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专项训练01 与绝对值有关的化简
【知识点1 绝对值的定义】
定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2 的绝对值等于2，记作|+2|=2；
-3 的绝对值等于3，记作|-3|=3．
要点分析：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是
0．即对于任何有理数a 都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值
越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
【知识点2 绝对值的性质】
性质：（1）0 除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0 除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
【题型1 绝对值的非负性】
1．已知,a b 满足
2
2
3
0
a
b
，则式子
2025
a
b
的值是 ．
2．在五个有理数5
，3
，0，2
，7
中任意取出两个相乘，则最大的积为a，最小的积为b．
(1)求a、b 的值；
(2)
0
x
a
y
b
，求代数式
2 x
y
y
x
的值．
(
0)
|
|
0
(
0)
(
0)
a
a
a
a
a
a
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【题型2 利用数轴化简绝对值】
3．已知有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，且a
b
．
(1) a
b
，b
a
；
(2)化简：a
c
c
b
b
a
．
4．已知数轴上A，B ，C 三点对应的数分别是a ，b ，c ，若a<0 ，
0
b
，a
b
，c 为最小的正整数．
(1)请在数轴上标出A，B ，C 三点的大致位置；
(2)化简：|
| 2 |
|
|
2 |
a
b
b
a
c
b
c
．
【题型3 分类讨论化简绝对值】
5．已知
0
x
a
、
0
x
b
，那么|
|
|
|
x
a
x
b
x
a
x
b
＝
6．我们知道数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结
合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题：
(1)若
5
a 时，a
a
的值为___________；
(2)若
5
9
a
a
成立，则
a
___________；
(3)若
0
abc <
，则
|
|
|
|
|
|
|
|
a
b
c
abc
a
b
c
abc
___________；
(4)当式子
3
4
x
x
取最小值时，相应的x 的取值范围___________，最小值是___________．
【题型4 几何意义化简绝对值】
7．如图，已知数轴上有A，B 两个点，分别表示有理数－6，4．若x 表示一个有理数．
(1)数轴上点A 到点B 的距离为______；数轴上到点A、B 的距离相等的点表示的有理数为______；
(2)若
4
2
x
，则x ______；
(3)式子
3
5
x
x
的最小值为______，此时x 的取值范围是______；
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(4)式子8
2
3
2
5
x
x
有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由．
8．【阅读】若点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，则
AB
a
b
，即5
3
表示为5 与3 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）点A ，B 表示的数分别为7
，2，则AB _______；
（2）若
2
3
x
，则x _________；
【应用】
（3）如图，数轴上表示数a 的点，问
3
2
a
a
是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，
说明理由．
（4）由以上的探索猜想，对于任意有理数x ，
6
3
1
x
x
x
是否有最小值？如果有，直接写出最小值，
并写出此时x 的值；如果没有，说明理由．
1．式子
1
2
x
取最小值时，x 等于（ ）
A．0
B．1
C．2
D．1
2．若
2
7
0
m
n
，则m
n
（
）
A．2
B．7
C．8
D．5
3．已知表示有理数a，b 的点在数轴上的位置如图所示，则
2025
a
b
a
b
的值是（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
4．当2
7
5
m
的值最小时，m
．
5．已知
2
4
0
x
y
，则x
y
．
6．已知a，b，c 为非零有理数，请解决下列问题：
（1）当
0
a
时，|
|
a
a
；
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（2）若
0
abc
，则|
|
|
|
|
|
|
|
a
b
c
abc
a
b
c
abc
的值为
．
7．已知有理数
0
a
，
0
b
，
0
c
，且b
a
c
．
(1)如图，在数轴上将a、b、c 三个数填在相应的括号中：
(2)化简：2
2
a
b
b
c
c
a
8．根据
0
a
这一性质，解答下列问题：
(1)当a 时，|
4 |
a
有最小值，此时最小值为 ；
(2)当a 取何值时，|
|1
3
a
有最小值？这个最小值是多少？
(3)当a 取何值时，4
a
有最大值？这个最大值是多少？
9．有理数a
b
c
、、在数轴上的位置如图：
(1) a
b
______0 ，abc ______0 ，b
a
______0；填（“ ”或“”）
(2)如果a
c
、互为相反数，则a
c ______；
(3)计算：a
b
c
a
b
c
．
10．我们知道，a 是指数轴上表示数a 的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴
上点A
B
、分别对应数a
b
、，那么A
B
、两点间的距离为AB
a
b
=
-
．
(1)如图1，点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，则a _____0 ，b _____0 ，a
b
_____0 ；
(2)若
2
3
7
x
x
，则x _____；
(3)已知a
b
c
、、三个数在数轴上的位置如图2 所示，化简：a
b
c
b
a
c
c
b
．
1．有理数a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，已知
0
a
b
，有如下四个结论：①
0
ab
；
②a
c
；③
0
a
c
；④
0
b
c
．上述结论正确的个数是（ ）
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A．1
B．2
C．3
D．4
2．下列说法：①若
0
x
x
，则x 为负数；②若a
不是负数，则a 为非正数；③
2
2
a
a
；④若
a
b
，b
b
，则
0
a
b
．其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示，且a
b
，则a
b
，a
b
，a c
，
b
c
，化简c
a
b
a
4．电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“
3
9 4 站台”的镜头（如示意图的Q 站台），构思奇妙，给
观众留下深刻的印象．若A
B
、站台分别位于
2
3
，8
3 处，若P 站台到A 站台的距离是到B 站台距离的2 倍，
则P 站台用类似电影的方法可称为“
站台”．
5．阅读下列材料：
经过有理数运算的学习，我们知道| 5
3|
可以表示5 与3 之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可
以理解为5 与3 两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．| 5
( 2) |
可以表示5 与2
之差的绝对值．也可
以理解为5 与2
两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)| 4
1|
表示数轴上4 与___________所对应的两点之间的距离．
(2)|
5|
x
表示数轴上有理数x 所对应的点到___________所对应的点之间的距离，|
2 |
x
表示数轴上有理数
x 所对应的点到___________所对应的点之间的距离．
(3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数x ，使得|
2 |
|
1| 3
x
x
请直接写出这样的整数x 的
值：_________________________________．
(4)利用绝对值的几何意义，求出|
3|
|
2 |
x
x
的最小值．
6． “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并
解答题目后提出的两个问题．
例：三个有理数a，b，c 满足
0
abc
，求|
|
|
|
|
|
a
b
c
a
b
c
的值．
解：由题意得：a，b，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c 都是正数，即
0
a
，
0
b
，
0
c
时，
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则：
1 1 1
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
；
②当a，b，c 有一个为正数，另两个为负数时，不妨设
0
a
，
0
b
，
0
c
，
则：|
|
|
|
|
|
a
b
c
a
b
c
=
𝑎
𝑎+ −𝑏
𝑏+
−𝑐
𝑐= 1 + (−1) + (−1) = −1，
综上述：|
|
|
|
|
|
a
b
c
a
b
c
的值为3 或1
．
请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题：
(1)已知a，b 是有理数，当
0
ab
时，求|
|
|
|
a
b
a
b
值．
(2)已知a，b，c 是有理数，
0
a
b
c
，
0
abc
，求
b
c
a
c
a
b
a
b
c
的值．
7．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．
(1)【问题情境】如图，探究数轴上任意两点之间与两点的对应数的关系：
①点D 和点A 之间的距离为______，②点D 到点G 的距离为______；
③点C 和点A 之间的距离为______，④点C 到点F 的距离为______；
(2)【发现新知】如果数轴上点P 对应的数是a ，点Q 对应的数是b ，那么点P 和点Q 之间的距离可表示为
PQ ______．（用含a ，b 的式子表示）
(3)【综合运用】①数轴上表示x 和4.5
的两点M ，N 之间的距离是10，求x 的值．
②式子
2
4
6
8
x
x
x
x
的最小值是______．
