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专项训练06 一元一次方程中含参数问题
【知识点1 一元一次方程中含参数问题】
1. 解的情况判定：系数定乾坤
对于一元一次方程ax = b（a、b 可为含参表达式）：
- 唯一解：a≠0，解为x =
𝑏
𝑎。
- 无数解：a = 0 且b = 0，方程化为0*x = 0 ，任意实数均为解。
- 无解： a = 0 且b≠ 0，方程化为0*x = b（b≠0），无解。
> 关键：含参方程先化为标准形式ax = b ，再按上述原则分情况讨论。
2. 解的特征条件：正负、整数、相等
- 解的正负：先解出x = f(m)（含参表达式），再列不等式：
- x > 0、x < 0、x≥0 等。
- 解为整数： f(m) 为整数，常结合整除性求参数（如m 为整数，f(m)需能被某数整除）。
- 解相等：若两个含参方程的解相同，先分别解出x1 = f(m) 、x2 = g(m)，再令f(m) = g(m)求参数。
3. 同解与错解问题：代入法破题
- 同解方程：
- 两个方程解相同，可用“解一方程，代入另一方程”求参数；
- 或分别用含参式子表示解，令其相等。
- 错解问题（看错系数）：
- 如“看错a 得解 x0”，则将x0 代入未看错的方程部分，反求参数；
- 关键：分清哪个系数看错，哪个没看错，代入正确的方程。
【题型1 利用一元一次方程的定义求字母参数】
1．已知方程
2
3
2026
0
m
m
x
是关于x 的一元一次方程，则m 的值为______．
【答案】3
【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此列出关于m 的等
.
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式和不等式，求解即可得到m 的值．
【详解】解：∵方程
2
3
2026
0
m
m
x
是关于x 的一元一次方程，
∴
2
1
3
0
m
m
，
∴
3
3
m
m
，
3
3
m
m
，
∴
3
m
．
2．如果关于x 的方程
1
2
4
7
m
m
x
是一元一次方程，则m _____．
【答案】0
【分析】本题考查一元一次方程的定义，关键是根据“只含一个未知数、未知数次数为1、系数不为0”这三
个条件列方程和不等式求解．
【详解】解：∵关于x 的方程
1
2
4
7
m
m
x
是一元一次方程，
∴
1
1
m
，即
1
1
m 或
1
1
m ，解得
2
m
或
0
m
；
且
2
0
m
，解得
2
m
；
综上，
0
m
；
故答案为：0 ．
【题型2 利用一元一次方程的解求字母或代数式的值】
3．若
2
x
是关于x 的一元一次方程
1
2
mx
n
的解，则3
4
2
m
n
的值是______．
【答案】2
【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，把
2
x
代入方程得
1
2
2
m
n
，再整体代入代数式
计算即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵
2
x
是方程
1
2
mx
n
的解，
∴
1
2
2
m
n
，
∴
1
4
2
2 2
2
1
2
m
n
m
n
，
∴
3
4
2
3
1
2
m
n
，
故答案为：2 ．
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4．若
3
x
是关于x 的一元一次方程
2
0
ax
b
的解，则代数式4
3a
b
的值为_________．
【答案】6
【分析】根据方程解的定义，将
3
x
代入方程
2
0
ax
b
得到3
2
a
b
，然后代入代数式4
3a
b
求值
即可．
【详解】解：∵
3
x
是关于x 的一元一次方程
2
0
ax
b
的解，
∴3
2
a
b
，
∴
4
3
4
3
4
2
6
a
b
a
b
．
【题型3 利用一元一次方程的解相同求字母参数】
5．若关于x 的方程2
3
1
0
x
m
和方程
5
3
1
2
x
同解，则m 的值等于______．
【答案】1
3
【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先根据题意，得
0
x
，再把
0
x
代入
2
3
1
0
x
m
，即可求出m 的值作答．
【详解】解：∵关于x 的方程2
3
1
0
x
m
和方程
5
3
1
2
x
同解，
∴由
5
3
1
2
x
解得
0
x
则把
0
x
代入2
3
1
0
x
m
，
得2 0
3
1
0
m
解得
1
3
m
故答案为：1
3
6．若方程
2
1
3
8
x
x
的解与关于x 的方程
1
2
3
x
x
m
的解相同，则m 的值为_____．
【答案】
1
6
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，正确计算是解题的关键．先解方程
2
1
3
8
x
x
得到
2
x
，再代入方程
1
2
3
x
x
m
求解m ．
【详解】解：
2
1
3
8
x
x
，
解得
2
x
．
将
2
x
代入方程
1
2
3
x
x
m
，
得2 1
2
2
3
m
，即1
2
2
3
m
．
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解得，
1
6
m
．
故答案为：
1
6
．
【题型4 求一元一次方程含字母参数的方程的解】
7．若关于x 的方程
1
3
2
2026
x
x
a
的解为
4
x ，则关于y 的方程
1
3
2
2
2
2026
y
y
a
的解为
________．
【答案】
6
y
【分析】利用整体换元思想，将第二个方程中的
2
y
看作第一个方程中的x ，结合已知第一个方程的解求
解y ．
【详解】解：设
2
t
y
，则方程
1
3
2
2
2
2026
y
y
a
可化为
1
3
2
2026
t
t
a
，
∵方程
1
3
2
2026
x
x
a
的解为
4
x ，
∴方程
1
3
2
2026
t
t
a
的解为
4
t ，
即
2
4
y + = -
，
解得
6
y ．
8．关于x 的一元一次方程
2026
2026
x
x
a
的解是
10
x
，则关于y 的一元一次方程
2
2026
4052
2026
y
y
a
的解是___________．
【答案】
8
y
【分析】本题考查了一元一次方程的解的关系．
将
2
2026
4052
2026
y
y
a
化为
2
2026
2
2026
y
y
a
，可知
10
2
y
x
，求解即可．
【详解】解：∵
2
2026
4052
2026
y
y
a
可化为
2
2026
2
2026
y
y
a
，
∴方程
2
2026(
2)
2026
y
y
a
与方程
2026
2026
x
x
a
的结构相同，
即
10
2
y
x
，
解得
8
y
．
故答案为：
8
y
．
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【题型5 一元一次方程含字母参数的解为整数解问题】
9．关于x 的方程2
1
2
7
ax
x
的解是正整数，则满足条件整数a 的和是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值．把a 看作已
知数表示出方程的解，由方程的解为正整数，确定出整数a 的值即可．
【详解】解：方程整理得：
1
3
a
x
，
解得：
3
1
x
a
，
由方程的解为正整数，即
3
1
a 为正整数，
∴
1 1
a 或3，
∴整数
2
a
，4 共2 个，和为2
4
6
；
故答案为：6．
10．已知关于x 的方程
1
2
1
kx
x
的解为整数，且k 为整数，则满足条件的所有k 值的和为
．
【答案】8
【分析】本题考查一元一次方程的解和一元一次方程的解法．先求方程的解得
3
2
x
k
，再由已知可得
2
1
k
或
2
3
k
，求出k 的值即可．
【详解】解：
1
2
1
kx
x
，
去括号得，
1
2
2
kx
x
，
移项、合并同类项，得
2
3
k
x
，
解得
3
2
x
k
，
∵方程的解为整数，
∴
2
1
k
或
2
3
k
，
∴
3
k
或
1
k 或
5
k
或
1
k ，
∴所有k 值的和为3 1 1 5
8
故答案为：8
【题型6 一元一次方程含字母参数的新定义型问题】
11．我们定义：若关于x 的一元一次方程ax
b
的解满足x
b
a
，则称该方程是“差解方程”，例如：3
4.5
x
的解为
4.5
3
1.5
x
，则该方程3
4.5
x
就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：
【定义理解】
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（1）判断：方程2
4
x
_______差解方程；（填“是”或“不是”）
（2）若关于x 的一元一次方程4
3
x
m
是“差解方程”，求m 的值；
【知识应用】
（3）已知关于x 的一元一次方程4x
ab
a
是“差解方程”，求
3 ab
a
的值．
【答案】（1）是；（2）
25
3
m
；（3）16
【分析】此题考查了方程的解和解一元一次方程、求代数式的值，整体代入和正确理解新定义是解题的关
键．
（1）根据差解方程的定义进行验证即可；
（2）将方程4
3
x
m
变形为4
3
x
m
，根据差解方程的定义，其常规解需等于其差解值，故可列出方程
3
(
3)
4
4
m
m
，解此方程即可得到答案；
（3）根据差解方程的定义求出
4
4
ab
a
ab
a
，整理得到
3
16
ab
a
即可求出答案．
【详解】（1）解：∵2
4
x
的解是
2
x
，且4
2
2
，
∴方程2
4
x
是“差解方程”，
故答案为：是；
（2）解：4
3
x
m
4
3
x
m
，
解得
3
4
m
x
，
∵方程4
3
x
m
是“差解方程”，即4
3
x
m
是“差解方程”，
∴
3
4
7
x
m
m
∴
3
7
4
m
m
，
3
4
7
m
m
3
4
28
m
m
解得
25
3
m
；
（3）解：根据题意，得
4
4
ab
a
ab
a
，
∴
4
16
ab
a
ab
a
，
∴
3
16
ab
a
．
12．中考新趋势·新定义 定义：关于x 的方程
0
ax
b
与方程
0
bx
a
（a，b 均为不等于0 的常数）称互
为“反对方程”，例如：方程2
1
0
x
与方程
2
0
x
互为“反对方程”．
(1)若关于x 的方程2
3
0
x
与方程3
0
x
c
互为“反对方程”，则c _______；
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(2)若关于x 的方程2
3
x
d
与其“反对方程”的解都是整数，求整数d 的值；
(3)已知关于x 的一元一次方程2026
5
7
2027 x
x
m
的解为
1
2
x
，那么关于y 的一元一次方程
2026
5
2
7
2027
m
y
的解为_______．（请直接写出答案）
【答案】(1)2
(2)d 的值为1
或5
(3)
4
y
【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）根据“反对方程”的定义，进行求解即可；
（2）求出两个方程的解，根据解为整数，进行求解即可；
（3）根据互为“反对方程”的解互为倒数，根据换元法，得到
2
2
y
，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x 的方程2
3
0
x
与方程3
0
x
c
互为“反对方程”，
∴
2
c
；
故答案为：2；
（2）2
3
x
d
变形为
2
3
0
x
d
，
由题意可知方程
2
3
0
x
d
的“反对方程”为
3
2
0
d x
．
解
2
3
0
x
d
，得
3
2
d
x
．
解
3
2
0
d x
，得
2
3
x
d
．
因为
2
3
0
x
d
与
3
2
0
d x
的解都是整数，
所以
3
2
d
x
与
2
3
x
d
都是整数，且d 为整数，
所以当
1
d 或5
时，3
2
d
与
2
3
d
都是整数，
故整数d 的值为1
或5
；
（3）由题可知
2026
7
5
0
2027
x
m
的解为
1
2
x
．
由题意得，互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数，
所以
2026
5
7
0
2027
m
x
的解为
2
x ，
将
2026
5
2
7
2027
m
y
变形为
2026
5
2
7
0
2027
m
y
，
所以
2
2
y
，
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所以关于y 的一元一次方程
2026
5
2
7
2027
m
y
的解为
4
y
．
1．若关于x 的方程3
10
x
a
的解为
2
x
，则a 的值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【分析】本题考查一元一次方程解的性质，将已知解代入方程，解关于a 的一元一次方程即可．
【详解】解：已知方程3
10
x
a
的解为
2
x
，
将
2
x
代入方程：3 2
10
a
，
解得：
4
a
．
故选：A．
2．已知方程2
5
0
a
x
是关于x 的一元一次方程，则a 的值是（ ）
A．1
B．1
C．1
D．2
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的定义．
根据一元一次方程的定义，未知数的次数必须为1，且系数不为0，由此确定
1
a
，求解a 的值即可．
【详解】解：由题意，方程2
5
0
a
x
是关于x 的一元一次方程，
因此x 的指数a 必须为1．
即
1
a
，
得
1
a 或
1
a ，
即a 的值为1
．
故选：C．
3．王涵同学在解关于x 的方程1
9
3
2
2
x
a
时，误将“ 1
2 x ”看作“ 1
3 x ”，得到方程的解为
9
2
x
，那么原方程
的解为（ ）
A．
2
x
B．
3
x
C．
3
x
D．
1
x
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用．先按1
9
3
3
2
x
a
计算出
27
9
2
x
a
，再
将9
27
9
2
2
a
计算出a 的值，代入原方程再一次解方程即可得出答案．
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【详解】解：王涵同学在解关于x 的方程1
9
3
2
2
x
a
时，误将“ 1
2 x ”看作“ 1
3 x ”，得到方程的解为
9
2
x
，
1
9
3
2
3 x
a
，
解得：
27
9
2
x
a
，
9
27
9
2
2
a
，
1
a
，
原方程为1
9
3
2
2
x
，
解得：
3
x
，
故选：B．
4．已知关于x 的方程
2
2
6
3
ax
x
x
有整数解，则a 的所有可能的取值的和为( )
A．18
B．23
C．32
D．39
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一般
步骤解方程，再根据整数的定义将a 的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解：
2
2
6
3
ax
x
x
去分母，得
6
2
2
12
x
ax
x
去括号，得6
2
2
12
x
ax
x
移项、合并同类项，得
4
10
a x
将系数化为1，得
10
4
x
a
10
4
x
a
是整数解
∴4
1, 2, 5, 10
a
5
a
或3
，2
，6
，1，9
，6 ，14
则5
3
2
6 1 9
6 14
32
故选：C．
5．下列结论：
①若
1
x 是关于x 的方程
0
a
bx
c
的一个解，则
0
a
b
c
；
②若(
1)
(
1)
a x
b x
有唯一的解，则a
b
；
③若
2
b
a
，则关于x 的方程
0(
0)
ax
b
a
的解为
1
2
x
；
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④若
1
a
b
c
，且
0
a
，则
1
x 一定是方程
1
ax
b
c
的解；
其中结论正确个数有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【分析】本题主要考查了方程解的定义，解一元一次方程；方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知
数的值，理解定义是关键．方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方
程中的未知数，所得到的式子左右两边相等，根据方程的解的定义，逐项分析判断，即可求解．
【详解】①把
1
x 代入
0
a
bx
c
得：
0
a
b
c
，故结论①正确；
②方程(
1)
(
1)
a x
b x
可化简为(
)(
1)
0
a
b x
．
若a
b
，则方程解为
1
x （唯一解）．
若a
b
，方程变为0
0
，有无穷多解．
题目中“有唯一解”需满足a
b
，故结论②正确．
③
2
b
a
，则
2
b
a
，方程移项，得：ax
b
，则
2
b
x
a
，则结论③错误；
④把
1
x 代入ax
b
c
a
b
c
1，方程一定成立，则
1
x 一定是方程
1
ax
b
c
的解，结论④正
确．
故选：B．
6．若
3
x
是方程2
10
x
a
的解，则a
．
【答案】4
【分析】本题考查了一元一次方程的解求参数，把方程的解代入计算即可．
【详解】解：若
3
x
是方程2
10
x
a
的解，
∴2 3
10
a
，
解得，
4
a
，
故答案为：4 ．
7．小玉在解方程2
1
1
3
2
x
x
a
去分母时，方程右边的“ 1
”项没有乘6．因而求得的解是
10
x
，则
a ．
【答案】3
【分析】本题考查解整式方程．根据题意利用错误计算还原，即可得到本题答案．
【详解】解：由小玉的解法可知去分母后的方程为
2(2
1)
3(
) 1
x
x
a
，
解得
3
1
x
a
，
∵
10
x
，
∴3
1
10
a
，
解得
3
a
．
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故答案为：3．
8．若关于x 的方程2
2
3
6
kx
m
x
nk
，无论k 为任何数时，它的解总是
1
x ，则m
n
．
【答案】21
2
【分析】本题主要考查了一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解．
整理原式得出
4
1
12
2
k
x
nk
m
，根据方程的解为1，得出
4,12
2
1
n
m
，然后代数求解即可．
【详解】解：2
2
3
6
kx
m
x
nk
4
2
12
kx
m
x
nk
4
1
12
2
k
x
nk
m
把
1
x 代入得：4
1
12
2
k
nk
m
，
∴
4,12
2
1
n
m
，
∴
13
2
m
，
∴
13
21
4
2
2
m
n
，
故答案为：21
2 ．
9．若方程
1
2
0
m
m
x
是关于x 的一元一次方程，则代数式
2024
1
m
m
的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元一次方程的定义以及代数式求值．根据一元一次方程的定义，可求出m 的值．在
将m 代入代数式计算即可．
【详解】解：∵
1
2
0
m
m
x
是关于x 的一元一次方程，
∴
1
m ，
1
0
m
，
∴
1
m ，
∴
2024
2024
1
1
1 1
1
m
m
，
故答案为：1．
10．k 是一个正整数，关于x 的一元一次方程
2
9
2
kx
k
x
有正整数解，则k
．
【答案】3或5 或11
【分析】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求字母的值，先求出一元一次方程的解，然后根据一元
一次方程有正整数解确定k 的取值即可，正确求出一元一次方程的解是解题的关键．
【详解】解：∵
2
9
2
kx
k
x
，
∴
2
2
9
kx
k
x
，
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∴
2
9
k
x
，
∵关于x 的一元一次方程
2
9
2
kx
k
x
有正整数解，
∴
2
0
k
，
∴
9
2
x
k
，
∴
2
1
k
或3或9，
∴
3
k
或5 或11，
故答案为：3或5 或11．
11．已知关于x 的方程
4
3
1
6
2
1
x
a
x
a
的解与
5
3
4
10
x
x
的解互为相反数．
(1)求a 的值；
(2)求代数式
3
a
a
的值．
【答案】(1)
2
a
(2) 6
【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解．
（1）先求出第二个方程的解，得出第一个方程的解是
5
x ，把
5
x 代入第一个方程，再求出a 即可；
（2）将（1）中所得a 的值代入所求式子计算即可．
【详解】（1）解：解方程
5
3
4
10
x
x
得：
5
x
，
∵两个方程的解互为相反数，
∴另一个方程的解为
5
x ，
把
5
x 代入方程
4
3
1
6
2
1
x
a
x
a
得：
4
5
3
1
6
5
2
1
a
a
，
解得：
2
a
；
（2）解：∵
2
a
，
∴
3
3
2
2
2
8
6
a
a
．
12．（1）已知
4
x
是方程
3
2
2
x
m
x
m
的解，求m 的值；
（2）方程
2 1
1
x
x
的解与方程
2
3
x
m
x
m
的解相同，求m 的值．
【答案】（1）2
3 ；（2）
5
4
m
【分析】本题考查方程的解，同解方程，熟练掌握方程的解的定义，解一元一次方程的步骤是解题的关键：
（1）把
4
x
代入方程，进行求解即可；
（2）求出方程
2 1
1
x
x
的解，再把解代入
2
3
x
m
x
m
中，进行求解即可．
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【详解】解：（1）把
4
x
代入
3
2
2
x
m
x
m
，得：
3
2 4
4
2
m
m
，
∴8
2
6
m
m
，
解得：
2
3
m
；
（2）∵
2 1
1
x
x
，
∴2
2
1
x
x
，
解得：
1
x ，
把
1
x 代入
2
3
x
m
x
m
，得：1
2
3
m
m
，
∴1
6
3
m
m
，
解得：
5
4
m
．
13．【定义】若关于x 的一元一次方程 ax
b
的解满足x
b
a
，则称该方程为“友好方程”．例如：方程2
4
x
的解为
2
x ，而4
2
2
，则该方程为“友好方程”．
(1)在方程①1
1
2 x ；②
16
4
3
x = -
中，为“友好方程”的是_____；（填序号）
(2)若关于x 的一元一次方程2
2
1
x
m
是“友好方程”，求m 的值．
【答案】(1)②；
(2)
1
6
m
．
【分析】此题主要考查解一元一次方程，正确理解“友好方程”的定义是解题的关键．
（1）先求出一元一次方程的解，再检验方程的解是否满足“友好方程”的概念，即可判断求解；
（2）根据“友好方程”的定义得到
2
1
x
m
，代入2
2
1
x
m
求解即可．
【详解】（1）解：①1
1
2 x ，
解得：
2
x ，
因为1
1
1
2
2
2
，
所以该方程不是“友好方程”；
②
16
4
3
x = -
，
解得：
4
3
x
，
因为
16
4
4
3
3
，
所以该方程是“友好方程”；
故答案为：②；
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（2）解：∵关于x 的一元一次方程2
2
1
x
m
是“友好方程”，
∴
2
1
2
2
1
x
m
m
，
即
2 2
1
2
1
m
m
，
∴4
2
2
1
m
m
，
解得：
1
6
m
．
1．若
1
x 是一元一次方程
2
1
ax
b
的解，则5
2
4
a
b
的值为（ ）
A．3
B．3
C．4
D．4
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据题意得出
2
1
a
b
，代入代数式计算即可．
【详解】解：
1
x 是一元一次方程
2
1
ax
b
的解
2
1
a
b
，
5
2
4
5
2
2
5
2 1
3
a
b
a
b
，
故选：A ．
2．若关于x 的方程
2026
2024
6
2026
1
k
x
x
的解是整数，则整数k 的取值有（ ）
A．6 个
B．5 个
C．3 个
D．2 个
【答案】A
【分析】本题考查了解含参一元一次方程的整数解问题，把字母k 当成已知数解方程，再根据x 为整数确定
k 的值，最后统计k 的个数即可．
【详解】解：
2026
2024
6
2026
1
k
x
x
可化为：
2026
2024
6
2026
2026
kx
x
x
，
即：
4
kx
.
4
x
k
.
又x
k
，为整数，
1
k
或
2
k 或
4
k .
故选：A ．
3．已知关于x 的一元一次方程2025
3
4
3
x
x
b
-
=
+
的解为
3
x
，则关于y 的一元一次方程
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(
)
(
)
2025 1
3
4 1
3
y
y
b
-
+ =
-
-
的解为（ ）
A．
4
y
B．
5
y
C．
4
y
D．
5
y
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的解，将两个方程化为相同的形式，根据2025
3
4
3
x
x
b
-
=
+
的解求出y 的值
即可．
【详解】解：方程2025
3
4
3
x
x
b
-
=
+
可化为2021
3
3
x
b
=
+ ，方程
2025 1
3
4 1
3
y
y
b
可化为
2021
1
3
3
y
b
，
根据题意，得
1
3
y
，
解得
4
y
．
故选：C．
4．嘉嘉同学在解关于x 的方程
1
3
3
6
2
x
a
x
时，由于粗心大意，误将等号左边的“
1
6
x
”看作了
“
1
6
x
”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为
2
x
，则原方程的解是（ ）
A．
3
4
x
B．
4
3
x
C．
4
5
x
D．
5
4
x
【答案】B
【分析】本题考查求含参数一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的计算方法是解题的关键．
利用“将错就错”的方法求出a 的值，再将a 代入原方程即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：
1
3
3
6
2
x
a
x
的解为
2
x
，
将
2
x
代入
1
3
3
6
2
x
a
x
中，得：
2
2 1
3
3
6
2
a
∴
3
a
，
再将
3
a
代入
1
3
3
6
2
x
a
x
中，得：
3
1
3
3
6
2
x
x
∴
4
3
x
，
故选：B．
5．如果关于x 的方程
2
1
2
1
m
x
x
无解，那么m 满足的条件是 ．
【答案】3
2
【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程无解，可得答案，利用一元一次方程无解得出
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关于m 的方程是解题关键．
【详解】解：∵关于x 的方程
2
1
2
1
m
x
x
无解，
∴2
1
2
0
m
，
解得：
3
2
m
，
故答案为：3
2 ．
6．已知关于x 的方程
4
2
1
6
3
2
ax
x
x
的解是非正整数，则符合条件的所有整数a 的和是
．
【答案】14
【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法，一元一次方
程的解是解题的关键．根据解一元一次方程的方法求出
5
4
x
a
，然后再根据方程的解为非正整数，可得
5
0
4
a
，进而得出4
a
的值为5
，1
，分别求出a 的值求和即可．
【详解】解：
4
2
1
6
3
2
ax
x
x
，
去分母，得
6
4
2
2
3
x
ax
x
，
去括号，得6
4
2
4
3
x
ax
x
，
移项、合并同类项，得
4
5
a x
，
解得：
5
4
x
a
．
要想使方程的解为非正整数，则整数a 满足：
5
0
4
a
，
4
a
是负整数，且能整除5，
4
a
的值为5
，1
，
当4
5
a
时，解得：
9
a ，
当4
1
a
时，解得：
5
a ，
符合条件的所有整数a 的和为：
9
5
14
．
故答案为：14
．
7．例如“已知关于x 的方程2x
a
b
的解为
2
x
，求关于y 的方程2(
2)
y
a
b
的解．”可以这样解：可
得
2
2
y
，所以
4
y
．若关于x 的方程2
x
m
n
的解是
3
x
，且式子(
)
2
a
b
m
n
成立，则
5
2(2
) 3
a
a b
b
的值为
．
【答案】3
【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解其定义并运用是解题的关键．
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根据题意得到a
b
的值，然后化简条件式即可．
【详解】解：∵关于x 的方程2
x
m
n
的解是
3
x
，且式子(
)
2
a
b
m
n
成立，
∴有
3
a
b
，
∴
5
2 2
3
5
4
2
3
3
a
a
b
b
a
a
b
b
a
b
．
故答案为：3 ．
8．已知关于x 的一元一次方程
1
3
2
2025 x
x
b
的解为
5
x
，那么关于y 的一元一次方程
1
2
1
4
1
2025
y
y
b
的解为
．
【答案】
2
y
【分析】本题考查了换元法解一元一次方程，将关于y 的一元一次方程变形是解题的关键．
将方程
1
2
1
4
1
2025
y
y
b
变形为
1
2
1
3
2 2
1
2025
y
y
b
，
再根据方程的
1
3
2
2025 x
x
b
解为
5
x
得到2
1
5
y
，即可求解．
【详解】解：将方程
1
2
1
4
1
2025
y
y
b
变形为
1
2
1
3
2 2
1
2025
y
y
b
，
方程
1
3
2
2025 x
x
b
的解为
5
x
，
方程
1
2
1
3
2 2
1
2025
y
y
b
的解为2
1
5
y
，
解得
2
y
．
故答案为：
2
y
．
9．已知关于x 的一元一次方程
1
(
5)
3
0
n
m
x
m
，其中m 为整数
(1)求n 的值
(2)若该方程与方程2
5
3(
1)
x
x
同解，求m 的值
(3)若该方程有整数解，求m 的值
【答案】(1)2
(2)7
(3)
3
m
或
4
m
或
6
m
或
7
m
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程、一元一次方程的解等知识，熟练掌握一
元一次方程的定义是解题关键．
（1）一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1 且两边都为整式的等式，据此即可获得答
案；
（2）首先解方程2
5
3(
1)
x
x
可得
2
x ，然后将
2
x 代入方程(
5)
3
0
m
x
m
并求解，即可获得答
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案；
（3）根据题意，当
5
0
m
时，
2
1
5
x
m
，易知当(
5)
m
取1
、2
时才能使该方程有整数解
3
5
m
x
m
为整数，然后求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，方程
1
(
5)
3
0
n
m
x
m
为关于x 的一元一次方程，
∴
5
0
m
，
1
1
n ，
解得
5
m
，
2
n
，
∴n 的值为2；
（2）解方程2
5
3(
1)
x
x
，可得
2
x ，
依题意得，方程(
5)
3
0
m
x
m
的解为
2
x ，
将
2
x 代入方程(
5)
3
0
m
x
m
，
可得(
5) ( 2)
3
0
m
m
，
解得
7
m
，
∴m 的值为7；
（3）解：∵关于x 的一元一次方程
5
3
0
m
x
m
有整数解，
∴当
5
0
m
时，
3
2
1
5
5
m
x
m
m
，
∵当(
5)
m
取1
、2
时才能使该方程有整数解
3
5
m
x
m
为整数，
当
5
1
m
时，
4
m
，
当
5
1
m
时，
6
m
，
当
5
2
m
时，
3
m
，
当
5
2
m
时，
7
m
，
综上所述，
3
m
或
4
m
或
6
m
或
7
m
．
10．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立
信方程”．
(1)若“立信方程” 2
1
1
x 的解也是关于x 的方程
1
2
3
x
m
的解，则m ___；
(2)若关于x 的方程
2
3
4
0
x
x
的解也是“立信方程”
2
6
2
3
0
x
x
n
的解，则n ______；
(3)若关于x 的方程
3
2
2
3
5
4
ax
a
a
a
的解也是关于x 的方程9
3
14
x
kx
的解，且这两个方程都是“立
信方程”，求符合要求的正整数a 和正整数k 的值．
【答案】(1)1
(2)5
(3)
2
a
，
26
k
【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键．
（1）根据“立信方程”的定义解答即可；
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（2）根据
2
3
4
0
x
x
，可得
2
2
6
8
x
x
，再代入
2
6
2
3
0
x
x
n
，即可求解；
（3）先根据方程
3
2
2
3
5
4
ax
a
a
a
，得出a 的取值，再根据方程9
3
14
x
kx
，得出k 的取值，最后根
据相同的解，即可确定,a k 的值．
【详解】（1）解：2
1
1
x
2
0
x
0
x
，
将
0
x
，代入
1
2
3
x
m
得，
1
2
0
3
m
1
2
3
m
2
2
m
1
m ，
故答案为：1；
（2）解：∵
2
3
4
0
x
x
∴
2
3
4
x
x
∴
2
2
6
8
x
x
，代入
2
6
2
3
0
x
x
n
得，
8
3
0
n
，
5
n
，
故答案为：5；
（3）解：由
3
2
2
3
5
4
ax
a
a
a
，得
2
4
2
3
5
x
a
a
a
，
∵x 的值为整数，
∴4
a 为整数，且a 取正整数，
∴
1
a 或
2
a
或
4
a
当
1
a 时，
2
x ；
当
2
a
时，
1
x ；
当
4
a
时，
16
x
；
∵9
3
14
x
kx
∴
9
17
k x
∴
17
9
x
k
，
∵x 的值为整数，
∴
8
k = 或
10
k
或
26
k
，
当
8
k = 时，
17
x
；
当
10
k
时，
17
x
；
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当
26
k
时，
1
x ；
∵方程
3
2
2
3
5
4
ax
a
a
a
的解也是关于x 的方程9
3
14
x
kx
的解，
∴
2
a
，
26
k
．
11．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程3
9
x
和
2
0
x
为“友好方程”．
(1)若关于x 的方程3
0
x
m
与方程4
3
12
x
x
是“友好方程”，则m ______；若“友好方程”的两个解的
差为5，其中一个解为x
n
，则n ______．
(2)若关于x 的方程
0
2
x
m
与方程3
2
5
2
x
x
m
是“友好方程”，求m 的值．
(3)若关于x 的一元一次方程
1
3
2
2026 x
x
k
和
1
1
0
2026 x
是“友好方程”，请直接写出关于y 的一元一次
方程
1
1
3
2
2
2026 y
y
k
的解．
【答案】(1)12，2
或3
(2)
1
m
(3)
2026
y
【分析】（1）根据“友好方程”的定义进行解答，注意分类讨论；
（2）利用“友好方程”的定义求解m 的值即可；
（3）根据方程
1
1
3
2
2
2026 y
y
k
可以改写成
1
1
3
2
1
2026 y
y
k
，利用“友好方程”的定义
求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，方程4
3
12
x
x
，
解得
5
x
，
方程3
0
x
m
的解为
3
m
x
，
由于方程3
0
x
m
与方程4
3
12
x
x
是“友好方程”，
则5
1
3
m
，
解得
12
m
；
若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，另一个解为
1 n
，
①
1
5
n
n
，
解得
3
n
，
②
1
5
n
n
，
解得
2
n ，
则
3
n
或2
，
故答案为：12；2
或3；
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（2）解：方程
0
2
x
m
，解得
2
x
m
，
方程3
2
5
2
x
x
m
解得
5
4
x
m
，
由题意，得2
5
4
1
m
m
，
解得
1
m ；
（3）解：方程
1
1
0
2026 x
解得
2026
x
，
由于方程
1
1
3
2
2
2026 y
y
k
和方程
1
1
0
2026 x
是“友好方程”，
则方程
1
3
2
2026 x
x
k
的解为
1
2026
2027
x
，
将方程
1
1
3
2
2
2026 y
y
k
改写为
1
1
3
2
1
2026 y
y
k
，
则
1
2027
y + =
，即
2026
y
，
因此方程
1
1
3
2
2
2026 y
y
k
的解为
2026
y
．
12．数学课本上有这样一道题“如果代数式5
3
a
b
的值为4
﹣，那么代数式2
4 2
a
b
a
b
（
）（
）的值是多少？”
小明同学解题过程如下：
解：原式2
2
8
4
10
6
2 5
3
a
b
a
b
a
b
a
b
=
＝
＝（
）
因为5
3
4
a
b
=-
，所以原式
2
4
8
．
小明同学把5
3
a
b
作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一
种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问
题：
【尝试应用】
（1）已知a、b 互为相反数，m、n 互为倒数，则
100
2
a
b
mn
-
______．
（2）已知，当
2
x
，
3
8
ax
bx
c
的值是2023；当
2
x -
时，
3
8
ax
bx
c
的值是____．
【拓展提高】
（3）已知
1
3
2
1009 2
a
b
，
5
2
2024 6
b
c
，
1
101512
c
d
，
1
3
2
1009 2
a
b
求
(3
)
(2
)
(2
)
a
c
b
d
b
c
的值．
（4）关于x 的一元一次方程1
1
2024
2 x
x
p
的解
3
x ，解关于y 的一元一次方程
1 (
8) 1
2024(
8)
2 y
y
p
．
【答案】（1）100
；（2）2007
；（3）
1
4
；（4）
11
y
．
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【分析】本题主要考查了相反数，倒数，求代数式的值，一元一次方程的解，本题是阅读型题目，正确掌
握题干中的方法并熟练运用是解题的关键．
（1）利用相反数和倒数的意义求得a
b
mn
，
的值，代入运算即可；
（2）利用已知条件求得关于a，b，c 的值，再利用整体代入的方法解答即可；
（3）去墇括号后，重新结组，再利用整体代入的方法解答即可；
（4）利用换元的思想方法将
8
y
看成x 即可得出结论．
【详解】（1）∵a，b 互为相反数，
0.
a
b
m
n
，互为倒数，
1
mn
，
0
100
100 1
100.
2
2
a
b
mn
故答案为：100
；
(2)已知，当
2
x
，
3
8
ax
bx
c
的值是2023，
8
2
8
2023,
a
b
c
8
2
2015.
a
b
c
当
2
x -
时，
3
8
ax
bx
c
3
8
ax
bx
c
8
2
8
a
b
c
(8
2
)
8
a
b
c
2015
8
2007.
故答案为：－2007；
1
5
1
(3)
3
2
1009
2
2024
1015
,
2
6
12
a
b
b
c
c
d
，
，
(3
)
(2
)
(2
)
a
c
b
d
b
c
原式
3
2
2
a
c
b
d
b
c
(3
2 )
(2
)
(
)
a
b
b
c
c
d
1
5
1
1009
2024
1015
2
6
12
6
1
10
1009
1015
2024
12
12
12
7
10
2024
2024
12
12
1
4
；
1
(4)
(
8) 1
2024(
8)
,
2 y
y
p
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1
8
,
1
2024
,
2
y
x
x
x
p
设
则
关于x 的一元一次方程1
1
2024
2 x
x
p
的解
3
x ，
8
3
y
，
11
y
．
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