第3章图形的初步认识单元复习（考点归纳+知识梳理+真题训练）（解析版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_2026秋《暑假自学课》7上数学（华师版）_第3章图形的初步认识

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第3 章图形的初步认识单元复习
【考点1 认识平面图形和立体图形、图形分类】
【考点2 立体图形的视图】
【考点3 立体图形的展开图】
【考点4：平面图形】
【考点5：直线、射线与线段的相关概念】
【考点6：作图-直线射线和线段】
【考点7：线段的有关计算】
【考点8：钟面角】
【考点9：方位角】
【考点10：度分秒换算】
【考点11：角平分线的概念有关运算】
【考点12：余角和补角概念及及性质】
【考点13：角的综合运算】
知识点1：认识平面图形和立体图形、图形分类
⑴几何图形：几何图形是数学研究的主要对象之一。几物体的形状、大小和位置关系是何研
究的内容。像长方体、圆柱、球、长方形、正方形、圆、线段、点、三角形、梯形……它们
都是几何图形。
⑵立体图形：有些几何体（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）各个部分
都不在同一平面内，它们是立体图形。
.
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⑶平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、正方形、平行四边
形、梯形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。
知识点2：立体图形的展开图
立体图形的展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当
剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为立体图形的展开图。
如正方体的展开图有如下几种情况：
中间四个面，上下各一面:
中间三个面，一二隔河见:
中间两个面，楼梯天天见:
中间没有面，两两连成线:
知识点3：点、线、面、体。
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
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点动成线，线动成面，面动成体。
知识点4：直线、射线与线段的概念
知识点5 ：基本事实
1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线
2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短
知识点6：基本概念
1. 两点间的距离：两个端点之间的长度叫做两点间的距离。
2. 线段的等分点：把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点
知识点7：双中点模型
C 为AB 上任意一点，M、N 分别为AC、BC 中点，则
AB
MN
2
1

平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆
等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。
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知识点8：角的概念
1．角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两
条射线是角的两条边．如图1 所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角
的内部．如图2 所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始
位置OA 是角的始边，终止位置OB 是角的终边．
注意：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1 所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直
线时，所形成的角叫做平角，如图2 所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角．
2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
注意：
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或
小写希腊字母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
图1
图2
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知识点9：角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360 等份，每一份就是1°的角，1°
的1
60
为1 分，记作“1′”，1′的1
60
为1 秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的
角的度量制，叫做角度制．
1 周角＝360°，1 平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
知识点10：钟表上有关夹角问题
钟表中共有12 个大格，把周角12 等分、每个大格对应30°的角，分针1 分钟转6°，
时针每小时转30°，时针1 分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计
算问题．
知识点11：方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA 的方向是北偏
东60°；射线OB 的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方
向的角，就叫做方位角．
注意：
（1）正东，正西，正南，正北4 个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，
确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O 是观测点，所有方向线(射线)都必须以O 为端点．
知识点12：角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图
所示，OC 是∠AOB 的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC = 1
2
∠AOB．
注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
知识点13：角的运算
如图所示，∠AOB 是∠1 与∠2 的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1 是∠AOB 与∠2 的差，
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记作：∠1＝∠AOB-∠2．
注意：
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边
与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画
出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
知识点14：余角和补角
如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另
一个角的余角。
∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C 的余角=90°-∠C 即:∠A 的余角=90°-∠A
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角
∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C 的补角=180°-∠C 即:∠A 的补角=180°-∠A
同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D 则：∠C=∠B。
同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D 则：∠C=∠B
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【考点1：认识平面图形和立体图形、图形分类】
1．（2025·广西钦州·二模）下列图形是平面图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了平面图形和立体图形，如果一个图形是由几个不同的面围成的，那
么这个图形是立体图形；如果一个图形可以放在一个平面内，那么这个图形是平面图形．
【详解】解：A 选项：正方体是立体图形，故A 选项不符合题意；
B 选项：球队是立体图形，故B 选项不符合题意；
C 选项：六棱柱是立体图形，故C 选项不符合题意；
D 选项：三角形是平面图形，故D 选项符合题意．
故选：D．
2．（24-25 九年级上·广西南宁·期中）如图下面的图形绕直线l 旋转一周后得到的立体图形
是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题题考查点、线、面、体的问题，解决本题的关键是把旋转的图形分为上下
两个部分，根据面动成体分别求出上下两部分旋转后的图形即可得到答案．
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【详解】解：由题意得，该图形旋转后上部分得到的几何体是一个圆锥，下部分得到的
几何体是一个圆台，
∴四个选项中，只有B 选项符合题意，
故选：B．
3．（24-25 七年级上·山西大同·期末）下列实物图中，能抽象出棱柱的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，
柱体又分为圆柱和棱柱，锥体又分为圆锥和棱锥．根据棱柱有2 个底面，一个侧面解答
即可．
【详解】解：A．该图能抽象出棱柱，故符合题意；
B．该图能抽象出球体，故不符合题意；
C．该图能抽象出圆柱，故不符合题意；
D．该图能抽象出圆锥，故不符合题意；
故选：A．
4．（24-25 七年级上·广西崇左·期中）下列图形中，属于立体图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了立体图形的识别，掌握立体图形的定义是解题的关键．
立体图形是不在同一平面内的几何图形组成，结合图形分析即可求解．
【详解】解：A、在同一个平面，是平面图形，不符合题意；
B、在同一个平面，是平面图形，不符合题意；
C、多个面不在同一平面，是立体图形，符合题意；
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D、在同一个平面，是平面图形，不符合题意；
故选：C ．
【考点2 立体图形的视图】
1．（2025 年湖南省长沙市初中学业水平考试仿真密卷数学（A 卷））下列如图所示的立体
图形的俯视图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握该知识点是解题的关键．找出
此几何体从上面看所得到的视图即可．
【详解】解：立体图形的俯视图是：
故选：D．
2．（2025 年陕西省咸阳市秦都区多校模考三模数学试题）一个几何体是由一些大小相同的
小正方体摆放而成的，其三视图如图所示，则这个几何体中小正方体的个数是（
）
A．6 个
B．5 个
C．4 个
D．3 个
【答案】C
【分析】本题考查了由三视图确定几何体的形状，同时考查学生空间想象能力及对立体
图形的认识．从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每
一层小正方体的层数和个数，从左视图可看出每一行小正方体的层数和个数，从而算出
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总的个数．
【详解】解：由三视图分析，在俯视图中标出每个位置小正方体的个数如图．
共有ʹ ൅ͳ ൅ͳ ൅Ͷ 个小正方体．
故选：C．
3．（2025·浙江·模拟预测）如图放置的圆柱体的主视图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面
看所得到的图形即可．
【详解】解：从正面看圆柱可得到一个长方形．
故选：A．
4．（2025·浙江·模拟预测）如图是由圆锥和圆柱组成的几何体，其俯视图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【分析】根据俯视图的定义去判断即可．
本题考查了几何体的俯视图，熟练掌握俯视图的定义是解题的关键．
【详解】
解：该几何体的俯视图是
,
故选：A．
5．（2025·湖北·三模）1.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工
艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则
它的俯视图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据俯视图是从上
向下观察到的图形，进行判断即可．
【详解】
解：“卯”的视图是：
故选：A．
【考点3 立体图形的展开图】
1．（2025·河南郑州·三模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了根据三视图还原几何体，主视图是在物体正面从前向后观察物体得
到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正
面从左向右观察到的图形，据此求解即可．掌握三视图的定义是解题关键．
【详解】解：由几何体的三视图可知，该几何体为：
．
故选：C．
2．（2025·广东广州·二模）如图是某几何体的展开图，该几何体是（
）
A．长方体
B．三棱柱
C．圆锥
D．圆柱
【答案】D
【分析】本题主要考查几何体的展开图，掌握常见的几何体的展开图是解题的关键．根
据几何体的展开图为两个圆和一个矩形，即可得出几何体是圆柱．
【详解】解：∵圆柱的展开图是两个圆和一个矩形，
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∴该几何体是圆柱；
故选：D．
3．（2025·江苏宿迁·三模）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，
那么在原正方体中，与“上”字所在面相对面上的汉字是（
）
A．中
B．高
C．意
D．满
【答案】A
【分析】本题主要考查正方体展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题的关键．
根据正方体展开的特征进行求解即可．
【详解】解：与“上”字所在面相对面上的汉字是“中”，
故选：A．
4．（2025·陕西西安·模拟预测）下列图形中，是正方体表面展开图的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方体展开图的问题，掌握正方体表面的十一种展开图的性质是解
题的关键．
利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】A、折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意；
B、折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意；
C、折叠后能折成正方体，故本项符合题意；
D、折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意；
故选：C．
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5．（24-25 七年级上·陕西西安·阶段练习）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，
已知它的底面形状是正方形且边长为ͷcm，高为ͳʹcm．
(1)制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？
(2)若1 平方米硬纸板价格为5 元，则制作10 个这样的包装盒需花费多少钱？（不考虑
边角损耗）
【答案】(1)290 平方厘米
(2)ͳ2Ͷͷ 元
【分析】本题考查了几何体的表面积，正确的计算长方体的表面积是解题的关键．
（1）根据长方体表面积公式计算即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意得，
ʹ ൈͳʹ ൈͷ ൅ͳʹ ൈͷ ൅ͷ ൈͷ ൅ʹ㜱′（平方厘米）；
答：制作这样的包装盒需要290 平方厘米的硬纸板
（2）1 平方米൅ͳ′′′′ 平方厘米，
ʹ㜱′ ൊͳ′′′′ ൈͷ ൈͳ′ ൅ͳ2Ͷͷ（元），
答：制作10 个这的包装盒需花费ͳ2Ͷͷ 元．
【考点4：平面图形】
1．（24-25 七年级上·吉林长春·开学考试）将下图沿着虚线剪开，会得到（
）
A．
B．
C．
【答案】C
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【分析】本题考查了基本图形，根据图形沿着虚线剪开可知得到直角三角形．
【详解】解：由图可知，得到的图形是直角三角形，
故选C．
2．（24-25 七年级上·四川成都·期末）图中几何体的截面形状为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了截一个几何体，根据图中截图的信息进行作答即可．
【详解】
解：依题意
的截面形状为
，
故选：B
3．（24-25 七年级上·山西太原·阶段练习）在一个正方体的玻璃容器内装了一些水，随意倾
斜该玻璃容器，容器内水面的形状不可能是（
）
A．七边形
B．等腰梯形
C．五边形
D．六边形
【答案】A
【分析】本题考查了截一个几何体，熟练掌握正方体的截面形状是解题的关键．
根据正方体的截面形状，即可解答．
【详解】解：正方体的截面形状可能是：三角形，四边形，五边形，六边形，
∴在一个正方体的玻璃容器内装了一些水，随意倾斜该玻璃容器，容器内水面的形状不
可能是七边形，
故选：A
4．（23-24 七年级上·河南驻马店·阶段练习）数学活动课上，小明用一张边长为ͳ′cm 的正
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方形纸片制作了一副如图1 所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2 所示的“天鹅”
作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（
）
A．
͹ͷ
Ͷ cmʹ
B．͹ͷcmʹ
C．
͹ͷ
ʹ cmʹ
D．ͷ′cmʹ
【答案】C
【分析】本题主要考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各图形边长之间的关系是解题
的关键．根据七巧板的特征求解即可．
【详解】解：根据七巧板的特征可知，图2中小正方形的面积൅
ͳ
ͺܵ
大正方形൅
ͳ
ͺ ൈͳ′ ൈͳ′ ൅
ʹͷ
ʹ cmʹ ，
图2 中阴影三角形的面积൅
ͳ
Ͷܵ
大正方形൅
ͳ
Ͷ ൈͳ′ ൈͳ′ ൅ʹͷ cmʹ ，
׵阴影部分的面积为൅
ʹͷ
ʹ ൅ʹͷ ൅
͹ͷ
ʹ
cmʹ ，
故选：C．
【考点5：直线、射线与线段的相关概念】
1．（24-25 七年级上·甘肃平凉·期末）下列叙述正确的是（
）
A．画直线ܣͳ൅ܤ′ 厘米
B．两点之间的线段叫做这两点之间的距离
C．河道改直可以缩短航程，是因为“经过两点有一条直线，并且只有一条直线”
D．射线ܣܤ与射线ܣܤ是两条不同的射线
【答案】D
【分析】本题主要考查了直线，射线的概念，两点之间的距离，两点之间，线段最短，
根据直线长度不可度量可判断A；根据两点之间的距离的定义和两点之间，线段最短可
判断B、C，根据射线的定义可判断D．
【详解】解：A、直线可以向两边无限延伸，长度不可度量，原说法错误，不符合题意；
B、两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离，原说法错误，不符合题意；
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C、河道改直可以缩短航程，是因为“两点之间，线段最短”，原说法错误，不符合题意；
D、射线ܣܤ与射线ܣܤ是两条不同的射线，原说法正确，符合题意；
故选；D．
2．（24-25 七年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列说法正确的是（
）
A．一条直线就是一个平角
B．射线比直线短
C．过三点可以作一条直线
D．两点间的线段的长度叫两点间的距离
【答案】D
【分析】本题考查了直线，射线，平角的定义以及两点间的距离，熟练掌握知识点是解
题的关键．
根据直线，射线，平角的定义以及两点间的距离的定义分别判断即可．
【详解】解：A、平角是一条射线绕它的端点旋转180 度组成的角，即平角是两条射线，
不是直线，故原说法错误，本选项不符合题意；
B、射线，直线都是可以无限延长的，无法测量长度，故原说法错误，本选项不符合题
意；
C、经过两点可以作一条直线，故原说法错误，本选项不符合题意；
D、两点间的线段的长度叫两点间的距离，原说法正确，符合题意，
故选：D．
3．（24-25 七年级上·湖南娄底·期末）如图，下列语句正确的是（
）
A．ܤ是直线ܣܤ的一个端点
B．射线ܱܤ和射线ܤܱ是同一条射线
C．点ܳ
在射线ܣܤ上
D．点ܱ
在直线ܣܤ上
【答案】D
【分析】本题考查了线段、射线以及直线的定义，以及点与线的位置关系，理解三线的
延伸性是理解三个概念的关键．
根据射线、直线以及线段的定义即可作出判断．
【详解】解：A、点ܤ是线段ܣܤ的一个端点，直线没有端点，故不符合题意；
B、射线ܱܤ和射线ܤܱ的端点不同，不是同一条射线，故不符合题意；
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C、点ܳ
不在射线ܣܤ上，故不符合题意；
D、点ܱ
在直线ܣܤ上，符合题意；
故选：D
4．（2024 七年级上·浙江·专题练习）如图，点P 与射线ܣܤ的位置关系是（）
A．点P 在射线ܣܤ上
B．点P 不在射线ܣܤ上
C．点P 可能在射线ܣܤ上，也可能不在射线ܣܤ上
D．射线ܣܤ可能会经过点P
【答案】B
【分析】本题考查的是直线、射线、线段，理解射线的基本性质是解题关键．根据射线
的性质求解即可．
【详解】解：由图可得点P 在点A 的左侧，
∴点P 不在射线ܣܤ上，
故选：B．
【考点6：作图-直线射线和线段】
1．（24-25 七年级上·陕西延安·期末）已知平面内有点A、B、C、D，按要求作图．
(1)画线段ܣܤ，射线ܥܤ，直线ܣܦ；
(2)在射线ܥܤ上作ܥᦙ൅ʹܣܤ．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了画出直线、射线、线段，作线段，正确掌握相关性质内容是解题的
关键．
（1）根据直线、射线、线段的定义进行作图即可；
（2）先以点ܥ为圆心，以ܣܤ的长为半径画弧交射线ܥܤ于一点ܩ，再以点ܩ为圆心，
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以ܣܤ的长为半径画弧交射线ܥܤ于一点E，即可作答．
【详解】（1）解：线段ܣܤ，射线ܥܤ，直线ܣܦ如图所示：
（2）解：射线ܥܤ上作ܥᦙ൅ʹܣܤ如图所示：
2．（24-25 七年级上·浙江宁波·期末）已知点ܣǡ ǡܤ ܥǡ ܦ（如图），请利用没有刻度的直尺和
．．．．．．．．
圆规
．．按下列要求完成作图，并保留作图痕迹
．．．．．．．．
(1)画线段ܦܤ，射线ܥܤ；
(2)在射线ܥܤ上找一点ᦙ（不与ܤ重合），使得ܥᦙ൅ܥܤ；
(3)在线段ܦܤ上找到一点ܨ，使点ܨ到ܣ、ܥ两点距离之和最小，请在图中标出点ܨ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图一复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最
短，熟练掌握射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键．
（1）根据线段、射线的定义画图即可；
（2）以点ܥ为圆心，ܥܤ的长为半径画弧，交射线ܥܤ于点ᦙ，则点ᦙ即为所求；
（3）结合线段的性质，连接ܣܥ交ܦܤ于点ܨ，则点ܨ即为所求．
【详解】（1）解：如图，线段ܦܤ、射线ܥܤ即为所求，
（2）解：如图，以点ܥ为圆心，ܥܤ的长为半径画弧，交射线ܥܤ于点ᦙ，则点ᦙ即为
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所求，
（3）解：如图，连接ܣܥ交ܦܤ于点ܨ，则点ܨ即为所求，
3．（24-25 七年级上·河南安阳·期末）如图，在同一平面内有四个点ܣ、ܤ、ܥ、ܦ，根据下
面的问题画图．
(1)画线段ܣܤ，直线ܥܤ；
(2)用尺规在直线ܥܤ上作点ᦙ，使点ܤ是ܥᦙ的中点；
(3)在平面内画出点ܱ
，使点ܱ
到ܣ、ܤ、ܥ、ܦ四点的距离和最短．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查画直线，线段，掌握尺规作线段是解题的关键．
（1）根据线段，直线的定义，作图即可；
（2）以B 为圆心，ܥܤ的长为半径画弧，交直线于点ᦙ，即可；
（3）根据两点之间，线段最短，连接ܣܥ，ܦܤ，ܣܥ，ܦܤ的交点即为点ܱ
．
【详解】（1）解：根据线段，直线的定义，作图如图所示；
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（2）解：以ܤ为圆心，ܥܤ的长为半径画弧，交直线ܥܤ于点ᦙǡᦙ点即为所求，如图所
示；
（3）解：如图，根据两点之间，线段最短，连接ܣܥ，ܦܤ，ܣܥ，ܦܤ的交点即为点ܱ
．
【考点7：线段的有关计算】
1．（24-25 七年级上·山西忻州·阶段练习）如图，ܣܦ൅ͳʹ，ܣܥ൅ͺ൅ܦܤ，E，F 分别是ܣܤ，
ܥܦ的中点，则ᦙܨ的长为（
）
A．10
B．8
C．6
D．8.5
【答案】B
【分析】根据已知条件可以求出ܣܤ，ܥܦ的长度，再根据中点的定义，可以求出ܣᦙ，ܨܦ
的值，再由ᦙܨ൅ܣܦܣܣᦙܦܨܣ即可求解．
本题考查的是线段和差定义，中点的性质，利用线段和差表示线段ᦙܨ是解题的关键．
【详解】解：∵ܣܦ൅ͳʹ，ܣܥ൅ͺ൅ܦܤ，
∴ܥܦ൅ܣܦͶ൅ ͺܣ ʹͳ൅ܥܣܣ，ܣͶ൅ ͺܣ ʹͳ൅ܦܤܣܦܣ൅ܤ，
∵E，F 分别是ܣܤ，ܥܦ的中点，
∴ܣᦙ൅
ͳ
ʹ ܣʹ൅ܤ，ܨܦ൅
ͳ
ʹ ܥܦ൅ʹ，
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∴ᦙܨ൅ܣܦܣܣᦙͺ൅ ʹܣ ʹܣ ʹͳ൅ܦܨܣ，
故选：B．
2．（24-25 六年级下·山东威海·阶段练习）如图，C、D 是线段ܣܤ上的两点，ܥܦ൅ͳcm，
点M 是ܣܦ的中点，点N 是ܥܤ的中点，且ܯᦙ൅Ͷ2ͷcm，则ܣ൅ܤ（
）cm
A．8
B．10
C．11
D．12
【答案】B
【分析】本题考查了线段和和与差，中点的定义，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解
答此题的关键；根据中点的定义和线段的和差关系，分析线段关系得ܯᦙ൅
ͳ
ʹ ܣܣܦܥ൅ܤ
ܥܦ，然后代入求值即可．
【详解】解：׶ ܯ是ܣܦ的中点，ᦙ是ܥܤ的中点，
׵ ܣܯ൅ܦܯ൅
ͳ
ʹ ܣܥ൅ܥܦ，ܥᦙ൅ܤᦙ൅
ͳ
ʹܥܤ，
∴ܯᦙ൅ܦܯ൅ܥᦙ൅ܦܥܣ
ͳ
ʹ ܣܥ൅ܥܦ൅൅ܦܥܣܥܤ
ͳ
ʹ ܣܦܥܣܦܥ൅ܤ，
∵ܯᦙ൅Ͷ2ͷcm，ܥܦ൅ͳcm，
∴Ͷ2ͷ ൅
ͳ
ʹ ܣͳܣ ͳ൅ܤ
׵ ܣ൅ܤͶ2ͷ ൅ͳ ൈʹͳ൅ ͳܣ′cm，
故选：B．
3．（24-25 六年级下·山东淄博·期中）如图，点ܥ，ᦙ是线段ܣܤ上两点，点ܦ为线段ܣܤ
的中点，ܣ，൅ܤ，ܥܦ൅ͳ．
(1)求ܥܤ的长；
(2)若ܣᦙǣᦙܥ＝ͳǣ㔮，求ᦙܥ的长．
【答案】(1)ʹ；
(2)㔮
【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段和差、线段中点的性质是解题关键．
（ͳ）根据线段中点的定义得到൅ܦܤ
ͳ
ʹ ܣ൅ܤ㔮，由线段的和差即可得到结论；
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（ʹ）由线段中点的定义得到ܣܦ൅
ͳ
ʹ ܣ൅ܤ㔮，得到ܣܥ൅ܣܦ൅ܥܦ൅Ͷ，根据已知条件即可
得到结论．
【详解】（1）解：׶点ܦ为线段ܣܤ的中点，ܣ，൅ܤ，
׵൅ܦܤ
ͳ
ʹ ܣ൅ܤ㔮，
׶ ܥܦ൅ͳ，
׵൅ܦܥܣܦܤ൅ܥܤ㔮ʹ൅ ͳܣ；
（2）解：׶点ܦ为线段ܣܤ的中点，ܣ，൅ܤ，
׵ ܣܦ൅
ͳ
ʹ ܣ൅ܤ㔮，
׶ ܥܦ൅ͳ，
׵ ܣܥ൅ܣܦ൅ܥܦ൅Ͷ，
׶ ܣᦙǣᦙܥ＝ͳǣ㔮，
׵ ᦙܥ൅
㔮
ͳ൅㔮ൈͶ ൅㔮．
4．
（24-25 七年级上·云南曲靖·期末）如图，已知线段ܣͺͳ൅ܤcm，延长ܣܤ至ܥ，使得൅ܤܣǣܥܤ
ʹǣ㔮．
(1)求ܣܥ的长；
(2)若ܯ是ܣܤ的中点，ᦙ是ܣܥ的中点，求ܯᦙ的长．
【答案】(1)㔮′cm
(2)，cm
【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义；
（1）由ǣʹ൅ܤܣǣܥܤ㔮求解൅ܥܤ
ʹ
㔮ܣ൅ܤ
ʹ
㔮ൈͳͺ ൅ͳʹ cm，再利用线段的和差运算即可得到答
案；
（2）由线段的中点的含义可得ܣܯ൅൅ܯܤ
ͳ
ʹ ܣ൅ܤ㜱 cm，ܣᦙ൅ܥᦙ൅
ͳ
ʹ ܣܥ൅ͳͷ cm，再利
用线段的和差运算可得答案.
【详解】（1）解：∵线段ܣͺͳ൅ܤ cm，ǣʹ൅ܤܣǣܥܤ㔮，
∴൅ܥܤ
ʹ
㔮ܣ൅ܤ
ʹ
㔮ൈͳͺ ൅ͳʹ cm，
∴ܣܥ൅ܣ൅ ʹͳ൅ ͺͳ൅ܥܤ൅ܤ㔮′cm；
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（2）解：∵ܯ是ܣܤ的中点，ᦙ是ܣܥ的中点，
∴ܣܯ൅൅ܯܤ
ͳ
ʹ ܣ൅ܤ㜱 cm，ܣᦙ൅ܥᦙ൅
ͳ
ʹ ܣܥ൅ͳͷ cm，
∴ܯᦙ൅ܣᦙܣ ͷͳ൅ܯܣܣ㜱൅， cm．
5．（24-25 七年级上·江苏宿迁·期末）如图，C 为线段ܣܦ上一点，点B 为ܥܦ的中点，且ܣܦ൅
ͳͷcm，Ͷ൅ܥܤcm．
(1)求ܣܥ的长；
(2)若点E 在直线ܣܦ上，且ᦙܣ൅Ͷcm，求ܤᦙ的长．
【答案】(1)͹cm；
(2)ͳͷcm 或͹cm．
【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，线段的中点定义，
两点间的距离是解题的关键．
（1）先利用线段的中点定义可得ܥܦ൅ͺcm，然后再根据线段的和差进行计算，即可得出
答案；
（2）分两种情况：①当点E 在线段ܥܣ的延长线上时；②当点E 在线段ܣܥ上时；然后分
别根据线段的和差进行计算即可．
【详解】（1）解：׶点B 为ܥܦ的中点，Ͷ൅ܥܤcm，
׵ ܥܦ൅ʹʹ൅ܥܤൈͶ ൅ͺcm，
׶ ܣܦ൅ͳͷcm，
׵ ܣܥ൅ܣܦ͹൅ ͺܣ ͷͳ൅ܦܥܣcm；
（2）解：分两种情况：
①如图所示，当点E 在线段ܥܣ的延长线上时，
׶ ᦙܣ൅Ͷcm，ܣܥ൅͹cm，൅ܥܤ
Ͷcm，
׵ܤᦙ൅ᦙܣ൅ܣܥ൅ͷͳ൅ Ͷ൅ ͹൅ Ͷ൅ܥܤcm
②如图所示，当点E 在线段AC 上时，
׶ ᦙܣ൅Ͷcm，ܣܥ൅͹cm，
׵ ܥᦙ൅ܣܥܣᦙܣ൅͹൅ Ͷܣ㔮cm，
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׶Ͷ൅ܥܤcm，
׵ܤᦙ൅ܥᦙ൅൅ܥܤ㔮൅Ͷ ൅͹cm，
综上所述，ܤᦙ的长为ͳͷcm 或͹cm．
【考点8：钟面角】
1．（2025 八年级下·全国·专题练习）从ͺ：ͷͷ 到㜱：ͳͷ，钟表的分针转动的角度是（
）
A．ͳʹ′ι
B．ͳͷ′ι
C．ͳʹι
D．ͳ′ι
【答案】A
【分析】本题主要考查了钟面角，先求出分针转动的时间，再乘以分钟每分钟转动的角
度即可得到答案．
【详解】解：，′ͷͳ൅ ͷͷܣൈ
㔮，′ι
，′ ൅ͳʹ′ι，
∴从ͺ：ͷͷ 到㜱：ͳͷ，钟表的分针转动的角度是ͳʹ′ι，
故选：A．
2．（24-25 六年级下·山东烟台·期中）钟表盘上指示的时间是8 时30 分，此刻时针与分针
之间的夹角为（
）
A．，′ι
B．͹′ι
C．͹ͷι
D．ͺ′ι
【答案】C
【分析】本题考查钟面角，解答本题的关键是明确钟面角的特点，求出相应的角的度数．
根据钟表的特点，可以计算出钟表上显示8 时30 分时时针与分针的夹角的度数．
【详解】解：当钟表上显示8 时30 分时，分针指着6，时针处于8 和9 之间，走了8
到9 之间的
ͳ
ʹ，由钟表的特点可知，每个大格是㔮′ι，如1 到2，2 到3 都是㔮′ι，
故钟表上显示8 时30 分，则此刻时针与分针的夹角的度数为：ʹ ൈ㔮′ι ൅㔮′ι ൈ
ͳ
ʹ ൅͹ͷι，
故选：C．
3．（24-25 七年级上·广东茂名·期末）钟表9 时30 分时，时针与分针所成的较小角的度数
为（
）
A．㜱′ל
B．ͳ′ͷל
C．ͳ′ͺל
D．ͳͳͷל
【答案】B
【分析】本题考查了钟面角，根据时钟上一大格是30 度进行计算，即可解答．熟练掌
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握时钟上一大格是30 度是解题的关键．
【详解】解：钟表9 时30 分时，时针与分针在表盘上相差三个半大格，
由题意得：㔮2ͷ ൈ㔮′ι ൅ͳ′ͷι，
׵钟表9 时30 分时，时针与分针所成的较小角的度数为ͳ′ͷι，
故选：B．
4．（24-25 七年级下·湖北咸宁·期中）某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方
式来表示．例如，北偏东，′ι方向45 千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，
时针指向北偏东，′ι的时刻是2 时，那么这个地点就用代码0245 来表示，按这种表示
的方式，南偏西㔮′ι方向66 千米的位置，可用代码表示为
．
【答案】0766
【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解代码的各位数字的实际意义是
解题的关键．根据代码编写要求，第1、2 位数字表示时间，第3、4 位数字表示距离，
再根据南偏西㔮′ι方向方向与͹ǣ′′ 对应，然后写出即可．
【详解】解：׶南偏西㔮′ι方向的时刻是͹ǣ′′，
׵南偏西㔮′ι方向66 千米的位置，可用代码表示为0766．
故答案为：0766．
【考点9：方位角】
1．（24-25 七年级下·山西运城·期中）为推进城乡融合发展，某乡镇要修建一条乡村公路，
如图所示，公路从ܣ地沿着北偏东ͷͷι方向到ܤ地，再从ܤ地沿着南偏东㔮ͷι方向到ܥ
地，然后从ܥ地到ܦ地．已知ܥܦ的方向与ܣܤ的方向一致，则公路从ܥ地到ܦ地修
建的方向为（
）
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A．东偏北ͷͷι
B．北偏东ͷͷι
C．南偏东㔮ͷι
D．北偏西㔮ͷι
【答案】B
【分析】本题考查了与方位角有关的计算题，根据ܥܦ的方向与ܣܤ的方向一致，且公
路从ܣ地沿着北偏东ͷͷι方向到ܤ地，即可作答．
【详解】解：∵ܥܦ的方向与ܣܤ的方向一致，且公路从ܣ地沿着北偏东ͷͷι方向到ܤ
地，
∴公路从ܥ地到ܦ地修建的方向为北偏东ͷͷι，
故选：B
2．（24-25 七年级上·湖北武汉·期末）ܣ，ܤ两个海上观测站的位置如图所示，ܣ在灯塔ܱ
北偏东Ͷ′ι的方向上，סܣܱͳͳ൅ܤ′ι，则ܤ在灯塔ܱ
的（
）
A．南偏东㔮′ι的方向
B．南偏东Ͷ′ι的方向
C．东偏南，′ι的方向
D．东偏南㔮′ι的方向
【答案】A
【分析】本题考查了方位角有关的计算，由根据סͺͳ൅ܦܱܤ′ιܣסܣܱܥܣסܣܱܤ即可求
解；数形结合是解题的关键．
【详解】解：由题意得：סܣܱܥ൅Ͷ′ι，
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∵סܣܱܥ൅Ͷ′ι，סܣܱͳͳ൅ܤ′ι
∴סͺͳ൅ܦܱܤ′ιܣסܣܱܥܣסܣܱܤ൅ͳͺ′ιͶܣ′ιͳͳܣ′ι ൅㔮′ι，
׵B 在灯塔O 的南偏东㔮′ι方向，
故选：A．
3．（24-25 七年级上·福建泉州·期末）在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基
准，描述物体运动的方向．如图，一艘轮船行驶到B 处时，测得小岛ܣǡܥ的方向分别为
北偏西㔮′ι㔮ʹ̵ 和西南方向，则סܣܥܤ的度数是（
）
A．͹ͷι㔮ʹ̵
B．ͳ′Ͷιʹͺ̵
C．ͳ′Ͷι㔮ʹ̵
D．ͳͳͶιʹͺ̵
【答案】B
【分析】本题考查与方向角有关的计算，根据西南方向为南偏西45 度，利用平角的定
义进行求解即可．
【详解】解：由题意，可知：小岛ܥ的方向为南偏西45 度，
∴סܣͺͳ൅ܥܤ′ιͷͶܣιܣ㔮′ι㔮ʹ̵ ൅ͳ′Ͷιʹͺ̵ ；
故选B．
4．（24-25 七年级上·山东日照·期末）如图，甲从点ܱ
出发沿北偏东ͷͷι方向到达点ܣ，乙
从点ܱ
出发沿南偏西㔮′ι方向到达点ܤ，则סܣܱܤ的度数是（
）
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A．㜱ͷι
B．ͳ㔮ͷι
C．ͳͷͷι
D．ͳ͹ͷι
【答案】C
【分析】设正北方向上的一点为G，正东方向上的一点为E，正南方向上一点为点F，
根据题意，得ס൅ܨܱܤ㔮′ι，סܩܱܣ൅ͷͷι，סᦙܱܨ൅㜱′ι，求得סᦙܱܣ൅㔮ͷι，结合סܣܱ൅ܤ
סᦙܱܨ൅סܣܱᦙ൅סͷͷͳ൅ܨܱܤι计算即可．
本题考查了方向角的计算，正确理解方向角是解题的关键．
【详解】设正北方向上的一点为G，正东方向上的一点为E，正南方向上一点为点F，
根据题意，得ס൅ܨܱܤ㔮′ι，סܩܱܣ൅ͷͷι，סᦙܱܨ൅㜱′ι，
סᦙܱܣ൅㔮ͷι，
故סܣܱ൅ܤסᦙܱܨ൅סܣܱᦙ൅סͷͷͳ൅ܨܱܤι，
故选：C．
5．（21-22 八年级下·全国·单元测试）如图，甲从ܣ处出发沿北偏西ʹ′ι方向行走至ܤ处，
又沿南偏西，′ι方向行走至ܥ处，此时再沿与出发时一致的方向行走至ܦ处，则סܦܥܤ
的度数为（
）
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A．ͳ′′ι
B．ͺ′ι
C．ͷ′ι
D．ʹ′ι
【答案】B
【分析】本题主要考查了方向角的定义，根据题意得出סͳ ൅סʹ ൅ʹ′ι，ס㔮൅，′ι是解
题的关键．
直接利用方向角的定义得出סͳ ൅סʹ ൅ʹ′ι，ס㔮൅，′ι，进而利用平行线的性质得出答
案．
【详解】解：如图所示：
，
根据题意可得：סͳ ൅סʹ ൅ʹ′ι，ס㔮൅，′ι，
׶沿南偏西，′ι方向行走至ܥ处，此时再沿与出发时一致的方向行走至ܦ处，
׵ ס，൅ܦܥܤ′ι ൅ʹ′ι ൅ͺ′ι，
故选：B．
【考点10：度分秒换算】
1.（24-25 七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算：，ʹιͶͷ̵ ൅
ι．
【答案】，ʹ2͹ͷ
【分析】本题考查了度分秒的换算，正确掌握ͳι ൅，′̵ ，ͳ̵ ൅，′ԣ是解答本题的关键．把
Ͷͷ̵ 化程度即可．
【详解】解：∵Ͷͷ̵ ൅Ͷͷ ൈ
ͳ
，′ ι ൅′2͹ͷι
∴，ʹιͶͷ̵ ൅，ʹ2͹ͷι．
故答案为：，ʹ2͹ͷ．
2．（24-25 七年级上·吉林长春·期中）比较大小：，ʹιͳͷ̵
，ʹ2ͳͷι．（填“൐”“൏”或“൅”）
【答案】൐
【分析】本题主要考查了角的大小比较，把，ʹιͳͷ̵ 换成用度表示即可得到答案．
【详解】解：，ʹιͳͷ̵ ൅，ʹ2ʹͷι ൐，ʹ2ͳͷι，
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故答案为：൐．
3．（24-25 七年级上·河南郑州·期末）中华秋沙鸭是第三纪冰川期后残存下来的物种，距今
已有一千多万年，属我国一级重点保护动物，全球仅存不足㔮′′′ 只．如图，一只中华
秋沙鸭张开嘴的角度סܣܱܤ为ʹ′2ͳʹι，则ʹ′2ͳʹι ൅
度
分
秒．
【答案】
ʹ′
͹
ͳʹ
【分析】本题考查了角度的换算，掌握各个角度间的进率是解题的关键．根据ͳι ൅，′̵ ，
ͳ̵ ൅，′ԣ求解即可．
【详解】解：׶ ′2ͳʹι ൅͹2ʹ̵ ，′2ʹ̵ ൅ͳʹԣ，
׵ ʹ′2ͳʹι ൅ʹ′ι͹̵ ͳʹԣ，
故答案为：ʹ′，͹，ͳʹ．
【考点11：角平分线的概念有关运算】
1．（2025·甘肃定西·三模）若סܣ൅ʹ′ι，则סܣ的余角为（
）
A．ʹ′ι
B．͹′ι
C．㜱′ι
D．ͳ，′ι
【答案】B
【分析】此题主要考查了余角，正确把握余角的定义是解题关键．余角：如果两个角的
和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
直接利用余角的定义求解即可．
【详解】解：∵סܣ൅ʹ′ι，
∴סܣ的余角为㜱′ιʹܣ′ι ൅͹′ι．
故选：B．
2．（24-25 七年级上·山西大同·期末）已知סͳ ൅ͷ′ι，סʹ 与סͳ 互为余角，则סʹ 的度数是（
）
A．㔮′ι
B．Ͷ′ι
C．ͷ′ι
D．ͳ㔮′ι
【答案】B
【分析】本题主要考查了余角的定义，掌握互余的两个角的和为㜱′ι是解题的关键．
根据余角的定义列式计算即可．
【详解】解：∵סͳ ൅ͷ′ι，סʹ 与סͳ 互为余角，
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∴סʹ ൅㜱′ιܣסͳ ൅Ͷ′ι．
故选B．
3．（24-25 七年级下·广东广州·期中）如图，一块㔮′ι的直角三角板放在一条直线上，若סͳ ൅
ͷͷι，则סʹ ൅
°；
【答案】35
【分析】本题考查平角的性质．由סͳ ൅סʹ ൅㜱′ι ൅ͳͺ′ι，计算可得结论．
【详解】解：由题意得סͳ ൅סʹ ൅㜱′ι ൅ͳͺ′ι，
∵סͳ ൅ͷͷι，
∴סʹ ൅ͳͺ′ιܣ㜱′ιͷͷܣι ൅㔮ͷι，
故答案为：35．
4．
（24-25 七年级上·福建泉州·期末）已知סߙ的度数是ͷͷιͳ㔮̵ ，则סߙ的余角的度数是
．
【答案】㔮ͶιͶ͹̵
【分析】本题考查了余角和补角，角度的计算，熟练掌握余角的定义是解题关键．根据
余角的定义，进行计算即可解答．
【详解】解：∵סߙ൅ͷͷιͳ㔮̵ ，
∴סߙ的余角൅㜱′ιͷͷܣιͳ㔮̵ ൅㔮ͶιͶ͹̵ ，
故答案为：㔮ͶιͶ͹̵ ．
【考点12：余角和补角概念及及性质】
1．（24-25 七年级上·广东广州·期末）一副三角板按如图的方式摆放，则סܦܣܤ的补角的度
数是（
）
A．ͳͷι
B．͹ͷι
C．ͳ㔮ͷι
D．ͳ，ͷι
【答案】D
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【分析】本题考查了三角形板中的角度计算、补角，熟练掌握补角的计算是解题关键．先
利用角的和差可得סͷͳ൅ܦܣܤι，然后利用补角的定义求解即可得．
【详解】解：∵סᦙܣܦ൅Ͷͷι，סܥܣ൅ܤ㔮′ι，
∴ס൅ܦܣܤסᦙܣܦܣסܥܣͷͳ൅ܤι，
∴סܦܣܤ的补角的度数是ͳͺ′ιܣסͷ，ͳ൅ܦܣܤι，
故选：D．
2．（24-25 七年级上·湖南衡阳·期末）已知סߙ൅Ͷͷι㔮′̵ ʹͺԣ，则它的补角为（
）
A．ͳ㔮Ͷι㔮′̵ 㔮ʹԣ
B．ͳ㔮Ͷιʹ㜱̵ 㔮ʹԣ
C．ͳͷͶιʹ㜱̵ 㔮ʹԣ
D．ͶͶιʹ㜱̵ 㔮ʹԣ
【答案】B
【分析】本题主要考查补角及角度的运算，熟练掌握补角的定义及角度的运算是解题的
关键；根据和为ͳͺ′ι的两个角互为补角，及其角度的运算法则，可进行求解．
【详解】解：∵סߙ൅Ͷͷι㔮′̵ ʹͺԣ，
∴סߙ的补角为：
ͳͺ′ιͷͶܣι㔮′̵ ʹͺԣ ൅ͳ㔮Ͷιʹ㜱̵ 㔮ʹԣ；
故选：B．
3．（24-25 七年级下·福建漳州·期中）已知סߙ的补角度数为ͳͶ′ι，则סߙ的度数为
．
【答案】Ͷ′ι/40 度
【分析】本题考查了求一个角的补角，根据互补的两个角的和为ͳͺ′ι计算即可得解．
【详解】解：∵סߙ的补角度数为ͳͶ′ι，
∴סߙ的度数为ͳͺ′ιͶͳܣ′ι ൅Ͷ′ι，
故答案为：Ͷ′ι．
【考点13：角的综合运算】
1．（24-25 七年级上·陕西安康·期末）如图，点O 在直线ܣܤ上，ܱܥ，ܱܦ在直线ܣܤ上方，
且ܱ
ܥ٣ܱ
ܦ．
(1)若ܱ
ᦙ在סܥܱܦ的内部，סܣܱܥ൅ʹͶιǡסܥܱᦙ与סܣܱܥ互余，求סܥܱᦙ的度数；
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(2)若ܱ
ᦙ平分סܦܱܤ，且סܦܱᦙ与סܥܱܤ互补，求סܣܱܥ的度数．
【答案】(1)סܥܱᦙ൅，，ι
(2)סܣܱܥ൅㔮′ι
【分析】本题主要考查了角的和差．熟练掌握角平分线定义，余角、补角定义，角的和
差倍分关系，是解题的关键．
（1）根据סܣܱܥ൅ʹͶι，סܥܱᦙ൅סܣܱܥ൅㜱′ι，即可得סܥܱᦙ；
（2）根据角平分线定义得סܤܱᦙ൅סܦܱᦙ൅
ͳ
ʹ סܦܱܤ，根据סܦܱᦙ、סܣܱܥ都与סܥܱܤ互
补，得סܦܱᦙ൅סܣܱܥ，得סܣܱܥ൅סܦܱᦙ൅סܱܤᦙ，根据סܣܱܥ൅ס൅ܦܱܤ㜱′ι，即得
סܣܱܥ൅㔮′ι．
【详解】（1）解：∵סܣܱܥ൅ʹͶι，סܥܱᦙ൅סܣܱܥ൅㜱′ι，
∴סܥܱᦙ൅，，ι；
（2）解：∵ܱᦙ平分סܦܱܤ，
∴סܤܱᦙ൅סܦܱᦙ൅
ͳ
ʹ סܦܱܤ，
∵סܣܱܥ൅סͺͳ൅ܥܱܤ′ι，且סܦܱᦙ൅סͺͳ൅ܥܱܤ′ι，
∴סܦܱᦙ൅סܣܱܥ，
∴סܣܱܥ൅סܦܱᦙ൅סܤܱᦙ，
∵סܣܱܥ൅סͺͳ൅ܦܱܤ′ιܣסܥܱܦ൅㜱′ι，
∴סܣܱܥ൅㔮′ι．
2．（23-24 六年级下·山东威海·期末）如图，点ܱ
在直线ܣܤ上．
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(1)若סǣܥܱܤסܣܱܥ൅ͳǣ㔮，求סܥܱܤ的度数；
(2)若ܱ
ܦ平分סܥܱܤ，סܦܱᦙ൅㜱′ι，ܱᦙ平分סܣܱܥ吗？为什么？
【答案】(1)Ͷͷι
(2)平分，见解析
【分析】此题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算；
（1）根据题意可得ס൅ܥܱܤ㔮סͺͳ൅ܥܱܤ′ι，即可求解；
（2）根据，ס൅ܦܱܤסܦܱܥ．סܦܱܥ൅סܥܱᦙ൅㜱′ι，得出סܣܱᦙ൅ס൅ܦܱܤ㜱′ι．根据
等角得余角相等，即可求解．
【详解】（1）解：׶ ס൅ܥܱܤסܣܱܥ൅ͳͺ′ι，סǣܥܱܤסܣܱܥ൅ͳǣ㔮，
׵ ס൅ܥܱܤ㔮סͺͳ൅ܥܱܤ′ι．
׵ סͷͶ൅ܥܱܤι．
（2）解：平分．
׶ܱ
ܦ平分סܥܱܤ．
׵ ס൅ܦܱܤסܦܱܥ．
׶ סܦܱܥ൅סܥܱᦙ൅㜱′ι，
׵ סܣܱᦙ൅ס൅ܦܱܤ㜱′ι．
׵ סܣܱᦙ൅סܥܱᦙ．
׵ܱ
ᦙ平分סܣܱܥ．
3．（2023 七年级上·全国·专题练习）如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起．
(1)猜想סܣܱܥ与סܦܱܤ的大小关系，并说明理由；
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(2)求סܣܱܦ൅סܥܱܤ的度数；
(3)若סǣܦܱܤסܣܱܦ൅ʹǣͳͳ，求סܥܱܤ的度数．
【答案】(1)סܣܱܥ൅סܦܱܤ，理由见解析；
(2)סܣܱܦ൅סܥܱܤ的度数为ͳͺ′ι；
(3)סܥܱܤ的度数为͹′ι．
【分析】（1）通过同角的余角相等，即可得出，（2）通过等量代换即可求解，（3）
通过比例关系结合图形列式，即可求解，本题考查了同角或等角的余角相等，解题的关
键是，熟练掌握同角或等角的余角相等的性质，并结合图形，并正确列式求解．
【详解】（1）
解：סܣܱܥ൅סܦܱܤ，
理由是：׶ סܣܱܥ൅סܣܱܣܤס൅ܥܱܤ㜱′ιܣסܥܱܤ，
׶ ס൅ܦܱܤסܦܱܥܣס൅ܥܱܤ㜱′ιܣסܥܱܤ，
׵ סܣܱܥ൅סܦܱܤ；
（2）׶ סܣܱܦ൅ס൅ܥܱܤסܣܱ൅ܤס൅ܦܱܤס൅ܥܱܤסܣܱ൅ܤסܥܱܦ，
׶ סܣܱ൅ܤסܥܱܦ൅㜱′ι，
׵ סܣܱܦ൅סͺͳ൅ܥܱܤ′ι，
故答案为：סܣܱܦ൅סܥܱܤ的度数为ͳͺ′ι；
（3）׶ סǣܦܱܤסܣܱܦ൅ʹǣͳͳ，
׵设סʹ൅ܦܱܤͳ，则סܣܱܦ൅ͳͳͳ，
׶ סܣܱܥ൅סܦܱܤ，
׵ סܣܱܥ൅ʹͳ，
׵ ס൅ܥܱܤסܣܱܦܣסܣܦܱܤסܣܱܥ൅ͳͳͳʹܣͳʹܣͳ ൅͹ͳ，
又סܥܱ൅ܤס൅ܦܱܤ㜱′ι，
׵ ʹͳ ൅͹ͳ ൅㜱′ι，解得：ͳ ൅ͳ′ι，
׵ ס͹൅ܥܱܤͳ ൅͹′ι，
故答案为：סܥܱܤ的度数为͹′ι．
4．（24-25 七年级上·山西大同·期末）如图，点O 是直线ܣܤ上一点，ܱᦙ是סܦܱܤ的平分
线，סܤܱᦙ和סܣܱܨ互为余角．
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(1)求סᦙܱܨ的度数．
(2)比较סܣܱܨ与סܦܱܨ的大小，请说明理由．
【答案】(1)㜱′ι；
(2)סܣܱܨ൅סܦܱܨ，理由见解析．
【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，掌握余角和补角的定义是解题关键．
（1）由余角可得סܤܱᦙ൅סܣܱܨ൅㜱′ι，再结合平角的定义求解即可；
（2）由角平分线的定义得到סܤܱᦙ൅סܦܱᦙ，再根据等角的余角相等，即可得到结论．
【详解】（1）解：因为סܤܱᦙ和סܣܱܨ互为余角，
所以סܤܱᦙ൅סܣܱܨ൅㜱′ι，
又因为סܣܱܨ൅סᦙܱܨ൅סܤܱᦙ൅ͳͺ′ι，
所以סᦙܱܨ൅ͳͺ′ιܣסܤܱᦙ൅סܣܱܨ൅ͳͺ′ιܣ㜱′ι ൅㜱′ι；
（2）解：סܣܱܨ൅סܦܱܨ，
理由：因为ܱ
ᦙ是סܦܱܤ的平分线，
所以סܤܱᦙ൅סܦܱᦙ，
又因为סܤܱᦙ൅סܣܱܨ൅㜱′ι，סᦙܱܨ൅㜱′ι，
所以סܦܱᦙ൅סܦܱܨ൅㜱′ι，
所以סܣܱܨ൅סܦܱܨ．
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