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专题 6.1 几何图形（2 大知识点 14 类题型）（知识梳理与题型分类
讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】生活中的立体图形
1.立体图形定义：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，
圆柱，圆锥，球等.
2.常见的立体图形及分类：
3.点、线、面、体
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围
着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两
种；线和线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系.
此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体.
【知识点二】从立体图形到平面图形
1.简单立体图形的展开图
有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，
这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．
【要点提示】
(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．
(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到
不同的平面图．
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学科网（北京）股份有限公司2.从不同方向看
从不同的方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．一般是从以下三个方向：
(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称
主视图)、左视图、俯视图．
题型目录
【考点一】立体图形与平面图形
【题型1】常见的几何体..............................................................2
【题型2】组合几何体的构成..........................................................4
【题型3】立体图形的分类............................................................5
【题型4】几何体中的点、棱、面......................................................6
【题型5】从不同方向看几何体........................................................8
【题型6】几何体展开图的认识.......................................................10
【题型7】由展开图计算几何体的表面积与体积.........................................12
【题型8】正方体几种展开图的识别...................................................14
【题型9】正方体相对两面上的字.....................................................16
【题型10】含图案的正方体的展开图..................................................18
【题型11】补一个面使图形围成正方体................................................19
【考点二】点、线、面、体
【题型12】点、线、面、体四者之间的关系............................................21
【题型13】平面图形旋转后所得的立体图形............................................23
【题型14】截一个几何体............................................................24
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】常见的几何体
【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用
线连起来．
2
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了认识立体图形，实物抽象成立体图形，熟悉常见几何体的形状与实物的关系是解题
的关键．根据常见实物与几何体的关系，连线即可．
解：如图所示：
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右
的顺序依次是（ ）
A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体
C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体
【答案】B
【分析】本题考查了立体图形，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识．
根据常见实物与几何体的关系解答即可．
解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：圆柱、球、正方体、长方体．
故选：B
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）对于粉笔盒、三棱镜、乒乓球、易拉罐、书本这些生活中的
物品，其形状类似于棱柱的有 ．
【答案】粉笔盒、三棱镜、书本
【分析】本题考查了棱柱的特征，熟练掌握棱柱的特征是解题的关键；
棱柱所有侧棱长都相等，底面是多边形，上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形．
解：粉笔盒、三棱镜、书本可以看成棱柱，乒乓球是球体，易拉罐瓶是圆柱；
故答案为：粉笔盒、三棱镜、书本
【题型2】组合几何体的构成
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学科网（北京）股份有限公司【例2】如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的．
【分析】本题考查了组合几何体的构成．熟练掌握常见的几何体是解题的关键．
根据常见的几何体的特征作答即可．
解：由题意知，①是由一个正方体、一个圆柱体、一个圆锥体组成的组合体；
②是由一个圆柱体、一个长方体、一个三棱柱组成的组合体；
③是由一个五棱柱、一个球体组成的组合体．
【变式1】（20-21七年级上·山东青岛·单元测试）如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都
是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了认识立体图形，找到长方体中第三部分所对应的几何体的形状是解题的关键．观察
长方体，可知第三部分所对应的几何体在长方体中，上面有二个正方体，下面有二个正方体，再在各个
选项中根据图形作出判断．
解：由长方体和第三部分所对应的几何体可知，
第三部分所对应的几何体上面有二个正方体，下面有二个正方体，并且与选项C相符．
故选：C．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，能看到的正方体有 块，看不到的正方体有 块．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 16 14
【分析】本题考查的是立体图形，解决本题的关键是利用总的正方体个数减去看到的正方体个数，得到
看不到的正方体的个数．看到的正方体个数直接数出来就可以了，看不到的正方体个数用总的正方体个
数减去看到的正方体个数即可．
解：看到的正方体有 （块 ，
总的正方体个数有 （块 ，
看不到的正方体有 （块 ．
故答案为：16，14．
【题型3】立体图形的分类
【例3】（24-25七年级上·宁夏银川·阶段练习）将下图中的立体图形分类．
柱体________________；锥体______________；球体______________．
【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③
【分析】本题考查立体图形的分类，解题的关键掌握立体图形的特征．据此可得答案．
解：柱体：①②⑤⑦⑧；锥体：④⑥；球体：③．
故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③．
【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）按柱体、锥体、球体分类，下列立体图形中与其余三个不
属于同一类立体图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了立体图形的认识．根据立体图形的特征判断即可．
解：A，C，D选项都是柱体，B是圆锥，
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学科网（北京）股份有限公司故选：B．
【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是8个立体图形．其中，是柱体的有 ，是锥
体的有 ，有曲面的有 ．（填序号）
【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③④⑧
【分析】本题主要考查了认识立体图形，正确区分它们的定义和组成是解题关键．分别根据柱体、锥体、
曲面的定义进行求解即可．
解：柱体有①②⑤⑦⑧，锥体有④⑥，有曲面的有③④⑧，
故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③④⑧．
【题型4】几何体中的点、棱、面
【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（ ）、
面数（ ）、棱数（ ）之间存在一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单的多面
体模型，解答下列问题：
(1)根据上面的多面体模型，将表格填写完整；
多面体 顶点数（ ） 面数（ ） 棱数（ ）
四面体
长方体 ________
八面体 ________ 8
十二面体
(2)根据上面的表格，猜想顶点数（ ）、面数（ ）、棱数（ ）之间存在的关系是________（用所给
的字母表示）；
(3)若一个多面体的面数比顶点数少 ，且有 条棱，则这个多面体的面数是多少？
(4)有一个玻璃饰品的外形是简单多面体，它共有 个顶点，每个顶点处都有 条棱，设该多面体的面数
为 ，求 的值．
6
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ， (2) (3) (4)
【分析】本题考查一元一次方程，多面体的性质，熟练掌握多面体的性质是解题的关键；
（1）上面的多面体模型数一数即可求解；
（2）观察可得顶点数 面数 棱数 ；
（3）代入（2）中的式子即可得到面数；
（4）得到多面体的棱数，求得面数即求解．
解：（1）从上到下填： ；
（2）观察可得顶点数 面数 棱数 ，即 ；
（3）由题意，得 ，
解得 ，所以这个多面体的面数是 ．
（4）因为该多面体的顶点数 ，且每个顶点处有 条棱，
所以该多面体的棱数 ．
因为 ，
所以 ，
解得 ；
【变式1】（24-25七年级上·全国·期中）下列说法中，不正确的有（ ）
①数字8不是整式； ②三棱锥有4个面，6条棱； ③一个有理数不是整数就是分数； ④柱体的两个底
面一样大； ⑤单项式 的系数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查整式的概念，三棱锥的性质，有理数的概念，柱体的性质，单项式有关的概念，分别
根据查整式的概念，三棱锥的性质，有理数的概念，柱体的性质，单项式概念一一进行判断即可．
解：①数字8是单项式也是整式，故①不正确；
②三棱锥有4个面，6条棱，故②正确；
③一个有理数不是整数就是分数，③正确；
④柱体的两个底面一样大，④正确；
⑤单项式 的系数是 ，故⑤不正确．
综上，不正确的有①⑤，共2个．
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司【变式2】（24-25六年级上·山东威海·期中）一个棱柱共有20个顶点，设这个棱柱共有 个面，共有
条棱，需要剪开 条棱展成一个平面图形，则 ．
【答案】
【分析】本题考查棱柱结构，代数式求值，根据棱柱结果特征，由一个棱柱共有20个顶点，得到棱柱是
十棱柱，从而利用 棱柱有 个面、 个顶点、 条棱及剪开一个棱柱需要上下两个底面剪开，再
剪开一条侧棱即可得到答案，熟记棱柱结构特征是解决问题的关键．
解： 一个棱柱共有20个顶点，
棱柱是十棱柱，
， ，
，
故答案为： ．
【题型5】从不同方向看几何体
【例5】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成．从上面看到的
这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．
(1)请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图；
(2)能不能在某些位置增加小立方块，使从正面、左面看到的几何体的形状图不变？如果能，请画出两种
不同位置摆放的从上面看的形状图，并在图上小正方形中标出该位置的小立方块的个数；如果不能，请
说明理由；
(3)能不能减少某些位置的的小立方块，使从正面、左面看到的几何体的形状图不变？最少可以用几个小
立方块？
【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)能，4个
【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体：
（1）从正面看和从左面看的图形相同，都分为上下两层，共三列，从左边起，第一列下面一层有一个小
正方形，第二列上下两层各有一个小正方形，第三列下面一层有一个小正方形，据此可得答案；
（2）在从上面看到的图形中， 在 的正方形中，任意一个位置添加一个小正方形都符合题意；
（3）在从上面看到的图形中，把与有两个小立方块相邻的立方块去掉即可得到答案．
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学科网（北京）股份有限公司解：（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）如图所示，最少的情形如下：
∴能减少某些位置的的小立方块，使从正面、左面看到的几何体的形状图不变，最少可以用4个立方块．
【变式1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）由4个完全相同的小正方体搭建了一个积木，从积木正面、
左面、上面三个方向看到的形状图如图所示，则这个积木可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查从不同方向看几何体， 能够根据不同方向看到的图形还原几何体是解题的关键．
根据从正面看到的图形可以判断上下层数，根据从上面看到的图形可以判断底层有多少小正方体，根据
从左面看到的图形可以判断前后层数，综合以上信息即可得到答案．
解：根据从三个方向看到的形状图可得，
从前面看可以看出左面有两层，右面有一层，则选项D不合题意；
从左面看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层，
从上面看，底面有3个小正方体，后面有两个，前面靠左侧位置一个，故只有选项B符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司故选：B．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）一个由小立方块摆成的几何体，无论从正面，还是从左面都
可以看到如图所示的图形，请你判断一下：最少可以用 个小立方块，最多可以用 个小
立方块．
【答案】 5 13
【分析】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯
视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟悉常见几何体
的三视图．
根据主视图和左视图画出小正方体最少和最多时几何体的俯视图，从而确定最少和最多小正方体的个数．
解：
解：画出小正方体最少和最多时几何体的俯视图，
所以这个几何体最多可以用5个小正方体，最少可以用13个小正方体．
故答案为： ； ．
【题型6】几何体展开图的认识
【例6】（24-25六年级上·山东青岛·期中）将正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形．
(1)下列是正方体表面展开图的是__________（填写序号）；
(2)如图，将正方体的表面沿图中用粗线标记的棱剪开，请画出它的表面展开图．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) (2)见详解
【分析】考查①了②正③方体展开图与拆剪，从实物出发，再从特殊的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体
图形是解题关键．
（1）根据特殊图形判断即可；
（2）根据已知标记的线逐条剪开即可．
解：（1）图①②③符合正方体表面展开图的特点，图④中含有“田”，无法正方体表面展开，
故答案为：①②③；
（2）
故选：C．
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知 是圆柱底面的直径， 是圆柱的高，在圆
柱的侧面上，过点 ， 嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆柱侧面展开图的特征及应用，掌握圆柱侧面展开图的特征是解题的关键．由平面
图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
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学科网（北京）股份有限公司解：因圆柱的展开面为长方形， 展开应该是两直线，且有公共点 ，
故选： ．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列各硬纸片分别沿虚线折叠，得不到长方体纸盒的是
．（请填写序号）
【答案】③④
【分析】此题考查了展开图折叠成长方体，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几
何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
由平面图形的折叠及展开图解题．
解：解∶①和②可以折叠成，③和④有重叠的面不可以折成，
故答案为：③④．
【题型7】由展开图计算几何体的表面积与体积
【例7】（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图，是一个几何体的表面展开图：
(1)请说出该几何体的名称__________；
(2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是__________（填序号）
①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形；
(3)求该几何体的表面积；
(4)求该几何体的体积．
【答案】(1)长方体 (2)①②③④ (3) (4)
【分析】本题主要考查长方体的展开图及其表面积与体积的计算方法，用平面截图的方法等，熟练掌握
长方体的基本性质是解题关键．
（1）直接根据几何体的展开图判断即可；
（2）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角
形即可得出结果；
（3）利用长方体的表面积计算公式求解即可；
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学科网（北京）股份有限公司（4）利用长方体的体积计算公式求解即可．
解：（1）解： 几何体的展开图共有6个面，
且各面都是长方形，
∴此几何体为长方体．
（2）解：∵长方体有六个面，
∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，
最少与三个面相交得三角形，
∴用一个平面去截长方体，
截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形，
∴截面形状可能是①②③④．
（3）解： ，
∴表面积是 ．
（4）解： ，
∴体积是 ．
【变式1】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）如图中，甲的表面积（ ）乙的表面积．
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定
【答案】C
【分析】此题是考查表面积的区别和求法．根据表面积是指物体所有面的总面积．根据表面积的意义，
可知甲的表面积等于乙的表面积．
解：甲的表面积等于乙的表面积都等于24个小正方形的面积．
故选：C．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）在课题学习中，老师要求用长为 ，宽为 的长方形
纸片制作一个无盖的长方体纸盒．甲、乙两位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影
部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．
甲：如图①，纸盒底面的四边形 是正方形；
乙：如图②，纸盒底面的四边形 是长方形， ．
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学科网（北京）股份有限公司这两位同学所折成的无盖长方体纸盒的容积，甲 乙．（填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】本题主要考查了几何体的展开图，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，熟练掌握由展
开图计算几何体体积的方法是解题的关键．
由甲乙两位同学的展开图分别计算出纸盒底面的边长以及长方体纸盒的高，进而计算出各自所折成的无
盖长方体纸盒的容积，然后进行比较即可．
解：如图①，
纸盒底面的四边形 是正方形，
，
长方体纸盒的高为： ，
则甲同学所折成的无盖长方体纸盒的容积为： ；
如图②，
设 ，则 ，
由题意可得： ，
解得： ，
，
长方体纸盒的高为： ，
则乙同学所折成的无盖长方体纸盒的容积为： ；
，
故答案为： ．
【题型8】正方体几种展开图的识别
【例8】（24-25六年级上·山东烟台·期中）将正方体沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，
可以得到其表面展开图．
(1)下列图形属于正方体的表面展开图的有______个．
(2)若一个正方体的平面展开图如图，若要把它粘成一个正方体，那么与点 重合的点是点______．
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学科网（北京）股份有限公司(3)通过对正方体的展开图的研究，你发现至少剪开______条棱，就能将它展成平面图形．
【答案】(1)3；(2)G、M；(3)7
【分析】本题主要考查正方体的平面展开图；
（1）利用正方体展开图的特点：相对的两个面在同行中间隔一个，异行中间隔1列，容易找出同行相对
面，进一步分析得出异行相对面得出结论即可；
（2）根据正方体展开图的特点得出结论即可；
（3）根据正方体有6个表面，12条棱，要展开成一个平面图形得用5条棱连接6个面至少要剪开
条棱即可．
解：（1）从左到右第1、2、5三个不属于正方体的表面展开图；
第3、4、6三个属于正方体的表面展开图；
故答案为：3．
（2）若要把它粘成一个正方体，那么与点 重合的点是点G、M
故答案为：G、M．
（3）∵正方体有6个表面，12条棱，要展开成一个平面图形得用5条棱连接6个面，所以至少要剪开
条棱，
故答案为：7．
【变式1】（2022·浙江嘉兴·一模）如图所示的正方体的展开图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查几何体的展开图．解决问题的关键是观察图形发现画有三角形、圆、平行线的三
个面是相邻的，彼此都不在相对的位置上．
从立体图形看，画有三角形、圆、平行线的三个面是相邻的，彼此都不在相对的位置上．据此选出符合
这一特征的展开图就可以了．
解：从立体图形看，画有三角形、圆、平行线的三个面是相邻的，彼此都不在相对的位置上．
选项A中的展开图，画有三角形、圆、平行线的三个面相邻，彼此都不在相对的位置上，但平行线位置
不符合，故不符合上述特征；
选项B中的展开图，画有三角形、圆、平行线的三个面相邻，彼此都不在相对的位置上，且符合视图，
符合上述特征；
选项C中的展开图，画有三角形和平行线的两个面在相对的位置上，不符合上述特征；
选项D中的展开图，画有三角形和平行线的两个面在相对的位置上，不符合上述特征；
故选：B．
【变式2】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图， 四个位置的某个正方形与实线部分的
五个正方形组成的图形中，能拼成正方体的位置有 个．
【答案】3
【分析】本题主要考查了正方体展开图的识别，熟知正方体11种展开图是解题的关键．
解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体；
正方形B与实线部分的五个正方形符合“132”型，能围成正方体；
正方形C与实线部分的五个正方形符合“132”型，能围成正方体；
正方形D与实线部分的五个正方形符合“33”型，能围成正方体；
∴能拼成正方体的位置有3个，
故答案为：3．
【题型9】正方体相对两面上的字
【例9】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的是一个正方体的表面展开图，相对的两个面上的
数字互为相反数，分别求出字母x，y，A的值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ， ，
【分析】此题考查了正方体展开图的知识、相反数的定义、求代数式的值等知识．根据题意得到 ，
．得到 ，把字母的值代入计算即可．
解：由题图可知“ ”与“ ”所在的面是相对的面，“4”与“x”所在的面是相对的面，“A”与“
”所在的面是相对的面．
由题意，得 ， ，
解得 ， ．
由题意，得 ，
将 ， 代入，得 ．
【变式1】（24-25六年级上·山东淄博·期中）如图，是一个正方体的表面展开图，已知该正方体的每个
面都有一个有理数．若相对面上的两个数的和都为 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方体相对两面上的数字，代数式求值，由图可得， 的对面是 ， 的对面是 ，
的对面是−2，根据相对面上的两个数的和都为 ，列式求出 的值，再代入代数式计算即可求解，
求出 的值是解题的关键．
解：由图可得， 的对面是 ， 的对面是 ， 的对面是−2，
∵相对面上的两个数的和都为 ，
∴ ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ， ，
∴ ，
故选： ．
【变式2】（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上
的数互为相反数，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方体的相对面、相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解题的关键；
根据正方体的相对面得到关于 、 的方程，解方程求出 、 的值，即可求解．
解： 的对面是 ， 的对立面是 ，
故 ， ，
解得： ， ，
；
故答案为：
【题型10】含图案的正方体的展开图
【例10】（21-22七年级上·全国·课后作业）如图，右面哪一个图形是左面正方体的展开图？
（1） A． B. C. D.
（2） A． B. C. D.
【答案】（1）D；（2）C
【分析】根据正方体三个面上的图案特征以及位置分析，进而可得展开图．
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学科网（北京）股份有限公司解：（1）根据正方体的展开图，分析三个面上的特征与位置对应关系，展开图为D选项；
（2）根据正方体的展开图，分析三个面上的特征与位置对应关系，展开图为C选项
【点睛】本题考查了含图案的正方体的表面展开图，找到图案的特征与位置对应关系是解题的关键．
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）把如图所示的图形折叠（图案朝外）起来会变成（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形展开图的认识．在本题的解决过程
中，可以动手进行具体折纸、翻转活动也可以．
解：通过实际动手操作可知正确的为B．
故选：B．
【变式2】（23-24七年级上·安徽宿州·期中）如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位
置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．
【答案】我
【分析】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形的展开图的认识，在解决本题的过
程中，学生可以动手进行具体折纸、翻转活动，根据“立方体中相对面之间，相隔一个正方形”即可解
答此题．
解：由图1可得，“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对；
由图2可得，小正方体从图2的位置依次翻到第5格时，“国”在下面，
此时小正方体朝上面的字是“我”，
故答案为：我．
【题型11】补一个面使图形围成正方体
【例11】（22-23七年级上·江西赣州·期末）如（1）（2）（3）图需再添上一个面，折叠后才能围成一
个正方体，请在原图上画出所添的面．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
解：如图，添加一个正方形，折叠后才能围成一个正方体，
【点睛】本题考查展开图折叠成几何体的知识，注意掌握只要有“田”，“凹”字格的展开图都不是正
方体的表面展开图．
【变式1】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下图中，有 个无阴影的正方形，从中选出 个和
个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有 个，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四
一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运
用正方体常见展开的几种形式分析求解即可．
解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可．
故选：D．
【变式2】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，在 的正方形网格图中，每个小正方形的边长均
相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形
能够围成一个小正方体的涂法有 种．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题关键．根据正方体的展
开图求解即可．
解：如图所示：
故答案为： ．
【题型12】点、线、面、体四者之间的关系
【例12】（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）如图，观察图1和表中对应数值，探究计数的方法并作
答．
(1)数一数，每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出多少区域，完成下表：
图 1 2 3 4
顶点数 4 7 8
边数 6 9
区域数 3
根据表中的数值，写出平面图的边数 、顶点数 和区域数 之间的一种关系：______．
(2)如果一个平面图有17个顶点和10个区域，那么利用（1）中得出的关系，则这个平面图有______条边．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)表见解析； (2)26
【分析】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系、得出数字的运算规律，利用规律解决问题
是解题的关键．
（1）根据图中的四个平面图形数出其顶点数、边数、区域数得出结果，根据表中数据总结出归律；
（2）根据（1）的公式，把 ， 代入得出边数即可．
解：（1）观察图形，数一数，填表如下，
图 1 2 3 4
顶点数 4 7 8 10
边数 6 9 12 15
区域数 3 3 5 6
根据表中数值，平面图的边数 、顶点数 和区域数 之间的关系为： ，
故答案为： ；
（2）∵一个平面图有17个顶点和10个区域，
∴ ， 代入 中，得： ，
解得： ，
∴这个平面图有26条边，
故答案为：26．
【变式1】（20-21七年级上·湖北咸宁·期末）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动
成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（ ）
A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转
【答案】A
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意；
B、打开折扇是“线动成面”，故本选项不合题意；
C、汽车雨刷的转动是“线动成面”，故本选项不合题意；
D、旋转门的旋转是“面动成体”，故本选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解
决问题的能力．
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学科网（北京）股份有限公司【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）粉笔在黑板上写出一个个字，这说明了 ，黑板擦
在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可以解释为 ，与此原理相同的例子还有 ．
（2）宾馆里旋转的大门给我们以 的形象．
【答案】 点动成线 线动成面 车轮旋转时看起来像一个完整的圆面（合理即可） 面
动成体
【分析】此题考查了点、线、面、体，正确理解点线面体的概念是解题的关键．
（1）根据“点动成线，线动成面，面动成体”的概念直接回答即可；
（2）根据“点动成线，线动成面，面动成体”的概念直接回答即可．
解：（1）粉笔在黑板上写出一个个字，这说明了点动成线，黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数
学知识可以解释为线动成面，与此原理相同的例子还有车轮旋转时看起来像一个完整的圆面；
故答案为：点动成线，线动成面，车轮旋转时看起来像一个完整的圆面（合理即可）；
（2）宾馆里旋转的大门给我们以面动成体的形象，
故答案为：面动成体．
【题型13】平面图形旋转后所得的立体图形
【例13】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在直角三角形 中， ，边 长 ，
边 长 ， ，高 长 ， ， ．求此三角形绕着它的边所在直线
旋转一周，所得几何体的体积为多少．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了圆锥的体积公式，能根据已知条件求出旋转后的圆锥的底面半径和高是解此题的关
键．
绕着边 旋转，得到一个底面圆半径为3，高为4的圆锥；绕着边 旋转，得一个底面圆半径半径为
4，高为3的圆锥；
绕着边 旋转， 得到两个底面相同的圆锥，底面圆半径都为 ，高分别为 和 ．
解：三角形绕着边 所在直线旋转一周，所得几何体的体积是
三角形绕着边 所在直线旋转一周，所得几何体的体积是 ；
三角形绕边 所在直线旋转一周，所得几何体是底面相同的一个正立，一个倒立的圆锥组合体，所以体
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学科网（北京）股份有限公司积是 ．
答：所得几何体的体积为 或 或 ．
【变式1】（24-25七年级上·重庆·期中）如图所示，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了点、线、面、体，关键是同学们要注意观察，培养自己的空间想象能力．根据
面动成体的原理以及空间想象力可直接选出答案．
解：将如图所示的图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是圆柱体，里面是空的圆锥体
故选：B．
【变式2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）如图，已知正方形 的边长为3，将这个正方形绕它的
边所在直线旋转一周，从左面看所得几何体，得到的形状图的面积是 ．
【答案】18
【分析】本题考查的是平面图形的旋转，从不同方向看立体图形，首先根据题意可得将正方形旋转一周
可得圆柱体，圆柱的高为3，底面直径为6，再找出从从左面看到的图形的形状可得答案．
解：直线 为轴，将正方形旋转一周可得圆柱体，圆柱的高为3，底面直径为6，
从几何体的左面看到的图形是长为6，宽为3的长方形，
因此面积为： ，
故答案为：18．
【题型14】截一个几何体
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学科网（北京）股份有限公司【例14】（24-25七年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图所示，用四个不同的平面去截一个正方体，请在下
面横线上写出截面的形状．
【答案】正方形；正方形；长方形；长方形
【分析】本题考查正方体的截面，解题时，要注意：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角
度和方向有关．根据正方体的形状及截面的角度和方向判断即可．
解：（1）竖截正方体，截面平行于侧面，那么截面应该是正方形；
（2）横截正方体，截面平行于两底，那么截面应该是正方形；
（3）（4）沿对边截正方体，截面应该都是长方形．
故答案为：正方形；正方形；长方形；长方形．
【变式1】（22-23七年级上·江苏扬州·开学考试）用一条直线把一个正方形分成完全一样的两部分，有
（ ）种分法．
A．2 B．4 C．无数 D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】过正方形的两边中点的直线，对角线所在的直线，过两对角线的交点的任意一条直线，即过正
方形的中心点的任意一条直线都可以把一个正方形分成完全一样的两部分．此题考查了图形的拆拼，正
方形是一个中心对称图形，过中心点的任意一条直线都可以把正方形分成完全一样的两部分．
解：如图所示，在图形中下一行的直线有无数条，只要过中心点就可以．
过正方形的两个对边的中点的直线，对角线所在的直线，过两对角线的交点的任意一条直线即过正方形
的中心点的任意一条直线都可以把一个正方形分成完全一样的两部分，故有无数种分法．
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司【变式2】（23-24七年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形 去掉 后，剩下的新图形是
边形．
【答案】三、四、五
【分析】本题主要考查多边形，能根据题意分类讨论是解题的关键．
设线段 上一点为 （点 不与点 ，点 重合），线段 上一点为 （点 不与点 ，点 重
合），分三种情况讨论：沿直线 切割；沿直线 切割；沿直线 或 切割．
解：设线段 上一点为 （点 不与点 ，点 重合），线段 上一点为 （点 不与点 ，点
重合）．
①如图所示，沿直线 切割，得到 ，新图形为三角形．
②如图所示，沿直线 切割，得到五边形 ，新图形为五边形．
③如图所示，沿直线 或 切割，得到四边形 或四边形 ，新图形为四边形．
综上所述，新图形是三角形或四边形或五边形．
故答案为：三、四、五．
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