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１ ４２ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
专题七 立体几何与空间向量
7.1 空间几何体的结构特征、表面积和体积
学生用书P255
L+3 '
/K+
3 ' D+3 '
P55
-@
U1U)D, )L6, )+L L
U2U) L D) +E3 ,L
U3U)L+C.E)+3L +S+2
/K+4 '
R 3E
=L/ /
>M0 0
4 4 4 7 4 I
=
/K+ K
4 4 4 7 4 I
=L/ / K K =
P55
4 4 4 4 7 U4 4 4 4UI
=
* 4 32 7 33
学生用书P255
题型 一 空间几何体表面积与体积的求解方法 "
#
1.空间几何体表面积的求解方法 $ %
"
求多面体的表面积时 把各个面的面积相加即可．
（１） ， #
求简单旋转体的表面积时 代入公式直接求解． $ %
（２） ，
求组合体的表面积时 注意重合部分的处理．
（３） ， 弧ＡＤ的长度为 ３
2.空间几何体体积的求解方法 Ａ． π
２
公式法 当所给几何体是常见的柱 锥 台等规则的几何体
（１） ： 、 、 曲池的体积为１０π
Ｂ．
时 可以直接代入各自几何体的体积公式中进行计算． ３
，
曲池的表面积为
割补法 求不规则几何体的体积时 可以将所给几何体分 Ｃ． ２０＋１４π
（２） ： ，
三棱锥Ａ ＣＣ Ｄ的体积为
割 补 成若干个常见的几何体 然后利用求和 作差 的方法 Ｄ． － １ ５
（ ） ， （ ） 解析 设弧ＡＤ所在圆的半径为Ｒ，弧ＢＣ所在圆的半径为ｒ，
得出所求几何体的体积．
等体积转化法 利用三棱锥的特性 即任意一个面都可以 由弧ＡＤ的长度是弧ＢＣ长度的 倍及弧长公式可得πＲ
（３） ： ， ３ ＝３×
作为底面 从而进行换底换高计算 此种方法充分体现了数学 ２
， ，
的转化思想． πｒ，即Ｒ
＝３
ｒ，
∴
ＣＤ
＝
Ｒ
－
ｒ
＝２
ｒ
＝２
，
∴
ｒ
＝１
，Ｒ
＝３
，
２
例1 （多选）（ 新高考协作体 月收心卷， ）中国古代数
２０２４ ２ ９ 弧ＡＤ的长度为 ３ ，故 正确；
学的瑰宝 九章算术 中记载了一种称为 曲池 的几何体．该几 ∴ π Ａ
《 》 “ ” ２
何体是上 下底面均为扇环形的柱体 扇环是指圆环被扇形截 ( ) æ
、 （ 曲池的体积为Ｖ １ Ｒ２ １ ｒ２ ＡＡ ， ç注意：底面扇
得的部分 ．现有一个如图所示的曲池 ＡＡ 底面 ＡＡ 底面 ＝ π － π × １＝１０π è
） ， １⊥ ， １＝５， ４ ４
π ö
扇环所对的圆心角为π 弧ＡＤ的长度是弧ＢＣ长度的 倍 ＣＤ 环所对的圆心角为 ÷故 错误；
， ３ ， ø Ｂ
２ ２
则下列说法正确的是 ＡＣＤ
＝２， （ ） ( )
曲池的表面积为 １ Ｒ２ １ ｒ２ １ （ Ｒ ｒ）
π － π ×２＋ ２π ＋２π ×５＋２×５×２
４ ４ ４
，故 正确；
＝２０＋１４π Ｃ
专题七 立体几何与空间向量 １ ４３
Ｖ Ｖ ， ＣＣ 平面ＡＢＣＤ， Ｖ
Ａ － Ｃ ＣＣ Ｃ １ Ｄ＝ 即为 Ｃ １－ Ａ 三 ＣＤ 棱 ∵ 锥Ｃ １⊥ ＡＣＤ的高， （３） 若三棱锥存在内切球 ， 则可采用公式ｒ ＝Ｓ 表 ３ 面积 求解内切球
∴ １ １－
半径
又Ｓ １ ， ；
△ ＡＣＤ＝ ×２×３＝３ 作出轴截面 截面中含切点 球心等元素 利用三角形的
２ （４） （ ， ），
相似关系求解内切球的半径．
三棱锥Ｃ ＡＣＤ的体积为 １ ，即三棱锥Ａ ＣＣ Ｄ的
∴ １－ ×３×５＝５ － １ 3.球的切、接问题的常用结论
３
体积为 ．故 正确．故选 棱长为ａ 的正方体的外接球 内切球及与各条棱都相切
５ Ｄ ＡＣＤ． （１） 、
的球．
题型 二 与球有关的切、接问题
外接球 球心是正方体的中心 半径ｒ ３ａ
1.几何体外接球的处理办法 （ｉ） ： ， ＝ ；
２
公式法 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的 ａ
（１） ： 内切球 球心是正方体的中心 半径ｒ
中点 半径为体对角线长的一半． （ｉｉ） ： ， ＝ ；
， ２
补形法 补形为长方体或正方体 与各条棱都相切的球 球心是正方体的中心 半径 ｒ
（２） （ ） （ｉｉｉ） ： ， ＝
垂直模型
① ２ａ．
２
1 1 棱长为ａ的正四面体的外接球 内切球以及各条棱都相切
（２） 、
的球．
" $ $
# " # （ｉ） 外接球 ： 球心是正四面体的中心 ， 半径ｒ ＝ ６ａ ；
４
ＰＡ ＡＢ ＰＡ ＡＣ ＡＢ ＡＣ ＡＢ ＢＣ ＰＣ ＢＣ ＰＣ ＡＢ 内切球 球心是正四面体的中心 半径ｒ ６ａ
⊥ ， ⊥ ， ⊥ ⊥ ， ⊥ ， ⊥ （ｉｉ） ： ， ＝ ；
图 图 １２
１ ２ 与各条棱都相切的球 球心是正四面体的中心 半径ｒ
（ｉｉｉ） ： ， ＝
1
２ａ．
４
$
例2 （多选）（ 广东惠州第一次调研考试， ）已知棱长为
２０２４ １２
" #
的正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 以正方体中心Ｏ为球心的球与正
１ － １ １ １ １，
方体的各条棱都相切 点Ｐ为球面上的动点 则下列说法正确
ＡＢ ＢＣ ＢＣ ＰＣ ＰＡ ＡＢ ， ，
⊥ ， ⊥ ， ⊥ 的是 ＢＤ
图 （ ）
３
对棱相等模型
② 球Ｏ的半径为Ｒ １
Ａ． ＝
２
"
球Ｏ在正方体外的部分的体积大于 ２
% Ｂ． π－１
３
若点Ｐ在球Ｏ位于正方体外的部分 含正方体表面 上运动
$ Ｃ． （ ） ，
[ ]
#
则→ＰＡ Ｐ→Ｂ １ ３
· ∈ － ，
４ ４
若点Ｐ在球Ｏ位于正方体外的部分 含正方体表面 上运动
ＡＢ ＣＤ ＡＤ ＢＣ ＡＣ ＢＤ Ｄ． （ ） ，
＝ ， ＝ ， ＝ [ ]
双面定球心法
（３） 则→ＰＡ Ｐ→Ｂ １ ７
· ∈ － ，
如图 在三棱锥Ｐ ＡＢＣ中 ４ ４
， － ，
选定底面 ＡＢＣ 定 ＡＢＣ外接圆圆心Ｏ ２ ２
① △ ， △ １， 解析 对于
Ａ
，正方体的棱切球Ｏ的半径为Ｒ
＝
１ ＋１
＝
２
选定侧面 ＰＡＢ 定 ＰＡＢ外接圆圆心Ｏ ２ ２
② △ ， △ ２，
（面对角线长的一半），故 错误；
分别过Ｏ 作面ＡＢＣ的垂线 和Ｏ 作面ＰＡＢ的垂线 两垂 Ａ
③ １ ， ２ ， 对于 ，由图易知球Ｏ在正方体外的部分的体积Ｖ Ｖ Ｖ
线交点即为外接球球心Ｏ． Ｂ ＞ 球－ 正方体＝
1 æ ö３
４ ·ç ２÷ ３ ２ ，故 正确；
π è ø －１ ＝ π－１ Ｂ
３ ２ ３
对于 ， ，取棱ＡＢ的中点Ｅ，可知点Ｅ在球面上，且Ｅ→Ｂ →ＥＡ，
0 Ｃ Ｄ ＝－
0
" 连接ＰＥ，则→ＰＡ·Ｐ→Ｂ （Ｐ→Ｅ →ＥＡ）·（Ｐ→Ｅ Ｅ→Ｂ） Ｐ→Ｅ２ →ＥＡ２ Ｐ→Ｅ ２
＝ ＋ ＋ ＝ － ＝｜ ｜
0
) １ ，因为点Ｐ在球Ｏ位于正方体外的部分（含正方体表面）上
# $ －
４
2.几何体内切球问题的处理技巧 运动，所以 ＰＥ （当ＰＥ为球Ｏ的直径时， ＰＥ ），
０≤｜ ｜≤ ２ ｜ ｜＝ ２
球心在过切点且与切面垂直的直线上 [ ]
（１） ； 所以→ＰＡ·Ｐ→Ｂ １ ，７ ，所以 错误， 正确，故选
球心到各面的距离相等 ∈ － Ｃ Ｄ ＢＤ．
（２） ； ４ ４
１ ４４ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
%
" 长方体的体对角线为ＰＡ，其长为 ，所以外接球半径 １ ，
６ ＝ ×６＝３
$ ２
# 所以球的表面积 ．
＝４π×９＝３６π
%
"
概念深度理解
$
#
例 （ 山西晋城一模， ）若一个正ｎ棱台的棱数大于
２０２４ １３ １５，
例3 （ 广东广州调研考试）已知三棱锥Ｐ ＡＢＣ的四个顶
２０２４ － 且各棱的长度构成的集合为 则ｎ的最小值为 该棱台
｛２，３｝， ６ ，
点均在同一个球面上 ＰＣ 平面ＡＢＣ ＰＣ ＢＣ ＡＢ 各棱的长度之和的最小值为 ．
， ⊥ ， ＝ ＝ ６， ＝２ ６， ４２
解析 根据正棱台的结构特征可知，
且ＰＡ与平面 ＡＢＣ 所成角的正弦值为 ６ 则该球的表面积为
６
， 正ｎ棱台的总棱数为
３
ｎ（ｎ
≥３
，ｎ
∈
Ｎ ），
． 则 ｎ ，得ｎ ，
３６π ３ ＞１５ ＞５
解析 因为ＰＣ 平面ＡＢＣ，ＡＣ 平面ＡＢＣ，所以ＰＣ ＡＣ， 所以ｎ的最小值为 ．
⊥ ⊂ ⊥ ６
所以 ＰＡＣ为直线ＰＡ与平面ＡＢＣ所成的角，（根据直线与平面 要想各棱长之和最小，
∠
所成角的定义找出ＰＡ与平面ＡＢＣ所成角是关键） 则棱数总和要最小，故ｎ ，
＝６
ＰＣ 又因为棱台的上、下底面边长不相等，
所以 ＰＡＣ ６，又ＰＣ ，所以ＰＡ ，
ｓｉｎ∠ ＝ＰＡ＝ ＝ ６ ＝６ 所以可取上底面边长为 ，下底面边长为 ，
６ ２ ３
则ＡＣ
＝
ＰＡ２
－
ＰＣ２
＝ ３０
， 要使各棱长之和最小，则侧棱长取
２
，
又ＢＣ ，ＡＢ ，所以ＡＢ２ ＢＣ２ ＡＣ２， 故该棱台各棱的长度之和的最小值为 ２×１２＋３×６＝４２ ．
＝ ６ ＝２ ６ ＋ ＝
所以ＡＢ ＢＣ，故三棱锥可补形为长方体，如图所示， 风向解读
⊥
1 本题考查棱台的几何特征，看似求最值的题目，但是抓住正
棱台上、下底面相似，侧棱相等这些特征，题目瞬间可解，在
$ 复习过程中要重视对基础概念、基本知识的掌握和理解．
# "
学生用书P87
５－１ ５－１ ５＋１ ５＋１
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１．（ 新课标 ， ， 分，易）已知圆柱和圆锥的底面半径相 ４ ２ ４ ２
２０２４ Ⅰ ５ ５ ３．（ 新高考 ， ， 分，中）卫星导航系统中 地球静止同步
２０２１ Ⅱ ４ ５ ，
等 侧面积相等 且它们的高均为 则圆锥的体积为 Ｂ
， ， ３， （ ） 轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面 轨道高度为
， ３６ ０００
轨道高度指卫星到地球表面的最短距离 把地球看成一
Ａ．２ ３π Ｂ．３ ３π ｋｍ（ ），
个球心为Ｏ 半径ｒ为 的球 其上点 Ａ的纬度是指
Ｃ．６ ３π Ｄ．９ ３π ， ６ ４００ ｋｍ ，
２．（ 全国甲理， ， 分，中）已知圆台甲 乙的上底面半径均 ＯＡ与赤道所在平面所成角的度数 地球表面能直接观测到的
２０２４ １４ ５ 、 ，
为ｒ 下底面半径均为ｒ 圆台甲 乙的母线长分别为 ｒ 一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α 该卫
１， ２， 、 ２（ ２－ ，
星信号覆盖的地球表面面积Ｓ ｒ２ α 单位 ２
＝２π ·（１－ｃｏｓ ）（ ｋｍ ），
ｒ ｒ ｒ 则圆台甲与乙的体积之比为 ６ ．
１），３（ ２－ １），
４
则Ｓ占地球表面积的百分比约为
（
Ｃ
）
考点 1 空间几何体的结构特征 学生用书P87
１．（ 新高考 ， ， 分，易）已知圆锥的底面半径为 其侧 ％ ％ ％ ％
２０２１ Ⅰ ３ ５ ２， Ａ．２６ Ｂ．３４ Ｃ．４２ Ｄ．５０
面展开图为一个半圆 则该圆锥的母线长为 Ｂ ４．（多选）（ 新课标 ， ， 分，难）下列物体中 能够被整
， （ ） ２０２３ Ⅰ １２ ５ ，
体放入棱长为 单位 的正方体容器 容器壁厚度忽略不
Ａ．２ Ｂ．２ ２ Ｃ．４ Ｄ．４ ２ １（ ：ｍ） （
２．（ 课标 ，文 ，理 ， 分，易）埃及胡夫金字塔是古代世 计 内的有 ＡＢＤ
２０２０ Ⅰ ３ ３ ５ ） （ ）
界建筑奇迹之一 它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥 直径为 ． 的球体
， Ａ． ０９９ ｍ
的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面 所有棱长均为 ． 的四面体
Ｂ． １４ ｍ
积 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 底面直径为 ． 高为 ． 的圆柱体
， Ｃ． ００１ ｍ， １８ ｍ
Ｃ 底面直径为 ． 高为 ． 的圆柱体
（ ） Ｄ． １２ ｍ， ００１ ｍ
５．（多选）（ 新高考 ， ， 分，难）在正三棱柱 ＡＢＣ
２０２１ Ⅰ １２ ５ －
Ａ Ｂ Ｃ 中 ＡＢ ＡＡ 点Ｐ满足Ｂ→Ｐ λＢ→Ｃ μＢ→Ｂ 其中λ
１ １ １ ， ＝ １＝１， ＝ ＋ １， ∈
μ 则 ＢＤ
［０，１］， ∈［０，１］， （ ）
当λ 时 ＡＢ Ｐ的周长为定值
Ａ． ＝１ ，△ １
专题七 立体几何与空间向量 １ ４５
当μ 时 三棱锥Ｐ Ａ ＢＣ的体积为定值 ５．（ 全国乙理， ， 分，中）已知圆锥ＰＯ的底面半径为 Ｏ
Ｂ． ＝１ ， － １ ２０２３ ８ ５ ３，
为底面圆心 ＰＡ ＰＢ为圆锥的母线 ＡＯＢ ° 若 ＰＡＢ的
当λ １ 时 有且仅有一个点Ｐ 使得Ａ Ｐ ＢＰ ， ， ，∠ ＝１２０ ， △
Ｃ． ＝ ， ， １ ⊥
２
面积等于９ ３ 则该圆锥的体积为 Ｂ
当μ １ 时 有且仅有一个点Ｐ 使得Ａ Ｂ 平面ＡＢ Ｐ ， （ ）
Ｄ． ＝ ， ， １ ⊥ １ ４
２
６．（ 全国甲理， ， 分，中）在正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ａ．π Ｂ． ６π Ｃ．３π Ｄ．３ ６π
２０２３ １５ ５ － １ １ １ １ ， ６．（ 新高考 ， ， 分，难）已知正四棱锥的侧棱长为ｌ 其各
Ｅ Ｆ分别为ＡＢ Ｃ Ｄ 的中点．以ＥＦ为直径的球的球面与该正 ２０２２ Ⅰ ８ ５ ，
方 ， 体的棱共有 ， １ 个 １ 公共点． 顶点都在同一球面上．若该球的体积为
３６π，
且
３≤
ｌ
≤３ ３，
则
１２
７．（ ２０２３ 全国甲文， １６ ， ５ 分，中）在正方体ＡＢＣＤ － Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ Ｄ １ 中 ， ＡＢ 该正 [ 四棱锥 ] 体积的取 [ 值范围 ] 是 [ ] （ Ｃ ）
＝４，
Ｏ为ＡＣ
１
的中点
，
若该正方体的棱与球Ｏ的球面有公共
Ａ． １８， ８１ Ｂ． ２７ ， ８１ Ｃ． ２７ ， ６４ Ｄ．［１８，２７］
点 则球Ｏ的半径的取值范围是 ［ ， ］ ． ４ ４ ４ ４ ３
， ２ ２ ２ ３ ７．（多选）（ 新课标 ， ， 分，中）已知圆锥的顶点为Ｐ 底
８．（ 新高考 ， ， 分，难）已知直四棱柱ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ２０２３ Ⅱ ９ ５ ，
２０２０ Ⅰ １６ ５ － １ １ １ １ 面圆心为Ｏ ＡＢ为底面直径 ＡＰＢ ° ＰＡ 点Ｃ在底
， ，∠ ＝１２０ ， ＝２，
的棱长均为 ＢＡＤ °．以Ｄ 为球心 为半径的球面与
２，∠ ＝６０ １ ， ５ 面圆周上 ， 且二面角Ｐ － ＡＣ － Ｏ为 ４５ ° ， 则 （ ＡＣ ）
该圆锥的体积为
侧面ＢＣＣ Ｂ 的交线长为 ２π ． Ａ． π
１ １
２ 该圆锥的侧面积为
Ｂ． ４ ３π
考点 2 空间几何体的表面积和体积 学生用书P88 ＡＣ
Ｃ． ＝２ ２
１．（ 新高考 ， ， 分，易）正四棱台的上 下底面的边长为 ＰＡＣ的面积为
２０２１ Ⅱ ５ ５ 、 Ｄ．△ ３
侧棱长为 则四棱台的体积为 Ｄ ８．（多选）（ 新高考 ， ， 分，中）如图 四边形ＡＢＣＤ为正
２，４， ２， （ ） ２０２２ Ⅱ １１ ５ ，
方形 ＥＤ 平面ＡＢＣＤ ＦＢ ＥＤ ＡＢ ＥＤ ＦＢ．记三棱锥Ｅ
， ⊥ ， ∥ ， ＝ ＝２ －
５６ ２８ ２
Ａ．５６ Ｂ．２８ ２ Ｃ． Ｄ． ＡＣＤ Ｆ ＡＢＣ Ｆ ＡＣＥ的体积分别为Ｖ Ｖ Ｖ 则 ＣＤ
３ ３ ， － ， － １， ２， ３， （ ）
２．（ 新高考 ， ， 分，易）南水北调工程缓解了北方一些地
２０２２ Ⅰ ４ ５
区水资源短缺问题 其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水
，
位为海拔 ． 时 相应水面的面积为 ． ２ 水位为海
１４８５ ｍ ， １４００ ｋｍ ；
拔 ． 时 相应水面的面积为 ． ２．将该水库在这两
１５７５ ｍ ， １８００ ｋｍ
个水位间的形状看作一个棱台 则该水库水位从海拔 ．
， １４８５ ｍ
Ｖ Ｖ Ｖ Ｖ
上升到 １５７ ． ５ ｍ 时 ， 增加的水量约为 （ ７≈２ ． ６５） （ Ｃ ） Ａ． ３＝２ ２ Ｂ． ３＝ １
Ｖ Ｖ Ｖ Ｖ Ｖ
Ａ．１ ． ０×１０ ９ ｍ ３ Ｂ．１ ． ２×１０ ９ ｍ ３ Ｃ． ３＝ １＋ ２ Ｄ．２ ３＝３ １
９．（ 新高考 ， ， 分，易）棱长为 的正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
Ｃ．１ ． ４×１０ ９ ｍ ３ Ｄ．１ ． ６×１０ ９ ｍ ３ ２０２０ Ⅱ１３ ５ ２ － １ １ １ １
中 Ｍ Ｎ分别为棱ＢＢ ＡＢ的中点 则三棱锥Ａ Ｄ ＭＮ的体积为
３．（ ２０２３ 全国甲文， １０ ， ５ 分，中）在三棱锥Ｐ － ＡＢＣ中 ，△ ＡＢＣ是 ， ， １， ， １－ １
．
边长为 的等边三角形 ＰＡ ＰＢ ＰＣ 则该棱锥的体积 １
２ ， ＝ ＝２， ＝ ６， １０．（ 新课标 ， ， 分，易）底面边长为 的正四棱锥被平
为 Ａ ２０２３ Ⅱ １４ ５ ４
（ ） 行于其底面的平面所截 截去一个底面边长为 高为 的正
． ． ． ． ， ２， ３
Ａ１ Ｂ ３ Ｃ２ Ｄ３ 四棱锥 所得棱台的体积为 ．
４．（ 新高考 ， ， 分，难）已知正三棱台的高为 上 下底 ， ２８
２０２２ Ⅱ ７ ５ １， 、 １１．（ 新课标 ， ， 分，易）在正四棱台 ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
面边长分别为 和 其顶点都在同一球面上 则该球的表 ２０２３ Ⅰ １４ ５ － １ １ １ １
３ ３ ４ ３， ，
面积为 Ａ 中 ＡＢ Ａ Ｂ ＡＡ 则该棱台的体积为 ７ ６ ．
（ ） ， ＝２， １ １＝１， １＝ ２，
６
Ａ．１００π Ｂ．１２８π Ｃ．１４４π Ｄ．１９２π
学生用书P89
１．（ 山东四月联考， ）已知圆锥的底面圆的半径为 其侧
２０２４ ３ １，
面展开图是一个圆心角为π的扇形 则该圆锥的母线长为
，
２ ｃ ａ２ ａｃ ｂ２ 立方厘米 ｃ ａ２ ａｃ ｂ２ 立方厘米
Ｄ Ａ． （ ＋ ＋ ） Ｂ． （ － ＋ ）
（ ） ｃ ａ２ ａｂ ｂ２ 立方厘米 ｃ ａ２ ａｂ ｂ２ 立方厘米
Ｃ． （ ＋ ＋ ） Ｄ． （ － ＋ ）
５ ７ ３．（ 广西 月模拟， ）已知轴截面为正方形的圆柱ＭＭ′的
Ａ． Ｂ．３ Ｃ． Ｄ．４ ２０２４ ４ ６
２ ２
２．（ 广东湛江二模， ）如图 这是一件西周晚期的青铜器 体积与球Ｏ的体积之比为 ３ 则圆柱ＭＭ′的表面积与球Ｏ的
２０２４ ２ ， ， ，
２
其盛酒的部分可近似视为一个圆台 设上 下底面的半径分别
（ 、 表面积之比为 Ｂ
（ ）
为ａ厘米 ｂ厘米 高为ｃ厘米 则该青铜器的容积约为 取
， ， ）， （ π
３ ５
Ｃ Ａ．１ Ｂ． Ｃ．２ Ｄ．
＝３） （ ） ２ ２
１ ４６ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
４．（ 广东广州一模， ）已知正四棱台ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的上
２０２４ ４ － １ １ １ １ 、 学生用书P90
下底面边长分别为 和 且ＢＢ ＤＤ 则该棱台的体积为
１ ２， １⊥ １， １．（ 山东潍坊一模， ）已知直三棱柱ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 外接球的
Ｂ ２０２４ ８ － １ １ １
（ ） 直径为 且ＡＢ ＢＣ ＢＣ 则该棱柱体积的最大值为
６， ⊥ ， ＝２，
７ ２ ７ ２ ７ ７ Ｃ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （ ）
２ ６ ６ ２
５．（ 安徽池州二模， ）已知圆锥的高为 若圆锥的内切球 Ａ．８ Ｂ．１２ Ｃ．１６ Ｄ．２４
２０２４ ５ ３， ２．（ 广西南宁、河池二模， ）已知某棱长为 的正四面体
半径为 则该圆锥的表面积为 Ｃ ２０２４ ５ ２ ２
１， （ ） 的各条棱都与同一球面相切 则该球的表面积为 Ａ
， （ ）
Ａ．６π Ｂ．６ ３π Ｃ．９π Ｄ．１２π
６．（ 湖南邵阳二模， ）已知三棱锥 Ｐ ＡＢＣ 中 ＰＡ 平面 ４π
２０２４ ６ － ， ⊥ Ａ．４π Ｂ．２π Ｃ． Ｄ．π
３
ＡＢＣ ＡＢＣ ° ＰＡ ＡＣ 则此三棱锥外接球的表面积为 ３．（ 山东齐鲁名校联考七， ）已知圆台上 下底面的半径分
，∠ ＝６０ ， ＝ ＝２， ２０２４ ６ 、
Ｂ 别为 和 母线长为 ＡＢ为上底面圆的一条直径 Ｃ是下底
（ ） ３ ５， ４， ，
面圆周上的一个动点 则 ＡＢＣ面积的最大值为 Ａ
１４π ２８π ， △ （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．１０π Ｄ．５π
３ ３
７．（ 福建莆田二模， ）柏拉图多面体是指每个面都是全等 Ａ．３ ３７ Ｂ．６ ３
２０２４ ４
正多边形的正多面体 具有严格对称 结构等价的特点．六氟 Ｃ． ３７ Ｄ．３ ３
， ， ４．（ 湖南九校联盟第一次联考， ）将一个棱长为 的正四
化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中 ２０２４ ６ ４
面体同一侧面上的各棱中点两两连接 得到一多面体 则这个
的氟原子按图 所示方式连接可得正八面体 如图 ．若正八 ， ，
１ （ ２） 多面体的内切球体积为 Ｄ
（ ）
面体外接球的体积为４π 则此正八面体的表面积为 Ｄ
， （ ）
３
４ ２ ８ ８ ８ ６
Ａ． π Ｂ． π Ｃ． π Ｄ． π
图 图 ３ ３ ２７ ２７
１ ２ ５．（ 广东揭阳二模， ）如图 正四棱台容器ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
２０２４ ７ ， － １ １ １ １
３ 的高为 ＡＢ Ａ Ｂ 容器中水的高度为
Ａ． Ｂ． ３ Ｃ．２ ３ Ｄ．４ ３ １２ ｃｍ， ＝１０ ｃｍ， １ １＝２ ｃｍ，
２
．现将 个大小相同 质地均匀的小铁球放入容器中
８．（ 广东深圳一模， ）已知某圆台的上 下底面半径分别为 ６ ｃｍ ５７ 、 （５７
２０２４ ６ 、
个小铁球均被淹没 水位上升了 若忽略该容器壁的厚
ｒ ｒ 且ｒ ｒ 若半径为 的球与圆台的上 下底面及侧面 ）， ３ ｃｍ，
１， ２， ２＝２ １， ２ 、
度 则小铁球的半径为 Ａ
均相切 则该圆台的体积为 Ｃ ， （ ）
， （ ） % $
Ａ． ２８π Ｂ． ４０π Ｃ． ５６π Ｄ． １１２π " #
３ ３ ３ ３
９．（ 重庆二诊， ）将一个半径为 ３ 的铁球熔化后 浇
２０２４ １３ ｃｍ ，
２ % $
铸成一个正四棱台形状的铁锭 若这个铁锭的底面边长分别
， " #
为 和 则它的高为 ２７ ．
１ ｃｍ ２ ｃｍ， π ｃｍ ３ ３ ３ ３
１４ １ ２ ３ ４
Ａ． ｃｍ Ｂ． ｃｍ Ｃ． ｃｍ Ｄ． ｃｍ
１０．（ 湘豫名校联盟联考， ）已知圆锥 ＳＯ 的轴截面 ＳＡＢ π π π π
２０２４ １２ １ ６．（ 湖北四调， ）在三棱锥 Ｐ ＡＢＣ 中 平面 ＡＢＣ 平面
为正三角形 球Ｏ 与圆锥ＳＯ 的底面和侧面都相切．设圆锥 ２０２４ ８ － ， ⊥
， ２ １ ＰＢＣ ＡＢＣ和 ＰＢＣ都是边长为 的等边三角形 若Ｍ为
ＳＯ 的体积 表面积分别为Ｖ Ｓ 球Ｏ 的体积 表面积分别 ，△ △ ２ ３ ，
１ 、 １， １， ２ 、 三棱锥Ｐ ＡＢＣ外接球上的动点 则点Ｍ到平面ＡＢＣ距离的
Ｖ Ｓ － ，
为Ｖ ２， Ｓ ２， 则 Ｖ １ ·Ｓ ２ ＝ １ ． 最大值为
（
Ｄ
）
２ １
１１．（ 浙江金丽衢十二校第二次联考， ）已知圆柱的轴截
２０２４ １２ Ａ． ６－ ２ Ｂ． ６＋ ２ Ｃ． ５－１ Ｄ． ５＋１
７．（多选）（ 甘肃二诊， ）如图所示 长方体 ＡＢＣＤ ＥＦＧＨ
面面积为 则该圆柱侧面展开图的周长最小值为 ． ２０２４ １０ ， －
４， ８ π
１２．（ 安徽安庆二模， ）已知圆锥的顶点为Ｐ 底面圆心为 的表面积为 ６， ＡＥ ＝１， 则 （ ＢＤ ）
２０２４ １３ ，
Ｍ 底面直径ＡＢ ．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一 ) (
， ＝２ & '
点Ｏ 则该圆锥的表面积为 ．
， ３π
% $
" #
专题七 立体几何与空间向量 １ ４７
该长方体不可能为正方体 若三棱柱ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 的体积为 求直线ＡＣ 与平面
Ａ． （２） － １ １ １ ２ ２， １
该长方体体积的最大值为 ＡＡ Ｂ Ｂ所成角的正弦值．
Ｂ． １
１ １
Ｃ． 若长方体下底面的一条边长为 ２， 则三棱锥Ｈ － ＡＦＣ的体积 " $
#
为 １
３
该长方体外接球表面积的最小值为 " $
Ｄ． ３π
８．（ 重庆八中适应性月考， ）如图所示 已知一个半径为 #
２０２４ １３ ， ２
的半圆面剪去了一个含 °角的 ＡＢＣ 将剩余部分绕着直 解析 证明 分别取 ＡＢ ＢＣ 的中点 Ｄ Ｅ 连接 ＣＤ ＡＥ
３０ Ｒｔ△ ， （１） ： ， ， ， ，
径ＡＢ所在直线旋转 °得到一个几何体 该几何体的表面 交于点Ｏ 则点Ｏ为正三角形ＡＢＣ的中心．连接Ａ Ｄ Ａ Ｏ．
１８０ ， ， １ ， １
积为 （ ） ． 因为ＡＡ Ａ Ｂ ＣＡ ＣＢ 所以ＣＤ ＡＢ Ａ Ｄ ＡＢ 又ＣＤ Ａ Ｄ
１１＋ ３ π １＝ １ ， ＝ ， ⊥ ， １ ⊥ ， ∩ １
" Ｄ ＣＤ Ａ Ｄ 平面Ａ ＣＤ 所以ＡＢ 平面Ａ ＣＤ
＝ ， ， １ ⊂ １ ， ⊥ １ ，
则ＡＢ Ａ Ｏ 分
⊥ １ ①， （３ ）
取Ｂ Ｃ 的中点Ｅ 连接Ａ Ｅ Ｅ Ｅ 则四边形ＡＡ Ｅ Ｅ是平行
$ １ １ １， １ １， １ ， １ １
四边形 因为侧面ＢＢ Ｃ Ｃ是矩形 所以ＢＣ ＥＥ
# ， １ １ ， ⊥ １，
又ＢＣ ＡＥ ＥＥ ＡＥ Ｅ
９．（ 河南名校联考， ）一个水平放置在某地的三棱台型集 ⊥ ， １∩ ＝ ，
２０２４ １３ 所以ＢＣ 平面ＡＡ Ｅ Ｅ 则ＢＣ Ａ Ｏ 分
雨器如图所示 已知上 下底面的面积分别为 ２ 和 ２ ⊥ １ １ ， ⊥ １ ②， （６ ）
， 、 ４ ｃｍ ９ ｃｍ ， 由 可得 Ａ Ｏ 平面ＡＢＣ
高为 ．现在收集到的雨水平面与上 下底面的距离相等 ①② ， １ ⊥ ，
３ ｃｍ 、 ， 所以三棱锥Ａ ＡＢＣ是正三棱锥． 分
１－ （８ ）
则该地的降雨量为 ４５５ ． 降雨量等于集雨器中积水体积 因为三棱柱ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 的体积为 底面积为
１６ ｍｍ （ （２） － １ １ １ ２ ２， ３，
除以集雨器口的面积
） 所以高Ａ Ｏ ２ ６．
１ ＝
３
以Ｅ为坐标原点 →ＥＡ的方向为ｘ轴正方向 Ｅ→Ｂ的方向为ｙ轴
， ，
正方向 过点Ｅ且与Ｏ→Ａ 同向平行的方向为ｚ轴的正方向建立
， １
如图所示空间直角坐标系
１０．（ 山东新高考联合质量测评， ）已知Ａ Ｂ是球Ｏ的球 ，
２０２４ １３ ， æ ö
面上两点 ＡＯＢ ° Ｃ为球面上的动点．若三棱锥Ｏ ＡＢＣ 则Ａ Ｂ Ｃ Ａ ç ３ ２ ６÷．
，∠ ＝９０ ， － （ ３，０，０）， （０，１，０）， （０，－１，０）， １è ，０， ø
３ ３
体积的最大值为 则球Ｏ的体积为 ．
９ ３， ７２ ３π 分
（１１ ）
１１．（ 福建高中毕业班适应性考试， ）已知圆台Ｏ Ｏ 的高
２０２４ １３ １ ２ 设平面ＡＡ Ｂ Ｂ的法向量为 ｎ ｘ ｙ ｚ 因为→ＡＢ
为 ＡＢ ＣＤ分别为上 下底面的一条直径 且ＡＢ ＣＤ １ １ ＝（ ， ， ）， ＝（－ ３，１，
６， ， 、 ， ＝４， ＝８， æ ö
则圆台Ｏ Ｏ 的体积为 若Ａ Ｂ Ｃ Ｄ四点不共面 且它 Ａ→Ａ ç ２ ３ ２ ６÷
１ ２ ５６π ； ， ， ， ， ０）， １＝è－ ，０， ø，
３ ３
们都在同一个球面上 则该球的表面积为 ．
１２．（ ２０２４ 山东烟台、德州 ， 诊断， １３ ）在三棱锥Ｐ － ８ Ａ ０π ＢＣ 中 ， ＰＢ ＝ ＰＣ ＝ 则 { →ＡＢ · ｎ ＝０， 即 ì í ï ï－ ３ ｘ ＋ ｙ ＝０， 令ｘ 则ｙ ｚ ２
２ ＰＡ ＝２， 且 ∠ ＡＰＢ ＝∠ ＢＰＣ ＝∠ ＣＰＡ ， Ｅ ， Ｆ分别是ＰＣ ， ＡＣ的中 Ａ→Ａ １· ｎ ＝０， î ïï － ２ ３ｘ ＋ ２ ６ｚ ＝０， ＝１， ＝ ３， ＝ ２ ，
３ ３
点 ＢＥＦ ° 则三棱锥Ｐ ＡＢＣ外接球的表面积为
，∠ ＝９０ ， － １０π ， æ ö
ｎ ç ２÷ 分
＝è１， ３， ø， （１３ ）
该三棱锥外接球与内切球的半径之比为 ５ ． ２
１０＋
２ 又Ａ→Ｃ →ＡＣ
１３．（ 湖北华师一附中、湖南师大附中等三校二模， ）已知 １ １＝ ＝（－ ３，－１，０），
２０２４ １４ æ ö
空间四面体ＡＢＣＤ满足ＡＢ ＡＣ ＤＢ ＤＣ ＡＤ ＢＣ 则该 所以Ａ→Ｃ Ａ→Ａ →ＡＣ ç ５ ３ ２ ６÷
＝ ＝ ＝ ， ＝２ ＝６， １＝ １＋ ＝è－ ，－１， ø，
３ ３
四面体外接球的体积的最小值为 ．
３６π 设直线ＡＣ 与平面ＡＡ Ｂ Ｂ所成角为θ
１ １ １ ，
学生用书P91
所以 θ ｎ Ａ→Ｃ ２ ３ ２． 分
１． 概念深度理解 （ 江苏、浙江大联考， ）已知长方体的
ｓｉｎ ＝｜ｃｏｓ〈 ， １〉｜＝
３ ６
＝
３
（１５ ）
２０２４ １４
[
"
表面积为 所有棱长和为 则长方体体积的最大值为 ３２ ． $
８， １６， &
２７ #
２． 创新考法 （ 浙江金华十校模拟， ）如图 在三棱柱 Y
２０２４ １７ ，
ＡＢＣ － Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ 中 ，△ ＡＢＣ是边长为 ２ 的正三角形 ， 侧面ＢＢ １ Ｃ １ Ｃ " % 0 & $
是矩形 ＡＡ Ａ Ｂ． Z #
， １＝ １
求证 三棱锥Ａ ＡＢＣ是正三棱锥
（１） ： １－ ；
