解：一艘搜救艇以 海里/时的速度沿北偏东 的方向向目标 前进，同时另一艘搜救艇以 海
里/时的速度向目标 前进，行驶时间为 小时，
∴ （海里）， （海里），
∴ ，
∵ （海里），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴第二艘搜救艇的航行方向是北偏西 ．
5．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）已知王大爷有个长方形池塘 ， ， 米，
米，王大爷依据地势修了块草莓园（如图阴影部分），并测得 米， 米．求王大爷的
草莓园的占地面积有多大？
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键，连接 ，
证明 是解题的关键．
【详解】解：连接
∵在 中，
∴ 米．
∵
∴ 是直角三角形，且
∴
，6．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）一种四边形机器零件的形状如图所示（其中 ），按规
定：当 为直角时，这个零件视为合格．现工人师傅测得这个零件的四条边长分别为 ，
， ， ．
(1)你认为这个零件合格吗？为什么？
(2)求这个四边形机器零件的面积．
【答案】(1)这个零件合格，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识．
（1）由勾股定理 的长，再由勾股定理的逆定理，判断出 的形状，即可得出结论；
（2）由三角形面积公式列式计算即可．
【详解】（1）解：这个零件合格．
， ， ，
，
， ，
，
，即这个零件合格．
（2）所求面积为 ，
即这个四边形机器零件的面积为 ．7．（2023上·河南郑州·八年级统考期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．
在进行《勾股定理》一章《回顾与思考》时，李芳老师带领同学们进行如下的探究活动：如图①，是用硬
纸板剪成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别为 ， ，斜边长为 ）和一个边长为 的正方形，请
你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形．
(1)如图②，是李明拼成的示意图，请你利用图②验证勾股定理；
(2)一个零件的形状如图③，按规定这个零件中 和 都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸
（单位： ）如图④所示，这个零件符合要求吗？
【答案】(1)见解析
(2)这个零件不符合要求.
【分析】本题考查了勾股定理的证明及其逆定理：
（1）根据大正方形的面积等于四个小三角形的面积与小正方形的面积之和为数量关系即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理判断 不是直角三角形， 不是直角，进而可求解；
熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】（1）解：正方形面积表示为： ，
根据图②，正方形面积可以表示为： ，
所以， ，
即 ．
（2）在 中， ，
所以 是直角三角形， 是直角，
在 中， ， ，
，
所以 不是直角三角形， 不是直角，
因此，这个零件不符合要求．
8．（2023上·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）如图所示，一棵 米高的大杉树在一次台风中被刮断，折断处 到树根 的距离是 米，树顶 落在离树根 点 米处，科研人员要查看断痕 处的
情况，在离树根 有 米的 处竖起一个梯子 ，点 ， ， 在一条直线上．请问这个梯子有多长？
【答案】这个梯子有 米长．
【分析】此题考查了勾股定理逆定理的应用，首先利用勾股定理逆定理求得 的长，然
后再利用勾股定理求得斜边 的长即可，解题的关键是能够从实际问题中抽象出直角三角形．
【详解】解：由已知可得： 米， 米， 米， 米， ，
∴ 米，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 米，
由勾股定理得： ，
∴ （米），即这个梯子 的长应是 米，
答：这个梯子有 米长．
考查题型六 勾股定理逆定理的拓展问题
一、解答题
1．（2023下·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，在笔直的公路 旁有一条河流，为方便运输货物，
现要从公路 上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为 ，与公路
上另一停靠站B的直线距离为 ，公路AB的长度为 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)求修建的桥梁 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证；
（2）根据 即可求解．
【详解】（1）证明：由题可知 ， ， ．
∵ ，
即 ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ， ， ，
∴ ．
答：修建的桥梁CD的长为 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平
方，则这个三角形是直角三角形．
2．（2023下·全国·八年级专题练习）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，
MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若 ， ， ，则点M、N是线段
AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若 ， ，求BN的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)BN＝12或13
【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋
BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋
MN2，分别列出方程即可解决问题．【详解】（1）是．理由如下：
∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2＋NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，
即（25−x）2＝x2＋25，
解得x＝12；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2．
即x2＝25＋（25−x）2，
解得x＝13，
综上所述，BN＝12或13．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解．
3．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）在 中， ，设 为最长边，当
时， 是直角三角形；当 时，利用代数式 和 的大小关系，探究
的形状（按角分类）．
(1)当 三边分别为6、8、9时， 为________三角形；当 三边分别为6、8、11时，
为________三角形；
(2)猜想：当 ________ 时， 为锐角三角形；当 ________ 时， 为钝角三角形；
（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当 时，
当 为直角三角形时，则 的取值为________；
当 为锐角三角形时，则 的取值范围________；
当 为钝角三角形时，则 的取值范围________．
【答案】(1)锐角；钝角
(2)
(3)① ；② ；③【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，
反之为钝角三角形；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）当为直角三角形时，可求出 ，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围．
【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边
当 三边分别为6、8、9时， 为锐角三角形
当 三边分别为6、8、11时， 为钝角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
当 时， 为锐角三角形；
当 时， 为钝角三角形；
（3）解：当为直角三角形时， ；
当 为锐角三角形时， ，
；
当 为钝角三角形时， ，
则 的取值范围为 ，
两边之和大于第三边，
．
4．（2023上·湖南长沙·八年级湖南师大附中校考期中）定义：a，b，c为正整数，若 ，则称c
为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如 ，则13是“完美勾股数”，5，12是
13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知 的三边a，b，c满足 ． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m， 且 ， ， ， ，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式 有一个因式 ，求该多项式的另一个因式．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用．
（1）根据完美勾股数的定义可得答案；
（3）利用完全平方公式证明即可；
（3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入 ，根据多项式 有一个因
式 ，求解即可．
【详解】（1）解： ，
数10是“完美勾股数”，
故答案为：是；
（2）证明：
，
，
是“完美勾股数”；
（3）解：由题意得： ，
，
，
，
，
，又 ，
，即 ，
，
有一个因式为 ，
，
∴另一个因式为 ．
5．（2023上·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多
种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三
角板 和直角三角板 ，顶点F在 边上，顶点C、D重合，连接 ．设 交于点
G． ， ， ， ．请你回答以下问题：
（1） 与 的位置关系为______．
（2）填空： ______（用含c的代数式表示）．
（3）请尝试利用此图形证明勾股定理．
【问题再探】平移直角三角板 ，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时
三角形 是一个等腰直角三角形．
请你利用以上信息解决以下问题：
已知直线 及点P，作等腰直角 ，使得点A、B分别在直线a、b上且 ．（尺规作图，
保留作图痕迹）【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题：
已知 中， ， ， ，则 的面积 ______．
【答案】问题初探：（1） ；（2） ；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9
【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质．
问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到 ，求得 ，得到
，根据垂直的定义得到 ；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形 的面积，于是得到结论．
问题再探：如图，过点P作 直线 于点F交直线a于点E，截取 ， ，连接
即可；
问题拓展：过点B作 交 延长线于点E，过点C作 于点D，证明
，得 ，根据勾股定理得
，然后代入三角形面积公式即可解决问题．
【详解】解：问题初探：（1） ；
证明： ，
，
，
，，
，
，
故答案为： ；,
（2）∵ ，
，
故答案为： ；,
（3）证明：∵四边形 的面积
，
∴四边形 的面积
，∴ ，
即 ．
问题再探：解：如图， 即为所求；
问题拓展：解：如图，过点B作 交 延长线于点E，过点C作 于点D，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在 和 中，，
，
，
，
，
，
，
，
的面积
．
故答案为：9．
一、解答题
1．（2023上·四川成都·八年级统考期末）在四边形 中， ， ．(1)如图1，若 ， ， ．
①连接 ，试判断 的形状，并说明理由；
②连接 ，过 作 ，交 的延长线于点 ，求 的面积；
(2)如图2，若 ， ，四边形 的面积为 ，求 的长．
【答案】(1)①直角三角形，理由见解析 ②
(2)
【分析】（1）①利用勾股定理的逆定理即可判断 的形状；②证明 ，利用全等三角形
的性质可得 ，易得 ，即可获得答案；
（2）过 作 交 的延长线于点 ，连接 ，过 作 ，交 的延长线于点 ，首
先证明 是等腰直角三角形，可得 ；结合（1）中 ，可得 ，
，再由 ，可解得 ，进而可求得 ，
然后由 即可获得答案．
【详解】（1）解： ① 是直角三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即
；
（2）过 作 交 的延长线于点 ，连接 ，过 作 ，交 的延长线于点 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同（1）②，可证 ，
∴ ， ，
由（1）②，可知 ，
即 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等
知识，理解并掌握相关知识是解题关键．
2．（2023下·安徽滁州·八年级校考期中）如图，在 中， ， 为底边 上的高线，E是
上一点，连接 交 于点F，且 ．(1)求证： ；
(2)如图1，若 ， ，求 的长；
(3)如图2，若 ，以 ， 和 为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) 的长为3.5
(3)以 ， 和 为边，能围成直角三角形，理由见解析
【分析】（1）在 中，由 ， ，可得 ，由勾股定理得 ，进
而可证 ；
（2）由（1）可知 ，由勾股定理得， ，在 中，
，可得 是等腰直角三角形，则 ，根据 ，计算求解即可；
（3）如图，在 上取一点H，使 ，连接 ， ，由 ， ，可得
， ，证明 ，则 ， ，由
，可得 ， ，由 ， ，可得
， ，则 ，即 ，由 ，可得
，由勾股定理，得 ，则 ，进而可得以 ， 和 为边，能
围成直角三角形．
【详解】（1）证明：在 中， ， ，
∴ ，
由勾股定理得 ，∴ ；
（2）解：由（1）可知 ，
在 中，由勾股定理得， ，
∵在 中， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为3.5；
（3）解：能围成直角三角形，理由如下：
如图，在 上取一点H，使 ，连接 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，又∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理，得 ，
∴ ，
∴以 ， 和 为边，能围成直角三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质．
解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
3．（2023下·贵州毕节·八年级统考期末）先阅读下面的内容，再解答问题．
已知 为 的三边，且满足 ，请判断 的形状．有个学生的解答
过程如下：
解： ，
，（第一步）
，（第二步）
是直角三角形．（第三步）
根据以上解答过程回答以下问题：
(1)该学生的解答过程，从第_________步开始出现错误；
(2)简要分析出现错误的原因；
(3)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)二
(2)忽略了 的情况，直接两边同时除以了
(3)当 时， 为等腰三角形，当 时， 为直角三角形
【分析】（1）分析该学生的解答过程即可得到答案；
（2）根据等式的基本性质，等式的两边同时除以一个不为0的整式，等式仍然成立，即可得到答案；
（3）计算到 后，分当 时和当 时，两种情况分别进行求解即可得
到答案．
【详解】（1）解：由该学生的解答过程可知，该学生的解答过程，从第二步开始出现错误，故答案为：二；
（2）解：由题意可得：
出现错误的原因是：忽略了 的情况，直接两边同时除以了 ；
（3）解： ，
，
当 ，即 时， 是等腰三角形，
当 时，两边同时除以 ，
，
是直角三角形，
综上所述，当 时， 为等腰三角形，当 时， 为直角三角形．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质、等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理，熟练掌握等式的基本
性质、等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
4．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）【问题提出】
（1）如图①，在 中， ， ， ，则 是 三角形；（填“直角”“锐角”
或“钝角”）
【问题探究】
（2）如图②， ，点C为射线 上一点，且 ，点D为射线 上的动点，当 为
等腰三角形时，求 的长；（结果保留根号）
【问题解决】
（3）如图③， 为某植物园的一片绿化区域，且 米， 米， 米，已知在
的延长线上，距离A点40米的点D处有一口灌溉水井（灌溉水井的大小忽略不计），管理人员计划沿
修一条小路，并在 上找一点E，在 中种植栀子花，请你计算当种植栀子花的区域（ 为
等腰三角形时， 的长．（结果保留根号）【答案】（1）直角；（2）当 为等腰三角形时， 或 或 ；（3）当 为等腰三角形
时， 或 或
【分析】（1）由 可得 是直角三角形；
（2）可得 为等腰直角三角形，过 分别作 、 的垂线即可得到D；
（3）由 可得 是直角三角形，由题意可得 ，即 为等腰直角三角
形， ，再分类讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴
∴ 是直角三角形
故答案为：直角；
（2）当 时，
；
当 时，
过 作 交 于D，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
过 作 交 于D，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，解得 ；
综上所述，当 为等腰三角形时， 或 或 ；
（3）∵ ， ， ，
∴ ，
∴
∴ 是直角三角形，
∵
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
当 时，则 ，∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，则 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
综上所述，当 为等腰三角形时， 或 或 ．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键．5．（2023上·江苏泰州·八年级校考期中）如图1，在 中， ，垂足为D， ，
， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，若 的角平分线 交 于点E， 交 于点F，
①求证： ；
②求点E到 的距离．
(3)若点P为 边上一点，连接 ，若 为等腰三角形，请直接写出 的长为______________．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②点E到 的距离为
(3)15或 或18
【分析】（1）根据勾股定理求出 ， 的长，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）①根据角平分线定义得出 ，根据余角性质得出 ，根据对顶角相等得出
，证明 ，根据等腰三角形的判定得出结论；
②过点E作 于点G，根据角平分线的性质得出 ，证明 ，得出
，设 ，则 ，根据勾股定理得出 ，求出结果即可；
（3）分三种情况：①当 时，②当 时，③当 时，分别画出图形求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴根据勾股定理得： ，
，
∵ ，∴ ，
即 ，
∴ 为直角三角形，
∴ ；
（2）解：①∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②过点E作 于点G，如图所示：
∵ 是 的角平分线， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即点E到 的距离为 ；
（3）解：①当 时，如图所示：∵ ，
∴ ；
②当 时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
③当 时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述： 的长为15或 或18．故答案为：15或 或18．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及等腰三角形判定与性质的应用，掌握勾股定理、逆
定理的应用是解第（1）（2）小题的关键，利用等腰三角形的性质与判定并能结合分类讨论的思想是解第
（3）小题的关键．
6．（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）如图，是由小正方形组成的 网格中，每个小正方形的顶点
叫做格点，点A、B、C、D都是格点，直线 与 交于点E，仅用无刻度直尺，在给定的网格中完成画
图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，画出 的中线 和角平分线 ；
(2)如图2，连接 ．
① 是______三角形；
②在图2中的线段 上画点P，使 ．
【答案】(1)画图见解析
(2)①等腰直角；②画图见解析
【分析】（1）如图，取格点 ， ，连接 ，交 于 ，连接 ，则 为 的中线，连接
，取格点 ，连接 ，交 于 ，由全等三角形的性质可得 ，利用等腰三角形的性质可得
为 的角平分线；
（2）①利用勾股定理分别求解 ， ， ，再结合勾股定理的逆定理可得结论；②如图，取格点
， ， ，连接 ， 交于点 ，由 可得 ，可得 ，结合三角形
的内角和定理可得 ，结合 ， ，可得 ，可得
．
【详解】（1）解：如图， ， 即为所求；（2）①连接 ，由勾股定理可得：
， ，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形， ；
②如图，点P即为所求；
【点睛】本题考查的是利用网格特点作图，三角形的中线，角平分线的含义，全等三角形的判定与性质，
等腰三角形的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，属于复杂作图，掌握基本图形的性质与判定是
解本题的关键．
7．（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）如图， 中， ， ， ，若动
点 从点 出发，沿着 的三条边顺时针走一圈回到 点，且速度为每秒 ，设出发的时间为 秒．
(1)当 为几秒时， 平分 ；
(2)问 为何值时， 为等腰三角形？
(3)另有一点 ，从点 开始，沿着 的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒 ，若 、 两
点同时出发，当 、 中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 ______s时，直线 把 的周长分成相等的两部分？
【答案】(1)
(2) 或 或 或
(3) 或
【分析】（1）先由勾股定理逆定理证明 ，再证 ，得 ，
则 ，设 ，则 ，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）如图， 在边 上时， ，当 在 边上时，有三种情况：①当 ，
此时 ， 运动的路程为 ，②当 ，过 作斜边 的高 ，③当
时，则 ，证明 ，从而可得答案；
（3）分两种情况：①当M、N没相遇前；②当M、N相遇后；分别由题意列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点 作 于点 ，
， ， ，
平分 ， ，
．
在 与 中，
，
，
．
设 ，则
在 中， ，即 ，解得： ，
当 秒时， 平分 ；
（2）如图， 在边 上时， ，
∴此时用的时间为 ， 为等腰三角形；
当 在 边上时，有三种情况：
①当 ，此时 ， 运动的路程为 ，
∴用的时间为 ，故 时 为等腰三角形；
②当 ，过 作斜边 的高 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 运动的路程为 ，
的时间为 ， 为等腰三角形；
③当 时，则 ，
， ，
，
，
，
的路程为 ，所以时间为 时， 为等腰三角形．
或 或 或 时， 为等腰三角形
（3）如图，相遇前当 点在 上， 在 上，
∴ ， ，
∴ ，
；
如图，相遇后当 点在 上， 在 上，
∴ ， ，
∴ ，
，
或 时，直线 把 的周长分成相等的两部分．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，角平分线的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的
应用等知识点，根据题意列出方程是解本题的关键．
8．（2023上·上海徐汇·八年级校联考阶段练习）某同学在一次课外活动中用硬纸片做了两个直角三角形，
中， ， ， ． 中， ， ， ．该同学
将 的直角边 与 的斜边 重合在一起，并将 沿 方向移动，在移动过程中，D、E
两点始终在 边上．
(1)当 移动至什么位置，即 的长为多少时，F、C的连线与 平行？
(2)当 移动至什么位置，即 的长为多少时，以线段 、 、 的长为三边长的三角形是直角
三角形？
(3)在 的移动过程中，是否存在某个位置，使得 ？如果存在，求出 的长；如果不存在，
说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析．
【分析】本题主要考查平移的性质以及勾股定理的应用，结合已知条件应用相关性质解题即可．
（1）因为 ， ，所以 ，又因为 ， ， ，所以
，连接 ，设 ，则可求证 ，故 的长可求；
（2）设 ，则 ，再分情况讨论∶ 为斜边； 为斜边； 为斜
边，综合分析即可求得 的长；
（3）假设 ，因为 ，作 的平分线，交 于点P，则 ，
所以 ， ，则 的值大于边长12，故不存在．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，∴ ，
∵ 中， ， ，
∴ ，
如图1，连接 ，
当 时，
，
∴
∴
∴
∴当 时， ．
（2）设 ，在 中，
当 为斜边时，
由 得 ，
解得： ，
当 为斜边时，由
得 ，
解得：
∵
∴ ，
∴ （不合题意舍去）当 为斜边时，由
得， ，
整理得出∶
∵
∴此方程无解，
综上所述：当 时，以线段 、 、 的长度为三边长的三角形是直角三角形．
（3）不存在这样的位置，使得
理由如下∶
假设 （如上图2）
∵
作 的平分线，交 于点P，
则 ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
又∵
∴ ，
∴
∴不存在这样的位置，使得 ．
【点睛】本题考查的是平移的性质、勾股定理的应用，以及角平分线的性质，平行的性质等等知识点，灵
活运用分情况讨论思想是解题的关键，解答时，注意勾股定理的应用和正确解出一元二次方程．
9．（2023下·全国·八年级专题练习）问题背景：如图1，某车间生产了一个竖直放在地面上的零件 ，
过点A搭了一个支架AC，测得支架AC与地面成 角，即 ；在 的中点D处固定了一个激光扫描仪，需要对零件 进行扫描，已知扫描光线的张角恒为 ，即 ．
问题提出：数学兴趣小组针对这个装置进行探究，研究零件 边上的被扫描部分（即线段EF），和未扫
到的部分（即线段 和线段 ）之间的数量关系．
问题解决：
(1)先考虑特殊情况：
①如果点E刚好和点A重合，或者点B刚好和点F重合时， ________ （填“>”，“<”或
“=”）；
②当点E位于特殊位置，比如当 时， ________ （填“>”或“<”）；
(2)特殊到一般：猜想：如图2，当 时， ________ ，证明你所得到的结论：
(3)研究特殊关系：如果 ，求出 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1） 连接 ，先证明 是等边三角形，即 ，当F点与B点
重合时，即 ，根据“三线合一”可得 ，即有 ，同理：如果点E刚好和点A
重合，同样有 ；问题得解； 先证明 是等边三角形，根据等腰三角形的性质可得
，再结合含 角的直角三角形的性质可以求出 ，即问题得解；
（2）将 绕D点逆时针旋转120°至 ，连接 ，先证明 ，再证明
，问题即可得解；（3）将 绕D点逆时针旋转 至 ，连接 ，根据（2）中的方法，同理可证明：
， ，再证明 是直角三角形， ，结合含 角的直角三角形
的性质即可求解．
【详解】（1） 如图，连接 根据题意有 ， ，即 ，
∵点D为 中点，
∴ ，
∴ 是等边三角形，（此结论也适用于第（2）和（3）问）
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴ ，
当F点与B点重合时，如上图左图，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理：如果点E刚好和点A重合，同样有 ，
故答案为： ；
当 时，如图，∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2） ，理由如下：
将 绕D点逆时针旋转 至 连接 如图，根据旋转的性质有： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）将 绕D点逆时针旋转 至 ，连接 如图，
根据（2）中的方法，同理可证明： ， ，
∴ ， ， ，∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∵在（1）中已证明 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含 角直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性
质，勾股定理及其逆定理等知识，合理构筑辅助线，证明三角形全等是解答本题的关键．
10．（2023下·全国·八年级期末）在 中， ， 为 内一点，连接 ， ，延长
到点 ，使得 ．
(1)如图1，延长 到点 ，使得 ，连接 ， ．若 ，求证： ；
(2)连接 ，交 的延长线于点 ，连接 ，依题意补全图2．若 ，试探究 ， ，
这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见详解
(2) ，证明过程见详解
【分析】（1）证明 由全等三角形的性质得出 ，证出 ，即可得出结论；
（2）由题意画出图形，延长 到 ，使 ，连接 ， ，由（1）得 ， ，
由勾股定理的逆定理证出 ，得出 ，再由勾股定理得出结论．
【详解】（1）在 和 中，
，
，
，
，
．
（2）由题意补全图形如下：
延长 到 ，使 ，连接 ， ，
， ，
，
由（1）得 ， ，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，勾股定理和它的逆定理，
证出 是解本题的关键．11．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）【教材呈现】
下表是华师版八年级上册数学教材第122页的部分内容．
例4，如图，已知 ．求图中着色部分的面积．
结合图①，写出完整的求解过程．
【拓展】
如图②，点 分别是图①中边 上的点，连结 ，将 沿 翻折，使点B与点A重合．
（1）图中阴影部分图形的周长为______m．
（2）图中阴影部分图形的面积为______ ．
【答案】教材呈现：完整的求解过程见解析，图中着色部分的面积为 ；拓展：（1） ；（2）
．
【分析】本题考查了对称变化以及勾股定理和逆定理，准确计算是关键．
教材呈现，由勾股定理逆定理判断 为直角三角形，根据三角形面积公式求出阴影面积即可；
拓展∶（1）利用对称性质得到 ，设 ，则 ，根据勾股定理建立方程求出 ，继
而得到 长，依据周长计算即可；
（2）在 中，利用已知数据，求出 ，在计算出 的面积，根据
计算即可．【详解】教材呈现，
在 中， ，由勾股定理得∶
为直角三角形，
拓展：（1）由对折的性质可知， ，
阴影部分的周长 ，
故答案为∶ ；
(2)设 ，则 ，在 中，由勾股定理得∶
解得∶ ，
在 中，由勾股定理得：
