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专题05 不等式与不等式组（学生版）
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➢思维导图串知识
➢重点速记
【知识点1 不等式】
1．不等式的定义：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
（1）不等式表示方法：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解集是一个范围。
一般用 x>a、x<a、x≥a、x≤a 来表示。
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（2）数轴表示法：
4．解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
【典例1】式子：①3 < 5；②4𝑥+ 5 > 0；③𝑥= 3；④𝑥2 +𝑥；⑤𝑥≠−4；⑥𝑥+ 2 ≥𝑥+ 1．其中是不
等式的有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【典例2】用不等式表示：
(1)x 的
1
2与3 的差大于2；(2)4𝑥与3 的和小于或等于零；(3)a 的2 倍与4 的差是正数；
(4)b 的
1
2与c 的和是非负数；(5)x 与17 的和比x 的5 倍小．
【知识点2 不等式的性质】
1．不等式的性质1：
不等式两边同时加（或减） 同一个 数（或式子），不等号的方向 不变 。
即若
b
a＞，则
c
b
c
a
＞
。
2．不等式的性质2：
不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个正数 ，不等号的方向 不变 。
若
0
＞
，
＞
c
b
a
，则
)
(
c
b
c
a
bc
ac
＞
＞
。
3．不等式的性质3：
不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个负数 ，不等号的方向 改变 。
若
0
＜
，
＞
c
b
a
，则
)
(
c
b
c
a
bc
ac
＜
＜
。
【典例3】有下列说法：①若𝑎> 𝑏，则𝑎𝑐2 > 𝑏𝑐2；②若𝑎+ 𝑏> 2𝑏+ 1，则𝑎> 𝑏；③若𝑎> 𝑏，且𝑐= 𝑑，
则𝑎𝑐> 𝑏𝑑；④若𝑎𝑐2 > 𝑏𝑐2，则𝑎> 𝑏．其中正确的是
（填序号）．
【知识点3 一元一次不等式（组）的概念】
1．一元一次不等式的概念：
只含有 1 个未知数，且未知数的次数是 1 的整式不等式，叫做一元一次不等式。整个不等式中分母
不含有 字母 。
2．一元一次不等式组的概念：
把含有 相同 未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
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3．一元一次不等式组的解集：
几个一元一次不等式的解集的 公共部分 ，叫做由他们组成的一元一次不等式组的解集。
4．一元一次不等式组的解集的求法：
先分别求出不等式组中的每一个不等式，然后找出他们解集的 公共部分 。
5．不等式组的解的情况与图示（a<b）：
①同大取大：
b
x
a
x
＞
＞
，图示：
，解集为 x>b 。
②同小取小：
b
x
a
x
＜
＜
，图示：
，解集为 x<a 。
③大小小大中间找：
b
x
a
x
＜
＞
，图示：
，解集为 a<x<b 。
④大大小小无解答：
a
x
b
x
＜
＞
，图示：
，解集为 无解 。
【典例4】有下列不等式：①−4 < 0；②𝑥2 +2 > 2𝑥；③𝑥−3 > 2𝑦；④𝑥−1
π > 5；⑤3𝑦> −3．其中一元
一次不等式有
（填序号）．
【典例5】已知(𝑚−3)𝑥|𝑚−2| ≤5是关于𝑥的一元一次不等式，则𝑚的值为
．
【典例6】将不等式组
−2𝑥+ 9 ≤3
1
5 𝑥−1 < 0
的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【知识点4 解一元一次不等式（组）】
解一元一次不等式具体步骤：
①去分母：在不等式两边同时乘上分母的 最小公倍数 。（根据等式的性质 2 ）
②去括号：利用去括号的法则去括号。
③移项：把含有未知数的移到等号的 左边 ，常数移到等号的 右边 。（根据等式的性质 1 ）
④并：利用合并同类项法则进行合并。
⑤系数化为1：不等式两边除以 系数 或乘上 系数的倒数 。当系数为负数时，不等号方向一定要 改变 。
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（根据不等式的性质 2 或3 ）
【典例7】解不等式组：
3−2(𝑥−2)≤9①
3𝑥−2
4
< 1②
，并求出不等式组所有整数解的和（完成下列各空）．
(1)解不等式①，得___________；
(2)解不等式②，得___________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为：___________．
(5)原不等式组所有整数解的和为：___________．
【知识点5 用一元一次不等式（组）解决实际问题】
列不等式（组）解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关
键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）；
（5）解：解出所列的不等式（组）的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
➢核心考点举一反三
考点一：由不等式（组）的解集求参
例1.若不等式
𝑥+5
2 > −𝑥−
7
2的解都能使不等式𝑥> 2𝑚+ 1成立，则实数 𝑚 的取值范围是（ ）
A．𝑚≤5
2
B．𝑚≤−5
2
C．𝑚≤−3
2
D．𝑚≤3
2
【变式1-1】已知关于x 的不等式组
𝑥−𝑎≥𝑏
2𝑥−𝑎< 2𝑏+ 1
的解集为4 ≤𝑥< 6，则a，b 的值为（ ）
A．𝑎= 7，𝑏= −3 B．𝑎= 6，𝑏= −3
C．𝑎= −3，𝑏= 6
D．𝑎= −3，𝑏= 7
【变式1-2】关于x 的不等式组
2𝑎−𝑥> 3
2𝑥+ 8 > 4𝑎
的解集中每一个值均不在−1 ≤𝑥≤5的范围中，则a 的取值范
围是（ ）
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A．𝑎< 1或𝑎> 4.5
B．𝑎≤1或𝑎≥4.5
C．𝑎> 4或 𝑎< 1.5
D．𝑎≥4或𝑎≤1.5
【变式1-3】如果不等式组𝑥+ 8 < 4𝑥−1
𝑥> 𝑚
的解集是𝑥> 3．
(1)求𝑚的取值范围；
(2)不等式(𝑚−1)𝑥> 𝑚−1的解集为𝑥< 1，求m 的取值范围．
考点二：由不等式（组）中的整数解求参
例2．关于x 的不等式2𝑥+ 𝑏≤0恰有三个非负整数解，则b 的取值范围是（ ）
A．−6 < 𝑏≤−4
B．−6 < 𝑏< −4
C．−6 ≤𝑏≤−4
D．−6 ≤𝑏< −4
【变式2-1】若关于x 的不等式组
𝑥
2 + 𝑥+1
3 > 0
3𝑥+ 5𝑎+ 4 > 4(𝑥+ 1)+ 3𝑎
恰有三个整数解，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．0 < 𝑎< 1
2
B．1 < 𝑎≤3
2
C．−1 ≤𝑎≤3
2
D．1 < 𝑎< 1
2
【变式2-2】如果关于𝑥的不等式2𝑥−5 ≤2𝑎+ 1至少有4 个正整数解，那么𝑎的取值范围是（ ）
A．1 ≤𝑎≤2
B．1 < 𝑎< 2
C．𝑎≥1
D．𝑎> 1
【变式2-3】若关于𝑥的不等式组
1
2(3𝑥−2)≤𝑥+ 2
5𝑥+ 3 > 𝑎+ 2𝑥
的所有整数解之和等于20，则所有满足条件的整数𝑎的值
之和为（ ）
A．15
B．21
C．−6
D．24
考点三：由不等式（组）有解和无解情况求参
例3．已知关于𝑥的不等式组
𝑥−𝑎≥0
7−3(𝑥−1)> 4
有解，则𝑎的取值范围是（ ）
A．𝑎> −2
B．𝑎≥−2
C．𝑎< 2
D．𝑎≤2
【变式3-1】若关于x 的不等式组
−1
2 (𝑥−𝑎) > 0
𝑥−1 ≥2𝑥+1
3
无解，则𝑎的取值范围是（ ）
A．𝑎≥4
B．𝑎≤4
C．𝑎> 4
D．𝑎< 4
【变式3-2】已知关于x 的不等式
4𝑎−𝑎𝑥
4
> 1
4𝑥−1．
(1)当𝑎= 1时，求该不等式的正整数解．
(2)当a 取何值时，该不等式有解？并求出其解集．
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【变式3-3】已知关于x 的不等式
7−3𝑎
4
+𝑎𝑥>
𝑥
2．
(1)当𝑎= 5时，求该不等式的解集；
(2)a 符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a 的式子表示）．
考点四：由不等式（组）与方程（组）综合求参
例4．已知关于𝑥，𝑦的方程组𝑥+ 3𝑦= 4−𝑎
𝑥−𝑦= 3𝑎
，其中−3 ≤𝑎< 1，下列命题正确的个数为（ ）
①当𝑎= −2时，𝑥、𝑦的值互为相反数；②𝑥= −5
𝑦= 4
是方程组的解；③当𝑎= −1时，方程组的解也是方程
𝑥+ 𝑦= 𝑎+ 2的解；④若𝑥< 0，则
3
2 < 𝑦≤4．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式4-1】若关于𝑥的方程𝑥−2−𝑎𝑥
4
= 𝑥
2 +2有非负整数解，且关于𝑦的不等式组
1−𝑦
2 ≤8+2𝑦
3
−1
𝑦+𝑎
2 + 1 > 𝑦+ 𝑎
至多有三个
整数解，则符合条件的所有整数𝑎的和为
．
【变式4-2】关于x 的不等式组3𝑥+ 3 ≥2𝑥+ 5
𝑥−2 < 𝑎
，至少有4 个整数解，且关于x，y 的方程组𝑎𝑥−2𝑦= 0
𝑥+ 𝑦= 4
的解中，x 的解为整数，那么满足条件的整数a 的值为
．
【变式4-3】已知关于x，y 的方程组
𝑥−𝑦= −5
2𝑥+ 𝑦= 6𝑚+ 13
（m 是常数）．
(1)若此方程组的解也是方程𝑥−2𝑦= −7的解，求常数m 的值；
(2)若x，y 满足𝑥> 2𝑦，试化简：|1−𝑚|−|𝑚+ 2|；
(3)若x，y 满足𝑥< −1，𝑦> 1．求2𝑥−𝑦的取值范围．
考点五：不等式（组）中新定义问题
例5．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元
一次不等式组的“关联方程”．例如：方程𝑥−2 = 1的解为𝑥= 3，不等式组𝑥> −1
𝑥< 4
的解集为−1 < 𝑥< 4，因
为𝑥= 3在−1 < 𝑥< 4的范围内，所以方程𝑥−2 = 1是不等式组𝑥> −1
𝑥< 4
的“关联方程”．
(1)方程2𝑥+ 1 = −𝑥______（填“是”或“不是”）不等式组2𝑥+ 5 > 0
𝑥−3 < −1
的“关联方程”．
(2)已知关于𝑥的方程𝑥+ 2𝑚= 5是不等式组
𝑥−1 > 0
2𝑥−7 < −1
的“关联方程”，求𝑚的取值范围．
(3)已知关于𝑥的方程𝑥−2𝑛= 1是关于𝑥的不等式组𝑥+ 2(𝑛−1)> 2𝑛
𝑥−𝑛< 3
的“关联方程”，直接写出𝑛的取值范围为
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______．
【变式5-1】定义：关于𝑥，𝑦的二元一次方程𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑐（其中𝑎≠𝑏≠𝑐）中的常数项𝑐与未知数系数𝑎，𝑏
之一互换，得到的方程叫“换参方程”，例如：𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑐的“换参方程”为𝑐𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑎或𝑎𝑥+ 𝑐𝑦= 𝑏．
(1)方程𝑥+ 2𝑦= 4与它的“换参方程”组成的方程组的解为__________；
(2)已知关于𝑥，𝑦的二元一次方程𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑐的系数满足𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0，且𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑐与它的“换参方程”组
成的方程组的解恰好是关于𝑥，𝑦的二元一次方程𝑚𝑥+ 𝑛𝑦= 𝑝的一个解，求代数式(𝑚+ 𝑛)𝑚−
𝑝(𝑛+ 𝑝) + 2025的值；
(3)已知整数𝑚，𝑛，𝑡，满足条件𝑡< 𝑛< 𝑚+ 4，并且(3𝑚−𝑡)𝑥+ 2025𝑦= 𝑚+ 2𝑡是关于𝑥，𝑦的二元一次方
程(6 + 𝑛)𝑥+ 2025𝑦= 2𝑚−1的“换参方程”，求𝑚的值．
【变式5-2】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组
的“浯溪水亦香方程”．例如2𝑥−6 = 0的解为𝑥= 3，不等式组𝑥−2 > 0
𝑥< 5
的解集为2 < 𝑥< 5，因为2 < 3 < 5，
所以方程2𝑥−6 = 0为不等式组𝑥−2 > 0
𝑥< 5
，的“浯溪水亦香方程”．
(1)方程2𝑥+ 3 = 1是下列哪些不等式组的______“浯溪水亦香方程”：（填序号）
①𝑥−1
2 > 3
2
𝑥≥3
；②2(𝑥+ 3)> 4
𝑥+ 3 < 0
；③
𝑥−1
2
< 3
𝑥+ 5 > 0
．
(2)若关于𝑥的方程2𝑥−𝑘= 2是不等式组3𝑥−6 > 4−𝑥
𝑥−1 ≥4𝑥−10
的“浯溪水亦香方程”，求𝑘的取值范围；
(3)若方程2𝑥+ 4 = 0，
2𝑥
3 = −1都是关于𝑥的不等式组(𝑚−2)𝑥< 𝑚−2
𝑥+ 5 ≥𝑚
的“浯溪水亦香方程”，其中𝑚≠2，
求𝑚的取值范围．
【变式5-3】如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式
（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程2𝑥−1 = 1是不等式𝑥+ 1 > 0的“偏解方程”，因为方程的解𝑥= 1可
使得𝑥+ 1 = 2 > 0成立：方程组𝑥+ 𝑦= 7
𝑥−𝑦= 1
是不等式2𝑥+ 3𝑦> 15的“偏解方程组”，因为方程组的解𝑥= 4
𝑦= 3
可使得2𝑥+ 3𝑦= 2 × 4 + 3 × 3 = 17 > 15成立．
(1)方程3𝑥+ 2 = −4是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”；
①2𝑥+ 1 > 3𝑥+ 3；②3(𝑥+ 1) ≤6；③𝑥+ 3 ≥0
𝑥−1 < 0
；
(2)已知关于𝑥，𝑦方程组
2𝑥−𝑦= −4
𝑥+ 2𝑦= 5𝑎+ 3
是不等式𝑦−1
2𝑥> 7的“偏解方程组”，求𝑎的取值范围；
(3)已知关于𝑥的不等式组𝑥+ 10 ≥𝑏
𝑥+ 9 < 2𝑏
恰有5 个整数解，且关于𝑥的方程𝑥+ 𝑏= 0是它的“偏解方程”，求𝑏的
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取值范围．
考点六：一元一次不等式（组）解最多至少问题
例6．综合与实践
某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；准备
在辖区内新建一条长600 米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10 天，则乙
工程队还需单独施工15 天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12 天可以完成该工程，
设甲、乙两个工程队每天分别施工x 和y 米．
【问题分析】（1）甲工程队单独施工10 天完成的工程量是 米；乙工程队单独施工15 天完成的工程量是
米；甲、乙两个工程队同时共同施工m 天完成的工程量是 米；（用含有字母的代数式表示）
【问题解决】（2）求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？
【问题拓展】（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6 万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10 天后甲
队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过
12 万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？
【变式6-1】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计费该市居民“一户一表”生活用水阶梯式
计费价格表的一部分信息如下：
每户每月用水量
自来水销售价
格
污水处理价
格
18m3及以下
a 元/m3
1.40 元/m3
超过18m3不超过30m3的部
分
b 元/m3
1.40 元/m3
超过30m3的部分
6.00 元/m3
1.40 元/m3
[说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量②水费= 自来水费+ 污水处理费]
已知小王家2025 年4 月份用水20m3，交水费64 元；5 月份用水25m3，交水费89 元．
(1)求a，b 的值．
(2)随着夏天的到来，用水量将增加，小王计划把6 月份水费控制在家庭月收入的2%．若小王家月收入为
11250 元，则按计划小王家6 月份最多可用水多少立方米？
【变式6-2】随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客
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户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1 辆A 型汽车、1 辆B 型汽车
的进价共计37 万元；若单次购买A 型汽车超过15 辆每辆车进价打九五折，单次购买𝐵型汽车超过15 辆每
辆车进价优惠5 千元，当购买𝐴型和𝐵型车各20 辆时，共需715 万元．
(1)求该汽车销售公司单独购进𝐴，𝐵型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？
(2)因资金紧张，该公司计划以不超过260 万元购进以上两种型号的新能源汽车共15 辆，每辆𝐴型汽车在进
价的基础上提高6000 元销售，每辆𝐵型汽车在进价的基础上提高5%销售．假如这些新能源汽车全部售出，
至少要获利10.5 万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？
【变式6-3】一家电脑公司有𝐴型、𝐵型、𝐶型三种型号的电脑，其中𝐶型每台2500元．某中学计划从这家电
脑公司购进电脑．
(1)已知购买2 台𝐴型电脑和3 台𝐵型电脑需要24000元，且购买3 台𝐴型电脑和8 台𝐵型电脑的费用刚好可以
买20 台𝐶型电脑．求𝐴型电脑和𝐵型电脑的售价．
(2)这家电脑公司为提高𝐵型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台𝐵型电脑时，可以用一台旧电脑抵
值1000 元．该中学计划只购买𝐵型电脑，拿出的旧电脑和购买的𝐵型电脑数量一共是30台．若要使购买𝐵型
电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买𝐵型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多
买𝑎台𝐵型电脑，此时该中学需要再拿出
1
3𝑎台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电
脑进行抵值？
考点七：一元一次不等式（组）解方案选择问题
例7．冬天来临，某超市以每台80 元和70 元的价格购进A 和B 两种型号的取暖器，表格是该超市
近两天出售取暖器的情况（注：利润=销售收入-进货成本）：
销售数量
销售时段
A 型号
B 型号
销售收入
第一天
3 台
4 台
760 元
第二天
5 台
7 台
1300 元
(1)分别求A，B 两种型号的取暖器的销售单价．
(2)该超市准备用不超过3020 元的资金购进这两种型号的取暖器共40 台，则A 型号的取暖器最多能采购多
少台？
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(3)在（2）的条件下，超市销售完这40 台取暖器能否实现利润超过1400 元的目标？若能，通过计算给出相
应的购进方案；若不能，请说明理由．
【变式7-1】中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢
纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标
段的土方运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2 辆大型渣土运输车与3 辆小型
渣土运输车一次共运输土方31 吨，4 辆大型渣土运输车与5 辆小型渣土运输车一次共运输土方57 吨．
(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
(2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共10 辆参与运输土方，每辆大型渣土车一次需费
用200 元，每辆小型渣土车一次需费用180 元．若运输土方总量不少于65 吨，且总费用小于1960 元．你
作为渣土运输公司的经理，列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【变式7-2】“保护环境，低碳出行”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购
买𝐴型和𝐵型两种环保节能公交车共10 辆．已知购买𝐴型公交车2 辆，𝐵型公交车3 辆，共需650 万元；购
买𝐴型公交车2 辆，𝐵型公交车1 辆，共需350 万元．
（1）求购买𝐴型和𝐵型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该线路上𝐴型和𝐵型公交车每辆年均载客量分别为60 万人次和100 万人次．若该公司购买𝐴型
公交车𝑥辆，完成下表：
数量（辆）
购买总费用（万元）
载客总量（万人次）
𝐴型车
𝑥
100𝑥
60𝑥
𝐵型车
10−𝑥
（3）若该公司购买𝐴型和𝐵型公交车的总费用不超过1150 万元，且确保这10 辆公交车在该线路的年均载客
量总和不少于640 万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案的总费用最少？最少总费用是多少？
【变式7-3】某文具店经销甲、乙两款品牌的笔记本，今年二、三月份销售情况如下表所示：（甲、乙款种
笔记本的销售单价保持不变）
销售数量（本）
销售数量（本）
月份
甲款
乙款
销售额（元）
二月份
40
20
880
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三月份
20
40
800
(1)求甲、乙两款笔记本的销售单价分别是多少元；
(2)若甲款笔记本每本进价为10 元，乙款笔记本每本进价为8 元，文具店预计用不多于624 元且不少于620
元的资金购进这两款笔记本共70 本，有几种进货方案；
(3)为了促销甲款笔记本，文具店决定每售出一本甲款笔记本，返还顾客现金𝑚元，要使（2）中所有的方案
获利相同，求𝑚的值．
➢复习提升
1．已知关于𝑥的不等式(2−𝑎)𝑥> 2−𝑎的解集为𝑥< 1，则𝑎的取值范围是（ ）
A．𝑎> 0
B．𝑎< 0
C．𝑎< 2
D．𝑎> 2
2．小明同学早上8:20前要到达班级，出家门时是8:00，已知他家离学校距离为1500m，他跑步的速度为
120m/min，走路的速度为60m/min，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为
𝑥min，根据题意可列不等式正确的为（ ）
A．120𝑥+ 60(20−𝑥) < 1500
B．120(𝑥−20) +60𝑥> 1500
C．𝑥+ 1500−120𝑥
60
< 20
D．𝑥+ 1500−120𝑥
60
> 20
3．已知实数𝑎，𝑏，𝑐，满足𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 1，𝑎=
𝑎+𝑏−𝑐
2
，𝑐=
−𝑎−𝑏+𝑐
3
，则下列判断错误的是（ ）
A．𝑎= 3𝑏
B．𝑎> 3
2
C．2𝑎+ 3𝑐= 0
D．𝑏< 1
2
4．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则𝑥的取值范围为（ ）
A．1 < 𝑥≤4
B．1 ≤𝑥< 4
C．2 ≤𝑥< 5
D．2 < 𝑥≤5
5．关于𝑥的方程2(𝑥−3𝑎) = 𝑎−7的解是非负整数，且关于𝑦的不等式组
6𝑦−𝑎> 2(𝑦−1)−1
4𝑦+3
3
−2 ≤𝑦
有且仅有3 个整
数解，则满足条件的所有整数𝑎的和为（ ）
A．8
B．12
C．15
D．18
6．已知关于𝑥的不等式组
−𝑥+ 3𝑎≥𝑏
3𝑥−4𝑎≥2𝑏+ 6
的解集是2 ≤𝑥≤5，则(3𝑎+ 𝑏)2025的值是（ ）
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专题05 不等式与不等式组（学生版）
第 12 页 共 55 页
A．−1
B．0
C．1
D．2
7．已知关于𝑥的不等式组𝑥≤3
𝑥> 𝑎
下列四个结论：
①若𝑎= −3，则𝑥= 2是该不等式组的一个解；
②若该不等式组无解，则𝑎> 3；
③若该不等式组的解集为−5 < 𝑥≤3，则𝑎= −5；
④若该不等式组只有三个整数解，则0 < 𝑎≤1．
其中正确的结论个数（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
8．我们用[𝑎]表示不大于𝑎的最大整数；用⟨𝑎⟩表示大于𝑎的最小整数．下列说法：
① [2.5] = 2，；
②如果
𝑥+1
2
= 4，则满足条件的所有正整数𝑥只有7和8；
③已知𝑥，𝑦满足方程组2[𝑥]+ 3⟨𝑦⟩= 7
3[𝑥]−⟨𝑦⟩= −6
，则𝑥，𝑦的取值范围−1 < 𝑥< 0，2 < 𝑦< 3．
其中正确的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
9．在乡村振兴的春风吹拂下，渠县立足生态优势，将耙耙柑，柠檬等水果化作致富“金果”耙耙柑的进价是3
元/千克，柠檬的进价是4 元/千克；李老板从水果基地购进耙耙柑的重量比柠檬重量的3 倍多20 千克，一
共花费840 元；为方便销售，定价均为7 元/千克．
(1)李老板购进耙耙柑和柠檬各多少千克？
(2)若平均每天卖出耙耙柑和柠檬共50 千克，每天利润不少于186 元，则每天卖出的耙耙柑至少是多少千克？
(3)由于天气炎热，当耙耙柑还剩余60 千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的耙耙柑进行打折销售，为
确保销售耙耙柑的总利润不低于716 元，最低可以打多少折？
10．随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的
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第 13 页 共 55 页
主角．某电车生产车间现有𝐴、𝐵两个工种的工人，其中𝐴工种有300 人，𝐵工种有200 人，且同类工种工人
月工资相同．已知6 个𝐴种工人的月工资与5 个𝐵种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540
万元．
(1)𝐴、𝐵两个工种工人的月工资分别为多少万元；
(2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘𝐴、𝐵两个工种工人共60 人．其中，再招聘的𝐵工种工
人不超过再招聘的𝐴工种工人的
7
3，且最终车间所有𝐴工种工人的数量与车间所有𝐵工种工人的数量之差不高
于80 人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这
．．．60 个工人工资总
．．．．．．额最少，最少为多少？
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专题05 不等式与不等式组（解析版）
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➢重点速记
【知识点1 不等式】
1．不等式的定义：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
（1）不等式表示方法：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解集是一个范围。
一般用 x>a、x<a、x≥a、x≤a 来表示。
（2）数轴表示法：
4．解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
【典例1】式子：①3 < 5；②4𝑥+ 5 > 0；③𝑥= 3；④𝑥2 +𝑥；⑤𝑥≠−4；⑥𝑥+ 2 ≥𝑥+ 1．其中是不
等式的有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【详解】解：①3 < 5；②4𝑥+ 5 > 0；⑤𝑥≠−4；⑥𝑥+ 2 ≥𝑥+ 1是不等式，
∴共4个不等式．
故选：A．
【典例2】用不等式表示：
(1)x 的
1
2与3 的差大于2；(2)4𝑥与3 的和小于或等于零；(3)a 的2 倍与4 的差是正数；
(4)b 的
1
2与c 的和是非负数；(5)x 与17 的和比x 的5 倍小．
【详解】（1）解：x 的
1
2与3 的差大于2 即
1
2𝑥−3 > 2
（2）解：4𝑥与3 的和小于或等于零，即4𝑥+ 3 ≤0
（3）解：a 的2 倍与4 的差是正数，即2𝑎−4 > 0
（4）解：b 的
1
2与c 的和是非负数，即
1
2𝑏+ 𝑐≥0
（5）解：x 与17 的和比x 的5 倍小，即𝑥+ 17 < 5𝑥
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【知识点2 不等式的性质】
1．不等式的性质1：
不等式两边同时加（或减） 同一个 数（或式子），不等号的方向 不变 。
即若
b
a＞，则
c
b
c
a
＞
。
2．不等式的性质2：
不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个正数 ，不等号的方向 不变 。
若
0
＞
，
＞
c
b
a
，则
)
(
c
b
c
a
bc
ac
＞
＞
。
3．不等式的性质3：
不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个负数 ，不等号的方向 改变 。
若
0
＜
，
＞
c
b
a
，则
)
(
c
b
c
a
bc
ac
＜
＜
。
【典例3】有下列说法：①若𝑎> 𝑏，则𝑎𝑐2 > 𝑏𝑐2；②若𝑎+ 𝑏> 2𝑏+ 1，则𝑎> 𝑏；③若𝑎> 𝑏，且𝑐= 𝑑，
则𝑎𝑐> 𝑏𝑑；④若𝑎𝑐2 > 𝑏𝑐2，则𝑎> 𝑏．其中正确的是
（填序号）．
【详解】解：若𝑎> 𝑏，当𝑐≠0时，𝑎𝑐2 > 𝑏𝑐2，故①不正确；
由𝑎+ 𝑏> 2𝑏+ 1时，则𝑎> 𝑏+ 1，即𝑎> 𝑏，故②正确；
若𝑎> 𝑏且𝑐= 𝑑> 0时，则𝑎𝑐> 𝑏𝑑，故③错误；
若𝑎𝑐2 > 𝑏𝑐2，即𝑐≠0，则𝑎> 𝑏，故④正确．
综上，②④正确．
故答案为：②④．
【知识点3 一元一次不等式（组）的概念】
1．一元一次不等式的概念：
只含有 1 个未知数，且未知数的次数是 1 的整式不等式，叫做一元一次不等式。整个不等式中分母
不含有 字母 。
2．一元一次不等式组的概念：
把含有 相同 未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
3．一元一次不等式组的解集：
几个一元一次不等式的解集的 公共部分 ，叫做由他们组成的一元一次不等式组的解集。
4．一元一次不等式组的解集的求法：
先分别求出不等式组中的每一个不等式，然后找出他们解集的 公共部分 。
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5．不等式组的解的情况与图示（a<b）：
①同大取大：
b
x
a
x
＞
＞
，图示：
，解集为 x>b 。
②同小取小：
b
x
a
x
＜
＜
，图示：
，解集为 x<a 。
③大小小大中间找：
b
x
a
x
＜
＞
，图示：
，解集为 a<x<b 。
④大大小小无解答：
a
x
b
x
＜
＞
，图示：
，解集为 无解 。
【典例4】有下列不等式：①−4 < 0；②𝑥2 +2 > 2𝑥；③𝑥−3 > 2𝑦；④𝑥−1
π > 5；⑤3𝑦> −3．其中一元
一次不等式有
（填序号）．
【详解】解：①−4 < 0没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
②𝑥2 +2 > 2𝑥，未知数的最高次不是1，不是一元一次不等式，不符合题意；
③𝑥−3 > 2𝑦有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
④⑤是一元一次不等式．
∴一元一次不等式有④⑤共2个．
故答案为：④⑤．
【典例5】已知(𝑚−3)𝑥|𝑚−2| ≤5是关于𝑥的一元一次不等式，则𝑚的值为
．
【详解】解：已知(𝑚−3)𝑥|𝑚−2| ≤5是关于𝑥的一元一次不等式，
∴|𝑚−2| = 1,𝑚−3 ≠0，
∴𝑚−2 = 1或𝑚−2 = −1，且𝑚≠3，
∴𝑚= 3或𝑚= 1，且𝑚≠3，
∴𝑚= 1，
故答案为：1 ．
【典例6】将不等式组
−2𝑥+ 9 ≤3
1
5 𝑥−1 < 0
的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【详解】解：
−2𝑥+ 9 ≤3①
1
5 𝑥−1 < 0②
，
解①得，𝑥≥3，
解②得，𝑥< 5，
解集表示在数轴上如图所示，
，
故选：B ．
【知识点4 解一元一次不等式（组）】
解一元一次不等式具体步骤：
①去分母：在不等式两边同时乘上分母的 最小公倍数 。（根据等式的性质 2 ）
②去括号：利用去括号的法则去括号。
③移项：把含有未知数的移到等号的 左边 ，常数移到等号的 右边 。（根据等式的性质 1 ）
④并：利用合并同类项法则进行合并。
⑤系数化为1：不等式两边除以 系数 或乘上 系数的倒数 。当系数为负数时，不等号方向一定要 改变 。
（根据不等式的性质 2 或3 ）
【典例7】解不等式组：
3−2(𝑥−2)≤9①
3𝑥−2
4
< 1②
，并求出不等式组所有整数解的和（完成下列各空）．
(1)解不等式①，得___________；
(2)解不等式②，得___________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为：___________．
(5)原不等式组所有整数解的和为：___________．
【详解】（1）解：3−2(𝑥−2) ≤9
3−2𝑥+ 4 ≤9
−2𝑥≤2
𝑥≥−1
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（2）解：
3𝑥−2
4
< 1
3𝑥−2
< 4
3𝑥
< 6
𝑥
< 2
（3）解：作图如下，
（4）解：不等式①的解集是𝑥≥−1，不等式②的解集是𝑥< 2，根据“大小小大中间找”原则，公共部分为
−1 ≤𝑥< 2．
（5）解：不等式组−1 ≤𝑥< 2的整数解为−1，0，1，它们的和为−1 + 0 + 1 = 0．
【知识点5 用一元一次不等式（组）解决实际问题】
列不等式（组）解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关
键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）；
（5）解：解出所列的不等式（组）的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
➢核心考点举一反三
考点一：由不等式（组）的解集求参
例1.若不等式
𝑥+5
2 > −𝑥−
7
2的解都能使不等式𝑥> 2𝑚+ 1成立，则实数 𝑚 的取值范围是（ ）
A．𝑚≤5
2
B．𝑚≤−5
2
C．𝑚≤−3
2
D．𝑚≤3
2
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式的解集．先求出不等式
𝑥+5
2 > −𝑥−
7
2得到𝑥> −4，进而根据意义得到
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2𝑚+ 1 ≤−4，求解即可．
【详解】解：解不等式
𝑥+5
2 > −𝑥−
7
2，得𝑥> −4，
∵𝑥> 2𝑚+ 1，
∴2𝑚+ 1 ≤−4，
∴𝑚≤−
5
2，
故选：B
【变式1-1】已知关于x 的不等式组
𝑥−𝑎≥𝑏
2𝑥−𝑎< 2𝑏+ 1
的解集为4 ≤𝑥< 6，则a，b 的值为（ ）
A．𝑎= 7，𝑏= −3 B．𝑎= 6，𝑏= −3
C．𝑎= −3，𝑏= 6
D．𝑎= −3，𝑏= 7
【答案】D
【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集．
本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
【详解】解：∵
𝑥−𝑎≥𝑏①
2𝑥−𝑎< 2𝑏+ 1②
∴解不等式①，得𝑥≥𝑎+ 𝑏，解不等式,②，得𝑥<
𝑎+2𝑏+1
2
，
∴不等式组的解集为𝑎+ 𝑏≤𝑥<
𝑎+2𝑏+1
2
，
∵不等式组的解集为4 ≤𝑥< 6，
∴𝑎+ 𝑏= 4,𝑎+2𝑏+1
2
= 6，
解得𝑎= −3，𝑏= 7，
故选：D．
【变式1-2】关于x 的不等式组
2𝑎−𝑥> 3
2𝑥+ 8 > 4𝑎
的解集中每一个值均不在−1 ≤𝑥≤5的范围中，则a 的取值范
围是（ ）
A．𝑎< 1或𝑎> 4.5
B．𝑎≤1或𝑎≥4.5
C．𝑎> 4或 𝑎< 1.5
D．𝑎≥4或𝑎≤1.5
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的解集，先求出不等式的解集，然后根据不等式组
2𝑎−𝑥> 3
2𝑥+ 8 > 4𝑎
的解集中每一个
值均不在−1 ≤𝑥≤5的范围中，得出2𝑎−4 ≥5或2𝑎−3 ≤−1，然后关于a 的不等式即可．
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【详解】解：解不等式2𝑎−𝑥> 3，得𝑥< 2𝑎−3，
解不等式2𝑥+ 8 > 4𝑎，得𝑥> 2𝑎−4，
∴不等式组的解集为2𝑎−4 < 𝑥< 2𝑎−3，
∵不等式组
2𝑎−𝑥> 3
2𝑥+ 8 > 4𝑎
的解集中每一个值均不在−1 ≤𝑥≤5的范围中，
∴2𝑎−3 ≤−1或2𝑎−4 ≥5，
解得𝑎≤1或𝑎≥4.5，
故选：B．
【变式1-3】如果不等式组𝑥+ 8 < 4𝑥−1
𝑥> 𝑚
的解集是𝑥> 3．
(1)求𝑚的取值范围；
(2)不等式(𝑚−1)𝑥> 𝑚−1的解集为𝑥< 1，求m 的取值范围．
【答案】(1)𝑚≤3；
(2)𝑚< 1．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不
到”得原则是解题的关键．
（1）求出不等式组各不等式的解集，再与已知解集相比较即可得出m 的取值范围；
（2）根据不等式的基本性质得出m 的取值范围，再结合（1）中m 的取值范围即可得出结论．
【详解】（1）解：𝑥+ 8 < 4𝑥−1①
𝑥> 𝑚②
，
由①得，𝑥> 3，
∵不等式组𝑥+ 8 < 4𝑥−1①
𝑥> 𝑚②
的解集是𝑥> 3，
∴𝑚≤3；
（2）∵不等式(𝑚−1)𝑥> 𝑚−1的解为𝑥< 1，
∴𝑚−1 < 0，
解得：𝑚< 1，
由（1）知，𝑚≤3，
∴𝑚< 1.
考点二：由不等式（组）中的整数解求参
例2．关于x 的不等式2𝑥+ 𝑏≤0恰有三个非负整数解，则b 的取值范围是（ ）
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A．−6 < 𝑏≤−4
B．−6 < 𝑏< −4
C．−6 ≤𝑏≤−4
D．−6 ≤𝑏< −4
【答案】A
【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式有三个非负整数解得出−
𝑏
2的范围是解题的关
键．
由不等式2𝑥+ 𝑏≤0得𝑥≤−
𝑏
2，根据不等式有三个非负整数解知2 ≤−𝑏
2 < 3，求解可得．
【详解】解：解不等式2𝑥+ 𝑏≤0得：𝑥≤−
𝑏
2，
∵关于𝑥的不等式2𝑥+ 𝑏≤0恰有三个非负整数解，
∴2 ≤−𝑏
2 < 3，
解得：−6 < 𝑏≤−4，
故选：A．
【变式2-1】若关于x 的不等式组
𝑥
2 + 𝑥+1
3 > 0
3𝑥+ 5𝑎+ 4 > 4(𝑥+ 1)+ 3𝑎
恰有三个整数解，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．0 < 𝑎< 1
2
B．1 < 𝑎≤3
2
C．−1 ≤𝑎≤3
2
D．1 < 𝑎< 1
2
【答案】B
【分析】此题考查一元一次不等式组的整数解．先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整
数解，求出实数a 的取值范围．
【详解】解：解不等式
𝑥
2 + 𝑥+1
3 > 0，
得：𝑥> −
2
5，
解不等式3𝑥+ 5𝑎+ 4 > 4(𝑥+ 1) +3𝑎，
得：𝑥< 2𝑎，
∵不等式组恰有三个整数解，
∴这三个整数解为0、1、2，
∴2 < 2𝑎≤3，
解得1 < 𝑎≤
3
2，
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故选：B．
【变式2-2】如果关于𝑥的不等式2𝑥−5 ≤2𝑎+ 1至少有4 个正整数解，那么𝑎的取值范围是（ ）
A．1 ≤𝑎≤2
B．1 < 𝑎< 2
C．𝑎≥1
D．𝑎> 1
【答案】C
【分析】本题考查了求不等式的解集．根据正整数解的个数确定关于𝑎的不等式是解题的关键．
求出不等式的解集，根据不等式至少有4 个正整数解即可求得𝑎的取值范围．
【详解】解：解不等式2𝑥−5 ≤2𝑎+ 1得：𝑥≤𝑎+ 3，
又∵不等式2𝑥−5 ≤2𝑎+ 1至少有4 个正整数解，
∴4个正整数解肯定包括1、2、3、4，
∴4 ≤𝑎+ 3，
解不等式得：𝑎≥1，
故选：C．
【变式2-3】若关于𝑥的不等式组
1
2(3𝑥−2)≤𝑥+ 2
5𝑥+ 3 > 𝑎+ 2𝑥
的所有整数解之和等于20，则所有满足条件的整数𝑎的值
之和为（ ）
A．15
B．21
C．−6
D．24
【答案】A
【分析】本题考查根据不等式组的解的情况求参数．求出不等式的解集
𝑎−3
3 < 𝑥≤6，利用不等式组的所有
整数解之和等于20，求出a 的取值即可，进一步可求出满足条件的整数a 的值之和．
【详解】解：
1
2(3𝑥−2)≤𝑥+ 2①
5𝑥+ 3 > 𝑎+ 2𝑥②
解不等式①得：𝑥≤6，
解不等式②得：𝑥>
𝑎−3
3 ，
∴不等式组的解集为
𝑎−3
3 < 𝑥≤6，
∵关于𝑥的不等式组
1
2(3𝑥−2)≤𝑥+ 2
5𝑥+ 3 > 𝑎+ 2𝑥
的所有整数解之和等于20，
即整数解有6，5，4，3，2，或6，5，4，3，2，1，0，−1，
∴1 ≤𝑎−3
3 < 2，或−2 ≤𝑎−3
3 < −1，
解得：6 ≤𝑎< 9，或−3 ≤𝑎< 0，
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∴a 的整数值可以是6、7、8，或−3，−2，−1，
∴所有满足条件的整数为15，
故选：A．
考点三：由不等式（组）有解和无解情况求参
例3．已知关于𝑥的不等式组
𝑥−𝑎≥0
7−3(𝑥−1)> 4
有解，则𝑎的取值范围是（ ）
A．𝑎> −2
B．𝑎≥−2
C．𝑎< 2
D．𝑎≤2
【答案】C
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不
到”的法则是解答此题的关键．先依次求出不等式的解集，再根据不等式组有解进行求解即可．
【详解】解：
𝑥−𝑎≥0
7−3(𝑥−1)> 4
①
②，
解不等式①得：𝑥≥𝑎，
解不等式②得：𝑥< 2，
∵不等式组有解，
∴𝑎< 2．
故选：C．
【变式3-1】若关于x 的不等式组
−1
2 (𝑥−𝑎) > 0
𝑥−1 ≥2𝑥+1
3
无解，则𝑎的取值范围是（ ）
A．𝑎≥4
B．𝑎≤4
C．𝑎> 4
D．𝑎< 4
【答案】B
【分析】此题主要考查不等式组无解的情况，解题的关键是熟知不等式组的解集．先依次求出不等式的解
集，再根据不等式组无解进行求解．
【详解】解：
−1
2 (𝑥−𝑎) > 0①
𝑥−1 ≥2𝑥+1
3
②
解不等式①得：𝑥< 𝑎
解不等式②得：𝑥≥4
∵该不等式组无解，
∴𝑎≤4，
故选：B．
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【变式3-2】已知关于x 的不等式
4𝑎−𝑎𝑥
4
> 1
4𝑥−1．
(1)当𝑎= 1时，求该不等式的正整数解．
(2)当a 取何值时，该不等式有解？并求出其解集．
【答案】(1)不等式的正整数解为1，2，3
(2)当𝑎> −1时，不等式的解集为𝑥< 4；当𝑎< −1时，不等式的解集为𝑥> 4
【分析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
（1）把𝑎= 1代入不等式，求出解集即可；
（2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出a 的范围，进而求出解集即可．
【详解】（1）解：将𝑎= 1代入不等式，得
4−𝑥
4 > 1
4𝑥−1，
去分母，得4−𝑥> 𝑥−4，
解得𝑥< 4，
所以此不等式的正整数解为1，2，3．
（2）解：由
4𝑎−𝑎𝑥
4
> 1
4𝑥−1得4𝑎−𝑎𝑥> 𝑥−4，
整理得𝑎𝑥+ 𝑥< 4𝑎+ 4，即(𝑎+ 1)𝑥< 4(𝑎+ 1)，
所以当𝑎+ 1 ≠0，即𝑎≠−1时，该不等式有解．
当𝑎> −1时，不等式的解集为𝑥< 4；
当𝑎< −1时，不等式的解集为𝑥> 4．
【变式3-3】已知关于x 的不等式
7−3𝑎
4
+𝑎𝑥>
𝑥
2．
(1)当𝑎= 5时，求该不等式的解集；
(2)a 符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a 的式子表示）．
【答案】(1)𝑥> 4
9
(2)𝑎>
1
2时，原不等式的解集是𝑥>
3𝑎−7
4𝑎−2；𝑎<
1
2时，原不等式的解集是𝑥< 3𝑎−7
4𝑎−2
【分析】本题考查求不等式的解集，掌握求不等式的解集的步骤和方法，是解题的关键．
（1）将𝑎= 5代入不等式，进行求解即可；
（2）根据未知数的系数不为0 时，不等式有解集，再分系数大于0 和小于0，2 种情况求解即可．
【详解】（1）解：把𝑎= 5代入原不等式，得
7−3×5
4
+5𝑥>
𝑥
2．
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专题05 不等式与不等式组（解析版）
第 25 页 共 55 页
去分母，得−4 + 10𝑥> 𝑥．
移项、合并同类项，得9𝑥> 4．
系数化为1，得𝑥>
4
9．
（2）解：∵7−3𝑎
4
+𝑎𝑥>
𝑥
2，
∴7−3𝑎+ 4𝑎𝑥> 2𝑥，
∴(4𝑎−2)𝑥> 3𝑎−7．
当4𝑎−2 ≠0，即𝑎≠
1
2时，原不等式有解；
当4𝑎−2 > 0，即𝑎>
1
2时，原不等式的解集是𝑥>
3𝑎−7
4𝑎−2；
当4𝑎−2 < 0，即𝑎<
1
2时，原不等式的解集是𝑥<
3𝑎−7
4𝑎−2．
考点四：由不等式（组）与方程（组）综合求参
例4．已知关于𝑥，𝑦的方程组𝑥+ 3𝑦= 4−𝑎
𝑥−𝑦= 3𝑎
，其中−3 ≤𝑎< 1，下列命题正确的个数为（ ）
①当𝑎= −2时，𝑥、𝑦的值互为相反数；②𝑥= −5
𝑦= 4
是方程组的解；③当𝑎= −1时，方程组的解也是方程
𝑥+ 𝑦= 𝑎+ 2的解；④若𝑥< 0，则
3
2 < 𝑦≤4．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式组等知识点，
能求出方程组的解𝑥= 1 + 2𝑎
𝑦= 1−𝑎
是解此题的关键．
①先求出方程组的解𝑥= 1 + 2𝑎
𝑦= 1−𝑎
，把𝑎= −2代入求出𝑥、𝑦即可；②把𝑥= −5
𝑦= 4
代入𝑥= 1 + 2𝑎
𝑦= 1−𝑎
，求出𝑎的
值，再根据−3 ≤𝑎< 1判断即可；③求出方程组的解，再代入方程，看看方程左右两边是否相等即可；④
根据𝑥< 0和𝑥= 1 + 2𝑎求出−3 ≤𝑎< −
1
2，再求出1−𝑎的范围即可．
【详解】解：解方程组𝑥+ 3𝑦= 4−𝑎
𝑥−𝑦= 3𝑎
得：𝑥= 1 + 2𝑎
𝑦= 1−𝑎
，
①当𝑎= −2时，𝑥= 1 + 2 × (−2) = −3，𝑦= 1−(−2) = 3，
所以𝑥、𝑦互为相反数，故①正确；
②把𝑥= −5
𝑦= 4
代入𝑥= 1 + 2𝑎
𝑦= 1−𝑎
得：1 + 2𝑎= −5
1−𝑎= 4
，
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解得：𝑎= −3，
∵−3 ≤𝑎< 1，
∴此时𝑎= −3符合，故②正确；
③当𝑎= −1时，
∵𝑥= 1 + 2𝑎= −1，𝑦= 1−𝑎= 2，
∴方程组的解是𝑥= −1
𝑦= 2
，
把𝑎= −1，𝑥= −1
𝑦= 2
代入方程𝑥+ 𝑦= 𝑎+ 2得：左边= 右边，
即当𝑎= −1时，方程组的解也是方程𝑥+ 𝑦= 𝑎+ 2的解，故③正确；
④∵𝑥< 0，
∴𝑥= 1 + 2𝑎< 0，
即𝑎< −
1
2，
∵−3 ≤𝑎< 1，
∴−3 ≤𝑎< −
1
2，
∴3
2 < 1−𝑎≤4，
∵𝑦= 1−𝑎，
∴3
2 < 𝑦≤4，故④正确；
故选：D．
【变式4-1】若关于𝑥的方程𝑥−2−𝑎𝑥
4
= 𝑥
2 +2有非负整数解，且关于𝑦的不等式组
1−𝑦
2 ≤8+2𝑦
3
−1
𝑦+𝑎
2 + 1 > 𝑦+ 𝑎
至多有三个
整数解，则符合条件的所有整数𝑎的和为
．
【答案】11
【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，先解一元一次不等式组，根据不等
式组至多有3 个整数解，求出a 的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a 的值即可解
答．
【详解】解：
1−𝑦
2 ≤8+2𝑦
3
−1①
𝑦+𝑎
2 + 1 > 𝑦+ 𝑎②
，
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解不等式①得：𝑦≥−1，
解不等式②得：𝑦< 2−𝑎，
∵不等式组至多有3 个整数解，
∴2−𝑎≤2，
∴𝑎≥0，
𝑥−2−𝑎𝑥
4
= 𝑥
2 +2，
4𝑥−2 + 𝑎𝑥= 2𝑥+ 8，
解得𝑥=
10
𝑎+2，
∵方程有非负整数解，
∴𝑥≥0（x 为非负整数），
∴10
𝑎+2 ≥0，且为整数，
∴𝑎+ 2 = 1,2,5,10，
∴𝑎= −1,0,3,8，
∵𝑎≥0，
∴符合条件的所有整数a 的值为：0，3，8，
∴符合条件的所有整数a 的和是：0 + 3 + 8 = 11．
故答案为：11．
【变式4-2】关于x 的不等式组3𝑥+ 3 ≥2𝑥+ 5
𝑥−2 < 𝑎
，至少有4 个整数解，且关于x，y 的方程组𝑎𝑥−2𝑦= 0
𝑥+ 𝑦= 4
的解中，x 的解为整数，那么满足条件的整数a 的值为
．
【答案】6
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组，根据不等式组求出𝑎的范围，然后根据
关于𝑥，𝑦的方程组𝑎𝑥−2𝑦= 0
𝑥+ 𝑦= 4
的解为整数得到𝑎+ 2 = 8即可解答．
【详解】解：3𝑥+ 3 ≥2𝑥+ 5①
𝑥−2 < 𝑎②
，
解不等式①得，𝑥≥2
解不等式②得，𝑥< 𝑎+ 2，
∵不等式组3𝑥+ 3 ≥2𝑥+ 5
𝑥−2 < 𝑎
至少有4 个整数解，
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∴𝑎+ 2 > 5，
∴𝑎> 3，
解方程组𝑎𝑥−2𝑦= 0③
𝑥+ 𝑦= 4④
，
③+ ④× 2得：(𝑎+ 2)𝑥= 8，解得𝑥=
8
𝑎+2，
将𝑥=
8
𝑎+2代入④得：
8
𝑎+2 +𝑦= 4，解得𝑦= 4𝑎
𝑎+2
∴方程组的解为：
𝑥=
8
𝑎+2
𝑦=
4𝑎
𝑎+2
，
∵关于𝑥，𝑦的方程组𝑎𝑥−2𝑦= 0
𝑥+ 𝑦= 4
的解为整数，𝑎+ 2 > 5
∴𝑎+ 2 = 8，解得：𝑎= 6，
当𝑎= 6时，𝑥=
8
𝑎+2 = 1，𝑦= 4𝑎
𝑎+2 = 3符合题意；
∴所有满足条件的整数𝑎的值为6．
故答案为：6．
【变式4-3】已知关于x，y 的方程组
𝑥−𝑦= −5
2𝑥+ 𝑦= 6𝑚+ 13
（m 是常数）．
(1)若此方程组的解也是方程𝑥−2𝑦= −7的解，求常数m 的值；
(2)若x，y 满足𝑥> 2𝑦，试化简：|1−𝑚|−|𝑚+ 2|；
(3)若x，y 满足𝑥< −1，𝑦> 1．求2𝑥−𝑦的取值范围．
【答案】(1)𝑚= −17
6
(2)3
(3)−9 < 2𝑥−𝑦< −6
【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，化简绝对值，掌握解二元一
次方程组与不等式组是解题的关键．
（1）联立𝑥−𝑦= −5
𝑥−2𝑦= −7
得出𝑥= −3
𝑦= 2
，代入原方程组的第二个方程，得到关于m 的一元一次方程，即可求
解；
（2）根据加减消元法求得
𝑥= 2m + 8
3 ，
𝑦= 2m + 23
3 ．
，根据题意列出不等式，得到𝑚< −
19
3 ，进而化简绝对值，即可
求解；
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（3）根据（2）的结论，计算2𝑥−𝑦= 2𝑚−
7
3，同时得出不等式−20
3 < 2𝑚< −
11
3 ，解不等式，即可求解．
【详解】（1）解：∵关于x，y 的方程组
𝑥−𝑦= −5，
2𝑥+ 𝑦= 6m + 13
（m 是常数）的解也是方程𝑥−2𝑦= −7的解，
∴x，y 满足方程组𝑥−𝑦= −5
𝑥−2𝑦= −7
解得𝑥= −3
𝑦= 2
把𝑥= −3，
𝑦= 2
代入2𝑥+ 𝑦= 6𝑚+ 13，得
−6 + 2 = 6𝑚+ 13，
解得𝑚= −
17
6 ．
（2）关于x，y 的方程组
𝑥−𝑦= −5，
2𝑥+ 𝑦= 6m + 13
的解为
𝑥= 2m + 8
3 ，
𝑦= 2m + 23
3 ．
∵𝑥> 2𝑦，
∴2𝑚+ 8
3 > 4𝑚+
46
3 ，
解得𝑚< −
19
3 ．
∴|1−𝑚|−|𝑚+ 2|
= 1−𝑚+ 𝑚+ 2
= 3．
（3）由于关于x，y 的方程组
𝑥−𝑦= −5，
2𝑥+ 𝑦= 6m + 13
的解为
𝑥= 2m + 8
3 ，
𝑦= 2m + 23
3 ．
∴2𝑥−𝑦= 4𝑚+ 16
3 −2𝑚−23
3 = 2𝑚−
7
3．
又∵𝑥< −1，𝑦> 1，
∴2𝑚+ 8
3 < −1，2𝑚+ 23
3 > 1
解得−10
3 < 𝑚< −11
6
∴-−20
3 < 2𝑚< −
11
3 ，
∴−20
3 −7
3 < 2𝑚−7
3 < −11
3 −
7
3，
即−9 < 2𝑚−7
3 < −6，
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∴−9 < 2𝑥−𝑦< −6．
考点五：不等式（组）中新定义问题
例5．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元
一次不等式组的“关联方程”．例如：方程𝑥−2 = 1的解为𝑥= 3，不等式组𝑥> −1
𝑥< 4
的解集为−1 < 𝑥< 4，因
为𝑥= 3在−1 < 𝑥< 4的范围内，所以方程𝑥−2 = 1是不等式组𝑥> −1
𝑥< 4
的“关联方程”．
(1)方程2𝑥+ 1 = −𝑥______（填“是”或“不是”）不等式组2𝑥+ 5 > 0
𝑥−3 < −1
的“关联方程”．
(2)已知关于𝑥的方程𝑥+ 2𝑚= 5是不等式组
𝑥−1 > 0
2𝑥−7 < −1
的“关联方程”，求𝑚的取值范围．
(3)已知关于𝑥的方程𝑥−2𝑛= 1是关于𝑥的不等式组𝑥+ 2(𝑛−1)> 2𝑛
𝑥−𝑛< 3
的“关联方程”，直接写出𝑛的取值范围为
______．
【答案】(1)是；
(2)1 < 𝑚< 2；
(3)
1
2 < 𝑛< 2．
【分析】本题考查了解不等式组，一元一次方程，熟练掌握解法是解题的关键．
（1）根据题意分别解出2𝑥+ 5 > 0
𝑥−3 < −1
和2𝑥+ 1 = −𝑥，再根据“关联方程”定义即可求解；
（2）根据题意分别解出
𝑥−1 > 0
2𝑥−7 < −1
和𝑥+ 2𝑚= 5，再根据“关联方程”定义得出1 < 5−2𝑚< 3，然后求解
集即可；
（3）由𝑥+ 2(𝑛−1)> 2𝑛①
𝑥−𝑛< 3②
解不等式①得𝑥> 2，解不等式②得𝑥< 3 + 𝑛，由𝑥−2𝑛= 1得𝑥= 2𝑛+ 1，根
据“关联方程”定义得出
3 + 𝑛> 2
2𝑛+ 1 > 2
2𝑛+ 1 < 3 + 𝑛
，然后解不等式组即可．
【详解】（1）解：2𝑥+ 5 > 0①
𝑥−3 < −1②
，
解不等式①得：𝑥> −
5
2，
解不等式②得：𝑥< 2，
∴不等式组的解集为−5
2 < 𝑥< 2，
由2𝑥+ 1 = −𝑥，
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2𝑥+ 𝑥= −1
3𝑥= −1
𝑥= −
1
3，
∴𝑥= −
1
3在−5
2 < 𝑥< 2范围内，
∴方程2𝑥+ 1 = −𝑥是不等式组2𝑥+ 5 > 0
𝑥−3 < −1
的“关联方程”，
故答案为：是；
（2）解：
𝑥−1 > 0①
2𝑥−7 < −1②
，
解不等式①得：𝑥> 1，
解不等式②得：𝑥< 3，
∴不等式组的解集为1 < 𝑥< 3，
由𝑥+ 2𝑚= 5得𝑥= 5−2𝑚，
∵关于𝑥的方程𝑥+ 2𝑚= 5是不等式组
𝑥−1 > 0
2𝑥−7 < −1
的“关联方程”，
∴1 < 5−2𝑚< 3，
解得：1 < 𝑚< 2；
（3）解：𝑥+ 2(𝑛−1)> 2𝑛①
𝑥−𝑛< 3②
解不等式①得：𝑥> 2，
解不等式②得：𝑥< 3 + 𝑛，
由𝑥−2𝑛= 1得𝑥= 2𝑛+ 1，
∵关于𝑥的方程𝑥−2𝑛= 1是关于𝑥的不等式组𝑥+ 2(𝑛−1)> 2𝑛
𝑥−𝑛< 3
的“关联方程”，
∴
3 + 𝑛> 2
2𝑛+ 1 > 2
2𝑛+ 1 < 3 + 𝑛
，
解得：
1
2 < 𝑛< 2，
故答案为：
1
2 < 𝑛< 2．
【变式5-1】定义：关于𝑥，𝑦的二元一次方程𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑐（其中𝑎≠𝑏≠𝑐）中的常数项𝑐与未知数系数𝑎，𝑏
之一互换，得到的方程叫“换参方程”，例如：𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑐的“换参方程”为𝑐𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑎或𝑎𝑥+ 𝑐𝑦= 𝑏．
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(1)方程𝑥+ 2𝑦= 4与它的“换参方程”组成的方程组的解为__________；
(2)已知关于𝑥，𝑦的二元一次方程𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑐的系数满足𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0，且𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑐与它的“换参方程”组
成的方程组的解恰好是关于𝑥，𝑦的二元一次方程𝑚𝑥+ 𝑛𝑦= 𝑝的一个解，求代数式(𝑚+ 𝑛)𝑚−
𝑝(𝑛+ 𝑝) + 2025的值；
(3)已知整数𝑚，𝑛，𝑡，满足条件𝑡< 𝑛< 𝑚+ 4，并且(3𝑚−𝑡)𝑥+ 2025𝑦= 𝑚+ 2𝑡是关于𝑥，𝑦的二元一次方
程(6 + 𝑛)𝑥+ 2025𝑦= 2𝑚−1的“换参方程”，求𝑚的值．
【答案】(1)
𝑥= −1
𝑦= 5
2
，
𝑥= 6
𝑦= −1
(2)2025
(3)𝑚= 3
【分析】本题考查新定义运算，二元一次方程组的解，解二元一次方程组等，计算量很大，有一定难度，
正确理解“交换系数方程”的定义是解题的关键．
（1）先根据定义写出方程𝑥+ 2𝑦= 4的“交换系数方程”，联立组成方程组，解方程组即可；
（2）先求出𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑐与它的“交换系数方程”组成的方程组的解，代入𝑚𝑥+ 𝑛𝑦= 𝑝，得到p，m，n 的关
系，再代入(𝑚+ 𝑛)𝑚−𝑝(𝑛+ 𝑝) + 2023即可求解；
（3）先写出(6 + 𝑛)𝑥+ 2025𝑦= 2𝑚−1的“交换系数方程”，令(3𝑚−𝑡)𝑥+ 2025𝑦= 𝑚+ 2𝑡的各未知数的系
数与2 个“交换系数方程”的对应系数相等，得到2 个方程组，最后求出符合条件的m 的值即可．
【详解】（1）解：由题意知，方程𝑥+ 2𝑦= 4的“交换系数方程”为4𝑥+ 2𝑦= 1或𝑥+ 4𝑦= 2，
∴方程3𝑥+ 2𝑦= 4与它的“交换系数方程”组成的方程组为：
①𝑥+ 2𝑦= 4
4𝑥+ 2𝑦= 1
或②𝑥+ 2𝑦= 4
𝑥+ 4𝑦= 2
，
解方程组①，得
𝑥= −1
𝑦= 5
2
，
解方程组②，得
𝑥= 6
𝑦= −1
，
故答案为：
𝑥= −1
𝑦= 5
2
或
𝑥= 6
𝑦= −1
；
（2）解：𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑐与它的“交换系数方程”组成的方程组为：
①𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑐
𝑐𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑎
或②𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑐
𝑎𝑥+ 𝑐𝑦= 𝑏
，
解方程组①，得
𝑥= −1
𝑦= 𝑎+𝑐
𝑏
，
由𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0，得𝑦= 𝑎+𝑐
𝑏= −𝑏
𝑏= −1，
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因此方程组①的解为𝑥= −1
𝑦= −1
，
解方程组②，得𝑥= 𝑏+𝑐
𝑎
𝑦= −1
，
由𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0，得𝑥= 𝑏+𝑐
𝑎= −𝑎
𝑎= −1，
∴方程组②的解为𝑥= −1
𝑦= −1
，
∴ 𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑐与它的“交换系数方程”组成的方程组为𝑥= −1
𝑦= −1
，
将𝑥= −1
𝑦= −1
代入𝑚𝑥+ 𝑛𝑦= 𝑝，得−(𝑚+ 𝑛) = 𝑝，
∴ (𝑚+ 𝑛)𝑚−𝑝(𝑛+ 𝑝) + 2025
= −𝑝𝑚−𝑝𝑛−𝑝2 + 2025
= −𝑝(𝑚+ 𝑛)−𝑝2 + 2025
= −𝑝⋅(−𝑝)−𝑝2 + 2025
= 2025．
（3）解：关于𝑥，𝑦的二元一次方程(6 + 𝑛)𝑥+ 2025𝑦= 2𝑚−1的“交换系数方程”为(6 + 𝑛)𝑥+ (2𝑚−1)
𝑦= 2025，或(2𝑚−1)𝑥+ 2025𝑦= 6 + 𝑛，
当(6 + 𝑛)𝑥+ (2𝑚−1)𝑦= 2025与(3𝑚−𝑡)𝑥+ 2025𝑦= 𝑚+ 2𝑡的各系数相等时，
可得方程组
2𝑚−1 = 2025
6 + 𝑛= 3𝑚−𝑡
2025 = 𝑚+ 2𝑡
，
解方程组可得
𝑚= 1013
𝑡= 506
𝑛= 2527
，不满足𝑡< 𝑛< 𝑚+ 4，故舍去；
当(2𝑚−1)𝑥+ 2025𝑦= 6 + 𝑛与(3𝑚−𝑡)𝑥+ 2025𝑦= 𝑚+ 2𝑡的各系数相等时，
可得方程组2𝑚−1 = 3𝑚−𝑡
6 + 𝑛= 𝑚+ 2𝑡
，
解得𝑡= 𝑚+ 1
𝑛= 3𝑚−4
，
∵𝑡< 𝑛< 𝑚+ 4，
∴𝑚+ 1 < 3𝑚−4 < 𝑚+ 4，即𝑚+ 1 < 3𝑚−4
3𝑚−4 < 𝑚+ 4
解得
5
2 < 𝑚< 4，
∵m 为整数，
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∴𝑚= 3．
【变式5-2】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组
的“浯溪水亦香方程”．例如2𝑥−6 = 0的解为𝑥= 3，不等式组𝑥−2 > 0
𝑥< 5
的解集为2 < 𝑥< 5，因为2 < 3 < 5，
所以方程2𝑥−6 = 0为不等式组𝑥−2 > 0
𝑥< 5
，的“浯溪水亦香方程”．
(1)方程2𝑥+ 3 = 1是下列哪些不等式组的______“浯溪水亦香方程”：（填序号）
①𝑥−1
2 > 3
2
𝑥≥3
；②2(𝑥+ 3)> 4
𝑥+ 3 < 0
；③
𝑥−1
2
< 3
𝑥+ 5 > 0
．
(2)若关于𝑥的方程2𝑥−𝑘= 2是不等式组3𝑥−6 > 4−𝑥
𝑥−1 ≥4𝑥−10
的“浯溪水亦香方程”，求𝑘的取值范围；
(3)若方程2𝑥+ 4 = 0，
2𝑥
3 = −1都是关于𝑥的不等式组(𝑚−2)𝑥< 𝑚−2
𝑥+ 5 ≥𝑚
的“浯溪水亦香方程”，其中𝑚≠2，
求𝑚的取值范围．
【答案】(1)③；
(2)3 < 𝑘≤4；
(3)2 < 𝑚≤3．
【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得
出关于𝑘和𝑚的不等式组是解此题的关键．
（1）先计算方程的解为𝑥= −1，分别计算不等式的解，比较即可求解；
（2）解不等式组得
5
2 < 𝑥≤3，求解方程2𝑥−𝑘= 2，进而求解；
（3）分别解方程2𝑥+ 4 = 0，解方程
2𝑥
3 = −1，根据题意分为两种情况，求解即可；
【详解】（1）解：2𝑥+ 3 = 1，
解得：𝑥= −1；
① 𝑥−1
2 > 3
2
𝑥≥3
，
解得：𝑥≥3，
∵ −1 < 3，不符合题意；
② 2(𝑥+ 3)> 4
𝑥+ 3 < 0
，
该不等式无解，不符合题意；
③
𝑥−1
2
< 3
𝑥+ 5 > 0
，
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解得：−5 < 𝑥< 7；
∵−5 < −1 < 7，
∴方程2𝑥+ 3 = 1是
𝑥−1
2
< 3
𝑥+ 5 > 0
的“浯溪水亦香方程”；
故答案为：③
（2）解：解不等式组3𝑥−6 > 4−𝑥
𝑥−1 ≥4𝑥−10
得：
5
2 < 𝑥≤3．
解方程2𝑥−𝑘= 2
得：𝑥=
2+𝑘
2 ，
∵关于𝑥的方程2𝑥−𝑘= 2是不等式组3𝑥−6 > 4−𝑥
𝑥−1 ≥4𝑥−10
的“相伴方程”，
∴5
2 < 2+𝑘
2 ≤3，
解得：3 < 𝑘≤4，
即𝑘的取值范围是3 < 𝑘≤4；
（3）解：解方程2𝑥+ 4 = 0，
得𝑥= −2，
解方程
2𝑥
3 = −1
得𝑥= −
3
2，
∵方程2𝑥+ 4 = 0，
2𝑥
3 = −1都是关于𝑥的不等式组(𝑚−2)𝑥< 𝑚−2
𝑥+ 5 ≥𝑚
的“相伴方程”， 𝑚≠2，
所以分为两种情况：①当𝑚< 2时，不等式组为
𝑥> 1
𝑥≥𝑚−5
，
此时不等式组的解集是𝑥> 1，不符合题意，舍去；
②当𝑚> 2时，不等式组的解集是𝑚−5 ≤𝑥< 1，
所以根据题意得：
𝑚> 2
𝑚−5 ≤−2
，
解得：2 < 𝑚≤3，
所以𝑚的取值范围是2 < 𝑚≤3．
【变式5-3】如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式
（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程2𝑥−1 = 1是不等式𝑥+ 1 > 0的“偏解方程”，因为方程的解𝑥= 1可
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专题05 不等式与不等式组（解析版）
第 36 页 共 55 页
使得𝑥+ 1 = 2 > 0成立：方程组𝑥+ 𝑦= 7
𝑥−𝑦= 1
是不等式2𝑥+ 3𝑦> 15的“偏解方程组”，因为方程组的解𝑥= 4
𝑦= 3
可使得2𝑥+ 3𝑦= 2 × 4 + 3 × 3 = 17 > 15成立．
(1)方程3𝑥+ 2 = −4是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”；
①2𝑥+ 1 > 3𝑥+ 3；②3(𝑥+ 1) ≤6；③𝑥+ 3 ≥0
𝑥−1 < 0
；
(2)已知关于𝑥，𝑦方程组
2𝑥−𝑦= −4
𝑥+ 2𝑦= 5𝑎+ 3
是不等式𝑦−1
2𝑥> 7的“偏解方程组”，求𝑎的取值范围；
(3)已知关于𝑥的不等式组𝑥+ 10 ≥𝑏
𝑥+ 9 < 2𝑏
恰有5 个整数解，且关于𝑥的方程𝑥+ 𝑏= 0是它的“偏解方程”，求𝑏的
取值范围．
【答案】(1)②③
(2)𝑎> 3
(3)3.5 < 𝑏≤4.5
【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次
方程组等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论．
（1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可；
（2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入𝑦−1
2𝑥> 7得到关于𝑎的一元一次不等式，再求解即可；
（3）先解不等式组𝑥+ 10 ≥𝑏
𝑥+ 9 < 2𝑏
得𝑏−10 ≤𝑥< 2𝑏−9，由新定义得到𝑏−10 ≤−𝑏< 2𝑏−9，解得：
3 < 𝑏≤5，设5 个整数解为𝑘,𝑘+ 1,𝑘+ 2,𝑘+ 3,𝑘+ 4，则
𝑘−1 < 𝑏−10 ≤𝑘
𝑘+ 4 < 2𝑏−9 ≤𝑘+ 5
，求出𝑏的范围，再根据𝑏
有解，得到关于k 的不等式组，求出k 的取值范围，再分类讨论求解．
【详解】（1）解：解方程3𝑥+ 2 = −4得𝑥= −2，
①2 × (−2) +1 = −3 = 3 × (−2) +3 = −3不成立，故不符合题意；
②3 × (−2 + 1) = −3 < 6成立，故符合题意；
③−2 + 3 = 1 > 0
−2−1 = −3 < 0
成立，符合题意，
∴方程3𝑥+ 2 = −4是下列不等式（组）中②③的“偏解方程”，
故答案为：②③；
（2）解：解方程组
2𝑥−𝑦= −4
𝑥+ 2𝑦= 5𝑎+ 3
得：
𝑥= 𝑎−1
𝑦= 2𝑎+ 2
，
∵方程组
2𝑥−𝑦= −4
𝑥+ 2𝑦= 5𝑎+ 3
是不等式𝑦−1
2𝑥> 7的“偏解方程组”，
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专题05 不等式与不等式组（解析版）
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∴2𝑎+ 2−1
2(𝑎−1) > 7，
解得：𝑎> 3；
（3）解：解不等式组𝑥+ 10 ≥𝑏
𝑥+ 9 < 2𝑏
得𝑏−10 ≤𝑥< 2𝑏−9，
∵关于𝑥的方程𝑥+ 𝑏= 0是它的“偏解方程”，
∴𝑏−10 ≤−𝑏< 2𝑏−9，
解得：3 < 𝑏≤5，
∴设5 个整数解为𝑘,𝑘+ 1,𝑘+ 2,𝑘+ 3,𝑘+ 4，
则由题意得：𝑘−1 < 𝑏−10 ≤𝑘< 𝑘+ 4 < 2𝑏−9 ≤𝑘+ 5，
∴
𝑘−1 < 𝑏−10 ≤𝑘
𝑘+ 4 < 2𝑏−9 ≤𝑘+ 5
，
解得：
𝑘+ 9 < 𝑏≤𝑘+ 10
𝑘+13
2
< 𝑏≤𝑘+14
2
，
∵𝑏有解，
∴
𝑘+ 9 < 𝑘+14
2
𝑘+13
2
< 𝑘+ 10
，
解得：−7 < 𝑘< −4，
∴𝑘的整数解为−6或−5，
①当𝑘= −6时，
3 < 𝑏≤4
3.5 < 𝑏≤4
，
∴3.5 < 𝑏≤4；
②当𝑘= −5时，
4 < 𝑏≤5
4 < 𝑏≤4.5
，
∴4 < 𝑏≤4.5，
∴由①②得：3.5 < 𝑏≤4.5，
又∵3 < 𝑏≤5，
∴3.5 < 𝑏≤4.5．
考点六：一元一次不等式（组）解最多至少问题
例6．综合与实践
某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；准备
在辖区内新建一条长600 米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10 天，则乙
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专题05 不等式与不等式组（解析版）
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工程队还需单独施工15 天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12 天可以完成该工程，
设甲、乙两个工程队每天分别施工x 和y 米．
【问题分析】（1）甲工程队单独施工10 天完成的工程量是 米；乙工程队单独施工15 天完成的工程量是
米；甲、乙两个工程队同时共同施工m 天完成的工程量是 米；（用含有字母的代数式表示）
【问题解决】（2）求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？
【问题拓展】（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6 万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10 天后甲
队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过
12 万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？
【答案】（1）10𝑥，15𝑦，𝑚(𝑥+ 𝑦)；（2）甲工程队每天施工30 米，乙工程队每天施工20 米；（3）0.4
万元
【分析】本题主要考查列代数式，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．
（1）根据题意可得答案；
（2）根据若甲工程队先单独施工10 天，则乙工程队还需单独施工15 天可完成该工程；若甲、乙两个工程
队同时共同施工，则12 天可以完成该工程，列出方程组，解方程组求解即可；
（3）设乙工程队每天的施工费用为a 万元，根据甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12 万元
列不等式，解不等式可求解．
【详解】解：（1）甲工程队单独施工10 天完成的工程量是10𝑥米；乙工程队单独施工15 天完成的工程量
是15𝑦米；甲、乙两个工程队同时共同施工m 天完成的工程量是𝑚(𝑥+ 𝑦)米，
故答案为：10𝑥；15𝑦；𝑚(𝑥+ 𝑦)；
（2）由题意得：10𝑥+ 15𝑦= 600
12𝑥+ 12𝑦= 600
，
解得：𝑥= 30
𝑦= 20
，
答：甲工程队每天施工30 米，乙工程队每天施工20 米；
（3）设乙工程队每天的施工费用为a 万元，
由题意得：0.6 × 10 + 600−30×10
20
𝑎≤12，
解得𝑎≤0.4，
答：乙工程队每天的施工费用最多为0.4 万元．
【变式6-1】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计费该市居民“一户一表”生活用水阶梯式
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计费价格表的一部分信息如下：
每户每月用水量
自来水销售价
格
污水处理价
格
18m3及以下
a 元/m3
1.40 元/m3
超过18m3不超过30m3的部
分
b 元/m3
1.40 元/m3
超过30m3的部分
6.00 元/m3
1.40 元/m3
[说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量②水费= 自来水费+ 污水处理费]
已知小王家2025 年4 月份用水20m3，交水费64 元；5 月份用水25m3，交水费89 元．
(1)求a，b 的值．
(2)随着夏天的到来，用水量将增加，小王计划把6 月份水费控制在家庭月收入的2%．若小王家月收入为
11250 元，则按计划小王家6 月份最多可用水多少立方米？
【答案】(1)𝑎= 1.6, 𝑏= 3.6
(2)45m3
【分析】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的知识，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题
转化为数学模型求解．
（1）根据表格收费标准，及小王家4、5 两月用水量、水费，可得出方程组，解出即可；
（2）先判断用水量超过30m3，继而再由水费不超过225，可得出不等式，解出即可．
【详解】（1）解：由题意，得{18(𝑎+ 1.4) +(20−18)(𝑏+ 1.4) = 64
18(𝑎+ 0.8) +(25−18)(𝑏+ 1.4) = 89，
整理得：{18𝑎+ 2𝑏= 36
18𝑎+ 7𝑏= 54，
解得：{𝑎= 1.6
𝑏= 3.6；
（2）解：当用水量为30m3时，水费为：18 × 1.6 + (30−18) × 3.6 + 1.4 × 30 = 114元，11250 × 2% = 225
元，
∵114 < 225，
∴小王家6 月份的用水量超过30m3，
设小王家6 月份用水量为𝑥m3，
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专题05 不等式与不等式组（解析版）
第 40 页 共 55 页
由题意得：18 × 1.6 + 12 × 3.6 + 6(𝑥−30) +1.4𝑥≤225，
解得：𝑥≤45，
∴小王家6 月份最多用水45m3．
【变式6-2】随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客
户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1 辆A 型汽车、1 辆B 型汽车
的进价共计37 万元；若单次购买A 型汽车超过15 辆每辆车进价打九五折，单次购买𝐵型汽车超过15 辆每
辆车进价优惠5 千元，当购买𝐴型和𝐵型车各20 辆时，共需715 万元．
(1)求该汽车销售公司单独购进𝐴，𝐵型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？
(2)因资金紧张，该公司计划以不超过260 万元购进以上两种型号的新能源汽车共15 辆，每辆𝐴型汽车在进
价的基础上提高6000 元销售，每辆𝐵型汽车在进价的基础上提高5%销售．假如这些新能源汽车全部售出，
至少要获利10.5 万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？
【答案】(1)购进𝐴，𝐵型号汽车各一辆时进价分别为15，22 万元
(2)该公司有 3 种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B 型汽车5 辆或购进A 型汽车 11 辆，B 型汽车
4 辆或购进A 型汽车 12 辆，B 型汽车3 辆．购进A 型汽车10 辆，B 型汽车5 辆的方案获得的利润最多，
最多利润是 11.5 万元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用．
（1）设购进𝐴，𝐵型号汽车各一辆时进价分别为x，y 万元，根据题意列出关于x，y 的二元一次方程组求解
即可得出答案．
（2）设购进A 型汽车m 辆，则购进B 型汽车(15−𝑚)辆，根据题意列出关于m 的一元一次不等式组，求解
并根据m 的取值分别讨论计算即可得出答案．
【详解】（1）解：设购进𝐴，𝐵型号汽车各一辆时进价分别为x，y 万元，
根据题意可知：
𝑥+ 𝑦= 37
20 × 0.95𝑥+ 20 ×(𝑦−0.5)= 715
解得：𝑥= 15
𝑦= 22
，
则购进𝐴，𝐵型号汽车各一辆时进价分别为15，22 万元．
（2）解：设购进A 型汽车m 辆，则购进B 型汽车(15−𝑚)辆，
根据题意可得出：
15𝑚+ 22(15−𝑚)≤260
0.6𝑚+ 22 × 0.05 ×(15−𝑚)≥10.5
解得：10 ≤𝑚≤12
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∵m 为正整数，
∴𝑚= 10或11 或12，
当𝑚= 10时，购进B 型汽车为5 辆，
此时利润为：0.6 × 10 + 22 × 0.05 × 5 = 11.5（万元）
当𝑚= 11时，购进B 型汽车为4 辆，
此时利润为：0.6 × 11 + 22 × 0.05 × 4 = 11（万元）
当𝑚= 12时，购进B 型汽车为3 辆，
此时利润为：0.6 × 12 + 22 × 0.05 × 3 = 10.5（万元）
综上：该公司有 3 种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B 型汽车5 辆或购进A 型汽车 11 辆，B 型
汽车4 辆或购进A 型汽车 12 辆，B 型汽车3 辆．购进A 型汽车10 辆，B 型汽车5 辆的方案获得的利润
最多，最多利润是 11.5 万元．
【变式6-3】一家电脑公司有𝐴型、𝐵型、𝐶型三种型号的电脑，其中𝐶型每台2500元．某中学计划从这家电
脑公司购进电脑．
(1)已知购买2 台𝐴型电脑和3 台𝐵型电脑需要24000元，且购买3 台𝐴型电脑和8 台𝐵型电脑的费用刚好可以
买20 台𝐶型电脑．求𝐴型电脑和𝐵型电脑的售价．
(2)这家电脑公司为提高𝐵型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台𝐵型电脑时，可以用一台旧电脑抵
值1000 元．该中学计划只购买𝐵型电脑，拿出的旧电脑和购买的𝐵型电脑数量一共是30台．若要使购买𝐵型
电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买𝐵型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多
买𝑎台𝐵型电脑，此时该中学需要再拿出
1
3𝑎台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电
脑进行抵值？
【答案】(1)𝐴型每台6000元、𝐵型每台4000元
(2)该中学至少需要再拿出6 台旧电脑进行抵值
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）设𝐴型每台𝑥元、𝐵型每台𝑏元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解．
（2）设原计划购买𝑦台𝐵型电脑，则原计划拿出(30−𝑦)台旧电脑，根据购买𝐵型电脑的数量是旧电脑数量的
2 倍，可列出关于𝑦，𝑎的二元一次方程，变形后可得出𝑦= 20−1
9𝑎，利用总价= 单价× 数量，结合购买𝐵型
电脑的实际总费用不少于100000 元，可列出关于𝑎的一元一次不等式，解之可得出𝑎的取值范围，再结合𝑎，
20−1
9𝑎均为正整数，即可找出
1
3𝑎的最小值为6．
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【详解】（1）解：设𝐴型每台𝑥元、𝐵型每台𝑏元，根据题意得，
2𝑥+ 3𝑏= 24000
3𝑥+ 8𝑏= 20 × 2500
解得：𝑥= 6000
𝑏= 4000
答：𝐴型每台6000元、𝐵型每台4000元
（2）解：设原计划购买𝑦台𝐵型电脑，则原计划拿出(30−𝑦)台旧电脑，
根据题意得：𝑦+ 𝑎= 2 30−𝑦+ 1
3 𝑎，
∴𝑦= 20−1
9𝑎．
∵购买𝐵型电脑的实际总费用不少于100000元，
∴4000(𝑦+ 𝑎)−1000 30−𝑦+ 1
3 𝑎≥100000，
即4000 30−10 + 1
9 𝑎+ 𝑎−1000
10 + 1
9 𝑎+ 1
3 𝑎≥100000，
解得：𝑎≥
135
14 ，
又∵𝑦= 20−1
9𝑎是正整数，则𝑎是9 的倍数，𝑎的最小值为18
∴1
3𝑎的最小值为6
答：该中学至少需要再拿出6台旧电脑进行抵值．
考点七：一元一次不等式（组）解方案选择问题
例7．冬天来临，某超市以每台80 元和70 元的价格购进A 和B 两种型号的取暖器，表格是该超市
近两天出售取暖器的情况（注：利润=销售收入-进货成本）：
销售数量
销售时段
A 型号
B 型号
销售收入
第一天
3 台
4 台
760 元
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第二天
5 台
7 台
1300 元
(1)分别求A，B 两种型号的取暖器的销售单价．
(2)该超市准备用不超过3020 元的资金购进这两种型号的取暖器共40 台，则A 型号的取暖器最多能采购多
少台？
(3)在（2）的条件下，超市销售完这40 台取暖器能否实现利润超过1400 元的目标？若能，通过计算给出相
应的购进方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)A，B 两种型号取暖器的销售单价分别为120 元、100 元
(2)A 型号的取暖器最多能采购22 台
(3)能，购进方案：方案一：购进A 型号取暖器21 台，B 型号取暖器19 台；方案二：购进A 型号取暖器22
台，B 型号取暖器18 台
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出二元一次
方程组和根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；
（1）设A，B 两种型号取暖器的销售单价分别为x 元、y 元，根据销售3 台A 型号、4 台B 型号取暖器的收
入为760 元，销售5 台A 型号、7 台B 型号取暖器的收入为1300 元，得出关于x，y 的二元一次方程组，解
之即可得出结论；
（2）设A 型号的取暖器购进a 台，则B 型号的取暖器购进(40−𝑎)台，根据总价= 单价× 数量结合总价不
多于3020 元，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（3）根据总利润= 每台的利润× 销售数量(购进数量)，结合总利润超过1400 元，即可得出关于a 的一元
一次不等式，解之即可得出a 的取值范围，再结合（2）的结论即可得出结论．
【详解】（1）解：设A，B 两种型号取暖器的销售单价分别为x 元、y 元，根据题意，得
3𝑥+ 4𝑦= 760
5𝑥+ 7𝑦= 1300
解得𝑥= 120
𝑦= 100
答：A，B 两种型号取暖器的销售单价分别为120 元、100 元．
（2）解：设购进A 型号取暖器a 台，则购进B 型号取暖器(40−𝑎)台．
根据题意，得80𝑎+ 70(40−𝑎) ≤3020，
解得𝑎≤22．
答：A 型号的取暖器最多能采购22 台．
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（3）解：由（2）可得(120−80)𝑎+ (100−70)(40−𝑎) > 1400，
解得𝑎> 20，
因为𝑎≤22且a 为整数，
所以a 可取21 或22，
所以在（2）的条件下该超市能实现利润超过1400 元的目标．
购进方案：
方案一：购进A 型号取暖器21 台，B 型号取暖器19 台．
方案二：购进A 型号取暖器22 台，B 型号取暖器18 台．
【变式7-1】中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢
纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标
段的土方运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2 辆大型渣土运输车与3 辆小型
渣土运输车一次共运输土方31 吨，4 辆大型渣土运输车与5 辆小型渣土运输车一次共运输土方57 吨．
(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
(2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共10 辆参与运输土方，每辆大型渣土车一次需费
用200 元，每辆小型渣土车一次需费用180 元．若运输土方总量不少于65 吨，且总费用小于1960 元．你
作为渣土运输公司的经理，列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【答案】(1)一辆大型渣土运输车一次运输8 吨，一辆小型渣土运输车一次运输5 吨
(2)第一种方案：大型运输车5 辆，小型运输车5 辆；第二种方案：大型运输车6 辆，小型运输车4 辆；第
三种方案：大型运输车7 辆，小型运输车3 辆．大型运输车5 辆，小型运输车5 辆所需费用最少，最少费
用是1900 元．
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件．
（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x 吨，一辆小型渣土运输车一次运输y 吨，根据题意列出二元一次方
程组，解方程组即可求解；
（2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车分别为m 辆，则小型渣土运输车(10−𝑚)辆，根据题意可
以列出不等式组，从而可以求得有几种方案，然后求出各方案的费用即可得出结论．
【详解】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x 吨，一辆小型渣土运输车一次运输y 吨，则
2𝑥+ 3𝑦= 31
4𝑥+ 5𝑦= 57
，
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解得𝑥= 8
𝑦= 5
．
即一辆大型渣土运输车一次运输8 吨，一辆小型渣土运输车一次运输5 吨；
（2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车分别为m 辆，则小型渣土运输车（10−𝑚）辆，由题意可
得，
8𝑚+ 5(10−𝑚) ≥65
200𝑚+ 180(10−𝑚) < 1960
解得：5 ≤𝑥< 8
故有三种派车方案，
第一种方案：大型运输车5 辆，小型运输车5 辆；
第二种方案：大型运输车6 辆，小型运输车4 辆；
第三种方案：大型运输车7 辆，小型运输车3 辆．
5 × 200 + 5 × 180 = 1900元；
6 × 200 + 4 × 180 = 1920元；
7 × 200 + 3 × 180 = 1940元；
∵1900 < 1920 < 1940
∴大型运输车5 辆，小型运输车5 辆所需费用最少，最少费用是1900 元．
【变式7-2】“保护环境，低碳出行”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购
买𝐴型和𝐵型两种环保节能公交车共10 辆．已知购买𝐴型公交车2 辆，𝐵型公交车3 辆，共需650 万元；购
买𝐴型公交车2 辆，𝐵型公交车1 辆，共需350 万元．
（1）求购买𝐴型和𝐵型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该线路上𝐴型和𝐵型公交车每辆年均载客量分别为60 万人次和100 万人次．若该公司购买𝐴型
公交车𝑥辆，完成下表：
数量（辆）
购买总费用（万元）
载客总量（万人次）
𝐴型车
𝑥
100𝑥
60𝑥
𝐵型车
10−𝑥
（3）若该公司购买𝐴型和𝐵型公交车的总费用不超过1150 万元，且确保这10 辆公交车在该线路的年均载客
量总和不少于640 万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案的总费用最少？最少总费用是多少？
【答案】（1）购买A 型和B 型公交车每辆各需100 万元、150 万元；（2）150（10﹣x），100（10﹣x），
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专题05 不等式与不等式组（解析版）
第 46 页 共 55 页
见解析；（3）有三种方案：（一）购买A 型公交车7 辆，B 型公交车3 辆；（二）购买A 型公交车8 辆，B
型公交车2 辆；（三）购买A 型公交车9 辆，B 型公交车1 辆；购买A 型公交车9 辆，B 型公交车1 辆即第
三种购车方案总费用最少，最少总费用是1050 万元
【分析】（1）设购买每辆A 型公交车x 万元，购买每辆B 型公交车每辆y 万元，根据题意列出二元一次方
程组计算即可；
（2）根据（1）中的数据计算即可；
（3）设购买x 辆A 型公交车，则购买（10﹣x）辆B 型公交车，依题意列不等式组计算即可；
【详解】解：（1）设购买每辆A 型公交车x 万元，购买每辆B 型公交车每辆y 万元，依题意列方程得，
2𝑥+ 3𝑦= 650
2𝑥+ 𝑦= 350
，
解得 𝑥= 100
𝑦= 150
，
∴购买A 型和B 型公交车每辆各需100 万元、150 万元．
（2）由（1）中的𝑥= 100
𝑦= 150
可得：
故答案是：
数量（辆）
购买总费用（万元）
载客总量（万人次）
A 型车
x
100x
60x
B 型车
10﹣x
150（10﹣x）
100（10﹣x）
（3）设购买x 辆A 型公交车，则购买（10﹣x）辆B 型公交车，依题意列不等式组得，
100𝑥+ 150(10−𝑥) ≤1150
60𝑥+ 100(10−𝑥) ≥640
，解得 7≤a≤9，
∵x 是整数，
∴x=7，8，9.
有三种方案（一）购买A 型公交车7 辆，B 型公交车3 辆；
（二）购买A 型公交车8 辆，B 型公交车2 辆；
（三）购买A 型公交车9 辆，B 型公交车1 辆；
即该公司有3 种购车方案；
因A 型公交车较便宜，故购买A 型车数量最多时，总费用最少，即第三种购车方案．
最少费用为：9×100+150×1=1050（万元）．
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专题05 不等式与不等式组（解析版）
第 47 页 共 55 页
【变式7-3】某文具店经销甲、乙两款品牌的笔记本，今年二、三月份销售情况如下表所示：（甲、乙款种
笔记本的销售单价保持不变）
销售数量（本）
销售数量（本）
月份
甲款
乙款
销售额（元）
二月份
40
20
880
三月份
20
40
800
(1)求甲、乙两款笔记本的销售单价分别是多少元；
(2)若甲款笔记本每本进价为10 元，乙款笔记本每本进价为8 元，文具店预计用不多于624 元且不少于620
元的资金购进这两款笔记本共70 本，有几种进货方案；
(3)为了促销甲款笔记本，文具店决定每售出一本甲款笔记本，返还顾客现金𝑚元，要使（2）中所有的方案
获利相同，求𝑚的值．
【答案】(1)甲、乙两款笔记本的销售单价分别是16 元和12 元
(2)共有3 种进货方案
(3)当𝑚= 2，（2）中所有方案获利相同
【分析】本题主要查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，根据题意得到数量关
系式是解题的关键．
（1）设甲、乙两款笔记本的销售单价分别是𝑥元和𝑦元，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）设购进甲款笔记本𝑎本，根据题意，列出不等式组，即可求解；
（3）设购进甲款笔记本𝑎本，根据题意，列出关于a 的代数式，再由总获利使（2）中所有的方案获利相同，
可得到m 的值，即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两款笔记本的销售单价分别是𝑥元和𝑦元：
由题意：40𝑥+ 20𝑦= 880
20𝑥+ 40𝑦= 800
，
解得𝑥= 16
𝑦= 12
，
答：甲、乙两款笔记本的销售单价分别是16 元和12 元；
（2）解：设购进甲款笔记本𝑎本．则：
10𝑎+ 8(70−𝑎)≤624
10𝑎+ 8(70−𝑎)≥620
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专题05 不等式与不等式组（解析版）
第 48 页 共 55 页
解得：30 ≤𝑎≤32．
∵𝑎的正整数解为30，31，32．
∴共有3 种进货方案；
（3）解：设购进甲款笔记本𝑎本，则总获利为：
(16−10−𝑚)𝑎+ (12−8)(70−𝑎) = (2−𝑚)𝑎+ 280．
∵使（2）中所有的方案获利相同，
∴2−𝑚= 0，
即当𝑚= 2，（2）中所有方案获利相同．
➢复习提升
1．已知关于𝑥的不等式(2−𝑎)𝑥> 2−𝑎的解集为𝑥< 1，则𝑎的取值范围是（ ）
A．𝑎> 0
B．𝑎< 0
C．𝑎< 2
D．𝑎> 2
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质及其解法，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同
时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．运用不等式的基本性质，不等式两边同时乘以一个正数不等
号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向改变．求解即可．
【详解】解：∵不等式(2−𝑎)𝑥> 2−𝑎的解集为𝑥< 1，
∴2−𝑎< 0，
∴𝑎> 2；
故选：D．
2．小明同学早上8:20前要到达班级，出家门时是8:00，已知他家离学校距离为1500m，他跑步的速度为
120m/min，走路的速度为60m/min，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为
𝑥min，根据题意可列不等式正确的为（ ）
A．120𝑥+ 60(20−𝑥) < 1500
B．120(𝑥−20) +60𝑥> 1500
C．𝑥+ 1500−120𝑥
60
< 20
D．𝑥+ 1500−120𝑥
60
> 20
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的运用，理解数量关系，正确列不等式是关键．
根据题意可得，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于20min，由此列式即可．
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专题05 不等式与不等式组（解析版）
第 49 页 共 55 页
【详解】解：小明家离学校距离为1500m，他跑步的速度为120m/min，走路的速度为60m/min，设小明同
学跑步时间为𝑥min，出家门时是8:00，早上8:20前要到达班级，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路
时间要小于20min，
∴𝑥+ 1500−120𝑥
60
< 20，
故选：C ．
3．已知实数𝑎，𝑏，𝑐，满足𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 1，𝑎=
𝑎+𝑏−𝑐
2
，𝑐=
−𝑎−𝑏+𝑐
3
，则下列判断错误的是（ ）
A．𝑎= 3𝑏
B．𝑎> 3
2
C．2𝑎+ 3𝑐= 0
D．𝑏< 1
2
【答案】B
【分析】本题考查了整式的加减，方程组的解法，不等式的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
先由𝑎=
𝑎+𝑏−𝑐
2
，𝑐=
−𝑎−𝑏+𝑐
3
，整理得𝑎−𝑏+ 𝑐= 0①，𝑎+ 𝑏+ 2𝑐= 0②，然后通过整式的加减，方程组的解
法，不等式解法逐一排除即可．
【详解】解：∵𝑎=
𝑎+𝑏−𝑐
2
，𝑐=
−𝑎−𝑏+𝑐
3
，
∴𝑎−𝑏+ 𝑐= 0①，𝑎+ 𝑏+ 2𝑐= 0②，
A、①× 2−②得：𝑎−3𝑏= 0，
∴𝑎= 3𝑏，原选项正确，不符合题意；
B、①+ ②得2𝑎+ 3𝑐= 0，
∵𝑎= 3𝑏，
∴𝑏=
𝑎
3，𝑐= −
2𝑎
3 ，
∵𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 1，
∴𝑎+ 𝑎
3−2𝑎
3 < 1，
∴2𝑎
3 < 1，
∴𝑎<
3
2，原选项错误，符合题意；
C、①+ ②得2𝑎+ 3𝑐= 0，原选项正确，不符合题意；
D、∵𝑎= 3𝑏，2𝑎+ 3𝑐= 0，
∴𝑐= −2𝑏，
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专题05 不等式与不等式组（解析版）
第 50 页 共 55 页
∵𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 1，
∴3𝑏+ 𝑏−2𝑏< 1，
∴𝑏<
1
2，原选项正确，不符合题意；
故选：B．
4．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则𝑥的取值范围为（ ）
A．1 < 𝑥≤4
B．1 ≤𝑥< 4
C．2 ≤𝑥< 5
D．2 < 𝑥≤5
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据题意可知第一次运算的结果要小于等于13，则
3𝑥+ 1 ≤13，第二次运算的结果要大于13，则3(3𝑥+ 1) +1 > 13，据此建立不等式组求解即可．
【详解】解：由题意得，
3𝑥+ 1 ≤13
3(3𝑥+ 1)+ 1 > 13
，
解得1 < 𝑥≤4，
故选：A．
5．关于𝑥的方程2(𝑥−3𝑎) = 𝑎−7的解是非负整数，且关于𝑦的不等式组
6𝑦−𝑎> 2(𝑦−1)−1
4𝑦+3
3
−2 ≤𝑦
有且仅有3 个整
数解，则满足条件的所有整数𝑎的和为（ ）
A．8
B．12
C．15
D．18
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及一元一次方程的解．先根据所给方程的解为非负整
数，得出𝑎的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3 个即可解决问题．
【详解】解：由方程2(𝑥−3𝑎) = 𝑎−7得：𝑥=
7𝑎−7
2 ，
∵关于𝑥的方程2(𝑥−3𝑎) = 𝑎−7的解是非负整数，
∴7𝑎−7
2
≥0，
解得𝑎≥1，
解不等式组
6𝑦−𝑎> 2(𝑦−1)−1
4𝑦+3
3
−2 ≤𝑦
得：
𝑎−3
4 < 𝑦≤3，
∵此不等式组有且仅有3 个整数解，
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专题05 不等式与不等式组（解析版）
第 51 页 共 55 页
∴0 ≤𝑎−3
4 < 1，
解得：3 ≤𝑎< 7，
∴3 ≤𝑎< 7，
∵关于𝑥的方程2(𝑥−3𝑎) = 𝑎−7的解是非负整数，𝑥=
7𝑎−7
2 ，
∴符合条件的所有整数𝑎的和是：3 + 5 = 8，
故选：A．
6．已知关于𝑥的不等式组
−𝑥+ 3𝑎≥𝑏
3𝑥−4𝑎≥2𝑏+ 6
的解集是2 ≤𝑥≤5，则(3𝑎+ 𝑏)2025的值是（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和二元一次方程组的解法．先分别解不等式，再根据“同
大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”求出不等式组的解集，因为题目告知不等式组解集，
即可求出答案．
【详解】解：
−𝑥+ 3𝑎≥𝑏①
3𝑥−4𝑎≥2𝑏+ 6②
，
由①得：𝑥≤3𝑎−𝑏，
由②得：𝑥≥
2𝑏+6+4𝑎
3
，
∴此不等式组的解集为：
2𝑏+6+4𝑎
3
≤𝑥≤3𝑎−𝑏，
由题可知：此不等式组的解集为：2 ≤𝑥≤5，
∴
3𝑎−𝑏= 5
2𝑏+6+4𝑎
3
= 2
，
解得：𝑎= 1
𝑏= −2
，
∴(3𝑎+ 𝑏)2025 = (3−2)2025 = 1．
故选：C．
7．已知关于𝑥的不等式组𝑥≤3
𝑥> 𝑎
下列四个结论：
①若𝑎= −3，则𝑥= 2是该不等式组的一个解；
②若该不等式组无解，则𝑎> 3；
③若该不等式组的解集为−5 < 𝑥≤3，则𝑎= −5；
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专题05 不等式与不等式组（解析版）
第 52 页 共 55 页
④若该不等式组只有三个整数解，则0 < 𝑎≤1．
其中正确的结论个数（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，理解一元一次不等式组的解集的概念是解题的关键．
根据不等式组的解集对各小题的结论分析即可．
【详解】解：∵关于𝑥的不等式组𝑥≤3
𝑥> 𝑎
，
∴当𝑎= −3时，−3 < 𝑥≤3，
∴𝑥= 2是该不等式组的一个解，故①正确；
∵不等式组𝑥≤3
𝑥> 𝑎
无解，
∴𝑎≥3，故②错误；
∵关于𝑥的不等式组𝑥≤3
𝑥> 𝑎
的解集为−5 < 𝑥≤3，
∴𝑎= −5，故③正确；
∵不等式组𝑥≤3
𝑥> 𝑎
只有三个整数解，
∴0 ≤𝑎< 1，故④错误；
∴正确的序号为①③，
故选B．
8．我们用[𝑎]表示不大于𝑎的最大整数；用⟨𝑎⟩表示大于𝑎的最小整数．下列说法：
① [2.5] = 2，；
②如果
𝑥+1
2
= 4，则满足条件的所有正整数𝑥只有7和8；
③已知𝑥，𝑦满足方程组2[𝑥]+ 3⟨𝑦⟩= 7
3[𝑥]−⟨𝑦⟩= −6
，则𝑥，𝑦的取值范围−1 < 𝑥< 0，2 < 𝑦< 3．
其中正确的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】本题考查新定义的运算，解二元一次方程组，解不等式组，按照题目所给的新定义逐一判断即可，
学会新定义并且掌握运算法则是解题的关键．
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专题05 不等式与不等式组（解析版）
第 53 页 共 55 页
【详解】解：① [2.5] = 2，，正确，
②∵𝑥+1
2
= 4，
∴4 ≤𝑥+1
2 < 5，
解得：7 ≤𝑥< 9，
∴所有正整数𝑥只有7和8，故②正确；
③解方程组2[𝑥]+ 3⟨𝑦⟩= 7
3[𝑥]−⟨𝑦⟩= −6
得：[𝑥]= −1
⟨𝑦⟩= 3
，
∴−1 ≤𝑥< 0，2 ≤𝑦< 3，故③错误，
∴正确的为①②，正确的个数为2个，
故选：C．
9．在乡村振兴的春风吹拂下，渠县立足生态优势，将耙耙柑，柠檬等水果化作致富“金果”耙耙柑的进价是3
元/千克，柠檬的进价是4 元/千克；李老板从水果基地购进耙耙柑的重量比柠檬重量的3 倍多20 千克，一
共花费840 元；为方便销售，定价均为7 元/千克．
(1)李老板购进耙耙柑和柠檬各多少千克？
(2)若平均每天卖出耙耙柑和柠檬共50 千克，每天利润不少于186 元，则每天卖出的耙耙柑至少是多少千克？
(3)由于天气炎热，当耙耙柑还剩余60 千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的耙耙柑进行打折销售，为
确保销售耙耙柑的总利润不低于716 元，最低可以打多少折？
【答案】(1)购进柠檬60 千克，购进耙耙柑200千克
(2)每天卖出的耙耙柑至少是36 千克
(3)最低可以打8 折
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据等量关系列出方程，根据不
等关系列出不等式，是解题的关键．
（1）设李老板购进柠檬𝑥千克，则李老板购进耙耙柑为(3𝑥+ 20)千克，根据“柠檬的进价是4 元/千克，耙
耙柑的进价是3 元/千克，一共花费840 元”，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设耙耙柑的日销售量是𝑦千克，则柠檬的日销售量是(50−𝑦)千克，根据“每天利润不少于536 元”，列
出一元一次不等式，解不等式即可得出答案；
（3）设耙耙柑打𝑚折销售，根据“销售耙耙柑的总利润不低于716 元”，列出一元一次不等式，解不等式即
可得出答案；
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专题05 不等式与不等式组（解析版）
第 54 页 共 55 页
【详解】（1）解：设李老板购进柠檬𝑥千克，则李老板购进耙耙柑为(3𝑥+ 20)千克，
根据题意得：3(3𝑥+ 20) +4𝑥= 840，
解方程得𝑥= 60，
3 × 60 + 20 = 200（千克）
答：购进柠檬60 千克，购进耙耙柑200千克；
（2）解：设耙耙柑的日销售量是𝑦千克，则柠檬的日销售量是(50−𝑦)千克，根据题意，得：
(7−3) × 𝑦+ (7−4) × (50−𝑦) ≥186，
解不等式，得：𝑦≥36，
答：每天卖出的耙耙柑至少是36 千克；
（3）解：设耙耙柑打𝑚折销售，根据题意得：
耙耙柑的总利润为：(7−3) × (200−60) + 7 × 𝑚
10 −3 × 60 ≥716，
解不等式得：𝑚≥8，
答：最低可以打8 折．
10．随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的
主角．某电车生产车间现有𝐴、𝐵两个工种的工人，其中𝐴工种有300 人，𝐵工种有200 人，且同类工种工人
月工资相同．已知6 个𝐴种工人的月工资与5 个𝐵种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540
万元．
(1)𝐴、𝐵两个工种工人的月工资分别为多少万元；
(2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘𝐴、𝐵两个工种工人共60 人．其中，再招聘的𝐵工种工
人不超过再招聘的𝐴工种工人的
7
3，且最终车间所有𝐴工种工人的数量与车间所有𝐵工种工人的数量之差不高
于80 人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这
．．．60 个工人工资总
．．．．．．额最少，最少为多少？
【答案】(1)A 工种工人的月工资为1 万元，B 工种工人的月工资为1.2 万元
(2)三种招聘方案：①招聘𝐴工种工人18人，𝐵工种工人42人；②招聘𝐴工种工人19人，𝐵工种工人41人；③
招聘𝐴工种工人20人，𝐵工种工人40人；方案③可使每月付给这60 个工人的工资总额最少，最少为68 万元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（其他问题），一元一次不等式组的其他应用等知识点，读
懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程或不等式组是解题的关键．
（1）设𝐴工种工人的月工资为𝑥万元，则𝐵工种工人的月工资为
6
5𝑥万元，根据题意列方程求解即可；
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专题05 不等式与不等式组（解析版）
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（2）设再招聘𝐴工种工人𝑎人，则再招聘𝐵工种工人(60−𝑎)人，根据题意列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设𝐴工种工人的月工资为𝑥万元，则𝐵工种工人的月工资为
6
5𝑥万元，
根据题意可列方程：300𝑥+ 200 × 6
5𝑥= 540，
解得：𝑥= 1，
则
6
5𝑥= 1.2，
∴𝐴、𝐵两个工种工人的月工资分别为1 万元、1.2 万元；
（2）解：设再招聘𝐴工种工人𝑎人，则再招聘𝐵工种工人(60−𝑎)人，
根据题意可列不等式组：
60−𝑎≤7
3 𝑎
(300 + 𝑎)−(200 + 60−𝑎)≤80
，
解得：18 ≤𝑎≤20，
∵𝑎为整数，
∴𝑎的值为18、19、20，
∴该车间共有三种招聘方案：
①招聘𝐴工种工人18人，𝐵工种工人42人；
②招聘𝐴工种工人19人，𝐵工种工人41人；
③招聘𝐴工种工人20人，𝐵工种工人40人；
∵𝐴工种工人的月工资比𝐵工种工人的月工资低，
∴招聘𝐴工种工人越多，每月付给这60个工人的工资总额越少，
∴招聘𝐴工种工人20人，𝐵工种工人40人时，每月付给这60个工人的工资总额最少，最少为
20 × 1 + 40 × 1.2 = 68万元，
答：该车间共有三种招聘方案：①招聘𝐴工种工人18人，𝐵工种工人42人；②招聘𝐴工种工人19人，𝐵工种
工人41人；③招聘𝐴工种工人20人，𝐵工种工人40人；方案③可使每月付给这60个工人的工资总额最少，
最少为68 万元．
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