北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题八 立体几何
8.1 空间几何体的表面积和体积
考点 空间几何体的表面积与体积
1.(2018课标Ⅰ文,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O,O,过直线OO 的平面截该圆柱所得的截
1 2 1 2
面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )
A.12√2π B.12π C.8√2π D.10π
答案 B 本题主要考查圆柱的表面积及圆柱的轴截面.
设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意可知2r=h=2√2,∴圆柱的表面积S=2πr2+2πr·h=4π+8π=12π.故选B.
解题关键 正确理解圆柱的轴截面及熟记圆柱的表面积公式是解决本题的关键.
2.(2016课标Ⅱ文,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
32
A.12π B. π
3
C.8π D.4π
答案 A 设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2.
设球的半径为R,则2R=√3a,即R=√3,所以球的表面积S=4πR2=12π.故选A.
方法点拨 对于正方体与长方体,其体对角线为其外接球的直径,即外接球的半径等于体对角线的一半.
3.(2015课标Ⅱ,理9,文10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-
ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )
A.36π B.64π C.144π D.256π
答案 C ∵S 是定值,且V =V ,
△OAB O-ABC C-OAB
1 1 1
∴当OC⊥平面OAB时,V 最大,即V 最大.设球O的半径为R,则(V ) = × R2×R=
C-OAB O-ABC O-ABCmax
3 2 6
R3=36,∴R=6,∴球O的表面积S=4πR2=4π×62=144π.
思路分析 由△OAB的面积为定值分析出当OC⊥平面OAB时,三棱锥O-ABC的体积最大,从而根据已知条
件列出关于R的方程,进而求出R值,利用球的表面积公式即可求出球O的表面积.
导师点睛 点C是动点,在三棱锥O-ABC中,如果以面ABC为底面,则底面面积与高都是变量,而S 为定
△OAB
值,因此转化成以面OAB为底面,这样高越大,体积越大.
4.(2014福建文,5,5分)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面
积等于( )北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
A.2π B.π C.2 D.1
答案 A 由题意得圆柱的底面半径r=1,母线l=1.
∴圆柱的侧面积S=2πrl=2π.故选A.
5.(2018课标Ⅲ,理10,文12,5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其
面积为9√3,则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )
A.12√3 B.18√3 C.24√3 D.54√3
答案 B 本题考查空间几何体的体积及与球有关的切接问题.
设等边△ABC的边长为a,
1
则有S = a·a·sin 60°=9√3,解得a=6.
△ABC
2
6
设△ABC外接圆的半径为r,则2r= ,解得r=2√3,
sin60°
则球心到平面ABC的距离为 =2,
√42−(2√3) 2
所以点D到平面ABC的最大距离为2+4=6,
1
所以三棱锥D-ABC体积的最大值为 ×9√3×6=18√3,故选B.
3
方法总结 解决与球有关的切、接问题的策略:
(1)“接”的处理:
①构造正(长)方体,转化为正(长)方体的外接球问题.
②空间问题平面化,把平面问题转化到直角三角形中,作出适当截面(过球心,接点等).
③利用球心与截面圆心的连线垂直于截面定球心所在直线.
(2)“切”的处理:
①体积分割法求内切球半径.
②作出合适的截面(过球心,切点等),在平面上求解.
③多球相切问题,连接各球球心,转化为处理多面体问题.
6.(2017课标Ⅲ,理8,文8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该
圆柱的体积为( )
3π π π
A.π B. C. D.
4 2 4
答案 B 本题考查球的内接圆柱的体积.
设圆柱的底面半径为r,则r2+(1) 2 =12,解得r=√3,
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∴V =π×(√3) 2 ×1=3π,故选B.
圆柱
2 4
思路分析 利用勾股定理求圆柱的底面半径,再由体积公式求圆柱的体积.
解题规律 有关球的切或接问题,要重视利用勾股定理求解.
π
7.(2015山东理,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC= ,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直
2
线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
2π 4π 5π
A. B. C. D.2π
3 3 3
答案 C 如图,此几何体是底面半径为1,高为2的圆柱挖去一个底面半径为1,高为1的圆锥,故所求体积
π 5π
V=2π- = .
3 3
评析 本题主要考查几何体的体积及空间想象能力.
8.(2014陕西理,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为√2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积
为( )
32π 4π
A. B.4π C.2π D.
3 3
答案 D 如图为正四棱柱AC.根据题意得AC=√2,∴对角面ACCA 为正方形,∴外接球直径
1 1 1
4π
2R=AC=2,∴R=1,∴V = ,故选D.
1 球 3
3√2
9.(2013课标Ⅱ,15,5分,0.158)已知正四棱锥O-ABCD的体积为 ,底面边长为√3,则以O为球心,OA为
2
半径的球的表面积为 .
答案 24π
解析 设底面中心为E,连接OE,AE,北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1 √6
则|AE|= |AC|= ,
2 2
1 3√2
∵体积V= ×|AB|2×|OE|=|OE|= ,
3 2
∴|OA|2=|AE|2+|OE|2=6.
从而以OA为半径的球的表面积S=4π·|OA|2=24π.
思路分析 先根据已知条件直接利用锥体的体积公式求得正四棱锥O-ABCD的高,再利用勾股定理求出|
OA|,最后根据球的表面积公式计算即可.
10.(2013课标Ⅰ,15,5分,0.123)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球
O所得截面的面积为π,则球O的表面积为 .
9π
答案
2
1
解析 平面α截球O所得截面为圆面,圆心为H,设球O的半径为R,则由AH∶HB=1∶2得OH= R,
3
由圆H的面积为π,得圆H的半径为1,
所以(R) 2 +12=R2,得出R2=9,所以球O的表面积S=4πR2=4π·9=9π.
3 8 8 2
11.(2014山东理,13,5分)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V,P-ABC的
1
V
体积为V
2
,则 1= .
V
2
1
答案
4
解析 如图,设S =S,S =S,E到平面ABD的距离为h,C到平面PAB的距离为h,则S=2S,h=2h,V=
△ABD 1 △PAB 2 1 2 2 1 2 1 1
1S 1 h 1 ,V 2 =1S 2 h 2 ,∴ V 1= S 1 ℎ 1=1.
3 3 V S ℎ 4
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评析 本题考查三棱锥的体积的求法以及等体积转化法在求空间几何体体积中的应用.本题的易错点是不
能利用转化与化归思想把三棱锥的体积进行适当的转化,找不到两个三棱锥的底面积及相应高的关系,从而
造成题目无法求解或求解错误.
12.(2011课标理,15,5分)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=2√3,则棱锥O-
ABCD的体积为 .
答案 8√3
解析 如图,连接AC,BD,交于O,则O 为矩形ABCD所在小圆的圆心,连接OO,则OO⊥面ABCD,
1 1 1 1
易求得OC=2√3,又OC=4,
1
∴OO
1
=
√OC2−O C2
=2,
1
1
∴棱锥体积V= ×6×2√3×2=8√3.
3
失分警示 立体感不强,空间想象能力差,无法正确解出棱锥的高而得出错误结论.
评析 本题主要考查球中截面圆的性质及空间几何体的体积的计算,通过球这个载体考查学生的空间想象
能力及推理运算能力.
13.(2011课标文,16,5分)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥
3
底面面积是这个球面面积的 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .
16
1
答案
3
3
解析 如图,设球的半径为R,圆锥底面半径为r,由题意得πr2= ×4πR2.
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√3 1 1 1 1 3
∴r= R,∴OO= R.体积较小的圆锥的高AO=R- R= R,体积较大的圆锥的高BO=R+ R= R.
2 1 2 1 2 2 1 2 2
1
故这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .
3
√3
评析 本题考查球、球内接圆锥的相关问题,考查R,r的关系,由题意得到r= R是解答本题的关键.
2
