文档文本内容
专题04 特殊平行四边形中折叠、最值、新定义型问题
内容导航
01 复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构
→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破
→汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1
特殊平行四边形中折叠问题
题型2
特殊平行四边形中最值问题
题型3
特殊平行四边形中新定义型问题
04 综合通关
→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕
→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
1. 折叠：求折痕长、对应点
位置，利用勾股列方程。
2. 最值：将军饮马模型求线
段和最小值，动点路径长。
3. 新定义：理解定义（如“等
邻边四边形”），判定形状
或计算，考查迁移能力。
1.
折叠问题：从简单求角度转向利用轴对称性质构造方程，重点考查
矩形折叠中通过勾股定理求折痕或对应线段长度，常与中点、三等分点
结合设置多解情况。
2.
最值问题：强化“将军饮马”模型在菱形、正方形中的应用，求两
线段和的最小值；同时开始渗透利用“垂线段最短”求动点到某边距离
的最值。
3.
新定义型问题：以“等邻边四边形”、“半角四边形”等新概念为
背景，综合考查矩形对角线相等、菱形对角线垂直等性质的现场应用与
逻辑迁移能力，成为区卷压轴题新趋势。
考情解码：根据2026 年新教材考情，特殊平行四边形中的折叠、最值及新定义问题成为压轴题的“三
驾马车”。折叠问题本质是轴对称变换，高频考查利用勾股定理或等面积法求折痕或线段长。最值问
题常结合“将军饮马”模型求动点路径和最小值。新定义型问题通过定义“对边四边形”等新概念，
综合考查矩形的对角线性质与菱形的判定，对学生现场学习与迁移能力要求较高。
知识点一特殊平行四边形中折叠问题
（一）核心折叠本质：轴对称变换
1. 折叠前后对应边相等、对应角相等、全等；折痕是对应点连线的垂直平分线。
2. 常见隐含条件：
- 出现等腰三角形：折叠后重合边相等，形成等角对等边；
- 直角构造：矩形折叠多出现Rt△，用勾股列方程（折叠高频考法：设未知数x，剩余边长用边长-x 表示）。
（二）分图形常考模型
1. 矩形折叠
1 沿顶点折：一角落在对边上→直角+勾股方程；
2 沿对角线折→出现等腰三角形（重合部分为等腰△）；
3 沿中线/边上动点折叠→设边长列勾股。
2. 菱形折叠：利用四边相等+对角线垂直，折叠后结合30°/60°特殊直角三角形。
3. 正方形折叠：边角都是90°，常伴半角模型（45°折叠）、全等转化。
（三）易错点
折叠后落点分落在边上/内部/外部多解情况，容易漏解。
【易错警示】
- 对应关系：折叠前后对应边相等、对应角相等，勿错配对应顶点。
- 勾股定理：设未知数，用折叠后构造的直角三角形列方程，勿忘平方。
- 重合条件：折痕是对应点连线的中垂线，勿忽略垂直平分性质。
即时即练在四边形ABCD 中，
90
A
B
C
D
，
10
AB
CD
，
8
BC
AD
，P 为射线BC 上一
点，将ABP
沿直线AP 翻折至
AEP
△
的位置，使点B 落在点E 处．
(1)若P 为线段BC 上一点．
①如图1，当点E 落在边CD 上时，求CE 的长；
②如图2，连接CE ，若CE
AP
∥
，则BP 与BC 有何数量关系?请说明理由；
(2)当PEC
为直角三角形时，PB 的长为．
知识点二特殊平行四边形中最值问题
1. 最短路径（将军饮马，高频）
原理：两点之间线段最短、垂线段最短，利用轴对称找点对称，化折线段为直线段。
- 动点在矩形/菱形边上运动，求PA+PB 最小：作定点关于动点所在直线对称点，连线长即最小值。
2. 线段最值（定点+动点）
（1）直角三角形斜边中线定值模型：直角顶点在定直线运动，斜边固定，则斜边中线为定值；
（2）圆轨迹（隐圆）最值：动点到定点距离不变→动点在圆上，利用点到圆距离：最远=圆心距+半径，最
近=圆心距−半径；
常见：正方形/矩形中，固定角、定边长，动点轨迹成圆。
（3）垂线段最短：求某线段最小值，作垂线。
3. 面积最值
特殊平行四边形内动点，底固定→高最大/最小决定面积最值；常结合二次函数（坐标系题型）。
4. 坐标系下最值：结合一次函数、坐标运算。
【易错警示】
- 模型识别：常用“将军饮马”（对称点化折为直）或垂线段最短，勿乱用。
- 动点范围：注意动点是否在边、对角线或延长线上，范围不同最值可能变化。
- 转化思想：将所求线段通过对称或平移转化为共线或垂直，勿直接猜端点。
即时即练综合与实践
问题背景
如图，在菱形ABCD 中，连接AC ，
5
AB
，
6
AC
．
初步探究
（1）菱形ABCD 的面积为．
（2）如图1，若E，F 分别是AB ，CD 上的动点，且AE
DF
，过点E 作EG
AC
，过点F 作FH
AC
，
垂足分别为点G，点H，求EG
FH
的值．
拓展延伸
（3）如图2，P 是CD 上的动点，连接AP ．
①AP 的最小值为；
②如图3，Q 是AD 上的动点，连接CQ，且AQ
DP
，求AP
CQ
的最小值．
知识点三特殊平行四边形中新定义型问题
1. 核心思路：现场读懂新定义（新四边形、新运算、新特征），套特殊平行四边形原有性质
常见新定义：准菱形、等邻边四边形、垂等四边形、完美矩形等。
2. 用到的知识点分类
（1）判定类：根据新定义条件，结合矩形/菱形/正方形判定定理证明图形；
（2）计算类：新定义给出边角关系→勾股、全等、特殊角计算边长周长；
（3）探究存在性：是否存在动点构成新定义图形→设未知数、列方程求解。
3. 隐含考点：分类讨论（边长不等、动点位置不同多解）
【易错警示】
- 理解定义：圈画关键条件（边、角、对角线、数量关系），勿凭感觉套用旧概念。
- 举例验证：先构造特殊图形（如正方形）理解定义，再推广到一般情形。
- 性质转化：将新条件转化为熟悉的边角关系，勿死记硬背。
即时即练定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定
义为“郡外四边形”．
(1)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：______．
(2)如图点P 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，点O 是线段AC 中点，点E 是射线BC 上一点，且PE
PB
，
连接PD ．
①如图1，当点P 在线段AO 上时，求证：四边形PECD 为“郡外四边形”；
②如图2，当点P 在线段CO上时，试用等式来表示
,
,
PB BC CE 的数量关系，并证明．
题型1
特殊平行四边形中折叠问题
例1．如图，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为
8,0 ，点C 的坐标为
0,4 ，把矩形OABC 沿OB 折叠，
点C 落在点D 处，则点D 的坐标为
．
例2．如图，在菱形ABCD 中，
60 ,
6
A
AB
，E 是AB 上一点．将BCE
沿CE 折叠后得到
FCE
△
，若
EF
AB
，则折痕EC 的长为
．
【技巧总结】
1. 找等量：折叠前后边、角相等，设未知数表示线段。
2. 构直角三角形：折痕为对称轴，利用勾股定理列方程。
3. 巧用性质：矩形中折叠得等腰三角形；正方形中折叠常用全等或勾股。
4. 求折痕长：作垂直或建坐标系求解。
【变式训练1-1】综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】操作一：
如图1，正方形纸片ABCD ，将
B
沿过点A 的直线折叠，使点B 落在正方形ABCD 的内部，得到折痕AE ，
点B 的对应点为M，连接AM ；将
D
沿过点A 的直线折叠，使AD 与AM 重合，得到折痕AF ，将纸片展
平，连接EF ．
（1）根据以上操作，易得点E，M，F 三点共线，则
①
EAF
____________°；
②线段
,
,
EF BE DF 之间的数量关系为_______________．
【深入探究】操作二：
如图2，将∠C 沿EF 所在直线折叠，使点C 落在正方形ABCD 的内部，点C 的对应点为N，将纸片展平，
连接
,
NE NF ．
同学们在折纸的过程中发现，当点E 的位置不同时，点N 的位置也不同，当点E 在BC 边上某一位置时（点
E 不与点B，C 重合），点N 恰好落在折痕AE 上，此时AM 交NF 于点P，如图3 所示．
（2）小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论AP
BE
DF
，请判断该结论是否成立，并说明理由．
【拓展应用】
（3）若正方形纸片ABCD 的边长为3，当点N 落在折痕AE 上时，直接写出线段AP 的长．
【变式训练1-2】如图，在矩形ABCD 中，
4
AB
，
5
BC
，动点E 从点A 出发，沿边AD ，DC 向点C 运
动，A ，D 关于直线BE 的对称点分别为M ，N ，连接MN ．
（1）如图，当E 在边AD 上且
1
DE 时，
AEM
的度数是
．
（2）当直线MN 恰好经过点C 时，DE 的长是
．
题型2
特殊平行四边形中最值问题
例3．如图，墙面MO 与地面NO 垂直，一块矩形木板ABCD 的顶点A
B
，分别在OM 和ON 上滑动，连接OC
（图中各点均在同一平面内），已知
8,
3
AB
BC
，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（
）
A．OC 的最大值为9，最小值为3
B．OC 的最大值为
73 ，最小值为3
C．OC 的最大值为9，最小值为2
D．OC 的最大值为
73 ，最小值为1
例4．如图，在菱形ABCD 中，
2
AB
，
60
ABC
，M 为对角线BD 上的一个动点，点F 在边BC 上，CF
BF
，
则MA
MF
的最小值为
．
【技巧总结】
1. 将军饮马：作对称点化折线为直线，利用两点间线段最短求最小值。
2. 垂线段最短：求点到直线距离，直接作垂线。
3. 找轨迹：动点轨迹为线段或弧，利用三角形三边关系求解。
4. 勾股建方程：设变量，用二次函数顶点求最值。
【变式训练2-1】如图，正方形ABCD 的边长为5，点E，F 在对角线AC 上（点E 在点F 的左侧），且
2
EF
．则
DE
BF
的最小值为
．
【变式训练2-2】如图，点O是矩形ABCD 的对称中心，点P ，点Q 分别位于AD ，BC 上，且PQ经过点O，
6
AB
，
3
AP
，
5
BQ
，点E 在AB 上运动，点M ，N 在CD 上运动，且
3.
MN
则：
（1）
EPQ
△
周长的最小值是
．
（2）四边形PQMN 周长的最小值是
．
题型3
特殊平行四边形中新定义型问题
例5．定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如图，在矩形ABCD中，
6,
7
AB
BC
，
“筝形” EFGH 的顶点E 是AB 的中点，点F
G
H
，，
分别在BC
CD
AD
，
，
上，且
5
EF ，则对角线EG 的
长
．
例6．筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
(1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形：______；
(2)如图1，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 延长线上一点，连接AE
CE
，
．求证：四边形ABCE 是筝形：
(3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得AB
AD
，BC
DC
，
发现它是一个筝形，还得到
18cm
AB
，
40cm
BC
，
120
ABC
，求筝形ABCD 的面积．
【技巧总结】
1. 读懂定义：抓住核心特征（如“等对角线四边形”），转化为数学条件。
2. 联系模型：匹配特殊平行四边形性质（矩形对角线等、菱形垂直等）。
3. 分类讨论：按定义情形分情况画图验证。
4. 逆向推理：由结论反推需要满足的条件，结合性质列式。
【变式训练3-1】阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角
线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形ABCD 中，若AC 垂直平分BD ，那么四边形ABCD 称为鹞形．
(1)写出图1 所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______；
(2)如图2，在平行四边形ABCD 中，E、F 分别在边BC 和CD 上，且四边形AECF 是鹞形（AC 垂直平分EF ），
求证平行四边形ABCD 是菱形．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接AC 、EF ，若
12
AC
，
10
AB
，
4
DF
，则EF 的长度为________．
【变式训练3-2】定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．
了解性质：如图1：已知四边形ABCD 中，AC
BD
．垂足为O，则有：
2
2
2
2
AB
CD
AD
BC
；
性质应用：
（1）如图1，四边形ABCD 是垂美四边形，若
2,
5,
4
AD
BC
CD
，则AB ___________；
性质变式：
（2）如图2，图3，P 是矩形ABCD 所在平面内任意一点，则有以下重要结论：
2
2
2
2
AP
CP
BP
DP
．请
以图2 为例将此重要结论证明出来．
应用变式：
（3）①如图4，在矩形ABCD 中，O为对角线交点，P 为BO中点，则
2
2
2
PA
PC
PB
___________；
②如图5，在
ABC
中，
4,
6,
CA
CB
D
是
ABC
内一点，且
1,
90
CD
ADB
，则AB 的最小值是
___________．
1．如图，把一张矩形纸片ABCD 按如下方法进行两次折叠：第一次将DA 边折叠到DC 边上得到DA，折痕
为DM ，连接
,
A M CM
，第二次将
MBC
△
沿着MC 折叠，MB 边恰好落在MD 边上．若
2
AD
，则AB 的
长为（
）
A．5
2
B．
3
C．
5
D．2
2．如图，正方形ABCD 中，
4
AB
，点E，F 分别在边AB ，BC 上，点P 在对角线AC 上，EF
AC
∥
，
PE
PF
m
．下列结论错误
．．的是（
）
A．若
2
BE
，则m 的最小值为4
B．若m 的最小值为4，则
2
BE
C．若
0.5
BE =
，则m 的最小值为5
D．若m 的最小值为5，则
0.5
BE =
3．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，折痕为CE ，若
80
D
，则
BCF
的度
数是
．
4．如图，在长方形ABCD 中,
3
AD
，
2
AB
，BF
DE
，则CE+DF 的最小值是
．
5．如图，在
ABC
中，
6
AC
，
8
AB
，
10
BC
，D 为BC 边上一动点，DE
AB
于点E ，DF
AC
于
点F ．
(1)求证：四边形AEDF 是矩形；
(2)在点D 运动的过程中，EF 的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
6．定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则
称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题．
(1)如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 在CD 边上，点F 在CB 边的延长线上，且DE
BF
，连接AE ，AF ，
请根据定义判断四边形AFCE 是否是“直等补”四边形，并说明理由．
(2)如图2，已知四边形ABCD 是“直等补”四边形，AB
AD
，若
20
AB
，
4
CD
，求BC 的长．
7．【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与
了矩形折叠活动．
(1)操作与证明：
①如图①所示，小华将矩形ABCD 沿EF 折叠后，使得点C 与点A 重合，点D 与点G 重合，若
60
AFB
，
则
AFE
_______，
AEF
_______；
②如图②所示，张三将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠后，使得点C 与点E 重合，BE 与AD 交于点F，过点
D 作DG
BF
∥
交BC 于点G，求证：四边形DFBG 是菱形；
(2)迁移应用：
如图③所示，李四将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠后，使得点C 与点E 重合，BE 与AD 交于点F，连接AE ，
若
30
CBD
，
3 2
CD
，求AE 的长．
8．定义引入：
定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形．
（1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______；
猜想与验证：
（2）①如图1，在四边形ABCD 中，对角线AC
BD
于点O，下列结论正确的是（
）．
A．
2
2
2
2
AB
BC
CD
AD
B．
1
2
ABCD
S
AC
BD
四边形
C．AB
CD
BC
AD
②证明①中正确的结论：
拓展思考：
（3）如图2，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别是3cm 和5cm ，连接
，
，
AE
AG
CE ，且
cm
AE
7
，
ADG
△
的面积和
DCE
△
的面积会相等吗？如果会，请证明并求
DCE
△
的面积，如果不会，请说明理由．
9．在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片ABCD ，要求同学们在对角线BD 上取一点E ，
连接AE ，将ABE
沿AE 折叠，得到
AEF
△
．
(1)同学甲发现
3
DAE
BAE
（图1），通过探索发现点F 落在线段AC 上，从而可证明
2
BAD
DEF
．请
你完整证明：
2
BAD
DEF
；
(2)同学乙取
3
BE
DE
，折叠后发现EF
BA
∥
（图2 ），通过探索可得出AE
EF 为常数，请求出AE
EF 的值；
(3)同学丙通过折叠发现EF
BD
，测得
5
AB
，
7
BE
DE
，连接DF ，发现DF 的长度可求，求出此时DF
的长度．
10．【问题提出】
（1）如图1，正方形ABCD 的边长为6，M 是对角线BD 上的一个动点，N 是边BC 的中点，连接MN ，MC ，
则在点M 的运动过程中，MN
MC
的最小值为______．
【问题探究】
（2）如图2，四边形ABCD 是菱形，
10,
16
AB
BD
，M，N 是对角线BD 上的动点，MN 的长度为4 且始
终保持不变，连接AM ，CN ，求AM
CN
的最小值．
【问题解决】
（3）某国防教育基地在操场训练军体拳，要求训练方阵为正方形ABCD ，如图3．为了效果更好，站在边AE
处的学生队伍要平分
DAC
，其中，教学生军体拳的主教官站在点D 处，另外两位教官分别在边AD 上的
点M 处和边AE 上的点N 处指导纠正学生的动作，即M，N 分别为边AD ，AE 上的动点．通过记录并计算，
得到MN
DN
的最小值为8 2 ，请你计算学生训练方阵正方形ABCD 的边长．
