文档内容
专题 5 空间向量与立体几何
01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法（四大命题方向+五道高考预测试题，高考必考22-27分）
命题点1 多面体表面积体积问题
命题点2 多面体内切外接问题
命题点3 空间几何体中角度问题
命题点4 空间几何体中动点问题
04创新好题·分层训练（ 精选9道最新名校模拟试题+9道易错提升）
空间几何体常用以及易错知识点
空间角 向量求法 范围
异面直线所 设两条异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为v 1 ，v 2 ，则cos θ=| ( 0， π]
成的角 |v ⋅v | 2
cos|= 1 2 (θ与相等或互补)
1 2 |v ||v | 1 2
1 2
直线与平面 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为v，平面α的法向量为
所成的角 |v⋅n| ( π]
n，则sin θ=|cos|= 0，
|v||n| 2
( π π )
θ=− 或 −
2 2
两个平面所 设平面α，β所成的角为θ，平面α，β的法向量分别为n ，n ，则cos θ=|
1 2
成的角 |n ⋅n | ( π]
cos|= 1 2 (θ与相等或互补) 0，
1 2 |n ||n | 1 2 2
1 2
(1)当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成的角为0；
(2)两个平面相交会形成四个二面角，二面角的取值范围为[0，π]，一般规定较小的二面角为两个平
面所成的角. 两个平面平行时，它们所成的角为0.2
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空间距离 向量求法
设直线l的方向向量为v，点P为l外一点，点A为l上任一点，则点P到l的距离
点到直线的 √ → 2
( )
距离 d= |⃗AP|2− |AP⋅v|
|v|
设n为平面α的法向量，点A为平面α内任一点，则平面α外任一点P到平面α的
点到平面的
|⃗AP⋅n|
距离 距离d=
|n|
在平行直线m，n上分别任取一点A，P，设直线m的方向向量为v，则两平行线
两平行线间
√ (|⃗AP⋅v|) 2
的距离 m，n间的距离d= |⃗AP|2− (也可转化为点线距求解)
|v|
在平行平面α，β上各取一点A，B，设平面α的法向量为n，则两平行平面α，β
两平行平面
|⃗AB⋅n|
间的距离 之间的距离d= (也可转化为点面距求解)
|n|
1. 四点共面的充要条件
空间中任一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，
使⃗MP=x⃗MA+y⃗MB，或对空间中任一点O，有⃗OP=⃗OM+x⃗MA+y⃗MB
(或⃗OP=(1-x-y)·⃗OM+x⃗OA+y⃗OB).
2. 定比分点坐标公式
已知A(x ，y ，z )，B(x ，y ，z )两点，点M在直线AB上，⃗AM=λ⃗MB (λ∈R且λ≠-1)则称点M为
1 1 1 2 2 2
(x +λx y +λ y z +λz )
有向线段⃗AB的定比分点，其坐标为 1 2， 1 2， 1 2 .
1+λ 1+λ 1+λ空间几何体是高考中必考点，一般以2+1或者是3+1形式出现，主要考查多面体体积以及内
切外接问题，必考题型为空间二面角问题
真题多维细目表
考点 考向 考题
2023新全国Ⅰ卷T12 T14 全国ⅡT9 T14
全国乙T8 全国甲T11
2022 全国甲卷T9 新全国Ⅰ卷T4 全国Ⅱ T11
① 多面体
2021 全国Ⅰ卷T20
表面积体积问题
2023 新高考Ⅰ卷T12 全国乙卷T16 全国甲卷T15
2022全国乙卷T9 新高考Ⅰ卷T8 全国ⅡT7
2021Q全国甲卷T7
② 多面体
内切外接问题
2023 新高考Ⅰ卷T18 全国乙卷T19 全国甲卷T18
2022 全国乙卷T18 新高考ⅡT20新高考Ⅰ卷T19 甲卷
T18
2021 全国乙卷T5 T18 新高考Ⅰ卷T20
立体几何
③空间几何题角度问题
2023新高考ⅠT18
2021 全国甲卷T19
④空间几何体动点问题命题点1 多面体表面积体积问题
典例01．（2022·全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分
别为 和 ，体积分别为 和 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
典例02 （2023·全国Ⅱ）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径， ， ，
点C在底面圆周上，且二面角 为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D． 的面积为
典例03．（2023·全国·Ⅰ卷）在正四棱台 中， ，则该棱台的体
积为 ．
典例04．（2023·全国乙卷）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
， 的中点分别为 ，点 在 上， ．(1)求证： //平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
命题点2 多面体内切外接问题
典例01 （2022·全国Ⅰ卷）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，
且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
典例02（2023·全国Ⅰ卷）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚
度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为 的球体
B．所有棱长均为 的四面体
C．底面直径为 ，高为 的圆柱体
D．底面直径为 ，高为 的圆柱体
典例03．（2023·全国乙卷）已知点 均在半径为2的球面上， 是边长为3的等边三角形，
平面 ，则 ．
典例04 （2023·全国甲卷）在正方体 中，E，F分别为AB， 的中点，以EF为直径
的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点命题点3 空间几何体中角度问题
典例01（线面角问题）
（2022·全国甲卷）在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均为 ，
则（ ）
A． B．AB与平面 所成的角为
C． D． 与平面 所成的角为
典例02（线面角、线线角问题）
（2022·全国Ⅰ卷）已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面ABCD所成的角为
典例03（线面角解答题）
3．（2023·全国甲卷）如图，在三棱柱 中， 底面ABC， ， 到平面
的距离为1．(1)证明： ；
(2)已知 与 的距离为2，求 与平面 所成角的正弦值．
典例04（二面角问题）
（2023·全国·Ⅱ卷）如图，三棱锥 中， ， ， ，E为
BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．命题点4 空间几何体中动点问题
典例01（2023·全国·统考Ⅰ卷）如图，在正四棱柱 中， ．点
分别在棱 , 上， ．
(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
典例02．（2021·全国·甲卷）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，
F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
预计2024年高考中立体几何也会是以小题加解答题形式出现，小题将是以空间几何
体体内切外接球，线面角，以及体积为主，解答题则是以线面垂直以及二面角为主。
1．中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百
姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台 ，上下底
面的中心分别为 和 ，若 ， ，则正四棱台 的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．在梯形 中， ，将 沿 折起，连接 ，得到三棱锥
，则三棱锥 体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．在正方体 中，点P满足 ，则（ ）A．对于任意的正实数 ，三棱锥 的体积始终不变
B．对于任意的正实数 ，都有 平面
C．存在正实数 ，使得异面直线 与 所成的角为
D．存在正实数 ，使得直线 与平面 所成的角为
4．如图，在四棱锥 中， 底面 ，四边形 是直角梯形， ，
，点 在棱 上.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)当 时，求二面角 的余弦值.
5．如图，在四棱锥 中， ， ．(1)求证：平面 平面 ；
(2)若线段 上存在点 ，满足 ，且平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求实数
的值．
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一、单选题
1．（2024上·山东德州·高三德州市第一中学校考期末）盖碗是由茶碗、茶盖、茶船三件套组成，盖碗又称
“三才碗”，蕴含了古代哲人讲的“天盖之，地栽之，人育之”的道理．如图是乾隆时期的山水人物方盖
碗的茶盖和茶碗，近似看作两个正四棱台的组合体，其中茶碗上底面的边长为 ﹐下底面边长为 ，
高为 ，则 茶水至少可以喝（不足一碗算一碗）（ ）
A．7碗 B．8碗 C．9碗 D．10碗
2．（2024上·四川达州·高三统考期末）球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆（大圆
就是经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点间的球
面距离．已知长方体 的所有顶点都在同一个球面上，且 ， ，则 ，
D两点间的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽·模拟预测）在正方体 中，E，F分别为棱 ， 的中点，过直线EF
的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为 ，最大值为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）过正四棱锥 的高 的中点
作平行于底面 的截面A B C D ，若四棱锥 与四棱台 的表面积之比为 ，
1 1 1 1
则直线 与底面 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知三棱锥P-ABC内接于球O，PA⊥平面ABC，
，AB⊥AC， ，点D为AB的中点，点Q在三棱锥P-ABC表面上运动，且 ，已知
在弧度制下锐角 ， 满足： ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．过点D作球的截面，截面的面积最小为 B．过点D作球的截面，截面的面积最大为
C．点Q的轨迹长为 D．点Q的轨迹长为
6．（2024·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）若点P是棱长为2的正方体 表面上
的动点，点M是棱 的中点，则（ ）
A．当点P在底面ABCD内运动时，三棱锥 的体积为定值
B．当 时，线段AP长度的最大值为3
C．当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，点P的轨迹长度为
D．直线DM被正方体 的外接球所截得的线段的长度为
三、填空题
7．（2024上·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）葫芦是一种爬藤植物，在我国传统文化中，其
枝密集繁茂，象征着儿孙满堂、同气连枝；其音近于“福禄”，寓意着长寿多福、事业发达；其果口小肚
大，代表着心胸开阔、和谐美满．如图，一个葫芦的果实可以近似看做两球相交所得的几何体 ，其中
的下半部分是半径为 的球 的一部分， 的上半部分是半径为3的球 的一部分，且 ，则过
直线 的平面截 所得截面的面积为 ．四、解答题
8．（2024·全国·高三专题练习）如图，在多面体ABCDEF中，四边形 与 均为直角梯形，
平面 ， ．
(1)已知点G为AF上一点，且 ，求证：BG与平面DCE不平行；
(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 ，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体
9．（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ， ，四边形 是菱
形， ， 是棱 上的动点，且 .(1)证明： 平面 .
(2)是否存在实数 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值是 ？若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由.
B·易错提升
一、单选题 一、单选题
1．（2024·河北联考模拟）如图，西周琱生簋（guǐ）是贵族琱生为其祖先制作的宗庙祭祀时使用的青铜器．
该青铜器可看成由上、下两部分组成，其中上面的部分可看作圆台，下面的部分可看作圆柱，且圆台和圆
柱的高之比约为 ，圆台的上底面与圆柱的底面完全重合，圆台上、下底面直径之比约为 ，则圆台
与圆柱的体积之比约为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·云南·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱 中， 面 ， ，
则直线 与直线 夹角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
3．（2024·河南·高三模拟）设 为两个不同的平面， 为三条不同的直线，则下列命题正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
二、多选题
4．（2024上·河北邯郸·高三磁县第一中学）勒洛三角形也被称为定宽曲线，勒洛三角形的立体版就是如图
所示的立体图形，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，它是以正四面体的四
个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分组成的，因此它能像球一样来回滚动.这种立
体图形称为勒洛四面体，若图中勒洛四面体的四个顶点分别为P、A、B、C，任意两个顶点之间的距离为
1，则下列说法正确的是（ ）
A．图中所示勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为1
B．图中所示勒洛四面体的内切球的表面积为
C．平面 截此勒洛四面体所得截面的面积为D．图中所示的勒洛四面体的体积是
5．（2024上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知三棱锥P-ABC内接于球O，PA⊥平面ABC，
，AB⊥AC， ，点D为AB的中点，点Q在三棱锥P-ABC表面上运动，且 ，已知
在弧度制下锐角 ， 满足： ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．过点D作球的截面，截面的面积最小为 B．过点D作球的截面，截面的面积最大为
C．点Q的轨迹长为 D．点Q的轨迹长为
三、填空题
6．（2024·吉林·统考二模）足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长. 清风牵动裙摆，处处彰显着几何的
趣味. 下面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中
，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体 ，则 的体积为 ; 的
外接球的表面积为 .
四、解答题
7．（2024上·江苏苏州·高三校考期末）如图所示，四边形ABCD为圆柱ST的轴截面，点Р为圆弧BC上
一点（点P异于B，C）．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；
(2)若 ， （ ），且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
8．（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中， 为 中点，平面
平面 ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，说明理由.
9．（2024·四川南充·统考一模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，
， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，二面角 的正切值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
