文档文本内容
专题03 特殊的平行四边形
内容导航
01 复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构
→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破
→汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1
利用平行四边形的性质求角度或线段
题型2
平行四边形的性质和判定的综合问题
题型3
利用矩形的性质求解
题型4
矩形的性质与判定的综合问题
题型5
利用菱形的性质求解
题型6
菱形的性质与判定的综合问题
题型7
利用正方形的性质求解
题型8
正方形的性质与判定的综合问题
题型9
与特殊平行四边形的性质与判定有关的作图（含无刻度作图）
04 综合通关
→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕
→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
1. 平行四边形对边平行且相等、对
角相等、对角线互相平分。
2. 矩形四个角直角、对角线相等。
3. 菱形四条边相等、对角线垂直平
分。
4. 正方形兼具矩形与菱形性质。
5. 判定方法综合运用（如添加条
件）。
6. 折叠、动点及最值问题。
1.
判定与性质辨析：重点考查从一般四边形到矩形、菱形、正
方形的判定路径，高频设置条件选择题（如“添加什么条件可判
定为菱形”）。
2.
折叠与动点问题：将折叠变换与平行四边形结合求线段长度，
或设置动点探究四边形形状，考查分类讨论与几何直观。
3.
对角线核心地位：充分利用对角线互相平分、垂直、相等等
性质进行证明或计算，常与勾股定理、面积法综合。
4.
实际情境应用：结合矩形裁剪、菱形花坛、正方形地砖等生
活问题，考查性质的实际运用。
考情解码：根据2026 年新教材考情，特殊的平行四边形是几何证明与计算的核心板块。命题聚焦从
边、角、对角线三个维度判定矩形、菱形、正方形，并灵活运用其性质（如矩形对角线相等、菱形对
角线垂直）解决线段长度、角度及面积问题。折叠变换、动点探究存在性及最值问题是压轴题高频方
向，同时强调与勾股定理、全等三角形的综合，考查逻辑推理与分类讨论思想。
知识点一平行四边形的概念及性质与判定
1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。
3.平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念）
（2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形
（3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形
（4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形
【易错警示】
- 性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，勿与矩形、菱形性质混淆。
- 判定：一组对边平行且相等是常用判定，勿只记“平行”或只记“相等”；对角线互相平分也是重要判定。
- 条件充分性：两组对角相等或两组对边相等均能判定，但一组邻角互补不一定。
即时即练1.如图，在
ABC
中，
90
ACB
D
，
为AB 边上一点，连接
,
CD E 为CD 中点，过点C 作CF
BD
∥
，
交BE 的延长线于点F，连接DF 交AC 于点G．
(1)判断四边形DBCF 的形状，并说明理由；
(2)若
30
A
，
4 3
AC
，
6
CF ．求AD 的长．
2 已知，如图，ABCD
的对角线AC ，BD 相交于点O，EF 过点O，分别交AD ，BC 于点E ，F ，连接AF ，
CE ．
(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；
(2)若
8
AD
AC
，
4
CD
，则
ABCD
的边BC 上的高为________．
知识点二矩形的概念及性质与判定
1.矩形的概念和性质
（1）有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平
行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2.矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）三个角是直角的四边形是矩形
（3）对角线相等的平行四边形是矩形
【易错警示】
- 性质：具平行四边形所有性质，且四个角为直角、对角线相等。勿遗漏对角线相等。
- 判定：一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形也是矩形。勿用“对角线相等且垂直”。
- 混淆：勿将矩形性质（对角线相等）与菱形（对角线垂直）记混。
即时即练1.如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O，AE 平分
BAD
交BC 于点E ．若
30
ODA
，
则BOE 的度数为_____．
2.如图，在
ABC
中，
4
AB
AC
，D 为BC 中点，四边形ACDE 是平行四边形．
(1)求证：四边形ADBE 是矩形；
(2)过点E 作EH
AB
于点H，若
3
HEB
HEA
，求AH 的长．
知识点三菱形的概念及性质与判定
1.菱形的概念与性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，
还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。
2.菱形的判定
（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）
（2）四边相等的四边形是菱形
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【易错警示】
- 性质：具平行四边形所有性质，且四边相等、对角线互相垂直平分并平分内角。勿漏对角线平分内角。
- 判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形也是菱形。勿只用“对角线垂直”
（还需平行四边形条件）。
- 面积：可用对角线积的一半，勿只记底乘高。
即时即练1.如图，边长为5 的菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O，E 是AB 的中点，则EO 的长为
_____________．
2.如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O，延长CD 至点E，使得
2
CE
BC
，连接BE 交AD 边于
点F，点D、F 分别是CE 、BE 的中点，
1
2
DF
AD
．
(1)求证：四边形ABCD 是菱形；
(2)若
6
AC
，
9
OB
BC
，求四边形ABCD 的面积．
知识点四正方形的概念及性质与判定
1.正方形的概念、性质
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是
有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。
2.正方形的判定
（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形
（3）有一个角是直角的菱形是正方形
【易错警示】
- 性质：具矩形和菱形所有性质（四边等、四角直角、对角线垂直且相等）。
- 判定：先证矩形再加邻边相等或对角线垂直；或先证菱形再加一个直角或对角线相等。勿只证一组条件就
下结论。
- 混淆：勿将正方形性质误作仅矩形或菱形特有。
即时即练1.如图，P 是正方形ABCD 内的一点，连接PA ，PB，PC ，PD ．若PAB
是等边三角形，则
DPA
的度数是______．
2.如图，在四边形ABCD中，AD
BC
∥
，AB
BC
，
90
A
，点E 在CD边上，点F 是AD 边的中点，
且AB
CF
，FE
CD
于点E ，延长FE 交BC 的延长线于点G ，连接BF ．
(1)求证：四边形ABCF 是正方形；
(2)若
4
BF
，求BG 的长．
题型1
利用平行四边形的性质求角度或线段
例1．如图，平行四边形ABCD 的一个外角为38，则
A
的度数为
．
例2．如图，在
ABCD
中，对角线AC，BD 交于点O．若
4
AB
，
6
AC
，
10
BD
，则BC 的长为
．
【技巧总结】
1. 对边平行：得同位角、内错角相等，结合邻角互补求角度。
2. 对边相等、对角线互分：转移线段或证全等，利用中点或等长求线段。
3. 设未知列方程：将条件转化为含未知数的等式，解出角度或边长。
【变式训练1-1】如下图，在ABCD 中，按如下步骤作图：①以点D 为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA 、
DC 于E、F 两点；②分别以点E、F 为圆心，大于EF 的一半长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线DG
交CB 的延长线于点M．如果
120
A
，
6
AB
，
3
BC ，则BM 的长为
．
【变式训练1-2】如图，在
ABCD
中，
60 ,
1,
2
B
AB
BC
，将AB 绕点A 逆时针旋转角
0
360
得到AP ，连接
,
PC PD ．当
PCD
△
为等腰三角形时，PD 的值为
．
题型2
平行四边形的性质和判定的综合问题
例3．如图，在四边形ABCD 中，
90
ACB
CAD
，点E 在BC 上，AE
DC
∥
．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若
60
3
D
AE
BE
AD
，
，
，求AB 的长．
例4．如图，在
ABC
中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，连接AE，ED，过点C 作CF
AE
∥
交ED 的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：四边形AFCE 是平行四边形．
(2)若
2
BC
CE
，
ABC
的面积为8，求CDF
的面积．
【技巧总结】
1. 判平行四边：从边（平行或相等）、角、对角线三个方向找依据。
2. 搭桥转化：利用性质得边角等量关系，再用判定证另一组四边形。
3. 连对角线：构造全等三角形，转移条件，连接已知与未知。
【变式训练2-1】如图，Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，点D 是AB 边上一点，且BC
DC
，点E 是CD 延长
线上一点，且CD
DE
，点F 在AB 上，且BD
DF
．
(1)求证：四边形CBEF 为平行四边形；
(2)若
5
CF
CD
，求四边形CBEF 的周长；
(3)过点D 作DG
CE
^
交BE 于点G ，判断
BDG
和
CAD
的大小关系并说明理由．
【变式训练2-2】如图，在
ABC
中，BD ，CE 分别是边AB ，AC 上的中线，BD 与CE 相交于点O，点M ，
N 分别是OB ，OC 的中点．
(1)求证：四边形DEMN 是平行四边形；
(2)求证：
2
OB
OD
；
(3)试猜想
DEMN
S四边形
与
ABC
S
的数量关系并给予证明．
题型3
利用矩形的性质求解
例5．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，
50
AOB
Ð
=
°，AE
AO
，则
DEO
的度数
为
．
例6．如图，P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF
BC
∥
，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连
接PB，PD ．若
2
AE
，
6
PF
，则图中阴影部分的面积为
．
【技巧总结】
1. 借直角：用勾股定理求对角线或边长，设未知列方程。
2. 用对角线：对角线相等且互相平分，得等腰三角形，转移角度。
3. 遇中点：连接对角线或利用斜边中线等于斜边一半求线段。
4. 面积法：不同边与高乘积相等求未知量。
【变式训练3-1】已知，矩形ABCD 中
3
AB
E
，
为AB 上一点，且
1
AE
F
，
为BC 上一点，且
1
BF ，连
接DE ，EF ，DF ．若DEF
是直角三角形，则BC 的长为
．
【变式训练3-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为
10,0 ，
0,3 ，点D
为
5,0 ，点P 在线段BC 上运动，当ODP
是腰长为5 的等腰三角形时，点P 的坐标为
．
题型4
矩形的性质与判定的综合问题
例7．如图，在
ABCD
中，AE
BC
于点E，延长BC 至点F，使CF
BE
，连接DF ，AF 与DE 交于点O．
(1)求证：四边形AEFD 为矩形；
(2)若
3
AB ，
2
OE
，
5
BF
，求AE 的长．
例8．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，点O是AC 、BD 的中点，点E 在四边形ABCD
外，连接AE
CE
EO
、
、
，且
90
AEC
，
2
BD
EO
．
(1)求证：四边形ABCD 是矩形；
(2)若
2
AB
，
120
AOD
，求矩形ABCD 的面积
【技巧总结】
1. 先证平行四边：从对边平行或相等、对角相等、对角线互分入手。
2. 再加直角：一个直角即矩形；或对角线相等直接得矩形。
3. 借性质算量：证得矩形后，用对角线相等、勾股定理、面积法求边长或角度。
【变式训练4-1】如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O，点E 是AB 的中点，连接OE ，
过点E 作EF
BC
于点F，过点O 作OG
BC
于点G．
(1)求证：四边形EFGO是矩形．
(2)若四边形ABCD 是菱形，
10
AB
，且
4
5
EO
AO
，求
AEO
△
的面积．
【变式训练4-2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴上．点D 在
BC 上，过点D 作DE
AD
分别交x 轴、y 轴于点E ，F ，过点E 作EG
DE
交y 轴于点G ，连接AG ，
DA
EG
．
(1)求证：四边形ADEG 是矩形．
(2)连接DG 交x 轴于点H ，已知点B 的坐标为
6,4 ．
①求OG 的长；
②请直接写出点H 的坐标．
题型5
利用菱形的性质求解
例9．如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，在DB上截取DE ，使得DE
DC
，连接CE ，若
68
ADC
，
则
DEC
的度数为
．
例10．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O，DH
AB
于点H ，连接OH ，若
48
BAD
，
则
DHO
的度数是
．
【技巧总结】
1. 四边相等：转移线段，证等腰三角形，求周长或边长。
2. 对角线垂直平分：得四个直角三角形，用勾股定理求对角线长或面积。
3. 面积公式：\( \text{面积} = \frac{1}{2} \times \text{对角线乘积} = \text{底} \times \text{高} \)，灵活转换。
【变式训练5-1】中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小
敏家有一个菱形中国结装饰．测得
5cm
AB
，
6cm
AC
，则该菱形的面积是
2
cm ．
【变式训练5-2】如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O，
6
BD
，
8
AC
，点E 是CD 边上的
一个动点，过点E 作EF
OC
于点F ，EG
OD
于点G ，连接FG ，则FG 的最小值为
．
题型6
菱形的性质与判定的综合问题
例11．如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O，E 为BC 的中点，连接OE 并延长至点F ，使EF
EO
，
连接BF 和CF ．
(1)求证：四边形OBFC 是菱形；
(2)若
4 5
AB
，
6
AD
，求菱形OBFC 的面积．
例12．如图，在四边形ABCD 中，AB
DC
∥
，AB
AD
，对角线AC
BD
，
交于点O
AC
，
平分
BAD
，过
点C 作CE
AB
，交AB 的延长线于点E ，连接OE ．
(1)求证：四边形ABCD 是菱形．
(2)若
2
OE
BD
，求四边形ABCD 的面积．
【技巧总结】
1. 先证平行四边：从对边平行或相等、对角相等、对角线互分入手。
2. 再加边等：一组邻边相等即菱形；或对角线垂直。
3. 借性质算量：证得菱形后，用对角线垂直平分、勾股定理、面积公式求值。
【变式训练6-1】如图，在矩形ABCD 中，
8
AB
，
6
BC
．
(1)如图1，过对角线AC 中点O作EF
AC
，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接AF ，CE ，求证：四边形
AFCE 为菱形；
(2)求图1 中线段CE 的长；
(3)如图2，矩形ABCD 内有一点P ，连接DP ，CP ，延长BP 交AD 于点Q ，若
90
CPD
，BP
BC
，
求DQ 的长．
【变式训练6-2】如图1，矩形ABCD 的对角线
,
AC BD 相交于点O，延长BC 至点E，使CE
BC
，连接
,
DE H
是DE 的中点，连接CH ．
(1)①试猜想四边形OCHD 的形状，并说明理由．
②若
6,
8
AB
BC
，则四边形OCHD 的面积为________．
(2)如图2，将图1 中的矩形ABCD 改为正方形ABCD ，其他条件不变．若正方形ABCD 的面积为16，求四
边形OCHD 的面积．
题型7
利用正方形的性质求解
例13．如图，E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，且CE
CB
，连接BE ，则
AEB
的度数是
．
例14．在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O，延长BD 至点E ，使DE
OD
，连接AE ，点F 为AE
的中点，连接OF ．若
4
AB
，则OF 的长为
．
【技巧总结】
1. 四边等、四角直：得等腰直角三角形，用勾股或三角函数。
2. 对角线：相等、垂直平分且平分内角，将问题转为等腰直角。
3. 对称性：利用轴对称或中心对称转移线段、构造全等。
4. 旋转全等：常将含90°的三角形旋转解题。
【变式训练7-1】如图，三个边长为6cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O 是其中一个正方形的
中心，则重叠部分（阴影）的面积为
．
【变式训练7-2】如图，在正方形ABCD 中，
2
AB
，点F 从点A 出发，沿A
D
C
运动到点C，点E
是边BC 的中点，连接AE ，AF ，EF ，当
AEF
△
为等腰三角形时，CF 的长为
．
题型8
正方形的性质与判定的综合问题
例15．如图，点P 是矩形ABCD 的边BC 的延长线上一点，连接AP ，过点B 作BE
AP
于点E．过点D 作
DF
AP
于点F，AE
DF
．
(1)求证：四边形ABCD 是正方形；
(2)若
10
AB
，
30
P
，求BE 的长．
例16．如图，已知四边形ABCD为正方形，
3 2
AB
，点E 为对角线AC 上一动点，连接DE ，过点E 作
EF
DE
，交BC 于点F，以DE
EF
、
为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．
(1)求证：矩形DEFG 是正方形．
(2)探究：CE
CG
的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)直接写出DG 的最小值．
【技巧总结】
1. 先证矩形：一角为直角的平行四边形；或对角线相等的平行四边形。
2. 再证菱形：一组邻边相等；或对角线垂直。
3. 得正方形：既是矩形又是菱形。
4. 借性质：用对角线、边长、勾股定理、全等三角形求值或证结论。
【变式训练8-1】如图，四边形ABCD 为正方形，E 为射线AC 上一点，连接DE，过点E 作EF
DE
，交
射线BC 于点F，以DE、EF 为邻边作矩形DEFG，连接CG．
(1)如图①，当点E 在线段AC 的延长线上时，求证：矩形DEFG 是正方形．
(2)如图②，当点E 在线段AC 上时，
①若
4
AB
，
2 2
CE
，求CG 的长度；
②当线段DE 与正方形ABCD 的某条边的夹角是40时，直接写出
EFC
的度数：________________．
【变式训练8-2】已知正方形ABCD中，E 是BC 上一动点，过点E 作EF
AE
交正方形的外角
DCL
的平
分线于点F ．
(1)【动手操作】
如图①，在BA 上截取BQ
BE
，连接EQ ，根据题意在图中画出图形，图中
AQE
_____度．
(2)【深入探究】E 是线段BC 上的一个动点，如图②，过点F 作FG
AE
交直线CD于点G ，以CG 为斜边
向右作等腰直角三角形HCG ，点H 在射线CF 上，连接AG ．试判断四边形AEFG 的形状，并证明．
(3)【拓展应用】
E 是射线BC 上的一个动点，过点F 作FG
AE
交直线CD于点G ，以CG 为斜边向右作等腰直角三角形
HCG ，点H 在射线CF 上，连接AG ．若
5
AB
，
2
CE
，求线段AG 的长．
题型9
与特殊平行四边形的性质与判定有关的作图（含无刻度作图）
例17．如图，在
ABCD
中，点E 为CD 的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）：
(1)在图1 中，AC
BC
，作出
ABC
中AB 边上的高CH ；
(2)在图2 中，过点D 作AC 的平行线DM ．
例18．如图，在长方形ABCD 中，BD 是对角线．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出点C 关于直线BD 的对称点P （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接
,
PD PB ，PB 交AD 于点E ，若
4,
8
AB
AD
．求
BDE
的面积．
【技巧总结】
1. 借对角线交点：连接已知顶点与对角线交点，利用中心对称找等分点。
2. 用平行与垂直：借助矩形、正方形网格线作平行或垂直，构造菱形、正方形。
3. 找对称点：利用轴对称性质，通过作垂线或连线找对应点。
【变式训练9-1】如图，已知四边形ABCD 为菱形，延长AB 到点E ，使得BE
AB
，过点E 作EF
AD
∥
，
交DB的延长线于点F （保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图①，用无刻度的直尺作直线l
AE
( 直线l 不与CD 重合）；
(2)如图②，用无刻度的直尺作出一个矩形．
【变式训练9-2】如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作
图．（请保留作图痕迹，不写作法）
(1)在图①中，作出AB 边的中点P；
(2)在图②中，作出一个面积等于正方形ABCD 面积的一半的正方形．
1．在平行四边形ABCD 中，如果
125
A
，则
D
（
）
A．35
B．30
C．55
D．65
2．如图，在菱形ABCD 中，按如下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于1
2 CD 长为半径作弧，两
弧交于点M ，N ；②连接直线MN ，直线MN 恰好经过点A ，与CD交于点E ，连接BE ，若
4
AD
，则BE
的长为（
）
A．3 3
B．3 7
C．
7
D．2 7
3．如图，正方形ABCD 的边长为5，E 为BC 边上一点，F 为CD延长线上一点，M 为线段EF 的中点，连
接AM 并延长交边CD于点G ．若BE
DF
，
2
DG
，则EF 的长为（
）
A．5 17
4
B．5
34
2
C．10
29
7
D．5
58
7
4．第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过A 点的直线折叠，使点B 落在AD 边上的点B处，得到折痕AE ，
然后把纸片展平．第二步：如图2 ，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点C 落在EB上的
点C处，得到折痕DF ，再把纸片展平．若
10
AB
，
16
BC
，EF （
）
A．2
B．3
C．3
2
D．8
3
5．如图，ABCD
中，AE
BD
，AC
CD
，
30
ABE
，
2cm
AE
，
16cm
AC
BD
，则平行四边形ABCD
的面积________
2
cm ．
6．如图，在正方形ABCD中，点P，Q 分别为CD
AD
、
边上的点，且AQ
DP
，连接BQ
AP
、
．则
BEP
为
________度．
7．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，
8
AC
，
12
BD
，E 是线段OA的中点，连接BE ，
（I）线段BE 的长为____________；
（II）G 为BE 的中点，F 是OC 的中点，连接GF ，则线段GF 的长为____________．
8．矩形ABCD 中，对角线
2 5
AC
，将AB 绕点A 旋转一定的角度后，点B 的对应点恰好为ACD
一边的
中点，则AB ________．
9．如图，在菱形ABCD 中，
4
AB
，
=60
B
，点E，F 分别在边BC 和CD上，且
AEB
AFD
．
(1)求证：BE
DF
；
(2)若
2
EC
BE
，求ABE
的面积．
10．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD上，且AE
BF
，垂足为M ．
(1)求证：AE
BF
；
(2)若点E 是BC 的中点，连接DM ，请你判断线段DM 与AD 之间的数量关系，并说明理由．
11．如图，AC 为菱形ABCD 的对角线，点E 为线段AB 的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图
（保留作图痕迹）．
(1)如图1，过点B 作直线l ，使得l
AC
∥
；
(2)如图2，在边AD 上找点F ，使得AF
DF
．
12．如图，四边形ABCD 是矩形，O 是对角线BD 的中点，连接AO ，分别过点A，D 作AE
BD
，
∥
DE
AO ，
F 是对角线BD 延长线上的点，且FD
BD
，连接CF ．
(1)求证：四边形AODE 是菱形；
(2)若
6
AB
，
5
AD ，求CF 的长．
13．如图，在四边形ABCD 中，AB
CD
∥
，对角线AC 、BD 交于点O，且OA
OC
．
(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形．
(2)若AC
AB
，过点D 作DF
AC
∥
交BA 的延长线于点F ．
（ⅰ）求证：A 为BF 的中点．
（ⅱ）连接CF 交AD 于点E ，过点F 作FM
AD
于点M ，若
4
AD
，
3
MFD
MFA
，求AM 的长．
14．如图，正方形ABCD 的边长为2 ，直线l 分别交
,
AD BC 于点
,
,
M N
A B
．
关于直线l 的对称点为
,
A B
，
且点A恰好在CD上．
(1)当点A是CD中点时，MN 的长为_____；
(2)连接A B
，交BC 于点E ，连接AA，交MN 于点P ．
①连接AE ，求证
45
A AE
；
②已知
A CE
△
的面积为2 ，求A E
的长．
