北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题八 立体几何
8.1 空间几何体的表面积和体积
应用创新题组
1.(2021北京,8,4分 实际生活)某一时段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗漏、流失而在水平
面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位:mm).24 h降雨量的等级划分如下:
24 h降雨量
等级
(精确到0.1)
…… ……
小雨 0.1~9.9
中雨 10.0~24.9
大雨 25.0~49.9
暴雨 50.0~99.9
…… ……
在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为200 mm,高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程
中,该雨量器收集的24 h的雨水高度是150 mm(如图所示),则这24 h降雨量的等级是( )
A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨
200
1
答案 B 根据相似可得,小圆锥的底面半径r= 2 =50(mm),故V = ×π×502×150=503π(mm3),则积水深
小圆锥
3
2
度h= V 小圆锥 = 503·π =12.5(mm),属于中雨,故选B.
S π·1002
大圆锥底
2.(2019课标Ⅲ,16,5分 生产实践)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体
ABCD-ABCD 挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中
1 1 1 1
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点,AB=BC=6 cm,AA=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质
1
量为 g.
答案 118.8
1 1
解析 依题意,知该模型是长方体中挖去一个四棱锥,故其体积V=V -V =6×6×4- ×
长方体 四棱锥 3 2
×4×6×3=132(cm3).
又该模型的原料密度为0.9 g/cm3,故制作该模型所需原料的质量为0.9×132=118.8(g).
3.(2022届安徽蚌埠9月调研,16 素材创新)“敕勒川,阴山下.天似穹庐,笼盖四野.”诗中的“穹庐”即“毡
帐”,屋顶近似圆锥,为了烘托节日气氛,计划在屋顶安装灯光带,某个这种屋顶的圆锥底面直径长8米,母线
长6米,其中一条灯光带从该圆锥一条母线的下端点开始,沿侧面经过与该母线在同一轴截面相对的另一母
线的中点,环绕一圈回到起点,则这条灯光带的最短长度是 米.
答案 6√7
解析 将圆锥侧面沿母线SA剪开,A点对应A 点,设轴截面中与SA相对的另一条母线为SB,SB的中点为
1
⏜
C,连接AC,AC,则AC+AC为灯光带的最短长度,如图所示,SA=6,圆锥底面直径为8,则半径为4,所以
1 1 A A
1
4π 2π
⏜
的长=2π×4=8π,则 的长为4π,所以∠ASB= = ,在△SAC中,SC=3,由余弦定理得AC2=SA2+SC2-
AB
6 3
2SA×SCcos 2π=62+32-2×6×3×(
-
1)=63,所以AC=3
√7
,所以A
1
C=AC=3
√7
,所以这条灯光带的最短长度
3 2
是6√7米.
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