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2025新教材数学高考第一轮复习
专题八 立体几何与空间向量
8.1 空间几何体的结构特征、表面积和体积
五年高考
考点1 空间几何体的结构特征
1.(2021新高考Ⅰ,3,5分,易)已知圆锥的底面半径为√2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆
锥的母线长为 ( )
A.2 B.2√2C.4D.4√2
2.(2023北京,9,4分,中)坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带
可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等
的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若AB=25 m,BC=10 m,且等腰梯形所在平面、等
√14
腰三角形所在平面与平面ABCD的夹角的正切值均为 ,则该五面体的所有棱长之和为
5
( )
A.102 m B.112 m C.117 m D.125 m
3.(2022北京,9,4分,难)已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是△ABC及其内部的点
构成的集合.设集合T={Q∈S|PQ≤5},则T表示的区域的面积为( )
3π
A. B.π C.2π D.3π
4
4.(2020浙江,14,4分,易)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,
则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是 .
5.(2023全国甲文,16,5分,难)在正方体ABCD-A B C D 中,AB=4,O为AC 的中点,若该正方
1 1 1 1 1
体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是 .
考点2 空间几何体的表面积和体积
1.(2021新高考Ⅱ,5,5分,中)正四棱台的上、下底面的边长为 2,4,侧棱长为2,则四棱台的
体积为 ( )
56 28√2
A.56 B.28√2C. D.
3 3
2.(2023全国乙理,8,5分,中)已知圆锥PO的底面半径为√3,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的9√3
母线,∠AOB=120°,若△PAB的面积等于 ,则该圆锥的体积为 ( )
4
A.π B.√6πC.3πD.3√6π
3.(2023 全国甲文,10,5 分,中)在三棱锥 P-ABC 中,△ABC 是边长为 2 的等边三角形,
PA=PB=2,PC=√6,则该棱锥的体积为 ( )
A.1 B.√3 C.2 D.3
4.(2018 课标Ⅲ,文 12,理 10,5 分,中)设 A,B,C,D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点,
△ABC为等边三角形且其面积为9√3,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 ( )
A.12√3B.18√3C.24√3D.54√3
5.(2022全国甲,文10,理9,5分,中)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之
和为2π,侧面积分别为S 和S ,体积分别为V 和V .若S =2,则V = ( )
甲 乙 甲 乙 甲 甲
S V
乙 乙
5√10
A.√5B.2√2C.√10D.
4
6.(2021 全国甲理,11,5 分,中)已知 A,B,C 是半径为 1 的球 O 的球面上的三个点,且
AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为 ( )
√2 √3
A. B.
12 12
√2 √3
C. D.
4 4
7.( 多 选 )(2022 新 高 考 Ⅱ ,11,5 分 , 中 ) 如 图 , 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 ,ED⊥ 平 面
ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V ,V ,V ,则 (
1 2 3
)
A.V =2V B.V =V
3 2 3 1
C.V =V +V D.2V =3V
3 1 2 3 1
9√3
8.(2020课标Ⅱ理,10,5分,中)已知△ABC是面积为 的等边三角形,且其顶点都在球O
4
的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为 ( )3
A.√3B.
2
√3
C.1 D.
2
9.(多选)(2023新课标Ⅰ,12,5分,难)下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方
体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A.直径为0.99 m的球体
B.所有棱长均为1.4 m的四面体
C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体
D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体
10.(2022新高考Ⅰ,8,5分,难)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球
的体积为36π,且3≤l≤3√3,则该正四棱锥体积的取值范围是 ( )
A.[ 81] [27 81]
18, B. ,
4 4 4
C.[27 64] D.[18,27]
,
4 3
11.(2022全国乙,文12,理9,5分,难)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶
点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为 ( )
1 1
A. B.
3 2
√3 √2
C. D.
3 2
12.(2023新课标Ⅱ,14,5分,易)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去
一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为 .
13.(2020新高考Ⅱ,13,5分,易)棱长为2的正方体ABCD-A B C D 中,M,N分别为棱BB ,AB
1 1 1 1 1
的中点,则三棱锥A -D MN的体积为 .
1 1
14.(2023新课标Ⅰ,14,5分,易)在正四棱台ABCD-A B C D 中,AB=2,A B =1,AA =√2,则该棱
1 1 1 1 1 1 1
台的体积为 .
三年模拟
综合基础练
1.(2023广西南宁三中模拟预测,4)如图所示,一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法
的直观图是边长为2的正方形O'A'B'C',则原四边形OABC的面积是 ( )A.16√2B.8√2 C.16 D.8
2.(2024届天津第二中学学情调查,5)从长方体的一个顶点上出发的三条棱的长是 3,4,5,且
它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的体积是( )
125√2
A. πB.125√2π
3
C.50π D.125π
3.(2024届江苏部分重点中学第一次联考,3)设体积相等的正方体、正四面体和球的表面
积分别为S ,S ,S ,则 ( )
1 2 3
A.S V
1 2 3 1 2 3
C.V >V D.V =V
1 2 1 2
7.(2024届江西九江一模,15)如图,在正三棱柱ABC-A B C 中,AB=2AA =2,N为A C 的中点,
1 1 1 1 1 1
M为线段AA 上的点,则MN+MB的最小值为 .
1
综合拔高练
1.(2024届浙江浙南名校联盟第一次联考,5)生活中有很多常见的工具有独特的几何体结
构特征,例如垃圾畚箕,其结构为如图所示的五面体 ABCDEF,其中四边形ABFE与CDEF
都为等腰梯形,四边形ABCD为平行四边形,若AD⊥平面ABFE,且EF=2AB=2AE=2BF,记三
棱锥D-ABF的体积为V ,则该五面体的体积为( )
1
A.8V B.5V C.4V D.3V
1 1 1 1
2.(2024届河南部分学校摸底测试(二),3)如图1所示,宫灯又称宫廷花灯,是中国彩灯中富
有特色的汉民族传统手工艺品之一.图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图,该花灯
由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成,若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为 4
dm和2 dm,正六棱台与正六棱柱的高分别为1 dm和6 dm,则该花灯的表面积为 ( )
A.(108+30√3)dm2 B.(72+30√3)dm2C.(64+24√3)dm2 D.(48+24√3)dm2
3.(2024届辽宁重点高中协作体期中,7)现有一个圆台形状的容器,从内部量,其上下底面的
面积之比为1∶4,且轴截面的面积为9平方分米,母线长为上底面圆的半径的√10倍,则这个
圆台形状的容器的容积为(π取3) ( )
A.24升 B.21升 C.30升 D.36升
4.(多选)(2023河北保定一模,10)沙漏,据《隋志》记载:“漏刻之制,盖始于黄帝”.它是古代
的一种计时装置,由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全
部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个
沙时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为6 cm,细沙全部在上部
2
时,其高度为圆锥高度的 (细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙,且细
3
沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是 ( )
A.沙漏的侧面积是9√5π cm2
16π
B.沙漏中的细沙体积为 cm3
3
C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D.该沙漏的一个沙时大约是837秒(π≈3.14)
5.(2023河南新乡三模,15)已知球O的体积为36π,三棱锥D-ABC的顶点均在球O的表面
上,AB⊥BC,∠CAB=60°,BD⊥CD,BD=CD,E为AC的中点,当DE=AB时,三棱锥D-ABC的体
积为 .
6.(2024届山西月考,16)在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=3,AB=AC=2,BC=2√2,则三棱锥P-
ABC的外接球的半径为 .专题八 立体几何与空间向量
8.1 空间几何体的结构特征、表面积和体积
五年高考
考点1 空间几何体的结构特征
1.(2021新高考Ⅰ,3,5分,易)已知圆锥的底面半径为√2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆
锥的母线长为 ( )
A.2 B.2√2C.4D.4√2
答案 B
2.(2023北京,9,4分,中)坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带
可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等
的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若AB=25 m,BC=10 m,且等腰梯形所在平面、等
√14
腰三角形所在平面与平面ABCD的夹角的正切值均为 ,则该五面体的所有棱长之和为
5
( )
A.102 m B.112 m C.117 m D.125 m
答案 C
3.(2022北京,9,4分,难)已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是△ABC及其内部的点
构成的集合.设集合T={Q∈S|PQ≤5},则T表示的区域的面积为( )
3π
A. B.π C.2π D.3π
4
答案 B
4.(2020浙江,14,4分,易)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是 .
答案 1
5.(2023全国甲文,16,5分,难)在正方体ABCD-A B C D 中,AB=4,O为AC 的中点,若该正方
1 1 1 1 1
体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是 .
答案 [2√2,2√3]
考点2 空间几何体的表面积和体积
1.(2021新高考Ⅱ,5,5分,中)正四棱台的上、下底面的边长为 2,4,侧棱长为2,则四棱台的
体积为 ( )
56 28√2
A.56 B.28√2C. D.
3 3
答案 D
2.(2023全国乙理,8,5分,中)已知圆锥PO的底面半径为√3,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的
9√3
母线,∠AOB=120°,若△PAB的面积等于 ,则该圆锥的体积为 ( )
4
A.π B.√6πC.3πD.3√6π
答案 B
3.(2023 全国甲文,10,5 分,中)在三棱锥 P-ABC 中,△ABC 是边长为 2 的等边三角形,
PA=PB=2,PC=√6,则该棱锥的体积为 ( )
A.1 B.√3 C.2 D.3
答案 A
4.(2018 课标Ⅲ,文 12,理 10,5 分,中)设 A,B,C,D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点,
△ABC为等边三角形且其面积为9√3,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 ( )
A.12√3B.18√3C.24√3D.54√3
答案 B
5.(2022全国甲,文10,理9,5分,中)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之
和为2π,侧面积分别为S 和S ,体积分别为V 和V .若S =2,则V = ( )
甲 乙 甲 乙 甲 甲
S V
乙 乙
5√10
A.√5B.2√2C.√10D.
4
答案 C
6.(2021 全国甲理,11,5 分,中)已知 A,B,C 是半径为 1 的球 O 的球面上的三个点,且
AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为 ( )√2 √3
A. B.
12 12
√2 √3
C. D.
4 4
答案 A
7.( 多 选 )(2022 新 高 考 Ⅱ ,11,5 分 , 中 ) 如 图 , 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 ,ED⊥ 平 面
ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V ,V ,V ,则 (
1 2 3
)
A.V =2V B.V =V
3 2 3 1
C.V =V +V D.2V =3V
3 1 2 3 1
答案 CD
9√3
8.(2020课标Ⅱ理,10,5分,中)已知△ABC是面积为 的等边三角形,且其顶点都在球O
4
的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为 ( )
3
A.√3B.
2
√3
C.1 D.
2
答案 C
9.(多选)(2023新课标Ⅰ,12,5分,难)下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方
体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A.直径为0.99 m的球体
B.所有棱长均为1.4 m的四面体
C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体
D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体
答案 ABD
10.(2022新高考Ⅰ,8,5分,难)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球
的体积为36π,且3≤l≤3√3,则该正四棱锥体积的取值范围是 ( )A.[ 81] [27 81]
18, B. ,
4 4 4
C.[27 64] D.[18,27]
,
4 3
答案 C
11.(2022全国乙,文12,理9,5分,难)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶
点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为 ( )
1 1
A. B.
3 2
√3 √2
C. D.
3 2
答案 C
12.(2023新课标Ⅱ,14,5分,易)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去
一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为 .
答案 28
13.(2020新高考Ⅱ,13,5分,易)棱长为2的正方体ABCD-A B C D 中,M,N分别为棱BB ,AB
1 1 1 1 1
的中点,则三棱锥A -D MN的体积为 .
1 1
答案 1
14.(2023新课标Ⅰ,14,5分,易)在正四棱台ABCD-A B C D 中,AB=2,A B =1,AA =√2,则该棱
1 1 1 1 1 1 1
台的体积为 .
7√6
答案
6
三年模拟
综合基础练
1.(2023广西南宁三中模拟预测,4)如图所示,一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法
的直观图是边长为2的正方形O'A'B'C',则原四边形OABC的面积是 ( )
A.16√2B.8√2 C.16 D.8
答案 B
2.(2024届天津第二中学学情调查,5)从长方体的一个顶点上出发的三条棱的长是 3,4,5,且它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的体积是( )
125√2
A. πB.125√2π
3
C.50π D.125π
答案 A
3.(2024届江苏部分重点中学第一次联考,3)设体积相等的正方体、正四面体和球的表面
积分别为S ,S ,S ,则 ( )
1 2 3
A.S V
1 2 3 1 2 3
C.V >V D.V =V
1 2 1 2
答案 D
7.(2024届江西九江一模,15)如图,在正三棱柱ABC-A B C 中,AB=2AA =2,N为A C 的中点,
1 1 1 1 1 1
M为线段AA 上的点,则MN+MB的最小值为 .
1
答案 √10
综合拔高练
1.(2024届浙江浙南名校联盟第一次联考,5)生活中有很多常见的工具有独特的几何体结
构特征,例如垃圾畚箕,其结构为如图所示的五面体 ABCDEF,其中四边形ABFE与CDEF
都为等腰梯形,四边形ABCD为平行四边形,若AD⊥平面ABFE,且EF=2AB=2AE=2BF,记三
棱锥D-ABF的体积为V ,则该五面体的体积为( )
1
A.8V B.5V C.4V D.3V
1 1 1 1
答案 C
2.(2024届河南部分学校摸底测试(二),3)如图1所示,宫灯又称宫廷花灯,是中国彩灯中富
有特色的汉民族传统手工艺品之一.图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图,该花灯
由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成,若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为 4
dm和2 dm,正六棱台与正六棱柱的高分别为1 dm和6 dm,则该花灯的表面积为 ( )A.(108+30√3)dm2 B.(72+30√3)dm2
C.(64+24√3)dm2 D.(48+24√3)dm2
答案 A
3.(2024届辽宁重点高中协作体期中,7)现有一个圆台形状的容器,从内部量,其上下底面的
面积之比为1∶4,且轴截面的面积为9平方分米,母线长为上底面圆的半径的√10倍,则这个
圆台形状的容器的容积为(π取3) ( )
A.24升 B.21升 C.30升 D.36升
答案 B
4.(多选)(2023河北保定一模,10)沙漏,据《隋志》记载:“漏刻之制,盖始于黄帝”.它是古代
的一种计时装置,由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全
部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个
沙时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为6 cm,细沙全部在上部
2
时,其高度为圆锥高度的 (细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙,且细
3
沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是 ( )
A.沙漏的侧面积是9√5π cm2
16π
B.沙漏中的细沙体积为 cm3
3
C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D.该沙漏的一个沙时大约是837秒(π≈3.14)
答案 BD
5.(2023河南新乡三模,15)已知球O的体积为36π,三棱锥D-ABC的顶点均在球O的表面上,AB⊥BC,∠CAB=60°,BD⊥CD,BD=CD,E为AC的中点,当DE=AB时,三棱锥D-ABC的体
积为 .
27
答案
4
6.(2024届山西月考,16)在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=3,AB=AC=2,BC=2√2,则三棱锥P-
ABC的外接球的半径为 .
9√7
答案
14
