文档文本内容
第八章 立体几何与空间向量
5/
1
真题多维细目表
考题 考点 考向 情境载体 关键能力 考查要求 核心素养
新 高 考 空间几何体的 直观想象
２０２２ 求棱台的体积 数学运算学习 空间想象 应用性
ꎬ 体积 数学运算
Ⅰ ４
新 高 考 异面直线所成角 直观想象
２０２２ 空间角与距离 数学概念建构 空间想象 综合性
ꎬ 与线面角 数学运算
Ⅰ ９
求点到面的距离
新 高 考 空间向量及其 直观想象
２０２２ 及 二 面 角 的 正 数学原理习得 空间想象 综合性
ꎬ 应用 数学运算
Ⅰ １９ 弦值
空间几何体的
新 高 考 直观想象
２０２２ 结构特征与表 球的表面积 数学运算学习 空间想象 综合性
ꎬ 数学运算
Ⅱ ７ 面积
新 高 考 空间几何体的 求四棱锥体积的 直观想象
２０２２ 数学运算学习 空间想象 综合性
ꎬ 体积 范围 数学运算
Ⅰ ８
新 高 考 空间向量及其 空间想象 直观想象
２０２１ 线面垂直的判定 数学原理习得 综合性
ꎬ 应用 逻辑思维 数学运算
Ⅰ １２
线线垂直的性质、
直线、平面垂 直观想象
新 高 考 二面角的概念与 运算求解
２０２１ 直的 判 定 与 数学原理习得 综合性 数学运算
ꎬ 应用、求三棱锥的 空间想象
Ⅰ ２０ 性质 逻辑推理
体积
面面垂直的证明、
新 高 考 运算求解 逻辑推理
２０２１ 空间角与距离 二面角余弦值的 数学原理习得 综合性
ꎬ 逻辑推理 直观想象
Ⅱ １９ 求解
2
命题规律与备考策略
本章内容为高考必考内容之一 多考查空间几何体 复习时 首先梳理本章重要定理 公式与常用结论
ꎬ ꎬ 、 ꎬ
的表面积与体积 空间中有关平行或垂直的判定 空间 扫清基础知识和公式障碍 然后 分题型重点复习
ꎬ ꎬ ꎻ ꎬ ꎬ
角与距离的求解 空间向量的应用等问题. 重视向量法求解空间角 距离问题的思路与解题
ꎬ 、
高考对本章内容的考查比较稳定 针对这一特点 过程.
ꎬ ꎬ8.1 空间几何体的结构特征、表面积和体积
考点清单
学生用书P58 知识结构化 考点清单化
考点一 空间几何体的结构特征和表面积 续表
１.多面体的结构特征 圆台 Ｖ
＝
１ (Ｓ
上＋
Ｓ
下＋
Ｓ
上
Ｓ
下
)ｈ
＝
１
π
(ｒ２
＋
ｒ′２
＋
ｒｒ′)ｈ
３ ３
名称 棱柱 棱锥 棱台
直棱柱 Ｖ Ｓ ｈ
有两个ꎬ是平 ＝ 底
有两个ꎬ是平行且全 有一个ꎬ是多
底面 行且相似的
等的多边形 边形 正棱锥 Ｖ １ Ｓ ｈ
多边形 ＝ 底
３
相交于一点ꎬ不 延长线交于
侧棱 平行且相等 正棱台 Ｖ １ (Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ )ｈ
一定相等 一点 ＝ 上＋ 下＋ 上 下
３
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
球 Ｖ ４ Ｒ３
２.旋转体的结构特征 ＝ ３ π
名称 圆柱 圆锥 圆台 拓展 几个与球有关的切、接问题的常用结论
平行、相等且垂 延 长 线 交 于 母线 相交于一点
直于底面 一点
全等的等腰 全 等 的 等 腰
轴截面 全等的矩形
三角形 梯形
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
３.空间几何体的表面积
几何体 侧面积 表面积
圆柱 Ｓ ｒｌ Ｓ ｒ(ｒ ｌ)
侧＝２π 表＝２π ＋
圆锥 Ｓ ｒｌ Ｓ ｒ(ｒ ｌ)
侧＝π 表＝π ＋
圆台 Ｓ
侧＝π
(ｒ
＋
ｒ′)ｌ Ｓ
表＝π
(ｒ２
＋
ｒ′２
＋
ｒｌ
＋
ｒ′ｌ)
直棱柱 Ｓ Ｃｈ(Ｃ为底面周长) 侧＝
Ｓ Ｓ Ｓ
正棱锥 Ｓ １ Ｃｈ′(ｈ′指斜高)
表＝ 侧＋ 上
侧＝ Ｓ (棱锥 ２ ＋ 下
的Ｓ )
正棱台 Ｓ １(Ｃ Ｃ′)ｈ′(ｈ′指斜高) 上＝０ 侧＝ ＋
２
球 Ｓ Ｒ２
＝４π
考点二 空间几何体的体积
几何体 体积
圆柱 Ｖ
＝
Ｓ
底
ｈ
＝π
ｒ２ｈ
圆锥 Ｖ
＝
１ Ｓ
底
ｈ
＝
１
π
ｒ２ｈ
３ ３
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ３４
( )棱长为ａ的正方体的外接球、内切球以及与各条棱都相
１
切的球.
( )外接球:球心是正方体的中心ꎬ半径ｒ ３ａꎻ
ｉ ＝
２
( )内切球:球心是正方体的中心ꎬ半径ｒ １ ａꎻ ｉｉ ＝
２
( )与各条棱都相切的球:球心是正方体的中心ꎬ半径ｒ ２ａ.
ｉｉｉ ＝
２
( )棱长为ａ的正四面体的外接球、内切球以及与各条棱都
２
相切的球.
( )外接球:球心是正四面体的中心ꎬ半径ｒ ６ａꎻ ｉ ＝
４
( )内切球:球心是正四面体的中心ꎬ半径ｒ ６ａꎻ ｉｉ ＝
１２
( )与各条棱都相切的球:球心是正四面体的中心ꎬ半径ｒ ｉｉｉ
２ａ.
＝
４
( )若长方体共顶点的三条棱长分别为ａꎬｂꎬｃꎬ则其外接球
３
ａ２ ｂ２ ｃ２ 的半径ｒ ＋ ＋ .
＝
２
题型方法
学生用书P59 题型经典 方法实用
一、空间几何体表面积与体积的求解方法 时 可以直接代入各自几何体的体积公式中进行计算
ꎬ ꎻ
１.空间几何体表面积的求解方法 割补法 求不规则几何体的体积时 可以将所给几何体分
(２) : ꎬ
求多面体的表面积时 把各个面的面积相加即可. 割 补 成若干个常见的几何体 然后利用求和 作差 的方法
(１) ꎬ ( ) ꎬ ( )
求简单旋转体的表面积时 代入公式直接求解. 得出所求几何体的体积
(２) ꎬ ꎻ
求组合体的表面积时 注意重合部分的处理. 等体积转化法 利用三棱锥的特性 即任意一个面都可以
(３) ꎬ (３) : ꎬ
２.空间几何体体积的求解方法 作为底面 从而进行换底换高计算 此种方法充分体现了数学
ꎬ ꎬ
公式法 当所给几何体是常见的柱 锥 台等规则的几何体 的转化思想
(１) : 、 、 ꎻ
函数求值法 求解体积的最值问题时常构造体积关于底面 外接.球与旋转体的组合通常是作出它们的轴截面 球与多面
(４) : ꎻ
边长或几何体高的函数 从而利用函数思想求其最值. 体的组合则通过多面体的一条侧棱 球心和 切点 或 接
ꎬ 、 “ ”( “
例1 (２０１８课标 文ꎬ５ꎬ５分)已知圆柱的上 下底面的中 点 作出截面图 把空间问题转化为平面问题后再求解.
(１) Ⅰ 、 ”) ꎬ
心分别为Ｏ Ｏ 过直线Ｏ Ｏ 的平面截该圆柱所得的截面是 ２.当球的内接多面体为共顶点的棱两两垂直的三棱锥 共顶点
１ꎬ ２ꎬ １ ２ 、
面积为 的正方形 则该圆柱的表面积为 的三个侧面两两垂直的三棱锥或三组对棱互相垂直的三棱锥
８ ꎬ ( )
时 常构造长方体或正方体以确定球的直径.
Ａ.１２ ２π Ｂ.１２π Ｃ.８ ２π Ｄ.１０π ꎬ
(２０１８ 天津文ꎬ１１ꎬ５ 分) 如图 已知正方体 ＡＢＣＤ 例2 (２０１８课标 ꎬ文１２ꎬ理１０ꎬ５分)设Ａ Ｂ Ｃ Ｄ是同一
(２) ꎬ － (１) Ⅲ ꎬ ꎬ ꎬ
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的棱长为 则四棱锥 Ａ ＢＢ Ｄ Ｄ 的体积为 个半径为 的球的球面上四点 ＡＢＣ为等边三角形且其面积
１ １ １ １ １ꎬ １ － １ １ ４ ꎬ△
. 为 则三棱锥Ｄ ＡＢＣ体积的最大值为
９ ３ꎬ － ( )
Ａ.１２ ３ Ｂ.１８ ３ Ｃ.２４ ３ Ｄ.５４ ３
在封闭的直三棱柱ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 内有一个体积为Ｖ的球.
(２) － １ １ １
若ＡＢ ＢＣ ＡＢ ＢＣ ＡＡ 则Ｖ的最大值是
⊥ ꎬ ＝６ꎬ ＝８ꎬ １＝３ꎬ ( )
９π ３２π
Ａ.４π Ｂ. Ｃ.６π Ｄ.
２ ３
解析 设 ＡＢＣ的边长为ａ 则Ｓ １ ａ ａ °
(１) △ ꎬ △ ＡＢＣ＝ ｓｉｎ ６０
２
解析 设圆柱的底面半径为ｒ 高为ｈ 由题意可知 ｒ ｈ 解得ａ 负值舍去 . ＡＢＣ的外接圆半径ｒ满足 ｒ
(１) ꎬ ꎬ ２ ＝ ＝９ ３ꎬ ＝６( ) △ ２ ＝
＝２ ２ꎬ∴
圆柱的表面积 Ｓ
＝２π
ｒ２
＋２π
ｒ
ｈ
＝４π＋８π＝１２π
.故
６ 得ｒ 球心到平面ＡＢＣ的距离为 ２ ２
选 . °ꎬ ＝２ ３ꎬ ４ －(２ ３) ＝
Ｂ ｓｉｎ６０
.所以点Ｄ到平面ＡＢＣ的最大距离为 所以三棱锥Ｄ
四棱锥的底面ＢＢ Ｄ Ｄ为矩形 其面积为 ２ ２＋４＝６ꎬ －
(２) １ １ ꎬ １× ２＝ ２ꎬ
又点Ａ 到底面ＢＢ Ｄ Ｄ的距离即四棱锥Ａ ＢＢ Ｄ Ｄ的高 为 ＡＢＣ体积的最大值为 １ 故选 .
１ １ １ １－ １ １ ꎬ ×９ ３×６＝１８ ３ꎬ Ｂ
３
１ Ａ Ｃ ２
２ １ １＝ ２ ꎬ (２) 易知ＡＣ ＝１０ .设底面 △ ＡＢＣ的内切圆的半径为ｒ ꎬ 则 １ ×６×
２
所以四棱锥Ａ １－ ＢＢ １ Ｄ １ Ｄ的体积为 １ × ２× ２ ＝ １ . ８＝ １ ×(６＋８＋１０) ｒ ꎬ 所以ｒ ＝２ꎬ 因为 ２ ｒ ＝４>３ꎬ 所以当球与三
３ ２ ３ ２
答案 Ｂ １ 棱柱的上 、 下底面相切时 ꎬ 体积最大 ꎬ 所以最大球的直径 ２ Ｒ ＝
(１) (２)
３
二、与球有关的切、接问题的求解方法 ３ꎬ 则Ｒ ＝ ３ ꎬ 此时球的体积Ｖ ＝ ４ π Ｒ３ ＝ ９π.故选 Ｂ .
２ ３ ２
１.与球有关的组合体问题包括两种情况 一种是内切 一种是 答案 Ｂ Ｂ
: ꎬ (１) (２)
第
八
章
立
体
几
何
与
空
间
向
量
１ ３５
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点一 空间几何体的结构特征和表面积 答案 Ｃ
５.(２０１４大纲全国ꎬ８ꎬ５分ꎬ综合性)正四棱锥的顶点都在同一
学生用书P210
１.(２０２２新高考 ꎬ７ꎬ５ 分ꎬ综合性)已知正三棱台的高为 球面上.若该棱锥的高为
４ꎬ
底面边长为
２ꎬ
则该球的表面积为
Ⅱ １ꎬ
上 下底面边长分别为 和 其顶点都在同一球面上 ( )
、 ３ ３ ４ ３ꎬ ꎬ
则该球的表面积为 ８１π ２７π
( ) Ａ. Ｂ.１６π Ｃ.９π Ｄ.
４ ４
Ａ.１００π Ｂ.１２８π Ｃ.１４４π Ｄ.１９２π 答案 Ａ
答案 Ａ
６.(２０２０课标 ꎬ文１１ꎬ理１０ꎬ５分ꎬ综合性)已知 ＡＢＣ是面积
２.(２０２１ 新高考 ꎬ３ꎬ５ 分ꎬ基础性)已知圆锥的底面半径为 Ⅱ △
Ⅰ
其侧面展开图为一个半圆 则该圆锥的母线长为 为９ ３的等边三角形 且其顶点都在球Ｏ的球面上.若球Ｏ的
２ꎬ ꎬ ( ) ꎬ
４
表面积为 则Ｏ到平面ＡＢＣ的距离为
Ａ.２ Ｂ.２ ２ Ｃ.４ Ｄ.４ ２ １６πꎬ ( )
答案 Ｂ
３ ３
３.(２０２０天津ꎬ５ꎬ５分ꎬ基础性)若棱长为 的正方体的顶点 Ａ. ３ Ｂ. Ｃ.１ Ｄ. ２ ３ ２ ２
都在同一球面上 则该球的表面积为 答案 Ｃ
ꎬ ( )
７.(２０２０课标 ꎬ文１２ꎬ理１０ꎬ５分ꎬ基础性)已知Ａ Ｂ Ｃ为球Ｏ Ａ.１２π Ｂ.２４π Ｃ.３６π Ｄ.１４４π Ⅰ ꎬ ꎬ
答案 Ｃ 的球面上的三个点 Ｏ 为 ＡＢＣ的外接圆.若 Ｏ 的面积为
ꎬ☉ １ △ ☉ １
４.(２０１５课标 ꎬ９ꎬ５分ꎬ综合性)已知Ａ Ｂ是球Ｏ的球面上两 ＡＢ ＢＣ ＡＣ ＯＯ 则球Ｏ的表面积为
Ⅱ ꎬ ４πꎬ ＝ ＝ ＝ １ꎬ ( )
点 ＡＯＢ ° Ｃ为该球面上的动点.若三棱锥Ｏ ＡＢＣ体积
ꎬ∠ ＝９０ ꎬ － Ａ.６４π Ｂ.４８π Ｃ.３６π Ｄ.３２π
的最大值为 则球Ｏ的表面积为 答案 Ａ
３６ꎬ ( )
８.(２０２１全国甲文ꎬ１４ꎬ５分ꎬ基础性)已知一个圆锥的底面半径
Ａ.３６π Ｂ.６４π Ｃ.１４４π Ｄ.２５６π
为 其体积为 则该圆锥的侧面积为 .
６ꎬ ３０πꎬ
答案
３９π
９.(２０１８课标 理ꎬ１６ꎬ５分ꎬ综合性)已知圆锥的顶点为Ｓ 母
Ⅱ ꎬ
线ＳＡ ＳＢ所成角的余弦值为 ７ ＳＡ与圆锥底面所成角为 °.
ꎬ ꎬ ４５
８
若 ＳＡＢ的面积为 则该圆锥的侧面积为 .
△ ５ １５ꎬ
答案 斛 斛 斛 斛
４０ ２π Ａ.１４ Ｂ.２２ Ｃ.３６ Ｄ.６６
１０.(２０１７课标 文ꎬ１６ꎬ５分ꎬ综合性)已知三棱锥Ｓ ＡＢＣ的所 答案 Ｂ
Ⅰ －
有顶点都在球Ｏ的球面上 ＳＣ是球Ｏ的直径.若平面ＳＣＡ 平
ꎬ ⊥ ６.(２０１５山东ꎬ７ꎬ５ 分ꎬ综合性)在梯形 ＡＢＣＤ 中 ＡＢＣ π
面ＳＣＢ ＳＡ ＡＣ ＳＢ ＢＣ 三棱锥Ｓ ＡＢＣ的体积为 则球Ｏ的 ꎬ∠ ＝ ꎬ
ꎬ ＝ ꎬ ＝ ꎬ － ９ꎬ ２
表面积为 . ＡＤ ＢＣ ＢＣ ＡＤ ＡＢ .将梯形ＡＢＣＤ绕ＡＤ所在的直线旋
∥ ꎬ ＝２ ＝２ ＝２
答案 转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
３６π ( )
考点二 空间几何体的体积
学生用书P210 ２π ４π ５π
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.２π
１.(２０２２全国甲ꎬ理９ꎬ文１０ꎬ５分ꎬ综合性)甲 乙两个圆锥的母 ３ ３ ３
、 答案 Ｃ
线长相等 侧面展开图的圆心角之和为 侧面积分别为Ｓ
ꎬ ２πꎬ 甲 ７.(２０１４湖北ꎬ８ꎬ５分ꎬ应用性) 算数书 竹简于 世纪 年
Ｓ Ｖ « » ２０ ８０
和Ｓ 体积分别为Ｖ 和Ｖ .若 甲 则 甲 代在湖北省江陵县张家山出土 这是我国现存最早的有系统的
乙ꎬ 甲 乙 Ｓ ＝２ꎬ Ｖ ＝ ( ) ꎬ
乙 乙 数学典籍 其中记载有求 囷盖 的术 置如其周ꎬ令相乘也.又
ꎬ “ ” :
５ １０ 以高乘之ꎬ三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长Ｌ
Ａ. ５ Ｂ.２ ２ Ｃ. １０ Ｄ.
４
答案 Ｃ 与高ｈ 计算其体积Ｖ的近似公式Ｖ １ Ｌ２ｈ.它实际上是将圆
ꎬ ≈
２.(２０２２全国乙ꎬ理９ꎬ文１２ꎬ５分ꎬ基础性)已知球Ｏ的半径为 ３６
锥体积公式中的圆周率 近似取为 .那么 近似公式 Ｖ
四棱锥的顶点为Ｏ 底面的四个顶点均在球Ｏ的球面上 则 π ３ ꎬ ≈
１ꎬ ꎬ ꎬ
当该四棱锥的体积最大时 其高为 ２ Ｌ２ｈ相当于将圆锥体积公式中的 近似取为
ꎬ ( ) π ( )
７５
１ １ ３ ２ ２２ ２５ １５７ ３５５
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
３ ２ ３ ２ ７ ８ ５０ １１３
答案 Ｃ 答案 Ｂ
３.(２０２２新高考 ꎬ４ꎬ５分ꎬ应用性)南水北调工程缓解了北方 ８.(２０１８ 课标 文ꎬ１０ꎬ５ 分ꎬ综合性) 在长方体 ＡＢＣＤ
Ⅰ Ⅰ －
一些地区水资源短缺问题 其中一部分水蓄入某水库.已知该 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 ＡＢ ＢＣ ＡＣ 与平面ＢＢ Ｃ Ｃ所成的角为 °
ꎬ １ １ １ １ ꎬ ＝ ＝２ꎬ １ １ １ ３０ ꎬ
水库水位为海拔 . 时 相应水面的面积为 . ２ 水 则该长方体的体积为
１４８５ ｍ ꎬ １４０ ０ ｋｍ ꎻ ( )
位为海拔 . 时 相应水面的面积为 . ２.将该水库
１５７５ ｍ ꎬ １８０ ０ ｋｍ
Ａ.８ Ｂ.６ ２ Ｃ.８ ２ Ｄ.８ ３
在这两个水位间的形状看作一个棱台 则该水库水位从海拔
答案 Ｃ
ꎬ
. 上升到 . 时 增加的水量约为 . ９.(２０２１全国甲理ꎬ１１ꎬ５ 分ꎬ综合性)已知Ａ Ｂ Ｃ是半径为
１４８５ｍ １５７５ ｍ ꎬ ( ７≈２６５) ꎬ ꎬ １
的球Ｏ的球面上的三个点 且ＡＣ ＢＣ ＡＣ ＢＣ 则三棱锥
( ) ꎬ ⊥ ꎬ ＝ ＝１ꎬ
. ９ ３ . ９ ３ Ｏ ＡＢＣ的体积为
Ａ.１０×１０ ｍ Ｂ.１２×１０ ｍ － ( )
. ９ ３ . ９ ３
Ｃ.１４×１０ ｍ Ｄ.１６×１０ ｍ
２ ３ ２ ３
答案 Ｃ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
１２ １２ ４ ４
４.(２０２２新高考 ꎬ８ꎬ５分ꎬ综合性)已知正四棱锥的侧棱长为 答案 Ａ
Ⅰ
ｌ 其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 且 ｌ １０.(多选)(２０２２新高考 ꎬ１１ꎬ５分ꎬ综
ꎬ ３６πꎬ ３≤ ≤ Ⅱ
则该正四棱锥体积的取值范围是 合性)如图 四边形ＡＢＣＤ为正方形 ＥＤ
３ ３ꎬ ( ) ꎬ ꎬ
[ ] [ ] 平面 ＡＢＣＤ ＦＢ ＥＤ ＡＢ ＥＤ ＦＢ.
８１ ２７ ８１ ⊥ ꎬ ∥ ꎬ ＝ ＝２
Ａ. １８ꎬ Ｂ. ꎬ 记三棱锥Ｅ ＡＣＤ Ｆ ＡＢＣ Ｆ ＡＣＥ的体
４ ４ ４ － ꎬ － ꎬ －
[ ] 积分别为Ｖ Ｖ Ｖ 则
２７ ６４ １ꎬ ２ꎬ ３ꎬ ( )
Ｃ. ꎬ Ｄ.[１８ꎬ２７] Ｖ Ｖ Ｖ Ｖ
年 答 ４ 案 ３ Ｃ Ａ. Ｖ ３＝ Ｖ ２ ２ Ｖ Ｂ. Ｖ ３＝ １ Ｖ
高 考 ５.(２０１５ 课标 ꎬ６ꎬ５分ꎬ应用性) 九章算术 是我国古代内容 Ｃ. 答 ３＝ 案 １＋ Ｃ ２ Ｄ Ｄ.２ ３＝３ １
Ⅰ « »
极为丰富的数学名著 书中有如下问题 今有委米依垣内角 １１.(２０２０江苏ꎬ９ꎬ５分ꎬ基础性)如图 六角螺帽毛坯是由一个
年 ꎬ :“ ꎬ ꎬ
模
下周八尺
ꎬ
高五尺.问
:
积及为米几何
?”
其意思为
:“
在屋内墙角 正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边
拟 处堆放米 如图 米堆为一个圆锥的四分之一 米堆底部的弧 长为 高为 内孔半径为 . 则此六角螺帽毛坯的
( ꎬ )ꎬ ２ｃｍꎬ ２ ｃｍꎬ ０５ｃｍꎬ
长为
８
尺
ꎬ
米堆的高为
５
尺
ꎬ
问米堆的体积和堆放的米各为多 体积是
ｃｍ
３.
少 已知 斛米的体积约为 . 立方尺 圆周率约为 估算
?” １ １ ６２ ꎬ ３ꎬ
出堆放的米约有
︵ ( )
教
师
用
书 ( )
答案 π
︶ １２ ３－
２
１ ３６
１２.(２０２０课标 ꎬ文１６ꎬ理１５ꎬ５分ꎬ综合性)已知圆锥的底面半 ( )如图ꎬ可将包装盒分割为长方体ＭＮＰＱ ＥＦＧＨ和四个全等
Ⅲ ２ －
径为 母线长为 则该圆锥内半径最大的球的体积为 . 的四棱锥.
１ꎬ ３ꎬ
答案 ２
π
３
１３.(２０１９江苏ꎬ９ꎬ５分ꎬ综合性)如图 长方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
ꎬ － １ １ １ １
的体积是 Ｅ 为 ＣＣ 的中点 则三棱锥 Ｅ ＢＣＤ 的体
１２０ꎬ １ ꎬ －
积是 .
易得ＭＮ ꎬＥＭ .
＝４ ２ ｃｍ ＝４ ３ ｃｍ
所以Ｖ
长方体ＭＮＰＱ － ＥＦＧＨ＝
(
４ ２
)２
×４ ３＝１２８ ３ ｃｍ
３ꎬ
答案 １０ Ｖ 四棱锥Ｂ － ＭＮＦＥ＝ １ ×４ ３×４ ２×２ ２＝ ６４ ３ ｃｍ ３ꎬ
１４.(２０１８江苏ꎬ１０ꎬ５ 分ꎬ综合性)如图所示 正方体的棱长为 ３ ３
ꎬ
以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 所以该包装盒的容积为 ６４ ３ ６４０ ３ ３.
２ꎬ １２８ ３＋４× ＝ ｃｍ
３ ３
易错警示 线面平行的判定中ꎬ不能忽略线不在平面内这
一条件.
１７.(２０１８课标 文ꎬ１８ꎬ１２ 分ꎬ综合性)如图 在平行四边形
Ⅰ ꎬ
ＡＢＣＭ中 ＡＢ ＡＣ ＡＣＭ °.以 ＡＣ 为折痕将 ＡＣＭ 折
ꎬ ＝ ＝３ꎬ∠ ＝９０ △
起 使点Ｍ到达点Ｄ的位置 且ＡＢ ＤＡ.
答案 ４ ꎬ ꎬ ⊥
证明 平面ＡＣＤ 平面ＡＢＣ
３ (１) : ⊥ ꎻ
１５.(２０２０ 新高考 ꎬ１３ꎬ５ 分ꎬ综合性)棱长为 的正方体 Ｑ为线段ＡＤ 上一点 Ｐ 为线段 ＢＣ 上一点 且 ＢＰ ＤＱ
Ⅱ ２ (２) ꎬ ꎬ ＝ ＝
ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｍ Ｎ分别为棱ＢＢ ＡＢ的中点 则三棱锥
－ １ １ １ １ ꎬ ꎬ １ꎬ ꎬ ２ ＤＡ 求三棱锥Ｑ ＡＢＰ的体积.
Ａ Ｄ ＭＮ的体积为 . ꎬ －
１－ １ ３
答案
１
１６.(２０２２全国甲文ꎬ１９ꎬ１２分ꎬ综合性)小明同学参加综合实践
活动 设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示 底面ＡＢＣＤ
ꎬ :
是边长为 单位 的正方形 ＥＡＢ ＦＢＣ ＧＣＤ
８( :ｃｍ) ꎬ△ ꎬ△ ꎬ△ ꎬ
ＨＤＡ均为正三角形 且它们所在的平面都与平面 ＡＢＣＤ
△ ꎬ
垂直.
证明 ＥＦ 平面ＡＢＣＤ
(１) : ∥ ꎻ
求该包装盒的容积 不计包装盒材料的厚度 . 解析 ( )证明:由已知可得ꎬ ＢＡＣ °ꎬ即ＢＡ ＡＣ.又ＢＡ
(２) ( ) １ ∠ ＝９０ ⊥
ＡＤꎬ所以ＡＢ 平面ＡＣＤ.
⊥ ⊥
又ＡＢ 平面ＡＢＣꎬ所以平面ＡＣＤ 平面ＡＢＣ.
⊂ ⊥
( )由已知可得ꎬＤＣ ＣＭ ＡＢ ꎬＤＡ .又 ＢＰ ＤＱ
２ ＝ ＝ ＝３ ＝３ ２ ＝ ＝
２ ＤＡꎬ所以ＢＰ .作ＱＥ ＡＣꎬ垂足为Ｅꎬ则ＱＥ ＤＣ且ＱＥ
＝２ ２ ⊥ ∥
３
１ ＤＣ.由已知及( )可得 ＤＣ 平面 ＡＢＣꎬ所以 ＱＥ 平面
＝ １ ⊥ ⊥
３
ＡＢＣꎬＱＥ .因此ꎬ三棱锥 Ｑ ＡＢＰ 的体积 Ｖ １ ＱＥ
解析 取ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点 Ｍ、Ｎ、Ｐ、Ｑꎬ连接 ＥＭ、ＦＮ、 ＝１ － Ｑ － ＡＢＰ＝
３
ＧＰ、ＨＱ、ＭＮ、ＮＰ、ＰＱ、ＱＭ.
Ｓ １ １ ° .
( )证明:在正三角形ＡＢＥ中ꎬＭ为ＡＢ的中点ꎬ所以ＥＭ ＡＢ. △ ＡＢＰ＝ ×１× ×３×２ ２ｓｉｎ４５ ＝１
１ ⊥ ３ ２
又平面ＡＢＥ 平面ＡＢＣＤ ＡＢꎬ且平面ＡＢＥ 平面ＡＢＣＤꎬ所以
∩ ＝ ⊥
ＥＭ 平面ＡＢＣＤ.
⊥
同理ＦＮ 平面ＡＢＣＤꎬ所以ＥＭ ＦＮꎬ
⊥ ∥ 第
又ＥＭ ＦＮꎬ
＝ 八
所以四边形ＥＭＮＦ为平行四边形ꎬ所以ＥＦ ＭＮ. 章
∥
又ＭＮ 平面ＡＢＣＤꎬ且ＥＦ 平面ＡＢＣＤꎬ
⊂ ⊄ 立
所以ＥＦ 平面ＡＢＣＤ. 体
∥ 几
何
与
空
间
向
量
１ ３７
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P213
考点一 空间几何体的结构特征和表面积
１.(２０２２福建４月百校联合测评ꎬ６)已知某圆台的高为 上
７ꎬ
底面半径为 ２ꎬ 下底面半径为 ２ ２ꎬ 则其侧面展开图的面积为 Ａ.０ . ２５ ｃｍ ３ Ｂ.０ . ６５ ｃｍ ３
( ) Ｃ.０ . １５ ｃｍ ３ Ｄ.０ . ４５ ｃｍ ３
答案 Ｄ
Ａ.９π Ｂ.６ ２π Ｃ.９ ２π Ｄ.８ ２π
答案 Ｃ ２.(多选)(２０２２重庆第七次质检ꎬ１１)如图所示 棱长为 的正
ꎬ ２
２.(２０２２重庆第七次质检ꎬ７)若正三棱柱ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 既有外 方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｅ是棱ＤＤ 的中点 记过Ａ Ｂ Ｅ的
－ １ １ １ － １ １ １ １ ꎬ １ ꎬ １ꎬ ꎬ
接球 又有内切球 记该三棱柱的外接球和内切球的半径分别 平面为α Ｆ是上底面Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 上的动点 且ＣＦ α 则下列
ꎬ ꎬ ꎬ １ １ １ １ ꎬ ∥ ꎬ
æＲ ö２ 说法正确的是
为Ｒ Ｒ 则ç １÷ ( )
１、 ２ꎬ èＲ ø ＝ ( )
２
９ １０
Ａ.５ Ｂ.４ Ｃ. Ｄ.
２ ３
答案 Ａ
３.(２０２２辽宁名校联盟３月联考ꎬ６)已知圆台形的木桶的上
、
下底面的半径分别为 和 木桶的高为 则该木桶的侧面
４ ２ꎬ ２ ３ꎬ
展开成的扇环所对的圆心角为
( )
３π ２π π
Ａ.π Ｂ. Ｃ. Ｄ.
４ ３ ２ α截正方体所得截面为等腰梯形
答案 Ａ Ａ.
４.(２０２２ 湖北 九师联盟３ 月质检ꎬ１６)如图 在三棱锥 Ｐ ＡＢＣ Ｂ.
α将正方体分成两部分的体积比为
７ ∶ １７
ꎬ － 点Ｆ在线段Ｂ Ｄ 上
中 ＰＡ 平面ＡＢＣ ＡＢＣ π ＡＰ ＡＢ ＡＢ ＢＣ 则三棱锥 Ｃ. １ １
ꎬ ⊥ ꎬ∠ ＝ ꎬ ＝ ꎬ ＋ ＝９ꎬ
２ ＣＦ的最小值为６ ５
Ｐ ＡＢＣ外接球的表面积的最小值为 . Ｄ.
－ ５
答案 ＡＢＤ
３.(２０２２江苏泰州二调ꎬ１６)某同学的通用技术作品如图所示
ꎬ
该作品由两个相同的正四棱柱组成.已知正四棱柱的底面边长
为 则这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数
３ ｃｍꎬ
为 体积为 ３.
ꎬ ｃｍ
答案
５４π
考点二 空间几何体的体积
１.(２０２２广东湛江、肇庆三模ꎬ５)下图是战国时期的一个铜镞
ꎬ
其由两部分组成 前段是高为 底面边长为 的正三棱
ꎬ ２ ｃｍ、 １ ｃｍ 答案 ꎻ
锥 后段是高为 . 的圆柱 圆柱底面圆与正三棱锥底面的 ８ １８ ２
ꎬ ０６ ｃｍ ꎬ
正三角形内切 则此铜镞的体积约为
ꎬ ( )
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ３８
B组 综合应用题组 学生用书P214
50分钟 70分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共３５分) 和 圆柱的底面直径为 则该几何体的体积为
５ꎬ ４ꎬ ( )
１.(２０２２华大新高考联盟３月教学检测ꎬ４)已知圆锥的表面积
为 母线与底面所成角为θ 若 θ ２ 则圆锥的体积为
９０πꎬ ꎬ ｃｏｓ ＝ ꎬ
３
( )
Ａ.１０８π Ｂ.３６ ５π Ｃ.３６ ３π Ｄ.７２π
答案 Ｂ
２.(２０２２江苏苏州常熟抽测二ꎬ６)用一平面截圆柱 得到如图 Ａ.１６π Ｂ.３２π Ｃ.８π Ｄ.６４π ꎬ 答案 Ａ
所示的几何体 截面椭圆的长轴两端点到底面的距离分别为
ꎬ ３
３.(２０２２湖南新高考教学教研联盟第一次联考ꎬ６)如图 已知 ＤＣＦ ＢＥＦ分别沿ＤＥ ＤＦ ＥＦ折起 使Ａ Ｂ Ｃ三点重合于
ꎬ △ ꎬ△ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
长方体ＡＢＣＤ － Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ Ｄ １ꎬ 以Ｄ为坐标原点 ꎬ →ＤＡ ꎬ Ｄ→Ｃ ꎬ Ｄ→Ｄ １ 的方向分
点Ｐ
ꎬ
则三棱锥Ｐ
－
ＤＥＦ的外接球与内切球的表面积之比为
别为ｘ ｙ ｚ轴的正方向建立空间直角坐标系 则Ｄ→Ｂ 又Ｅ ( )
ꎬ ꎬ ꎬ １＝(２ꎬ３ꎬ４)ꎬ ꎬ
Ｆ分别是棱ＡＢ ＣＣ 的中点 那么三棱锥Ｂ ＡＥＦ的体积为 Ａ.６ Ｂ.１２ Ｃ.２４ Ｄ.３０
ꎬ １ ꎬ １－ １ ( ) 答案 Ｃ
二、多项选择题(每小题５分ꎬ共１０分)
８.(２０２２福建名校联盟全国优质校大联考ꎬ１２)已知Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
ꎬ ꎬ ꎬ
是表面积为 的球的表面上四点 且ＡＢ ＣＤ 则
２０π ꎬ ＝２ꎬ ＝４ꎬ
( )
若ＡＢ ＣＤ 则平行直线ＡＢ与ＣＤ间距离的最大值为
Ａ. ∥ ꎬ ３
若ＡＢ ＣＤ 则平行直线ＡＢ与ＣＤ间距离的最小值为
Ｂ. ∥ ꎬ ３
若Ａ Ｂ Ｃ Ｄ四点能构成三棱锥 则该三棱锥体积的最大值
Ｃ. ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
为
４
若ＡＣ 则ＡＣ ＡＤ
Ｄ. ＝２ ５ꎬ ⊥
答案 ＡＣ
Ａ.４ Ｂ.６ Ｃ.８ Ｄ.１２
答案 Ａ ９.(２０２２华大新高考联盟３ 月教学检测ꎬ１２)已知三棱锥 Ｓ
－
４.(２０２２八省八校联考二ꎬ６)如图 已知正四面体 ＡＢＣＤ 的棱 ＡＢＣ中 ＳＡ 平面ＡＢＣ ＳＡ ＡＢ ＢＣ ＡＣ 点Ｅ Ｆ分别
ꎬ ꎬ ⊥ ꎬ ＝ ＝ ＝ ２ꎬ ＝２ꎬ ꎬ
长为 过点Ｂ作截面α分别交侧棱 ＡＣ ＡＤ于 Ｅ Ｆ两点 且 是线段ＡＢ ＢＣ的中点 直线ＡＦ ＣＥ相交于点Ｇ 则过点Ｇ的平
１ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
面α截三棱锥Ｓ ＡＢＣ的外接球Ｏ所得截面面积可以是
四面体ＡＢＥＦ的体积为四面体ＡＢＣＤ体积的 １ 则ＥＦ的最小 －
ꎬ
３
( )
值为
( )
２ ８ ３
Ａ. π Ｂ. π Ｃ.π Ｄ. π
３ ９ ２
答案 ＢＣＤ
三、填空题(每小题５分ꎬ共２５分)
１０.(２０２２辽宁二轮复习联考(二)新高考卷ꎬ１６)已知四棱锥Ｐ
ＡＢＣＤ的底面ＡＢＣＤ是矩形 且该四棱锥的所有顶点都在球Ｏ
－ ꎬ
的球面上 ＰＡ 平面ＡＢＣＤ ＰＡ ＡＢ ＢＣ 点Ｅ在棱ＰＢ
ꎬ ⊥ ꎬ ＝ ＝２ꎬ ＝２ ２ꎬ
上 且Ｅ→Ｂ Ｐ→Ｅ 过Ｅ作球Ｏ的截面 则所得截面面积的最小
ꎬ ＝２ ꎬ ꎬ
值是 .
２ ３ １ ３
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
２ ２ ３ ３ 答案 １６
答案 Ｄ π
９
５.(２０２２河北九师联盟３月联考(一模)ꎬ７)已知一个棱长为 １１.(２０２２湖南衡阳八中开学考ꎬ１５)某种游戏中 黑黄两个 电
２ ꎬ “
的正方体玻璃容器内 不计玻璃的厚度 放置一个正四面体 子狗 从棱长为 的正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的顶点Ａ出发 沿
( ) ꎬ ” １ － １ １ １ １ ꎬ
若正四面体能绕着它的中心 即正四面体内切球的球心 任意 棱向前爬行 每爬完一条棱称为 爬完 段 .黑 电子狗 爬行
( ) ꎬ “ １ ” “ ”
转动 则正四面体棱长的最大值为 的路线是ＡＡ Ａ Ｄ 黄 电子狗 爬行的路线是ＡＢ ＢＢ
ꎬ ( ) １→ １ １→ꎬ “ ” → １
它们都遵循如下规则 所爬行的第ｉ 段与第ｉ段所在
→ꎬ : ＋２
２ ３ ２ ６ ４ ３ ４ ６ 直线必须是异面直线 其中ｉ是正整数 .设黑 电子狗 爬完
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ( ) “ ”
３ ３ ３ ３
段 黄 电子狗 爬完 段后各自停止在正方体的某
答案 Ｂ ２００８ 、 “ ” ２ ００９
６.(２０２２山东烟台、德州一模ꎬ６)如图 三棱锥Ｖ ＡＢＣ中 ＶＡ 个顶点处 ꎬ 这时黑 、 黄 “ 电子狗 ” 间的距离是 .
ꎬ － ꎬ ⊥
答案
底面ＡＢＣ ＢＡＣ ° ＡＢ ＡＣ ＡＶ 则该三棱锥的内切球 １
ꎬ∠ ＝９０ ꎬ ＝ ＝ ＝２ꎬ
和外接球的半径之比为
( ) １２.(２０２２福建龙岩一模ꎬ１６)已知Ａ Ｂ Ｃ Ｄ是体积为２０ ５
ꎬ ꎬ ꎬ π
３
的球的表面上四点 若ＡＢ ＡＣ ＢＣ 且三棱锥 Ａ
ꎬ ＝４ꎬ ＝２ꎬ ＝２ ３ꎬ －
ＢＣＤ的体积为 则线段ＣＤ长度的最大值为 .
２ ３ꎬ
答案
３ ２
１３.(２０２２河北邯郸一模ꎬ１５)已知Ａ Ｂ Ｃ Ｄ四点都在表面积
ꎬ ꎬ ꎬ 第
为 的球Ｏ的表面上 若ＡＤ是球Ｏ的直径 且ＢＣ 八
１００π ꎬ ꎬ ＝３ ３ꎬ
ＢＡＣ ° 则三棱锥Ａ ＢＣＤ体积的最大值为 . 章
∠ ＝１２０ ꎬ －
答案 立
Ａ.(２－ ３) ∶ １ Ｂ.(２ ３－３) ∶ １ ６ ３ 体
１４.(２０２１上海崇明二模ꎬ３)已知圆锥的底面面积为 母线长
Ｃ.( ３－１) ∶ ３ Ｄ.( ３－１) ∶ ２ πꎬ 几
答案 Ｃ 为 则该圆锥的高为 . 何
２ꎬ 与
７.(２０２２南京六校联合体联考ꎬ８)已知正方形ＡＢＣＤ的边长为 答案 空
３
点 Ｅ 为边 ＡＢ 的中点 点 Ｆ 为边 ＢＣ 的中点 将 ＡＥＤ 间
２ꎬ ꎬ ꎬ △ ꎬ 向
量
１ ３９
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P215
１.(多选)(２０２２ ５３原创题)如图 矩形ＡＢＣＤ中 ＡＢ ＡＤ 翻折到某个位置 能使得ＤＭ ＥＣ
ꎬ ꎬ ＝２ ＝ Ｃ. ꎬ ⊥
Ｅ为边ＡＢ的中点 将 ＡＤＥ沿ＤＥ翻折成 Ａ ＤＥ 若Ｍ为 点Ｍ在某个球面上运动
２ꎬ ꎬ △ △ １ ꎬ Ｄ.
线段Ａ Ｃ的中点 则在翻折过程中 下列结论中正确的是 答案 ＡＤ
１ ꎬ ꎬ
２.(２０２２ ５３原创题)已知 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 四点均在同一球面上
( ) ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
ＢＡＣ ° ＢＣＤ是边长为 等边三角形 则 ＡＢＣ 面积
∠ ＝１２０ ꎬ△ ２ ꎬ △
的最大值为 .
答案 ３
３
３.(２０２２ ５３原创题)已知对棱相等的四面体被称为 等腰四
“
面体 它的四个面是全等的锐角三角形.在等腰四面体Ａ ＢＣＤ
”ꎬ －
中 ＡＢ ＡＣ ＢＣ 则该四面体的内切球表面积为 .
ꎬ ＝ ＝３ꎬ ＝４ꎬ
答案 ４π
四棱锥Ａ ＤＣＢＥ体积的最大值为 ２
Ａ. １－ ５
４
翻折到某个位置 能使得ＡＣ 平面Ａ ＤＥ
Ｂ. ꎬ ⊥ １
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ４０
