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第 08 讲 公式法分解因式
课程标准 学习目标
1. 掌握能用平方差公式分解的多项式的特点以及平方差公式分
①用平方差公式分解因式 解因式的方法并能在题目中熟练应用。
②用完全平方公式分解因式 2. 掌握能用完全平方公式分解的多项式的式子特点以及用完全
平方公式分解因式的方法并能够熟练应用。
知识点01 用平方差公式分解因式
1. 平方差公式分解因式的内容：
两个数的平方差等于这两个数的 和 乘以这两个数的 差 。即：
2. 式子特点分析与因式分解结果：
①式子特点分析：式子是一个 二项式 ，符号 相反 且都可以写成 平方 的形式。
②因式分解结果：等于写成平方形式时的 底数 的和乘以 底数 的差。差时用正项底数减
去负项的底数。
【即学即练1】
1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2
【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．【解答】解：A．x2+4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；
B．﹣x2+4y2是2y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式；
C．x2﹣2y+1是三项不能用平方差公式分解因式；
D．﹣x2﹣4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式．
故选：B．
【即学即练2】
2．把下列各式因式分解：
（1）x2﹣25y2． （2）﹣4m2+25n2． （3）（a+b）2﹣4a2．
（4）a4﹣1． （5）9（m+n）2﹣（m﹣n）2． （6）mx2﹣4my2．
【分析】（1）直接利用平方差公式进行分解即可；
（2）直接利用平方差公式进行分解即可；
（3）直接利用平方差公式进行分解，再把括号里的同类项进行合并即可；
（4）利用平方差公式分解两次即可；
（5）直接利用平方差公式进行分解，再把括号里的同类项进行合并即可；
（6）首先提取公因式m，再利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（x+5y）（x﹣5y）；
（2）原式＝（5n﹣2m）（5n+2m）；
（3）原式＝（a+b﹣2a）（a+b+2a）
＝（b﹣a）（3a+b）；
（4）原式＝（a2+1）（a2﹣1）
＝（a2+1）（a+1）（a﹣1）；
（5）原式＝（3m+3n﹣m+n）（3m+3n+m﹣n）
＝（2m+4n）（4m+2n）
＝4（m+2n）（2m+n）；
（6）原式＝m（x2﹣4y2）
＝m（x﹣2y）（x+2y）．
【即学即练3】
3．若多项式mx2﹣4在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解，则m的值不可能是（ ）
A．1 B．5 C．9 D．16
【分析】根据平方差公式的公式结构对各选项分析判断即可．
【解答】解：A、m＝1时，x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题
意；
B、m＝5时，5x2﹣4，不可以用平方差公式分解因式，故该选项符合题意；
C、m＝9时，9x2﹣4＝（3x+2）（3x﹣2），可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
D、m＝16时，16x2﹣4＝（4x+2）（4x﹣2）＝4（2x+1）（2x﹣1），可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
故选：B．
【即学即练4】
4．若a+b＝3，a﹣b＝ ，则a2﹣b2的值为（ ）
A．1 B． C． D．9
【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而将已知代入求出即可．
【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝ ，
∴a2﹣b2＝3× ＝1．
故选：A．
知识点02 用完全平方公式分解因式
1. 完全平方公式分解因式的内容：
两个数的平方的和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
即 。
2. 式子特点分析与因式分解结果：
①式子特点分析：式子是一个 三项式 ，其中两项符号 相同 且都能写成 平方 的形式，
第三项是平方两项 底数 乘积的 两倍 。
②因式分解结果：等于 底数和 的平方或 底数差 的平方。若第三项与平方两项符号 相同 ，
则等于底数和的平方，若第三项与平方两项符号 相反 ，则等于底数差的平方。若平方两项是负号，
则在括号前添加负号。
【即学即练1】
5．下列多项式中，可以用完全平方式进行因式分解的是（ ）
A．x2+2xy+4y2 B．﹣9x2﹣y2
C．4x﹣y2 D．x2﹣8xy+16y2
【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、此式子不是完全平方式；
B、此式子不是完全平方式；
C、此式子不是完全平方式；
D、此式子是完全平方式．
故选：D．
【即学即练2】
6．把下列各式分解因式．（1）n2﹣6mn+9m2 （2）a2﹣14ab+49b2
（3）a2﹣4ab+4b2 （4）m2﹣10m+25．
【分析】直接利用完全平方公式分解即可．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【解答】解：（1）n2﹣6mn+9m2＝（n﹣3m）2；
（2）a2﹣14ab+49b2＝（a﹣7b）2；
（3）a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2；
（4）m2﹣10m+25＝（m﹣5）2．
【即学即练3】
7．把2xy﹣x2﹣y2分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣y）2 B．（﹣x﹣y）2 C．﹣（x﹣y）2 D．﹣（x+y）2
【分析】先添加带负号的括号，再利用完全平方公式进行因式分解．
【解答】解：2xy﹣x2﹣y2，
＝﹣（x2﹣2xy+y2），
＝﹣（x﹣y）2．
故选：C．
【即学即练4】
8．已知9x2+mxy+16y2能运用完全平方公式因式分解，则m的值为（ ）
A．12 B．±12 C．24 D．±24
【分析】这里首末两项是3x和4y个数的平方，那么中间一项为加上或减去3x和4y乘积的2倍，进而
得出答案．
【解答】解：∵（3x±4y）2＝9x2±24xy+16y2，
∴在9x2+mxy+16y2中，m＝±24．
故选：D．
题型01 判断式子能否用公式法分解
【典例1】下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．4x2+y2 B．﹣4x2﹣y2 C．﹣4x2+y2 D．﹣4x+y2
【分析】根据能用平方差公式的结构特点，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、两平方项的符号相同，故本选项错误；
B、两平方项的符号相同，故本选项错误；
C、符合平方差公式，正确；
D、只有一个平方项，故本选项错误．
故选：C．【变式1】下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．﹣x2+6x+9 B．﹣x2+6x﹣9 C．x2﹣6x﹣9 D．x2﹣2x+9
【分析】根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可．
【解答】解：A．﹣x2+6x+9＝﹣（x2﹣6x﹣9），因此不能利用完全平方公式进行因式分解，所以选项 A
不符合题意；
B．﹣x2+6x﹣9＝﹣（x2﹣6x+9）＝﹣（x﹣3）2，因此选项B符合题意；
C．x2﹣6x﹣9不能利用完全平方公式进行因式分解，所以选项C不符合题意；
D．x2﹣2x+9不能利用完全平方公式进行因式分解，所以选项D不符合题意．
故选：B．
【变式2】下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）个．
①3x2+3y2②﹣x2+y2③﹣x2﹣y2④x2+xy+y2⑤x2+2xy﹣y2⑥﹣x2+4xy﹣4y2
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】因式分解可套用公式分别是公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）和公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，所给
出的6个多项式中，根据公式结构特点对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：①3x2+3y2两平方项符号相同，不能运用公式；
②﹣x2+y2＝（y+x）（y﹣x），两平方项符号相反，能运用平方差公式；
③﹣x2﹣y2两平方项符号相同，不能运用公式；
④x2+xy+y2，乘积项不是二倍，不能运用完全平方公式；
⑤x2+2xy﹣y2两平方项符号相反，不能运用完全平方公式；
⑥﹣x2+4xy﹣4y2＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣（x﹣2y）2，整理后可以利用完全平方公式．
所以②⑥两项能用公式法分解因式．
故选：A．
【变式3】下列各式：①﹣x2﹣y2；② ；③a2+ab+b2；④x2+2xy+y2；⑤ ，可以用公
式法分解因式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案．
【解答】解：①不可以因式分解；
②可以用平方差公式进行因式分解；
③不可以因式分解；
④可以用完全平方公式进行因式分解；
⑤可以用完全平方公式进行因式分解．
故答案为：B．
题型02 用公式法分解因式【典例1】把多项式16x2﹣24x+9分解因式得（ ）
A．（16x﹣3）2 B．（4x﹣3）2
C．（16x+3）（16x﹣3） D．（4x+3）（4x﹣3）
【分析】观察原式可知，原式正好是一个完全平方式，由此利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：16x2﹣24x+9
＝16x2﹣2×4×3x+32
＝（4x﹣3）2，
故选：B．
【变式1】分解因式a2﹣4，正确的是（ ）
A．（a+1）（a﹣4） B．（a﹣2）2
C．（a﹣2）（a+2） D．（2a﹣1）（2a+1）
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a2﹣4＝a2﹣22＝（a﹣2）（a+2）．
故选：C．
【变式2】分解因式：
（1）4a2﹣16 （2）﹣36x2+12xy﹣y2．
【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝4（a2﹣4）
＝4（a+2）（a﹣2）；
（2）原式＝﹣（36x2﹣12xy+y2）
＝﹣（6x﹣y）2．
【变式3】分解因式：
（1）（x2﹣6x）2+18（x2﹣6x）+81； （2）（y2+3y）2﹣（2y+6）2．
【分析】（1）先把原式看作（x2﹣6x）的二次三项式．利用完全平方公式分解因式，然后再利用完全
平方公式分解即可；
（2）先利用平方差公式分解因式，然后对各因式再进行分组分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（x2﹣6x+9）2
＝[（x﹣3）2]2
＝（x﹣3）4；
（2）原式＝（y2+3y+2y+6）（y2+3y﹣2y﹣6）
＝（y2+5y+6）（y2+y﹣6）
＝（y+2）（y+3）2（y﹣2）．
【变式4】把下列各式分解因式
（1）（x﹣y）2+4xy （2）m3﹣9m（3）x2（x﹣y）﹣（x﹣y） （4）4a2﹣3b（4a﹣3b）
【分析】（1）首先去括号，进而合并同类项，再利用完全平方公式分解因式得出即可；
（2）首先提取公因式，进而结合平方差公式分解因式得出答案；
（3）首先提取公因式，进而结合平方差公式分解因式得出答案；
（4）首先去括号，再利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：（1）（x﹣y）2+4xy
＝x2+y2﹣2xy+4xy
＝x2+y2+2xy
＝（x+y）2；
（2）m3﹣9m
＝m（m2﹣9）
＝m（m+3）（m﹣3）；
（3）x2（x﹣y）﹣（x﹣y）
＝（x﹣y）（x2﹣1）
＝（x﹣y）（x+1）（x﹣1）；
（4）4a2﹣3b（4a﹣3b）
＝4a2﹣12ab+9b2
＝（2a﹣3b）2．
题型03 根据用公式法分解的式子特点求值
【典例1】关于x的二次三项式x2﹣ax+36能用完全平方公式分解因式，则a的值是（ ）
A．﹣6 B．±6 C．12 D．±12
【分析】根据完全平方公式，第一个数为x，第二个数为6，中间应加上或减去这两个数积的两倍．
【解答】解：依题意，得
ax＝±2×6x，
解得：a＝±12．
故选：D．
【变式1】若x2+（k﹣2）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（ ）
A．6 B．﹣4或8 C．﹣6或6 D．0
【分析】利用完全平方公式得到x2+（k﹣2）x+32＝（x+3）2或x2+（k﹣2）x+32＝（x﹣3）2，则k﹣2＝
6或k﹣2＝﹣6，然后解一次方程得到k的值．
【解答】解：∵x2+（k﹣2）x+9＝x2+（k﹣2）x+32，
而x2+（k﹣2）x+9能用完全平方公式因式分解，
∴x2+（k﹣2）x+32＝（x+3）2或x2+（k﹣2）x+32＝（x﹣3）2，
∴k﹣2＝6或k﹣2＝﹣6，解得k＝8或﹣4．
故选：B．
【变式2】若a的值使x2+6x+a＝（x+3）2成立，则a的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．3
【分析】直接利用完全平方公式计算得出答案．
【解答】解：∵x2+6x+a＝（x+3）2成立，
∴a＝32＝9．
故选：A．
【变式3】若81﹣xk＝（9+x2）（3+x）（3﹣x），那么k的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先把等式右边利用平方差公式进行计算；然后与左边的（81﹣xk）比较即可求解．
【解答】解：∵81﹣xk＝（9+x2）（3+x）（3﹣x），
∴81﹣xk＝（9+x2）（9﹣x2）＝（81﹣x4），
∴k＝4．
故选：C．
【变式4】已知x2﹣2ax+b＝（x﹣3）2，则b2﹣a2的值是（ ）
A．﹣72 B．﹣45 C．45 D．72
【分析】直接利用完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵x2﹣2ax+b＝（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，
∴﹣2a＝﹣6，b＝9，
解得：a＝3，
故b2﹣a2＝92﹣32＝72．
故选：D．
题型04 因式分解的应用
【典例1】若a+b＝4，ab＝5，则a2b+ab2的值为（ ）
A．9 B．16 C．20 D．25
【分析】将a2b+ab2提取公因式ab，进而将已知代入求值即可．
【解答】解：∵a+b＝4，ab＝5，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝5×4＝20，
故选：C．
【变式1】若x+y＝2，则代数式x2﹣y2+4y的值等于 4 ．
【分析】先根据公式法因式分解进行计算，再代入求出即可．
【解答】解：∵x+y＝2，
∴x2﹣y2+4y＝（x+y）（x﹣y）+4y＝2（x﹣y）+4y
＝2x﹣2y+4y
＝2x+2y
＝2（x+y）
＝2×2
＝4，
故答案为：4．
【变式2】若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为 2 0 ．
【分析】先根据平方差公式分解因式，整理后代入，即可得出答案．
【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝1
∴（a+2）2﹣（b﹣2）2＝[（a+2）+（b﹣2）][（a+2）﹣（b﹣2）]＝（a+b）（a﹣b+4）＝4×（1+4）
＝20
故答案为：20
【变式3】如果a、b、c是三角形的三边长，那么代数式a2﹣2ab﹣c2+b2的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【分析】把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．
【解答】解：a2﹣2ab﹣c2+b2
＝a2﹣2ab+b2﹣c2
＝（a﹣b）2﹣c2
＝（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]，
∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0，
∴a2﹣2ab﹣c2+b2＜0，即a2﹣2ab﹣c2+b2的值是负数，
故选：B．
【变式4】若a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据题目信息得到a、b、c的数量关系，然后对原式进行变化先乘2后乘 ，最后利用公式法
即可．
【解答】解：由题意可知，
2020﹣a＝2021﹣b＝2022﹣c，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
原式＝2×（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）×
＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]×＝（1+4+1）×
＝3．
故选：D．
1．下列多项式中不能用公式法分解因式的是（ ）
A． B．2ab+a2+b2 C．﹣a2+25 D．﹣4﹣b2
【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐项进行分析判断即可．
【解答】解：A． ，能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；
B．2ab+a2+b2＝（a+b）2，能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；
C．﹣a2+25＝（5+a）（5﹣a），能用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
D．﹣4﹣b2＝﹣（4+b2），不能用公式法分解，符合题意；
故选：D．
2．已知多项式x2+ax+16可以用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（ ）
A．4 B．8 C．﹣8 D．±8
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出a的值．
【解答】解：∵多项式x2+ax+16可以用完全平方公式进行因式分解，
∴a＝±2×1×4＝±8．
故选：D．
3．因式分解：2a2﹣12a+18＝（ ）
A．2（a2﹣6a+9） B．（a﹣3）2
C．2（a﹣3）（a+3） D．2（a﹣3）2
【分析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣6a+9）
＝2（a﹣3）2，
故选：D．
4．已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值是（ ）
A．2 B．6 C．4 D．8
【分析】先把原式进行因式分解，再把m+n＝2代入进行计算即可．
【解答】解：∵m+n＝2，
∴原式＝（m+n）（m﹣n）+4n＝2（m﹣n）+4n
＝2m﹣2n+4n
＝2（m+n）
＝2×2
＝4．
故选：C．
5．在多项式 上添加一个单项式，使得到的多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则添加的单
项式不可以是（ ）
A．x B．﹣x C．x4 D．﹣x4
【分析】根据完全平方和（差）公式的性质即可求解．
【解答】解：A选项， ，可以构成完全平方和公式，不符合题意；
B选项， ，可以构成完全平方差公式，不符合题意；
C选项， ，可以构成完全平方和公式，不符合题意；
D选项， ，不可以构成完全平方公式，符合题意．
故选：D．
6．若a，b，c是△ABC的三边长，则a2﹣（b﹣c）2的结果（ ）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不确定
【分析】由三角形三边关系可得 a+b﹣c＞0，a+c﹣b＞0，原式再因式分解化为（a+b﹣c）（a﹣
b+c），即可得解．
【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边长，根据三角形的三边之间的关系：两边之和大于第三边，两
边之差小于第三边可得：
∴a+b﹣c＞0，a+c﹣b＞0，
∴a2﹣（b﹣c）2＝（a+b﹣c）[a﹣（b﹣c）]＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）＞0．
故选：A．
7．某课外密码研究小组接收到一条密文：8x（m2﹣n2）﹣8y（m2﹣n2）．已知密码手册的部分信息如表所
示：
密文 … m﹣n m+n x﹣y x+y 8 x …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文8x（m2﹣n2）﹣8y（m2﹣n2）用因式分解解码后，明文可能是（ ）
A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大
【分析】提取公因式后，再用平方差公式分解即可．【解答】解：8x（m2﹣n2）﹣8y（m2﹣n2），
原式＝8（x﹣y）（m2﹣n2），
＝8（x﹣y）（m+n）（m﹣n），
∴对应密文可得到的字为：爱，我，中，大；
故选：D．
8．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+2ab＝c2+2bc，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【分析】把a2+2ab＝c2+2bc因式分解后判断即可．
【解答】解：∵a2+2ab＝c2+2bc，
∴a2﹣c2+2ab﹣2bc＝0，
（a﹣c）（a+c）+2b（a﹣c）＝0，
（a﹣c）（a+c+2b）＝0，
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+c+2b＞0，
∴a﹣c＝0，即a＝c，
∴△ABC是等腰三角形，
故选：C．
9．已知x﹣y＝﹣4，则多项式 的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】先提取公因式 ，再利用完全平方公式，最后整体代入求值．
【解答】解：
＝ （x2﹣2xy+y2）
＝ （x﹣y）2．
当x﹣y＝﹣4时，
原式＝ ×（﹣4）2
＝ 16
＝8．
故选：C．
10．如果一个数a＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（ ）
A．56 B．82 C．94 D．126
【分析】首先化简a＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，再看四个选项中，能够整除8的即为答案．
【解答】解：∵a＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝8n，
∴“奇差数”是8的倍数，
A，56÷8＝7，能够被8整除，因此56是“奇差数”；
B，82÷8＝10…2，不能够被8整除，因此82不是“奇差数”；
C，94÷8＝11…6，不能够被8整除，因此94不是“奇差数”；
D，126÷8＝15…6，不能够被8整除，因此126不是“奇差数”；
故选：A．
11．因式分解：x4﹣81y4＝ （ x 2 + 9 y 2 ）（ x + 3 y ）（ x ﹣ 3 y ） ．
【分析】根据平方差公式求解．a
【解答】解：x4﹣81y4＝（x2+9y2）（x+3y）（x﹣3y），
故答案为：（x2+9y2）（x+3y）（x﹣3y）．
12．已知|x﹣2y﹣1|+x2+4xy+4y2＝0，则x+y＝ ．
【分析】已知等式左边后三项利用完全平方公式变形后，根据两非负数之和为 0，两非负数分别为0得
到关于x与y的方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出x+y的值．
【解答】解：∵|x﹣2y﹣1|+x2+4xy+4y2＝|x﹣2y﹣1|+（x+2y）2＝0，
∴ ，
解得： ，
则x+y＝ ﹣ ＝ ．
故答案为：
13．已知xy＝ ，x+y＝5，则2x3y+4x2y2+2xy3＝ ﹣ 2 5 ．
【分析】因式分解后，整体代入计算即可；
【解答】解：2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）
＝2xy（x+y）2，
∵xy＝ ，x+y＝5，
∴原式＝﹣25．故答案为﹣25．
14．已知a3+2a2+a+2＝0，则a2024﹣2a2022+4a2021的值为 0 ．
【分析】利用因式分解求a的值，再代入代数式求值．
【解答】解：∵a3+2a2+a+2＝0，
∴a2（a+2）+（a+2）＝0，
∴（a2+1）（a+2）＝0，
∴a+2＝0，
∴a＝﹣2，
∴a2024﹣2a2022+4a2021
＝a2021（a3﹣2a+4）
＝（﹣2）2021×[（﹣2）3﹣2×（﹣2）+4]
＝（﹣2）2021×（﹣8+4+4）
＝（﹣2）2021×0
＝0．
15．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是
对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x+y）（x﹣y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：
x+y＝18，x﹣y＝0，x2+y2＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式9x3
﹣xy2，取x＝11，y＝6时，用上述方法产生的密码是 11392 7 （答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】把所给式子提公因式x后．继续用平方差公式进行因式分解，算出各个因式的值，任选一组当
密码即可．
【解答】解：9x3﹣xy2
＝x（9x2﹣y2）
＝x（3x+y）（3x﹣y）．
当x＝11，y＝6时，
各个因式的值是：x＝11，3x+y＝39，3x﹣y＝27．
用上述方法产生的密码是：113927或112739或391127或392711或273911或271139．
故答案为：113927（答案不唯一）．
16．因式分解：
（1）2x2﹣12xy+18y2．
（2）9（m﹣2n）2﹣（m+2n）2．
【分析】（1）原式提取公因数2后，再运用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）原式运用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：（1）2x2﹣12xy+18y2
＝2（x2﹣6xy+9y2）
＝2（x﹣3y）2；（2）9（m﹣2n）2﹣（m+2n）2
＝[3（m﹣2n）+（m+2n）][3（m﹣2n）﹣（m+2n）]
＝（3m﹣6n+m+2n）（3m﹣6n﹣m﹣2n）
＝（4m﹣4n）（2m﹣8n）
＝8（m﹣n）（m﹣4n）
17．若定义一种运算：a△b＝a3﹣b2+ab+1，
如：2△（﹣3）＝23﹣（﹣3）2+2×（﹣3）+1＝8﹣9﹣6+1＝﹣6．
（1）计算：（﹣x）△（1﹣x）．
（2）将（1）计算所得的多项式分解因式；
【分析】（1）把（﹣x）看成a，（1﹣x）看成b，按照定义的运算，代入计算即可；
（2）先提取公因式，再按照平方差公式进行因式分解．
【解答】解：（1）由题意，得：
（﹣x）△（1﹣x）
＝（﹣x）3﹣（1﹣x）2+（﹣x）（1﹣x）+1
＝﹣x3﹣（1﹣2x+x2）﹣x+x2+1
＝﹣x3﹣1+2x﹣x2﹣x+x2+1
＝﹣x3+x；
（2）﹣x3+x
＝﹣x（x2﹣1）
＝﹣x（x+1）（x﹣1）．
18．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝m，
则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ （ x ﹣ y ﹣ 1 ） 2 ；
（2）因式分解：9（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+1．
【分析】（1）把原式看作关于（x﹣y）的二次三项式，然后利用完全平方公式分解因式；
（2）把原式看作关于（x﹣2）的二次三项式，然后利用完全平方公式分解因式．
【解答】解：（1）将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝m，
则原式＝1﹣2m+m2＝（m﹣1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x﹣y﹣1）2；
故答案为：（x﹣y﹣1）2；
（2）将“x﹣2”看成整体，令x﹣2＝m，则原式＝9m2﹣6m+1＝（3m﹣1）2．
再将x﹣2＝m代入，得原式＝[3（x﹣2）﹣1]2＝（3x﹣7）2．
19．认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题：
①42﹣22＝4×3；
②62﹣42＝4×5；
③82﹣62＝4×7；
④ 1 0 2 ﹣ 8 2 ＝ 4× 9 ；
…
（1）将横线上的等式补充完整；
（2）验证规律：设两个连续的正偶数为2n，2n+2（n为正整数），则它们的平方差是4的倍数；
（3）拓展延伸：判断两个连续的正奇数的平方差是8的整数倍吗？并说明理由．
【分析】（1）根据已知算式写出即可；
（2）利用平方差公式计算得出答案；
（3）这两个偶数为2n和2n+2，利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：102﹣82＝4×9；
故答案为：102﹣82＝4×9；
（2）（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）＝4（2n+1）．
∵n为正整数，
∴2n+1为正整数，
∴若两个连续的正偶数为2n，2n+2（n为正整数），则它们的平方差是4的倍数；
（3）是；理由：
设两个连续的正奇数为2m﹣1，2m+1（m为正数）．
（2m+1）2﹣（2m﹣1）2
＝[（2m+1）﹣（2m﹣1）][（2m+1）+（2m﹣1）]
＝2×4m
＝8m．
∵m为正整数，
∴两个连续的正奇数的平方差是8的倍整数倍．
20．阅读材料，利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我
们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问
题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例：
＝（x+2）2﹣9＝（x+2﹣3）（x+2+3）＝（x﹣1）（x+5）．
根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题．（1）分解因式：x2+2x﹣3；
（2）求多项式x2+6x﹣9的最小值；
（3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
【分析】（1）首先根据阅读材料提供的思路，把多项式x2+2x﹣3配方，使代数式中有一个完全平方式：
（x2+2x+1）﹣1﹣3，利用完全平方公式分解因式得到：（x+1）2﹣4，然后再利用平方差公式分解因式
即可；
（2）仿照（1）的思路把多项式x2+6x﹣9分解因式得到：（x+3）2﹣18，根据平方的非负性可得：
（x+3）2≥0，所以可知当（x+3）2取最小值0时，代数式（x+3）2﹣18有最小值﹣18，从而得到x2+6x
﹣9的最小值；
（3）首先把等式a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c右边的部分移项到左边，得到：a2﹣6a+b2﹣8b+c2﹣10c+50＝
0，然后配方得到：（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，利用平方的非负性分别求出a、b、c的值，根
据三角形周长公式求出△ABC的周长．
【解答】解：（1）原式＝x2+2x+1﹣1﹣3
＝（x2+2x+1）﹣4
＝（x+1）2﹣22
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）；
（2）原式＝ ，
＝（x+3）2﹣9﹣9，
＝（x+3）2﹣18，
因为（x+3）2≥0，所以（x+3）2﹣18≥﹣18，
所以多项式x2+6x﹣9的最小值为﹣18；
（3）a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c可变为：
a2﹣6a+9﹣9+b2﹣8b+16﹣16+c2﹣10c+25﹣25+50＝0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
所以a＝3，b＝4，c＝5，
所以△ABC的周长＝a+b+c＝12．
