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第04 讲特殊平行四边形常考问题精练
本讲目录
题型01 特殊平行四边形的折叠问题
题型02 特殊平行四边形的最值问题
(1)最小值问题
(2)最大值问题
题型03 中点四边形
题型04 与线段有关的探究问题
题型05 以尺规作图为背景的探究问题
题型06 正方形的常见模型
(1)一线三垂直模型
(2)45°角模型
(3)“十字架”模型
题型07 与特殊平行四边形有关的动点问题
题型08 一次函数与特殊平行四边形的综合问题
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题型01 特殊平行四边形的折叠问题
1.【问题情境】如图,在矩形����中,��= 4,��= 6.点F 是射线��上的一点,将矩形����沿直线��
折叠,点B 的对应点为点E.
【猜想证明】(1)当点E 落在边��上时,四边形����的形状为.
(2)当��平分∠���时,连接��,求�△���.
【能力提升】(3)在【问题情境】的条件下,是否存在点F,使点F,E,D 三点共线.若存在,请直接写
出��
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)正方形;(2)6 2;(3)6 + 2 5或6 −2 5
【分析】(1)先证明四边形����是平行四边形,再证明是菱形,最后再证明是正方形;
(2)过点E 作��⊥��于点G,可得△���为等腰直角三角形,设��= ��= �,在Rt △���中,由勾股
定理得:�2 + �2 = 42,解得:�= 2 2,故由�△���=
1
2 × ��× ��代入求解即可;
(3)①点F 在线段��上,根据“平行线+角平分线”可以得到等腰三角形,即��= ��= 6,对Rt △���
运用勾股定理得��= 2 5,则��= 6 −2 5,点F 在线段��延长线上,同理可求��= 6 + 2 5.
【详解】解:(1)如图:
∵四边形����是矩形,
∴��∥��,∠�= ∠���= 90°,
∴此时��∥��,
∵翻折,
∴∠1 = ∠2,��= ��
∵��∥��,
3
∴∠2 = ∠3
∴��= ��,
∴��= ��,
∴四边形����是平行四边形,
∵��= ��,
∴四边形����是菱形,
∵∠�= 90°,
∴四边形����是正方形,
故答案为:正方形;
(2)过点E 作��⊥��于点G,则∠���= 90°
∵∠���= 90°,��平分∠���,
∴∠���= 45°,
∴∠���= 45°,
∴∠���= ∠���,
∴��= ��,
设��= ��= �
∵翻折,
∴��= ��= 4,
在Rt △���中,由勾股定理得:�2 + �2 = 42,
解得:�= 2 2,
即��= 2 2,
∴�△���=
1
2 × ��× ��=
1
2 × 6 × 2 2 = 6 2;
(3)①点F 在线段��上,当F、E、D 三点共线时,如图:
4
∵翻折
∴∠���= ∠���,
∵��∥��,
∴∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
∴��= ��= 6,
∵四边形����是矩形,
∴��= ��= 4, ∠�= 90°, ��= ��= 6,
∴Rt △���中,由勾股定理得��= 2 5,
∴��= 6 −2 5,
②点F 在线段��延长线上,当F、E、D 三点共线时,如图:
同理可求:��= 2 5,
∴��= 6 + 2 5,
综上:��= 6 + 2 5或��= 6 −2 5.
【点睛】本题考查了矩形的性质,正方形的判定与性质,折叠的性质,勾股定理,等腰三角形的判定与性
质,熟练掌握知识点,正确添加辅助线是解题的关键..
2.已知矩形纸片����,��= �,��= ��> �.如图1,将矩形纸片����沿过点�的直线折叠,使点�
落在��边上的点�'处,折痕��交边��于点�.再将图1 中的矩形纸片����沿过点�的直线折叠,使点�落
在��边上的点�'处,点�落在点�'处,折痕��交边��于点,连结��',如图2.
5
(1)求证:��' = �'�.
(2)若�= 8,�= 6,求折痕��的长.
(3)当��' = ��时,求出�,�之间应满足的数量关系.
【答案】(1)见解析
(2)��= 3 5
(3)�=
2�
【分析】(1)由题意易得四边形���'�是矩形,可得��= ��,然后可得��= �'�',进而可得△���' ≌△
�'�'�HL ,最后问题可求证;
(2)过点E 作��⊥��于点D,由题意可得��= ��,��= ��= 6,则有��= 2 = �'�= ��' = ��,�'�=
4,设��= �'�= �,则��= 8 −�,然后根据勾股定理可求解;
(3)当��' = ��时,过点E 作��⊥��于点N,连接��,进而得出△��'�是等腰直角三角形,根据勾股定
理,即可求解.
【详解】(1)证明:∵四边形����是矩形,
∴∠�= ∠���' = 90°,
由折叠的性质可知:∠�= ∠��'�= 90°,��= �'�,
∴四边形���'�是矩形,
∵��= �'�,
∴四边形���'�是正方形;
∴��= ��,
在矩形����中,��= ��,∠�= ∠�= 90°,
由折叠的性质可知��= �'�',∠�= ∠�' = 90°,
∴��= �'�',
∵��' = �'�,
6
∴△���' ≌△�'�'�HL ,
∴��' = �'�;
(2)解:过点E 作��⊥��于点D,如图所示:
∵∠�= ∠�= ∠���= 90°,
∴四边形����是矩形,
∴��= ��, ��= ��= 6,
∵��' = �'�= ��,��= ��= 6,��= 8,
∴��= 2 = �'�= ��' = ��,
∴�'�= 4,
设��= �'�= �,则��= 8 −�,
在Rt △��'�中,由勾股定理得:�2 = 42 + 8 −�2,
解得:�= 5,
∴��= ��−��= 3,
∴��=
��2 + ��2 = 3 5;
(3)解:∵��= ��= ��−��,
∴��= ��−��= �−�= ��',
当��' = ��时,过点E 作��⊥��于点N,连接��,如图所示:
由折叠可知��= ��' = ��,�'�= ��,
∴��= ��= ��= �−�,
7
∴��= 2��= 2�−2�= �'�,
∴��= ��−��= 2�−�,
∵��' = ��= �−�,
∴��' = ��−��' = 2�−�,
∴��= ��' = 2�−�,
∴△��'�是等腰直角三角形,
∴�'�=
2��,即2�−2�=
2 2�−�,
解得:�=
2�;
【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的性质与判定及勾股定理,
熟练掌握折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的性质与判定及勾股定理是解题的关键.
3.综合与探究
【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形.
【操作判断】如图1,将▱����沿着对角线��折叠,若此时点A 与点C 恰好重合,证明:��= ��.
【类比探究】如图2,在▱����的一边��上取一点E,沿着��折叠△���,点A 的对称点�'恰好落在对角
线��上,若点�'与点C,E 共线,��= 1,求�'�的长.
【问题解决】如图3,在▱����的一边��上取一点E,沿着��折叠△���,点A 的对称点�'恰好落在��
的中点处,若��= 1,求��的长.
【答案】[操作判断]见解析;[类比探究]1;[问题解决]2
【分析】[操作判断]根据折叠的性质得��= ��,结合平行四边形的性质可得四边形����是菱形,即有��=
��;
[类比探究]根据平行四边形的性质得��∥��和��= ��,则∠���= ∠���,有折叠得∠���= ∠�'��,
��= �'�,由∠���= ∠���结合等腰三角形的性质有��= ��,则有��−�'�= ��−��,即可得�'�=
��= 1;
[问题解决]延长��'交��的延长线于点�',由(2)得��' = ��',设��= �'�= �,由平行四边形��∥��,��=
��= 1 + �,则有∠�= ∠�'��'和∠���' = ∠�',进一步证明△��'�≌△��'�',有�'�= �'�= �和��= ��' =
1,根据��' = ��'列方程求解即可.
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【详解】解:[操作判断]∵将▱����沿着对角线��折叠,若此时点A 与点C 恰好重合,
∴��= ��,
又∵四边形����是平行四边形,
∴四边形����是菱形,
∴��= ��.
[类比探究]∵四边形����是平行四边形,
∴��∥��,��= ��,
∴∠���= ∠���,
∵△���沿着��折叠点A 的对称点�'恰好落在对角线��上,
∴∠���= ∠�'��,��= �'�,
∴∠���= ∠���,
∴��= ��,
∵点�'与点C,E 共线,
∴��−�'�= ��−��,
即�'�= ��= 1,
[问题解决]延长��'交��的延长线于点�',
由(2)得��' = ��',
∵△���沿着��折叠,点A 的对称点�'恰好落在��的中点处,
设��= �'�= �,
∵四边形����是平行四边形
∴��∥��,��= ��= 1 + �
∴∠�= ∠�'��',∠���' = ∠�'
∵�'恰好落在��的中点处,
∴�'�= ��',
∴△��'�≌△��'�',
∴�'�= �'�= �,��= ��' = 1,
9
∵��' = ��',
∴2�= �+ 2,解得�= 2,
∴��= 2.
【点睛】本题主要考查折叠的性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形
的性质以及全等三角形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握折叠的性质和特殊四边形的性质.
4.在数学活动课中,老师组织学生开展“如何通过折,剪、叠得到一个菱形”的探究活动.
【动手操作】
第一小组:如图,将一张矩形的纸片对折,再对折,然后沿着虚线剪下,打开,即可得一个菱形.
第二小组:如图,把矩形纸片����沿着对角线��折叠,沿着边��、��剪下两个三角形,展开后得四边形
����.
第三小组:如图,将两块矩形纸片叠在一起,其中重叠的部分为菱形.
【过程思考】
(1)第一小组得到的四边形是菱形的理由是____________;
10
(2)第二小组经过上述的操作,认为四边形����即为菱形,请你判断第二小组的结论是否正确,并说明
理由;
【拓展探究】
(3)第三小组通过操作还发现,将两张矩形纸片沿着对角线按如图2 的方式叠放,得到的菱形面积最大,
已知矩形卡片的长为8,宽为6,请求出此时菱形的面积.
【答案】(1)四条边都相等的四边形是菱形;(2)正确,见解析;(3)�菱形����= 37.5
【分析】本题考查了菱形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理解三角形,熟练掌握知识点
是解题的关键.
(1)裁剪后展开可知四边相等,故理由为四条边都相等的四边形是菱形;
(2)先证明△���≌△���,则��= ��,在图③中,由折叠重合可得,��= ��, ��= ��,故��= ��=
��= ��,因此四边形����是菱形;
(3)由四边形����是菱形,可设��= ��= �,在Rt △���中,由勾股定理得62 + (8 −�)2 = �2,解
得�= 6.25,则�菱形����= ��⋅��= 6.25 × 6 = 37.5.
【详解】解:(1)四条边都相等的四边形是菱形,
故答案为:四条边都相等的四边形是菱形;
(2)证明:如图:
∵四边形����是矩形,
∴∠�= ∠�= 90°, ��= ��,
又∵∠���= ∠���,
∴△���≌△���AAS
∴��= ��,
在图③中,由折叠重合可得,��= ��, ��= ��,
∴��= ��= ��= ��,
∴四边形����是菱形.
(3)如图:
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∵四边形����是菱形,
∴��= ��,
设��= ��= �,则��= 8 −�,
在Rt △���中,��2 + ��2 = ��2,
∴62 + (8 −�)2 = �2,
解得�= 6.25,
∴�菱形����= ��⋅��= 6.25 × 6 = 37.5.
5.【探究发现】如果我们身旁没有量角器或三角尺,又需要作60°,30°,15°等大小的角,可以采用下面的
方法取一张矩形的纸进行折叠,如图1,具体操作过程如下:
操作一:先把矩形����对折,折痕为��;
操作二:在��上选一点�,沿��折叠,使点�落在矩形内部点�处,连接��,��.观察所得到的∠���,
∠���,∠���,这三个角有什么关系?你能证明吗?
【类比应用】
小明将矩形纸片换成边长为4cm 的正方形纸片,继续探究,过程如下:
将正方形纸片����按照(1)中的方式操作,并延长��交��于点�,连接��.
①如图2,当点�在��上时,∠���=
∘,��= ;
②改变点�在��上的位置(点�不与点�,�重合),如图3,试判断∠���的度数是否为定值,并说明理由.
【拓展延伸】在(2)的探究中,当��= 1cm 时,请直接写出
....��的长.
【答案】探究发现: ∠���= ∠���= ∠���,证明见解析;类比应用:①15,8 −4 3;②∠���= 45°为
12
定值,理由见解析;拓展延伸:��=
12
5 cm 或��=
4
7 cm
【分析】探究发现:设��与��交于点�,由折叠可得:�是��的中点,��∥��∥��,∠���= ∠���,∠�=
∠���= 90°,推出�是��的中点,得到��= ��=
1
2 ��,推出∠���= ∠���,再根据平行线的性质得到
∠���= ∠���,即可证明;
类比应用:①根据折叠的性质可证明Rt △���≌Rt △���HL ,得到∠���= ∠���= 15°,��= ��,
再根据勾股定理即可求解;②同探究发现可得:∠���= ∠���= ∠���=
1
3 ∠���= 30°,再根据折叠的性
质可证明Rt △���≌Rt △���HL ,得到∠���= ∠���=
1
2 ∠���= 15°,最后根据∠���= ∠���+
∠���即可求解;
拓展延伸:由(2)可得��= ��,分两种情况:当点�在点�的下方时,当点�在点�的上方时,设��= ��= �,
分别表示��,��,��,由勾股定理即可求解.
【详解】探究发现: ∠���= ∠���= ∠���,证明如下:
如图,设��与��交于点�,
由折叠可得:�是��的中点,��∥��∥��,∠���= ∠���,∠�= ∠���= 90°,
∴�是��的中点,
∴��= ��=
1
2 ��,
∴∠���= ∠���,
∵��∥��,
∴∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���= ∠���;
类比应用:①∵四边形����是正方形,
∴��= ��,∠�= ∠���= ∠�= 90°,
由折叠可得:��= ��,∠���= ∠���= ∠�= 90°,
13
∴��= ��,
∵��= ��,��= ��,
∴Rt △���≌Rt △���HL ,
∴∠���= ∠���,��= ��,
同探究发现可得:∠���= ∠���= ∠���=
1
3 ∠���= 30°,
∴∠���= ∠���=
1
2 ∠���= 15°;
∴∠���= ∠���−∠���= 90° −30° = 60°,
∴∠���= 180° −∠���= 120°,
∴∠���= 180° −∠���= 180° −120° = 60°,
在Rt △���中,��= 2��,
由勾股定理得:��2 −��2 = ��2,即3��2 = 16,
解得:��=
4 3
3 ,
∴��= ��−��= 4 −
4 3
3 ,
在Rt △���中,��= 2��,
由勾股定理得:��2 = ��2 −��2,即��2 = 3��2,
∴��= 4 3 −4,
∴��= ��−��= 4 −4 3 −4 = 8 −4 3,
故答案为:15,8 −4 3;
②∠���= 45°,∠���的度数为定值,理由如下:
如图3,延长��、��交于点�,
同探究发现可得:∠���= ∠���= ∠���=
1
3 ∠���= 30°,
由折叠可得:��= ��,∠���= ∠���= ∠�= 90°,
∴��= ��,
14
∵��= ��,��= ��,
∴Rt △���≌Rt △���HL ,
∴∠���= ∠���=
1
2 ∠���= 15°,
∴∠���= ∠���+ ∠���= 30° + 15° = 45°,
∴∠���的度数为定值;
拓展延伸:当点�在点�的下方时,如图,
∵��= 1cm,��= ��= 2cm,��= 4cm,
∴��= ��−��−��= 4 −2 −1 = 1cm,��= ��+ ��= 2 + 1 = 3cm,
由(2)可知,��= ��,设��= ��= �,��= 4 −�,
∴��2 + ��2 = ��2,即4 −�2 + 32 = �+ 1 2,
解得:�=
12
5 ,
∴��=
12
5 cm;
当点�在点�的上方时,如图,
∵��= 1cm,��= ��= 2cm,��= 4cm,
∴��= ��+ ��= 2 + 1 = 3cm,��= ��−��= 2 −1 = 1cm,,
由(2)可知,��= ��,
设��= ��= �,��= 4 −�,
∴��2 + ��2 = ��2,即4 −�2 + 12 = �+ 3 2
解得:�=
4
7,
15
∴��=
4
7 cm,
综上所述,��=
12
5 cm 或��=
4
7 cm.
【点睛】本题考查了矩形与折叠,正方形的性质,勾股定理,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边
中线定理等知识,解题的关键是灵活运用这些知识.
6.【模型建立】如图1,正方形����中,点E,F 分别在边��,��上,��⊥��,��与��相交于点P.线
段��,��的关系是______.
【迁移应用】如图2,请仅用无刻度的直尺画图(保留作图痕迹,不用证明)
(1)以��为边画正方形����;
(2)取��中点E,连接��;
(3)在��上找点G,连接��,使��= ��.
【拓展提升】如图3,正方形����中,点E,F 分别在边��,��上,将正方形沿��折叠,点A,D 的对应
点分别为�',�',使得点�'始终落在边��上,�'�'与��相交于点G,
(1)若��= 5,��' = 2,求��的长度=______;
(2)点E,F 在边��,��上运动时,连接��,求∠�'��的度数.
【答案】模型建立:��= ��;迁移应用:(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析;拓展提升:(1)
9
10;(2)
∠�'��= 45°
【分析】模型建立:根据正方形的性质,根据ASA,可得△���≌△���,根据全等三角形的性质,可得
答案;
迁移应用:根据题意画图即可;
拓展提升:(1)过点D 作��∥��,交��于H,可证得四边形����是平行四边形,由平行四边形的性质得
出��= ��,设��= ��= �,利用勾股定理可求得答案;
(2)作��⊥�'�于H.利用全等三角形的性质证明∠�'��= ∠�'��,∠���= ∠���,即可解决问题.
【详解】解:模型建立:
16
结论:��= ��.理由如下:
如图1,∵四边形����是正方形,
∴��= ��,∠���= ∠���= 90°,
∵��⊥��,
∴∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= 90°,
又∵∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���,
在△���和△���中,
∠���= ∠���
��= ��
∠���= ∠���
,
∴△���≌△���ASA ,
∴��= ��;
迁移应用:
(1)正方形����即为所求;
(2)如图,取��中点E,连接��,即为所求;
(3)点G 即为所求;
拓展提升:
17
(1)过点D 作��∥��,交��于H,
∵四边形����是正方形,
∴��∥��,
∴四边形����是平行四边形,
∴��= ��,
∵将正方形����沿��折叠,点A,D 的对应点分别为�',�',使得点�'始终落在边��上,
∴��' ⊥��,��= ��',��= ��',
∴��⊥��',��= ��',
由(1)可知△���'≌△���,
∴��= ��',
设��= ��= �,
∵��= 5,��' = 2,
∴��= ��−��−��= 5 −2 −�= 3 −�,��' = ��= ��+ ��= 2 + �
在Rt △��'�中,��'2 + ��2 = ��'2,
∴22 + 3 −�2 = 2 + �2,
解得:�=
9
10,
∴��=
9
10;
(2)如图4 中,作��⊥�'�于H.
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∵��= ��',
∴∠���' = ∠��'�,
∵∠��'�' = ∠���= 90°,
∴∠�'�'�= ∠�'��,
∵��∥��,
∴∠��'�= ∠�'��,
∴∠��'�= ∠�'�'�,
∵��⊥�'�,��⊥�'�',
∴∠�= ∠���' = 90°,
��' = ��',
∴△���' ≌△���'(HL),
∴∠���' = ∠���',��= ��;
同法可证:∠���= ∠���,
∵∠���= 90°,
∴∠�'��= ∠�'��+ ∠���=
1
2 ∠���+
1
2 ∠���=
1
2 ∠���= 45°.
【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、折叠变换等知识,
解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题是解题关
键.
7.数学活动课上,张老师出示了一个问题:如图1,在▱����中,��⊥��,垂足为E,F 为��的中点,
连接��,��,求证:��= ��.
①小芳同学由已知条件中点想到了如图2 的辅助线.
②小琳同学由已知条件中点想到了如图3 的方法.
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(1)请你选择一名同学的解题思路,写出证明过程;
【类别分析】
(2)小迪同学受此问题启发,将▱����沿着��(F 为��的中点)所在直线折叠,如图4,点C 的对应点
为点�',连接��'并延长交��于点K,在此基础上,小芮同学想:线段��与��之间会有怎样的数量关系呢?
请你判断,并证明;
【学以致用】
(3)小怡同学突发奇想,将▱����沿着过点B 的直线折叠,如图5,点A 的对应点为点�'使�'�⊥��于点
H,折痕交��于点M,�'�交��于点N.小怡提出一个问题:若▱����的面积为20,��= 5,��= 2 5,
请直接写出△���的面积与△��'�的面积的比.
【答案】(1)见解析;(2)��= ��,理由见解析(3)2: 5
【分析】(1)选小芳同学:延长��,��交于点�,结合平行四边形的性质可证△���≌△���ASA ,得��=
��,即�为��的中点,由��⊥��,��∥��,结合直角三角形斜边上中线等于斜边一半可证明结论;
选小琳同学:分别取��、��中点�、�,连接��,��,根据三角形中位线的性质及平行四边形的性质可证
�、�、�三点在同一直线上,进而可证明��垂直平分��,即可证明结论;
(2)由折叠可知,∠���= ∠�'��=
1
2 ∠���',��' = ��,先证��' = ��,得∠���' = ∠��'�,再证∠��'�=
∠�'��,得��∥��,进而证明四边形����为平行四边形,得��= ��=
1
2 ��,可知�为��的中点,即可
证得��= ��;
(3)在▱����中,��= ��= 5,由折叠可知,��= �'�= 5,∠���= ∠�'��= 45°,求得��= 4,在
Rt △���中,��= 2 5,��= 2,则��= 3,以点�为坐标原点,直线��为�轴,直线�'�为�轴,建立如
图所示直角坐标系,则�−5,0 ,�−3,4 ,�' 0,5 ,过点�作��⊥�轴于�,则△���为等腰直角三角形,
20
设��= ��= �,则�−�, �
�≠0 ,求得直线��的解析式为:�=−�,直线��的解析式为:�= 2�+ 10,
进而可得�−
10
3 ,
10
3 ,同理可得,直线��'的解析式为:�=
1
2 �+ 5,求得�−2,4 ,得��= 2,则��= 1,
即可求得�△���= 2,�△��'�= 5,进而可得△���的面积与△��'�的面积的比为2: 5.
【详解】解:(1)若选小芳同学的解题思路,
证明:延长��,��交于点�,
∵�为��的中点,
∴��= ��,
在▱����中,��∥��,
∴∠���= ∠���,
又∵∠���= ∠���,
∴△���≌△���ASA ,
∴��= ��,即�为��的中点,
∵��⊥��,��∥��,
∴∠���= ∠���= 90°,
∴��=
1
2 ��= ��;
若选小琳同学的解题思路,
证明:分别取��、��中点�、�,连接��,��,
∴��为△���的中位线,
∴��∥��,
在▱����中,��∥��,��= ��,
∵�为��的中点,�为��的中点,则��=
1
2 ��,��=
1
2 ��,
21
∴��= ��,��∥��,
∴四边形����是平行四边形,
∴��∥��,
∴�、�、�三点在同一直线上,
∵��⊥��,��∥��,
∴∠���= ∠���= 90°,即:��⊥��,
∴��垂直平分��,
∴��= ��;
(2)��= ��,理由如下:
∵将▱����沿着��所在直线折叠,点�的对应点为�',
∴∠���= ∠�'��=
1
2 ∠���',��' = ��,
∵�为��的中点,
∴��= ��=
1
2 ��,
∴��' = ��,
∴∠���' = ∠��'�,
∵∠���' = ∠���' + ∠��'�,
∴∠��'�=
1
2 ∠���',
∴∠��'�= ∠�'��,
∴��∥��,
∵四边形����为平行四边形,
∴��∥��,��= ��,
∴四边形����为平行四边形,
∴��= ��=
1
2 ��,
∴��=
1
2 ��,即�为��的中点,
∴��= ��.
(3)在▱����中,��= ��= 5,
由折叠可知,��= �'�= 5,∠���= ∠�'��= 45°,
∵�'�⊥��,▱����的面积为20,
22
∴��⋅��= 20,则��= 4,
在Rt △���中,��= 2 5,
∴��=
��2 −��2 = 2,则��= ��−��= 3,
�'�= �'�−��= 1,
以点�为坐标原点,直线��为�轴,直线�'�为�轴,建立如图所示直角坐标系,
则�−5,0 ,�−3,4 ,�' 0,5 ,
过点�作��⊥�轴于�,则△���为等腰直角三角形,设��= ��= �,则�−�, �
�≠0 ,
设直线��的解析式为:�= ��,代入�−�, �,得�=−��,解得:�=−1,
∴直线��的解析式为:�=−�,
设直线��的解析式为:�= ��+ �,代入�−5,0 ,�−3,4
得:−5�+ �= 0
−3�+ �= 4 ,解得:�= 2
�= 10 ,
∴直线��的解析式为:�= 2�+ 10,
联立�= 2�+ 10
�=−�
,解得:
�=−
10
3
�=
10
3
,则�−
10
3 ,
10
3 ,
同理可得,直线��'的解析式为:�=
1
2 �+ 5,
当�= 4 时,�=−2,即:�−2,4 ,
∴��= 2,则��= 1,
∴�△���=
1
2 ��⋅��=
1
2 × 1 × 4 = 2,�△��'�=
1
2 �'�⋅��=
1
2 × 5 × 2 = 5,
∴△���的面积与△��'�的面积的比为2: 5.
【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质,三角形中位线,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,
全等三角形的判定及性质,折叠的性质,勾股定理,一次函数与几何综合等知识,熟练掌握相关图形的性
质是解决问题的关键.
题型02 特殊平行四边形的最值问题
23
(1)最小值问题
8.如图,正方形����的边长为2,点�是��的中点,点�是��上的动点,则��+ ��的最小值为(
)
A.5
B.2
C.4
D.2 5
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题,正方形的性质,全等三角形的判定与性质,连接��,根据
△���≌△���,即可得出��= ��,进而得到当�,�,�在同一直线上时,��+ ��的最小值等于线段��
的长,再根据勾股定理求得��的长,即可得出��+ ��的最小值为5,熟练掌握知识点的应用是解题的关
键.
【详解】如图所示,连接��,
∵四边形����是正方形,
∴∠���= ∠���,��= ��= 2,
又∵��= ��,
∴△���≌△���SAS ,
∴��= ��,
∴��+ ��= ��+ ��,当�,�,�在同一直线上时,��+ ��的最小值等于线段��的长,
∵点�是��边的中点,
∴��= ��= 1,
在Rt △���中,��=
��2 + ��2 =
22 + 12 =
5,
∴��+ ��的最小值为5,
故选:A.
24
9.如图,菱形����的边长为4,∠�= 60°,点E 在线段��上,以��为边在��左侧构造菱形����,使G
在��的延长线上,连接��、��,分别取��, ��的中点H,O,连接��, ��,则��=
;当点E
在��边上运动(不含A,D)时,��的最小值为
.
【答案】
2
3
【分析】分别取��, ��的中点�, �,连接��, ��, ��,由菱形的性质得到�点为��的中点,结合�点为��的
中点,推出��是△���的中位线,得到��∥��,��=
1
2 ��= 2;即��= ��= 2,易证四边形����是
平行四边形,证明△���是等边三角形,则∠���= ∠���为定角,推出点�在��上运动,当��⊥��时,
��有最小值,利用勾股定理即可求解.
【详解】解:分别取��, ��的中点�, �,连接��, ��, ��,
∵四边形����是菱形,四边形����是菱形,��= ��= 4,
∵O 点为��的中点,
∴�点为��的中点,
∵�点为��的中点,
∴��是△���的中位线,
∴��∥��,��=
1
2 ��= 2,即��= ��= 2,
∴四边形����是平行四边形,
∴��∥��,
∵∠���= ∠�= 60°,
∴∠���= 120°,
∴∠���= ∠���=
1
2 ∠���= 60°,
25
∴∠���= ∠���= 60°,
∵点�, �是��, ��的中点,
∴��= ��,
∴△���是等边三角形,
∴∠���= 60° = ∠���
∴点�在��上运动,
当��⊥��时,��有最小值,利用勾股定理即可求解.
此时��=
1
2 ��=
1
4 ��= 1,
∴��=
��2 −��2 =
3;
故答案为:2,3.
【点睛】本题考查了菱形的性质,三角形中位线定理,平行四边形的判定与性质,等边三角形的判定与性
质,勾股定理,正确作出辅助线是解题的关键.
10.如图,已知正方形����的边长为6,动点�从点A 出发在边��上运动,同时动点�从点�出发以同样的
速度在边��上运动.分别连接��、��,��与��相交于点�,连接��,则线段��的最小值为
.
【答案】3 5 −3
【分析】根据正方形的性质和已知条件,判定三角形全等,根据全等三角形的性质和直角三角形两个锐角
互余的性质,得到∠���= 90°,再利用三角形三边关系和两点间距离最短的知识,即可找到符合题意的的
E 点,进而利用勾股定理等即可解出答案.
【详解】解:如图:取��的中点�,连接��, ��,
26
∵点P 与点Q 的速度相同,
∴��= ��,
∵四边形����为正方形,
∴∠���= ∠���= 90°,��= ��,
∴△���≌△���SAS ,
∴∠���= ∠���,
∵∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= 90°,
∵O 是��的中点,
∴��= ��=
1
2 ��= 3,
在Rt △���中,��=
��2 + ��2 = 3 5 ,
∵��≥��−��,
∴��≥3 5 −3,
当O、E、B 三点共线时,��取得最小值,��= 3 5 −3,
故答案为:3 5 −3.
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质,勾股定理,三角形三边关系,解题的关键
是通过全等三角形得到∠���= 90°.
11.如图,在矩形����中,��= 6,��= 8,�是对角线��上的一动点,作��⊥��,垂足为�,作��⊥��,
垂足为�,连接��.
(1)当�是��的中点时,线段��的长度是
.
27
(2)线段��长度的最小值是
.
【答案】
5
24
5
【分析】本题考查了矩形的性质与判定,勾股定理,垂线段最短;
(1)连接��,勾股定理求得��,根据直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半得出��=
1
2 ��= 5,
进而根据��⊥��,��⊥��得出四边形����是矩形,根据矩形的对角线相等,即可求解;
(2)同(1)得出四边形����为矩形,当��⊥��时,��取最小值,即��最小,根据等面积法即可求解.
【详解】(1)连接��,
∵矩形����中,��= 6,��= 8,
∴∠�= 90°,��=
��2 + ��2 =
62 + 82 = 10,
∴��=
1
2 ��= 5,
∵��⊥��,��⊥��
∴四边形����是矩形
∴��= ��=
1
2 ��= 5,
故答案为:5.
(2)如图,连接��.
28
∵��⊥��,��⊥��,
∴∠���= ∠���= 90°.
∵在矩形����中,∠���= 90°,
∴四边形����为矩形,
∴��= ��,
∴��的最小值即��的最小值.
当��⊥��时,��取最小值.
在Rt △���中,��=
��2 + ��2 =
62 + 82 = 10.
∵�△���=
1
2 ��⋅��=
1
2 ��⋅��,
∴��=
��⋅��
��
=
6×8
10 =
24
5 ,即线段��长度的最小值是
24
5 .
故答案为:
24
5 .
12.如图,在矩形����中,��= 2,∠���= 30°,P 是边��上一个动点,过点P 作��⊥��,垂足为G,
连接��,取��中点E,连接��,则线段��的最小值为
.
【答案】
1
2
【分析】本题考查三角形的中位线的性质,矩形的性质,含30°角的直角三角形的性质,熟练掌握三角形中
位线的性质是解题关键.延长��,使得��= ��,连接��,��,求出∠���= 30°,得点�在定直线上,利
用中位线得��=
1
2 ��,则当��最小时,��有最小值,而当��⊥��时,��最小,计算即可.
【详解】解:延长��,使得��= ��,连接��,��,如图,
29
∵��⊥��,��= ��,
∴��= ��,
∴��平分∠���,
∵∠���= 30°,
∴∠���= 60°,
∴∠���= 30°,
∴点�在定直线上,
∵�是��的中点,
∴��=
1
2 ��,
∴当��最小时,��有最小值,
当��⊥��时,��最小,
此时��=
1
2 ��=
1
2 ��= 1,
∴��的最小值为
1
2 × 1 =
1
2,
故答案为:
1
2.
13.如图,边长为3 的菱形����中,∠���= 60°,点P 是对角线��上任意一点(P 不与B、D 重合),以
��和��为边作平行四边形����,则��的最小值为
.
【答案】
3
2
【分析】设��与��交于O,根据平行四边形的性质得到��= 2��,当��取最小值时,��的值最小,当��⊥
��时,��的值最小,根据菱形的性质得到��= ��= 3,∠���= ∠���= 60°,根据直角三角形的性质得
30
到��=
3
4,于是得到答案.
【详解】解:设��与��交于O,
∵四边形����是平行四边形,
∴��= 2��,
∴当��取最小值时,��的值最小,
由“点到直线的距离垂线段最短”可知,
当��⊥��时,��的值最小,
∵四边形����是菱形,
∴��= ��= 3,∠���= ∠���= 60°,
∴∠���= 30°,
∵��= ��=
3
2,
在Rt △���中,��=
1
2 ��=
3
4
∴��= 2��=
3
2,
∴��的最小值为
3
2.
故答案为:
3
2.
【点睛】此题考查了菱形的性质、含30°直角三角形的性质、平行四边形的性质等知识,熟练掌握相关知识
是解题的关键.
14.如图,在正方形����中,��= 8,对角线��上的有一动点�(点�不与点�、点�重合),以��为边作
正方形����.若�是��的中点,连接��,则��的最小值为
.
31
【答案】2 2
【分析】取��的中点N,连接��,首先求出��= ��= ��= 4,然后证明出△���≌△���SAS ,得
到��= ��,当��⊥��时,��有最小值,即此时��有最小值,然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定
理求解即可.
【详解】如图所示,取��的中点N,连接��
∵点N 是��的中点,�是��的中点,��= ��= ��= 8
∴��= ��= ��= 4
∵∠���= ∠���= 90°
∴∠���= ∠���
又∵��= ��
∴△���≌△���SAS
∴��= ��
∵点P 是对角线��上的一动点
∴当��⊥��时,��有最小值,即此时��有最小值
∵四边形����是正方形
∴∠���= 45°
∴∠���= 45°
∴△���是等腰直角三角形
∴��2 + ��2 = ��2,��= ��
∴2��2 = 42
∴��= 2 2
∴��的最小值为2 2.
故答案为:2 2.
【点睛】此题考查了正方形的性质,全等三角形的性质和判定,勾股定理和等腰直角三角形的性质和判定,
解题的关键是掌握以上知识点.
(2)最大值问题
32
15.如图,在Rt △���中,∠���= 90°,��= 2,以��,��为边向外作正方形����与正方形����,作��⊥
��,��的反向延长线与��交于点�,连接��,则��的最大值为(
)
A.2 + 1
B.
3+ 2
2
C.
4+ 2
2
D.2 2
【答案】A
【分析】作点N 关于��的对称点�,连接��交��于点Q,连接��, ��,则��= ��,连接��,当�, �, �三
点共线时,��有最大值,即��有最大值,先证明△���≌△���SAS ,得到��= ��= 2,再证明点N
是��的中点,得到��= ��= ��= ��= 1,再证明△���≌△���AAS ,得到��= ��,进而得到��=
��,易证△���≌△���AAS ,得到��= ��=
2
2 ��, ��= ��,由��=
��2 + ��2即可求解.
【详解】解:如图,作点N 关于��的对称点�,连接��交��于点Q,连接��, ��,则��= ��,连接��,
∵��= ��,��+ ��≥��,
∴当�, �, �三点共线时,��有最大值,即��有最大值,如图
∵四边形����与四边形����都是正方形,
∴��= ��, ��= ��,
∵∠���= ∠���= 90°
33
∴△���≌△���SAS ,
∴��= ��= 2,
∵点N 与点P 关于��对称,
∴��垂直平分��,
∴��= ��, ∠���= ∠���,
∵∠���+ ∠���= ∠���+ ∠���= 90°, ∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
∵∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
∴��= ��,
∵��⊥��,
∴∠���= ∠���,
∵∠���= ∠���= 90°,
∴��∥��,
∴∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���= ∠���= ∠���,
∴��= ��= ��,
∴点N 是��的中点,
∴��= ��= ��= ��=
1
2 ��= 1,
∵∠���= ∠���, ∠���= ∠���, ��= ��,
∴△���≌△���AAS ,
∴��= ��,
∴��= ��,
∵∠���= ∠���, ∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
∵∠���= ∠���= 90°
∴△���≌△���AAS ,
∴��= ��, ��= ��,
34
∵��2 + ��2 = ��2,��= 1,
∴��= ��=
2
2 ,
∴��= ��+ ��= 1 +
2
2 =
2+ 2
2 ,
∴��=
��2 + ��2 =
2��= 1 +
2,
故选:A.
【点睛】本题考查了轴对称的性质,正方形的性质,三角形三边关系的应用,全等三角形的判定与性质,
垂直平分线的性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,作出辅助线构造三角形全等是解题的关键.
16.菱形����中,��= 6,∠���= 60°,点�在边��上,且��= 4.将线段��绕点�旋转,得到线段��,
连接��,�是线段��的中点,连接��,则旋转一周的过程中线段��的最大值是
.
【答案】5
【分析】本题主要考查了菱形的性质,旋转的性质,三角形的中位线定理,等边三角形的性质与判定,延
长��到点�,使得��= ��,连接��,��,由三角形的中位线定理得��=
1
2 ��,当�、�、�依次在同一直
线上时��的值最大,据此求得��的最大值便可求得��的最大值.
【详解】解:延长��到点�,使得��= ��,连接��,��,如图,
∵四边形����是菱形,
∴��= ��= ��= 6,��∥��,
∵∠���= 60°,
∴∠���= ∠���= 60°,
∴△���为等边三角形,
∴��= ��= 6,
∵点�是��的中点,
35
∴��=
1
2 ��,
当��取最大值时,��的值就最大,
由题意知,点�在以�为圆心,以��= 4 为半径的圆上,
∴当�、�、�依次在同一直线上时,��的值最大,如图,
由旋转性质知,��= ��= 4,
∴��的最大值为��=
1
2 ��=
1
2 (��+ ��) =
1
2 (4 + 6) = 5,
故答案为:5.
17.如图,∠���= 90°,矩形����的顶点A、B 分别在边��、��上,当B 在边��上运动时,A 随之在��
上运动,矩形����的形状保持不变,其中��= 6,��= 2.运动过程中点D 到点O 的最大距离
是
.
【答案】3 +
13
【分析】取线段��的中点E,连接��,��,��,根据直角三角形的特征量,三角形不等式解答即可.
本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半,勾股定理,矩形的性质,三角形不等式,熟练掌握三角形不等
式,勾股定理是解题的关键.
【详解】
解:如图:取线段��的中点E,连接��,��,��,
36
∵∠���= 90°,矩形����,��= 6,��= 2,
∴��= ��=
1
2 ��= 3, ��= ��= 2, ∠���= 90°,
∴��=
��2 + ��2 =
13,
∵��≤��+ ��,
∴当点D,点E,点O 共线时,��的长度最大.
∴点D 到点O 的最大距离��= ��+ ��= 3 +
13,
故答案为:3 +
13.
18.如图1,在△���中,∠���= 90°, �是边��上一点,过点�作��⊥��交��的延长线于点�,以��, ��
为边作▱����.延长��交��于点�,连接��.
(1)求证:��⊥��;
(2)当��= ��时,求证:四边形����是平行四边形;
(3)如图2,延长��交��于点�,取��的中点�,连接��.若��= 6,��= 8,求��的最大值.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)7
【分析】(1)根据平行四边形的性质可得��∥��,再结合��⊥��,可证明结论;
(2)由��= ��,得∠���= ∠���,可证△���≌△���,得��= ��,进而得��= ��,进而可证∠���=
∠���,得��∥��,再根据��∥��,四边形����是平行四边形;
37
(3)由��∥��且��⊥��,知��⊥��.进而可知点E 是△���三条高线的交点,得��⊥��,取��中点
Q,连接��、��,由直角三角形的性质可知M�=
1
2 ��= 4,由三角形的中位线的性质可知,��=
1
2 ��= 3,
当M、Q、N 三点共线时,��取最大值,进而可求解.
【详解】(1)证明:延长��交��于点�
∵四边形����是平行四边形,
∴��∥��.
又∵��⊥��,
∴∠���= ∠���= 90°,
∴��⊥��.
(2)证明:∵��= ��,
∴∠���= ∠���.
∵∠���= ∠���= 90°,��= ��.
∴△���≌△���.
∴��= ��.
∴��−��= ��−��.即��= ��.
∴∠���= ∠���.
又∵∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���.
∴��∥��.
∵��∥��,
∴四边形����是平行四边形.
(3)解:∵��∥��且��⊥��,
∴��⊥��.
又∵��⊥��,
∴点E 是△���三条高线的交点.
38
∴��⊥��.
∴△���是直角三角形.
取��中点Q,连接��、��.
∴M�=
1
2 ��= 4,
又∵点N 是��中点,
∴��=
1
2 ��= 3,
∴当M、Q、N 三点共线时,��取最大值.
∴��最大= ��+ ��= 3 + 4 = 7.
【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质,全等三角形的判定及性质,等腰三角形的判定及性质,直角
三角形斜边上的中线等于斜边的一半,三角形中位线定理等知识点,熟练掌握相关图形的性质是解决问题
的关键.
题型03 中点四边形
19.如图,点A,B,C 为平面内不在同一直线上的三点.点�为平面内一个动点,线段��,��,��,��
的中点分别为M,N,P,Q,在点�的运动过程中,有下列结论:
①存在无数个中点四边形����是平行四边形;
②存在无数个中点四边形����是菱形;
③存在无数个中点四边形����是矩形;
④存在无数个中点四边形����是正方形.
其中,所有正确的有(
)
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
39
【答案】A
【分析】根据中点四边形的性质:一般中点四边形是平行四边形,对角线相等的四边形的中点四边形是菱
形,对角线垂直的中点四边形是矩形,对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形,由此即可判断.
【详解】①��与��不平行时,中点四边形����是平行四边形,故存在无数个中点四边形����是平行四
边形,所以①正确;
②��与��相等且不平行时,中点四边形����是菱形,故存在无数个中点四边形����是菱形,所以②正
确;
③��与��互相垂直(B,D 不重合)时,中点四边形����是矩形,故存在无数个中点四边形����是矩形,
所以③正确;
④如图所示,当��与��相等且互相垂直时,中点四边形����是正方形,故存在两个中点四边形����是
正方形,所以④错误.
故选A.
【点睛】本题考查中点四边形,平行四边形的判定,矩形的判定,菱形的判定,正方形的判定等知识,解
题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
20.如图,在矩形����中,��= 12, ��= 9,顺次连结各边中点得到菱形�1�1�1�1,再顺次连接菱形
�1�1�1�1各边中点,得到矩形�2�2�2�2,再顺次连接矩形�2�2�2�2各边中点,得到菱形�3�3�3�3�3, …,
如此下去,四边形�2024�2024�2024�2024�2024的面积等于(
)
A.
27
22024
B.
27
2023
C.
27
22022
D.
27
2021
【答案】C
40
【分析】本题考查矩形的性质、菱形的性质,中点四边形等知识,解题的关键是学会从特殊到一般的探究
方法,利用规律解决问题,记住中点四边形的面积等于原四边形面积的一半.根据中点四边形的面积等于
原四边形面积的一半即可解决问题.
【详解】解:根据中点四边形的性质可知,�1�1�1�1、�3�3�3�3 ⋯是菱形,�2�2�2�2、�4�4�4�4 ⋯是矩
形,
∵四边形�1�1�1�1的面积=
1
2 �矩形����,
四边形�2�2�2�2的面积=
1
2 ×四边形�1�1�1�1的面积=
1
2
2
⋅�矩形����,
四边形�3�3�3�3的面积=
1
2
3
⋅�矩形����,
⋯⋯,
∴四边形��������的面积=
1
2
�
⋅�矩形����= 12 × 9 ×
1
2
�
,
∴四边形�2024�2024�2024�2024�2024的面积为:= 12 × 9 ×
1
2
2024
= 27 × 22 ×
1
22024 =
27
22022.
故选:C.
21.阅读理解,我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形,如图1,在四边形����
中,�,�,�,�分别是边��,��,��,��的中点,依次连接各边中点得到中点四边形����.
(1)这个中点四边形����的形状是
;
(2)如图2,在四边形����中,点�在��上且△���和△���为等边三角形,�,�,�,�分别为
��、��、��、��的中点,试判断四边形����的形状并证明.
【答案】(1)平行四边形
(2)菱形,见解析
【分析】本题考查了中点四边形、菱形的判定方法、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质;熟练
掌握中点四边形,证明三角形全等得出��= ��是解决问题(2)的关键.
(1)连接��,由三角形中位线定理得出��∥��,��=
1
2 ��,��∥��,��=
1
2 ��,得出��∥��,��= ��,
41
即可得出结论;
(2)连接��、��,由等边三角形的性质得出��= ��,∠���= ∠���= 60°,��= ��,证出∠���=
∠���,由SAS 证明△���≌△���,得出��= ��,由三角形中位线定理得出��∥��,��=
1
2 ��,��∥��,
��=
1
2 ��,��=
1
2 ��,得出��∥��,��= ��,证出四边形����是平行四边形;再得出��= ��,即
可得出结论.
【详解】(1)解:中点四边形����是平行四边形;
理由如下:连接��,如图1 所示:
∵�,�,�,�分别是边��,��,��,��的中点,
∴��是△���的中位线,��是△���的中位线,
∴��∥��,��=
1
2 ��,��∥��,��=
1
2 ��,
∴��∥��,��= ��,
∴四边形����是平行四边形;
故答案为:平行四边形;
(2)解:四边形����为菱形.理由如下:
连接��与��,如图2 所示:
∵△���和△���为等边三角形,
∴��= ��,∠���= ∠���= 60°,��= ��,
∴∠���= ∠���,
在△���和△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
42
∴△���≌△���SAS ,
∴��= ��,
∵�,�,�,�分别是边��,��,��,��的中点,
∴��是△���的中位线,��是△���的中位线,��是△���的中位线,
∴��∥��,��=
1
2 ��,��∥��,��=
1
2 ��,��=
1
2 ��,
∴��∥��,��= ��,
∴四边形����是平行四边形;
∵��= ��,
∴��= ��,
∴四边形����为菱形.
22.定义:对于一个四边形,我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”,
如果原四边形的中点四边形是个正方形,那么我们把原四边形叫做“中方四边形”.
(1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________;
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
(2)如图1,以锐角△���的两边��, ��为边长,分别向外侧作正方形����和正方形����,连结��, ��, ��,
求证:四边形����是“中方四边形”;
(3)如图2,四边形����是“中方四边形”,若��2的值为32,则��+ ��的最小值是________.(不需要解答
过程)
【答案】(1)D
(2)见解析
(3)4
【分析】(1)根据定义“中方四边形”,即可得出答案;
(2)如图,取四边形����各边中点分别为P、Q、R、L 并顺次连接成四边形����,连接��交��于P,
连接��交��于K,利用三角形中位线定理可证得四边形����是平行四边形,再证得△���≌△���,推
43
出四边形����是菱形,再由∠���= 90°,可得菱形����是正方形,即可证得结论;
(3)如图,分别作��, ��, ��, ��的中点E,F,M,N,并顺次连接��、��、��、��,连接��交��于O,
连接��、��,可得四边形����是正方形,再根据等腰直角三角形性质可得��=
2
2 ��,根据题意得:当
点O 在��上(即M、O、N 共线)时,��+ ��最小,最小值为��的长,再结合(2)的结论即可求得答
案.
【详解】(1)解:在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”,理由如下:因为正方
形的对角线相等且互相垂直,
故选:D;
(2)证明:如图,取四边形����各边中点分别为P、Q、R、L 并顺次连接成四边形����,连接��交��
于P,连接��交��于K,
∵四边形����各边中点分别为M、N、R、L,
∴��、��、��、��分别是△���、△���、△���、△���的中位线,
∴��∥��, ��=
1
2 ��, ��∥��, ��=
1
2 ��,��∥��, ��=
1
2 ��, ��∥��, ��=
1
2 ��,
∴��∥��, ��= ��, ��∥��∥��, ��= ��,
∴四边形����是平行四边形,
∵四边形����和四边形����都是正方形,
∴��= ��, ��= ��, ∠���= ∠���= 90°,
又∵∠���= ∠���,
∴∠���+ ∠���= ∠���+ ∠���,
即∠���= ∠���,
在△���和△���中,
∵��= ��,∠���= ∠���, ��= ��,
∴△���≌△���SAS ,
∴��= ��, ∠���= ∠���,
44
又∵��=
1
2 ��, ��=
1
2 ��,
∴��= ��,
∴四边形����是菱形,
∵∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= 90°.
又∵∠���= ∠���, ∠���= ∠���,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= 90°,
又∵��∥��, ��∥��,
∴∠���= 90°,
∴菱形����是正方形,
即原四边形����是“中方四边形”;
(3)解:如图,分别作��, ��, ��, ��的中点E,F,M,N,并顺次连接��、��、��、��,连接��交��
于O,连接��、��,
∵四边形����是“中方四边形”,M,N 分别是��, ��的中点,
∴四边形����是正方形,
∴��= ��, ∠���= 90°,
∴��=
��2 + ��2 =
2��2 =
2��,
∵M,F 分别是��, ��的中点,
∴��=
1
2 ��,
∴��=
2
2 ��,
∵��2的值为32,
∴��= 4,
45
根据题意得:当点O 在��上(即M、O、N 共线)时,��+ ��最小,最小值为��的长,
∴2 ��+ ��≥2��,
由(2)知:��⊥��,
又∵M,N 分别是��, ��的中点,
∴��= 2��, ��= 2��,
∴2 ��+ ��= ��+ ��,
∴��+ ��≥2��,
∵��= 4,
∴��+ ��的最小值为4.
【点睛】本题是四边形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,三角形的中
位线的性质,正方形的判定和性质,勾股定理,两点之间线段最短等知识,理解“中方四边形”的定义并运用
是本题的关键.
23.综合与探究:如图1,四边形����中,�、�、�、�分别是��、��、��、��的中点,顺次连接�、�、
�、�.
(1)猜想四边形����的形状是________(直接回答,不必说明理由).
(2)如图2,�在四边形����内一点,使��= ��,��= ��,∠���= ∠���,其他条件不变,试探究四边
形����的形状,并说明理由.
(3)在(2)的条件下,��= 6,��= 2 3,∠���= ∠���= 60°,∠���= 90°,求四边形����的面积.
【答案】(1)平行四边形
(2)菱形,见解析
(3)
21 3
2
【分析】(1)连接AD,利用三角形中位线定理,证明EH=FG,且EH∥FG 即可得证.
(2)连接AD,BC,证明△���≅△���SAS ,得到AD=CB,结合三角形中位线定理,得到四边形EFGH
46
的四边相等,即可得到菱形EFGH.
(3)连接AD,BC,交点为M,设BC 与EH 的交点为Q,AD 与EF 的交点为O,证明△���≅△���SAS ,
判定四边形EOMQ 是平行四边形,证明∠HEF=60°,连接��,过点�作��⊥��,垂足为�,求得EH,HN
的长度即可.
【详解】(1)平行四边形.理由如下:
如图1,连接AD,
∵�、�、�、�分别是��、��、��、��的中点,
∴EH∥AD,EH=
1
2 ��,FG∥AD,FG=
1
2 ��,
∴EH=FG,且EH∥FG,
∴四边形EFGH 是平行四边形,
故答案为:平行四边形.
(2)菱形.理由:如图2,连接��,��.
∵∠���= ∠���,
∴∠���+ ∠���= ∠���+ ∠���,
即∠���= ∠���.
又∵��= ��,��= ��,
∴△���≅△���SAS ,
∴��= ��.
∵�、�、�、�分别是��、��、��、��的中点,
47
∴��、��、��、��分别是△���、△���、△���、△���的中位线,
∴��=
1
2 ��,��=
1
2 ��,��=
1
2 ��,��=
1
2 ��,
∴��= ��= ��= ��,
∴四边形����是菱形.
(3)连接AD,BC,交点为M,设BC 与EH 的交点为Q,AD 与EF 的交点为O,
∵��= ��,∠���= 60°,
∴△���是等边三角形.
∵�是��中点,
∴��平分∠���,∠���= 30°,
∴∠���= 60° + 90° + 30° = 180°,点�、�、�共线.
在Rt △���中,��=
��2 −��2 =
2 3
2 −
3
2 = 3,
在Rt △���中,��=
��2 + ��2 =
6 + 3 2 +
3
2 = 2 21,
∴��= ��=
1
2 ��=
21.
∵△���≅△���,
∴∠���= ∠���,
48
∴∠���= ∠���= 60°.
∵��//��,��//��,
∴四边形EOMQ 是平行四边形,
∴∠���= 60°.
在Rt △���中,��=
1
2 ��=
21
2 ,��=
��2 −��2 =
3 7
2 ,
∴菱形����的面积= ��× ��=
21 ×
3 7
2 =
21 3
2 .
【点睛】本题考查了三角形中位线定理,三角形全等的判定和性质,平行四边形的判定和性质,菱形的判
定和性质,等边三角形的判定和性质,熟练掌握菱形的判定和性质,灵活运用三角形中位线定理是解题的
关键.
题型04 与线段有关的探究问题
24.矩形����第一次沿��折叠得到四边形����,展开后第二次沿��折叠,使得点C 与点F 重合.若��=
12,��= 8,则��=
.
【答案】2
【分析】本题考查矩形与折叠,勾股定理,根据矩形和折叠的性质,得到四边形����为正方形,求出��=
��= 4, ��= 8,设��= ��= �,在Rt △���中,利用勾股定理求出�的值,进一步求出��的长即可.
49
【详解】解:∵矩形����第一次沿��折叠得到四边形����,
∴��= ��= 12, ��= ��= 8, ∠���= ∠���= ∠���= 90°,
∴四边形����为正方形,
∴��= ��= 8,
∴��= ��= ��−��= 4,
∵第二次沿��折叠,使得点C 与点F 重合,
∴��= ��,
设��= ��= �,则:��= ��−��= �−4,
在Rt △���中,由勾股定理,得:�2 = 82 + �−4 2,
解得:�= 10,
∴��= 10,
∴��= ��−��= 2;
故答案为:2.
25.在四边形����中,对角线��上有一点�,��延长线上有一点�,连接��交��于点�,且��= ��.
(1)如图1,若四边形����是正方形.
①求证:��= ��;
②求∠���的度数;
(2)如图2,若四边形����是菱形,其他条件不变,当∠���= 60°时,连接��,试探究线段��与线段��
的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)①见解析;②90°;
(2)��= ��,见解析.
【分析】(1)①先证出△���≌△���SAS ,从而得到��= ��,再由��= ��即可求解;
②由△���≌△���,根据全等三角形的性质得到∠���= ∠���,进而得∠���= ∠���,由��= ��,
得到∠���= ∠�,于是∠���= ∠�,由角度和差得到结论;
50
(2)根据菱形的性质得到��= ��,∠���= ∠���= 60°,∠���= ∠���= 60°,根据全等三角形的性
质得到��= ��,∠���= ∠���,根据等量减等量差相等和等腰三角形的性质得到∠���= ∠���,等量
代换得到∠���= ∠���= 180° −∠���= 180° −120° = 60°,推出△���是等边三角形,即可得到结论;
本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,等边对等角的性质,熟练掌握知识点
的应用是解题的关键.
【详解】(1)①证明:在正方形����中,��= ��,��平分∠���,
∴∠���= ∠���,
在△���和△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���SAS ,
∴��= ��,
∵��= ��,
∴��= ��;
②∵△���≌△���,
∴∠���= ∠���,
∵四边形����为正方形,
∴∠���= ∠���= 90°,
∴∠���−∠���= ∠���−∠���,
∴∠���= ∠���,
∵��= ��,
∴∠���= ∠�,
∴∠���= ∠�,
∵∠���= ∠���,
∴180° −∠���−∠���= 180° −∠���−∠�,
即∠���= ∠���= 90°;
(2)��= ��,
理由:在菱形����中,��= ��,∠���= ∠���= 60°,∠���= ∠���= 60°,
在△���和△���中,
51
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���SAS ,
∴��= ��,∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
∵��= ��,
∴∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
∵∠���= ∠���,
∴180° −∠���−∠���= 180° −∠���−∠���,
即∠���= ∠���= 180° −∠���= 180° −120° = 60°,
∴△���是等边三角形,
∴��= ��,
∴��= ��.
26.正方形����,E 是��的中点,F 为射线��上一点(不与点B,C 重合),连接��并延长到点G,使得��= ��,
连接��.过点C 作��的垂线交直线��于点H.
(1)如图①,当点F 在线段��上时,求证:��= ��;
(2)如图②,当点F 在线段��上时,试说明��, ��, ��之间的数量关系;
(3)如图③当点F 在��的延长线上时,直接写出线段��, ��, ��之间的数量关系:______.
【答案】(1)证明见解析
(2)��= ��+ ��
(3)��= ��+ ��
52
【分析】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关
键.
(1)过点�作��⊥��,先证明△���≌△���,得到��= ��= ��,再证明△���≌△���,即可得出
结论;
(2)过点�作��⊥��,证明△���≌△���,得到��= ��= ��,��= ��,再证明△���≌△���,
得到��= ��,根据��= ��+ ��结合等量代换即可得出结论;
(3)过点�作��⊥��,同法(2)即可得出结论.
【详解】(1)证明:过点�作��⊥��,则:∠���= 90°,
∵正方形����,
∴∠���= 90°, ��= ��,
∴∠���= ∠���,∠���= 90°,
又∵∠���= ∠���, ��= ��,
∴△���≌△���,
∴��= ��= ��,
∵��⊥��,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∵∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���,
又∵∠���= ∠���, ��= ��,
∴△���≌△���,
∴��= ��;
(2)过点�作��⊥��,则:∠���= ∠���= 90°,
53
同(1)法可证:△���≌△���,
∴��= ��= ��,��= ��,
∵��⊥��,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∵∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���,
∵∠���= ∠�= 90°,
∴△���≌△���,
∴��= ��,
∵��= ��+ ��,
∴��= ��+ ��;
(3)过点�作��⊥��,
同法可证:△���≌△���,△���≌△���,
∴��= ��, ��= ��,
∵��= ��+ ��,
∴��= ��+ ��.
54
故答案为:��= ��+ ��.
27.四边形����是凸四边形,若线段��,��(可以重合)满足∠���= ∠���,则称线段��,��是����
关于点A 的等角线段组.
(1)若四边形����是平行四边形,��= 2,点M,N 分别在线段��,��上.
(均不与端点重合),线段��,��
是����关于点A 的等角线段组.
①证明:∠���= ∠���;
②写出一个��的值,使得∠���= ∠���,并证明;
(2)凸四边形����中,��= 1,��= 2,��> ��,点E 在线段��上,且��⊥��,若线段��,��是����
关于点A 的等角线段组,线段��,��是����关于点C 的等角线段组,求��−��的值.
【答案】(1)①见解析;②��= 2,证明见解析
(2)1
【分析】(1)①由平行四边形的性质得∠���= ∠���;由线段��,��是����关于点A 的等角线段组可
得∠���= ∠���,由三角形外角的性质即可证明结论;
②若��= 2,则得四边形����是菱形,则��= ��= 2,由①则可证明△���≌△���,得��= ��,
从而有��= ��,则由等腰三角形的性质即可证明;
(2)延长��到P,��= ��= 1,连接��;延长��到G,使��= ��,连接��;则��= ��,��= ��−��=
��−��,∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4;由线段��,��是����关于点C 的等角线段组,得∠���= ∠���,则可由
SAS 可证明△���≌△���,得��= ��,∠1 + ∠5 = ∠2 + ∠3;线段��,��是����关于点A 的等角线段
组,可得∠1 = ∠2,从而得∠4 = ∠3 = ∠5,则可证明△���≌△���,从而��= ��= 1,即��−��= 1.
【详解】(1)①证明:∵四边形����是平行四边形,
∴∠���= ∠���;
∵线段��,��是����关于点A 的等角线段组,
∴∠���= ∠���,
即∠���+ ∠���= ∠���+ ∠���,
∴∠���= ∠���,
55
∵∠���= ∠���+ ∠���,∠���= ∠���+ ∠���,
∴∠���= ∠���;
②取��= ��= 2,
则四边形����是菱形,
∴��= ��= ��= ��= 2,
由①知,∠���= ∠���,∠���= ∠���,
∴△���≌△���(ASA),
∴��= ��,
∵��= ��,
∴��= ��,
∴∠���= ∠���;
(2)解:如图,延长��到P,使��= ��= 1,连接��;延长��到G,使��= ��,连接��;
∵��⊥��,
∴��= ��,
∴��= ��−��= ��−��,∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4;
∵线段��,��是����关于点C 的等角线段组,
∴∠���= ∠���,
∵��= 2��= 2 = ��,��= ��,
∴△���≌△���(SAS),
∴��= ��,∠1 + ∠5 = ∠2 + ∠3;
∵线段��,��是����关于点A 的等角线段组,
∴∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3,
∴∠1 = ∠2,
∴∠3 = ∠5,∠3 = ∠4,
∴∠4 = ∠3 = ∠5,
∵��= ��, ��= ��,
56
∴△���≌△���(SAS),
∴��= ��= 1,
即��−��= 1.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质,菱形的判定与性质,等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,
全等三角形的判定与性质,关键是理解题目中的等角线段组的含义,灵活运用以上知识,构造适当辅助线.
28.在正方形����中,��= 4,点O 为对角线��的中点,动点E 在射线��上,连接��,过点E 作��⊥��
交射线��于点F.当点E 与A 重合时,��= 4;当点E 与�重合时,��= 0(点F 与A 重合).
(1)如图1,当点E 在线段��上时,求证:��= ��;
(2)如图2,当点E 在线段��上时,请补全图形,探究线段��,��,��之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,若点P、C 在直线��的异侧,且��= 4 2,动点E 沿着��从点P 向点C 运动,请直接写出伴随
动点F 的运动路径的长为______.
【答案】(1)证明见解析
(2)补图见解析,��=
2��+ ��或��=
2��−��
(3)16
【分析】
(1)过E 作��∥��,交��于P,交��于Q,证明��= ��= ��,∠�= ∠���.可得△���≌△���,
57
从而可得结论;
(2)过E 作��∥��,分两种情况:①当E 在��上,②当E 在��上,利用正方形的性质,证明△���≌△
���AAS ,由线段的和差关系可求解;
(3)连接��,作��⊥��,交��于�,当点�在点�时,点�与点�重合,过点�作��,��分别垂直��,��,
交于点�,点�,过点�作��⊥��,交��的延长线于�,连接��,由正方形的性质可得��= ��= 4,��= 4 2,
∠���= ∠���= 45° = ∠���= ∠���,则△���,△���,△���,△���为等腰直角三角形,证明
△���≌△���ASA ,△���≌△���SAS ,得四边形����是矩形,则��= ��=
2��,可知当点�
从点�运动到点�时,点�从点�运动到点�,当点�在点�时,��= ��= 8 2,此时点�与点�重合,��= ��=
2 × 8 2 = 16.
【详解】(1)证明:过E 作��∥��,交��于P,交��于Q,
∴∠���= ∠���= 90°,
∵正方形����,
∴∠���= 90°,∠���= 45° = ∠���,
∴四边形����为矩形,��= ��,
∴��= ��= ��,
∵��⊥��,
∴∠���= 90°,
又∵正方形����,
∴∠���= 90°,
∴∠���= 90°,
又∵∠���= ∠���,
∴∠�= 90° −∠���,
∠���= 90° −∠���,
∴∠�= ∠���.
∴△���≌△���,
58
∴��= ��,
(2)过E 作��∥��,交��于P,交��于Q,
∴∠3 = ∠4,
结合(1)可得:��= ��,
①当E 在��上,
由(1)得∠�= ∠3,��= ��,
∴∠�= ∠4,又∠���= ∠���= 90°,∠���= 45°,
∴��2 + ��2 = ��2,则��= ��=
2
2 ��,
∵△���≌△���AAS ,
∴��= ��,��= ��+ ��= ��+ ��= ��+ ��+ ��,
在Rt △���中,��+ ��=
2��,
∴��=
2��+ ��,
②当E 在��上,如图,
∵∠���= ∠���= ∠���= 90°,∠���= ∠���= 45°,
则��= ��,��= ��= ��,∠1+∠3=90°,∠2 + ∠3 = 90°,
∴��= ��,∠1 = ∠2,
59
∴△���≌△���AAS ,
∴��= ��,
同上可知��= ��=
2
2 ��,
∴��= ��+ ��= ��+ ��−��,
∴��=
2��−��.
(3)解:连接��,作��⊥��,交��于�,当点�在点�时,点�与点�重合,
过点�作��,��分别垂直��,��,交于点�,点�,过点�作��⊥��,交��的延长线于�,连接��,
由正方形的性质可得��= ��= 4,∠���= ∠���= 45° = ∠���= ∠���,则△���,△���,△���,
△���为等腰直角三角形,��=
��2 + ��2 = 4 2,
∴��= ��,∠���= 90° = ∠���= ∠���,
∵��⊥��,则∠���+ ∠���= ∠���+ ∠���,
∴∠���= ∠���,
∴△���≌△���ASA ,
∴��= ��,
又∵△���为等腰直角三角形,
∴∠���= ∠���= 45°,��= ��,∠���= 90°,
则∠���+ ∠���= ∠���+ ∠���,��=
2��,
∴∠���= ∠���,
∴△���≌△���SAS ,
∴∠���= ∠���= 45°,��= ��= ��= 4,
∴∠���= 90°,
∴四边形����是矩形,则��= ��=
2��,
∴当点�从点�运动到点�时,点�从点�运动到点�,
60
当点�在点�时,��= ��= ��+ ��= 8 2,
此时点�与点�重合,��= ��=
2��=
2 × 8 2 = 16,
∴动点F 的运动路径的长为16.
【点睛】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性
质,二次根式的乘法运算等知识,本题综合性强,熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质,
证明三角形全等是解题的关键,属于中考常考题型.
29.【问题呈现】如图1,∠���的顶点在正方形����两条对角线的交点处,∠���= 90°,将∠���绕点P
旋转,旋转过程中,∠���的两边分别与正方形����的边��和��交于点E、F(点F 与点C,D 不重合).探
索线段��、��、��之间的数量关系.
(1)【问题初探】爱动脑筋的小悦发现,通过证明两个三角形全等,可以得到结论.请你写出线段��、��、��
之间的数量关系,并说明理由;
(2)【问题引申】如图2,将图1 中的正方形����改为∠���= 120°的菱形,∠���= 60°,其他条件不变,
请你帮小悦得出此时线段��、��、��之间的数量关系,并说明理由;
(3)【问题解决】如图3,在(2)的条件下,当菱形的边长为8,点P 运动至与A 点距离恰好为7 的位置,
且∠���旋转至��= 1 时,求��的长度.
【答案】(1)��+ ��= ��,理由见解析
(2)��+ ��=
1
2 ��,理由见解析
(3)��的值为4 或2
【分析】
(1)由正方形����,可得��= ��,∠���= ∠���= 45°,∠���= 90°,证明△���≌△���ASA ,
则��= ��,进而可得��+ ��= ��+ ��= ��;
(2)如图2,取��的中点T,连接��,由四边形����为∠���= 120°的菱形,可得��= ��,∠���= 60°,
∠���= ∠���= 60°,证明△���是等边三角形,△���是等边三角形,证明△���≌△���ASA ,则
61
��= ��,��+ ��= ��+ ��= ��=
1
2 ��;
(3)由题意知,分�靠近点B,�靠近点D,两种情况求解;①当点P 靠近点B 时,如图3﹣1 中,过点A
作��⊥��于H,连接��,作��∥��交��于G.由(2)可知,△���是等边三角形,证明△���是等边
三角形,��= ��,由勾股定理得,��=
��2 −��2 = 4 3,由勾股定理得,��=
��2 −��2 = 1,则
��= ��= ��−��= 3,由(2)可知,△���≌△���ASA ,则��= ��= 1,根据��= ��−��−��,
求解作答;②当点P 靠近点D 时,如图3﹣2,同理①,求解作答即可.
【详解】(1)解:��+ ��= ��,理由如下;
∵正方形����,
∴��= ��,∠���= ∠���= 45°,∠���= 90°,
∵∠���+ ∠���= ∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���,
∵∠���= ∠���,��= ��,∠���= ∠���,
∴△���≌△���ASA ,
∴��= ��,
∴��+ ��= ��+ ��= ��,
∴��+ ��= ��;
(2)解:��+ ��=
1
2 ��,理由如下;
如图2,取��的中点T,连接��,
∵四边形����为∠���= 120°的菱形,
∴��= ��,∠���= 60°,∠���= ∠���= 60°,
∴△���是等边三角形,
∴��= ��,∠���= 30°,
∴△���是等边三角形,
62
∴��= ��,∠���= ∠���= 60°,∠���= 60°,
又∵∠���= 60°,
∴∠���−∠���= ∠���−∠���,即∠���= ∠���,
∵∠���= ∠���,��= ��,∠���= ∠���,
∴△���≌△���ASA ,
∴��= ��,
∴��+ ��= ��+ ��= ��=
1
2 ��,
∴��+ ��=
1
2 ��;
(3)解:由题意知,分�靠近点B,�靠近点D,两种情况求解;
①当点P 靠近点B 时,如图3﹣1 中,过点A 作��⊥��于H,连接��,作��∥��交��于G.
由(2)可知,△���是等边三角形,
∴∠���= ∠���= 60°,∠���= ∠���= 60°,
∴△���是等边三角形,则��= ��,
∴��−��= ��−��,即��= ��,
∵��⊥��,
∴��= ��= 4,
由勾股定理得,��=
��2 −��2 = 4 3,
由勾股定理得,��=
��2 −��2 =
72 −4 3
2 = 1,
∴��= ��= ��−��= 3,
由(2)可知,△���≌△���ASA ,
∴��= ��= 1,
∴��= ��−��−��= 8 −3 −1 = 4;
②当点P 靠近点D 时,如图3﹣2,
63
同理①,可得��= 1,��= ��= ��+ ��= 5,
∵��= ��= 1,
∴��= ��−��−��= 8 −5 −1 = 2,
综上所述,满足条件的��的值为4 或2.
【点睛】本题考查了正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,等边三角形的
判定与性质,勾股定理等知识.熟练掌握正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的
性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理是解题的关键.
30.如图1,在正方形����中,点E,F 分别是边��,��上的点,且��= ��.连接��,过点E 作��⊥��,
使��= ��,连接��,��.
(1)请判断:��与��的数量关系是______,位置关系是_____;
(2)如图2,若点E,F 分别是边��,��延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请作出
判断并给予证明;
(3)如图3,若点E,F 分别是边��,��延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请直接
写出你的判断.
【答案】(1)��= ��,��∥��
(2)成立,理由见详解
(3)成立,理由见详解
64
【分析】(1)只要证明四边形����是平行四边形即可得出��= ��,��∥��;
(2)构造辅助线后证明△���≌△���,利用对应边相等求证四边形����是矩形后,利用等量代换即可
求出��= ��,��∥��;
(3)证明△���≌△���后,即可证明四边形����是平行四边形.
【详解】(1)解:在正方形����中,有��= ��,∠���= ∠���= 90°,
∵��= ��,
∴△���≌△���,
∴∠���= ∠���,��= ��,
即��= ��= ��,
∵∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∴��⊥��,
∵��⊥��,
∴��∥��,
∵��= ��,
∴四边形����是平行四边形,
∴��= ��,��∥��;
(2)解:成立.
过点G 作��⊥��,交于��的延长线于点H,
∵��⊥��,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∵∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���.
∵在△���与△���中,∠���= ∠���,∠���= ∠���,��= ��,
∴△���≌△���AAS ,
65
∴��= ��,��= ��.
∵��= ��,
∴��= ��.
∵��⊥��,��⊥��,
∴��∥��,
∴四边形����是矩形,
∴��= ��,��∥��,
∴��∥��.
∵四边形����是正方形,
∴��= ��,
∴��= ��,
∴��+ ��= ��+ ��,
∴��= ��,
∴��= ��;
(3)解:成立.
∵四边形����是正方形,
∴��= ��,∠���= ∠���= 90°.
在△���与△���中,
∵��= ��,∠���= ∠���,��= ��,
∴△���≌△���SAS ,
∴∠���= ∠���,��= ��.
∵��= ��,
∴��= ��.
∵��⊥��,
∴∠���+ ∠���= 90°.
∵∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
∴��∥��,
∴四边形����平行四边形,
66
∴��∥��,��= ��.
【点睛】本题主要考查了正方形的性质,矩形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,全等三角形的判
定与性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
31.综合与实践:如图1,在正方形����中,连接对角线��,点O 是��的中点,点E 是线段��上任意一
点(不与点A,O 重合),连接��、��.过点E 作��⊥��交直线��于点F.
(1)如图1,试猜想线段��与��的数量关系,并说明理由;
(2)如图1,求证:2��= ��+ ��;
(3)如图2,当E 在线段��上时(不与点C,O 重合),��交��延长线于点F,保持其余条件不变,直接写
出线段��、��、��之间的数量关系.
【答案】(1)��= ��,理由见解析
(2)见解析
(3) 2��= ��−��
【分析】(1)先根据正方形的性质可证得△���≌△���,由此可得∠���= ∠���,��= ��,再根据同
角的补角相等证得∠���= ∠���,等量代换可得∠���= ∠���,由此可得��= ��,再等量代换即可得证;
(2)过点E 作��⊥��交��的延长线于点G,先证明��= ��,利用勾股定理可得��=
2��,再证明
△���≌△���,由此可得��= ��= ��,最后再等量代换即可得证;
(3)仿照(1)和(2)的证明即可证得2��= ��−��.
【详解】(1)解:��= ��,理由如下:
∵四边形����是正方形,
∴��= ��= ��,∠���= ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���=
180°−∠���
2
= 45°,
∴∠���= ∠���−∠���= 45°,
67
∴∠���= ∠���,
在△���与△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
∴△���≌△���(SAS),
∴∠���= ∠���,��= ��,
∵��⊥��,
∴∠���= 90°,
∵∠���+ ∠���+ ∠���+ ∠���= 360°,
∴∠���+ ∠���= 180°,
∵∠���+ ∠���= 180°,
∴∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
∴��= ��,
∴��= ��;
(2)如图,过点E 作��⊥��交��的延长线于点G,
∴∠���= 90°,
由(1)知:∠���= 45°,
∴∠���= ∠���= 45°,
∴��= ��,
∴在Rt △���中,��=
��2 + ��2 =
2��,
在△���与△���中,
∠���= ∠���
∠���= ∠���
��= ��
68
∴△���≌△���(AAS),
∴��= ��= ��,
又∵��= ��+ ��= ��+ ��,
∴2��= ��+ ��;
(3)2��= ��−��,理由如下:
如图,过点E 作��⊥��交��于点G,设��与��的交点为点P,
∴∠���= 90°,
由(1)可知:∠���= 45°,
∴∠���= ∠���= 45°,
∴��= ��,
∴在Rt △���中,��=
��2 + ��2 =
2��,
∵��⊥��,
∴∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∵∠���= 180° −∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= 90°,
又∵∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
由(1)可知:∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
在△���与△���中,
∠���= ∠���
∠���= ∠���
��= ��
∴△���≌△���(AAS),
69
∴��= ��= ��,
又∵��= ��−��= ��−��,
∴2��= ��−��.
【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的
应用,作出正确的辅助线并能灵活运用相关图形的性质是解决本题的关键.
题型05 以尺规作图为背景的探究问题
32.如图,在Rt △���中,��≠��,∠���= 90°,��平分∠���交��于点D,按下列步骤作图:①分别
以点C,D 为圆心,大于
1
2 ��的长为半径作弧,两弧相交于P,Q 两点;②作直线��,分别交��,��,��
于点E,O,F;③连接��,��.根据以上作图步骤,则下列结论错误的是(
)
A.��与��互相垂直且平分
B.图中等腰直角三角形有8 个
C.四边形����为正方形
D.若��= 6,��= 12,则��= 3
【答案】D
【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质、正方形的判定和性质等知识.由作图可知,��是��的垂直平
分线,推出��= ��,��= ��,得到四边形����是正方形,根据�△���= �△���+ �△���,可得
1
2 ��× ��=
1
2 ��× ��+
1
2 ��× ��,由此即可解决问题.
【详解】解:∵��平分∠���,∠���= 90°,
∴∠���= ∠���= 45°,
由作图可知,��是��的垂直平分线,即��是��的垂直平分线,
∴��= ��,��= ��,
∴∠���= 45° = ∠���= ∠���= ∠���,
∴��= ��,��= ��,
∴��是��的垂直平分线,
∴��与��互相垂直且平分,选项A 说法正确,不符合题意;
∵∠���= 45° = ∠���= ∠���= ∠���,
∴∠���= 90° = ∠���= ∠���,
70
∴△���、△���、△���、△���、△���、△���、△���、△���都是等腰直角三角形,共8 个,
选项B 说法正确,不符合题意;
∵��= ��= ��= ��,∠���= 90°,
∴四边形����是正方形,选项C 说法正确,不符合题意;
∵�△���= �△���+ �△���,
∴
1
2 ��× ��=
1
2 ��× ��+
1
2 ��× ��,
∵��= 6,��= 12,��= ��,
∴��=
12×6
12+6 = 4 ≠3,选项D 说法不正确,符合题意;
故选:D.
33.如图,已知∠���,以点�为圆心,适当长为半径作圆弧,与角的两边分别交于�,�两点,分别以点�,
�为圆心,大于
1
2 ��长为半径作圆弧,两条圆弧交于∠���内一点�,作射线��.以点�为圆心,CO 长为半
径作圆弧,恰好经点�,与射线��交于点�,连接��,��.若��= 4 3,则四边形����的面积为
.
【答案】8 3
【分析】连接��交��于点�,由作图易知△���是等边三角形,��平分∠���,先证明四边形����是菱形,
求出��的长度,再根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可得结论.
【详解】解:如图,连接��交��于点�.
由作图可知��= ��= ��,
∴△���是等边三角形,
∴∠���= 60°,
71
由作图可知��平分∠���,
∴∠���= ∠���= 30°,
∵��= ��,
∴∠���= ∠���= ∠���,
∴��∥��,
∵��= ��,
∴四边形����是平行四边形,
∵��= ��,
∴四边形����是菱形,
∴��⊥��,��= ��=
1
2 ��= 2 3,��= ��= ��× tan30° = 2 3 ×
3
3 = 2,
∴��= 4,
∴菱形����的面积=
1
2 ��⋅��=
1
2 × 4 3 × 4 = 8 3.
故答案为:8 3.
【点睛】本题考查了基本尺规作图,菱形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,等边三角形的判定和
性质,解题的关键是理解题意,灵活运用相关知识解决问题.
34.如图,在▱����中,以点A 为圆心、��长为半径画弧交��边于点E,连接��,再分别以点B、E 为
圆心、相同的长为半轻(大于
1
2 ��)画弧交于点F,作射线��,交��边于点G.若��= 5, ��= 6,则
��=
.
【答案】8
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理,准确计算是解题的关
键.设��与��相交于点O,根据已知条件得到四边形����是菱形,根据勾股定理计算即可;
【详解】解:如图,连接��,设��与��相交于点O,
72
由作图可知,��= ��,∠���= ∠���,
∵四边形����时平行四边形,
∴��∥��,
∴∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
∴��= ��,
∴��= ��,
∵��∥��,
∴四边形����是平行四边形,
∵��= ��,
∴四边形����是菱形,
∴��= ��,��= ��= 3,��⊥��,
在Rt △���中,∠���= 90°,
∴��=
��2 −��2 =
52 −32 = 4,
∴��= 2��= 8.
故答案为:8.
35.如图,正方形����中,点P 是线段��上的动点(不与端点重合),连接��.
(1)仅用无刻度的直尺和圆规在直线��上作点E,使得∠���= 90°(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,若正方形����的边长为1,��= �,��= �,求y 关于x 的函数解析式.
【答案】(1)作图见解析
(2)�=
2�0 < �<
2
73
【分析】本题考查了基本作图-基本作图,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握基本作图的
步骤和正方形的性质是解题的关键;
(1)根据作一角等于已知角的步骤,在��上任取一点P,连接��,分别以P、C 为圆心,以任意长为半径
画弧,交��、��、��于点F、G、H,以点H 为圆心,以��长半径画弧,交原弧于点M,连接��并延长
交��于点E,点E 即为所求.
(2)连接��,作��⊥��,垂足为F,
根据正方形的性质,得∠���= ∠���,��= ��,证明△���≌△���,得��= ��,∠���= ∠���,在
证∠���= ∠���,得F 是��的中点,
【详解】(1)如图所示:点E 即为所求,
(2)正方形����的边长为1,��= �,��= �,
连接��,作��⊥��,垂足为F,
∵四边形����是正方形,
∴��= ��,∠���= ∠���=
1
2 ∠���= 45°,
在△���和△���中
��= ��
∠���= ∠
��= ��
���
∴△���≌△���,
∴��= ��,∠���= ∠���,
74
∵∠���= 90°,
在四边形����中,∠���+ ∠���+ ∠���+ ∠���= 360°,
∴∠���+ ∠���= 180°,
∵∠���+ ∠���= 180°,
∴∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
∴F 是��的中点,
正方形����的边长为1,��= �,
∴��=
2,��= ��−��=
2 −�,
∴��=
2
2 ��= 1 −
2
2 �,
∵点P 是线段��上的动点(不与端点重合),
∴��= 2��=
2�,
∴0 < �<
2,
∴�=
2�0 < �<
2 .
36.如图,已知▱������> ��,连接��.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图(保留作图痕迹,不写作法)
作��的垂直平分线��,分别交��, ��, ��于点M,N,O,连接��和��;
(2)在(1)的条件下,若四边形����的周长为16,求��的长.
【答案】(1)详见解析(2)4
【分析】此题考查了菱形的性质和判定,线段垂直平分线的作图和性质,全等三角形的判定和性质,证明
四边形����是菱形是解题的关键.
(1)按照垂直平分线的作图方法作图即可;
(2)证明△���≌△���AAS ,则��= ��.又由��∥��即可证明四边形����是平行四边形.由��
垂直平分线段��得到��= ��,即可证明四边形����是菱形,根据菱形的周长即可求出��的长.
【详解】(1)如图所示:
75
(2)∵四边形����是平行四边形,
∴��∥��,��= ��.
∴∠���= ∠���.
又∵∠���= ∠���,
∴△���≌△���AAS ,
∴��= ��.
又∵��∥��,
∴四边形����是平行四边形.
∵��垂直平分线段��,
∴��= ��.
∴四边形����是菱形,
∴四边形����的周长= 4��= 16.
∴��= 4.
37.如图,已知矩形����,点�是��中点,连接��.
(1)尺规作图:求作与△���关于直线��对称的△���,点�、�是对应点;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)条件下,连接��,��,延长��交��于�,当�恰为��中点时,试判断△���的形状,并证明你
的结论.
【答案】(1)见解析
(2)△���是直角三角形,证明见解析
【分析】本题考查了尺规作图,矩形的性质,等腰三角形的判定与性质知识,解题的关键是:
76
(1)以C 为圆心,��为半径画弧,以E 为圆心,��为半径画弧,两弧相交于F,连接��,��即可;
(2)先判断��= ��,利用等边对等角得出∠���= ∠���,利用余角的性质得出∠���= ∠���,利用等
角对等边得出��= ��= ��,利用等边对等角得出∠���= ∠���,利用三角形内角和定理得出∠���+
∠���= 90°,即可得证.
【详解】(1)解:如图,△���即为所求,
(2)解:△���是直角三角形,
理由:如图,
∵矩形����,
∴∠���= ∠���= 90°,
∵E 是��中点,
∴��= ��,
∵△���、△���关于直线��对称,
∴��= ��,∠���= ∠���= 90°,
∴��= ��,∠���= 90°,
∴∠���= ∠���,
∵∠���+ ∠���= 90°,∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���,
∴��= ��,
∵G 是��中点,
∴��= ��= ��,
77
∴∠���= ∠���,
∵∠���+ ∠���+ ∠���+ ∠���= 180°,
∴∠���+ ∠���= 90°,即∠���= 90°,
∴△���是直角三角形.
38.情境图1 是由正方形纸片去掉一个以中心O 为顶点的等腰直角三角形后得到的.
该纸片通过裁剪,可拼接为图2 所示的钻石型五边形,数据如图所示.
(说明:纸片不折叠,拼接不重叠无缝隙无剩余)
操作嘉嘉将图1 所示的纸片通过裁剪,拼成了钻石型五边形.
如图3,嘉嘉沿虚线��,��裁剪,将该纸片剪成①,②,③三块,再按照图4 所示进行拼接.根据嘉嘉的
剪拼过程,解答问题:
(1)直接写出线段��的长;
(2)直接写出图3 中所有与线段��相等的线段,并计算��的长.
探究淇淇说:将图1 所示纸片沿直线裁剪,剪成两块,就可以拼成钻石型五边形.
请你按照淇淇的说法设计一种方案:在图5 所示纸片的��边上找一点P(可以借助刻度尺或圆规),画出裁
剪线(线段��)的位置,并直接写出��的长.
78
【答案】(1)��= 1;(2)��= ��= ��= ��,��= 2 −
2;��的长为2或2 −
2.
【分析】本题考查的是正方形的性质,等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理的应用,二次根式的混合
运算,本题要求学生的操作能力要好,想象能力强,有一定的难度.
(1)如图,过�'作�'�⊥��'于�,结合题意可得:四边形���'�为矩形,可得��= ��',由拼接可得:��=
��= ��',可得△���,△�'�'�,△���为等腰直角三角形,△�'��'为等腰直角三角形,设�'�= ��' = �,
则�'�' = �'�=
2�,再进一步解答即可;
(2)由△���为等腰直角三角形,��= ��= 1;求解��= 2 −
2,再分别求解��, ��, ��;可得答案,
如图,以�为圆心,��为半径画弧交��于�',交��于�',则直线�'�'为分割线,或以�圆心,��为半径画弧,
交��于�,交��于�,则直线��为分割线,再进一步求解��的长即可.
【详解】解:如图,过�'作�'�⊥��'于�,
结合题意可得:四边形���'�为矩形,
∴��= ��',
由拼接可得:��= ��= ��',
由正方形的性质可得:∠�= 45°,
∴△���,△�'�'�,△���为等腰直角三角形,
∴△�'��'为等腰直角三角形,
设�'�= ��' = �,
∴�'�' = �'�=
2�,
79
∴��= ��=
2�,��= ��= �,
∵正方形的边长为2,
∴对角线的长22 + 22 = 2 2,
∴��=
2,
∴�+ �+
2�=
2,
解得:�=
2 −1,
∴��= ��=
2 + 1 �=
2 + 1
2 −1 = 1;
(2)∵△���为等腰直角三角形,��= ��= 1;
∴��=
2��=
2,
∴��= 2 −
2,
∵��= �'�' =
2�=
2
2 −1 = 2 −
2,
��= ��=
2�= 2 −
2,
∴��= ��= ��= ��;
如图,以�为圆心,��为半径画弧交��于�',交��于�',则直线�'�'为分割线,
此时��' =
2,�'�' =
2 + 2 = 2,符合要求,
或以�圆心,��为半径画弧,交��于�,交��于�,则直线��为分割线,
此时��= ��=
2,��=
2 + 2 = 2,
∴��= 2 −
2,
综上:��的长为2或2 −
2.
题型06 正方形的常见模型
(1)一线三垂直模型
39.(1)数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,在矩形����中,E 是边��上一点,��⊥��于点
F,��⊥��, ��⊥��, ��= ��,试猜想四边形����的形状,并说明理由;
80
(2)小明受此问题启发,逆向思考并提出新的问题:如图2,在正方形����中,E 是边��上一点,��⊥��
于点F,��⊥��于点H,��⊥��,交��于点G,可以用等式表示线段��, ��, ��的数量关系,请你思
考并解答这个问题.
【答案】(1)四边形����是正方形,证明见解析;(2)��= ��+ ��
【分析】(1)证明△���≌△���,可得��= ��,从而可得结论;
(2)证明四边形����是矩形,可得∠�= 90° = ∠���,同理可得:∠���= ∠���,证明△���≌△���,
��= ��,��= ��,证明四边形����是正方形,可得��= ��,从而可得结论.
【详解】解:(1)∵��⊥��,��⊥��,��⊥��,
∴∠�= ∠���= 90°,∠���+ ∠���= 90°,
∵矩形����,
∴∠���= 90° = ∠���+ ∠���,
∴∠���= ∠���,
∵��= ��,
∴△���≌△���,
∴��= ��,
∴矩形����是正方形.
(2)∵��⊥��,��⊥��,��⊥��,
∴∠���= ∠�= ∠���= 90°,
∴四边形����是矩形,
∴∠�= 90° = ∠���,
同理可得:∠���= ∠���,
∵正方形����,
∴��= ��,
∴△���≌△���,
81
∴��= ��,��= ��,
∴四边形����是正方形,
∴��= ��,
∴��= ��= ��+ ��= ��+ ��.
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质,正方形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,证明三角形
全等是解本题的关键.
40.下面图片是八年级教科书中的一道题.
如图,四边形����是正方形,点�是边��边上一点,∠���= 90
∘,且��交正方形外角的平分线��于点�.求
证��= ��.(提示:在��上取点�,使��= ��,连接��.)
(1)请你思考题中“提示”,并进行证明;
(2)如图1,连接��、��交于�,判断��与��的数量关系,并证明你的结论;
(3)若正方形����的边长为4,��交��于�,直接写出��的最小值:.
【答案】(1)证明过程见详解
(2)��= ��,证明过程见详解
(3)8 −4 2
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质,角平分线的性质,中位线知识,熟练掌握三角形全等的判
定和性质是解题的关键.
(1)根据题中条件证明△���≌△���AAS ,从而证明��= ��;
(2)作辅助线,连接��,证明△���≌△���HL ,从而判断��与��的数量关系;
(3)作△���的外接圆,圆心为O,作��⊥��交��于R,作��⊥��交��于H,先根据圆周角定理得到
∠���= 90
∘,设圆O 半径为r,得到��+ ��≥��,再根据正方形的性质求出��= 2 2,列出不等式�+
2
2 �≥2 2,求出�≥4 2 −4,最后根据��=
2�作答即可.
【详解】(1)证明:∵��= ��,
∴∠���= ∠���= 45°,
82
∵��= ��,
∴��−��= ��−��,
∴��= ��,
∴∠���= 180° −∠���= 180° −45° = 135°,
∵��为正方形外角角平分线,
∴∠���= 90° + ∠���= 90° + 45° = 135°,
∴∠���= ∠���
∵∠���= 90°,
∵∠���+ ∠���= 90°,
∵∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���
在△���和△���中,
∠���= ∠���,∠���= ∠���,��= ��,
∴△���≌△���AAS ,
∴��= ��
(2)连接��,如图所示:
由(1)得��= ��,∠���= 90°
△���为等腰直角三角形,
∵��= ��,��= ��,
∴△���≌△���HL ,
∴��= ��
(3)如图,作△���的外接圆,圆心为O,作��⊥��交��于R,作��⊥��交��于H,
83
∵∠���= 90
∘,��= ��,
∴∠���= 45
∘,
∴∠���= 90
∘,
设圆O 半径为r,则��=
2�,��= ��= ��=
2
2 �,
由图可知,��+ ��≥��,
∵正方形����的边长为4,
∴��= 2 2,
∴�+
2
2 �≥2 2,
解得:�≥4 2 −4,
∴��的最小值=
2�= 8 −4 2.
故答案为:8 −4 2
41.如图,四边形����是正方形,点�是线段��的延长线上一点,点�是线段��上一点,连接��,以点�
为直角顶点作��⊥��交∠���的角平分线于�,过点�作��//��交��于�,连接��,��,��.
(1)求证:��= ��.
(2)求证:��//��.
(3)若��= 1,��= 3 2,求��的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)5 2
【分析】(1)在边��上截取线段��,使��= ��连��,证明△���≌△���即可求解;
84
(2)由(1)△���≌△���,证明四边形����为平行四边形即可求解;
(3)过�作��⊥��垂足为�,由(2)知,△���≌△���;得到��−��= ��−��,��= ��,��
平分∠���所以∠���= 45°,可知三角形���是等腰直角三角形,再用勾股定理即可求出和MN 和DN.
【详解】(1)证明:在边��上截取线段��,使��= ��连��.
∵四边形����是正方形
∴��= ��= ��= ��;∠���= ∠���= ∠���= ∠���= 90°
∴∠���= 180° −∠���= 90°
∵BN 平分∠���
∴∠���= 45°
∴∠���= ∠���+ ∠���= 90° + 45° = 135°
∵��= ��, ��= ��
∴��−��= ��−��
∴��= ��
在��△���中,��= ��,
∴∠���= ∠���= 45°
∴∠���= 180° −∠���= 135°
∴∠���= ∠���
∵∠���= 90°
∴∠���+ ∠���= 180° −90° = 90°
∵∠���+ ∠���= 90°
∴∠���= ∠���
在△���和△���中
{
∠���= ∠���
��= ��
∠���= ∠���
85
∴△���≌△���(ASA)
∴��= ��.
(2)如图,
设��与CE 的交点为H,
∵四边形����是正方形
∴��= ��, ∠���= ∠���= 90°
∵∠���= 90°, ��//��
∴∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= 90°
∴∠���+ ∠���= 90°
∴∠���= ∠���,
在△���和△���中,{
∠���= ∠���
��= ��
∠���= ∠���
∴△���≌△���(ASA).
∴��= ��又��= ��,
∴��= ��又��//��.
∴四边形����为平行四边形.
∴��//��.
(3)解:如图所示,过�作��⊥��垂足为�.
86
由(2)知,△���≌△���
∴��= ��,
又��= ��
∴��−��= ��−��即��= ��= 1
∵��平分∠���所以∠���= 45°,
∴三角形���是等腰直角三角形,
在��△���中,
设��= �,则��= ��= �,即�2 + �2 = (3 2)2,
∴�= 3.
∴��= 3,��= 1 + 3 = 4,
在��△���中,��=
32 + 42 = 5,
又∵在��△���中,��= 5,��= 5,
∴��=
52 + 52 = 5 2.
【点睛】此题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定和判定以及勾股定理的应用,掌握它
们的性质和判定是解题的关键.
(2)45°角模型
42.如图,在正方形����中,△���的顶点�,�分别在��,��边上,高��与正方形的边长相等,连接��
分别交��,��于点�,�,下列说法:
①∠���= 45°;
②连接��,��,则△���为直角三角形;
③△���∽△���;
④若��= 2,��= 3,则��的长为
5
2
2.其中正确结论的个数是(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
【答案】A
【分析】根据正方形的性质及HL 定理求得Rt △���≌Rt △���,Rt △���≌Rt △���,从而求得∠���=
87
∠���,∠���= ∠���,然后求得2∠���+ 2∠���= 90°,从而得到∠���= 45°,由此判断①;
将△���绕点�顺时针旋转90°至△���位置,连接��,��,��,由旋转的性质根据结合SAS 定理求得
△���≌△���,得到��= ��,结合正方形和旋转的性质求得∠���= ∠���+ ∠���= 90°,从而可
得��2 = ��2 + ��2,然后根据SAS 定理求得△���≌△���,△���≌△����,从而得到��= ��,
��= ��,从而求得��2 = ��2 + ��2,由此判断②;
由垂直可得∠���= 90° −∠���,然后结合①中已证∠���+ ∠���= ∠���+ ∠���= 45°,可得∠���=
90° −∠���,由此得到∠���= ∠���,然后根据��定理求得三角形形式,由此判断③;
旋转△���到△���,由旋转性质和SAS 定理可得得△���≌△���,△���≌△���,设��= �,在Rt △
���中,根据勾股定理列方程求�,从而求得正方形的边长,设��= �,结合②中的结论列方程求�的值,
从而判断④.
【详解】解:如图中,
∵四边形����是正方形,
∴��= ��,∠���= ∠���= 90°,
∵��⊥��,
∴∠���= ∠���= 90°,
在Rt △���和Rt △���中,��= ��
��= ��,
∴Rt △���≌Rt △���,
∴∠���= ∠���,
同理可证Rt △AFD ≌Rt △���,
∴∠���= ∠���,
∴2∠���+ 2∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= 45°,
∴∠���= 45°,故①正确;
如图②,将△���绕点�顺时针旋转90°至△���位置,连接��,��,��
由旋转知:∠���= ∠���,��= ��,
88
∵四边形����是正方形,
∴∠���= 90°,
∵∠���= 45°,
∴∠���+ ∠���= 45°,
∴∠���= ∠���+ ∠���= 45°,
∴∠���= ∠���,又��= ��,
∴△���≌△���,
∴��= ��,
∵四边形����是正方形,
∴∠���= ∠���= 45°.
由旋转知:∠���= ∠���= 45°,��= ��,
∴∠���= ∠���+ ∠���= 90°,
∴��2 = ��2 + ��2,
∴��2 = ��2 + ��2.
又∵��= ��,∠���= ∠���,��= ��
∴△���≌△���,
∴��= ��,
同理可证:△���≌△����
∴��= ��,
∴��2 = ��2 + ��2
即Δ���为直角三角形,故②正确;
∵��⊥��,
∴∠���= 90° −∠���,
又∵∠���= ∠���+ ∠���= 45° + ∠���,
89
由①可知:∠���+ ∠���= ∠���+ ∠���= 45°,
∴∠���= 90° −∠���,
∴∠���= ∠���,
又∵∠���=∠���,
∴△���∽△���,故③正确;
如图3 中,
旋转△���到△���,△���≌△���,
∴��= ��= 2,,
同理②中可证:△���≌△���,
∴��= ��,设��= �,
∴��= ��+ ��= �+ 3,��= ��= ��+ ��= 5,
∵四边形����是正方形,
∴��= ��= �+ 3,
∴��= ��−��= �+ 3 −2 = �+ 1,
在Rt △���中,根据勾股定理得,(�+ 1)2 + 32 = 25
∴�= 3 或�=−5(舍),
∴��= 3,
∴��= 6,
∴正方形的边长为6;
由正方形����的边长为6,
∴��=
2 ��= 6
2,
90
由①可知△���= 45°,
∵��= ��,∠���= 90°,
由②得��2 + ��2 = ��2,
设��= �,
∵��= 6
2,��=
3 2
2 ,
∴��= ��= 6 2 −
3
2
2 −�=
9 2
2 −�,
∴(
3 2
2 )2 + (
9 2
2 −�)2 = �2,
解得�=
5
2
2,
∴��=
5
2
2,故④正确
故选:A.
【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知
识,解题关键是学会用旋转法添加辅助线,构造全等三角形解决问题.
43.通过类比联想,引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的,下面是一个案例,请补充完整.原
题:如图1,点E、F 分别在正方形����的边��、��上,∠���= 45°,连接��,试猜想��、��、��之间
的数量关系.
91
(1)把△���绕点�逆时针旋转90°至△���,可使��与��重合,由∠���= ∠�= 90°,得,∠���= 180°,
即点F、D、G 共线,易证△���≌__________,故��、��、��之间的数量关系为__________.
(2)如图2,点E、F 分别在正方形����的边��、��的延长线上,∠���= 45°.连接��,试猜想��、��、
��之间的数量关系为__________,并给出证明.
(3)如图3,在△���中,∠���= 90°,��= ��,点D、E 均在边��上,且∠���+ ∠���= 45°.若��= 2,
��= 2 3,直接写出��2的值和��的长.
【答案】(1)△���,��= ��+ ��
(2)��= ��−��,理由见解析
(3)��2 = 8 3 + 16,��= 2 6
【分析】(1)根据旋转的性质可得△���≌△���,利用���判定定理可直接证明△���≌△���,再依据
对应线段相等可求.
(2)把△���绕点�逆时针旋转90°,使��与��重合,证全等即可到结论.
(3)把△���绕点�逆时针旋转90°,使��与��重合,点B 对应点为点F,连接��和��即可求解.
【详解】(1)解:△���,��= ��+ ��,理由如下:
∵四边形����是正方形,
∴∠���= 90°,��= ��,
由旋转的性质可知,△���≌△���,
∴∠���= ∠���,��= ��,��= ��,∠���= ∠���= 90°,
∵∠���= 45°
∴∠���= 90° −∠���= 45°,
∴∠���= ∠���
∵��= ��,
∴△���≌△���(���),
∴��= ��,
∴��= ��+ ��= ��+ ��.
(2)��= ��−��,证明如下:
如下图,把△���绕点�逆时针旋转90°,��与��重合,
∴△���≅△���,∠���= 90°,
∴��= ��,��= ��,
92
∵∠���= 45°,
∴∠���= ∠���−∠���= 45°;
∴∠���= ∠���;
在△���和△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���(���);
∴��= ��;
∵��= ��+ ��;
∴��= ��+ ��
即��= ��−��.
(3)如图1.解:∵∠���= 90°,��= ��,
∴∠�= ∠�= 45°,
把△���绕点�逆时针旋转90°,��与��重合,点�的对应点为点�;
∴△���≌△���,∠���= 90°,
∴∠�= ∠���= 45°,��= ��= 2,
∴∠���= 90°,
∵��= 2 3,
∴在Rt △���中,
��=
22 + (2 3)2 = 4,
∵∠���+ ∠���= 45°;
∴∠���= 90° −45° = 45°;
∴∠���= ∠���−∠���= 45°;
93
在△���和△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≅△△������
∴��= ��= 4,
∴��= 4 + 2 3,
在直角三角形���中,由勾股定理得:
��2 = (2 3 + 4)2 + 22,
∴��2 = 32 + 16 3,
∵△���是等腰直角三角形;
∴2��2 = ��2,
∴��2 = 16 + 8 3,
同理把△���绕点�顺时针旋转90°,点�的对应点为点�,连接��,��;
∴△���≅△���
∴��= ��= 2 3;
∵��= 4,��= 2;
∴��= 6;
在直角△���中,∠���= 90°;
94
∴��2 = (2 3)2 + 62
∴��= 4 3,
由旋转的性质可知∠���= 90°,��= ��;
△���是等腰直角三角形;
∴��=
2
2 ��,
∴��= 2 6.
【点睛】本题主要考查正方形中的45°半角模型,旋转的性质,全等三角形的判定,掌握类比迁移,旋转后
三角形全等的证明是解决本题的关键.
44.已知正方形����,∠���= 45°,∠���绕点A 顺时针旋转,它的两边分别交��、��于点M、N,��⊥��
于点H.
(1)如图①,当��= ��时,可以通过证明△���≌△���,得到��与��的数量关系,这个数量关系是
___________;
(2)如图②,当��≠��时,(1)中发现的��与��的数量关系还成立吗?说明理由;
(3)如图③,已知△���中,∠���= 45°,��⊥��于点H,��= 3,��= 7,求��的长.
【答案】(1)��= ��;(2)��= ��成立,理由见解析;(3)��= 5+ 46
【分析】(1)由“SAS”可证Rt△ABM≌Rt△ADN,从而可证∠BAM=∠MAH=22.5°,由AAS 可证Rt△ABM
≌Rt△AHM,即可得AB=AH;
(2)延长CB 至E,使BE=DN,由Rt△AEB≌Rt△AND 得AE=AN,∠EAB=∠NAD,从而可证△AEM≌
△ANM,根据全等三角形对应边上的高相等即可得AB=AH;
(3)分别沿AM,AN 翻折△AMH 和△ANH,得到△ABM 和△AND,分别延长BM 和DN 交于点C,可证
四边形ABCD 是正方形,设AH=x,在Rt△MCN 中,由勾股定理列方程即可得答案.
【详解】解:(1)∵正方形ABCD,
∴AB=AD,∠B=∠D=∠BAD=90°,
95
在Rt△ABM 和Rt△ADN 中,
��=��
∠�=∠�
��=��
∴Rt△ABM≌Rt△ADN(SAS),
∴∠BAM=∠DAN,AM=AN,
∵∠MAN=45°,
∴∠BAM+∠DAN=45°,
∴∠BAM=∠DAN=22.5°,
∵∠MAN=45°,AM=AN,AH⊥MN,
∴∠MAH=∠NAH=22.5°,
∴∠BAM=∠MAH,
在Rt△ABM 和Rt△AHM 中,
∠���=∠���
∠�=∠���
��=��
∴Rt△ABM≌Rt△AHM(AAS),
∴AB=AH,
故答案为:AB=AH;
(2)AB=AH 成立,理由如下:
延长CB 至E,使BE=DN,如图:
∵四边形ABCD 是正方形,
∴AB=AD,∠D=∠ABE=90°,
在Rt△AEB 和Rt△AND 中,
96
��=��
∠���=∠�
��=��
∴Rt△AEB≌Rt△AND(SAS),
∴AE=AN,∠EAB=∠NAD,
∵∠DAN+∠BAM=45°,
∴∠EAB+∠BAM=45°,
∴∠EAM=45°,
∴∠EAM=∠NAM=45°,
在△AEM 和△ANM 中,
��=��
∠���=∠���
��=��
∴△AEM≌△ANM(SAS),
∵AB,AH 是△AEM 和△ANM 对应边上的高,
∴AB=AH.
(3)分别沿AM,AN 翻折△AMH 和△ANH,得到△ABM 和△AND,分别延长BM 和DN 交于点C,如图:
∵沿AM,AN 翻折△AMH 和△ANH,得到△ABM 和△AND,
∴AB=AH=AD,∠BAD=2∠MAN=90°,∠B=∠AHM=90°=∠AHN=∠D,
∴四边形ABCD 是正方形,
∴AH=AB=BC=CD=AD.
由折叠可得BM=MH=3,NH=DN=7,
97
设AH=AB=BC=CD=x,
在Rt△MCN 中,由勾股定理,得MN2=MC2+NC2,
∴7+3 2= �−3 2 + �−7 2,
解得�= 5 +
46或�= 5 −
46(舍去),
∴��= 5+ 46.
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质,正方形性质及应用,勾股定理等知识,解题的关键是作辅助
线,构造全等三角形.
45.已知四边形ABCD 是正方形,一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合,将此三角板绕A 点旋
转时,两边分别交直线BC,CD 于M,N.
(1)如图1,当M,N 分别在边BC,CD 上时,求证:BM+DN=MN
(2)如图2,当M,N 分别在边BC,CD 的延长线上时,请直接写出线段BM,DN,MN 之间的数量关系
(3)如图3,直线AN 与BC 交于P 点,MN=10,CN=6,MC=8,求CP 的长.
【答案】(1)见解析;(2)��−��= ��;(3)3
【分析】
(1)延长��到�使��= ��,连接AG,先证明△���≅△���,由此得到��= ��,∠���= ∠���,
再根据∠���= 45°,∠���= 90°,可以得到∠���= ∠���= 45°,从而证明△���≌△���,然后根
据全等三角形的性质即可证明��+ ��= ��;
(2)在BM 上取一点G,使得��= ��,连接AG,先证明△���≅△���,由此得到��= ��,∠���= ∠���,
由此可得∠���= ∠���= 90°,再根据∠���= 45°可以得到∠���= ∠���= 45°,从而证明△���≌△
���,然后根据全等三角形的性质即可证明��−��= ��;
(3)在DN 上取一点G,使得��= ��,连接AG,先证明△���≌△���,再证明△���≌△���,设
��= ��= �,根据��= ��可求得�= 2,由此可得��= ��= ��= ��= 6,最后再证明△���≌△���,
由此即可求得答案.
【详解】(1)证明:如图,延长��到�使��= ��,连接AG,
98
∵四边形ABCD 是正方形,
∴��= ��,∠���= ∠���= ∠���= 90°,
在△���与△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���(���),
∴��= ��,∠���= ∠���,
∵∠���= 45°,∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= ∠���−∠���= 45°,
∴∠���= ∠���+ ∠���= ∠���+ ∠���= 45°,
∴∠���= ∠���,
在△���与△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���(���),
∴��= ��,
又∵��+ ��= ��,��= ��,
∴��+ ��= ��;
(2)��−��= ��,理由如下:
如图,在BM 上取一点G,使得��= ��,连接AG,
99
∵四边形ABCD 是正方形,
∴��= ��,∠���= ∠���= ∠���= 90°,
在△���与△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���(���),
∴��= ��,∠���= ∠���,
∴∠���+ ∠���= ∠���+ ∠���,
∴∠���= ∠���= 90°,
又∵∠���= 45°,
∴∠���= ∠���−∠���= 45° = ∠���,
在△���与△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���(���),
∴��= ��,
又∵��−��= ��,��= ��,
∴��−��= ��,
故答案为:��−��= ��;
(3)如图,在DN 上取一点G,使得��= ��,连接AG,
100
∵四边形ABCD 是正方形,
∴��= ��= ��= ��,∠���= ∠���= ∠���= 90°,��//��,
在△���与△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���(���),
∴��= ��,∠���= ∠���,
∴∠���+ ∠���= ∠���+ ∠���,
∴∠���= ∠���= 90°,
又∵∠���= 45°,
∴∠���= ∠���−∠���= 45° = ∠���,
在△���与△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���(���),
∴��= ��= 10,
设��= ��= �,
∵��= 6,��= 8,
∴��= ��+ ��−��= �+ 10 −6 = �+ 4,��= ��−��= 8 −�,
∵��= ��,
∴�+ 4 = 8 −�,
解得:�= 2,
101
∴��= ��= ��= ��= 6,
∵��//��,
∴∠���= ∠���,
在△���与△���中,
∠���= ∠���
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���(���),
∴��= ��=
1
2 ��= 3,
∴CP 的长为3.
【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,能够作出正确的辅助线并能灵活运用全等
三角形的判定与性质是解决本题的的关键.
46.如图1,已知正方形����,��= 3,�是边��上的一个动点(不与点�,�重合),连接��,点�关于
直线��的对称点为�,连接��并延长交��于点�,连接��,��.
(1)求∠���的度数;
(2)如图2,连接��,若��∥��,求线段��的长;
(3)如图3,在点�运动过程中,作∠���的平分线��交��延长线于�,若�△���: �△���= 4: 1,求线段��的
长.
【答案】(1)45°
(2)1
(3)
3
4
【分析】(1)根据正方形性质和轴对称性质得到��= ��= ��,∠���= ∠���,∠�= ∠���,得到∠�=
∠���= 90°,得到Rt △���≌Rt △���HL ,得到∠���= ∠���,即得∠���= 45°;
102
(2)当��∥��时,∠���= ∠���,∠���= ∠���,得到∠���= ∠���.��= ��= ��=
3
2.设��= �,
则��= 3 −�,��= �+
3
2,根据勾股定理得到3 −�2 + (
3
2 )2 = �+
3
2
2
,得到��= 1;
(3)过点H 作��⊥��于点M,则
�△���
S△���=
��
��= 4,��= ��= 4��,由角平分线性质和对称性质推出
∠���= 90°,得到△���是等腰直角三角形,��= ��,推出∠���= ∠���= ∠���,根据∠�= ∠�= 90°,
得到△���≌△���AAS ,得到��=
3
4.
【详解】(1)解:∵四边形����是正方形,点B 关于��的对称点为F,
∴��= ��= ��,∠���= ∠���=
1
2 ∠���,∠�= ∠���= ∠�= ∠���= 90°,
∵��= ��.
∴Rt △���≌Rt △���HL ,
∴∠���= ∠���=
1
2 ∠���,
∴∠���= ∠���+ ∠���=
1
2 ∠���+ ∠���=
1
2 ∠���= 45°
(2)∵��∥��,
∴∠���= ∠���,∠���= ∠���
∵Rt △���≌Rt △���,
∴∠���= ∠���.
∴∠���= ∠���.
∴.��= ��= ��=
3
2.
设��= �,则��= 3 −�,��= �+
3
2
∵��2 + ��2 = ��2,
即3 −�2 + (
3
2 )2 = �+
3
2
2
,
解得:�= 1;
∴��= 1;
(3)过点H 作��⊥��于点M,
103
则
�△���
S△���=
1
2����
1
2����=
��
��= 4,
∴��= ��= 4��,
∵��平分∠���,
∴∠���=
1
2 ∠���,
由轴对称可知,∠���=
1
2 ∠���,
∴∠���= ∠���+ ∠���=
1
2 ∠���+ ∠���= 90°,
又∵∠���= 45°,
∴△���是等腰直角三角形,
∴��= ��,
∵∠���+ ∠���= ∠���+ ∠���= 90°
∴∠���= ∠���= ∠���,
∵∠�= ∠�= 90°,
∴△���≌△���AAS ,
∴��= ��=
1
4 ��=
3
4.
【点睛】本题主要考查了正方形,轴对称.熟练掌握正方形性质,轴对称性质,等腰直角三角形性质,全
等三角形的判断和性质,勾股定理解直角三角形,是解决问题的关键.
(3)“十字架”模型
47.综合与实践
数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,在正方形����中,已知��⊥��,求证:��= ��.
104
甲小组同学的证明思路如下:
由同角的余角相等可得∠���= ∠���.再由��= ��,∠���= ∠�= 90°,证得△���≌△���(依据:
________),从而得��= ��.
乙小组的同学猜想,其他条件不变,若已知��= ��,同样可证得��⊥��,证明思路如下:
由��= ��,��= ��可证得Rt △���≌Rt △���HL ,可得∠���= ∠���,再根据角的等量代换即可
证得��⊥��.
完成任务:
(1)填空:上述材料中的依据是________(填“SAS”或“AAS”或“ASA”或“HL”)
【发现问题】
同学们通过交流后发现,已知��⊥��可证得��= ��,已知��= ��同样可证得��⊥��,为了验证这个
结论是否具有一般性,又进行了如下探究.
【迁移探究】
(2)在正方形����中,点E 在��上,点M,N 分别在��, ��上,连接��, ��交于点P.甲小组同学根据
��⊥��画出图形如图2 所示,乙小组同学根据��= ��画出图形如图3 所示.甲小组同学发现已知��⊥
��仍能证明��= ��,乙小组同学发现已知��= ��无法证明��⊥��一定成立.
①在图2 中,已知��⊥��,求证:��= ��;
②在图3 中,若∠���= �,则∠���的度数为多少?
【拓展应用】
(3)如图4,在正方形����中,��= 3,点E 在边��上,点M 在边��上,且��= ��= 1,点F,N 分
别在直线��,��上,若��= ��,当直线��与直线��所夹较小角的度数为30°时,请直接写出��的长.
105
【答案】(1)ASA;(2)①见解析;②∠���= 90° −2�;(3)2 −
3或2 +
3
【分析】(1)先证明∠���= ∠���,结合��= ��,∠���= ∠�= 90°可知根据ASA 即可证明△���≌△
���;
(2)①作��⊥��于点H,先证明∠���= ∠���,然后根据ASA 即可证明△���≌△���即可证明结
论成立;
②��⊥��于点L,同理可证△���≌△���HL ,从而∠���= ∠���= �,然后利用直角三角形两锐角
互余和三角形外角的性质即可求解;
(3)①当N、F 在��、��边上时,作��⊥��于点G,作��⊥��于点H,则四边形����和四边形����
都是矩形,同理可证△���≌△���HL ,求出∠���= ∠���= 30°,设��= �,则��= 2�,利用勾股
定理求出x 的值,进而可求出��的长.当N、F 在��、��的延长线上时,同理可求出��的长
【详解】(1)证明:∵四边形����是正方形,
∴��= ��,∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= 90°.
∵��⊥��,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���,
∵∠���= ∠�= 90°,
∴△���≌△���ASA .
故答案为:ASA;
(2)①作��⊥��于点H,
106
∵四边形����是正方形,
∴��= ��,∠�= ∠�= 90°,
∴四边形����是矩形,
∴��= ��= ��,∠���= ∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= 90°.
∵��⊥��,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���,
∴△���≌△���ASA ,
∴��= ��;
②作��⊥��于点L,
同理可证四边形����是矩形,
∴��= ��= ��.
∵��= ��, ��= ��,
∴△���≌△���HL ,
∴∠���= ∠���= �,
∴∠���= 90° −�,
∴∠���= ∠���−∠���= 90° −2�.
(3)解:①当N、F 在��、��边上时,如图,∠���= 30°,作��⊥��于点G,作��⊥��于点H,则
107
四边形����和四边形����都是矩形,
同理可证△���≌△���HL ,
∴∠���= ∠���.
∵��∥��,
∴��⊥��,
∴∠���+ ∠���= 90°.
∵∠���= ∠���+ ∠���,
∴∠���+ ∠���+ ∠���= 90°
∵∠���= 30°,
∴∠���= ∠���= 30°,
∴��=
1
2 ��.
设��= �,则��= 2�,
∵��2 + ��2 = ��2,
∴�2 + 32 = 2�2,
∴�=
3(负值舍去),
∴��= ��= ��−��−��= 3 −1 −
3 = 2 −
3.
②当N、F 在��、��的延长线上时,如图,
同理可得:∠���= ∠���= 30°,��=
3,
∴��= ��= ��−��+ ��= 3 −1 +
3 = 2 +
3.
108
.
【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,含30 度角的直角三角
形的性质,勾股定理,以及三角形外角的性质,正确作出辅助线是解答本题的关键.
48.如图1,在正方形����中,�为��上一点,连接��,过点�作��⊥��于点�,交��于点G.
(1)求证:��= ��;
(2)如图2,连接��、��,点M、N、P、Q 分别是��、��、��、��的中点,试判断四边形����的形状,
并说明理由;
(3)如图3,点F、R 分别在正方形����的边��、��上,把正方形沿直线��翻折,使得��的对应边�'�'恰好
经过点�,过点�作��⊥��于点�,若��' = 1,正方形的边长为3,求线段��的长.
【答案】(1)见解析
(2)四边形����为正方形,理由见解析
(3)
10
6
【分析】(1)由正方形的性质及直角三角形的性质得出∠���= ∠���,证明△���≌△���(ASA),由全
等三角形的性质得出结论;
(2)由三角形中位线定理可得出��= ��,��= ��,由平行四边形的判定可得出四边形����为平行四
边形,证出��= ��,��⊥��,则可得出结论;
109
(3)延长��交��于�,由勾股定理求出��的长,设��= �,则��= �'�= 3 −�,由勾股定理可得出12 + (3 −
�)2 = �2,解得�=
5
3,则可得出答案.
【详解】(1)证明:∵四边形����是正方形,
∴∠���= ∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∵��⊥��,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���,
在△���和△���中,
∠���= ∠���
��= ��
∠���= ∠���
,
∴△���≌△���(ASA),
∴��= ��;
(2)解:四边形����为正方形,
理由如下:∵�,�为��,��的中点,
∴��为△���的中位线,
∴��∥��,��=
1
2 ��,
同理可得��∥��,��=
1
2 ��,��∥��,��=
1
2 ��,��∥��,��=
1
2 ��,
∴��= ��,��= ��,
∴四边形����为平行四边形,
∵��= ��,
∴��= ��,
∴四边形����为菱形,
∵��⊥��,��∥��,
∴��⊥��,
∵��∥��,
∴��⊥��,
∴四边形����为正方形;
(3)解:延长��交��于�,如图3,
110
由对称性可知��= �'�,��' = ��= 1,��= ��,
∴��=
��2 + ��2 =
10,
∴��=
1
2 ��=
10
2 ,
设��= �,则��= �'�= 3 −�,
在Rt △��'�中,12 + (3 −�)2 = �2,
∴�=
5
3,
∴��=
5
3,
∴��=
��2 −��2 =
5
3
2
−
10
2
2
=
10
6 .
【点睛】本题属于四边形综合题,考查了折叠的性质,正方形的判定与性质,菱形的判定,全等三角形的
判定和性质,勾股定理,三角形的中位线定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会
利用参数解决问题.
题型07 与特殊平行四边形有关的动点问题
49.如图,在矩形����中,O 为对角线��的中点,∠���= 60°,动点E 在线段��上,动点F 在线段��
上,点E,F 同时从点O 出发,分别向终点B,D 运动,且始终保持��= ��,点E 关于��,��的对称点
为�1,�2;点F 关于��,��的对称点为�1,�2,在整个过程中.四边形�1�2�1�2形状的变化依次是(
)
111
A.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B.菱形→平行四边形→正方形→平行四边形→菱形
C.平行四边形→矩形→平行四边形→矩形→平行四边形
D.平行四边形→菱形→正方形→菱形→平行四边形
【答案】A
【分析】根据矩形的性质及轴对称的性质,可证明�1�2 = �2�1,�1�2∥�2�1,即得四边形�1�2�1�2是平行
四边形;当E、F、O 三点重合时,可证�1�2 = �1�2,即得四边形�1�2�1�2是菱形;当E、F 分别是��,��
的中点时,设��= 4,通过计算,利用勾股定理逆定理即可再证明��⊥��,因此四边形�1�2�1�2是矩形;
当F、E 分别与D,B 重合时,可证四边形�1�2�1�2是菱形,由此即可判断答案.
【详解】∵四边形����是矩形,
∴��∥��,∠���= ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���= 60°,∠���= ∠���= 90° −60° = 30°,
∵��= ��,��= ��,
∴��= ��,
∵点E 关于��,��的对称点为�1,�2;点F 关于��,��的对称点为�1,�2,
∴��= ��2,��= ��1,��= ��2,��= ��1,
∴�1�2 = �2�1,
而∠�2��= ∠���= 60°,∠���= ∠�1��= 30°,
∴∠�1��= 60°,
同理∠�1��= 60°,
∴��1∥��1,
∴�1�2∥�2�1,
∴四边形�1�2�1�2是平行四边形;
112
如图所示,
当E、F、O 三点重合时,��= ��,
∴��1 = ��2 = ��1 = ��2,
即�1�2 = �1�2,
∴四边形�1�2�1�2是菱形;
如图所示,连结��,��,
当E、F 分别是��,��的中点时,
设��= 4�,则��2 = ��= �,��1 = ��= 3�,
在Rt △���中,��= 2�,��= 2 3�,
∵∠���= 60°,��= 2�= ��,
∴△���是等边三角形,
∵E 是��的中点,
∴��⊥��,��= �,
∴��=
3�,
根据对称性可得��1 = ��=
3�,
∴��2 = 12�2,��1
2 = 9�2,��1
2 = 3�2,
∴��2 = ��1
2 + ��1
2,
∴△��1�是直角三角形,且∠�1 = 90°,
∴四边形�1�2�1�2是矩形;
113
当F、E 分别与D,B 重合时,△��1�,△���1都是等边三角形,
则四边形�1�2�1�2是菱形;
∴在整个过程中,四边形�1�2�1�2形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩
形→平行四边形→菱形.
故选A.
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定,平行四边形的性质与判定,矩形的性质与判定,勾股定理与勾股
定理的逆定理,轴对称的性质,含30 度角的直角三角形的性质,熟练掌握以上知识是解题的关键.
50.如图,在矩形����中,��= 8cm,��= 16cm,点P 与点Q 同时出发,点P 从点D 出发向点A 运动,
运动到点A 停止,点Q 从点B 出发向点C 运动,运动到点C 停止,点P,Q 的速度都是1cm/s,连接��,��,��,
设点P,Q 的运动时间为�s.
(1)求当t 为何值时,四边形����是正方形;
(2)求当t 为何值时,��⊥��;
(3)当四边形����的面积为80cm2时,求矩形����的周长与四边形����的周长的比值.
114
【答案】(1)当�= 8s 时,四边形����是正方形;
(2)当�= 6s 时��⊥��;
(3)
6
5
【分析】(1)设经过�s 后四边形����是正方形,则��= ��= �cm,��= ��= 16 −�cm,在矩形����
中,∠�= 90°,��∥��,则当��= ��= ��= 8 时,四边形����是正方形,即�= 16 −�= 8,然后解
方程即可解答;
(2)由于��= ��,��∥��,得四边形����为平行四边形,当��⊥��时,四边形����为菱形,��= ��,
再利用勾股定理列方程求解即可;
(3)四边形����为平行四边形,四边形����的面积为��⋅��= 80,即8 16 −�= 80,解得�= 6,则��=
6,��= ��= 10,再分别求矩形����的周长与四边形����的周长即可解答.
【详解】(1)解:∵在矩形����中,��= 8cm,��= 16cm,
∴��= ��= 16cm,��= ��= 8cm,
设经过�s 后四边形����是正方形,则��= ��= �cm,��= ��= 16 −�cm,
在矩形����中,∠�= 90°,��∥��,
当��= ��= ��= 8 时,四边形����是正方形,
∴�= 16 −�= 8,解得�= 8,
∴当�= 8s 时,四边形����是正方形;
(2)解:∵��= ��,��∥��,
∴四边形����为平行四边形,
∴当��⊥��时,四边形����为菱形,
∴��= ��,
∵��=
82 + �2,
∴
82 + �2 = 16 −�,解得�= 6,
∴当�= 6s 时��⊥��;
(3)解:∵四边形����为平行四边形,
∴四边形����的面积为��⋅��= 80,即8 16 −�= 80,解得�= 6,
∴��= 6,��= ��= 10,
∴四边形����的周长= 4 × 10 = 40cm,
115
∴矩形����的周长= 2 × 8 + 16 = 48cm,
∴矩形����的周长与四边形����的周长的比值为
48
40 =
6
5.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定、平行四边形的判定和性质、菱形的判定及性质、勾
股定理等知识点,熟练掌握相关判定及性质是解题的关键.
51.如图,平行四边形����的顶点O 为坐标原点,A 点在�轴正半轴上,∠���= 60°,��= 10cm,��= 4cm,
点P 从C 点出发沿��方向,以1cm/s 的速度向点B 运动;点Q 从A 点同时出发沿��方向,以3cm/s 的速
度向原点运动,其中一个动点达到终点时,另一个动点也随之停止运动.
(1)求点C,B 的坐标(结果用根号表示)
(2)从运动开始,经过多少时间,四边形����是平行四边形;
(3)在点P、Q 运动过程中,四边形����有可能成为菱形吗?若能,求出运动时间;若不能,请说明理由.
【答案】(1)�2,2 3 ,�12,2 3
(2)经过2.5 秒,四边形����是平行四边形
(3)不能成为菱形,见解析
【分析】
(1)如图,过C 作��⊥��于E,则∠���= 30°,��=
1
2 ��= 2,由勾股定理得,��=
��2 −��2 =
2 3,则�2,2 3 ,由平行四边形����,可知��∥��,��= ��,进而可得�12,2 3 ;
(2)设从运动开始,经过x 秒,四边形����是平行四边形,由题意知,��= �,��= 3�,��= 10 −3�,
由四边形����是平行四边形,可得��= ��,即�= 10 −3�,计算求解即可;
(3)由(2)可知,经过2.5 秒,四边形����是平行四边形,此时��= 2.5,由��= 4 ≠2.5 = ��,可知
平行四边形����不能是菱形.
【详解】(1)解:如图,过C 作��⊥��于E,
116
∴∠���= 30°,
∴��=
1
2 ��= 2,
由勾股定理得,��=
��2 −��2 = 2 3,
∴�2,2 3 ,
∵平行四边形����,
∴��∥��,��= ��,
∴�12,2 3 ;
(2)解:设从运动开始,经过x 秒,四边形����是平行四边形,
由题意知,��= �,��= 3�,
∴��= 10 −3�,
∵四边形����是平行四边形,
∴��= ��,即�= 10 −3�,
解得:�= 2.5,
∴运动开始,经过2.5 秒,四边形����是平行四边形;
(3)解:不能成为菱形,理由如下;
由(2)可知,经过2.5 秒,四边形����是平行四边形,此时��= 2.5,
∵��= 4 ≠2.5 = ��,
∴平行四边形����不能是菱形.
【点睛】本题考查了含30°的直角三角形,勾股定理,平行四边形的性质,点坐标,一元一次方程的应用,
菱形的判定等知识.熟练掌握含30°的直角三角形,勾股定理,平行四边形的性质,点坐标,一元一次方程
的应用,菱形的判定是解题的关键.
52.在矩形����中,��= 9,��= 12,E,F 是对角线��上的两个动点,点E,F 分别从点A,C 同时出
发,相向而行,速度均为每秒1 个单位长度,运动时间为�0 ≤�≤15 秒,G,H 分别是��,��的中点,
连接��,��,��,��.
(1)四边形����的形状一定是______(点E,F 相遇时除外).
117
(2)当四边形����为矩形时,请求出t 的值.
(3)若点G 向点D 运动,点H 向点B 运动,且与点E,F 以相同的速度同时出发,当四边形����为菱形时,
请直接写出t 的值.
【答案】(1)平行四边形
(2)�= 3 或�= 12
(3)
27
8
【分析】(1)证明△���≌△���,可得��= ��,∠���= ∠���,可得∠���= ∠���,证明��∥��,
从而可得结论;
(2)连接��,证明四边形����是矩形,可得��= ��= 9,求解��=
92 + 122 = 15,①如图,当点E,
F 相遇前,②如图,当点E,F 相遇后,再进一步解答即可;
(3)如图,设M,N 分别为��和��的中点,连接��,��,��,令��与��相交于点O.证明四边形����
为菱形,可得��= ��,设��= ��= �,则��= 12 −�,再利用勾股定理进一步求解即可.
【详解】(1)解:四边形����的形状一定是平行四边形;理由:
∵四边形����是矩形,
∴��= ��,��∥��,
∴∠���= ∠���,
∵G,H 分别是��,��的中点,
∴��= ��= ��= ��,
由题意可得:��= ��,
∴△���≌△���,
∴��= ��,∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
∴��∥��,
∴四边形����是平行四边形;
(2)解:连接��,
∵��= ��,��∥��,∠�= 90°,
∴四边形����是矩形,
∴��= ��= 9,
118
∵��= 9,��= 12,∠�= 90°,
∴��=
92 + 122 = 15,
①如图1,当点E,F 相遇前,
∵四边形����是矩形,
∴��= ��= 9.
∵��= ��= �,
∴��= 15 −2�= 9,
解得�= 3;
②如图2,当点E,F 相遇后,
∵四边形����是矩形,
又∵��= ��= 9,��= ��= �,
∴��= �+ �−15 = 2�−15 = 9,
解得�= 12.
综上所述,四边形����为矩形时,�= 3 或�= 12.
(3)解:如图,设M,N 分别为��和��的中点,连接��,��,��,令��与��相交于点O.
∵四边形����为菱形,
119
∴��⊥��,��= ��,��= ��,
∴��= ��,��= ��,
∴四边形����为菱形,
∴��= ��,
设��= ��= �,则��= 12 −�
由勾股定理,可得��2 + ��2 = ��2,
即92 + 12 −�2 = �2,
解得�=
75
8 .
∵��= ��−��=��=
75
8 −6 =
27
8 ,即�=
27
8 ,
当四边形����为菱形时,t 的值为
27
8 .
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质与判定,矩形的判定与性质,菱形的判定与性质,勾股定理的应
用,熟记特殊四边形的判定方法是解本题的关键.
53.综合实践
【问题】小张、小王、小袁在《解析与检测》中发现这样一道题:如图1,在矩形����中,�为对角线��
的中点,∠���= 60°,动点�在线段��上,动点�在线段��上,点�, �同时从点�出发,分别向终点�, �运
动,且始终保持��= ��.点�关于��, ��的对称点为�1, �2;点�关于��, ��的对称点为�1, �2,在整个过
程中,四边形�1�2�1�2形状的变化依次是什么?
【探究】(1)小张觉得在点�, �运动的过程中,四边形�1�2�1�2的两组对边分别相等,所以四边形�1�2�1�2
形状必定为______;
(2)小王觉得小张说的不全面,于是三人继续探索:
①小王看到四边形�1�2�1�2的四边分别经过了原矩形的四个顶点,并说道:在图1 中,连接��1和��2,只
要能说明∠�1��2为180°即可,其余三条边都可以用这个方法证明.请你根据小王的说法,证明边�1�2经过
点�.
②小王发现,点�, �在点�时,四边形�1�2�1�2为菱形;点�, �分别运动到终点�, �时,四边形�1�2�1�2为
菱形;并猜想点�, �在运动过程中,四边形�1�2�1�2能为矩形.请你利用图2 判段点�, �在运动过程中,四
边形�1�2�1�2否能为矩形?若能请找到点�的位置并证明此时四边形�1�2�1�2为矩形;若不能,也请说明
理由.
【应用】(3)经过探索,三人得出了四边形�1�2�1�2形状的变化依次是菱形、平行四边形、矩形、平行四
边形、菱形的结论.如图3,在原题的基础上,将条件∠���= 60°变为��= 6,��= 8,其余条件不变,
120
小袁发现在点�, �运动过程中,四边形�1�2�1�2依然能够形成矩形和菱形,请你直接分别写出形成的菱形和
矩形的周长.
【答案】(1)平行四边形;(2)见解析(3)40;39.2
【分析】(1)根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判断即可;
(2)①根据∠�1��= ∠���, ∠�2��= ∠���,∠���+ ∠���= 90°可得∠�1��+ ∠���2 + ∠���+
∠���= 180°,从而证明此三点共线;
②四边形�1�2�1�2能为矩形,此时点�为��中点,证明△��1�是直角三角形,且∠�1 = 90°即可;
(3)分别找出四边形是菱形或矩形的情况,再分别求出菱形或矩形的边长,根据周长计算公式求解即可.
【详解】解:如图1 中,
∵四边形����是矩形,
∴��∥��,��∥��, ∠���= ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���= 60°,∠���= ∠���= 90° −60° = 30°,
∵�为��的中点,
∴��= ��,
∵��= ��,
∴��= ��,
∴��= ��,
由轴对称的性质可知:��= ��2,��= ��1,��= ��2,��= ��1,
121
∴��2 = ��= ��= ��2,��1 = ��= ��= ��1,
由轴对称的性质可知:∠�1��= ∠���= 30°, ∠���2 = ∠���= 60°,
∴∠�1��+ ∠���+ ∠���2 + ∠���= 180°,
∴�1, �, �2三点在同一条直线上,
同理,�2, �, �1三点在同一条直线上,
∵��2 = ��2,��1 = ��1,
∴��2 + ��1 = ��2+��1,
∴�1�2 = �2�1,
由轴对称的性质可知:∠�1��= 2∠���= 2∠���= ∠�1��,
又∵��1 = ��= ��= ��1,
∴△��1�≌△��1�SAS ,
∴�1�= �1�,
同理可证,��2 = ��2,
∵点F 与点�2关于��对称,
∴��2 ⊥��,
同理可知:��1 ⊥��,��1 ⊥��,��2 ⊥��,
又∵在矩形����中,∠���= ∠���= 90°,
∴四边形����, ����均为矩形,
∴∠�1��
2 = ∠�1��
2 = 90°,
∴△�1��
2≌△�1��
2 SAS ,
∴�1�
2 = �1�
2,
∴四边形�1�2�1�2是平行四边形;
(2)①如图,由轴对称的性质可知:∠�1��= ∠���, ∠�2��= ∠���,
122
∵∠���+ ∠���= 90°,
∴∠�1��+ ∠�2��= 90°,
∴∠�1��+ ∠���2 + ∠���+ ∠���= 180°,
∴�1, �, �2三点共线,
∴边�1�2经过点�.
②四边形�1�2�1�2能为矩形,此时点�为��中点,理由如下:
如图所示,当E,F 分别为��,��的中点时,设��= 4�,则��= ��= 2�,��2 = ��= �,��1 = ��= 3�,
又∵在Rt △���中,∠���= 30°,
∴��= 2�,��= 2 3�,连接��,��,
∵∠���= 60°,��= ��= 2�,
∴△���是等边三角形,
∵E 为��中点,
∴��⊥��,��=
1
2 ��= �,
∴��=
2�2 −�2 =
3�.
根据轴对称的性质可得��1 = ��=
3�.
∴��2 = 12�2,��1
2 = 9�2,��1
2 = 3�2,
∴��2 = ��1
2 + ��1
2,
∴△��1�是直角三角形,且∠�1 = 90°,
∴四边形�1�2�1�2是矩形.
即四边形�1�2�1�2能为矩形,此时点�为��中点;
(3)如图所示,当E,F,O 三点重合时,��= ��,
123
∴��1 = ��= ��2 = ��= ��1 = ��2,即�1�2 = �1�2,
又∵四边形�1�2�1�2 是平行四边形,
∴四边形�1�2�1�2 是菱形.
∵��= 6, ��= 8,∠���= 90°,
∴��= 10,
由轴对称的性质可得,��2 = ��= ��1,
∴�1�2 = 2��2 = 2��= ��= 10,
∴菱形�1�2�1�2的周长为10 × 4=40;
如图所示,四边形�1�2�1�2是矩形,则∠�2 = 90°,
连接��和��,
由对称性可得:∠�2 = ∠���= 90°,
即当��⊥��时,四边形�1�2�1�2是矩形,
∵�△���=
1
2 ��× ��=
1
2 ��× ��,
∴
1
2 × 6 × 8 =
1
2 × 10 × ��,
解得:��= 4.8,
124
∴��2 = ��= ��=
��2 −��2 =
62 −4.82 = 3.6,
∴��1 = ��= ��= ��−��= 10 −3.6 = 6.4,
∴�1�2 = ��1 + ��2 = 10,
∵��= 4.8,
∴�1�2 = ��1 + ��2 = 2��= 9.6,
∴矩形�1�2�1�2的周长为:2 �1�2 + �1�2 = 2 × 10 + 9.6 = 39.2.
答:形成的菱形和矩形的周长分别为40 和39.2.
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定,平行四边形的性质与判定,矩形的性质与判定,勾股定理与勾股
定理的逆定理,轴对称的性质,含30 度角的直角三角形的性质,熟练掌握以上知识是解题的关键.
54.如图,在Rt △���中,∠�= 90°,��= 5 3,∠�= 30°.点D 从点C 出发沿��方向以每秒2 个单位
长的速度向A 点匀速运动,同时点E 从点A 出发沿��方向以每秒1 个单位长的速度向点B 匀速运动,当其
中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E 运动的时间是t 秒�> 0 .过点D 作��⊥��
于点F,连接��、��.
(1)��的长是_______,��的长是_______.
(2)在D、E 的运动过程中,线段��与��的关系是否发生变化?若不变化,那么线段��与��是何关系,并
给予证明.若变化,请说明理由.
(3)四边形����能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t 值;如果不能,说明理由.
(4)当t 为何值,△���的面积是2 3?
【答案】(1)10,5
(2)不变化,��与��平行且相等;
(3)能,当�=
10
3 秒时,四边形����为菱形;
(4)当�= 2 秒时,△���的面积是2 3.
【分析】(1)根据直角三角形的性质可得��= 2��= 10,再由勾股定理,即可求解;
(2)根据直角三角形的性质可得��=
1
2 ��= �,再证明四边形����为平行四边形,即可求解;
125
(3)根据菱形的判定可得当��= ��时,平行四边形����为菱形,得到关于t 的方程,即可求解;
(4)由��= 2�,∠�= 30°,求得��= �,��=
3�,利用三角形面积公式列式计算即可求解.
【详解】(1)解:∵∠�= 90°,��= 5 3,∠�= 30°,
∴��= 2��,
由勾股定理得:��2 = ��2 −��2 = 2��2 −��2 = 5 3
2;
解得��= 5,��= 10,
故答案为:10,5;
(2)解:��与��平行且相等.
证明:由题意得:��= 2�, ��= �,
在△���中,∠���= 90°,∠�= 30°,
∴��=
1
2 ��= �.
又∵��= �,
∴��= ��,
∵��⊥��, ��⊥��,
∴��∥��,
∴四边形����为平行四边形,
∴��与��平行且相等;
(3)解:四边形����能够成为菱形.理由如下:
由(2)知:四边形����为平行四边形,
∵��= 10,��= 2�,
∴��= ��−��= 10 −2�.
当��= ��时,平行四边形����为菱形,
即�= 10 −2�,
解得:�=
10
3 .
即当�=
10
3 秒时,四边形����为菱形;
(4)解:∵��= 2�,∠�= 30°,
∴��= �,��=
3�,
由题意得
1
2 ��× ��= 2 3,即
1
2 �×
3�= 2 3,
126
解得�=± 2(舍去负值),
∴当�= 2 秒时,△���的面积是2 3.
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质,菱形的判定,平行四边形的判定和性质,勾股定理,熟练掌
握直角三角形的性质,菱形的判定,平行四边形的判定和性质是解题的关键.
题型08 一次函数与特殊平行四边形的综合问题
55.如图,正方形����的顶点A,�分别在�轴,�轴上,点�3,2 在直线�:�= ��+ 11 上.将正方形����
沿�轴正方向向右平移��> 0 个单位长度后,点�恰好落在直线�上.则�的值为
.
【答案】
5
3
【分析】过B 作��⊥��于M,过C 作��⊥��于N,根据AAS 定理证得△���≌△���,△���≌△���,
根据全等三角形的性质求出C 点的坐标为1,3 ,由待定系数法求出直线l 的解析式为�=−3�+ 11,设平
移后点C 的坐标为1 + �, 3 ,代入解析式即可求出m.
【详解】解:过B 作��⊥��于M,过C 作��⊥��于N,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∵四边形����是正方形,
∴∠���= 90°,��= ��,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���,
在△���和△���中,
127
∠���= ∠���
∠���= ∠���= 90°
��= ��
,
∴△���≌△���AAS ,
∴��= ��,��= ��,
∵�3,2 ,
∴��= 2,��= 3,
∴��= 2,
∴��= ��−��= 1,
∴��= 1,
同理可证△���≌△���,
∴��= ��= 2,��= ��= 1,
∴��= ��+ ��= 3,
∴�1,3 ,
∵点�3,2 在直线�:�= ��+ 11 上,
∴3�+ 11 = 2,
∴�=−3,
∴直线l 的解析式为�=−3�+ 11,
设正方形����沿�y 轴向右平移m 个单位长度后点C 的坐标为1 + �, 3 ,
∵点C 在直线l 上,
∴−3 1 + �+ 11 = 3,
解得:�=
5
3 ,
故答案为:
5
3.
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的特征,正方形的性质,坐标与图形的变化-平移,全等三角形
的判定与性质定理,根据AAS 定理证得△���≌△���,△���≌△���,求出C 点的坐标是解决问题
的关键.
56.如图,在平面直角坐标系中,已知点�1,2 ,�1, −2 ,连接��,将��向右平移3 个单位得线段��,
其中点�的对应点为点�.
128
(1)请直接写出点�的坐标和长方形����的面积;
(2)点�是�轴上的动点,连接��.
①当点�在�轴正半轴时,线段��与线段��相交于点�,若三角形���的面积为1,请求出此时三角形���
的面积;
②当��将长方形����的面积分成相等的两部分时,连接��,画出图形,求点�的坐标.
【答案】(1)�4,2 ,12;
(2)①3;②�0,
10
3 .
【分析】(1)由平移的性质得出点�坐标,��= 3,再求出��,即可求解;
(2)①先求出��= 1,再用三角形的面积公式得出�△���= 1,�△���= 3,即可求解;②当��将长方形����
的面积分成相等的两部分时,点�为矩形����的对角线��的延长线与�轴的交点,利用待定系数法求出直
线��的解析式即可求解;
本题考查了平移的性质,矩形的判定,三角形的面积,一次函数与坐标轴的交点问题,掌握平移的性质是
解题的关键.
【详解】(1)解:∵点�1,2 ,将��向右平移3 个单位得线段��,
∴�1 + 3,2 ,即�4,2 ,
由平移得,��= 3,四边形����是矩形,
∵�1,2 ,�1, −2 ,
∴��= 2 −−2 = 4,
∴�四边形����= ��·��= 4 × 3 = 12,
即四边形����的面积为12;
(2)解:①如图1,过�点作��⊥��于�,由平移知,��∥�轴,
129
∵�1,2 ,
∴��= 1,
由平移知,��= ��= 3,
∴�△���=
1
2 ��·��=
1
2 ��× 1 = 1,
∴��= 2,
∴�△���=
1
2 ��·��=
1
2 × 2 × 3 = 3;
②如图,当��将长方形����的面积分成相等的两部分时,点�为矩形����的对角线��的延长线与�轴的
交点,
∵�1, −2 ,��= ��= 3,
∴�4, −2 ,
设直线��的函数解析式为�= ��+ �,把代入得,
2 = �+ �
−2 = 4�+ �,
解得
�=−
4
3
�=
10
3
,
∴�=−
4
3 �+
10
3 ,
∴�0,
10
3 .
130
57.如图,在平面直角坐标系中,直线�1:�=−
1
2 �+ 6 分别与x 轴,y 轴交于点A,点B,与直线�2:�= �
交于点C.
(1)求点A,B,C 的坐标;
(2)若点D 是线段��上一点,且△���的面积是△���面积的
1
4,求直线��的解析式;
(3)点P 是直线�2上一点,点Q 是平面内任意一点,若以点O,B,P,Q 为顶点的四边形是菱形,请直接写
出点Q 的坐标.
【答案】(1)�12,0 ,�0,6 ,�4,4
(2)�=−�+ 6
(3) −3,3 或6,0 或
3, 6 +
3 或−
3, 6 −
3
【分析】本题考查了待定系数法,一次函数的图象及性质,菱形的性质等;
(1)根据一次函数上点的坐标特点,分别求出A、B 点坐标,再由方程−
1
2 �+ 6 = �,求出C 点坐标;
(2)可求�△���= 3�,�△���= 36,根据题意得方程3�=
1
4 × 36,求出t 的值即可确定D 点坐标,再用待
定系数法求函数的解析式即可;
(3)设��, �,��, �,根据菱形对角线分三种情况讨论,分别建立方程组求Q 点坐标即可.
熟练掌握一次函数的图象及性质,菱形的性质,能根据菱形的顶点不同进行分类讨论是解题的关键.
【详解】(1)解:当�= 0 时,�= 6,
∴�0,6 ,
当�= 0 时,�= 12,
∴�12,0 ,
当−
1
2 �+ 6 = �时,
解得:�= 4,
∴�4,4 ;
131
(2)解:设��, �,
∵�0,6 ,
∴��= 6,
∴�△���= 1
2 × 6 × �
= 3�,
∵��= 12,
∴�△���= 1
2 × 6 × 12
= 36,
∴3�=
1
4 × 36,
解得�= 3,
∴�3,3 ,
设直线��的解析式为�= ��+ �,则有:
�= 6
3�+ �= 3 ,
解得:�=−1
�= 6 ,
∴直线��的解析式为�=−�+ 6;
(3)解:设��, �,��, �,
①当��为菱形的对角线时,��= ��,
∴
�+ �= 0
�+ �= 6
�2 + �−6 2 = 2�2
,
解得
�= 3
�=−3
�= 3
,
∴�−3,3 ;
②当��为菱形的对角线时,��= ��,
∴
�= �
�= 6 + �
36 = �2 + �−6 2 ,
解得
�= 0
�= 0
�=−6
(舍去)或
�= 6
�= 6
�= 0
,
∴�6,0 ;
132
③当��为菱形的对角线时,��= ��,
∴
�= �
�= 6 + �
2�2 = 6
,
解得
�=
3
�=
3
�= 6 +
3
或
�=−
3
�=−
3
�= 6 −
3
,
∴�
3, 6 +
3 或−
3, 6 −
3 ;
综上所述:Q 点坐标−3,3 或6,0 或
3, 6 +
3 或−
3, 6 −
3 .
58.如图,平面直角坐标系中,矩形����的顶点�0, �、顶点��, �,且b、c 满足�=
�−8 +
8 −�+ 10,
点�−6,0 .
(1)顶点C 的坐标为_______;线段��的长度是________;
(2)已知点E 是线段��上的动点,点F 是线段AC 上的动点,点�2,8 ,当��+ ��的值最小时,求F 点的
坐标;
(3)在第(2)问的条件下,点P 是坐标轴上的点,点Q 是平面内一点,请问存在以点A、F、P、Q 为顶点
的四边形是以AF 为边的矩形吗?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)�10,8 ,10
(2)�2,4
(3) −4, −4 或−8,4
【分析】(1)由二次根式�中�≥0 可求出�的值,从而可求出�的值,由勾股定理得��=
��2 + ��2,即
可求解;
(2)由等腰三角形的性质得∠���= ∠���,从而可得��平分∠���,作�关于��对称点�,连接��,由SAS
可判定△���≌△���,由全等三角形的性质得��= ��,当�、�、�三点共线,且��⊥�轴时,��最小,
��+ ��最小,再用待定系数法求出直线��的解析式为�=
1
2 �+ 3,即可求解;
(3)①当�在�轴上时,此时矩形为��1�1�,作��∥��,将直线��绕�逆时针旋转90°得直线��,由平
133
行直线的�相等得直线��的解析式为�=
1
2 �,可求直线��的解析式为�=−2�,用待定系数法可求直线�1�
的解析式为�=−2�+ 8,直线�1�1的解析式为�=
1
2 �−2,直线��1的解析式为�=−2�−12,即可求解;
②当�在�轴上时,此时矩形为���2�2,同理可求直线�2�2的解析式为�=
1
2 �+ 8,即可求解.
【详解】(1)解:∵�=
�−8 +
8 −�+ 10,
∴�−8 ≥0
8 −�≥0 ,
解得:�= 8,
∴�= 10,
∴�10,8 ,
∴��= 6,��= 8,
∴��=
��2 + ��2
=
62 + 82
= 10;
故答案:�10,8 ,10;
(2)解:如图,
∵�10,8 ,
∴��= ��= 10,
∴∠���= ∠���,
∵四边形����是矩形,
∴��∥�轴,
∴∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
∴��平分∠���,
如上图,作�关于��对称点�,连接��,
134
∴��= ��,
在△���和△���中
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���(SAS),
∴��= ��,
当�、�、�三点共线,且��⊥�轴时,��最小,
∴��+ ��最小,
∵�2,8 ,
∴��= 2,
设直线��的解析式为�= ��+ �,则有
−6�+ �= 0
10�+ �= 8 ,
解得�=
1
2
�= 3
,
∴直线��的解析式为�=
1
2 �+ 3,
当�= 2 时,
�=
1
2 × 2 + 3 = 4,
∴�2,4 ;
(3)解:存在,理由如下:
如图,
①如上图,当�在�轴上时,
此时矩形为��1�1�,
如图,作��∥��,将直线��绕�逆时针旋转90°得直线��,
135
∴��∥�1�,
直线��的解析式为�=
1
2 �,
设��, �(�> 0),
∴�=
1
2 �,
由旋转得:�−�, �,
设直线��的解析式为�= ��,则有,
−��= �,
∴−
1
2 ��= �,
解得:�=−2,
∴直线��的解析式为�=−2�,
∴设直线�1�的解析式为�=−2�+ �,
∴−2 × 2 + �= 4,
解得:�= 8,
∴直线�1�的解析式为�=−2�+ 8,
当�= 0 时,
−2�+ 8 = 0,
解得:�= 4,
∴�1 4,0 ,
同理可求:
直线�1�1的解析式为�=
1
2 �−2,
直线��1的解析式为�=−2�−12,
联立直线�1�1和直线��1的解析式得
136
�=
1
2 �−2
�=−2�−12
,
解得�=−4
�=−4 ,
∴�1 −4, −4 ;
②当�在�轴上时,
此时矩形为���2�2,
由①可求�0,8 ,
同理可求:
直线�2�2的解析式为�=
1
2 �+ 8,
联立直线�2�2和直线��1的解析式得
�=
1
2 �+ 8
�=−2�−12
,
解得�=−8
�= 4 ,
∴�2 −8,4 ;
综上所述:�点坐标为−4, −4 或−8,4 .
【点睛】本题考查了线段和最小值问题,待定系数法,勾股定理,矩形的性质,全等三角形的判定及性质,
两直线平行�相等,掌握待定系数法、相关的判定方法及性质,能找出取得最小值的条件,根据矩形的顶点
位置进行分类讨论是解题的关键.
59.如图,四边形����是矩形,点A,C 别在x 轴,y 轴上,点B 的坐标是4,3 ,∠���的平分线与x 轴交
于点E.
(1)求线段��的长;
(2)求直线��的解析式;
(3)连接��,交��于点F,连接��,点N 是平面内任意一点;
①求出��所在直线的解析式及点F 坐标;
②在x 轴上是否存在点M,使得以O,F,M,N 为顶点且以��为边的四边形为菱形?若存在,请直接写出
137
点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)5
(2)�= 2�−5
(3)①�=−
3
4 �+ 3,点F 坐标为
32
11 ,
9
11 ;②存在,点M 的坐标为
1105
11
, 0 或−
1105
11
, 0 或
64
11 , 0
【分析】(1)对Rt △���运用勾股定理求解即可;
(2)先证明△���≌△���,设��, 0 ,则��= �,��= ��= 4 −�,
在Rt △���中,由勾股定理得4 −�2 + 22 = �2,求出点�
5
2 , 0 ,而点�4,3 ,即可求直线��的表达式;
(3)①待定系数法求直线��表达式,交点只需联立两条直线表达式,解方程组即可;
②分类讨论:以��为边;以��为对角线,两种情况,根据菱形的四条边相等即对角线垂直的性质求解即
可.
【详解】(1)解:由题知,在矩形����中,点B 的坐标是4,3 ,
∴��= 4,��= 3,∠���= 90°,
∴��=
��2 + ��2 =
42 + 32 = 5;
(2)解:解:过点E 作��⊥��,
∴∠���= ∠�= 90°
∵��平分∠���,
∴∠���= ∠���,
∵��= ��,
∴△���≌△���
∴��= ��,
∵��= 4,��= 3,
∴��= ��= 3,��= ��−��= 5 −3 = 2,
设��, 0 ,则��= �,��= ��= 4 −�,
138
在Rt △���中,��2 + ��2 = ��2,
即4 −�2 + 22 = �2,
解得�=
5
2,
∴�
5
2 , 0 ,
设直线��的解析式为�= ��+ �,
∴
5
2 �+ �= 0
4�+ �= 3
,
解得:�= 2
�=−5 ,
∴直线��的解析式为:�= 2�−5;
(3)解:①在矩形����中,点B 的坐标是4,3 ,
∴�0,3 ,�4,0 ,
设直线��的解析式为�= ��+ �,
∴4�+ �= 0
�= 3
,
解得:�=−
3
4
�= 3
,
∴直线��的解析式为�=−
3
4 �+ 3,
∵直线��和直线��交于点F,
∴�=−
3
4 �+ 3
�= 2�−5
,
解得:
�=
32
11
�=
9
11
,
∴�
32
11 ,
9
11 ,
②当��、��都为菱形的边时,如图:
139
��= ��=
32
11
2
+
9
11
2
=
1105
11 ,
∴�
1105
11
, 0 或−
1105
11
, 0 ;
②当��为菱形的边,��为菱形对角线时,如下图,
∴��= 2 ×
32
11 =
64
11,
∴�
64
11 , 0 ,
综上,满足条件的点m 的坐标为
1105
11
, 0 或−
1105
11
, 0 或
64
11 , 0 .
【点睛】本题主要考查一次函数的综合题,涉及矩形的性质,菱形的性质,勾股定理,全等三角形的判定
与性质,一次函数的性质,以及用待定系数法求解析式等知识点,利用分类讨论思想解决问题是解题的关
键.
60.在平面直角坐标系���中,如果点�,�为某个菱形一组对角的顶点,且点�,�在直线�= �上,那么称
该菱形为点�,�的“关联菱形”.例如,图1 中的四边形����为点�,�的“关联菱形”.
已知点�(1,1),点�(�, �).
140
(1)当�= 3 时,
①在点�2,1 ,�(1,3),�( −1,5)中,点
能够成为点�,�的“关联菱形”的顶点;
②当点�,�的“关联菱形”����的面积为8 时,求点�的坐标;
(2)已知直线�=−2�+ �与�轴交于点�,与�轴交于点�,若线段��≤5,且点�是点�,�的“关联菱形”的
顶点,直接写出�的取值范围.
【答案】(1)①�和�;②点�的坐标为(0,4)或(4,0);
(2)−
5 −1 ≤�≤
5 −1,且�≠−1,1
【分析】(1)①根据“关联菱形”的定义即可求解;
②由菱形的性质结合勾股定理,利用两点间距离公式建立方程求解即可;
(2)由题意可得�
�
2 , 0 ,�(0, �),于是得到��=
5
2 |�| ≤5,求得−2 5 ≤�≤2 5,设点�,�的“关联菱
形”的顶点在直线�=−�+ �上,要使“关联菱形”存在,则点�不在直线�=−�+ 4 和�= �上,以此可得,�≠
0,4,设��的中点为�,则�
�+1
2 ,
�+1
2
,求得点�,�的“关联菱形”的顶点在直线�=−�+ �+ 1 上,再将
点�
�
2 , 0 代入得到�=
�
2 −1,以此即可得�的取值范围.
【详解】(1)解:①如图,
141
∵�(1,1),�(3,3).
由菱形的对角线互相垂直平分可知,能够成为点�,�的“关联菱形”的顶点在线段��的垂直平分线上,
点�2,1 ,
∵��=
2 −1 2 + 1 −1 2 = 1,��=
2 −3 2 + 1 −3 2 =
5,1 ≠5,
∴点�2,1 不符合题意;
点�(1,3),
∵��=
1 −1 2 + 3 −1 2 = 2,��=
1 −3 2 + 3 −3 2 = 2,2 = 2,
∴点�2,1 符合题意;
点�( −1,5),
∵��=
−1 −1 2 + 5 −1 2 = 2 5,��=
−1 −3 2 + 5 −3 2 = 2 5,2 5 = 2 5,
∴点�( −1,5)符合题意;
故满足该条件点为�和�;
故答案为:�和�;
②如图,设��的中点为�,则�(2,2),过点�作��的垂线交坐标轴分别为�、�,��⊥�轴于点�,
142
∴��= ��= 2,
∴∠���= 45° = ∠���,
∴�4,0 ,
设直线��的解析式为�= ��+ �1,
∴2�+ �1 = 2
4�+ �1 = 0 ,解得�=−1
�1 = 2 ,
∴直线��的解析式为�=−�+ 4,
∴��=
(2 −1)2 + (2 −1)2 =
2,
依题意,点�,�在直线�=−�+ 4 上,
∵点�,�的“关联菱形”����的面积为8,
∴�△���=
1
4 �菱形����=
1
2 ��⋅��= 2,即
1
2 ⋅
2 ⋅��= 2,
∴��= 2 2,
设�(�, −�+ 4),
∴��2 = �−2 2 + −�+ 4 −2 2 = 2 2
2,
解得:�1 = 0,�2 = 4,
∴�(0,4)或(4,0);
(2)解:∵直线�=−2�+ �与�轴交于点�,与�轴交于点�,
∴�
�
2 , 0 ,�(0, �),
∴��=
�
2 −0
2
+ 0 −�2 =
5
2 �,
∵��≤5,
∴
5
2 |�| ≤5,
∴−2 5 ≤�≤2 5,
设点�,�的“关联菱形”的顶点在直线�=−�+ �上,
当直线过点�(1,1)时,则�=−�+ 2,
∵点�
�
2 , 0 是点�,�的“关联菱形”的顶点,
∴0 =−
�
2 + 2,
解得:�= 4,此时无法构成菱形,
当�= 0 时,�(0,0)在直线�= �上,此时也无法构成菱形,
143
∴−2 5 ≤�≤2 5,且�≠0,�≠4,
设��的中点为�,则�
�+1
2 ,
�+1
2
,
则
�+1
2 =−
�+1
2 + �,
解得:�= �+ 1,
∴点�,�的“关联菱形”的顶点在直线�=−�+ �+ 1 上,
∵点�
�
2 , 0 是点�,�的“关联菱形”的顶点,
∴
�
2 = �+ 1,
∴�=
�
2 −1,
∵−2 5 ≤�≤2 5,且�≠0,4,
∴−
5 −1 ≤�≤
5 −1,且�≠−1,�≠1.
【点睛】本题主要考查函数中的新定义问题、菱形的性质、两点间的距离公式、两直线垂直在函数中的应
用,熟练掌握菱形的性质,利用菱形的对角线互相垂直平分正确设出“关联菱形”的顶点所在直线的解析式是
解题关键.