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考点 16 空间几何体（核心考点讲与练）
空间几何体的表面积、体积
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
相交于一点，但不一定相
侧棱 平行且相等 延长线交于一点
等
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
互相平行且相
母线 相交于一点 延长线交于一点
等，垂直于底面
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开
矩形 扇形 扇环
图
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图侧面积公式 S ＝ 2π r l S ＝ π r l S ＝ π (r ＋ r )l
圆柱侧 圆锥侧 圆台侧 1 2
3.空间几何体的表面积与体积公式
名称
表面积 体积
几何体
柱 体
S ＝S ＋2S V＝S h
表面积 侧 底 底
(棱柱和圆柱)
锥 体
S ＝S ＋S V＝S h
表面积 侧 底 底
(棱锥和圆锥)
台 体
S ＝S ＋S ＋S V＝(S ＋S ＋)h
表面积 侧 上 下 上 下
(棱台和圆台)
球 S＝ 4π R 2 V＝ π R 3
1.求解几何体表面积的类型及求法
求多面体 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求
的表面积 多面体的表面积
求旋转体 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但
的表面积 要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的
几何体的 柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表
面积
表面积
2.求体积的常用方法
直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算
首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规
割补法
则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算
选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任
等体积法
一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换
3.几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球
的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧
面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.4.截面问题：在高考立体几何考点中涉及到空间几何体的截面的地方较多， 如:判断截面的形状、计算出
空间几何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题都在考察之列，但是要顺利地
解决前面所提到的诸多问题，关键是根据题意作出截面，并判断其形状.
空间几何体的表面积
一、单选题
1．（2022·海南海口·模拟预测）已知圆柱的侧面积等于上、下底面积之和，圆柱的体积与表面积的数值相
同，则该圆柱的高为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据已知条件及圆柱的侧面积、表面积和体积公式即可求解.
【详解】设底面圆的半径为 ，高为 ，则
由题意可知， ，解得 .
所以该圆柱的高为 .
故选：B.
2．（2022·福建·模拟预测）已知某圆台的高为 ，上底面半径为 ，下底面半径为 ，则其侧面展开
图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可得展开图为圆环的一部分，求出小圆和大圆半径即可求出.
【详解】易知母线长为 ，且上底面圆周为 ，下底面圆周为 ，易知展开
图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为3，则大圆半径为6，
所以面积 .
故选：C.3.（2021湖北省黄石市高三上学期9月调研）已知圆锥的母线长为 ，其侧面展开图是一个圆心角为
的扇形，则该圆锥的底面面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求圆锥的底面半径，由此即可计算出圆锥的底面面积.
【详解】设圆锥的底面半径为 ，
则 ，解得
所以圆锥的底面面积为 .
故选：B
二、多选题
4．（2022·山东聊城·二模）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称
夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆
柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的 倍，已知某圆柱的
底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，
下列选项正确的是（ ）
A．底面椭圆的离心率为
B．侧面积为
C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为
D．底面积为
【答案】ABD
【分析】不妨过斜圆柱的最高点 和最低点 作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，作出
过斜圆柱底面椭圆长轴的截面，截斜圆柱得平行四边形，截圆柱得矩形，如图，由此截面可得椭圆面与圆
柱底面间所成的二面角的平面角，从而求得椭圆长短轴之间的关系，得离心率，并求得椭圆的长短轴长，得椭圆面积，利用椭圆的侧面积公式可求得斜椭圆的侧面积，由斜圆柱的高比圆柱的底面直径大，可知斜
圆柱内半径最大的球的直径与圆柱底面直径相等，从而得其表面积，从而可关键各选项．
【详解】不妨过斜圆柱的最高点 和最低点 作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，如图，
矩形 是圆柱的轴截面，平行四边形 是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面，
由圆柱的性质知 ，
则 ，设椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，则 ， ，
，
所以离心率为 ，A正确；
，垂足为 ，则 ，
易知 ， ，又 ，
所以斜圆柱侧面积为 ，B正确；
， ， ， ，
椭圆面积为 ，D正确；
由于斜圆锥的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2，球表
面积为 ，C错．
故选：ABD．
5．（2022·河北·模拟预测）已知正四棱台 （上下底面都是正方形的四棱台）．下底面ABCD边长为2，上底面边长为1，侧棱长为 ，则（ ）
A．它的表面积为
B．它的外接球的表面积为
C．侧棱与下底面所成的角为60°
D．它的体积比棱长为 的正方体的体积大
【答案】ACD
【分析】分别求得上、下底面面积，再求得侧面等腰梯形 的面积，即可判断A的正误；如图作辅助
线，可求得各个长度，根据三角函数的定义，可判断C的正误；求得 的长，分析可得 即为正四棱
台 外接球的球心，且外接球半径 ，代入表面积公式，可判断B的正误；分别求得正
四棱台的体积 和正方体的体积 ，利用作商法比大小，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】由题意得：上底面 的面积 ，下底面 的面积 ，
侧面 为等腰梯形，过 分别做AB的垂线，垂足为E、F，如图所示
所以 ，则 ，
所以 ，
所以梯形 的面积为 ，所以正四棱台 的表面积 ，故A正确；
连接 ，且交于点 ，连接AC、BD交于点 ，连接 ，
则 垂直底面ABCD，
过 作 于G，则 底面ABCD，则四边形 为矩形，
由题意得 ，所以 ，
同理 ，
又 ，所以 ，
在 中， ，
所以 ，即侧棱与下底面所成的角为60°，故C正确
所以 .
连接 ，在 中， ，
所以点 到 的距离相等，均为 ，
所以点 即为正四棱台 外接球的球心，且外接球半径 ，所以外接球的表面积 ，故B错误；
正四棱台的体积 ，
棱长为 的正方体的体积 ，
所以 ，所以 ，
所以正四棱台 的体积比棱长为 的正方体的体积大，故D正确；
故选：ACD
【点睛】解题的关键是熟练掌握棱台的表面积、体积的求法及公式，并灵活应用，难点在于求各个棱长及
确定 为外接球的球心，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
三、填空题
6.（2021贵州省贵阳市五校高三上学期联合考试）学生到工厂参加劳动实践，用薄铁皮制作一个圆柱体，
圆柱体的全面积为 ，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是__________________.
【答案】
【分析】设圆柱底面圆半径为r，结合已知表示出圆柱的高h，再利用球及其内接圆柱的特征求出球的表面
积与r的函数关系结合基本不等式即可得解.
【详解】设圆柱底面圆半径为r，高为h，则有 ，整理得 ，
由球及其内接圆柱的结构特征知，球心是圆柱两底面圆圆心的中点，设球半径为R，
于是得 ，当且仅当 ，
即 时取“=”，
因此，球的表面积为 ，所以该圆柱体的外接球的表面积的最小值是 .
故答案为：
7．（2022·广东广州·二模）在梯形 中， ，将 沿 折起，
连接 ，得到三棱锥 ，则三棱锥 体积的最大值为__________．此时该三棱锥的外接球
的表面积为__________．
【答案】
【分析】注意到三棱锥 体积最大时，平面 平面ABC，可知以B为顶点时，BC为三棱锥的
高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面 的距离、 外接圆半径和球的
半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.
【详解】过点C作 ，垂足为E，
为等腰梯形，
，
由余弦定理得 ，即
易知，当平面 平面ABC时，三棱锥 体积最大，
此时， 平面
易知，
记O为外接球球心，半径为R
平面 ，
O到平面 的距离又 的外接圆半径
故答案为： ，
空间几何体的体积
一、单选题
1．（2022·辽宁沈阳·二模）现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥，其内部放有一个小球，当小球体积最大
时，该圆锥与小球的体积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆锥侧面展开图为半圆，求得母线与底面半径的关系，利用当小球是圆锥的内切球时，小球
体积最大，求得小球的半径，可得答案.
【详解】由圆锥侧面展开图为半圆，设圆锥母线为l，底面半径为R，
则 ，所以 ，可知圆锥轴截面为正三角形，圆锥高为 ,
又由当小球是圆锥的内切球时，小球体积最大，轴截面如图示：设此时小球半径为r，则有 ，即 ，
故 ， ，
所以 ，
故选：A
2.（2021重庆市巴蜀中学高三上学期高考适应性月考）在棱长为2的正方体 中，点 ，
， ， 分别为棱 ， ， ， 的中点，若平面 平面 ，且平面 与棱 ，
， 分别交于点 ， ， ，其中点 是棱 的中点，则三棱锥 的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件结合面面平行的性质定理可确定出 ，根据点 的位置可确定
出 的位置，由此可计算出三棱锥 的体积.
【详解】如图所示，取 的中点 ，连接 ，由正方体结构特点可知： ，
所以 六点共面，
又因为平面 平面 ，所以平面 平面 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，由 为所在边中点可知 为 中点，
同理可知： 为 的中点，
所以 ，且 ， ， 两两垂直，
所以三棱锥 的体积为 ，
故选：D.
3.（2021广东省广州市荔湾区高三上学期调研）若圆台的下底面半径为4，上底面半径为1，母线长为5，
则其体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】画出圆台的轴截面，即可求出圆台的高，从而根据公式求出圆台的体积；
【详解】解：圆台的轴截面如图所示：则圆台的高 ，所以圆台的体积
故选：C
二、多选题
4．（2022·海南海口·模拟预测）如图，在长方体 中， ，E，F分别是棱
， 的中点，则（ ）
A．△BDF是等边三角形 B．直线 与BF是异面直线
C． 平面BDF D．三棱锥 与三棱锥 的体积相等
【答案】AC
【分析】A选项可根据几何关系求三角形的各个边长进行判断；B选项证点 ，E，B，F四点共面得出矛
盾；C选项证 ， 线线垂直，可得线面垂直；D选项点A与点F到平面 的距离不相
等，即是高不相等，体积也不会相等.【详解】对于A，设AB＝1，则 ，故△BDF是等边三角形，A正确；
对于B，连接 、 ，如图所示：
易知 ， ,故点 ，E，B，F共面，B错误；
对于C，设AB＝1，则 ， ， ，所以
所以 ，
同理可知 ，又因为 ，所以 平面BDF，故C正确；
对于D，三棱锥 与三棱锥 有公共的面 ，
若要它们的体积相等，则点A与点F到平面 的距离相等，这显然不成立，故D错误．
故选：AC.
5．（2022·福建·模拟预测）已知三棱锥 外接球的球心为 ，外接球的半径为 ， ，
， （ 为正数），则下列命题是真命题的是（ ）
A．若 ，则三棱锥 的体积的最大值为
B．若 不共线，则平面 平面
C．存在唯一一点 ，使得 平面
D． 的最大值为
【答案】AB【分析】由 可求得球心 到平面 的距离，由此可得三棱锥高的最大值，由棱锥体积公式可知
A正确；设 的中点为 ，可证得 平面 ，由外接球性质可知 平面 ，由面面垂直判定
可知B正确；设直线 与球的另一交点为 ，可知 平面 ，知C错误；由 四点共面可
求得 ，由此可得 ，知D错误.
【详解】对于A，若 ，则 ， ，
则 外接圆的半径 ， 球心 到平面 的距离 ，
三棱锥高的最大值为 ，
体积的最大值为 ，A正确；
对于B，设 的中点为 ，连接 ，
则 ， ， ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，又平面 平面 ，
四点共面， 平面 ，又 平面 ，
平面 平面 ，B正确；
对于C，设直线 与球的另一交点为 ，若 平面 ，则 平面 ，C错误；
对于D，当 最大时， 四点共面，
， ， ，D错误.故选：AB.
三、解答题
6．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，在四棱锥 中， 平面ABCD， ，且 ，
， ， ．
(1)求证： ；
(2)在线段PD上是否存在一点M，使二面角 的余弦值为 ？若存在，求三棱锥 体积；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)存在，
【分析】（1）证明 ，结合 ，证明 平面PAC，根据线面垂直的性质定理即可证明结
论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，设 ，求出平面MAC的一个法向量，结合平面
ACD法向量以及条件可推出 即M为PD中点，即可求得答案.
(1)因为 ， ， ，所以 ，
又因为 ，且 ， ，
所以 ，所以 ，
又因为 平面ABCD，且 平面ABCD，所以 ，
又因为 ， 平面PAC， 平面PAC，所以 平面PAC，
又因为 平面PAC，所以 ．
(2)在BC上取点E，使 ，则 ，故以A为原点，以 ， ， 分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
设 ， ，
在平面MAC中， ， ，
设平面MAC的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
可取平面ACD法向量为 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以M为PD中点，
所以三棱锥 的高h为1， ．
与球有关的内切、外接问题
1.（2021河南省联考高三核心模拟卷）在三棱锥 中， ，，则三棱锥 的外接球的表面积为___________.
【答案】
【分析】根据题设长度关系，可证明 平面 ，由正弦定理可得 的外接圆半径为
，又 在线段 的垂直平分线上，可得 ，即可得
，利用球的表面积公式即得解
【详解】
在 中， ， ，
所以 ，所以 ，
在 中， ， ，
所以 ，所以 .
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，在 中， ，
所以 的外接圆半径为 ，
不妨设 的外接圆圆心为 ，三棱锥 的外接球球心为
连接 ，由于 ，故 在线段 的垂直平分线上，
即
故三棱锥 的外接球半径 ，
外接球的表面积为 .
故答案为：
2.（2021江西省临川一中、临川一中实验学校高三第一次月考）如图，在底面边长为4，高为6的正四棱
柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，
则小球的半径为_____________.
【答案】
【分析】结合图形，由题意可知大球的半径为 ，设小球的半径为 ，利用已知条件，结合勾股定理，
推出结果即可．
【详解】解：由题意可知大球的半径为 ，设小球的半径为 ，如图，设大圆的圆心为O，小圆的圆心为C，E为小圆与上底面的切点，作 交于点D，
由题意可知， ， ， ，
所以 ，即 ， ，
解得 ，
故答案为： ．
3．（2022·天津·南开中学模拟预测）棱长为 的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙
处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用 求出内切球的半径，
再通过 求出空隙处球的最大半径即可.
【详解】如图，由题意知球和正四面体 的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为 ，半
径为 ，空隙处的最大球球心为 ，半径为 ，
为 的中心，易知 面 ， 为 中点，球 和球 分别与面 相切于 和 .
易得 ， ， ，由
，
可得 ，又 ，
，
故 ， ， ，
又由 和 相似，可得 ，即 ，解得 ，即球的最大半径为 .
故选：C.
柱锥台的轴截面问题
一、单选题
1．（2022·山东·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为 ，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意知直角圆锥的底面圆半径为r等于高h，再由直角圆锥的侧面积求出底面圆的半径，即可
求出其体积.
【详解】设该直角圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，
因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以 ， .
因为直角圆锥的侧面积为 ，所以 ，解得 ，
所以该直角圆锥的体积为 .
故选：B.
二、多选题
2．（2021·广东中山·模拟预测）正四棱锥 的所有棱长为2，用垂直于侧棱 的平面 截该四棱
锥，则（ ）
A．截面可以是三角形
B． 与底面 所成的角为
C． 与底面 所成的角为
D．当平面 经过侧棱 中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为3：1
【答案】ACD
【分析】对于A：取PC的中点E，连结BE、DE、BD.可以证明 面BDE，即可判断A；
对于B、C：作为 与底面 所成的角.即可求得；
对于D：分别求出上下两部分几何体的体积，即可判断.
【详解】对于A:取PC的中点E，连结BE、DE、BD.因为正四棱锥 的所有棱长为2，所以△PBC、△PBC为正三角形，所以 又
,则 面BDE，即△BDE为截面.故A正确；
对于B、C:过P作 底面ABCD于O，则O为AC中点.则 即为 与底面 所成的角.
因为正四棱锥 的所有棱长为2，所以 ,
所以 ,所以 .故B错误，C正确；
对于D:由A的推导过程可知：平面 经过侧棱 中点时，平面 即为平面BDE.
此时 .
因为 ,
所以 ,
所以 .故D正确
故选：ACD
三、填空题
3．（2022·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆锥底面圆半径为2，母线与底面成角为60°，则圆锥侧面积为__________，若圆锥底面圆周及顶点均在一球上，则该球体积为__________.
【答案】
【分析】求出圆锥的母线长可得侧面积，求出圆锥轴截面三角形外接圆半径即圆锥外接球半径，从而可得
球体积．
【详解】如图， 是圆锥的轴截面，由题意 ， ，则 ，
侧面积为 ；
的外接圆半径为 ，即为圆锥外接球半径，
所以球体积为 ．
故答案为： ； ．
4．（2021·全国·模拟预测）已知圆锥的轴截面PAB是边长为a的正三角形，AB为圆锥的底面直径，球O
与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为 ，球O的体积为 ，则 ______；若M，N是圆
锥底面圆上的两点，且 ，则平面PMN截球O所得截面的面积为______.
【答案】 ； .
【分析】根据等边三角形的性质求出球O的半径 ，从而可分别求出圆锥的体积为 和球O
的体积为 ；
设MN的中点为C，连接PC，DM，首先求出点 到直线 的距离 ，然后结合球O的半径 ，即可求出平面PMN截球O所得截面圆的半径为r.
【详解】如图，设D为AB的中点，连接PD，由题意知PD为圆锥的高，且 ，
易知球O的半径 ，
所以 ， ，所以 ；
设MN的中点为C，连接PC，DM，则 ，
易知 ， ，所以 ，所以 .
过O点作 ，垂足为E，易知 ，则 ，
又 ，则 .
设平面PMN截球O所得截面圆的半径为r，
则 ，所以截面的面积为 .
故答案为： ； .
5.（2021上海市高三春考模拟卷）已知圆锥的母线长为5，侧面积为 ，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为__________
【答案】
【分析】圆锥轴截面顶角（两母线夹角）小于等于 时，轴截面面积最大，轴截面夹角大于 时，母线夹
角为 时截面面积最大.
【详解】设圆锥的底面半径为r，则 ，
，
圆锥的高 ，
设轴截面中两母线夹角为 ，则 ，
，
所以当两母线夹角为 时，过此圆锥顶点的截面面积最大，
最大面积为 .
故答案为：
四、解答题
6．（2021·湖南·雅礼中学二模）在空间直角坐标系 中，以坐标原点 为圆心， 为半径的球体上任
意一点 ，它到坐标原点 的距离 ，可知以坐标原点为球心， 为半径的球体可用不等式 表示.还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示，记 满足的不
等式组 表示的几何体为 .
（1）当 表示的图形截 所得的截面面积为 时，求实数 的值；
（2）祖暅原理“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两
个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.记 满足的不等式
组 所表示的几何体为 请运用祖暅原理求证 与 的体积相等，并求出体积的大小.
【答案】（1） ；（2）证明见解析，体积为 .
【分析】（1）由题意可得几何体 表示上半球，球半径为4，从而有 ，进而可求出实数 的值；
（2）由题意可得几何体 为圆柱内挖去一个同底等高的圆锥，且该圆锥的对称轴与母线的夹角为 然
后由祖暅原理可求得结果
【详解】（1） 则几何体 表示上半球，球半径为4.
当 时， ，截面为圆面，则 ，解得
又 ，所以
（2）设 ，则点 到 轴的距离为 ，由 ，
即 ，即点 到 轴的距离为
所以 所表示的几何体为圆柱体.
由 ，即点 到 轴的距离为 ，当 时，点 在以一直角边在 轴上的等腰直角三角形绕 轴旋转而成的倒圆锥面上.
所以 所表示的几何体 为圆柱内挖去一个同底等高的圆锥.
且该圆锥的对称轴与母线的夹角为
在 中，平面 所截的截面为圆，其面积为 ，
在 中，平面 所截的截面为圆环，在圆柱中的截面圆面积为 ，
在圆锥中的截面圆面积为 ，所以在 中截面面积为 ，
即 截 所得面积均相等，从而由祖暅原理知 体积相等，
由 为半球知其体积
【点睛】关键点点睛：此题考查祖暅原理的应用，考查新定义，考查不等式与几何图形的关系，解题的关
键是正确理解新定义和祖暅原理，考查转化思想，属于中档题
1.（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥
的母线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【分析】设圆锥的母线长为 ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得 的值，即为所求.
【详解】设圆锥的母线长为 ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则 ，解得 .
故选：B.
2.（2021年全国高考甲卷数学试题）已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且
，则三棱锥 的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由题可得 为等腰直角三角形，得出 外接圆的半径，则可求得 到平面 的距离，
进而求得体积.
【详解】 ， 为等腰直角三角形， ，
则 外接圆的半径为 ，又球的半径为1，
设 到平面 的距离为 ，
则 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面
距离的勾股关系求解.
3.（2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可
视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面
三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【分析】设 ，利用 得到关于 的方程，解方程即可得到答案.
【详解】如图，设 ，则 ，
由题意 ，即 ，化简得 ，
解得 （负值舍去）.
故选：C.
【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
4.（2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ））已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球的截面性质，求
出球的半径，即可得出结论.
【详解】设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意，
得 ， 为等边三角形，
由正弦定理可得 ，
，根据球的截面性质 平面 ，
，
球 的表面积 .
故选：A
【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
一、单选题1．（2022·江西萍乡·二模（理））正方体 棱长为 ，动点 在线段 上（含端点），以
下结论不正确的为（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．过 ， ， 三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或平面四边形
C．当点 和 重合时，三棱锥 的外接球体积为
D．直线 与面 所成角的正弦值的范围为
【答案】D
【分析】根据锥体体积公式、正方体的截面、三棱锥的外接球、线面角等知识对选项进行分析，从而确定
正确答案.
【详解】A选项，根据正方体的性质可知 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 到平面 的距离为定值，设 到平面 的距离为 ，
则 为定值，A选项正确.
B选项，当 与 重合时，截面图形为平面四边形 ；
当 与 重合时， 平面四边形 ；
当 与 、 不重合时，截面图形为三角形，所以B选项正确.C选项，当点 和 重合时，三棱锥 的外接球，也即正方体 的外接球，
外接球的直径为 ，半径为 ，体积为 ，C选项正确.
D选项，建立如下图所示空间直角坐标系，则
设 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可设 ，
设直线 与面 所成角为 ，
则 ，
对于函数 ，开口向上，对称轴 ，
所以最大值为 ，最小值为 ，
所以 ，，D选项错误.
故选：D
2．（2022·江苏·南京市第一中学三模）底面半径为3，表面积为 的圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设圆锥的母线长为 ，进而结合表面积得 ，进而得圆锥的高，再计算体积即可.
【详解】解：设圆锥的母线长为 ，因为圆锥的底面半径为3，表面积为
所以 ，解得 ，
所以圆锥的高为 ，
所以，圆锥的体积为 .
故选：A
3．（2022·天津·一模）已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上､下底面的圆周均在球面上，若球的
体积为 ，则圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设圆柱的底面圆半径为 ，高为 ，球O的半径为 ，由题可得 ，进而可得 ，然后
利用圆柱的体积公式即得.
【详解】设圆柱的底面圆半径为 ，高为 ，球O的半径为 ，由题可知 ，解得 ，
则 ，可得 ，
所以 .
故选：C.
4．（2022·天津河西·一模）一个圆锥的高与底面圆的半径相等，体积为 ，圆锥内有一个内接正方体，
则这个正方体的体积为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】圆锥的轴截面为一个等腰直角三角形，内接正方体的对角面，根据三角形相似可得正方体的边长.
【详解】设底面半径为 由题知： 所以 ，
设正方体边长为 ，如图，由轴截面可知 ，所以
所以 .
故选：C.
5．（2022·新疆昌吉·二模（文））在三棱锥 中， ，且 ，
，二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题结合球的基本性质可知：过三棱锥其中两个面的三角形的外接圆圆心，作该面的垂线，两条
垂线的交点即为三棱锥的球心，结合三角形的相关知识分析求得三棱锥 的外接球的半径．
【详解】如图 、 分别为Rt△PAC、△ABC的外接圆圆心，作 平面PAB， 平面ABC，则O
为三棱锥 的外接球的球心．
在△ABC中， ，即 ，可得： ．
由正弦定理可得： ，即 ，
又∵ 为线段AC的中点，则可得 ，且 ，
∴二面角 的大小的平面角即为∠ ，则∠
．
∴三棱锥 的外接球的半径R= ，
则三棱锥 的外接球体积为V= ．故选：Ａ．
6．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清
代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，
园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)
是底边长为6 m，顶角为 的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意作出圆锥轴截面图像，根据图像求出圆锥底面半径r和母线l，根据侧面积公式πrl即可
求解.
【详解】如图所示为该圆锥轴截面，由题意，底面圆半径为 ，母线 ，侧面积πrl＝π×3× ＝6 ﹒
故选：B.
二、填空题
7．（2022·天津红桥·一模）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为
1、 、3，则此球的体积为______．
【答案】
【分析】求得长方体外接球的半径，从而求得球的体积.
【详解】长方体外接球的直径为 ，
所以外接球半径为 ，
所以球的体积为 .
故答案为：
8．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））如图， 是边长为4的正三角形 的一条中位线，将
沿直线 翻折至 ，当三棱锥 的体积最大时，过 的中点M作该四棱锥
的外接球的截面圆，则该截面圆的面积的最小值为___________.
【答案】
【分析】先判断出面 面 .设外接球的球心为O，确定出过面BCDE的外接圆的圆心的垂线m和过 的外心 的垂线的交点即为球心O.求出外接球半径 .再判断出OM垂直于截面时，截面
圆的面积的最小，求出其半径 ，即可求出截面圆的面积.
【详解】要使三棱锥 的体积最大，只需高最大，即面 面 .
设外接球的球心为O，面BCDE的外接圆的圆心为 ,则球心在过 且垂直于面BCDE的直线m上.
取DE的中点为N，连结 ，则 DE，所以 面 .所以 .
为边长为2的正三角形，过 的外心 作直线n 面 .则m、n的交点即为球心O.
在底面四边形BCDE中，如图示：
设 为BC边的中点，由题意 是边长为4的正三角形 的一条中位线，可得： 和 均为
边长为2的等边三角形.所以 ，即 为面BCDE的外接圆的圆心. .则 ,即 .
所以外接球半径 .
由球的性质可知：当OM垂直于截面时，截面圆的面积的最小，设其半径为r.
此时
所以 .
所以截面圆的面积的为 .
故答案为：
【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：
(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．
9．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））已知四面体ABCD中，AC=3，其余棱长均为2，则该四面体
外接球的表面积是______．
【答案】
【分析】根据图形的对称性，找到球心，再通过余弦定理、勾股定理可求得外接球的半径，从而可求得外
接球的表面积.
【详解】取BD的中点E，连结AE，CE，在 ACE中， ，AC=3，可得∠AEC=120°．
四面体外接球的球心必在过 ABD， CBD的外接圆圆心且与其所在面垂直的直线上．
设 CBD， ABD外接圆的圆心分别为 ， ，作 平面CBD， 平面ABD，则O即为四面体ABCD外接球的球心，连结OE，如图，在 中， ， ，所以 ．在
中， ，
所以 ，所以四面体ABCD外接球的表面积为 ．
故答案为：
10．（2022·江西赣州·二模（理））我国古代数学名著《九章算术》把上下两个面平行且均为矩形的六面
体称为刍童，已知刍童ABCD— 中四边形 ､四边形 及四边形 都是正方形，
，则刍童ABCD— 外接球的表面积为___________.
【答案】
【分析】先判断出球心的位置，然后计算出球的半径，从而求得球的表面积.
【详解】取AD中点E，BC中点F，
设 是 的中点，在梯形 中， ，
由于 是 的中点，所以 ，所以 ，所以 是等边三角形，
所以 是梯形 外接圆的圆心，
同理可证得 是梯形 外接圆的圆心.
刍童 可看作直四棱柱 ，
四边形 与四边形 外接圆圆心连线的中点就是刍童ABCD— 外接球的球心，
所以EF中点O就是刍童ABCD— 外接球的球心，
该球半径 ，
所以刍童ABCD— 外接球的表面积
故答案为：
11．（2022·四川遂宁·三模（文））称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的体积
为 ，则它的侧面积________.
【答案】
【分析】首先设圆锥的底面半径为 ，根据题意得到 ，三棱锥的高为 ，母线为 ，再求侧面积即
可.
【详解】设圆锥的底面半径为 ，
因为三棱锥的轴截面为等腰直角三角形，所以三棱锥的高为 ，母线为 ，
所以 ，解得 ，三棱锥的高为 ，母线为 ，则三棱锥的侧面积为 .
故答案为：
12．（2022·山西临汾·三模（理））已知四边形ABCD为菱形，AB=1，∠BAD=60°，将其沿对角线BD折
成四面体 ，使 ，若四面体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积为_______．
【答案】
【分析】四面体 为正四面体，将其放到正方体中，即可求出外接球半径，从而得解.
【详解】解：由题意可知四面体 为正四面体.
如图,将其放到正方体中，该四面体的外接球和该正方体的外接球相同，
又AB=1，所以正方体的棱长为 ，
所以外接球的半径为： ，
该球的表面积为 ,
故答案为： .
13．（2021·上海·模拟预测）已知圆锥的母线长为5，侧面积为 ，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面
积最大为__________
【答案】【分析】圆锥轴截面顶角（两母线夹角）小于等于 时，轴截面面积最大，轴截面夹角大于 时，母线夹
角为 时截面面积最大.
【详解】设圆锥的底面半径为r，则 ，
，
圆锥的高 ，
设轴截面中两母线夹角为 ，则 ，
，
所以当两母线夹角为 时，过此圆锥顶点的截面面积最大，
最大面积为 .
故答案为：
14．（2021·全国·模拟预测）2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全
球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著
《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱
为一“堑堵”， 是 的中点， ，设平面 过点 且与 平行，现有下列四个结论：
①当平面 截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于 ；②当平面 截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于 ；
③异面直线 与 所成角的余弦值为 ；
④三棱锥 的体积是该“堑堵”体积的 .
所有正确结论的序号是___________.
【答案】①③④
【分析】分别对四个结论结合题意分析判断即可.
【详解】对于①，如图，取 ， ， 分别为对应边中点，
易知四边形 是等腰梯形，且高为 ，
当 不是 中点时， 不平行平面 ，
则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个， .
所以① 正确；
对于②，向下作截面满足题意的梯形是直角梯形，同理，直角梯形有且仅有一个，
其面积 . 所以②错误；
对于③，将三棱柱补成正方体， 为对应边中点，易知 为异面直线 与 所成角或补角，
， ，所以 ，所以③ 正确；对于④， ， ，所以④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】思路点睛：
平移线段法是求两异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共
面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出两异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角（或补角）；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由于两异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两异面
直线所成的角．
三、双空题
15．（2022·山东潍坊·二模）根据高中的解析几何知识，我们知道平面与圆锥面相交时，根据相交的角度
不同，可以是三角形、圆、椭圆、抛物线、双曲线．如图，AB是圆锥底面圆O的直径，圆锥的母线
， ，E是其母线PB的中点．若平面 过点E，且PB⊥平面 ，则平面 与圆锥侧面的交
线是以E为顶点的抛物线的一部分，此时抛物线的焦点F到底面圆心O的距离为______；截面 把圆锥分
割成两部分，在两部分内部，分别在截面 的上方作一个半径最大的球M，在截面 下方作一个半径最大
的球N，则球M与球N的半径的比值为______．
【答案】 ##0.5【分析】（1）以E为原点，EO为x轴建立坐标系，利用坐标法求出抛物线方程，即可求出抛物线的焦点
F到底面圆心O的距离；
（2）作出直截面，分析位置关系，利用几何知识分别求出球M与球N的半径，即可求解.
【详解】
如图示：
因为圆锥的母线 ， ，所以 ，所以PB⊥PA.
连结OE.因为PB⊥平面 ，所以PB⊥OE.所以 .
在 中，O为AB的中点，所以OE为中位线，所以 .
设平面 交底面圆于CD,则 .
以E为原点，EO为x轴建立坐标系如图示，则 .
可设抛物线 ，把 带入抛物线方程可得： ，
所以抛物线为： ，焦点 ,
所以 ,即抛物线的焦点F到底面圆心O的距离为 .
作出直截面如图所示，则球M的半径即为圆M的半径，球N的半径即为圆N的半径.因为球M为截面 的上方的最大的球，所以圆M与PA相切，切点为Q,则 .又 ，所以
.
同理： .所以Q、M、R三点共线， 为直径.
由四边形PQRE为矩形，可得： ,所以球M的半径.
在等腰三角形OBE中， , .
圆N为三角形OBE的内切圆.设圆N的半径为 ，由等面积法可得：
，即 ，解得： .
所以球M与球N的半径的比值为 .
故答案为： ； .
【点睛】外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：
①公式法；②多面体几何性质法；③补形法；④寻求轴截面圆半径法；⑤确定球心位置法．
四、解答题
16.（2021湖北省金太阳百校联考高三上学期10月月考）如图，在三棱锥 中， 平面 ，
， 与 的长度之和为6米， ，现要给三棱锥 的侧面刷油漆，每平方
米需要0.5升油漆，油漆价格为60元/升.
（1）设 米，三棱锥 的侧面共需要油漆 升，试写出 关于 的函数表达式；
（2）刷油漆需要请油漆工来完成，工费按照每平方米10元计算，若油漆工工费及油漆费用的总预算为400元，试问最后油漆工工费及油漆费用是否有可能会超预算？说明你的理由.
【答案】（1） （ ）；（2）最后有可能会超预算，理由见解析.
【分析】（1）由题易知 ， ， ， ，然后由三棱锥的侧面积公式
写出 关于 的函数表达式即可；
（2）设油漆工工费及油漆的费用之和为 元，则
，然后计算分析可得结果.
【详解】（1）因为 平面 ，所以 ， ，
由题意得 ， ， ，
，
，
，
则
（ ）；
（2）设油漆工工费及油漆的费用之和为 元，
则 ，
当 时，取得最大值，且最大值为405.
因为 ，所以最后有可能会超预算.17. 已知圆锥 的底面半径为2，母线长为 ，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是
的中点，且 ．
（1）求三棱锥 的表面积；
（2）求A到平面 的距离．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）三棱锥 的表面积等于 ,求出每个三角形的面积即
可；
（2）A到平面 的距离即为B到平面 的距离，过B作 垂足为 ，可得线段 长度
即为B到平面 的距离，求出线段 长度即可.
【详解】解：（1）由已知 ，
则 面 ，
则三棱锥 的表面积等于 ，
， ，
圆锥的高
则 ，
对于 ，
则 ，
所以 ，
则 ，
故三棱锥 的表面积为 ；
（2）因为D是 的中点，则A到平面 的距离即为B到平面 的距离，
过B作 垂足为 ，
因为 面 ，且 面
所以面 面 ，又 ，面 面 ，
则 面 ，
则线段 长度即为B到平面 的距离，，
所以A到平面 的距离为 .
