文档文本内容
第03 讲勾股定理的应用
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 勾股定理应用之梯子滑落高度
题型2 勾股定理应用之旗杆高度
题型3 勾股定理应用之小鸟飞行的距离
题型4 勾股定理应用之大树折断前的高度
题型5 勾股定理应用之水杯中的筷子问题
题型6 勾股定理应用之航海问题
题型7 勾股定理应用之河的宽度
题型8 勾股定理应用之台阶上地毯长度
题型9 勾股定理应用之汽车是否超速问题
题型10 勾股定理应用之是否受台风影响问题
题型11 勾股定理应用之选址距离相等问题
题型12 勾股定理应用之几何图形中最短路径问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
勾股定理、最短路径、
化曲为直、建模、构造
直角三角形。
1. 能运用勾股定理解决实际问题，如求线段长度、距离、高度等。
2. 掌握立体图形（如长方体、圆柱）表面最短路径问题的转化方法，体会“化
曲为直”思想。
3. 能根据实际问题构造直角三角形模型，正确建立方程求解。
4. 培养空间想象能力和数学建模意识，感受勾股定理在生活中的广泛应用。
学习重点：运用勾股定理解决实际问题，特别是立体图形表面的最短路径问题。
学习难点：将实际问题转化为数学模型（构造直角三角形），以及立体图形中“展开”与“化曲为直”
的转化方法。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 勾股定理应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在
具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第
三边的平方比较而得到错误的结论.
【易错提醒】
注意单位统一，分清直角边与斜边。无图时需分类讨论（如高在形内或形外），结果保留根号或按要求近
似。
即时即练1．《西江月》中描述：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻
译成现代文为：如图，秋千OA在静止的时候，踏板离地高一尺（
1
AC 尺），将秋千往前推进两步（
10
FB
尺），此时踏板升高离地五尺（
5
BD
尺），求秋千绳索OB 的长度．
【答案】秋千绳索OB 的长为14.5尺
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查的是勾股定理的应用；设秋千绳索OB 的长为x 尺，结合题意可得OA
OB
x
，
5
FC
BD
，
1 5
4
OF
OA
AC
FC
x
x
，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设秋千绳索OB 的长为x 尺，
根据题意，得OA
OB
x
，
5
FC
BD
，
1 5
4
OF
OA
AC
FC
x
x
，
在Rt
OFB
△
中，
2
2
2
90 ,
OFB
OF
FB
OB
，
所以，
2
2
2
4
10
x
x
，
解得，
14.5
x
，
所以，秋千绳索OB 的长为14.5尺．
2．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段MN 上限速60 千米小时，为了检测车辆是
否超速，在公路MN 旁设立了观测点C，从观测点C 测得一小车从点A 到达点B 行驶了5 秒，已知
60
CBN
，
200
BC
米，
100 6
AC
米．
(1)请求出观测点C 到公路MN 的距离；
(2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：
2
1.41
，
3
1.73
）
【答案】(1)观测点C 到公路MN 的距离为100 3 米
(2)此车没有超速，理由见解析
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)、含30 度角的直角三角形
【分析】此题主要考查了30度的角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解
决问题的关键．
（1）过点C 作CH
MN
于H，先求出BH 的长，再用勾股定理求解即可；
（2）先求出AH 的长，再求出AB 的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点C 作CH
MN
于H，
在Rt
BCH
△
中，
60
CBN
，
30
BCH
．
200
BC
米
1
100
2
BH
BC
（米）
2
2
100 3
CH
BC
BH
（米）
即观测点C 到公路MN 的距离为100 3 （米）．
（2）解：
100 6
AC
米，
90
CHA
2
2
100 3
AH
CA
CH
米
100 3
100
73
AB
AH
BH
米
∴车速为
73
73
5
5
（米/秒）
60
千米/小时
50
3
米/秒，73
50
5
3
∴此车没有超速．
知识点02
平面展开图-最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾
股定理求解
【易错提醒】
找准展开方式，画出正确平面图，连直线。注意分类讨论不同路线，比较后取最小值，勿忽略重合点或漏
情况。
即时即练1．综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为5 、3 、1，A
和B 是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A 点处有一只蚂蚁要到B 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B 点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接AB ，经过计算得到
AB 长度即为最短路程，则AB
；（直接写出答案）
【变式探究】
（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48 厘米，高是7 厘米，一只蚂蚁从点A 出发
沿着玻璃杯的侧面到点B ，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高10厘米，底面周长为24 厘米，在杯内壁离杯底2 厘米的点A 处有一滴
蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿1厘米，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A
处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）13；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是25 厘米；（3）蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所爬行的最
短路程是15厘米
【知识点】线段问题(轴对称综合题)、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性
质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作B 关于EF 的对称点B，作B D
AE
，交AE 延长线于点D ，
连接AB，根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）由题意得：
5
BC
，
1 3
3
12
AC
，
2
2
2
2
12
5
13
AB
AC
BC
，
故答案为：13；
（2）将圆柱体侧面展开，如下图：
由题意得：
1
48
24cm
2
AC
，
7cm
BC
，
2
2
2
2
24
7
25cm
AB
AC
BC
，
该蚂蚁爬行的最短路程25 厘米；
（3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作B 关于EF 的对称点B，作B D
AE
，交AE 延长线于点D ，连接AB，
由题意得：
1
1cm
2
DE
BB
，
10
2
8cm
AE
，
8 1
9cm
AD
AE
DE
，
底面周长为24cm ，
1
24
12cm
2
B D
，
2
2
2
2
9
12
15cm
AB
AD
B D
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所爬行的最短路程是
15
AB
厘米．
题型1 勾股定理应用之梯子滑落高度
【例1】如图，一架长25m 的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A 处时，它的底端位于B 处，底
端与墙角O 处的距离为7m ．
(1)求这架云梯顶端A 处的高度；
(2)当这架云梯的顶端下滑4m 时，底端也沿OB 的向外移动4m 吗?
【答案】(1) 24m ；
(2)底端沿OB 向外移动距离不是4m
【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可；
（2）利用勾股定理求出B O
的长，再利用线段的和差关系进行求解即可．
【详解】（1）解：在Rt ABO
中，由勾股定理得
2
2
2
BO
AO
AB
，
即
2
2
2
7
25
AO
，
∴
24m
AO
，
答：这架云梯的顶端A 处的高度是24m ；
（2）解：∵梯子的顶端A 下滑了4m至点A，
∴
24
4
20 m
A O
AO
AA
，
在Rt A B O
中，由勾股定理得
2
2
2
A O
B O
A B
，
即
2
2
2
20
25
B O
，
∴
15m
B O
，
∴
15
7
8 m
B B
B O
BO
底端沿OB 向外移动了8m ，不是4m ．
【例2】物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A ，一端拴
在滑块B 上，另一端拴在物体C 上，滑块B 放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B 的左右滑动来调节物体
C 的升降，实验初始状态如图1 所示，物体C 静止在直轨道上，物体C 到滑块B 的水平距离是6dm ，物体C
到定滑轮A 的垂直距离是8dm ．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略
不计）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，若滑块B 向左滑动了9dm，求此时物体C 升高了多少dm ？
【答案】(1)18dm
(2)7dm
【分析】本题主要考查了勾股定理在实际中的应用，正确理解勾股定理是解题的关键．
（1）根据题意，可知
90
ACB
，利用勾股定理
2
2
2
AB
AC
BC
即可解答；
（2）结合题意得出
1
9dm
BB
，则
1
1
B C
BB
BC
，再利用勾股定理
2
2
2
1
1
AB
AC
B C
，算出
1
AB 的长，
1
AB
AB
的大小即为物体C 升高的高度．
【详解】（1）解：由题可知
90
ACB
，
6dm
BC
，
8dm
AC
，
2
2
2
2
6
8
10dm
AB
AC
BC
绳长
10
8
18dm
AB
AC
，
答：绳子的总长度为18dm ．
（2）解：由题可知，滑块向左是水平滑动，则
1
9dm
BB
，
1
1
9
6
15dm
BC
BB
BC
，
在直角三角形
1
AB C
中，
2
2
2
2
1
1
8
15
17dm
AB
AC
B C
，
1
18 17
1dm
AC
，
物体C 升高8
1
7dm
，
答：物体C 升高了7dm．
【技巧归纳】
1. 定不变量：梯子长度不变，墙与地面垂直。
2. 两次勾股：滑落前、后分别用a2+b2=c2 列式。
3. 设变量：设滑动距离，列方程求解，注意高度非负。
【变式1-1】消防车上的云梯示意图如图1 所示，云梯最多只能伸长到25 米，消防车高4 米，如图2，某栋
楼发生火灾，在这栋楼的B 处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A
与楼房的距离OA为15 米．
(1)求B 处与地面的距离．
(2)完成B 处的救援后，消防员发现在B 处的上方4 米的D 处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小
孩，消防车从A 处向着火的楼房靠近的距离AC 为多少米？
【答案】(1)点B 处与地面的距离为24 米
(2)消防车从A 处向着火的楼房靠近的距离AC 为8 米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确确定每个线段的长度．
（1）由题意可得，
4
OE
米，
25
AB
米，
15
OA
米，利用勾股定理求得OB ，即可求解；
（2）根据题意可得，OD
OB
BD
，
25
CD
米，由勾股定理可得
2
2
OC
CD
OD
，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，
4
OE
米，
25
AB
米，
15
OA
米，
由勾股定理可得，
2
2
20
OB
AB
OA
（米），
20
4
24
BE
OB
OE
（米），
则点B 处与地面的距离为24 米；
（2）解：由题意可得，
20
4
24
OD
OB
BD
（米），
25
CD
米，
根据勾股定理可得，
2
2
7
OC
CD
OD
（米），
∴
15
7
8
AC
OA
OC
（米），
则消防车从A 处向着火的楼房靠近的距离AC 为8 米．
【变式1-2】按要求完成以下问题
(1)教材呈现：如图1，一架长为2.5m 的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A 处，
底端位于地面的点B 处，点B 到墙面的距离BO 为0.7m．如果将梯子底端沿OB 向外移动0.8m ，那么梯子顶
端会沿墙AO 下滑多少m？求出梯子会沿墙AO 下滑的距离AC 的长度；
(2)解决问题：如图2，某物流公司仓库内有一座17m的货架AB ，货架顶部安装一个高5m 的装卸平台AC ，
现需对该平台进行设备检修．一辆高2m的叉车在货架前点M 处，展开25m的升降臂（最长25m）刚好接
触到装卸平台底部A 点．叉车向货架方向行驶多少m后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C
点？请通过计算后说明理由．
【答案】(1)答：梯子会沿墙AO 下滑的距离AC 的长度为0.4m ．
(2)叉车向货架方向行驶5m后,其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C 点．
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用，进行解答，即可．
（1）根据题意，可得，
2.5m
AB
，
0.7m
BO
，根据勾股定理求出AO ，根据梯子底端沿OB 向外移动0.8m ，
则
0.7
0.8
1.5
OD
OB
BD
，根据勾股定理求出CO，即可求出AC ；
（2）过点D 作DE
AB
于点E ，由题意可得，
25m
CD
AD
，
17m
AB
，
5m
AC
，根据勾股定理求
出ED；ED，根据DD
ED
ED
，即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得，
2.5m
AB
，
0.7m
BO
，
∴
2
2
2
2
2.5
0.7
2.4 m
OA
AB
OB
∵梯子底端沿OB 向外移动0.8m ，
∴
0.7
0.8
1.5 m
OD
OB
BD
，
∴
2
2
2
2
2.5
1.5
2 m
CO
AB
OD
，
∴
2.4
2
0.4 m
AC
OA
OC
．
答：梯子会沿墙AO 下滑的距离AC 的长度为0.4m．
（2）解：叉车向货架方向行驶5m 后,其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C 点．理由如下：
过点D 作DE
AB
于点E ，
由题意可得，
25m
CD
AD
，
17m
AB
，
5m
AC
，
叉车高2m，
∴
2m
BE
，
∴
17
2
15m
AE
AB
BE
，
∴
2
2
2
2
25
15
20m
ED
AD
AE
，
∵
15
5
20m
CE
AE
AC
，
∴
2
2
2
2
25
20
15m
ED
CD
CE
，
∴
20m 15m
5m
DD
ED
ED
，
∴叉车向货架方向行驶5m 后,其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C 点．
题型2 勾股定理应用之旗杆高度
【例3】八年2 班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆AB 的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比
旗杆多1 米，当他们把绳子拉直，绳子末端C 刚好接触地面时，此时绳子末端C 与旗杆的距离为5 米，求
旗杆AB 的高度．
【答案】12 米
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
将旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
【详解】解：设旗杆的高度为x 米，则绳子的长度为(
1)
x
米(
0)
x
．
在Rt
ABC
△
中，
90
B
Ð
=
°
根据勾股定理得
2
2
2
AB
BC
AC
．
2
2
2
5
(
1)
x
x
解得：
12
x
答：旗杆的高度为12 米．
【例4】小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度CE ，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD 的长为15 米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25 米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度CE ；
(2)如果小明想风筝沿CD 方向下降12 米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1) 21.6 米
(2)他应该往回收线8 米
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用：
（1）根据勾股定理求出CD 的长，即可求解；
（2）设风筝沿CD 方向下降12 米后到达点F，连接BF ，根据勾股定理求出BF 的长，即可求解．
【详解】（1）解：由勾股定理得，
2
2
2
2
25
15
20
CD
BC
BD
米，
∴
20 1.6
21.6
CE
CD
DE
米；
（2）解：如图，设风筝沿CD方向下降12 米后到达点F，连接BF ，
由勾股定理得：
2
2
2
2
20 12
15
17
BF
DF
BD
米，
∵25 17
8
米，
∴他应该往回收线8 米．
【技巧归纳】
1. 两次勾股：绳索拉直前后构成两直角三角形，绳长不变为公共斜边。
2. 设高与水平距：设旗杆高h，水平距离d，分别列方程。
3. 联立消元：解方程组求h。
【变式2-1】学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB 的高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3 米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离CD 为3 米，到旗杆的距离CE 为10 米（如
图2）．
根据以上信息，求旗杆AB 的高度．
【答案】25 m
3
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的
关键．设AB
x
米，在Rt ACE
中根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设AB
x
米，根据题意得：
在Rt ACE
中，
2
2
2
AC
AE
CE
，
即：
2
2
2
3
3
10
x
x
，
解得：
25.
3
x
答：旗杆AB 的高度为25
3 米．
【变式2-2】学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB 的高度．小华测得从旗
杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2 米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直
时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1 米，到旗杆的距离CE 为9 米（如图2）．
(1)设AB 长为x 米，绳子为_____米，AE 为_____米（用x 的代数式表示）；
(2)请你求出旗杆的高度AB ．
【答案】(1)
2
x
；
1
x
(2)13米
【知识点】列代数式、求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．
（1）根据题意可得
2
AC
AB
，
1
AE
AB
，将AB
x
代入即可得解；
（2）结合（1）再根据
1
CD ，
9
CE
，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出旗杆的高度．
【详解】（1）解：根据题意得：
2
AC
AB
，
1
AE
AB
，
设AB 长为x 米，则绳子长为
2
x
米，AE 的长度为
1
x
米，
故答案为：
2
x
；
1
x
；
（2）解：在Rt ACE
中，AC
x
米，
1
AE
x
米，
9
CE
米，
由勾股定理可得，
2
2
2
1
9
2
x
x
，
解得：
13
x
．
答：旗杆的高度AB 为13米．
题型3 勾股定理应用之小鸟飞行的距离
【例5】如图，树根下有一个蛇洞，树高15m ，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距
离还有3 倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处
扑击才能恰好抓到蛇．
【答案】鹰向离树20m的地方扑击才能恰好抓到蛇
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
【分析】此题考查了勾股定理的应用，设CB 的长为m
x
，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】如答图，
设点D 处为树顶，鹰向点B 处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得DB
AB
，
设CB 的长为m
x
，则
2
2
2
15
15 3
x
x
，
解得
20
x =
．
答：鹰向离树20m的地方扑击才能恰好抓到蛇．
【例6】如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高20m，两杆相距50m．现两杆上各有一只
鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E 处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只
鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E 处的距离各是多少？
【答案】30m和20m
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．由题意可得：AE
DE
，
,
AB
BC DC
BC
，那么
2
2
2
2
AB
BE
EC
DC
，代入数据，解方程即可．
【详解】解：由题意可得：AE
DE
，
,
AB
BC DC
BC
，
则
2
2
2
2
AB
BE
EC
DC
，
故
2
2
2
2
20
50
30
BE
BE
，
解得：
30
BE
，
则
50
30
20
EC
（m），
答：两杆底部距小鱼E 处的距离分别是30m和20m．
【技巧归纳】
1. 构造直角三角形：以起点与终点横向、纵向距离为直角边。
2. 勾股求斜边：飞行最短距离=
∆�2 + ∆�2。
3. 注意单位：统一长度单位，方向变化需分段计算。
【变式3-1】如图，小明操纵无人机从树尖A 飞向旗杆顶端C ，已知树高5m ，旗杆高21m ，树与旗杆之间
的水平距离为12m ，则无人机飞行的最短距离为多少？
【答案】20m
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，作AE
CD
于E ，连接AC ，由题意得：
5m
DE
AB
，
12m
AE
BD
，
90
AEC
，求出
16m
CE
，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关
键．
【详解】解：如图，作AE
CD
于E ，连接AC ，
，
由题意得：
5m
DE
AB
，
12m
AE
BD
，
90
AEC
，
21 5
16m
CE
CD
DE
，
2
2
2
2
12
16
20m
AC
AE
CE
．
即：无人机飞行的最短距离为20m．
【变式3-2】如图1，有两棵树，一棵高18米（
18
AB
米），另一棵高2 米（
2
CD
米），两树相距12米（
12
BD
米）．
(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图2 ，台风过后，高18米的树AB 在点M 处折断，大树顶部落在点D 处，则树AB 折断处M 距离地面
多少米？
【答案】(1) 20 米
(2)5 米
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)、求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股
定理可将两点之间的距离求出；
（2）由勾股定理求出BM 的长，即可求解．
【详解】（1）解：两棵树的高度差为18
2
16
（米），两树相距12米（
12
BD
米），
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离
2
2
16
12
20
（米），
答：至少飞了20 米；
（2）解：由勾股定理得：
2
2
2
BM
AB
AM
，
2
2
2
12
18
BM
BM
，
解得：
5
BM
，
答：树AB 折断处M 距离地面5 米．
题型4 勾股定理应用之大树折断前的高度
【例7】如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6 米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8 米处，大树
折断之前有多高？
【答案】大树折断前高16 米
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题的关键．
先利用勾股定理计算出AB 的长，然后再计算出AC
AB
即可得到大树折断前的高度．
【详解】解：∵
6
AC
米，
8
BC 米，
根据勾股定理可得
2
2
2
2
6
8
10
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
（米），
∴
6
10
16
AC
AB
（米）．
答：大树折断前高16 米．
【例8】如图，一根直立的旗杆高8m ，因刮大风旗杆从点C 处折断，顶部B 着地且离旗杆底部A 的距离为4 m ．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)在折断点C 的下方0.5 m 的点P 处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P 处吹断，那么行人在距离
旗杆底部5 米处是否有被砸到的风险？
【答案】(1)3 m
(2)行人在距离旗杆底部5 m 处没有被砸伤的风险
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）设AC 长为
m
x
，则BC 长
8
m
x
，由勾股定理可得
2
2
2
4
8
x
x
，解方程即可得到答案；
（2）由题意可得
2.5 m
AP
，则
5.5 m
PB
．利用勾股定理求出AB的长即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，
8 m
AC
BC
，
90
A
，
设AC 长为
m
x
，则BC 长
8
m
x
，
在Rt
ACB
△
中，由勾股定理可得，
2
2
2
AB
AC
BC
∴
2
2
2
4
8
x
x
，
解得
3
x
，
∴
3m
AC
；
答：旗杆距地面3 m 处折断．
（2）解：如图，
由题意可得
3
0.5
2.5 m
AP
，
∴
8
2.5
5.5 m
PB
．
在
'
Rt APB
中，
'2
2
2
2
5.5
2.5
24
2 6 m
AB
FB
AP
，
∵24
25
，
∴2 6
5
，
答：行人在距离旗杆底部5 m处没有被砸伤的风险．
【技巧归纳】
1. 两次勾股：折断后树梢触地，树干直立部分、折断斜段与地面成直角三角形。
2. 设未知数：设折断处高x，斜段长y，则x+y 为原高。
3. 列方程：勾股定理解y，再求原高。
【变式4-1】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破
坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点A 处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部C 处，
已知点A 距离甲树的根部B 处AB 为4 米，甲、乙两树根部的距离BC 为13米，两棵树的株距（两棵树的水
平距离）CD 为12米，且点A ，B ，D 在一条直线上，AD
CD
，求甲树原来的高度．
【答案】甲树原来的高度为19米
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】问题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理计算即可．
【详解】解：AD
CD
，
90
ADC
，
13
BC
米，
12
CD
米，
2
2
5
BD
BC
CD
（米），
4
5
9
AD
AB
BD
（米），
2
2
15
AC
AD
CD
（米），
甲树原来的高度为
15
4
19
AC
AB
（米），
答：甲树原来的高度为19米.
【变式4-2】如图，在倾斜角为45（即
45
NMP
）的山坡MN 上有一棵树AB ，由于大风，该树从点E
处折断，其树顶B 恰好落在另一棵树CD 的根部C 处，已知
1m
AE
，
18m
AC =
．
(1)求这两棵树的水平距离CF ；
(2)求树AB 的高度．
【答案】(1)3m
(2)6m
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】（1）根据平行的性质，证得AF
CF
，根据勾股定理即可求得．
（2）在Rt CEF
中，根据勾股定理即可解得．
【详解】（1）由题可知MP
CF
∥
，
90
F
∴
45
ACF
NMP
Ð
= Ð
=
°，
∴AF
CF
在Rt ACF
中，
2
2
2
CF
AF
AC
，
∴
2
2
18
CF =
，
∴
3
AF
CF
（m）．
即这两棵树的水平距离为3m．
（2）在Rt CEF
中，
2
2
2
CE
CF
EF
=
+
∴
2
2
3
4
5
CE
，
∴
5 1
6
AB
AE
CE
=
+
=
+ =
（m）．
即树AB 的高度为6m．
题型5 勾股定理应用之水杯中的筷子问题
【例9】如图，一根长为18cm 的牙刷置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面
的长度cm
h
，则h 的取值范围是
．
【答案】5
6
h
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．
根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：设牙刷的长度为cm
x
，
∵将一根长为18cm 的牙刷，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，
∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，
12
x
，
最长时等于牙刷斜边长度是：
2
2
12
5
13
x
，
∴h 的取值范围是：18 13
18 12
h
，
即5
6
h
．
故答案为：5
6
h
．
【例10】如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长
为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是
cm．
【答案】5
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，当铅笔不垂直于底面放置
时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度．
【详解】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：
2
2
9
12
15 cm
，
则铅笔在笔筒外部分的最小长度为
20
15
5 cm
；
故答案为：5．
【技巧归纳】
1. 两次勾股：筷子竖直、倾斜时分别用勾股定理，杯深、杯径为直角边。
2. 设未知数：设筷长L，露长d，水杯深h，杯底半径r。
3. 列方程：L-d=
�−ℎ2 + 2�2等，解出相关量。
【变式5-1】如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为4cm 3cm 12cm
，
，
，现将一根长为23cm 的筷子插
入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分
cm
h（
）的取值范围是
．
【答案】10
11
h
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出收纳盒里面筷子的最大长度是解题的关键．求出
筷子露在收纳盒外的最长长度和最短长度，即可得出结论．
【详解】解：当筷子放进收纳盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长
23 12
11(cm)
；
当筷子放进收纳盒里露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线长
2
2
4
3
5cm
，高为12cm ，
由勾股定理得：收纳盒里面筷子长度
2
2
5
12
13(cm)
，
筷子露在收纳盒外的长度最短
23 13
10(cm)
；
筷子露在盒外的部分(cm)
h
的取值范围是10
11
h
，
故答案为：10
11
h
．
【变式5-2】如图，将一根长15cm 的筷子，置于底面直径为6cm，高8cm 的圆柱形水杯中，则筷子露在杯
子外面的最短长度是
cm
【答案】5
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，构造出直角三角形即可求解．
【详解】解：筷子露在杯子外面的最短长度即筷子在杯子里面的长度最长，即筷子，圆柱的高，圆柱的直
径正好构成直角三角形．如下：
∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线断的长度，即
2
2
6
8
10cm
，
∴筷子露在杯子外面的最短长度是15 10
5cm
．
故答案为:5.
题型6 勾股定理应用之航海问题
【例11】有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达B 点后熄灭发动机，在离水面高度为5m 的岸上，工作人员用绳
子牵引靠岸，开始时绳子BC 的长为13m ．（假设绳子是直的，结果保留根号）
(1)若工作人员以1.5m/s 的速度收绳．4s后船移动到点D 的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？
(2)若游轮熄灭发动机后保持0.8m/s 的速度匀速靠岸，10s 后船移动到E 点，工作人员手中的绳子被收上来多
少米？
【答案】(1)此时游轮距离岸边还有2 6 米
(2)工作人员手中的绳子被收上来
13
41
米
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理解应用题，读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键．
（1）根据题意，求出绳子缩短的长度，进而在Rt
ACD
△
中，由勾股定理求解即可得到答案；
（2）根据题意，先求出BE ，在Rt
ABC
△
中和Rt ACE
中由勾股定理求出线段长，再由
13
41 m
BC
CE
即可得到答案
【详解】（1）解：如图所示：
则
13m
BC
，
5m
AC
，
若工作人员以1.5m/s 的速度收绳，4s后船移动到点D 的位置，则绳子缩短了1.5 4
6m
，
13
6
7m
CD
，
在Rt
ACD
△
中，
90
BAC
，
5m
AC
，
7m
CD
，则由勾股定理可得
2
2
2 6m
AD
CD
AC
，
答：此时游轮距离岸边还有2 6 米；
（2）解：若游轮熄灭发动机后保持0.8m/s 的速度匀速靠岸，10s 后船移动到E 点，则
0.8 10
8m
BE
，
在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
，
5m
AC
，
13m
BC
，则由勾股定理可得
2
2
12m
AB
CB
AC
，
12
8
4m
AE
AB
BE
，
在Rt ACE
中，
90
CAE
，
5m
AC
，
4m
AE
，则由勾股定理可得
2
2
41m
CE
AE
AC
，
工作人员手中的绳子被收上来
13
41 m
BC
CE
米．
【例12】如图，一艘轮船先从A 地出发行驶到B 地，又从B 地行驶到C 地，B 地在A 地南偏西的方向，距
离A 地80 海里，C 地在B 地北偏西的方向，距离B 地100 海里．
(1)表示出B 地相对于C 地的位置；
(2)求A，C 两地之间的距离．
【答案】(1)B 地在C 地南偏东50的方向，距离C 地100 海里
(2) 20 41海里
【知识点】方向角的表示、解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了方向角，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）结合图形观察即可求解；
（2）判断
90
ABC
，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，
∵C 地在B 地北偏西50的方向，距离B 地100 海里
∴B 地在C 地南偏东50的方向，距离C 地100 海里；
（2）解：根据题意，得
90
ABC
，
∴
2
2
2
2
80
100
20 41
AC
AB
BC
海里，
即A，C 两地之间的距离20 41海里．
【技巧归纳】
1. 画方位图：标注航向、航速、时间，得位移线段。
2. 构直角三角形：南北、东西方向距离为直角边，实际位移为斜边。
3. 勾股求距离：c2 = a2 + b2，注意单位与时间换算。
【变式6-1】如图，一艘轮船由A 港口沿着北偏东60的方向航行50km 到达B 港口，然后再沿北偏西30方
向航行50km 到达C 港口．
(1)求A ，C 两港口之间的距离；（结果保留根号）
(2) A 港口在C 港口的什么方向上？
【答案】(1)50 2km
(2) A 港口在C 港口的南偏西15的方向上
【知识点】与方向角有关的计算题、解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用和方向角；
（1）由题意得
90
ABC
，由勾股定理，从而得出AC 的长；
（2）由（1）可得
45
BAC
，求出
MAC
即可．
【详解】（1）∵
60
MAB
，
∴
30
BAN
．
∵AN
QB
∥
，
∴
30
QBA
BAN
．
∵
30
PBC
，
∴
60
CBQ
．
∴
90
ABC
QBA
CBQ
．
根据勾股定理，知
2
2
2
2
50
50
50 2(km)
AC
AB
BC
．
答：A、C 两港之间的距离是50 2km；
（2）由（1）知，
ABC
是等腰直角三角形，且
90
ABC
，
∴
45
BAC
∴
90
90
45
30
15
MAC
BAC
BAN
,
∴A 港口在C 港口的南偏西15的方向上．
【变式6-2】钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘
海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口P 出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航
行6 海里，乙船每小时航行8 海里．
(1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于Q 、R 处（图1），且相距10 海里，如果知道甲船沿北偏东72方
向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由．
(2)若甲船沿北偏东60方向航行（图2），从港口P 离开经过两个小时后位于点C 处，此时船上有名乘客需
要以最快的速度回到PA 海岸线上，若他从C 处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45 海里，他能在14 分钟
内回到海岸线吗？请说明理由．（参考数据：
3
1.7
）
【答案】(1)乙船沿南偏东18方向航行，理由见解析
(2)他能在14 分钟内到海岸线，理由见解析
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出PQR
是直角三角形进行解答．
（1）根据勾股定理的逆定理得出PQR
是直角三角形，进而解答即可；
（2）作CD
AB
于D，根据含30 度角的直角三角形的性质和勾股定理求得CD的长，进一步计算得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：
70
6 1
6
APQ
PQ
，
（海里），
8 1
8
PR
（海里），
在PQR
中，
∵
2
2
2
2
2
2
6
8
100
10
100
PQ
PR
QR
，
，
∴
2
2
2
PQ
PR
QR
，
∴PQR
是直角三角形，且
90
QPR
，
∴
180
180
72
90
18
BPR
APQ
QRP
，
∴乙船沿南偏东18方向航行；
（2）过点C 作CD
AB
于D，
由题知
60
CPD
，则
30
2 6
12
C
PC
，
（海里），
∴
1
6
2
PD
PC
海里，
∴
2
2
12
6
6 3
10.2
CD
（海里），
14
45
10.5
60
（海里），
10.5
10.2
，
∴他能在14 分钟内到海岸线．
题型7 勾股定理应用之河的宽度
【例13】如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道AC ，测得
50
A
，
40
B
，
2.5km
AB
，
2.4km
BC
，
若每天开凿隧道0.2km，需要几天才能把隧道AC 凿通？
【答案】需要3.5天才能把隧道AC 凿通
【知识点】求河宽(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用；先根据三角形的内角和定理判断
ABC
是直角三角形，再根据
勾股定理求得AC 的长，从而可以求得结果.
【详解】解：∵
50
A
，
40
B
，
∴
90
C
，
∴
ABC
是直角三角形，
∵
2.5km
AB
，
2.4km
BC
，
∴
2
2
0 7km
AC
AB
BC
.
，
∵0.7 =3.5
0.2
天，
答：需要3.5天才能把隧道AC 凿通．
【例14】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，把
竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？
【答案】2 米
【知识点】求河宽(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解
题关键．
根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：根据题意画出示意图，如图，则
0.5m,
1.5m,
AC
A C
AB
A B
，
所以BC 即为河水深度，
0.5m
A B
BC
，
A C
AB
，
A CB
是直角三角形，
2
2
2
A C
BC
A B
，
2
2
2
1.5
0.5
BC
BC
，
解得：
2 m
BC
，
答：河水的深度为2 米．
【技巧归纳】
1. 构造全等或相似：利用等腰直角三角形、将河宽转化为可测距离。
2. 勾股计算：在直角三角形中，已知两边求第三边，或列方程求解。
3. 选参照物：如树、标杆作标记，测量水平距离。
【变式7-1】如图，池塘边有两点A
B
、
，点C 是与BA 方向成直角的AC 方向上一点，测得BC 长为60 米，
AC 长为20 米．求A
B
，两点间的距离（2 取1.4）．
【答案】56米．
【知识点】求河宽(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理直接计算即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关
键．
【详解】解：由题意可得
90
BAC
，
∵
60
BC
米，
20
AC
米，
∴
2
2
2
2
60
20
40 2
40 1.4
56
AB
BC
AC
米，
答：A
B
，两点间的距离为56米．
【变式7-2】某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身
步道（局部）如图，从A 地分别往北偏东60方向和东南方向各修一步道，从A 地的正东方向（水域对面）
的C 地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D 两地，若测得
1000
CD
米．（参考数据：
2
1.41
3
1.73
6
2.45
，
，
）
(1)求A、C 两地之间距离．（结果精确到1 米）
(2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A 地跑步到C 地，小华决定选择A
D
C
路线，小明决定选
择A
B
C
路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C 地？
【答案】(1)A、C 两地之间距离为1930 米
(2)小华先到达C 地
【知识点】与方向角有关的计算题、含30 度角的直角三角形、根据等角对等边求边长、求河宽(勾股定理的
应用)
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，含30 度直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，方位角等知
识，构造直角三角形是解题的关键．
（1）连接AC ，过D 作DE
AC
于E；分别在Rt
DEC
△
，Rt DEA
中利用勾股定理求出CE
AE
，
，即可求
得结果；
（2）设两人速度为1，由（1）的计算可得AD
CD
的长；由题意得
ABC
是等腰直角三角形，由（1）的
结论及勾股定理求得AB
BC
，即可求得AB
BC
；比较即可谁先到达C 地．
【详解】（1）解：如图，连接AC ，过D 作DE
AC
于E；
由题意得：
90
45
45
90
60
30
DCE
DAE
，
；
在Rt
DEC
△
中，则
45
EDC
DCE
，
DE
CE
，
由勾股定理得：
2
2
2
2
2
CD
CE
DE
CE
，
2
500 2
2
CE
CD
米；
则
500 2
DE
米；
在Rt DEA
中，
30
DAE
，
则
2
1000 2
AD
DE
米，由勾股定理得：
2
2
500 6
AE
AD
DE
米，
500 2
500 6
1930
AC
CE
AE
(米)；
（2）解：由（1）的计算知，
1000 2
AD
米，
1000 2
1000
1000( 2
1)
AD
CD
米；
由题意得CB
AB
、
分别在东南方向、西南方向，则
45
BAC
BCA
，
AB
BC
，
即
ABC
是等腰直角三角形，
由勾股定理得：
2
2
2
2
2
AB
BC
AB
AC
，
2
2
(500 2
500 6)
500(1
3)
2
2
AB
BC
AC
米，
2
1000(1
3)
AB
BC
AB
米；
1
3
2
1
，
AB
BC
AD
CD
，即小华的路程更小，
又∵两人速度相同，
所以小华先到达C 地．
题型8 勾股定理应用之台阶上地毯长度
【例15】某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，
已知
90
C
，
3m
AC
，
5m
AB
．
(1)求BC 的长；
(2)若已知楼梯宽2.8m，需要购买________
2
m 的地毯才能铺满所有台阶．
【答案】(1)
4m
BC
；
(2)19.6．
【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)
【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用．
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
2
2
5
3
4
BC
；
（2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为
3
4
7 m
，
∴地毯面积为
2
2.8 7
19.6 m
，
故答案为：19.6
【例16】如图，要修建一个育苗棚，棚高
3m
h
，棚宽
4m
a
，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄
膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
【答案】60 平方米
【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)
【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜．
【详解】解：棚高
3m
h
，棚宽
4m
a
，设棚顶的宽为b，
则
2
2
2
2
3
4
5m
b
h
a
，
棚的长d 为12m ，
∴
2
5 12
60m
S
b d
．
【技巧归纳】
1. 平移法：将台阶水平段、竖直段分别平移至同一水平线和竖直线。
2. 勾股求斜长：地毯总长= 所有水平段和+ 所有竖直段和，并非斜边。
3. 若求展开长：将台阶面展开成直角三角形，直角边为总高与总长。
【变式8-1】如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A 和B 是这两
个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A 出发经过台阶爬到点B 的最短路线有多长？
【答案】25cm
【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB 即可．
【详解】解：如图，将台阶展开，
由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，．
所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625，
即AB＝25（cm），
答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm．
【变式8-2】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18 分米、4 分米．
(1)如果给台阶表面8 个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432 平方分米，那么每一级台阶的
高为多少分米？
(2)A 和C 是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A 处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C 处去吃美味的食
物，则蚂蚁沿着台阶面从点A 爬行到点C 的最短路程为多少分米？
【答案】(1)每一级台阶的高为2 分米．
(2)蚂蚁沿着台阶面从点A 爬行到点C 的最短路程为30 分米．
【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】（1）设每一级台阶的高为x 分米，根据题意列方程即可得到结论；
（2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x 分米，
根据题意得，18×（4＋x）×4＝432，
解得x＝2，
答：每一级台阶的高为2 分米；
（2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18 分米，宽为（2＋4）×4＝24 分米，
则蚂蚁沿台阶面从点A 爬行到C 点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：AC＝
2
2
18
24
30
（分米），
答：蚂蚁沿着台阶面从点A 爬行到点C 的最短路程为30 分米．
题型9 勾股定理应用之汽车是否超速问题
【例17】为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路
上行驶的速度不得超过30km/h ．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪A 处
的正前方40m 的C 处，过了3s 后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离AB 为50m．这辆观光电瓶车超速了
吗？
【答案】这辆观光电瓶车超速了
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得
2
2
30m
BC
AB
AC
，进而可得观光电瓶车的速度
为
30
10m/s
36km/h
3
v
，即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
40m
AC
，
50m
AB
，
根据勾股定理得，
2
2
2
2
50
40
30m
BC
AB
AC
，
∴观光电瓶车的速度为
30
10m/s
36km/h
3
v
，
36km/h
30km/h
，
这辆观光电瓶车超速了．
【例18】某城市交管部门规定：小汽车在城市快速路上行驶速度不得超过80 千米/时，如图，一辆小汽车
在一条城市快速路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50 米处，过了4 秒后，测得
小汽车与车速检测仪之间的距离为130 米，这辆小汽车超速了吗？
【答案】这辆小汽车超速了
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列式求出BC ，再根据速度路程时间求出小汽车的
速度，然后化为千米/小时的单位即可得解．
【详解】解：由勾股定理得
2
2
130
50
120
BC
（米），
小汽车的速度为：120
4
30
（米/秒），
30 米/秒108 千米/时80 千米/时，
所以，这辆小汽车超速了．
【技巧归纳】
1. 画示意图：标出路宽、车长、行驶距离、反应距离。
2. 勾股求实际路程：从刹车点到停止点，构造直角三角形求斜边长。
3. 求速度：路程÷时间，与限速比较判断是否超速。
【变式9-1】为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公
路MN 的一侧有一报亭A，报亭A 到公路MN 的距离AB 为600 米，且宣讲车P 周围1 000 米以内能听到广
播宣传，宣讲车P 在公路MN 上沿PN 方向行驶．
(1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由；
(2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200 米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？
【答案】(1)报亭的人能听到广播宣传，理由见解析
(2)报亭的人总共能听到8 分钟的广播宣传
【知识点】垂线段最短、判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短：
（1）根据垂线段最短，结合600 米
1000
米即可得到结论；
（2）如图，假设当宣讲车P 行驶到
1P 点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P 行驶过
2P 点时，报亭
的人开始听不到广播宣传，连接
1
2
AP
AP
，
．利用勾股定理求出
1
2
PB
P B
、
的长，进而求出
1
2
PP 的长，再根据
时间等于路程除以速度即可得到答案．
【详解】（1）解：报亭的人能听到广播宣传，理由如下：
∵600 米
1000
米，
∴报亭的人能听到广播宣传．
（2）解：如图，假设当宣讲车P 行驶到
1P 点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P 行驶过
2P 点时，
报亭的人开始听不到广播宣传，连接
1
2
AP
AP
，
．
由题意得，
1
2
1000
AP
AP
米，
600
AB
米，AB
MN
，
由勾股定理得
2
2
1
1
800
PB
P A
AB
米，
2
2
2
2
800
P B
P A
AB
米，
∴
1
2
1600
PP
米．
∵1600
200
8
(分)，
∴报亭的人总共能听到8 分钟的广播宣传．
【变式9-2】五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一
辆移动广播车在笔直的公路AB 上，沿东西方向由A 向B 行驶．小丽的家在公路的一侧点C 处，且点C 与直
线AB 上的两点A
B
，的距离分别为
300m
400m
AC
BC
，
，又
500m
AB
，假如移动广播车周边250 米以
内能听到广播宣传．
(1)求
ACB
的度数．
(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？
(3)若移动广播车在笔直的公路AB 上以10 米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点E 时，小丽在家刚好听
到广播，当移动广播车行驶到点F 时，小网在家刚好不再听到广播，即
250
CE
CF
米，问小丽在家听到
广播宣传的时长是多长？
【答案】(1)
90
ACB
(2)小丽在家能听到广播，计算见解析
(3)小丽在家听到广播宣传的时间为14 秒
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用；
（1）利用勾股定理的逆定理判断ABC
的形状；
（2）过点C 作CD
AB
，根据等积法求出CD的长，然后和250 米作比较解答即可；
（3）作
250m
EC
FC
，根据勾股定理求出EF 长，再根据时间路程时间解答即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
300
400
250000
B
AC
C
，
又
2
2
500
250000
AB
，
2
2
2
AB
BC
AC
，
ABC
是直角三角形，即
90
ACB
．
（2）解：过点C 作CD
AB
，垂足为D，
ABC
直角三角形，
1
1
2
2
AB CD
AC BC
，
1
1
500
300
400
2
2
CD
，
解得
240 m
CD
，
240
250
小丽在家能听到广播；
（3）解：依题意，
250m,
EC
FC
CD
AB
，
根据勾股定理，
2
2
2
2
250
240
70 m
ED
EC
CD
，
2
140 m
EF
ED
移动广播车的速度为10 米／秒，
140
10
14
秒
答：小丽在家听到广播宣传的时间为14 秒．
题型10 勾股定理应用之是否受台风影响问题
【例19】如图，某沿海城市A 接到台风预警，在该市正南方向340 km 的B 处有一台风中心，沿BD 方向以
15 km / h 的速度移动，已知城市A 到BC 的距离AD 为160 km ．
(1)台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？
(2)如果在距台风中心200 km 的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A 市受到台风影响的时间持续多少小
时？
【答案】(1) 20h
(2)16h
【知识点】用勾股定理解三角形、判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
（1）先对Rt
ABD
△
运用勾股定理求出BD ，即可求出时间；
（2）在射线BC 上取点E、F，使得
200km
AE
AF
，对Rt
AED
△
运用勾股定理求得
120km
ED
，则即
可求出EF ，那么时间即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，AD
BC
，
340km
AB
，
160km
AD
，
在Rt
ABD
△
中，
2
2
300 km
BD
AB
AD
，
∵
300 15
20 h
，
∴台风中心经过20h 从B 点移到D 点；
（2）解：如图，在射线BC 上取点E、F，使得
200km
AE
AF
，
由AD
BC
得DE
DF
，
在Rt
AED
△
中，
2
2
120 km
ED
AE
AD
，
∴
2
240km
EF
ED
，
∴
240 15
16 h
t
，
∴A 市受到台风影响的时间持续16h ．
【例20】如图，A ，B ，C 是我国南部的三个岛屿，已知A ，C 两岛的距离为30 2km，A ，B 两岛的距
离为70km ，B ，C 两岛的距离为50 km ．2024 年9 月，超强台风“摩羯”登陆岛屿B ，台风中心由B 向A 移
动，风力影响半径为34 km ．
(1)请判断岛屿C 是否会受到台风的影响？并说明理由
(2)若台风影响岛屿C 的时长是1.6小时，求台风中心的移动速度．
【答案】(1)岛屿C 是否会受到台风的影响；理由见解析
(2)台风中心的移动速度为20km/h ．
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作CD
AB
构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点C 作CD
AB
于点D，利用勾股定理得
2
2
2
2
AC
AD
BC
BD
可求出AD 和CD，由30
34
，可
知会受影响；
（2）以点C 为圆心，34 km 长为半径画弧与AB 交于点E，F，利用勾股定理求出DE ，进而得到EF 的长，
再除以台风影响岛屿C 的时长，即可求出台风移动的速度．
【详解】（1）解：岛屿C 是否会受到台风的影响；理由如下，
过点C 作CD
AB
于点D，
由勾股定理得：
2
2
2
2
AC
AD
BC
BD
，
∴
2
2
2
2
30 2
50
70
AD
AD
，
解得
30km
AD
，∴
m
70 3
0k
0
4
BD
，
2
2
2
2
m
5
40
30k
0
CD
BC
BD
，
∵30
34
，
∴岛屿C 是否会受到台风的影响；
（2）解：以点C 为圆心，34km长为半径画弧与AB 交于点E，F，
则
2
EF
DE
，
在Rt
CDE
△
中，
由勾股定理，得
2
2
2
2
34
30
16 km
DE
CE
CD
，
32km
EF
，
32 1.6
20 km/h
，
答：台风中心的移动速度为20km/h ．
【技巧归纳】
1. 定临界点：以受影响最大距离R 为半径，台风中心路径为直线。
2. 求垂线段长：作点到直线垂线，用勾股求垂足距离。
3. 比较判定：垂线长≤R 则受影响；否则不受，也可计算影响时间段。
【变式10-1】2023 年7 月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来
对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台
风影响），如图，线段BC 是台风中心从C 市向西北方向移动到B 市的大致路线，A 是某个大型农场，且
AB
AC
．若A，C 之间相距300km，A，B 之间相距400km．
(1)判断农场A 是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风中心的移动速度为25km/h ，则台风影响该农场持续时间有多长？
【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析；
(2)5.6h
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】（1）作AD
BC
，Rt
ABC
△
中，根据勾股定理，求出BC 的长，进而求得AD 的长，即可求解，
（2）假设台风在线段EF 上移动时，会对农场A 造成影响，所以
250km
AE
AF
，根据勾股定理求出EF
的长，即可，
此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进
行计算是解题的关键．
【详解】（1）解：会受到台风的影响.
理由：如图，过点A 作AD
BC
，垂足为D，
在Rt
ABC
△
中，AB
AC
，
400km
AB
，
300km
AC
，
2
2
2
2
400
300
500 km
BC
AB
AC
，
∵AD
BC
，
∴1
1
2
2
BC AD
AB AC
，
∴
400 300
240 km
500
AB AC
AD
BC
，
∵
250km
AD
，
答：农场A 会受到台风的影响，
（2）解：如图，
假设台风在线段EF 上移动时，会对农场A 造成影响，所以
250km
AE
AF
，
240km
AD
，由勾股定理，
可得
2
2
2
2 250
240
140 km
EF
DF
，
∵台风的速度是25km/h ，
∴受台风影响的时间为
140
25
5.6 h
，
答：台风影响该农场持续时间为5.6h ．
【变式10-2】第五号台风“杜苏芮”的中心于2023 年7 月27 日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15
级（50 米/秒），中心最低气压为940 百帕，台风中心沿北偏西（BC ）方向以15km/h 的速度向D 移动，A
地在距离B 地130km的正北方，已知A 地到BC 的距离
50km
AD
．
(1)台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？
(2)如果在距台风中心45km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D 点休闲的游客在接到台风警报
后的几小时内撤离才可脱离危险？
【答案】(1)8 小时
(2)5 小时
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，路程、速度、时间之间的关系等知识，解答本题的关键是利用勾股
定理求出BD 的长度．
（1）根据勾股定理计算BD 的长，再根据时间路程速度进行计算；
（2）根据在45km范围内都要受到影响，先求出从点B 到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路
程速度计算，然后求出时间段即可．
【详解】（1）在Rt
ABD
△
中，根据勾股定理，
得
2
2
2
2
130
50
120 km
BD
AB
AD
，
∴120 15
8
（小时），
则台风中心经过8 小时从B 移动到D 点；
（2）如图，设
45km
DE
∵距台风中心45km的圆形区域内都会受到台风破坏的危险，
∴人们要在台风中心到达E 点之前撤离，
∵
120
45
75 km
BE
BD
DE
，
∴75 15
5
（小时），
答：游人在5 小时内撤离才可脱离危险．
题型11 勾股定理应用之选址距离相等问题
【例21】如图1，铁路上有A 、B 两点（看作直线上两点）相距40 千米，C 、D 为两村庄（看作两个点），
AD
AB
，BC
AB
，垂足分别为A 、B ，
24
AD
千米，
16
BC
千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，
使得C 、D 两村到煤栈的距离相等．
设煤栈应建在距A 点x 千米处的点E 处，如图2 ，则AE
x
千米．
(1) BE （______）千米；
(2)煤栈应建在距A 点多少千米处？
【答案】(1) 24
(2)16千米处
【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】（1）连接DE
CE
，
，则DE
CE
，由勾股定理可得
2
2
2
2
24
40
16
x
x
，解之即可求解；
（2 ）根据（1）的结果即可求解；
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）解：如图2 ，连接DE
CE
，
，则DE
CE
，
∵AD
AB
，BC
AB
，
∴
90
A
B
，
∵AE
x
千米，
∴
40
BE
x
千米，
∵DE
CE
，
∴
2
2
2
2
24
40
16
x
x
，
解得
16
x
，
∴
40 16
24
BE
千米，
故答案为：24 ；
（2）解：由（1）得，
16
AE
千米，
∴煤栈应建在距A 点16千米处．
【例22】如图，已知某学校A 与直线公路BD 相距300 米（即
300
AB
米，AB
BD
），且与该公路上一
个车站D 相距500 米（即
500
AD
米），现要在公路边BD 建一个超市C，使之与学校A 及车站D 的距离
相等，那么该超市C 与车站D 的距离CD是多少米?
【答案】312.5 米
【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，弄清题意，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键；根据
题意，AC
CD
，
90
ABD
Ð
=
°，由AB 、AD 的长易求BD ，设CD
AC
x
米，
400
BC
x
米，在Rt ABC
中运用勾股定理得关系式求解．
【详解】解：根据题意得：AC
CD
，
90
ABD
Ð
=
°，
在直角三角形ABD 中，
300
AB
米，
500
AD
米，
2
2
400
BD
AD
AB
（米），
设CD
AC
x
米，则
400
BC
x
米，
在Rt ABC
中，
2
2
2
AC
AB
BC
，
即
2
2
2
300
400
x
x
，
解得：
312.5
x
，
答：该超市C 与车站D 的距离CD是312.5 米．
【技巧归纳】
1. 建坐标系：将点置于直角坐标系，用坐标表示位置。
2. 勾股求距：两点距离d =
�1 −�2 2 + �1 −�2 2。
3. 列方程：根据条件（如到两点距离相等或和最小）列式求解，注意实际范围。
【变式11-1】如图，铁路上A，B 两点相距17km，C，D 两点为两村庄，DA
AB
于点A，CB
AB
于点B，
已知
12km
DA
，
5km
CB
，现在要在铁路AB 上建一个土特产收购站E，使得C，D 两村到E 站的距离相
等，则E 站应建在距A 点多少千米处？
【答案】E 站应建在离A 站5km 处．
【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，利用
2
2
2
AE
AD
DE
，
2
2
2
BE
BC
EC
得出是解决问题的关
键．根据使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则DE
CE
，再利用勾股定理得出AE 的长．
【详解】解：
C
，D 两村到E 站的距离相等．
DE
CE
，
DA
AB
于A ，CB
AB
于B ，
90
A
B
，
2
2
2
AE
AD
DE
，
2
2
2
BE
BC
EC
，
2
2
2
2
AE
AD
BE
BC
，
设AE
x
，则
(17
)
BE
AB
AE
x
，
12km
DA
，
5km
CB
，
2
2
2
2
12
(17
)
5
x
x
，
解得：
5
x
，
5km
AE
．
答：E 站应建在离A 站5km 处．
【变式11-2】如图，小区A 与公路l 的距离
200
AC
米，小区B 与公路l 的距离
400
BD
米，已知
800
CD
米．
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q 到A、B 两小区的路程相等，求CQ的长；
(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P 到A、B 两小区的路程之和最短，求PA
PB
的最小值，求出此最
小值．
【答案】(1)475 米
(2)1000 米
【知识点】用勾股定理解三角形、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)、根据成轴对称图形的特征进行
求解
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出Q、P 的位置是本题的
关键．
（1）设CQ
x
，则
800
DQ
x
，根据AQ
BQ
利用勾股定理即可得出结果．
（2）作A 关于l 的对称点A，连接A B
，交l 于P，由对称性得PA
PB
的最小值为线段A B
的长，作A E
BE
于点E，在Rt A BE
中，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：如图1，
根据题意得：AQ
BQ
，
设CQ
x
，则
800
DQ
x
，
2
2
2
2
200
400
800
x
x
，
解得
475
x
，
即CQ的长为475 米；
（2）如图，作点A 关于直线l 的对称点A，连接A B
，交直线l 于点P．
则AP
A P
，
AP
BP
A P
BP
，
PA
PB
的最小值为A B
，
如图，作A E
BE
于点E，
在Rt A BE
中，
800
A E
CD
米，
400
200
600
BE
BD
DE
BD
CA
BD
AC
米，
2
2
2
2
800
600
1000
A B
AE
BE
米，
PA
PB
的最小值为1000 米．
题型12 勾股定理应用之几何图形中最短路径问题
【例23】如图①，一个圆柱的底面周长为12cm ，高为16cm，用一根绳子从点A 出发绕侧面一周到点B，
则绳长至少为多少？
解：圆柱①的侧面沿AB 剪开，展开图如图②所示．
在
ABC
中，C
______，AC ______cm，BC _______cm，则运用“________”可求AB _______cm．
由“_______”可知，绳子的最短长度就是线段______的长，即绳长至少为________cm．
【答案】90；12；16；勾股定理；20；两点之间，线段最短；AB ；20
【分析】根据题干图结合勾股定理和“两点之间，线段最短”作答即可．
【详解】解：圆柱①的侧面沿AB 剪开，展开图如图②所示．
在
ABC
中，
90
C
，
12
AC
cm，
16
BC
cm，则运用“勾股定理”可求
2
2
12
16
20 cm
AB
．
由“两点之间，线段最短”可知，绳子的最短长度就是线段AB 的长，即绳长至少为20cm．
【例24】如图，已知线段BC 是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为10，圆柱的高
12
AB
，在圆柱的侧面
上，过点A
C
、
两点嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿AB 剪开，所得的圆柱侧面展开图是______；
(2)求该金属丝的长．
【答案】(1)C
(2)26
【分析】本题考查了勾股定理的最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面
周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；
（2）要求金属丝的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根
据勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：因为圆柱的侧面展开图为长方形，AC 展开应该是两线段，且有公共点C ．
故答案为：C；
（2）如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC 的长度，
∵圆柱底面的周长为10，
∴
10
BB
，
∴
1
1 10
5
2
2
BC
BB
，
∵在Rt
ABC
△
中，
12
AB
，
5
BC
，
90
B
Ð
=
°，
∴根据勾股定理，得
2
2
2
2
12
5
13
AC
AB
BC
，
∴该金属丝的长
2
26
AC
．
【技巧归纳】
1. 对称变换：作其中一点关于直线（或棱）的对称点，连接另一点得最短路径。
2. 勾股求长：对称后线段即为所求，用勾股定理计算长度。
3. 验证合理性：路径与直线交点即为转折点。
【变式12-1】如图1，某公园内有一条笔直的马路EF ，马路EF 同侧有观景台A 、凉亭B ，已知AC
EF
于
点
,
C BD
EF
于点
,
700m,
100m
D AC
BD
，
800m
CD
．
请结合所学知识，解决下列问题：
(1)【基础应用】
观景台A 与凉亭B 之间的直线距离AB __________ m；（直接写出结果）
(2)【核心探究】如图2，现计划在路段CD 之间放置一个自动售货点G ，使G 到A，B 两处的距离相等，该
自动售货点G 应修建在离点C 多少米处？
(3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路EF 边上设置一个便民服务点M ，使得M 到A、
B 两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出M 到A、B 两处的距离之和最小值（结果保留根号）．
【答案】(1)1000
(2)自动售货点G 应修建在离点C100 米处
(3)800 2m
【分析】（1）连接AB ，过点B 作BG
AC
于点G，易得四边形CDBG 是矩形，再由勾股定理即可求AB 的
长；
（2）设
m
CG
x
，则
800
m
DG
CD
CG
x
，由勾股定理分别表示出AG 、BG ，再根据AG
BG
，
列方程求解即可；
（3）作点B 关于EF 对称的点B，连接AB交EF 于点M，连接BM ，作B H
AC
交AC 延长线于H，则M
到A、B 两处的距离之和最小值即为AB，易得四边形B HCD
是矩形，由勾股定理求AB即可；
【详解】（1）解：如图，连接AB ，过点B 作BG
AC
于点G，
∵AC
EF
，BD
EF
，BG
AC
，
∴四边形CDBG 是矩形，
∴
m
100
CG
BD
，
800m
BG
CD
，
∴
700 100
600m
AG
AC
CG
，
在Rt
ABG
△
中，
2
2
2
2
600
800
1000m
AB
AG
BG
；
（2）解：设
m
CG
x
，则
800
m
DG
CD
CG
x
，
∴
2
2
2
2
700
AG
AC
CG
x
，
2
2
2
2
800
100
BG
GD
BD
x
，
∵G 到A，B 两处的距离相等，
∴AG
BG
，
∴
2
2
2
2
700
800
100
x
x
，
解得
100
x
，
∴自动售货点G 应修建在离点C 100 米处；
（3）解：如图，作点B 关于EF 对称的点B，连接AB交EF 于点M，连接BM ，作B H
AC
交AC 延长
线于H，则
100m
BD
B D
，
90
H
，
可知四边形B HCD
是矩形，
∴
100m
CH
B D
，
800m
B H
DC
，
∴
800m
AH
AC
CH
B H
，
∴
2
2
800 2m
AB
AH
B H
，
∵AM
BM
AM
B M
，
∴AM
BM
的最小值为AB，
即M 到A、B 两处的距离之和最小值为800 2m．
【变式12-2】课本再现：
方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A
B
，两点的位
置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A
B
，
对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________cm ．
方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm ，高为10cm．在其侧面从点A 开
始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B 停止．彩条的最短长度为___________．
（3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A 到顶点B 沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知
此六棱柱的高AB 为7cm ，底面边长为4cm ，则这圈金属丝的长度至少为___________．
（4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为6cm，底面半圆直径AC 为4cm ，点A 处有一只蚂蚁沿
如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B 处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3）
【答案】（1）15，（2）26cm （3）25cm （4）10cm
【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间
线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长
度，进而构建直角三角形求解．
【详解】解：（1）展开后A 、B 、C 构成直角三角形，两直角边分别为9cm 和12cm ．
根据勾股定理，最短路径为：
2
2
9
12
81 144
225
15cm
（2）底面是正方形，周长为3 4
12cm
，垂直方向为直四棱柱的高10cm ，绕一周高为
10
2
5 cm
，
根据勾股定理，
2
2
12
5
144
25
169
13cm
，
绕两周彩条最短长度为：13 2
26cm
；
（3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为4 6
24cm
，绕一周垂直长度为7cm ；
根据勾股定理，金属丝最短长度为：
2
2
24
7
576
49
625
25cm
（4）底面是半圆长加一个半径，
3 2
2
8
r
r
，高为6cm ，
根据勾股定理，爬行最短长度为
2
2
m
8
0
6
1
0
0
1 c
．
一、单选题
1．如图，在高为5 m，坡面长为13m 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（
）
A．25m
B．18m
C．17m
D．13m
【答案】C
【分析】当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然
后求得地毯的长度即可．
【详解】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度
2
2
13
5
12m
，
∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是
12
5
17 m
．
2．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，
问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇
的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，
池水的深度是（
）．
A．8 尺
B．28 尺
C．12尺
D．10尺
【答案】C
【分析】本题将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理列方程即可求解水深．
【详解】解：∵水池边长为1丈，1丈
10
尺，葭生长在池中央，
∴池中心到岸边的水平距离为5 尺，
设池水深度为x 尺，则葭长为
1
x
尺，引葭到岸边后，水深、池中心到岸边的水平距离、葭长构成直角三
角形，葭长为斜边，
根据勾股定理可得：
2
2
25
1
x
x
，
展开得：
2
2
25
2
1
x
x
x
，
移项，合并同类项，得：2
24
x
，
解得：
12
x
，
∴池水深度为12尺．
3．如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A 出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A 相
对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24 厘米，圆柱体的高是5 厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为
（
）
A．13 厘米
B．17 厘米
C．
12
5
（
）厘米
D．5 厘米
【答案】A
【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为24cm ，
则
1
24
12
2
AC
（cm）．
又因为
5cm
BC
，
所以
2
2
13
AB
AC
BC
（cm）．
故蚂蚁爬行的最短距离为13cm ．
4．如图，一个长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 离点C 的距离是5cm ，一只蚂蚁如果以4cm / s
的速度从长方体的表面的点A 处爬到点B 处，最快爬行的时间是（
）
A．6s
B．6.25s
C．6.74s
D．7.25s
【答案】B
【分析】分三种情况：①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，
③当沿长方体的后侧和上面进行展开时，利用勾股定理求出最短路径，进而可求出最快爬行的时间．
【详解】解：由题意得：
①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，如图所示：
5 10
15
BD
，
20
AD
，
在Rt
ADB
△
中，
2
2
2
2
15
20
25
AB
BD
AD
=
+
=
=
+
；
②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示：
5
20
25
BD
，
10
AD
，
在Rt
ADB
△
中，
2
2
2
2
25
10
5 29
AB
BD
AD
；
③当沿长方体的后侧和上面进行展开时，如图所示：
20 10
30
BD
，
5
BC
，
在Rt
ACB
△
中，
2
2
2
2
30
5
925
5 37
AB
AC
BC
；
∵5 37
5 29
25
，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B，需要爬行的最短距离是25，
∴最快爬行的时间是
25
4
6.25 s
．
二、填空题
5．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10 尺（
10
AB
尺）
的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P 是AB 的中点），它高出水面1 尺（
1
MP 尺）．如果把这根芦
苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（MN
BN
），则水的深度PN 为_____．
【答案】12 尺
【分析】根据题意可得芦苇长度MN
BN
，设水的深度PN 为x 尺，然后在Rt
BPN
△
中运用勾股定理列方
程求解即可．
【详解】解：∵水面是一个边长为10 尺的正方形，点P 是AB 的中点，
∴
1
5
2
BP
AB
尺，
设水的深度PN 为x 尺，
∵
1
MP 尺，MN
MP
PN
，
∴
1
MN
x
尺，
∵MN
BN
，
∴
1
BN
x
尺，
∵在Rt
BPN
△
中，根据勾股定理可得：
2
2
2
PN
BP
BN
，
∴
2
2
25
1
x
x
，整理得：
2
2
25
2
1
x
x
x
，解得：
12
x
，
∴
12
PN
尺．
6．2026 年2 月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子U 型池场地金牌的运动员，如图，该
U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为4m 的半圆，其
边缘
18m
AB
CD
，点E 在CD 上，
2m
CE
．从A 点滑到E 点，滑行的最短路程是______m．（边缘部
分的厚度忽略不计，π 取3）
【答案】20
【分析】将半圆面展开成矩形，连接AE ．则AE 是最短距离，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：将半圆面展开如图所示，连接AE ．
根据题意，得
18m
AB
CD
，
18
2
16 m
DE
CD
CE
．
2
4
4
12m
2
π
π
AD
，
在Rt ADE
中，由勾股定理，得
2
2
2
2
12
16
20 m
AE
AD
DE
，
从A 点滑到E 点，滑行的最短路程是20m．
7．如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点A 处，它想爬到顶点B 处寻找食物，若这个正方体的边长为1，
则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______．
【答案】2
【详解】解：如图，
∴
2
2
1
1
2
AB
．
8．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
∠
，则
2
2
AC
BC
表示线段AB 的长度，受此启发，学生在求
2
2
8
4
16
y
x
x
的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点P 为BD上一动点．
90
B
D
，
4
AB
，
2
CD
，
8
BD
，设BP
x
．
（1）PD ______；
（2）y 的最小值是______．
【答案】
8
x
10
【分析】本题考查利用轴对称确定最短路线问题，运用数形结合思想和利用勾股定理等几何知识直观求解
代数问题是解题的关键．（1）由
8
BD
，BP
x
，即可得到
8
PD
x
；（2）作点C 关于BD的对称点C，
连接AC，交BD 于点P，过点C作C M
AB
，交AB 延长线于点M ，当点P与P 重合时，y 值最小，根
据勾股定理求出
2
2
6
8
10
y
PA
PC
．
【详解】（1）∵
8
BD
，BP
x
，
∴
8
PD
x
；
（2）作点C 关于BD 的对称点C，连接AC，交BD 于点P，过点C作C M
AB
，交AB 延长线于点M ，
2
2
8
4
16
y
x
x
AP
PC
AC
当P与P 重合时，式子取等号，y 值最小．
4
2
6
8
AM
MC
，
，
2
2
6
8
10
y
PA
PC
．
三、解答题
9．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A 、B 两点分别位于池塘两端，利用现有工具
无法直接测得A 、B 间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点C ，使点C 能直接到达点A 和点B ，
在AB 的延长线上取一点D ，使得
12
BD
米．经测量
34
AC
米，
16
CD
米，
20
CB
米，请你计算点A 、
B 之间的距离．
【答案】18 米
【分析】可证明
2
2
2
BD
CD
CB
，则
90
D
Ð
=
°，据此利用勾股定理求出AD 的长，即可求出AB 的长．
【详解】解：∵
12
BD
米，
16
CD
米，
20
CB
米，
∴
2
2
2
2
12
16
144
256
400
BD
CD
，
2
2
20
400
CB
，
∴
2
2
2
BD
CD
CB
，
∴
BCD
△
是直角三角形，且
90
D
Ð
=
°，
又∵
34
AC
米，
∴
2
2
2
2
34
16
30
AD
AC
CD
米，
∴
18
AB
AD
BD
米，
答：点A 、B 之间的距离为18 米．
10．如图，已知一架梯子AB 斜靠在墙角MON 处，竹梯
25m
AB
，梯子底端离墙角的距离
7m
BO
．
(1)求这个梯子顶端A 距地面有多高；
(2)如果梯子的顶端A 下滑9m到点C，那么梯子的底部B 在水平方向上滑动的距离
9m
BD
吗？为什么？
【答案】(1)梯子顶端距地面24 米高
(2)滑动不等于9m，理由见解析
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）先利用勾股定理求出OD 的长度，进而利用线段和差关系计算即可．
【详解】（1）解：根据勾股定理：
∴梯子距离地面的高度为：
2
2
24m
AO
AB
OB
；
（2）解：梯子的底部B 在水平方向上滑动的距离不等于9m，理由如下：
∵梯子的顶端A 下滑9m到点C，
∴
9m
AC
，
25m
AB
CD
，
∴
15m
OC
AO
AC
，
根据勾股定理得到
2
2
20m
OD
CD
CO
，
∴
13m
BD
OD
OB
，
∴梯子的底部B 在水平方向上滑动的距离不等于9m ．
11．如图，四边形ABCD 是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知
4 dm
AD
，
12 dm
AB
，
13 dm
BC
，
3 dm
CD
，且
90
ADC
．
(1)求点A 到点C 的距离；
(2)根据要求，该零件需要A ，B ，C 三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这
个零件是否合格．
【答案】(1)
5dm
AC
(2)这个零件合格．
【分析】（1）根据勾股定理列式计算，即可作答．
（2）先分别算出
2
2
2
2
25 144
169
13
169
AC
AB
BC
,
,得出
2
2
2
AC
AB
BC
，满足勾股逆定理，得出
ABC
是直角三角形，即可作答．
【详解】（1）解：连接AC ，如图所示：
∵
4 dm
AD
，
3 dm
CD
，
90
ADC
．
∴
2
2
4
3
5
AC
dm
（2）解：这个零件是合格的，理由如下：
由（1）得
5dm
AC
，
∵
12 dm
AB
，
13 dm
BC
，
∴
2
2
2
2
25 144
169
13
169
AC
AB
BC
,
,
即
2
2
2
AC
AB
BC
∴
ABC
是直角三角形，
∴这个零件是合格的．
12．如图，某日两艘渔船A 和渔船B 与灯塔C 的位置如图所示，其中渔船A 在灯塔C 的北偏西57方向上，
与灯塔C 的距离是400 海里，渔船B 在灯塔C 的南偏西33方向上，与灯塔C 的距离是300 海里．
(1)求渔船A 与渔船B 之间的距离AB ；
(2)若灯塔C 发射的信号有效覆盖半径为300 海里，已知渔船B 沿AB 所在直线向渔船A 靠拢的过程中，BD 段
可以接收到信号，AD 段无法接收到信号，请你求出渔船B 在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段BD
的长）是多少？
【答案】(1)500 海里
(2)360 海里
【分析】（1）根据题意可求出
90
ACB
，再利用勾股定理求解即可；
（2）过点C 作CE
AB
于点E，利用等面积法求出CE 的长，再利用勾股定理求出BE
DE
，
的长即可得到
答案．
【详解】（1）解：由题意得，
180
57
33
90
ACB
，
400
AC
海里，
300
BC
海里，
∴由勾股定理得
2
2
2
2
400
300
500
AB
AC
BC
海里，
答：渔船A 与渔船B 之间的距离AB 为500 海里；
（2）解：如图所示，过点C 作CE
AB
于点E，
则
90
AEC
BEC
，
∵
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
CE AB
△
，
∴1
1
300
400
500
2
2
CE
，
∴
240
CE
海里，
在Rt EBC
中，由勾股定理得
2
2
2
2
300
240
180
BE
BC
CE
海里，
在Rt EDC
中，由勾股定理得
2
2
2
2
300
240
180
DE
CD
CE
海里，
∴
360
BD
DE
BE
海里
答：渔船B 在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段BD 的长）是360 海里．
13．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B 两处观测点，观测点A 距离鸟类巢
穴80m ，观测点B 距离鸟类巢穴60m，两观测点A、B 相距100m ．火车行驶时会对周围52m 范围造成噪声
污染．
(1)求点C 到铁路AB 的距离；
(2)当一列长度为260m的火车以30m/s 的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声
污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不
计）．
【答案】(1)点C 到铁路AB 的距离为48m
(2)会，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为10s
【分析】（1）过点C 作CD
AB
于点D，利用勾股定理逆定理推出
90
ACB
，再利用三角形面积公式
求解，即可解题．
（2）以点C 为圆心，以52m 为半径画圆弧，分别交AB 于点E、F，连接CE
CF
、
，则
52m
CE
CF
，利
用勾股定理求出DE ，进而求出EF ，再根据时间路程速度，即可解题．
【详解】（1）解：过点C 作CD
AB
于点D，如图．
由题意，得
80m,
60m,
100m
AC
BC
AB
．
2
2
2
80
60
100
，
2
2
2
AC
BC
AB
．
ABC
是直角三角形，
90
ACB
，
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
CD AB
△
，
80 60
48(m)
100
AC BC
CD
AB
．
答：点C 到铁路AB 的距离为48m．
（2）解：
52
48
，
∴会对鸟类巢穴造成噪声污染．
如图，以点C 为圆心，以52m 为半径画圆弧，分别交AB 于点E、F，连接CE
CF
、
，则
52m
CE
CF
．
CD
AB
，
DE
DF
．
在Rt
CDE
△
中，由勾股定理，得
2
2
2
2
52
48
20(m)
DE
CE
CD
，
2
2
20
40(m)
EF
DE
，
∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为260
40
10(s)
30
．
答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为10s．
14．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C 出发，以4 米/秒的速度由西向
东行驶，同时小红的赛车从点B 出发，以3 米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行
驶，
40
AC
米，
30
AB
米．
(1)经过4 秒，两赛车之间的距离是多少米？
(2)已知赛车之间的距离小于或等于25 米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A 的
距离之和为35 米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？
【答案】(1)两赛车之间的距离是30 米
(2)当两赛车的距离之和为35 米时，遥控信号将会产生干扰
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据题意求得
1
16
CC
米，
1
12
BB
米，得到
1
24
AC
米，
1
18
AB
米，根据勾股定理即可得到结论；
（2）设出发t 秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，
出发4 秒钟时，
1
16
4
4
CC
米，
1
3 4
12
BB
米
40
AC
米，
30
AB
米
1
24
AC
米，
1
18
AB
米
2
2
1
1
24
18
30
B C
（米）
答：两赛车之间的距离是30 米．
（2）解：设出发t 秒钟时，两赛车距A 点的距离之和为35 米，
由题意得，40
4
30
3t
35
t
，解得
5
t
此时
1
1
20,
15
AC
AB
，
此时
2
2
2
2
1
1
1
1
20
15
25
B C
C A
B A
，
即两赛车间的距离是25 米，所以遥控信号将会受到干扰，
答：当两赛车的距离之和为35 米时，遥控信号将会产生干扰．
15．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形
成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB 由点A 行驶向点B，已知点C 为一海港，
当AC
BC
时，A 点到B，C 两点的距离分别为1000km和600km，以台风中心为圆心周围520km 以内为受
影响区域．
(1)求BC ；
(2)海港C 受台风影响吗？为什么？
(3)若台风的速度为100km/h ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)
800km
BC
(2)海港C 受台风影响，
理由如下：过点C 作CD
AB
，
1
1
2
2
AC
BC
CD
AB
，
1
1
600 800
1000
2
2
CD
，
480 km
CD
，
以台风中心为圆心周围520km以内为受影响区域，480
520
，
海港C 受台风影响；
(3)海港C 受台风影响的时间会持续4h ．
【分析】（1）依据勾股定理求解即可；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C 是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED 以及EF 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1）解：
AC
BC
，
90
ACB
，
1000km
AB
，
600km
AC
，
2
2
2
2
1000
600
800 km
BC
AB
AC
；
（2）略
（3）解：如图，当
520km
EC
，
520km
FC
时，正好影响C 港口，
2
2
200 km
ED
EC
CD
，
2
2
200 km
FD
FC
CD
，
400 km
EF
ED
FD
，
台风的速度为100km / h ，
400 100
4 h
，
答：海港C 受台风影响的时间会持续4h ．
16．项目化学习
项目主题：办公区绿化规划．
项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为
2
400m 的
办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化．
设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知
12m
AB
，
9m
BC
，
8
CD
m ，
17m
AD
，
90
ABC
．
问题解决：
(1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道AC ，则这条直道AC 的长度为
________m；
(2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的30%，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求．
【答案】(1)15
(2)设计方案不符合规划要求
【分析】（1）利用勾股定理解答即可；
（2）利用勾股定理逆定理可得
90
ACD
，可求出绿化区的面积，即可求解．
【详解】（1）解：因为
12m
AB
，
9m
BC
，
90
ABC
，
所以
2
2
15m
AC
AB
BC
．
答：这条直道AC 的长度为15m ．
（2）解：因为
15m
AC
，
8
CD
m ，
17m
AD
，
所以
2
2
2
2
2
8
15
289
CD
AC
AD
．
所以
=90
ACD
．
所以绿化区的面积为
2
1
1
1
1
9 12
15 8
114 m
2
2
2
2
△
△
ABC
ACD
S
S
AB
BC
AC
CD
．
2
400
30%
120 m
．
因为114
120
，
所以设计方案不符合规划要求．
17．如图1 所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点
1
C 处，要想使路程
较短，有三种不同的方式：①沿面
1
1
ABB A 和而
1
1
1
1
D
C
B
A
爬行；②沿面
1
1
ABB A 和而
1
1
BCC B 爬行；③沿面
1
1
AA D D
和面
1
1
1
1
D
C
B
A
爬行．
(1)图2 为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形；
(2)若
1
4
2
1
AB
BC
BB
，
，
，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？
(3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N 点的
食物（P 是长方体的顶点，
3cm
NP
），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少．
【答案】(1)见解析
(2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5
(3)蚂蚁需爬行的最短路程是20cm
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
（1）根据爬行方式作图即可；
（2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可；
（3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：①
2
2
1
4
1 2
25
5
AC
；
②
2
2
1
4
2
1
37
AC
；
③
2
2
1
1 4
2
29
AC
；
可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5；
（3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和，
如图：
则蚂蚁需爬行的最短路程是
2
2
16
9
3
256 144
400
20cm
MN
．
18．日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活．
主题
探究最短路径问题与用数学知识设计车位
活动一：如图1，点A、B 是直线l 上方两点，点A 到直线l 的距离为1m ，点B 到直线l 的距离为3m ，在
直线l 上找一点P，使PA
PB
最短．
(1)如图2，作点A与点A 关于直线l 对称，连接AA交直线l 于点O，连接A B
交直线l 于点P，连接AP ，
则点P 即为所求，则OA______ m，PA _____ PA（选填
、或）；
(2)如图3，过A作
l
A C
∥，过B 作BC
A C
于C，若
3m
A C
，则BC ____ m，PA
PB
_____；
活动二：某小区有一个矩形ABCD 停车场，长
34m
AD
，宽
30m
AB
，大门EF 设在CD处，如图4，小
区内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边
长为2m 的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与停
车场的边界及充电桩之间的距离都不小于1m ，
1
2
O
O
、
是两个充电桩的中心，
1
2
O O 叫做充电桩的中心距．
(3)如图5，若沿AD 方向修建一排充电桩，最多可以修建_______个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距
为_______ m；
(4)调研发现，在停车场四个角落修4 个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为1m ，需
在AD 边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到
1
2
O
O
、
的距离的和最短，则这个最短距离为
__________ m．
【答案】(1)1，
(2)4，5
(3)11，3
(4)30 2
【分析】（1）根据轴对称的性质解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可；
（3）根据题意得：沿AD 方向修建一排充电桩，两边需要留1m ，充电桩的中心距最小为1 1 1
3m
，再
由34 1 1
10
2
3
，即可求解；
（4）作点
2
O 关于AD 的对称点G，连接
2
O H ，2
O G 交AD 于点L，连接
1
O G 交AD 于点H，过点
1
O 作
1
2
O K
GO
，
交
2
GO 于点K，则点H 即为总电箱所在的位置，则
2
HO
GH
，可得该电箱到
1
2
O
O
、
的距离的和最短为
1
O G
的长，即可求解．
【详解】（1）解：由作法得：
1m
OA
OA
，PA
PA
；
（2）解：根据题意得：
3 1
4m
BC
，
在Rt A BC
中，
3m
A C
，
90
C
，
2
2
2
2
4
3
5m
A B
BC
A C
，
∴
5m
PA
PB
PA
PB
A B
；
（3）解：根据题意得：沿AD 方向修建一排充电桩，两边需要留1m ，
充电桩的中心距最小为1 1 1
3m
，
因为34 1 1
10
2
3
，
所以最多可以修建11 个充电桩，
此时此时相邻两个充电桩的中心距为3m ；
（4）解：如图，作点
2
O 关于AD 的对称点G，连接
2
O H ，
2
O G 交AD 于点L，连接
1
O G 交AD 于点H，过
点
1
O 作
1
2
O K
GO
，交
2
GO 于点K，则点H 即为总电箱所在的位置，则
2
HO
GH
，
∴
1
2
1
1
O H
O H
O H
GH
O G
，即该电箱到
1
2
O
O
、
的距离的和最短为
1
O G 的长，
根据题意得：
2
1
2m,
34
2
2
30m,
30
2
28m
O L
O K
KL
，
∴
30m
KG
，
∴
2
2
1
1
30 2m
O G
O K
KG
，
∴该电箱到
1
2
O
O
、
的距离的和最短为30 2m．
