1 / 38
学科网（北京）股份有限公司
专项训练02 数轴上的动点探究问题
【知识点1 数轴上的动点探究问题】
1. 两点基础关系（距离与中点）
- 距离公式：数轴上两点A(a) 、B(b)的距离AB = |a-b| （右侧减左侧可直接去绝对值）。
- 中点公式：A、B 的中点M 对应的数为
𝑎+ 𝑏
2 （即平均数）。
- 关键：动点问题中，距离相等或中点重合是列方程的常用等量关系。
2. 动点位置表示（含时间参数）
- 匀速运动：点P 从a 出发，速度为v，运动时间为t：
- 向右运动：P(t) = a + vt ；
- 向左运动：P(t) = a - vt。
- 关键：运动方向由速度正负决定（通常设向右为正）。
- 多动点：分别用含t 的式子表示各点位置，然后建立它们之间的等量关系。
3. 核心题型与列方程策略
- 追及/相遇：
- 相遇：两动点位置相同（P(t) = Q(t) ）；
- 追及：速度快的追上慢的（位置相同且时间满足先后条件）。
- 距离问题：
- 两点距离为定值d：|P(t)-Q(t)| = d（去绝对值时分左右两种情况讨论）；
- 若可确定左右位置，直接右侧减左侧。
- 中点/定比分点：
- 某点为两动点的中点：P(t) + Q(t) = 2M （M 为定点或另一点）。
- 隐含条件：
- 时间 t≥0；
- 注意是否有“停止点”（如点到原点后折返、点到达终点停止等）。
- 多解验证：绝对值方程通常有两解，需结合运动方向或范围舍去无效解。
.
2 / 38
学科网（北京）股份有限公司
【题型1 数轴动点中的相遇问题】
1．如图，数轴上两点
,
A B （点A 在点B 的左侧，AB 表示点A 与点B 之间的距离），点A 表示的有理数为
12,
28
AB
．点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，
以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为t 秒（
0
t
）．
(1)点B 表示的数为___________，线段AB 的中点表示的数为___________；
(2)用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为___________，点Q 表示的数为___________；
(3)当t 为何值时，点P 与点Q 相遇？
(4)当
1
7
PQ
AB
时，此时点P 表示的数是多少？
【答案】(1)16，2
(2) 12
2t
，16
4t
(3)
14
3
t
(4) 4
或
4
3
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，两点间距离和数轴．
（1）设点B 表示的数为x，利用两点之间的距离公式列方程可得点B 表示的数，再利用线段中点公式可得AB
的中点表示的数；
（2）根据在数轴上点的移动规律列代数式；
（3）当P、Q 两点相遇时，P、Q 两点表示的数相等，列方程求解即可；
（4）根据
1
7
PQ
AB
，分两种情况：相遇前和相遇后，列方程求解即可．
【详解】（1）解：设点B 表示的数为x，
∵点A 表示的有理数为12,
28
AB
，
∴
12
28
x
，
解得：
16
x
，
即点B 表示的数为16，
线段AB 的中点表示的数为12 16
2
2
，
故答案为：16，2；
（2）解：∵点A 表示的有理数为12
，点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴t 秒后，点P 表示的数为12
2t
，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
3 / 38
学科网（北京）股份有限公司
∵点B 表示的数为16，点Q 从点B 出发，以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴t 秒后，点Q 表示的数为16
4t
，
故答案为：12
2t
，16
4t
；
（3）解：点P 与点Q 相遇时，12
2
16
4
t
t
，
解得
14
3
t
，
所以当
14
3
t
时，点P 与点Q 相遇；
（4）解：
1
4
7
PQ
AB
，分以下两种情况：
点P 与点Q 相遇前，
1
16
4
12
2
28
4
7
t
t
，即4
2
28
4
t
t
，
解得
4
t
，
此时点P 表示的数是：12
2
12
2 4
4
t
；
点P 与点Q 相遇后，
1
12
2
16
4
28
4
7
t
t
，即4
2
28
4
t
t
，
解得
16
3
t
，
此时点P 表示的数是：
16
4
12
2
12
2
3
3
t
．
2．在数轴上A 点在原点的左侧，所表示的数是a；B 点在原点的右侧，所表示的数是b，且a，b 满足
2
2
6
0
a
b
b
.
(1)求a，b 的值；
(2)点P、Q 是数轴上的两个动点，点P 从点A 出发沿数轴向右运动，同时点Q 从点B 出发沿数轴向右运动，
且点P 的速度是点Q 速度的2 倍，经过6 秒钟点P 与点Q 相遇，求点Q 与点P 的速度分别为每秒几个单
位；
(3)若P、Q 两点同时以（2）中各自的速度相向而行，点P 从点A 出发沿数轴向右运动，同时点Q 从点B
出发沿数轴向左运动，且点P 运动到B 点后原速返回，当点Q 到达点A 时，P、Q 停止运动，经过几秒钟，
P、Q 两点相距6 个单位长度．
【答案】(1)
12
6
a
b
，
(2)点Q 的速度为每秒3 个单位，点P 的速度为每秒6 个单位
(3)经过8
3 秒或4
3 秒或4 秒，P、Q 两点相距6 个单位长度．
【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，分类讨
论是解题的关键．
（1）由非负数的性质得出
2
0
6
0
a
b
b
，
，即可得出答案；
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
4 / 38
学科网（北京）股份有限公司
（2）由题意得出方程组，解方程组即可；
（3）分两种情况进行讨论，由题意分别得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵
2
2
6
0
a
b
b
，
∴
2
0
6
0
a
b
b
，
，
解得：
12
6
a
b
，
；
（2）解：∵点P 的速度是点Q 速度的2 倍，
设点Q 的速度为每秒x 个单位，则点P 的速度为每秒2x 个单位，
依题意，
6 2
6
12
x
x
，
解得：
3
x
，
答：点Q 的速度为每秒3个单位，则点P 的速度为每秒6 个单位；
（3）解：A 点所表示的数是12
；B 点所表示的数是6 ；
18
AB
，
当点Q 到达点A 时，需要18
6
3
秒；
设经过t 秒钟，P 、Q 两点相距6 个单位长度，
分情况讨论：
①点P 没有到达B 点，
当P 、Q 没有相遇，P 、Q 两点相距6 个单位长度时，
由题意得：6
3
18
6
t
t
，
解得：
4
3
t
；
当P 、Q 相遇后，P 、Q 两点相距6 个单位长度时，
由题意得：6
3
18
6
t
t
，
解得：
8
3
t
；
②点P 到达B 点后原速返回，
当点P 还没有追上点Q 时，
由题意得：
3
6
18
6
t
t
，
解得：
4
t
；
当点P 超过点Q 时，
由题意得：
6
18
3
6
t
t
，
解得：
8
t
（不合题意，舍去）；
综上所述，经过4
3 秒或8
3 秒或4 秒钟，P 、Q 两点相距6 个单位长度．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
5 / 38
学科网（北京）股份有限公司
【题型2 数轴动点中的相距问题】
3．如图，在数轴上点A 表示的数为a，点B 表示的数为b，点C 表示的数为c，点C 是AB 的中点．已知
10
a
，
2
c
，请回答下列问题：
(1)填空：b ________；
(2)现有两动点P，Q 在数轴上同时开始运动，其中点P 以每秒3 个单位长度的速度从点A 出发向右匀速运
动，点Q 以每秒4 个单位长度的速度从点B 出发向左匀速运动．P、Q 两点同时出发，设
0
t t
秒后点P，
Q 所表示的数分别为m，n．
①当
2
t
时，m ________，n _______，此时P，Q 两点之间的距离是_______；
②求几秒后，P，Q 之间相距4 个单位长度．
【答案】(1)14
(2)①4
；6；10；②20
7 或4 秒
【分析】（1）根据点C 是AB 的中点，即点C 到点A、B 间的距离相等，然后利用数轴上两点间的距离等
于数轴右边的数减去左边的数，即可求解；
（2）①直接根据点P 以每秒3 个单位长度的速度从点A 出发向右匀速运动，点Q 以每秒4 个单位长度的
速度从点B 出发向左匀速运动计算即可；
②根据题意列绝对值方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点A 表示的数为10
，点B 表示的数为b，点C 表示的数为2 ，点C 是AB 的中点，
2
10
12
，
∴
2 12
14
b
；
（2）解：①当
2
t
时，
10
3 2
4
m
，
14
4 2
6
n
，此时P，Q 两点之间的距离是
6
4
10
；
②∵P，Q 之间相距4 个单位长度
∴
10
3
14
4
4
t
t
，
即7
24
4
t
解得：
20
7
t
或
4
t
．
4．【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探
究数轴发现了一些重要的规律．
规律1：如图1，数轴上点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，则A 、B 两点间的距离AB 可表示为：
①AB
b
a
（即用右边点B 表示的数减去左边点A 表示的数）；
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
6 / 38
学科网（北京）股份有限公司
②
|
| |
|
AB
b
a
a
b
（即两点表示的数之差的绝对值）．
规律2：数轴上A 、B 两点的中点M 表示的数为
2
a
b
．
【简单应用】如图1，点A 在数轴上所对应的数为5
，点B 表示的数为4，P 是数轴上一动点．
（1）则A 、B 两点间的距离AB ________，A 、B 两点的中点M 表示的数为________．
（2）若A 、P 两点间的距离
6
AP
，则点P 表示的数为________．
【拓展运用】如图2，已知数轴上有A 、B 两点，分别表示的数为12
，8，点A 以每秒2 个单位的速度沿
数轴向右匀速运动，同时点B 以每秒3 个单位向左匀速运动，设运动时间t 秒（
0
t
）．
（3）用含t 的式子填空：
点A 运动t 秒后所在位置的点表示的数为________；（用含t 的式子填空）
点B 运动t 秒后所在位置的点表示的数为________；（用含t 的式子填空）
此时A 、B 两点的中点M 表示的数为________．（用含t 的式子填空）
（4）按上述方式运动，A 、B 两点经过多少秒会相遇？经过多少秒相距5 个单位长度？
【答案】（1）9，0.5
；（2）11
或1；（3）12
2t
，8
3t
，
1
2
2 t
；（4）经过4 秒会相遇；A、B
两点经过3 秒或5 秒会相距5 个单位长度．
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，并结合题意求得对应点的位置和中点位置，
（1）根据题目给定的距离公式即可求得；
（2）利用点P 与点A 的位置关系或两点表示的数之差的绝对值即可求得答案；
（3）点A 以每秒2 个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B 以每秒3 个单位向左匀速运动即可写出点A 和
点B 在t 秒后所在位置的点表示的数，结合题目所给中点表示方法即可解得答案；
（4）根据相遇的时候两个点表示的数一样列出方程求解即可；根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列
一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵点A 在数轴上所对应的数为5
，点B 表示的数为4，
∴
4
5 =9
AB
，
点M 在数轴上所对应的数为
5
4
0.5
2
2
a
b
．
故答案为：9，0.5
；
（2）∵若A、P 两点间的距离
6
6
AP
a
p
，点A 在数轴上所对应的数为5
，
当P 点在A 点左边时，则P 点的为：
5
6
11
p
a
AP
，
当P 点在A 点右边时，则P 点的为：
5
6
1
p
a
AP
，
∴点P 表示的数为11
或1，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
7 / 38
学科网（北京）股份有限公司
故答案为：11
或1；
（3）点A 运动t 秒后所在位置的点表示的数为：12
2t
，
点B 运动t 秒后所在位置的点表示的数为：8
3t
，
此时A、B 两点的中点M 表示的数为：12
2
8
3
4
1
2
2
2
2
t
t
t
t
．
故答案为：12
2t
，8
3t
，
1
2
2 t
；
（4）当12
2
8
3
t
t
时，
解得：
4
t
，
∴经过4 秒会相遇；
设它们按上述方式运动，A、B 两点经过t 秒会相距5 个单位长度，
当点A 在点B 左侧时：8
3
( 12
2 )
5
t
t
解得
3
t
；
当点A 在点B 右侧时：12
2
(8
3 )
5
t
t
解得
5
t
；
答：它们按上述方式运动，A、B 两点经过3 秒或5 秒会相距5 个单位长度．
【题型3 数轴动点中的折返问题】
5．数轴上点A，B 对应的数分别是5
和10，点P 以每秒2 个单位的速度从点A 出发向右运动，同时，点Q
以每秒3 个单位的速度从点B 出发向左运动，当点Q 到达点A 后立即折返向右运动，设运动时间为t 秒．
(1)当点P 和点Q 第一次相遇时，求t 的值；
(2)当
6
t
时，求点P 到点Q 的距离；
(3)在整个运动过程中，当t 为多少时，P，Q 两点间的距离为2？请直接写出t 的值．
【答案】(1)点P 与点Q 第一次相遇时t 的值为3
(2)9
(3)13
5 或17
5 或13 或17
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离．
（1）利用路程速度时间，结合点P 和点Q 第一次相遇时的路程之和为15，可列出关于t 的一元一次方
程，解之即可得出结论；
（2）利用时间路程速度，可求出点Q 到达点A 所需时间，找出当
6
t
时点P，Q 表示的数，再利用数
轴上两点间的距离公式，即可求出此时点P 到点Q 的距离；
（3）当0
5
t
时，点P 表示的数为5
2t
，点Q 表示的数为10
3t
，根据P，Q 两点间的距离为2，可列
出关于t 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；当
5
t
时，点P 表示的数为5
2t
，点Q
表示的数为3
20
t
，根据P，Q 两点间的距离为2，可列出关于t 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
8 / 38
学科网（北京）股份有限公司
可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：2
3
5 10
t
t
，
解得：
3
t
，
∴当点P 和点Q 第一次相遇时，t 的值为3；
（2）解：
5 10
3
5
（秒），
当
6
t
时，点P 表示的数为5
2 6
7
，点Q 表示的数为
5
3
6
5
2
，
∴
7
2
9
PQ
，
∴当
6
t
时，点P 到点Q 的距离为9；
（3）解：当0
5
t
时，点P 表示的数为5
2t
，点Q 表示的数为10
3t
，
∴
5
2
10
3
2
t
t
，
即15
5
2
t
或5
15
2
t
，
解得：
13
5
t
或
17
5
t
；
当
5
t
时，点P 表示的数为5
2t
，点Q 表示的数为
5
3
5
3
20
t
t
，
∴
5
2
3
20
2
t
t
，
即15
2
t
或
15
2
t
，
解得
13
t
或
17
t
．
综上所述，在整个运动过程中，当t 为13
5 或17
5 或13 或17 时，P，Q 两点间的距离为2．
6．“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好
习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次；
将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若动点
P、Q 从M 点同时出发向N 点运动，到达N 点后折返到M 点；
已知：数轴上点M、N 对应的数分别为m、n，且满足
2
20
40
0
m
n
．
(1)直接写出m、n 的值；
(2)设点P 在数轴上对应的数为x，那么当x 为多少时能使得
50
PO
PN
？
(3)已知点P 的速度为3 个单位长度/秒，点Q 的速度为2 个单位长度/秒，当动点P 到达点N 后，点Q 开始
改变速度，以a 个单位长度/秒继续折返跑，4 秒后，P、Q 两点相距2 个单位长度，求a 的值．
【答案】(1)
20
m
；
40
n
(2)当
5
x 或
45
x
时，
50
PO
PN
(3)
3
2
a
或5
2 或23
2 或25
2
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
9 / 38
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n 的值即可；
（2）根据
50
PO
PN
，结合两点间距离公式得出
40
50
x
x
，分情况讨论，求出结果即可；
（3）分四种情况讨论：当点Q 向点N 运动时，点P 在点Q 右侧：当点Q 向点N 运动时，点P 在点Q 左
侧：当点Q 到达点N 后，向点M 运动时，点P 在点Q 左侧：当点Q 到达点N 后，向点M 运动时，点P 在
点Q 右侧，分别列出方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵
2
20
40
0
m
n
，
∴
20
0
m
，
40
0
n
，
解得：
20
m
，
40
n
；
（2）解：∵点P 在数轴上对应的数为x，
50
PO
PN
，
∴根据两点间距离公式可得：
40
50
x
x
，
当
0
x
时，
40
50
x
x
，解得：
5
x ；
当0
40
x
时，
40
50
x
x
，此方程无解；
当
40
x
时，
40
50
x
x
，解得：
45
x
；
∴当
5
x 或
45
x
时，
50
PO
PN
．
（3）解：当点P 到达点N 时，需要的时间为：
40
20
3
20
（秒），
此时点Q 到达20
2 20
20
，
当点Q 向点N 运动时，点P 在点Q 右侧：
40
3 4
20
4
2
a
，
解得：
3
2
a
；
当点Q 向点N 运动时，点P 在点Q 左侧：
20
4
40
3 4
2
a
，
解得：
5
2
a
；
当点Q 到达点N 后，向点M 运动时，点P 在点Q 左侧：
20
4
40
40
3 4
2
a
，
解得：
25
2
a
；
当点Q 到达点N 后，向点M 运动时，点P 在点Q 右侧：
40
3 4
20
4
40
2
a
，
解得：
23
2
a
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
10 / 38
学科网（北京）股份有限公司
综上分析可知：当
3
2
a
或5
2 或23
2 或25
2 时，4 秒后，P、Q 两点相距2 个单位长度．
【题型4 数轴动点中的翻折问题】
7．已知点A，B 在数轴上，A，B 对应的数字为a，b，满足
2
1
7
0
a
b
，点M 从点A 开始以2 个单
位长度/秒的速度向右移动，同时点N 从点B 开始以3 个单位长度/秒的速度向右移动，移动时间为t 秒
(1) a __________，b _________．
(2)用含t 的代数式表示点M 对应的数为__________，点N 对应的数__________．
(3)数轴上有一点P．若将数轴沿着点A 翻折后，点P 对应的数为Q，点Q 对应的数为14
．当点N 到达点P
时，立即向左返回；当点N 到达点B 时，点M，N 同时停止移动．在移动过程中，请用含t 的代数式表示
点M 与点N 之间的距离MN ．
【答案】(1)1；7
(2)2
1
t ；3
7
t
(3)
6 0
3
24
5
3
6
t
t
MN
t
t
【分析】（1）根据非负数的性质可得
1
0 7
0
a
b
，
，则可求出
1
7
a
b
，
；
（2）用点A 表示的数加上点M 运动的路程即为点M 表示的数，用点B 表示的数加上点N 运动的路程即可
求出点N 表示的数；
（3）先根据点P 和点Q 到折叠点A 的距离相等求出点P 表示的数，进而求出点N 运动到点B 的时间，以
及点N 回到点B 的时间，然后分点N 从B 到P 的运动过程和点N 从P 到B 的运动过程，两种情况分别表
示出点M 和点N 表示的数，再利用数轴上两点距离计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵
2
1
7
0
a
b
，
2
0
1
7
0
a
b
，
，
∴
2
1
7
0
a
b
，
∴
1
0 7
0
a
b
，
，
∴
1
7
a
b
，
，
故答案为：1；7；
（2）解：由（1）得，点A 表示的数为1，点B 表示的数为7，
∵点M 从点A 开始以2 个单位长度/秒的速度向右移动，同时点N 从点B 开始以3 个单位长度/秒的速度向右
移动，
∴点M 对应的数为2
1
t ，点N 对应的数3
7
t
，
故答案为：2
1
t ；3
7
t
；
（3）解：∵将数轴沿着点A 翻折后，点P 对应的数为Q，点Q 对应的数为14
，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
11 / 38
学科网（北京）股份有限公司
∴点P 和点Q 到点A 的距离都为
1
14
1 14
15
，
∴点P 表示的数为1 15
16
，
∴点N 运动到点P 的时间为16
7
3
3
秒，
∴当点N 运动到点B 时的运动时间为2 3
6
秒；
当0
3
t
时，由（1）得点M 对应的数为2
1
t ，点N 对应的数3
7
t
，
∴
3
7
2
1
3
7
2
1
6
6
MN
t
t
t
t
t
t
；
当3
6
t
时，点M 对应的数为2
1
t ，点N 对应的数为
16
3
3
25
3
t
t
，
∴
25
3
2
1
25
3
2
1
24
5
MN
t
t
t
t
t
；
综上所述，
6 0
3
24
5
3
6
t
t
MN
t
t
．
8．数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点
之间的内在联系，是数形结合的基础．翻折是初中数学重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答
下列问题．
【问题情境1】
如图1，若数轴上表示1的点与表示5 的点重合．
①则表示10的点与表示______的点重合；
②若数轴上D ，E 两点之间的距离为18（点D 在点E 的左侧），当D ，E 两点经折叠后重合，则点D 表
示的数为______，点E 表示的数为______；
③若点M 表示数a ，点N 经折叠后与点M 重合，则点N 表示的数是______；
【问题情境2 】
如图2 ，一条数轴上有M ，N ，P 三点，其中点M ，N 表示的数分别是21
和8 ，现以P 为折点，将数轴
向右对折．若对折后点M 对应的点为M ，且点M 与点N 之间的距离为3 ，求点P 表示的数．
【答案】【问题情境1】①
4
；②
6
，12；③6
a
；
【问题情境2 】点P 表示的数为8
或5
．
【分析】【问题情境1】①根据数轴上表示1的点与表示5 的点重合，则点1与3 的距离和点5 与3 的距离相
等，从而求解；
②根据题意，数轴是绕数3 折叠，则点D 表示的数为3 左侧9个单位，点E 表示的数为3 右侧9个单位，然
后由有理数加减运算即可；
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
12 / 38
学科网（北京）股份有限公司
③分当M 在3 左侧时和当M 在3 右侧时两种情况分析即可；
【问题情境2 】分①当M 落在点N 左边时，②当M 落在点N 右边时两种情况分析即可；
本题考查了数轴及数轴上两点间的距离，有理数加法、减法、除法运算，熟练掌握知识点的应用及分类讨
论思想是解题的关键．
【详解】解：1【问题情境1】
①∵数轴上表示1的点与表示5 的点重合，
∴表示10的点与表示4
的点重合，
故答案为：4
；
②∵数轴上D ，E 两点之间的距离为18，数轴上表示1的点与表示5 的点重合，
∴18
2
9
，1 5
3
2
，
∴点D 表示的数为3
9
6
，点E 表示的数为3
9
12
，
故答案为：6
，12；
③∵，数轴上表示1的点与表示5 的点重合，
∴1 5
3
2
，
当M 在3 左侧时，则M 与3 的距离为3
a
，
∴点N 表示的数是3
3
6
a
a
；
当M 在3 右侧时，则M 与3 的距离为
3
a ，
∴点N 表示的数是
3
3
6
a
a
；
综上可知：点N 表示的数是6
a
，
故答案为：6
a
；
【问题情境2 】
①当M 落在点N 左边时，
∵点M 与点N 之间的距离为3 ，
∴点为M 表示的数为8
3
5
，
∴点P 表示的数21 5
8
2
，
②当M 落在点N 右边时，
∵点M 与点N 之间的距离为3 ，
∴点为M 表示的数为8
3
11
，
∴点P 表示的数21 11
5
2
，
综上可知：点P 表示的数为8
或5
．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
13 / 38
学科网（北京）股份有限公司
【题型5 数轴动点中的定值问题】
9．已知：如图数轴上有A，B，C 三点，点A 和点B 间距20 个单位长度且点A，B 表示的有理数互为相反
数，
40
AC
，数轴上有一动点P 从点A 出发，以2 个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t 秒
（
0
t
）．
(1)点A 表示的数是，点C 表示的数是，点P 表示的数是（用含t 的式子表示）；
(2)当t 秒时，P，B 两点之间相距10 个单位长度；
(3)若点A，点B 和点C 与点P 同时在数轴上运动，点A 以1 个单位/秒的速度向左运动，点B 和点C 分别
以3 个单位/秒和4 个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得
5
3
mAP
BP
CP
为定值，若存在，
请求出m 的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 10,30, 10
2t
(2)5 或15
(3)存在，
1
3
m
，定值为20
【分析】（1）设点B 表示的数为x，则点A 表示的数为
x
，由两点之间的距离可得
20
x
x
，求出解
即可，然后根据
40
AC
，可知点C 表示的有理数，最后根据动点P 从点A 出发，以2 个单位长度/秒的速
度向右沿数轴运动，运动时间为t 秒，可得点P 表示的数；
（2）分两种情况：当点P 在点B 左边时
0
10
t
和当点P 在点B 右边时
10
t
，分别表示PB ，再根据
P、B 两点之间相距10 个单位长度，列出方程，求出解即可；
（3）分别表示出
,
,
AP BP CP ，再根据
5
3
mAP
BP
CP
等于
3
1
20
m
t
，结合题意求出答案即可．
【详解】（1）解：设点B 表示的数为x，则点A 表示的数为
x
，
∵点A 和点B 间距20 个单位长度，
∴
20
x
x
，
解得
10
x
，
∴点A 表示的有理数是10
；点B 表示的有理数是10．
∵
40
AC
，
∴点C 表示的有理数是10
40
30
．
∵动点P 从点A 出发，以2 个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t 秒，
∴点P 表示的数是10
2t
．
（2）解：①当点P 在点B 左边时
0
10
t
，如图
10
10
2
20
2
PB
t
t
，
∵P、B 两点之间相距10 个单位长度，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
14 / 38
学科网（北京）股份有限公司
∴20
2
10
t
，
解得
5
t
；
②当点P 在点B 右边时
10
t
，如图
10
2
10
2
20
PB
t
t
，
∵P、B 两点之间相距10 个单位长度，
∴2
20
10
t
，
解得
15
t
，
∴当
5
t
或15 秒时，P、B 两点之间相距10 个单位长度．
（3）解：存在常数m，使得
5
3
mAP
BP
CP
为一个定值．理由如下：
由题意可知，点A 表示的数为10
t
；点B 表示的数为10
3t
；点C 表示的数为30
4t
，且在数轴上从左
到右依次为点A，P，B，C，
∴
10
2
10
3 ,
AP
t
t
t
10
3
10
2
20
,
BP
t
t
t
30
4
10
2
40
2
CP
t
t
t
，
∴
5
3
mAP
BP
CP
=3
5 20
3 40
2
mt
t
t
3
1
20
m
t
，
∵要使得
5
3
mAP
BP
CP
为一个定值，
∴3
1
0
m
，
解得
1
3
m
，
∴
5
3
20
mAP
BP
CP
，
∴
1
3
m
，这个定值为20
．
10．课本P52 页习题8，我们曾探究过，如果数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，线段AB 的长表示为
AB ．当点C 为线段AB 中点时，即AC
BC
时，点C 表示的数为
2
a
b
．请同学们借助以上结论，解决下面
问题：
如图，在数轴上的A 点表示数2
，B 点表示数5．若在原点O 处放一挡板，一动点P 从点A 处以2 个单位
／秒的速度向左运动；同时另一个动点Q 从点B 处以3 个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来
的速度向相反的方向运动，回到B 点后，两动点均停止运动，运动结束．假设运动的时间为t （秒）．
(1)动点P 表示的数为______；
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
15 / 38
学科网（北京）股份有限公司
当
5
0
3
t
时，动点Q 表示的数为______；
当5
10
3
3
t
时，动点Q 表示的数为______；（用含t 的代数式表示）
(2)当O 是线段PQ中点时，求时间t 的值；
(3)分别取OB 和AQ 的中点E ，F ；
①当
2
EF
时，求时间t 的值；
②试判断是否存在常数m，使得AB
OQ
mEF
的值是定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理
由．
【答案】(1) 2
2t
，5
3t
，3
5
t
(2)
3
5
t
(3)①
2
3
t
或
8
3
t
②存在，
2
m
【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题：
（1）根据两点间的距离公式结合数轴上的动点，左移减，右移加，列出代数式即可；
（2）分
5
0
3
t
和5
10
3
3
t
两种情况，结合两点间的距离公式，列出方程进行求解即可；
（3）分
5
0
3
t
和5
10
3
3
t
两种情况，根据AB
OQ
mEF
的值是定值，得到整式的值与t 的值无关，进
行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，点P 表示的数为：2
2t
，
当
5
0
3
t
时，动点Q 表示的数为5
3t
，
当5
10
3
3
t
时，动点Q 表示的数为3
5
t ；
故答案为：2
2t
，5
3t
，3
5
t ；
（2）①当
5
0
3
t
时，2
2
5
3
0
2
t
t
，解得：
3
5
t
；
②当5
10
3
3
t
时，2
2
3
5
0
2
t
t
，解得：
7
t
（舍去）；
故
3
5
t
．
（3）①由题意，点E 表示的数为：5
2 ，
当
5
0
3
t
时，点F 表示的数为：2
5
3
3
3
2
2
t
t
，
则：3
3
5
2
2
2
t
，解得：
2
3
t
或
2
t （舍去）；
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
16 / 38
学科网（北京）股份有限公司
当5
10
3
3
t
时，点F 表示的数为：2
3
5
3
7
2
2
t
t
，
则：3
7
5
2
2
2
t
，解得：
8
3
t
或
16
3
t
（舍去）；
综上：
2
3
t
或
8
3
t
；
②存在：
由题意，得：
5
2
7
AB
，
当
5
0
3
t
时，
5
3
OQ
t
，
3
3
5
3
2
3
2
2
2
2
2
t
t
t
EF
，
∴
3
2
7
3
5
2
t
AB
OQ
mEF
t
m
，
∴当
2
m 时，
7
3
5
3
2
0
AB
OQ
mEF
t
t
为定值；
当5
10
3
3
t
，
3
5
OQ
t
，
3
5
5
3
10
10
3
2
2
2
2
t
t
t
EF
，
∴
10
3
7
5
3
2
t
AB
OQ
mEF
t
m
，
∴当
2
m 时，
7
5
3
3
10
2
AB
OQ
mEF
t
t
为定值；
综上：当
2
m 时，AB
OQ
mEF
的值是定值．
【题型6 数轴动点中的新定义问题】
11．已知数轴上点A 表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点．且A ，B 两点间的距离为10，动点P 从点
A 出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度
沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发．设运动时间为
0
t t
秒．求：
(1)当点P 运动多少秒时，点P 追上点Q ？
(2)当点P 运动多少秒时，点P 与点Q 间的距离为8 个单位长度？
(3)如果P 、B 、Q 中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P 、B 、Q 为一组“幸福点”．求出点P 运
动多少秒时，点P 、点Q 、点B 是一组“幸福点”．
【答案】(1)当P 运动2.5 秒时，点P 追上点Q
(2)当点P 运动0.5秒或4.5 秒时，点P 与点Q 间的距离为8 个单位长度
(3)当点P 运动1.25秒或2 秒或5 秒时，点P、点Q、点B 是一组“幸福点”
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴动点问题，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况
列方程．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
17 / 38
学科网（北京）股份有限公司
（1）根据追及问题的等量关系，利用动点P 的运动距离减去动点Q 的运动距离等于A ，B 两点间的距离为
10，列方程即可求解；
（2）根据点P 与点Q 相遇前和相遇后之间的距离为8 个单位长度，分两种情况列方程即可求解．
（3）根据题意分3 种情况讨论：当点B 为PQ 的中点，当点P 为BQ 的中点，当点Q 为BP 的中点，然后
分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得6
2
10
t
t
，
解得
2.5
t
，
答：当P 运动2.5 秒时，点P 追上点Q ．
（2）解：根据题意，得当点P 与点Q 相遇前，距离为8 个单位长度：
2
(10
6 )
8
t
t
，
解得
0.5
t
；
当点P 与点Q 相遇后，距离8 个单位长度：
(6
10)
2
8
t
t
，
解得
4.5
t
；
答：当点P 运动0.5 秒或4.5 秒时，点P 与点Q 间的距离为8 个单位长度；
（3）解：∵点A 表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点．且A ，B 两点间的距离为10，
∴点B 表示的数为4
，
根据题意，得当点B 为PQ 的中点：
4
4
2
6
6
4
t
t
，
解得
1.25
t
；
当点P 为BQ 的中点：
4
6
6
6
6
4
2
t
t
t
，
解得
2
t
；
当点Q 为BP 的中点：
4
4
2
4
2
6
6
t
t
t
，
解得
5
t
；
答：当点P 运动1.25 秒或2 秒或5 秒时，点P、点Q、点B 是一组“幸福点”．
12．对于数轴上的A，B ，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2 倍的数量
关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．
例如：数轴上点A，B ，C 所表示的数分别为1，3，4，此时点B 是点A，C 的“联盟点”．
(1)若点A 表示数2
，点B 表示数2，则下列各数
2
3
，0，4，6 所对应的点分别为
1
C ，
2
C ，
3
C ，
4
C ，其中
是点A，B 的“联盟点”的是________；
(2)点A 表示数10
，点B 表示数30，点P 为数轴上的一个动点，
①若点P 在点B 的左侧，且点P 是点A，B 的“联盟点”，求此时点P 所表示的数；
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
18 / 38
学科网（北京）股份有限公司
②若点P 在点B 的右侧，点P ，A，B 中有一个点恰好是其他两个点的“联盟点”，请直接写出此时点P 所表
示的数为________．
【答案】(1)
1
C 或
4
C ；
(2)①当点P 在点B 的左侧时，点P 表示的数为50
或10
3 或50
3 ；②70 或50 或110
【分析】（1）根据联盟点的定义进行判断即可；
（2）（2）①根据点P 所处的位置，由不同的线段的倍数关系求出答案即可；
②分三种情况进行解答，即点A 是点P ，点B 的“联盟点”，点B 是点A、点P 的“联盟点”，点P 是点A、点
B 的“联盟点”进行计算即可．
【详解】（1）解：∵
1
2
4
2
3
3
AC
，
1
2
8
2
3
3
BC
，
∴点
1
C 是A，B 的“联盟点”；
∵
2
2
0
2
AC
，
2
0
2
2
BC
，
∴点
2
C 不是A，B 的“联盟点”；
∵
3
2
4
6
AC
，
3
4
2
2
BC
，
∴点
3
C 不是A，B 的“联盟点”；
∵
4
2
6
8
AC
，
4
6
2
4
BC
，
∴点
4
C 是A，B 的“联盟点”；
（2）解：① 设点P 表示的数为x，
如图，当点
1P 在点A 左侧时，
1
1
2
PB
P A
，
则
30
2
10
x
x
，
解得：
50
x
，
所以点
1P 表示的数为50
；
如图，当点
2P 在线段AB 上且
2
2
2
P B
P A
时，
则
30
2
10
x
x
，
解得：
10
3
x
，
所以点
2P 表示的数为10
3 ；
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
19 / 38
学科网（北京）股份有限公司
如图，当点
3P 在线段AB 上且
3
3
2
P A
P B
时，
则
10
2 30
x
x
，
解得
50
3
x
，
所以点
3P 表示的数为50
3 ；
综上所述，当点P 在点B 的左侧时，点P 表示的数为50
或10
3 或50
3 ；
②若点P 在点B 的右侧，
当点A 是点P ，点B 的“联盟点”时，有
=2
PA
AB，即
10
2
30 10
x
，
解得
70
x
；
当点B 是点A、点P 的“联盟点”时，有
2
AB
PB
或2
=
AB PB ，
即
30 10
2
30
x
或
2
30 10
30
x
，解得=50
x
或=110
x
；
当点P 是点A、点B 的“联盟点”时，有
2
PA
PB
，即
10
2
30
x
x
，
解得
70
x
；
故答案为：70 或50 或110．
1．如图，数轴上线段
2
AB
（单位长度），
4
CD
（单位长度），点A 在数轴上表示的数是10
，点C 在
数轴上表示的数是16．若线段AB 以6 个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2 个单位长度/
秒的速度向左匀速运动．问：当
8
BC （单位长度）时，运动时间为多少秒？（ ）
A．2 秒
B．13.4秒
C．2 秒或4 秒
D．2 秒或13.4秒
【答案】C
【分析】本题考查了数轴上的动点问题．
设运动t 秒时，然后分点B 在点C 的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：∵点A 在数轴上表示的数是10
，点C 在数轴上表示的数是16，
∴
26
AC
（单位长度），
∵
2
AB
（单位长度），
∴
24
BC
（单位长度）；
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
20 / 38
学科网（北京）股份有限公司
设运动t 秒时，
①当点B 在点C 的左边时，
由题意得：6
8
2
24
t
t
，
解得：
2
t
；
②当点B 在点C 的右边时，
由题意得：6
8
2
24
t
t
，
解得：
4
t
．
即运动2 秒或4 秒时，
8
BC （单位长度）．
故选：C．
2．如图，将一条数轴在原点O ，点B ，点C 处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A 表示9
，点B 表示
12，点C 表示24，点D 表示36，我们称点A 与点D 在数轴上的“友好距离”为45 个单位长度，并表示为
45
AD
．点M 从点A 出发沿着“折线数轴”运动至点D ，点N 从点D 出发沿着“折线数轴”运动至点A ，两
点同时出发．点M ，N 的初始速度分别是3 个单位长度/ 秒和6 个单位长度/ 秒，点M 和点N 运动到折线
时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的1
3 ，“下坡”时速度为初始速度的2 倍，离开折线后速度恢复为
初始速度．一个点到达终点时，另一点继续运动，设运动时间为
0
t t
秒，有下列结论：
①当
9
t
时，点N 表示的数为数轴的原点；
②当点M 到达点D 时，
21
t
；
③当点N 到达点A 时，
11
t
；
④运动过程中，点M 和点N 在线段OB 上相遇；
⑤当
11
t
或18 时，
16
MB
MC
．
以上结论正确的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】先理解题意，得出
12
CD
，
12
BC
，
12
BO
，
9
AO
，结合运动速度以及运动方向，进行列
式计算，得
1
6
6
6 2
9
3
CD
BC
OB
，故当
9
t
时，点N 表示的数为数轴的原点；结合运动速
度以及运动方向，进行列式计算，得
1
3
3
3 2
3
21
3
AO
BO
BC
CD
，当点M 到达点D 时，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
21 / 38
学科网（北京）股份有限公司
21
t
；依题意，
1
6
6
6 2
6
10.5
3
CD
BC
OB
AO
，即当点N 到达点A 时，
10.5
11
t
，再
进行讨论，得出点M 和点N 相遇只可能在8
9
t
之间，再设未知数以及列方程，分别算出当
11
t
时，点
M 表示的数为8 ，当
18
t
时，即点M 表示的数为8 ，当
18
t
时， 即点M 表示的数为27，然后算出MB
MC
的值，即可作答．
【详解】解：∵点B 表示12，点C 表示24，点D 表示36，A 表示9
，
∴
36
24
12
CD
，
24 12
12
BC
，
12
BO
，
9
AO
，
∵ 点D 表示36，点N 的初始速度是6 个单位长度/ 秒，点N 运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为
初始速度的1
3 ，“下坡”时速度为初始速度的2 倍，
∴
1
6
6
6 2
12
6 12
2 12 12
2
6 1
9
3
CD
BC
OB
，
即当
9
t
时，点N 表示的数为数轴的原点；
故①符合题意；
∵点M 初始速度是3 个单位长度/ 秒，点M 运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的1
3 ，“下
坡”时速度为初始速度的2 倍，离开折线后速度恢复为初始速度．
∴
1
3
3
3 2
3
3
AO
BO
BC
CD
9
3 12 1 12
6 12
3
3 12
2
4
21
,
即当点M 到达点D 时，
21
t
；
故②符合题意；
依题意，
1
6
6
6 2
6
3
CD
BC
OB
AO
12
6 12
2 12 12
9
6
2
6 1 1.5
10.5
,
即当点N 到达点A 时，
10.5
11
t
，
故③不符合题意；
依题意，点M 到达点O 的时间是
3
9
3
3
AO
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
22 / 38
学科网（北京）股份有限公司
点M 到达点B 的时间是
1
3
3
3 12
15
3
AO
BO
，
点N 到达点B 的时间是
1
6
6
12
6 12
2
8
3
CD
BC
，
点N 到达点O 的时间是
8
6 2
8 12 12
9
OB
，
故点M 和点N 相遇只可能在8
9
t
之间，
设相遇时间为t
点M 在线段OB 上的速度是
1
3
1
3
，
则点M 表示的数为
1
3
3
t
t
，
点N 在线段 OB 上的速度是6 2
12
，
则
12 12
8
108 12
t
t
，
故108 12
3
t
t
，
解得
111
13
t
，
即运动过程中，点M 和点N 在线段OB 上相遇，且相遇时间为111
13 ，
故④符合题意；
依题意，当
11
t
时，
11
9
3
1
8
，
即点M 表示的数为8 ，
则
12
8
4
MB
,
24
8
16
MC
，
∵
4 16
20
16
MB
MC
，
由②得当点M 到达点D 时，
21
t
；
依题意，
36
3
21 18
27
，
即当
18
t
时，点M 表示的数为27，
则
27 12
27
24
18
16
MB
MC
，
故⑤不符合题意；即结论正确的有3 个；
故选：B．
3．在一张透明的纸上画一条数轴，点A ，B 在数轴上表示的数分别为19
，6，如图，以点C 为折点，将此
数轴向右对折，若对折后点A 对应的点A落在数轴上，且A，B 两点之间的距离为3，则点C 表示的数是
________．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
23 / 38
学科网（北京）股份有限公司
【答案】8
或5
/ 5
或8
【分析】本题主要考查数轴及一元一次方程的应用，解决此题的关键是能利用数轴上两点间的距离公式用
含x 的式子表示出线段的长度．分两种情况讨论：当A在B 的右侧及当A在B 的左侧，利用
3
A B
A C
BC
及
3
A B
BC
A C
，列出方程解答即可．
【详解】①当A在B 的右侧且距离是3 时，
A点表示的数为9，
设点C 表示的数是x ，
则
( 19)
19
AC
x
x
，
6
BC
x
，
3
A B
，
即A C
BC
A B
，
19
(6
)
3
x
x
解得：
5
x ，
点C 表示的数是5
．
②当A在B 的左侧且距离是3 时，
A点表示的数为3，
设点C 表示的数是x ，
则
( 19)
19
AC
x
x
，
6
BC
x
，
3
A B
，
即BC
A C
A B
，
6
(
19)
3
x
x
解得：
8
x ，
点C 表示的数是8
．
故答案为：8
或5
．
4．定义：已知点M
N
Q
、、
为数轴上三点，我们规定：点Q 到点M 的距离是点Q 到点N 的距离的K 倍，则
称Q 是
,
M N 的“ K 倍点”，记作：
,
Q M N
K
．例如：若点Q 表示的数为0 ，点M 表示的数为2
，点N
表示的数为1，则Q 是
,
M N 的“ 2 倍点”，记作：
,
2
Q M N
．应用：如图有一条数轴，A
B
P
、、
为数轴
上三点，分别对应1
，5 ，3
．
,
P B A 的值是______；若点D 是数轴上一点，且
,
3
D A B
，则点D 表
示的数______．
【答案】
4
8 或7
2
【分析】本题考查了一元一次方程的几何应用，数轴上两点之间的距离，求出
5
3
8
PB
，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
24 / 38
学科网（北京）股份有限公司
3
1
2
PA
，则有
4
PB
PA
，即
,
4
P B A
，设点D 表示的数为x ，则有
1
DA
x
，
5
DB
x
，
由
,
3
D A B
，得
1
3
5
x
x
，然后求出x 的值即可，根据理解题中定义和分类讨论是解题的关键．
【详解】解：∵A
B
P
、、
为数轴上三点，分别对应1
，5 ，3
，
∴
5
3
8
PB
，
3
1
2
PA
，
∴
4
PB
PA
，
∴
,
4
P B A
，
设点D 表示的数为x ，则有
1
1
DA
x
x
，
5
DB
x
，
∵
,
3
D A B
，
∴
1
3
5
x
x
，
∴
1
3
5
x
x
或
1
3
5
x
x
，
解得：
8
x
或
7
2
x
，
∴点D 表示的数为8 或7
2 ，
故答案为：4 ，8 或7
2 ．
5．点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且a 、b 满足
2
|
8| (
6)
0
a
b
．
(1)填空：a __________；b __________；线段AB 的长为__________；
(2)动点P 从点A 出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q 从点B 出发，以每秒4 个单
位长度的速度沿数轴向左移动；动点M 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，点
P ，Q ，M 同时出发，设运动时间为t 秒，
①点C 在数轴上对应的数为10，在数轴上（图1中）标出C 的大致位置，若动点M 到A ，B ，C 三点的距
离满足MA
MB
MC
，求此时点M 对应的数；
②若
QP
QA
QM
的取值与t 无关，求t 的最大值．
【答案】(1)8 ；6
；14；
(2)①见解析，4
或8
；②7 ．
【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性，两个非负数相加为0 则各自为0 ，求出a 、b 的值，再用数轴上
两点距离公式计算线段AB 的长度．
（2）①设点M 对应的数为m ，根据点在数轴上的位置表示出MA、MB 、MC ，代入等式MA
MB
MC
，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
25 / 38
学科网（北京）股份有限公司
通过绝对值方程求解m 的值．②先表示出运动t 秒后点P 、Q 、M 对应的数，进而得出PQ 、QA、QM 的
表达式，分
7
t
和
7
t
两段化简
QP
QA
QM
，根据“取值与t 无关”的条件确定t 的最大值．
【详解】（1）解：
2
8
6
0
a
b
，
8
0
a
,
2
6
0
b
，
8
0
a
,
6
0
b
，
8
a
,
6
b ，
∴
8
6
14
AB
；
（2）解：①如图所示，点C 为所求，
设点M 对应的数为m ，M 可能在B 左侧，也可能在B 右侧，但M 始终在A ，C 左侧，
则
8
,
|
( 6) |,
10
MA
m MB
m
MC
m
，
MA
MB
MC
，
8
|
( 6) | 10
m
m
m
，
|
6 | 2
m
，
解得：
4
m 或
8
m
．
∴点M 对应的数为4
或8
；
②Q 速度比M 快，比P 慢，
故M 始终在Q 右侧，P 可能在Q 左侧，也可能在Q 右侧，
Q
表示的数是6
4t
，P 表示的数是8
6 ,t M
表示的数是8
3t
，
|(8
6 )
( 6
4 ) | |14
2 |,
8
( 6
4 )
14
4
PQ
t
t
t QA
t
t
，
(8
3 )
( 6
4 )
14
QM
t
t
t
，
当
7
t
时，
14
2
PQ
t
，
(14
2 )
(14
4 )
28
2
2
14
14
QP
QA
t
t
t
QM
t
t
，
当
7
t
时，
2
14
PQ
t
，
(2
14)
(14
4 )
6
14
14
QP
QA
t
t
t
QM
t
t
，取值与t 有关，不合题意，
t
的最大值是7 ．
6．【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，
我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A 、点B 表示的数分别为a 、b ，则A ，B 两点之间的距离
AB
a
b
，线段AB 的中点表示的数为
2
a
b
．如图，数轴上点A 表示的数为4
，点B 表示的数为16．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
26 / 38
学科网（北京）股份有限公司
【综合运用】
(1)填空：A ，B 两点间的距离AB ________，线段AB 的中点表示的数为________；
(2)若M 为该数轴上的一点，且满足
28
MA
MB
，求点M 所表示的数；
(3)若点P 从点A 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向终点B 匀速运动；同时点Q 从点B 出发，以每
秒2 个单位长度的速度向左匀速运动，Q 到达A 点后，再立即以同样的速度返回B 点，当点P 到达终点后，
P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t 秒（
0
t＞）．
①当t 为何值时，P ，Q 两点第一次重合？
②当t 为何值时，P ，Q 两点间距离为8 ？
【答案】(1)20 ，6 ；
(2) 8
或20 ；
(3)①20
3 ；②
4
t
或28
3 或12．
【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式、动点问题：
（1）利用数轴上两点间距离公式和中点公式直接计算；
（2）设点M 所表示的数为x ，分
4
x
＜
和4
16
x
和
16
x
三种情况讨论即可；
（3）①P ，Q 的路程和为AB 时，两点第一次重合，列方程解答即可；
②分P ，Q 两点相遇前、P ，Q 两点相遇后且点Q 未到达A 点前、Q 从A 点返回后三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：A 、B 两点间的距离
4 16
20
AB
＝
＝
，
线段AB 的中点表示的数为：16
( 4)
6
2
；
（2）设点M 表示的数为x ，
∵
28
MA
MB
＝
，
∴
4
16
28
x
x
＝
．
当
4
x
＜
时，
4
16
28
x
x
＝
，
8
x ；
当4
16
x
时，
4
16
28
x
x
，此方程无解；
当
16
x＞
时，
4
16
28
x
x
，
∴
20
x
；
∴点M 表示的数为8
或20 ；
（3）解：①
2
16
4
t
t
，
∴
20
3
t
（秒）；
②当P ，Q 两点相遇前，点P 表示的数为4
t
，点Q 表示的数为16
2t
，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
27 / 38
学科网（北京）股份有限公司
∴
16
2
4
8
PQ
t
t
，
∴
4
t＝；
当P ，Q 两点相遇后，点Q 未到达A 点前，点P 表示的数为4
t
，点Q 表示的数为16
2t
，
∴
4
16
2
8
PQ
t
t
＝
，
∴
28
3
t
；
当点Q 从A 点返回后，点P 表示的数为4
t
，点Q 表示的数为
4
2
16
4
2
24
t
t
，
∴
4
2
24
8
PQ
t
t
，
∴
12
t
．
∴
4
t
或28
3 或12时P ，Q 两点间距离为8 ．
7．如图①，已知数轴上点A、O、B、C、D 表示的数分别为6
、0、4、8、12，点P、Q 是数轴上的两个
动点，动点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时动点Q 从点D 出发，
以每秒1 个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，设运动的时间为t 秒．
(1)移动t 秒时，点P 在数轴上所表示的数为______，点Q 在数轴上所表示的数为______；（用含t 的式子
表示）
(2)当t 为何值时，P、Q 两点相距2 个单位长度；
(3)现将数轴在原点O 和点B、点C 处各折一下，得到如图②所示的一条“折线数轴”．动点P 从点O 运动到
点B 速度为起始速度的一半，从B 点运动到C 点的速度为起始速度的2 倍，到达C 点之后立刻恢复起始速
度向终点D 运动；同时动点Q 一直以原速度向终点A 运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当t
为何值时，P、Q 两点相距2 个单位长度．
【答案】(1) 6
2t
，12
t
(2)当
16
3
t
或
20
3
t
，P、Q 两点相距2 个单位长度
(3)当
6.5
t
或
7.6
t
时，P、Q 两点相距2 个单位长度
【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，
采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）分两种情况：①相遇前P 、Q 相距2 个单位长度 ，即点P 在点Q 左侧时，②相遇后P 、Q 相距2 ，
即点P 在点Q 右侧时，分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果；
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
28 / 38
学科网（北京）股份有限公司
（3）由题意可得P 在OA段运动时间为3 秒，P 在OB 段的运动时间为4 秒，P 在BC 段的运动时间为1 秒，
P 在CD段运动时间为2 秒，点Q 在CD段的运动时间为4 秒，在BC 段的运动时间为4 秒，在OB 段的运动
时间为4 秒，在OA段的运动时间为6 秒，再分情况列出一元一次方程，解方程即可得出结果．
【详解】（1）解：移动t 秒时，点P 在数轴上所表示的数为6
2t
，点Q 在数轴上所表示的数为12
t
；
故答案为：6
2t
，12
t
；
（2）解：①相遇前P 、Q 相距2 个单位长度 ，即点P 在点Q 左侧时，
2
6
2
12
t
t
或2
2
18
t
t
，
解得
16
3
t
②相遇后P 、Q 相距2 ，即点P 在点Q 右侧时，
2
6
2
12
t
t
或2
2
18
t
t
，
解得
20
3
t
；
综上所述，当
16
3
t
或
20
3
t
，P、Q 两点相距2 个单位长度；
（3）解：根据题意可知，∵点P 在OA段的运动速度为2 个单位长度/秒，点P 在OB 段的运动速度为1 个单
位长度/秒，点P 在BC 段的运动速度为4 个单位长度/秒，点P 在CD段的运动速度为2 个单位长度/秒，
∴P 在OA段运动时间为3 秒，P 在OB 段的运动时间为4 秒，P 在BC 段的运动时间为1 秒，P 在CD段运
动时间为2 秒，
∵点Q 在D
C
B
O
A
段的运动速度为1 个单位长度/秒，
∴点Q 在CD段的运动时间为4 秒，在BC 段的运动时间为4 秒，在OB 段的运动时间为4 秒，在OA段的运
动时间为6 秒，
当点P 运动到B 点用时4 秒，同时点Q 运动到数字5 处，P 、Q 两点相距1 个单位长度，
∴①P 在OB 段，Q 在BC 段，
0 1
3
2
8 1
4
t
t
或
6
3
2
18
t
t
，
解得
13
2
t
；
②当P 、Q 两点都在BC 段， 点P 在BC 段表示的数为
4
7
4
4
24
t
t
，点Q 在BC 段表示的数为
8
4
12
t
t
，
∵当P 、Q 两点相遇时，点P 、Q 表示的数相等，
∴4
24
12
t
t
，
解得
36
5
t
，
∴点P 、Q 表示的数为
4
4 5 ，
∴P 、Q 两点相距2 个单位长度可以在BC 段上，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
29 / 38
学科网（北京）股份有限公司
∴
4
7
4
2
8
4
t
t
或
4
7
4
2
8
4
t
t
，
解得
6.8
t
或
7.6
t
，
当
6.8
t
时，点P 尚未进入BC 段，故不符合题意；
∴当
6.5
t
或
7.6
t
时，P 、Q 两点相距2 个单位长度．
8．已知：点A、B、P 为数轴上三点，我们规定：点P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的k 倍，即
PA
kPB
，则称P 是
,
A B 的“k 倍点”，记作：
,
P A B
k
．例如：若点P 表示的数为0，点A 表示的数为
2
，点B 表示的数为1，则P 是
,
A B 的“2 倍点”，记作：
,
2
P A B
．
(1)如图，A、B、P 为数轴上三点，回答下面问题：
①
,
P A B ______；
②若点C 在数轴上且
,
1
C A B ，则点C 表示的数为______；
③点D 是数轴上一点，且
,
2
D A B
，求点D 所表示的数．
(2)数轴上，点E 表示的数为20
，点F 表示的数为60，从某时刻开始，若点M 从原点O 出发向右在数轴
上做匀速直线运动，且M 的速度为5 单位/秒，设运动时间为t 秒
0
t
，当
,
3
M E F
时，请直接写出t
的值．
【答案】(1)①4；②2；③7
或1
(2)8 秒或20 秒
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离、动点问题，理解新定义是解题的关
键．
（1）①分别根据新定义可解答；
②由点C 在数轴上且
,
1
C A B ，可知点C 是点A 和点B 的中点，据此求解即可；
③设点D 表示的数是x，根据
,
2
D A B
得出
5
2
1
x
x
，然后解方程即可；
（2）根据点M 运动的速度可得M 运动t 秒表示的数为5t ，分点M 在点F 的左边和右边，根据新定义列方
程可解答．
【详解】（1）解：①∵点P 表示3
，点A 表示5，点B 表示1
，
1
3
2
PB
，
5
3
8
PA
，
8
2
4
，
则P 是
,
A B 的“4 倍点”，记作：
,
4
P A B
；
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
30 / 38
学科网（北京）股份有限公司
故答案为：4；
②∵点C 在数轴上且
1
[
]
C A B
,
，
∴点C 表示的数为：
1 5
2
2
；
故答案为：2；
③
2
[
]
D A B
,
，
2
DA
DB
，
设点D 表示的数是x，
∵点A 表示5，点B 表示1
，
5
2
1
x
x
，
7
x
或1，
∴点D 所表示的数为7
或1；
（2）解：设点M 在数轴上表示的数为a，
3
[
]
M E F
,
，
3
EM
FM
，
∵点E 表示的数为20
，点F 表示的数为60，
20
3 60
a
a
，
40
a
或100，
当点M 运动到点F 的左边时，5
40
t
，解得：
8
t
；
当点M 运动到点F 的右边时，5
100
t
，解得：
20
t
；
综上所述，t 的值为8 秒或20 秒．
1．已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面，若数轴上数1 对应的点与数1
对应的点重合，则数轴
上数2
对应的点与数2 对应的点重合．
根据你对折叠数轴的理解，解答下列问题：
已知数轴上4
对应的点与数0 对应的点重合．
(1)数轴上数3 对应的点与数________对应的点重合；
(2)若点A 到原点的距离为5，且点A，B 经折叠后重合，则点B 表示的数为________；
(3)若数轴上M，N 两点之间的距离为2026，且点M，N 经折叠后重合，如果点M 表示的数比点N 表示的数
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
31 / 38
学科网（北京）股份有限公司
大，求点M，N 表示的数．
【答案】(1) 7
(2)B 表示的数为1或9
(3)点M 表示的数是1011，点N 表示的数是1015
【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，数轴两点之间的距离，理解折点的计算，数轴上两点之间
距离的计算是关键．
（1）根据材料提示的折点计算即可；
（2）根据折点，两点之间距离的计算方法即可求解；
（3）设点
,
M N 表示的数是
,
m n ，根据折点的计算，两点之间距离的计算列式求解即可．
【详解】（1）解：数轴上4
对应的点与数0 对应的点重合，
∴折点为4
0
2
2
，
∵2 2
3
7
，
∴数轴上数3 对应的点与数7
对应的点重合，
故答案为：7
；
（2）解：点A 到原点的距离为5，
∴点A 表示的数是5
或5 ，
∵折点是2
，
∴当点A 表示的数是5
时，2 2
5
1
，
∴点B 表示的数是1；
当点A 表示的数是5 时，2 2
5
9
，
∴点B 表示的数是9
；
综上所述，B 表示的数为1或9
；
（3）解：设点
,
M N 表示的数是
,
m n ，
∵M，N 两点之间的距离为2026，
∴
2026
m
n
，
∴
2026
m
n
，
∵点M，N 经折叠后重合，
∴
2
2
m
n
，
∴2026
2
2
n
n
，
解得，
1015
n
，
∴
2026
1015
1011
m
，
∴点M 表示的数是1011，点N 表示的数是1015
．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
32 / 38
学科网（北京）股份有限公司
2．如图所示，在数轴上从左到右有点A，B，C，其中点A 到点B 的距离为3，点C 到点B 的距离为7，设
点A，B，C 所对应的数的和是m．三个动点P，Q，M 分别从点A，B，C 同时向数轴正方向运动，点P 与
点Q 的运动速度相同，都是每秒2 个单位长度，点M 的运动速度是每秒1 个单位长度，设运动的时间为t
秒，请回答下列问题：
(1)若以C 为原点，则m 的值是______；
(2)若点C 到原点的距离为4，6 秒后点P 表示的数为______；
(3)请求出当t 为何值时，
2
QM
；
(4)在三个动点P，Q，M 的运动过程中，当这三个点其中一个点与另外两个点的距离相等时，不包括两点重
合时刻，请直接写出此时t 的值．
【答案】(1) 17
(2) 2
或6
(3)5 或9
(4)4 或17
2 或13
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可；
（2）分点C 在原点左侧和点C 在原点右侧两种情况，根据数轴上两点间的距离公式求出点A 表示的数，
再用点A 表示的数加上点P 运动的距离即可得到答案；
（3）设出点A 表示的数，则可得到点B 和点C 表示的数，进而求出点Q 和点M 表示的数，根据
2
QM
建立方程求解即可；
（4）设出点A 表示的数，则可得到点B 和点C 表示的数，进而求出点P、点Q 和点M 表示的数，根据题
意可得P 总在点Q 的左侧，则可分为三种情况：当点Q 到点M 的距离和点Q 到点P 的距离相等时，则点Q
为PM 的中点，当点M 到点P 的距离和点M 到点Q 的距离相等时，则点M 为PQ 的中点，当点P 到点Q
的距离和点P 到点M 的距离相等时，则点P 为QM 的中点，根据中点公式建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点C 到点B 的距离为7，且C 为原点，
∴点B 表示的数为0
7
7
，
∵点A 到点B 的距离为3，
∴点A 表示的数为7
3
10
，
∴
10
7
0
10
7
0
17
m
；
（2）解：当点C 在原点左侧时，
∵点C 到原点的距离为4，
∴点C 表示的数为0
4
4
，
∵点C 到点B 的距离为7，
∴点B 表示的数为4
7
11
，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
33 / 38
学科网（北京）股份有限公司
∵点A 到点B 的距离为3，
∴点A 表示的数为11
3
14
，
∴6 秒后点P 表示的数为14
2
6
2
；
当点C 在原点右侧时，
∵点C 到原点的距离为4，
∴点C 表示的数为0
4
4
，
∵点C 到点B 的距离为7，
∴点B 表示的数为4
7
3
，
∵点A 到点B 的距离为3，
∴点A 表示的数为3
3
6
，
∴6 秒后点P 表示的数为6
2 6
6
；
综上所述，6 秒后点P 表示的数为2
或6；
（3）解：设点A 表示的数为x，则点B 表示的数为
3
x ，点C 表示的数为
3
7
10
x
x
，
∴运动t 秒后点Q 表示的数为
3
2
x
t
，点M 表示的数为
10
x
t
，
∴
10
3
2
7
QM
x
t
x
t
t
，
∵
2
QM
，
∴7
2
t
，
解得
5
t
或
9
t
；
（4）解：设点A 表示的数为y，则点B 表示的数为
3
y + ，点C 表示的数为
3
7
10
y
y
，
∴运动t 秒后点P 表示的数为
2
y
t
，点Q 表示的数为
3
2
y
t
，点M 表示的数为
10
y
t
，
由题意得，点P 总在点Q 的左侧，
当点Q 到点M 的距离和点Q 到点P 的距离相等时，则点Q 为PM 的中点，
∴
2
10
3
2
2
y
t
y
t
y
t
，
解得
4
t
；
当点M 到点P 的距离和点M 到点Q 的距离相等时，则点M 为PQ 的中点，
∴
2
3
2
10
2
y
t
y
t
y
t
，
解得
17
2
t
；
当点P 到点Q 的距离和点P 到点M 的距离相等时，则点P 为QM 的中点，
∴
3
2
10
2
2
y
t
y
t
y
t
，
解得
13
t
；
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
34 / 38
学科网（北京）股份有限公司
综上所述，t 的值为4 或17
2 或13．
3．如图，将一条数轴在原点O 和点B 处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A 表示10
，点B 表示
10，点C 表示18，我们称点A 和点C 在数轴上相距28 个长度单位．动点P 从点A 出发，以2 单位/秒的速
度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O 运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，
动点Q 从点C 出发，以1 单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B 运动到点O 期间速度变为原来的
两倍，之后也立刻恢复原速．当点 P 到达点C 时，两点都停止运动．设运动时间为t．
(1)
3
t
秒时，点P 在“折线数轴”上所对应的数是 ；点Q 在“折线数轴”上所对应的数是 ；
(2)P，Q 两点相遇时，t 秒；此时相遇点M 在“折线数轴”上所对应的数是 ；
(3)如果动点P、O 两点在数轴上相距的长度与Q、B 两点在数轴上相距的长度相等，请求出t 的值．
【答案】(1) 4
，15；
(2) 31
3 ，16
3
(3)t 的值为 2，6.5，11 或 17．
【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）当
3
t
秒时，可算出P、Q 点运动路程，从而表示出P、Q 点对应的数，
（2）因为P 从A 到O 需要5 秒，Q 从C 到B 需要8 秒，8 秒时P 点在OB 段，那么可知相遇点M 在OB 上，
设OM
x
，根据相遇时运动时间相等列方程求解；
（3）分情况讨论，①动点 Q 在 CB 上，动点 P 在 AO 上，②动点 Q 在 CB 上，动点 P 在 OB 上，③
动点 Q 在 BO 上，动点 P 在 OB 上，④动点 Q 在 OA 上，动点 P 在 BC 上，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点A 表示10
，点B 表示10，点C 表示18，我们称点A 和点 C 在数轴上相距28 个
长度单位．动点P 从点A 出发，以2 单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q 从点C 出
发，以1 单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，
∴当
3
t
秒时，
3 2
6
AP
，
3 1
3
CQ
，
则P 点对应的数为10
6
4
，Q 点对应的数为18
3
15
；
（2）解：依题意，P 从A 到O 需要10
5
2 （秒），Q 从C 到B 需要18
10
8
1
（秒），
点P 运动到点B 时的时间是10
10
15
1
2
（秒），
点Q 运动到点O 时的时间是18 10
10
13
1
2
（秒），
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
35 / 38
学科网（北京）股份有限公司
由题可知，P、Q 两点相遇在线段OB 上于M 处，设OM
x
．
则10
10
8
2
2
x
x
，
解得
16
3
x
．此时
16
31
5
3
3
t
，
M 所对应的数为16
3 ；
（3）解：P、O 两点在数轴上相距的长度与Q、B 两点在数轴上相距的长度相等有4 种可能：
依题意，P 从A 到O 需要10
5
2 （秒），Q 从C 到B 需要18
10
8
1
（秒），
点P 运动到点B 时的时间是10
10
15
1
2
（秒），
点Q 运动到点O 时的时间是18 10
10
13
1
2
（秒），
又∵动点P 从点A 出发，以2 单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O 运动到点B 期间速度变
为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q 从点C 出发，以1 单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，
从点B 运动到点O 期间速度变为原来的两倍，
∴①当0
5
t
时，动点Q 在CB 上，动点P 在AO 上，
则： 8
10
2
t
t
，
解得：
2
t
．
②当5
8
t
时，动点Q 在CB 上，动点P 在 OB 上，
则： 8
(
5) 1
t
t
，
解得：
6.5
t
．
③当8
13
t
时，动点Q 在BO 上，动点P 在OB 上，
则2(
8)
(
5) 1
t
t
，
解得：
11
t
．
④∵当点P 到达点C 时，两点都停止运动．设运动时间为t．
∴当点P 到达点C 时，时间
10
2 10 1 8
2
19
t
，
故当13
19
t
时，动点Q 在OA上，动点P 在BC 上，
则：
10
2
15
3
t
t
，
解得：
17
t
．
综上所述：t 的值为2，6.5，11 或17．
4．定义：对于数轴上一点P 和一个非零常数k ，若存在点Q ，使得点Q 到原点的距离是点P 到原点距离的k
倍，且P
Q
、
两点在原点两侧，我们就称点Q 是点P 的“k 倍对称点”．特别地，我们规定原点的“k 倍对称点”
为原点．例如，数轴上表示1
的点的“3倍对称点”为表示3的点，表示2 的点的“ 4 倍对称点”为表示8
的
点．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
36 / 38
学科网（北京）股份有限公司
已知数轴上点A 表示的数为4
，点B 表示的数为6 ，点M 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴
正方向运动，设运动时间为t 秒
0
t
．
(1)点A 的“1倍对称点”表示的数是___________；点A 的“1倍对称点”和点B 之间的距离是___________．
(2)①点M 表示的数是___________（用含t 的代数式表示）．
②当t 为何值时，点M 的“ 2 倍对称点”到点A 的距离是6 个单位长度．
(3)已知点Q 为点M 的“k 倍对称点”，点N 为点Q 的“1倍对称点”，那么在点M 运动过程中，是否存在某个t
或k 的值，使得点N 到原点的距离恰好等于它到点M 的距离？若存在，求t 或k 的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1) 4 ，2
(2)①4
2t
；②3
2 或9
2
(3)
2
t
或
0.5
k
【分析】（1）根据“k 倍对称点”的定义，先确定点A 的“1 倍对称点”表示的数，再利用数轴上两点间距离公
式计算其与点B 的距离．
（2）①根据点的运动规律，用起始点表示的数加上运动速度乘以时间得到点M 表示的数；②先求出点M
的“2 倍对称点”表示的数，再根据两点间距离为6 列方程求解．
（3）先根据定义分别表示出点Q 、点N 表示的数，再根据点N 到原点的距离等于到点M 的距离列方程，
分情况讨论求解．
【详解】（1）解：∵点A 表示的数为4
，根据“1 倍对称点”的定义，点A 的“1 倍对称点”到原点的距离是
4
1
4
，且与点A 在原点的两侧，
∴点A 的“1 倍对称点”表示的数是4 ．
∵点B 表示的数为6 ，
∴点A 的“1 倍对称点”和点B 之间的距离是6
4
2
．
（2）解：①∵点M 从点A（表示的数为4
）出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时
间为t 秒，
∴点M 表示的数是4
2t
．
②设点M 的“2 倍对称点”为点Q ．
点M 表示的数是4
2t
，则点M 到原点的距离为
4
2t
．
∵点Q 是点M 的“2 倍对称点”，且P 、Q 在原点两侧，
∴点Q 表示的数为
2
4
2
8
4
t
t
．
∵点Q 到点A 的距离是6 ，
∴
8
4
4
6
t
，即12
4
6
t
．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
37 / 38
学科网（北京）股份有限公司
当12
4
6
t
时，4
6 12
t
，4
6
t
，
解得
3
2
t
；
当12
4
6
t
时，4
6 12
t
，4
18
t
，
解得
9
2
t
．
∴当t 为3
2 或9
2 时，点M 的“2 倍对称点”到点A 的距离是6 个单位长度；
（3）解：由题意可得点M 表示的数为
4
2
m
t
．
∵点Q 为点M 的“k 倍对称点”，
∴Q 表示的数为km
；
∵m 与Q 在原点两侧，m 的绝对值为m ，
∴Q 的绝对值为k m ，
∵点N 为点Q 的“1倍对称点”，
∴N 表示的数为Q
km
，
∴点N 到原点的距离为km ，点N 到点M 的距离为
1
km
m
m k
．
由
1
km
m k
，
分情况讨论：
当
0
m
时，两边同时除以m ，得
1
k
k
．
1
k
k
（无解）或
1
k
k
，解得
0.5
k
．
当
0
m
时，即4
2
0
t
，解得
2
t
，此时点M 在原点，点Q 也在原点，点N 也在原点，点N 到原点的
距离为0 ，到点M 的距离也为0 ，符合条件．
综上，
2
t
或
0.5
k
．
5．【阅读理解】
定义：如图，线段MN 上一点P 将线段MN 分成两条线段MP ，NP ，若
2
MP
NP
或
2
NP
MP
，则称P 点
为线段MN 的“好点”．
（1）如图1，
1P ，
2P 是线段AB 的“好点”，且
6
AB
cm
，则
1
2
PP cm ．
【迁移运用】
（2）如图2，点C ，点D 是数轴上两点，表示的数分别为6
，3，一动点E 从C 点出发，以每秒3个单位
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
38 / 38
学科网（北京）股份有限公司
长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为t 秒．
①点C ，D 之间的距离是 个单位长度；
②当点E 是线段CD 的“好点”时，求t 的值；
③若在点E 出发的同时，点Q 从D 点出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点E 运动到点
D 时，两点同时停止运动．请直接写出点E ，D ，Q 三点中，其中一点是另外两个点确定的线段的“好点”
时t 的值．
【答案】（1）2 ；（2）①9；②
1
t 或
2
t
；③
2.4
t
或
1.5
t
．
【分析】（1）根据新定义求出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可；
（2）①根据两点之间的距离公式进行求解即可；
②根据“好点”定义分两种情况进行讨论即可；
③求出t 秒后点E 和点Q 表示的数，表示出DE 和EQ 的长度，然后分两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：根据“好点”定义得，
1
1
2
3
AP
AB
cm
，
2
1
2
3
BP
AB
cm
，
∴
1
2
1
2
6
2
2
2
PP
AB
AP
BP
（cm ），
故答案为：2 ；
（2）解：①点C ，D 之间的距离为
3
6
9
，
故答案为：9；
②当
1
1
9
3
3
3
CE
CD
时，
3 3
1 s
t
；
当
2
2
9
6
3
3
CE
CD
时，
6
3
2 s
t
；
综上，
1
t 或
2
t
；
③t 秒后E 点表示的数为6
3t
，Q 点表示的数为3 1.5t
，
则
3
6
3
9
3
DE
t
t
，
3 1.5
6
3
9 1.5
EQ
t
t
t
，
当
1
3
ED
EQ
时，
1
9
3
9 1.5
3
t
t
，
解得
2.4
t
；
当
2
3
ED
EQ
时，
2
9
3
9 1.5
3
t
t
，
解得
1.5
t
；
综上，
2.4
t
或
1.5
t
．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
夸克群
群满加Q
秘塔
QQ群
AI
【温馨提示】本页为广告页，打印前可以把这页删掉
群
满
或
未
通
过
：
请
至
左
侧
资
料
库
文
档
获
取
最
新
二
维
码
防失联渠道二：https://link3.cc/xbjf
防失联渠道一
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
