文档内容
第 20 讲 特殊的平行四边形
第一部分：知识点梳理
平行四边形思维导图
知识点一 矩形
1. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2. 矩形的性质：
①矩形的四个角都是直角，对角线相等且互相平分.
②矩形是轴对称图形，有两条对称轴；
③矩形也是中心对称图形，对称轴的交点就是对称中心；
（矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质）；
3. 矩形的判定定理
（1）三个角是直角的四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形.
知识点二 菱形
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质：
①菱形的四条边都相等；
②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
③ 菱形面积 ＝ 对角线乘积的一半 .
3.菱形的判定定理：
①一组邻边相等的平行四边形是菱形。
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
③四条边相等的四边形是菱形。
知识点三 正方形
1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
第 1 页 共 22 页2.正方形的性质：
①四条边都相等，四个角都是直角。
②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
（正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，它具有矩形、菱形的一切性质 ）
3.正方形的判定定理：
①有一组邻边相等的矩形是正方形；
②有一个角是直角的菱形是正方形；
③有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
特殊的平行四边形的关系图
知识点四 中点四边形
1.中点四边形：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形.
2.常见的中点四边形
（1）顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形；
（2）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形；
（3）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；
（4）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；
（5）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
3.常见结论归纳：
中点四边形的面积等于原图形面积的一半，周长等于原图形两条对角线之和.
对角线相等的 对角线垂直的 对角线垂直且相等的
原图形 任意四边形
四边形 四边形 四边形
中点四边形
平行四边形 菱形 矩形 正方形
的形状
图示
第 2 页 共 22 页第二部分：考点突破
考点1矩形的性质与判定
1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为 ，则这
个矩形的面积是（ ）
A．25 B． C． D．
2．（2025·四川德阳·中考真题）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（
）
A． B． C． D．
3．（2025·四川成都·中考真题）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等
4．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形 沿对角线 折叠，点 落在 处， 交 于点 ．
将 沿 折叠，点 落在 内的 处，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形 中， ．点P是 边上一动点，点M
为线段 上一动点． ，则 的最小值为（ ）．
第 3 页 共 22 页A．2 B． C． D．
6．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，点 是 边上的动点，
将 沿直线 翻折得到 ，过点 作 ，垂足为 ，点 是线段 上一点，且
．当点 从点 运动到点 时，点 运动的路径长是 ．
7．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形 纸片中，沿着点 折叠纸片并展开， 的对应边为 ，
折痕与边 交于点 ．当 与 ， 中任意一边的夹角为 时， 的度数可以是
8．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，点E是边 的中点，点
F是对角线 上一动点，作点C关于直线 的对称点P，若 ，则 的长为 ．
9．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形 中，点 、 分别在 上，且 ，把
沿 翻折，点 恰好落在矩形对角线 上的点M处．若A、 、 三点共线，则 的值为
．
第 4 页 共 22 页10．（2022·青海·中考真题）如图矩形 的对角线 和 相交于点 ，过点 的直线分别交 和
于点 ， ， ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
11．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片 沿边 折叠，使点 在边 中点 处．若
，则 ．
12．（2025·山东烟台·中考真题）如图， 是矩形 的对角线，请按以下要求解决问题：
(1)利用尺规作 ，使 与 关于直线 成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若 交 于点 ， ， ，求 的长．
13．（2025·北京·中考真题）如图，在 中，D，E分别为 的中点， ，垂足为F，
点G在 的延长线上， ．
第 5 页 共 22 页(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ， ，求 和 的长．
14．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在四边形 中， ， 是边 的中点，
．求证：四边形 是矩形．
15．（2025·云南·中考真题）如图，在 中， ， 是 的中点．延长 至点 ，使
．连接 ，记 ， 的周长为 ， 的周长为 ，四边形 的
周长为 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，求 的长．
第 6 页 共 22 页考点2菱形的性质与判定
16．（2024·海南·中考真题）如图，菱形 的边长为2， ，边 在数轴上，将 绕点
A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1 B． C．0 D．
17．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形 中， ， 是 的中点，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2025·河南·中考真题）如图，在菱形 中， ，点 在边 上，连接 ，将
沿 折叠，若点 落在 延长线上的点 处，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．
19．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形 是平行四边形，给出下列四个条件：① ；
② ；③ ；④ 平分 ．若添加其中一个条件，不能使四边形 是菱形的为
（ ）
A．① B．② C．③ D．④
第 7 页 共 22 页20．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图， 的对角线 ， 交于点 ，以下条件不能证明
是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图，在菱形 中， ， ，点E为 的中点，
在对角线 上有一动点P，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
22．（2025·山东烟台·中考真题）如图，菱形 的顶点 在 轴正半轴上， ，反比例函数
的图象过点 和菱形的对称中心 ，则 的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
23．（2025·云南·中考真题）如图，四边形 是菱形，对角线 相交于点 ．若 ，
，则菱形 的面积是 ．
第 8 页 共 22 页24．（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为 ，且有一个内角为 ，则该菱形的高为
．
25．（2025·福建·中考真题）如图，菱形 的对角线相交于点O， 过点O且与边 分别相
交于点E，F．若 ，则 与 的面积之和为 ．
26．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，在菱形 中， ，对角线 ，点 是边
的中点，点 是对角线 上的一个动点，连接 、 ．则 的最小值是 ．
27．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形 中， ， ， 为线段 上的动点，
四边形 为平行四边形，则 的最小值为 ．
28．（2025·辽宁·中考真题）如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点 ，
点 在线段 上， ，点 在线段 上， ，连接 ，点 为 的中点，连接 ，则
的长为 ．
第 9 页 共 22 页29．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在菱形 中， ，对角线 ．点M从点A
出发，沿 方向以 的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿 方向以 的速度向点
D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 ， 交于点P．在此过程中，点P的运动
路径长为 ．
30．（2025·四川凉山·中考真题）如图，四边形 是菱形，对角线 相交于点O，E是边 的
中点，过点E作 于点 于点G，若 ，则 的长为 ．
31．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形 中，对角线 ， 相交与点 ，点
在 延长线上， 与 相交与点 ．若 ， ，则菱形 的面积为
．
第 10 页 共 22 页32．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在菱形 中， 分别是边 上的点，且 ．
求证： ．
33．（2024·四川广安·中考真题）如图，在菱形 中，点 在 上，点 在 上，且 ，
连接 ，求证： ．
34．（2025·贵州·中考真题）如图，在 中， 为对角线 上的中点，连接 ，且 ，垂
足为 ．延长 至 ，使 ，连接 ， ，且 交 于点 ．
(1)求证： 是菱形；
第 11 页 共 22 页(2)若 ，求 的面积．
35．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在 中，对角线 的垂直平分线与边 ， 分别相交
于点 ， ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ， 平分 ，求 的长．
36．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平行四边形 中，点 在边 上， ，连
接 ，点 为 的中点， 的延长线交边 于点 ，连接
(1)求证：四边形 是菱形：
(2)若平行四边形 的周长为 ，求 的长．
37．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在四边形 中， ，且 ， 是
的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：
第 12 页 共 22 页甲：若连接 ，则四边形 是菱形；
乙：若连接 ，则 是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
38．（2025·四川达州·中考真题）归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的
角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，
平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系
的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：
(1)尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质
①____________________________________________________________________________；
②____________________________________________________________________________；
③____________________________________________________________________________．
(2)实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3， ，点D是 的中点，
， ，试帮他判断四边形 的形状，并证明你的结论．
39．（2025·浙江·中考真题）在菱形 中， ．
第 13 页 共 22 页(1)如图1，求 的值．
(2)如图2，E是 延长线上的一点，连接 ，作 与 关于直线 对称， 交射线 于点
P，连接 ．
①当 时，求 的长．
②求 的最小值．
考点3正方形的性质与判定
40．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形 是平行四边形，从① ，② ，③
，这三个条件中任意选取两个，能使 是正方形的概率为（ ）
A． B． C． D．
41．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形 的顶点G在正方形 的边 上， 与 交于
点H，若 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
第 14 页 共 22 页42．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形 的一边 ，使点 落在 上的点 处，折痕
交 于点 ．若 ，则 的长是（ ）
A． B．2 C． D．
43．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形 中， ，点E在边 上， 是
的中点，点H在 边上， ，则 的长为（ ）．
A． B． C． D．
44．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形 边长为6，以对角线 为斜边作 、
，点 在 上．连接 ．若 ．则 的最小值为（ ）
A．6 B．6 C．3 D．4
45．（2024·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形 中，点 是 上一点，点 是 延长
线上一点，连接 ， ， 平分 ．交 于点 ．若 ，则 的长度为
（ ）
第 15 页 共 22 页A．2 B． C． D．
46．（2024·四川资阳·中考真题）第 届国际数学教育大会（ ）会标如图 所示，会标中心的
图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图 所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（ ，
， ， ）和一个小正方形 拼成的大正方形 ．若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
47．（2025·重庆·中考真题）如图，正方形 的边长为2，点E是 边的中点，连接 ，将
沿直线 翻折到正方形 所在的平面内，得 ，延长 交 于点G． 和
的平分线 相交于点H，连接 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
48．（2025·山东东营·中考真题）如图，在 中， ， ，点 在边 上（与点 ，
不重合），四边形 为正方形，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，交 于
点 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中
结论正确的序号是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
49．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在菱形 中，对角线 相交于点O，若添加一个条
件使该菱形为正方形，该条件可以是 ．
第 16 页 共 22 页50．（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，四边形 ， ， 均为正方形，且
， ，则正方形 的边长可以是 （写出一个答案即可）．
51．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在 中， ， ．正方形 的
边长为 ，它的顶点D，E，G分别在 的边上，则 的长为 ．
52．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形 中，对角线 、 相交于点 ．
点 在线段 上．连接 ，作 于点 ，交 于点 ．给出下面四个结论：
① ；
② ；
③当 时， ；
④点 与点 之间的距离的最小值为 ．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
53．（2025·四川南充·中考真题）如图， 为正方形 的对角线， 平分 ，交 于点 ，
把 绕点 逆时针方向旋转90°得到 ，延长 交 于点 ，连接 ，交 于点 ．给出
下列结论：① ；② ；③ ；④ ．以上结论正确的是 ．
（填写序号）
第 17 页 共 22 页54．（2025·浙江·中考真题）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线 上．
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出 的证明过程．
(2)若裁剪过程中满足 ，求“机翼角” 的度数．
55．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 ， 在对
角线 上，且 ， ．
求证：四边形 是正方形．
56．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形 为正方形，点E在 的延长线上，连接
．
(1)求证： ；
(2)若 ，求证： ．
第 18 页 共 22 页57．（2025·福建·中考真题）如图，矩形 中， ．
(1)求作正方形 ，使得点E，G分别落在边 上，点F，H落在 上；（要求：尺规作图，
不写作法，保留作图痕迹）
(2)若 ，求（1）中所作的正方形的边长．
58．（2023·内蒙古·中考真题）已知正方形 ， 是对角线 上一点．
(1)如图1，连接 ， ．求证： ；
(2)如图2， 是 延长线上一点， 交 于点 ， ．判断 的形状并说明理由；
(3)在第（2）题的条件下， ．求 的值．
59．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与实践
如图，在边长为8的正方形 中，作射线 ，点 是射线 上的一个动点，连接 ，以 为边
作正方形 ，连接 交射线 于点 ，连接 ．（提示：依题意补全图形，并解答）
【用数学的眼光观察】
（1）请判断 与 的位置关系，并利用图（1）说明你的理由．
【用数学的思维思考】
（2）若 ，请你用含 的代数式直接写出 的正切值________．
【用数学的语言表达】
（3）设 ，正方形 的面积为 ．请求出 与 的函数解析式．（不要求写出自变量 的取值范
围）
第 19 页 共 22 页60．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践
【问题情境】
如图，小昕同学在正方形纸板 的边 、 上分别取点 、 ，且 ， 交 于点 ．
连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 、 ， 交 于点 ， 交 于点 ．
【活动猜想】
（1） 与 的数量关系是_______，位置关系是_______；
【探索发现】
（2）证明（1）中的结论；
【实践应用】
（3）若 ， ，求 的长；
【综合探究】（4）若 ，则当 _______时， 的面积最小．
第 20 页 共 22 页61．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动
点的几何问题．若四边形 是正方形， ， 分别在边 ， 上，且 ，我们称之为
“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将 绕点A顺时针旋转 ，点 与点 重合，得到 ，连接 ．
用等式写出线段 ， ， 的数量关系_____．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点 ， 分别在正方形 的边 ，
的延长线上， ，连接 ，用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形 中， ， ，
，点 ， 分别在边 ， 上， ，用等式写出线段 ， ， 的
数量关系，并说明理由．
62．（2025·甘肃平凉·中考真题）四边形 是正方形，点E是边 上一动点（点D除外），
是直角三角形， ，点G在 的延长线上．
(1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边 上时，写出 和 的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形 内部时， 的延长线与B的延长线交于点P，
如果 ，写出 和 的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 ，写出 和 的数量关系，并说明理由．
第 21 页 共 22 页63．（2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边 上一点， 于点
F， ， ， ．试猜想四边形 的形状，并说明理由；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形 中，E是边 上一点，
于点F， 于点H， 交 于点G，可以用等式表示线段 ， ， 的数
量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 中，E是边
上一点， 于点H，点M在 上，且 ，连接 ， ，可以用等式表示线段
， 的数量关系，请你思考并解答这个问题．
第 22 页 共 22 页
